5 Struktury algebraiczne
5.1. Niech m " N i a, b " Z. Wykazać, że
(a) (a + b) MOD m = [(a MOD m) + (b MOD m)] MOD m,
(b) (a · b) MOD m = [(a MOD m) · (b MOD m)] MOD m.
Wywnioskować stąd, że działania modularne są łączne w zbiorze Zm (3)
5.2. Wykazać, że
(a) Dla żadnej liczby całkowitej p > 2 działanie +p nie jest wewnętrzne w zbiorach
Z+ i ZÄ„". (1)
p p
(b) DziaÅ‚anie · jest wewnÄ™trzne w zbiorze ZÄ„" dla każdej liczby caÅ‚kowitej p > 1. (1)
p
p
5.3. Zbadać, czy istnieje wskazany element odwrotny, a jeśli tak, to wyznaczyć go.
(a) 195-1 mod 221, (1)
(b) 144-1 mod 233. (1)
5.4. (a) Znalez
ć wszystkie podgrupy grupy (Z+, ·5). (1)
5
(b) Dla znalezionych podgrup wykazać, że istnieją ich izomorfizmy z pewnymi gru-
pami (Zm, +m). (2)
(c) Czy osiÄ…gniÄ™te rezultaty można uogólnić na przypadek dowolnej grupy (Zp, · ),
p
gdzie p jest liczbÄ… pierwszÄ…? (2)