Próbny egzamin maturalny z matematyki

1

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy



ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA

POZIOM PODSTAWOWY



Numer

Liczba

Etapy rozwiązania zadania

Uwagi dla egzaminatorów

zadania

punktów

Końce przedziału muszą być

poprawnie ustalone.

1.1 Zapisanie dziedziny funkcji f: 7,

�ł 2 .

1

Akceptujemy zapisy typu:

x ∈ �ł 7, 2 , �ł 7 �ń x �ń 2 .

1

Miejsca zerowe mogą być odczytane

1.2 Podanie miejsc zerowych funkcji: x = �ł , 4 x = .

1

z wykresu, nie wymagamy zapisu

4

stosownych obliczeń.

Naszkicowanie wykresu funkcji



y

8

7

6

1

Jeśli dziedzina została poprawnie

5

wyznaczona, to akceptujemy wykres

1.3

4

1

3

nawet bez wyraźnie oznaczonych

2

końców łamanej.

1

x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

-3



Końce przedziału muszą być

poprawnie ustalone.

1.4 Zapisanie zbioru wartości funkcji: 1,

�ł 7 .

1

Akceptujemy zapisy typu:

y ∈ �ł ,

1 7 , �ł1 �ń y �ń 7 .

Próbny egzamin maturalny z matematyki

2

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





2.1 Obliczenie: Ω = 6� 6 = 36 .

1

Obliczenie A , gdzie A jest zdarzeniem, że utworzona liczba jest 2.2

1

większa od 52: A = 1� 4 +1� 6 = 10 .

Zdający może narysować tabelę

10

5

o wymiarach 6 na 6 i odczytać

2.3 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P( ) A =

=

.

1

rozwiązanie. Za prawidłową

36 18

odpowiedź przyznajemy komplet

punktów.

II sposób rozwiązania (metoda drzewa):



Narysowanie drzewa z zaznaczeniem istotnych gałęzi.

2





2.1

1

5

6

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6



2.2 Zapisanie

prawdopodobieństw na istotnych gałęziach drzewa.

1



Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: 2.3

1 1

1

5

P( )

A =

� � 4 + =

.

1

6 6

6 18

Próbny egzamin maturalny z matematyki

3

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





sin�ą



3.1 Wykorzystanie związku tg�ą =

w przekształcaniu tożsamości.

1

cos�ą

1 sin2

�ł

�ą

Punkt przyznajemy za poprawne

3.2 Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:

.

cos�ą

1

wymnożenie nawiasów na dowolnym

3

etapie rozwiązania tego zadania.

2

2

�ą +

�ą =



3.3 Wykorzystanie związku 1

sin

cos

w przekształcaniu

1

tożsamości.

Sformułowanie wniosku: �śPodana równość jest tożsamością” lub Wniosek musi być konsekwencją

3.4

1

sformułowanie równoważne.

wykonanych przekształceń.

3 ( 7

1+ 2 )

Wystarczy zapis

4

S =

(nie

7

Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: 3

musi być to oddzielny zapis, może

4.1

1

S =

(1 7

+

=

.

1

występować, np. jako jedna ze stron

7

) 129

2

4

4

równania w czynności 4.3).

Zdający nie musi obliczyć wartości

sumy S .

7

4

Zapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 3

Nie musi to być oddzielny zapis, może

4.2

2� + 6 r

1

występować, np. jako jedna ze stron

w zależności od

4

r: S =

�7 .

równania w czynności 4.3.

7

2

3

3

2� + 6

2� + 6

4.3

r

1

r

129

Ułożenie równania z niewiadomą

4

4

r:

�7 = (

7

1+ 2 ) .

1

Może też być:

�7 =

.

2

4

2

4

9



4.4 Rozwiązanie równania: r = .

1

7

Próbny egzamin maturalny z matematyki

4

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





Przyznajemy 1pkt za przedstawienie

metody rozwiązania nierówności

kwadratowej: np. zapisania podanej

5.1 Przekształcenie nierówności do postaci: x( x �ł 4) < 0 .

1

nierówności w postaci: x �ł 2 < 2 lub narysowanie wykresu funkcji

y = ( x �ł 2)2 �ł 4 , itp.

Dopuszczamy przedstawienie zbioru

rozwiązań na osi liczbowej, o ile

5.2 Rozwiązanie nierówności: x ∈ ( , 0 4) .

1

zdający wyraźnie zaznaczy przedział

otwarty.

Lewa strona równania musi mieć

5

5.3 Przedstawienie równania w postaci, np. 2

x ( x + 6) �ł 4( x + 6) = 0 .

1

postać sumy iloczynów, w których

występuje ten sam czynnik.

Przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych, 5.4 np. ( x +6)( x + 2)( x �ł 2) = 0.

1

Przyznajemy punkty w czynności 5.3,

5.4 i 5.5, gdy zdający podaje

wszystkie pierwiastki wielomianu

5.5 Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: x = �ł6, x = �ł2, x = 2 .

1

W ( x)

3

2

= x + 6 x �ł 4 x �ł 24 bez jakichkolwiek obliczeń (np. przez

zastosowanie tw. o pierwiastkach

wymiernych wielomianu).

5.6 Podanie odpowiedzi: x = 2 .

1



Próbny egzamin maturalny z matematyki

5

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





Przyznajemy punkt, gdy z dalszego

6.1 Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .

1

toku rozumowania wynika, że zdający

poprawnie wybrał równe boki trójkąta.

Wystarczy, że zdający poda

6.2 Wyznaczenie równania prostej AB: 5

y = �ł x �ł .

1

współczynnik kierunkowy prostej AB.

Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej Wystarczy, że zdający poda

AB:

6.3

współczynnik kierunkowy prostej

y = x + b .

1

prostopadłej do prostej AB.

6.4 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: 1

y = x �ł .

1



II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej) 6.1 Oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej, 1

np. P = ( x, y) i zapisanie własności AP = BP .

Wyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania: 6

6.2

(

1

x + )2 + ( y + )2 = x + ( y + )2

2

4

1

5 .

Doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z 6.3 dwiema niewiadomymi, np. 8 x + 2 y +17 =10 y + 25.

1

6.4 Zapisanie odpowiedzi: y = x �ł1.

1



III sposób rozwiązania:



6.1 Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .

1

6.2 Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: D = ( 2,

�ł �ł3).

1



Przyznajemy punkt, gdy z toku

Zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty rozumowania wynika, że zdający

6.3

C i D jest osią

1

symetrii trójkąta ABC.

stosując tę metodę poprawnie wybrał

równe boki trójkąta.

6.4 Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: 1

y = x �ł .

1



Próbny egzamin maturalny z matematyki

6

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





Jeśli zdający rozpatruje ostrosłup



prawidłowy inny niż czworokątny, to



oceniamy czynność 7.1, za czynności



7.2 i 7.3 nie przyznajemy punktów.



Pozostałą część rozwiązania tego



zadania oceniamy według schematu.

7.1

H

1





�ą





d

a

7



Obliczenie wysokości ostrosłupa: H = 2 .

Obliczenie długości przekątnej podstawy ostrosłupa: d = 4 3



7.2

1

albo długości krawędzi podstawy: a = 2 6 .

7.3 Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 16 .

1



Oznaczenie długości krawędzi sześcianu, np. b i zapisanie równania: 7.4

1

3

b = 16 .

Zdający może podać wynik w postaci,

7.5 Obliczenie długości krawędzi sześcianu:

3

b = 2 2 .

1

np.

3

b = 16 lub wartość przybliżoną

pierwiastka.

8.1 Obliczenie kapitału końcowego: K = 9�1029 = 9261.

3

1



Zapisanie równania z niewiadomą K – kapitałem początkowym: 0

8

8.2

3

⎛

5 �ś

1

K � 1+

= 9261.

0 �ś

�ź

⎝

100 �

8.3 Obliczenie kwoty K : 8000 zł.

0

1



Próbny egzamin maturalny z matematyki

7

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy



Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku: x = PB , h –wysokość odciętego trójkąta.





C



F





9

9.1

1





h





A

D

P

x

B

Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6 , DB = 12 .

1

1 1



9.2 Zapisanie równania: x � h = � �18�15.

1

2

4 2

Zapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa 9.3

h

15

5

trójkątów CDB i FPB: =

= .

1

x

12

4

9.4 Obliczenie długości odcinka PB: PB = 3 6 cm.

1



Próbny egzamin maturalny z matematyki

8

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





II sposób rozwiązania:



Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku: x = PB , h –wysokość odciętego trójkąta.



C





F





9.1

1





h





A

D

P

x

B



Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków: AD = 6 , DB = 12 .

P

2

2



9.2 Obliczenie proporcji:

DBC

�"

= stąd P

= P

.

�"

�"

1

P

3

DBC

3 ABC

AB

�" C

Stwierdzenie, że DBC

�"

�ź �" PBF i wykorzystanie twierdzenia o



2

P

⎛ 12 �ś

stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: DBC

�"

= �ś

�ź

P

�ś PB �ź

�" PBF

⎝

�

9.3

2

1

2

P AB

�" C

⎛ 12 �ś

stąd 3

= �ś

�ź .

1

�ś PB �ź

P

⎝

�

4 AB

�" C

2



144

9.4 Obliczenie długości odcinka

3

PB :

=

, PB = 3 6 .

1

2

1

PB

4

Próbny egzamin maturalny z matematyki

9

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





III sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4) Stwierdzenie, że DBC

�"

�ź �" PBF i wykorzystanie twierdzenia

o stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: 9.3

2

1

P AB

�" C

P

8

2 6

2

DBC

�"

3

k =

=

= stąd k =

.

P

1

3

3

PBF

�"

P

4 AB

�" C

Obliczenie długości odcinka PB:



9.4

DB =

3

k stąd PB = 12 �

= 3 6 .

1

PB

2 6

�ż100 a +10 b = 20

T

�ż⎪ (10) = 20

10.1 Zapisanie układu: ⎨

.



⎩900

1

Wystarczy zapis ⎨

a + 30 b = 90

T

⎪⎩ (30) = 90

�ż



a = 1

⎪⎪

20

10.2 Rozwiązanie układu: ⎨

.

1

⎪

3

10

⎪ b =

⎩

2

1

Akceptujemy sam wzór bez podania

2

3

10.3 Zapisanie wzoru funkcji: T ( n) =

n +

n, n ∈ N .

1

20

2

założenia n ∈ N .

1



2

3

10.4 Zapisanie równania:

n +

n = 50 .

1

20

2

Zdający nie musi wyznaczyć

10.5 Rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20.

1

ujemnego rozwiązania równania.

Próbny egzamin maturalny z matematyki

10

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





D

C





F





A

B

11.1

1





11





E

Uzasadnienie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są równoramienne (wykorzystanie założenia, że AB = BC = CD = DA i trójkąty AEB oraz BFC są równoboczne).

Obliczenie miary kąta



11.2

DAE lub FCD:

1

DAE =

FCD = 90° + 60° = 150° .

11.3 Obliczenie miary kąta EBF : EBF = 360° �ł 2� 60° �ł 90° = 150° .

1



Zapisanie, że trójkąty



DCF, DAE i EBF są przystające (z cechy 11.4 przystawania bkb) i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta 1

DEF.

Próbny egzamin maturalny z matematyki

11

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy





Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie zależności między liczbą dziewcząt i liczbą chłopców: np.

12.1 x – liczba dziewcząt,

1

y – liczba chłopców,

x �ł 6 = y .



12.2 Zapisanie równania: x = 60%( x + y).

1



�ż x = 0,6( x + y)

12.3 Zapisanie układu równań: ⎨

.

1

⎩ x �ł 6 = y

Rozwiązanie układu i sformułowanie odpowiedzi: Wystarczy, że zdający poda liczby

12.

12.4

1

dziewcząt i chłopców.

x = 18 , 12

y =

. W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców.

II sposób rozwiązania:



Wprowadzenie oznaczeń :

12.1

x – liczba osób w klasie,

1

0,6 x – liczba dziewcząt, 0, 4 x – liczba chłopców.



12.2 Zapisanie równania: 0,6 x �ł 6 = 0, 4 x .

1



12.3 Rozwiązanie równania: x = 30 .

1

12.4 Podanie odpowiedzi: W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców. 1





Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.