ĆWICZENIE NR 19 CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAAÓW ELEKTRYCZNYCH 19.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie zasad cyfrowego przetwarzania sygnałów oraz zalet i wad tego sposobu przetwarzania. 19.2. Teoretyczne podstawy pomiaru 19.2.1. Wprowadzenie Obserwowany w ostatnim dwudziestoleciu szybki rozwój techniki kompute- rowej - zarówno od strony narzędziowej (komputery osobiste o dużej mocy obliczeniowej, cyfrowe procesory sygnałowe DSP, specjalizowane układy scalone ASIC), jak i programowej (algorytm szybkiej transformaty Fouriera) - sprawił, że konwencjonalne metody analogowego przetwarzania sygnałów są zastępowane przetwarzaniem cyfrowym. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (CPS) jest stosowane m.in. do linearyzacji charakterystyk czujników i przeliczania wyników pomiarów na wybrane jednostki techniczne, obliczania parametrów statystycznych i kontroli wiarygodności, całkowania i różniczkowania numerycznego, filtracji cyfrowej, obliczania szybkiej transformaty Fouriera FFT i odwrotnej transformaty Fouriera IFFT, wyznaczania autokorelacji i korelacji wzajemnej, wykreślania histogramu gęstości amplitudowej sygnału. Układy cyfrowe wykazują szereg zalet w stosunku do układów analogowych: nie występują w nich ani dryft parame- trów ani szumy, cechują się wysoką dokładnością oraz zapewniają łatwą zmianę parametrów, np. częstotliwości granicznej i nachylenia charakterystyki filtrów. Do wad układów cyfrowych należy zaliczyć mniejszą szybkość działania i węż- sze pasmo przenoszonych częstotliwości, co wynika głównie z ograniczonej częstotliwości próbkowania przetwornika A/C. Czujniki przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału ciągłego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego 286 szeregu czasowego próbek x(i"t). Następnie - w procesie kwantyzacji - próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa xk(i"t). Sygnał spróbkowany i skwantowany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość i szybkość przetwarzania analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w pomiarach cyfrowych. W oscyloskopach cyfrowych stosuje się szybkie przetworniki o częstotliwości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektórych multimetrach cyfrowych można wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2 cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomiarów na sekundę, a przy rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę. Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w przetworniki 12- bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacznie droższe - do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o częstotliwości 100 kS/s. 19.2.2. Dyskretna transformata Fouriera Sygnały mogą być analizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Gdy sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach, wygodniejszą metodą jest analiza w dziedzinie częstotliwości. Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie Fouriera, jeżeli sygnał spełnia warunki Dirichleta. W przypadku sygnału okresowego otrzymuje się dyskretne widmo częstotliwościowe, a dla sygnału nieokresowego - widmo ciągłe. Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna pomiarowego (wycinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego TW dobierzemy równą okresowi badanego sygnału T i zastosujemy okres próbkowania TS = TW/M, to otrzymamy M próbek o wartościach: x(0), x(TS), x(2TS),... x[(M-1)TS], które pozwolą ułożyć układ M równań, zawierających poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czyli składową stałą a0 = A0 oraz N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze składowych an, bn lub opisanych przez amplitudę An i fazę �n N N x(t) = a0 + cosn�t + bn sin n�t) = A0 + An sin(n�t +�n ) (19.1) "(a " n n=1 n=1 W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się transformując M punktowy ciąg próbek x(mTS) w M punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT) 287 M -1 2Ąnm - j M X = X (nfW ) =S n "x(mT ) �"e = X (0), X ( fW ),..., X[( M - 1) fW ] (19.2) m=0 gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, fW = 1/TW. Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną transformatę Fouriera M -1 2Ąmn j 1 M x(mTS ) = X (nfW ) �" e (19.3) " M n=0 Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy znajomość połowy ciągu X(nfW), gdyż druga połowa składa się z wartości sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0): 1 a0 = A0 = X (0) (19.4) N 12 an = X + X = Re X (19.5) ( ) ( ) n M -n n M M j 2 )= bn = (X - X -n - Im(X ) (19.6) n M n M M 2 An = X (19.7) n M � =- arg X (19.8) ( ) n n gdzie n = 1, 2, ..., N. Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2l, to można zasto- sować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń. Widmo częstotliwościowe sygnału X(nfW) jest przedstawiane w postaci dwóch wykresów: widma amplitudy An(f) i widma fazy �n(f). Rozdzielczość częstotliwościowa tych widm wynosi fW i dla TW = T1 równa się częstotliwości podstawowej harmonicznej fW = 1/T1 = f1. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje całkowitą liczbę p okresów sygnału TW = pT1, to wartość fW = 1/pT1 = f1/p zmniejsza się, czyli gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas pomiar parametrów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna TW = MTS = M/fS można powiększyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie częstotliwości próbkowania fS, przy czym obie te wielkości należy dobierać w ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności TW = p/f1 = M/fS wynika wzór na fS Mf1 fS = = MfW (19.9) p 288 Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej odpowiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicz- nych nie jest możliwy. AB a b c d f f Rys. 19.1. Wpływ szerokości okna pomiarowego na kształt widma: A szerokość okna równa dwóm okresom sygnału, B - szerokość okna równa niecałkowitej liczbie okresów sygnału, a sygnał badany, b wycięty ciąg próbek, c sygnał przyjęty do obliczeń, d wyznaczone widmo 19.2.3. Twierdzenie o próbkowaniu Zgodnie z twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa próbkowanie sygnału nie spowoduje utraty informacji, przenoszonej przez harmoniczne tego sygnału w paśmie od zera do interesującej nas częstotliwości granicznej fg, jeżeli spełnione są dwa warunki: " częstotliwość próbkowania fS jest większa od podwojonej częstotliwości fg, " badany sygnał nie zawiera harmonicznych o częstotliwościach większych od połowy częstotliwości próbkowania. Zwykle stosuje się częstotliwość próbkowania fS = 2fg, gdzie > 1 jest współ- czynnikiem nadpróbkowania. Jeżeli jednak drugi warunek nie jest spełniony, to dowolna harmoniczna o częstotliwości f większej od fS/2 zostanie przetransfor- mowana - bez zmiany amplitudy - na częstotliwość fp w paśmie <0, fS/2) i może zniekształcić harmoniczną niosącą informację 289 f = f - ifS (19.10) p gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność - fS / 2 < f - ifS < fS / 2 (19.11) Pomierzona harmoniczna fp może zatem zawierać w sobie wszystkie harmoniczne określone zależnością f =ą fp + ifS i =12,... (19.12) , Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione grafi- cznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości. Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o częstotliwościach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest odczytywany jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje odbijanie się wyższych harmonicznych od barier ustawionych na częstotliwościach 0 i fS/2. 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -4 -6 czas [ms] Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych An 0 fs/2 fs f Rys. 19.3. Zjawisko odbicia widm 290 W celu uniknięcia nakładania się widm usuwa się z sygnału analogowego harmoniczne o częstotliwościach f > fS/2 za pomocą filtrów dolnoprzepusto- wych, zwanych antyaliazingowymi. Inną metodą jest nadpróbkowanie o współ- czynniku >> 1 (ang. oversampling). Wówczas wartość częstotliwości fS/2 zostaje przesunięta w zakres harmonicznych o znikomej amplitudzie. Tak spróbkowany sygnał można dodatkowo przepuścić przez dolnoprzepustowy filtr cyfrowy i po znacznym zmniejszeniu liczby próbek dokonać szybkiej transformaty Fouriera. Dzięki temu uzyskuje się lepszą rozdzielczość częstotliwościową widma przy krótszym czasie obliczeń. Przykład W cyfrowych przetwornikach dzwięku częstotliwość próbkowania wynosi fS = 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości fg = = 20 kHz daje współczynnik = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dzwięki do 30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od fS/2 = 22,05 kHz do 30 kHz zostaną przekształcone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do |22,05 44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym i zakłócą odtwarzany dzwięk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed próbkowaniem przepuścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy, silnie tłumiący częstotliwości powyżej 22 kHz. Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości "f, zawierającym informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f0, np. dla sygnałów modulowanych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej rozdzielczości widma w paśmie "f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f0, zgodnie ze wzorem (19.9). Minimalnym wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozo- stałych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości wi- dma (fW maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma fg. Wzrost częstotliwości próbkowania fS zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale zmniejsza jego gęstość. 19.2.4. Analiza widmowa sygnału okresowego Przypadek 1 - znamy wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej f1 i numer najwyższej harmonicznej nmax, istotnej z metrologicznego punktu wi- dzenia. Wzory używane w analizie fourierowskiej FFT 291 Tabela 19.1 Nazwa Wzory Wartość minimalna maksymalna Liczba próbek M = 2l e" 2(nmax +1) 4 Mmax Liczba składowych 1 1 N = M -1e" nmax Mmax -1 1 2 2 widma Liczba okresów f1 Mf1 N p = Ent( )= = 1 N nmax fw fs w oknie Częstotliwość Mf1 M M fS = MfW = e" fmax f1 Mf1 p N N próbkowania Rozdzielczość f f1 s fW = = f1 N f1 M p widma Szerokość widma N N fg = NfW = fS = f1 e" fmax f1 Nf1 M p fg Liczba mierzalnych Nfs nMAX = Ent( )= Ent( ) 1 N f1 Mf1 harmonicznych Współczynnik fs M M M = = 2nmax f1 2nmax p 2Nnmax 2nmax nadprókowania Oznaczenia: f1 - częstotliwość podstawowej harmonicznej badanego sygnału, fmax = nmaxf1 czę- stotliwość najwyższej harmonicznej, która wskutek nakładania się widm może zakłócić pomiar Dobieramy taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej nmax (patrz wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego największą wartością rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest fWmax = f1. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na wartość fSmax = Mf1. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego widma fgmax = Nf1. W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy zmniejszyć wartość fW przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M obliczamy kolejno N, p i fS. Najmniejszą gęstość widma fWmin = f1/N uzyskuje się, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy nmax = 1. Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej ani liczby harmonicznych. W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą częstotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką posiadany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i obliczeń prześledzimy na przykładzie. Wykonujemy pomiary dla Mmax = 2048 i fSmax = 100 000 Hz. Sprawdzamy na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału. 292 Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2 notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla najniższej harmonicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsied- nich prążków. Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościach Tabela 19.2 Lp. fS f1- f1 f1+ A1- A1 A1+ fm Am Hz Hz Hz Hz V V V Hz V �ł 1. 100000 0 48,8281 97,6562 1,2031 9,1698 2,8522 439,453 1,4815 2. 884,9553 59,6308 60,0629 60,4950 1,1783 9,6802 1,5695 420,872 1,9973 3. 75,0786 14,9204 14,9571 14,9937 0,4161 9,9728 0,3823 29,6209 1,7514 4. 961,9696 0 60,1231 120,246 8E-06 10,000 2E-05 420,862 2,0000 Obliczamy numer najwyższej harmonicznej nmax, liczbę okresów p i nową częstotliwość próbkowania fS: fm 439,453 nmax = = = 9,000 f1 48,8281 �ł �ł N 2048 2 -1 �ł �ł �ł p = Ent�ł �ł = Ent�ł =113 �ł �ł nmax 9 �ł łł �ł łł Mf1 2048�"48,8281 fS = = = 884,9553 Hz p 113 Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią wię- cej niż 10-3 amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary należy kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f1 zwiększamy gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f1 5 fS = 2 f1 = 2 �" �" 60,0629 = 1,25�" 60,0629 = 75,0786 Hz P 8 Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotli- wości, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika podpróbkowania P = 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej harmonicznej pojawią się harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo małych amplitudach. Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sąsiednich prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f1P 293 A1+ f1P = f1- + f1+ = ( - f1-) A1- + A1+ (19.13) 03823 , = 14,9204 + 14,9937 -14,9204 = 14,9555 Hz ( ) 0,4161+ 0,3823 Rzeczywistą częstotliwość f1 wyznaczamy z zależności f1 = fS - f1P = 75,0786 -14,9555 = 60,1231 Hz (19.14) Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli 19.1: fm 420,872 nmax = = = 7,000 f1 60,1231 M e" 2(nmax +1)= 2(7 +1)=16 = 24 �ł �ł N 16 2 -1 �ł �ł �ł p = Ent�ł �ł = Ent�ł =1 �ł �ł nmax 7 �ł łł �ł łł Mf1 16�" 60,1231 fS = = = 961,9696 Hz p 1 Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarcza- jącą dokładność pomiaru - amplitudy A1- i A1+ są mniejsze od 10-3A1. Rzeczywiste parametry badanego sygnału były: A1 = 10 V, f1 = 60,1230 Hz, A7 = 2 V, f7 = 420,861 Hz. 19.3. Wykonanie ćwiczenia 19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego Układ połączeń G KP PC Monitor p GNO DMM Rys. 19.4. Schemat układu pomiarowego 294 Oznaczenia G generator napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego GNO generator napięcia odkształconego DMM multimetr cyfrowy PC komputer KP karta pomiarowa Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej podać wielkości charakterystyczne. OPROGRAMOWANIE program wykorzystujący program narzędziowy Test- Point umożliwia: - generację cyfrowych sygnałów: sinusoidalnego, poliharmonicznego, trójkątnego i prostokątnego - monitorowanie przebiegów sygnałów i modułów sygnałów, ich widm amplitudowych i fazowych, odwrotnej transformaty Fouriera, przebiegów podstawowej harmonicznej oraz sumy wyższych harmonicznych - pomiar wartości maksymalnej Um sygnału, średniej z jego modułu |U|śr, sku- tecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U1, skutecznej sumy wyższych harmonicznych Uwh, maksymalnej sumy wyższych harmonicznych Uwhm, amplitudy An i częstotliwości fn dowolnej składowej szeregu Fouriera - symulację filtru antyaliazingowego. a) Pomiary gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej Postępowanie podczas pomiaru W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fali polihar- monicznej. Dla zadanych wartości częstotliwości f1 i fmax = nmaxf1 obliczamy minimalną liczbę próbek Mmin = 2(nmax + 1). Dla celów badawczych wybieramy kilkakrotnie większą wartość M = 2l i wyznaczamy liczbę składników szeregu Fouriera N = M/2 1, która jest jednocześnie równa maksymalnej liczbie okresów pmax, jakie można objąć oknem pomiarowym. Pomiary przeprowadzamy dla następujących liczb okresów p: 0,5 pmin = 1, popt = Ent (N/nmax), p = 1,001 popt (w celu zbadania wpływu niecałkowitej liczby okresów na wynik pomiaru), pmax = N i p = N + 2. Zadaną liczbę okresów uzyskujemy przez nastawienie częstotliwości próbkowania fS na wartość obliczoną ze wzoru (19.9) (z dokładnością do 0,0001 Hz). Pozostałe wielkości w tabeli 19.3 295 wyznaczamy doświadczalnie. Podczas pomiarów wygodnie jest posługiwać się kursorem f , sterowanym myszą lub klawiszami ę!,�! łącznie z klawiszem shift lub bez niego. Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f1 badanego sygnału na do- kładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania fS, odpowiadającej popt. Częstotliwość f1 zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %, i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4. Na zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór liczby próbek, niespełniający warunku M = 2l. Zmieniamy liczbę próbek i obli- czamy odpowiadającą jej częstotliwość fS. Po wykonaniu FFT obliczamy rzeczywistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) Mrz = 2(Nrz +1), gdzie Nrz - liczba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny zakres kursora f . Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5. Protokół wyników pomiaru Sygnał fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = fmax = 250 Hz, M = 128, N = pmax = ...... Tabela 19.3 Lp. p fS A1p f1p A2p f2p fWp fgp nMAXp Up Hz V Hz V Hz Hz Hz V �ł �ł �ł 1. 0,5 2. 1 3. 4. 5. 6. Sygnał fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = var, A2 = 3 V, f2 = nmaxf1, M = 128, N = ...... , popt = ...... , fS = .................. Hz Tabela 19.4 Lp. f1 A1p f1p A2p f2p Up Hz V Hz V Hz V �ł 1. 2. 3. 4. 296 Sygnał fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = 250 Hz, p = 8, fW = f1/p = ........ Hz Tabela 19.5 Lp. M fS Mrz A1p f1p A2p f2p fWp fgp Up Hz V Hz V Hz Hz Hz V �ł �ł �ł 1. 96 2. 136 Wzory i przykłady obliczeń Dla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wy- niki są zgodne ze wzorami w tabeli 19.1. Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, fS i M, zapewniających dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i wartości skutecznej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości skutecznej). b) Pomiary gdy nie jest znana wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej Postępowanie podczas pomiaru yródłem sygnału jest generator napięć odkształconych o częstotliwości har- monicznej podstawowej około 50 Hz. W celu uzyskania stabilnej częstotliwości należy go włączyć 20 minut przed rozpoczęciem pomiaru. Najpierw ustawiamy wartość skuteczną pierwszej harmonicznej na 4...5 V i mierzymy jej wartość multimetrem. Następnie dodajemy wyższe harmoniczne o coraz mniejszych amplitudach, tak aby wartość szczytowa sygnału obserwowana na monitorze nie przekroczyła zakresu przetwornika A/C. Pomiary przeprowadzamy według opisu w punkcie 19.2.4 dla przypadku 2. Po ostatnim pomiarze sprawdzamy multimetrem częstotliwość sygnału i porównujemy ją oraz wartość skuteczną pierwszej harmonicznej z wynikami pomiaru. Wyniki notujemy w tabeli 19.6. 297 Protokół wyników pomiaru Sygnał fala sinusoidalna odkształcona: U1 = ...... V, f1 = ........ Hz Tabela 19.6 Lp. fS f1- f1 f1+ A1- A1 A1+ fm Am Hz Hz Hz Hz V V V Hz V �ł 1. 2. 3. 4. Wzory i przykłady obliczeń Podać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów. Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej podstawowej harmonicznej za pomocą multimetru. Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości skutecznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodą analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą. 19.3.2. Badanie zjawiska nakładania się widm Postępowanie podczas pomiaru W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fal sinuso- idalnych. Badamy sygnał złożony z dwóch sinusoid: pierwszej o stałej częstotli- wości f1 i drugiej o regulowanej częstotliwości f2. Po każdej zmianie f2 wykonujemy FFT i odczytujemy z widma amplitudowego częstotliwość f2p i odpowiadający jej numer harmonicznej np. Gdy wyższa harmoniczna nakłada się na pierwszą, obserwujemy czy jej amplituda dodaje się czy odejmuje od amplitudy pierwszej harmonicznej. Dla dwóch ostatnich pomiarów wyznaczamy najbliższe częstotliwości f2, które nakładają się na pierwszą harmoniczną. 298 Protokół wyników pomiaru Sygnał 2 sinusoidy: A1 = 10 V, f1 = 300 Hz, �1 = 90�, A2 = 4 V, f2 = var, �2 = 90�, M = 128, fS = 1600 Hz Tabela 19.7 f2 Hz 600 700 800 900 1000 1300 1400 1500 1600 f2p Hz np �ł Tabela 19.7 cd f2 Hz 1700 1900 2200 2600 2900 3200 3500 f2p Hz np 1 1 �ł Wzory i przykłady obliczeń Należy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f2p dla f2 = 1300 Hz i f2 = 3500 Hz. 19.3.3. Przeciwdziałanie nakładaniu się widm Postępowanie podczas pomiaru Badamy widmo sygnału prostokątnego, bipolarnego o amplitudach ąA i współczynniku wypełnienia w. Amplituda n-tej harmonicznej tego sygnału opisana jest wzorem sinnwĄ An = 4Aw (19.15) nwĄ i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli 100 n > na = (19.16) a sin wĄ Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną częstotliwość próbkowania fS1 nieco większą od 2f5, a następnie - w celu usunię- cia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości fS2 H" naf1, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie fil- tru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butter- 299 wortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej fgr = 0,5 fS1. Przefiltrowany sygnał poddajemy szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania fS1. Protokół wyników pomiaru Sygnał fala prostokątna: A = 10 V, f = 300 Hz, A0 = 6 V, w = 0,2, M = 1024, fS1 = 3200 Hz, fS2 = 102400 Hz Tabela 19.8 Częstotliwość Amplitudy składowych widma Lp składowej teoretyczne bez filtru dla fS1 bez filtru dla fS2 z filtrem dla fS1 Hz V V V V �ł 1. 100 ... 15. 1500 Wzory i przykłady obliczeń Należy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych An, numeru har- monicznej na oraz częstotliwości próbkowań fS1 i fS2. Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu na- kładania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu przypadkach. 19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceń Wykorzystujemy analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształ- ceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć: maksymalnej Um, średniej Uśr, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U1, skutecznej wyższych harmonicznych Uwh i szczytowej przebiegu czasowego sumy wyższych harmonicznych Uwhm obliczamy współczynniki: " współczynnik kształtu k - wzór (23.1) " współczynnik szczytu s - wzór (23.2) " współczynnik niesinusoidalności n - wzór (23.3) " współczynnik zniekształceń harmonicznych THDf - wzór (23.4) " współczynnik zniekształceń harmonicznych THD - wzór (23.5) " współczynnik odkształcenia K - wzór (23.7). Oprogramowanie ćwiczenia zapewnia bezpośredni odczyt mierzonych wartości napięć. Zostały w nim wykorzystane następujące zależności: Um = max um (19.17) 300 ( N +1)/2 2 A2n-1 Uśr = cos� jeżeli A0 = 0 (19.18) " 2n-1 Ą 2n -1 n=1 Uśr = A0 FFT um jeżeli A0 `" 0 (19.19) ( ) N 2 2 1 U = A0 + An (19.20) " 2 n=1 U1 = A1 2 (19.21) 2 2 2 Uwh = U -U1 - A0 (19.22) N �ł �ł Uwhm = max IFFT An (19.23) �ł �ł " �łn=2 łł gdzie um = u(mTS) dla m = 0, 1,..., M-1, An = An[FFT(um)] dla n = 0, 1,..., N. Pomiary wykonujemy dla napięć dostarczanych przez generator napięcia odkształconego GNO i generator napięcia sinusoidalnego G. W pierwszym przypadku ustawiamy wartości skuteczne i kąty fazowe poszczególnych harmo- nicznych oraz liczbę próbek M i częstotliwość próbkowania fS takie, jak w pun- kcie 19.3.1b. W drugim przypadku nastawiamy z pomocą multimetru U = 5 V, f = 50 Hz i obliczamy M oraz fS zakładając, że mamy pomierzyć 50 harmonicz- nych. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 19.9, a wyniki obliczeń - w tabeli 19.10. Protokół wyników pomiaru Tabela 19.9 Um Uśr U U1 Uwh Uwhm Lp. V V V V V V 1. 2. Tabela 19.10 Lp. k s n THDf THD K 1. 2. Wzory i przykłady obliczeń 301 Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń. 19.4. Uwagi o wynikach pomiaru 19.5. Literatura [1] Praca zbiorowa (red. Sydenham P. H.): Podręcznik metrologii. Pod- stawy teoretyczne. Tom I. WKiA, Warszawa 1988 [2] Oppenheim A. V., Schafer R. W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WkiA, Warszawa 1979 [3] PN-EN 61000-4-7: Polska Norma. Kompatybilność elektromagnety- czna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik dotyczący pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. (Projekt normy)