ĆWICZENIE NR
19
CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAA
ÓW
ELEKTRYCZNYCH
19.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie zasad cyfrowego przetwarzania sygnałów
oraz zalet i wad tego sposobu przetwarzania.
19.2. Teoretyczne podstawy pomiaru
19.2.1. Wprowadzenie
Obserwowany w ostatnim dwudziestoleciu szybki rozwój techniki kompute-
rowej - zarówno od strony narzędziowej (komputery osobiste o dużej mocy
obliczeniowej, cyfrowe procesory sygnałowe DSP, specjalizowane układy
scalone ASIC), jak i programowej (algorytm szybkiej transformaty Fouriera) -
sprawił, że konwencjonalne metody analogowego przetwarzania sygnałów są
zastępowane przetwarzaniem cyfrowym. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
(CPS) jest stosowane m.in. do linearyzacji charakterystyk czujników i
przeliczania wyników pomiarów na wybrane jednostki techniczne, obliczania
parametrów statystycznych i kontroli wiarygodności, całkowania i
różniczkowania numerycznego, filtracji cyfrowej, obliczania szybkiej
transformaty Fouriera FFT i odwrotnej transformaty Fouriera IFFT,
wyznaczania autokorelacji i korelacji wzajemnej, wykreślania histogramu
gęstości amplitudowej sygnału. Układy cyfrowe wykazują szereg zalet
w stosunku do układów analogowych: nie występują w nich ani dryft parame-
trów ani szumy, cechują się wysoką dokładnością oraz zapewniają łatwą zmianę
parametrów, np. częstotliwości granicznej i nachylenia charakterystyki filtrów.
Do wad układów cyfrowych należy zaliczyć mniejszą szybkość działania i węż-
sze pasmo przenoszonych częstotliwości, co wynika głównie z ograniczonej
częstotliwości próbkowania przetwornika A/C.
Czujniki przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału
ciągłego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego
286
szeregu czasowego próbek x(i"t). Następnie - w procesie kwantyzacji -
próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa xk(i"t). Sygnał
spróbkowany i skwantowany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość
i szybkość przetwarzania analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w
pomiarach cyfrowych. W oscyloskopach cyfrowych stosuje siÄ™ szybkie
przetworniki o częstotliwości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej
rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektórych multimetrach cyfrowych można
wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2
cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomiarów na sekundę, a przy
rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę.
Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w przetworniki 12-
bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacznie droższe -
do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o częstotliwości
100 kS/s.
19.2.2. Dyskretna transformata Fouriera
Sygnały mogą być analizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Gdy
sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach,
wygodniejszą metodą jest analiza w dziedzinie częstotliwości. Do przejścia z
funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie
Fouriera, jeżeli sygnał spełnia warunki Dirichleta. W przypadku sygnału
okresowego otrzymuje się dyskretne widmo częstotliwościowe, a dla sygnału
nieokresowego - widmo ciągłe.
Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w
skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna
pomiarowego (wycinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego TW
dobierzemy równą okresowi badanego sygnału T i zastosujemy okres
próbkowania TS = TW/M, to otrzymamy M próbek o wartościach: x(0), x(TS),
x(2TS),... x[(M-1)TS], które pozwolą ułożyć układ M równań, zawierających
poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań
możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czyli składową stałą a0 = A0 oraz
N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze składowych an, bn lub opisanych
przez amplitudÄ™ An i fazÄ™ Õn
N N
x(t) = a0 + cosnÉt + bn sin nÉt) = A0 + An sin(nÉt +Õn ) (19.1)
"(a "
n
n=1 n=1
W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się
transformując M punktowy ciąg próbek x(mTS) w M punktowy ciąg dyskretny w
dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT)
 287
M -1 2Ä„nm
- j
M
X = X (nfW ) =S
n "x(mT ) Å"e = X (0), X ( fW ),..., X[( M - 1) fW ] (19.2)
m=0
gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, fW = 1/TW.
Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną
transformatÄ™ Fouriera
M -1 2Ä„mn
j
1
M
x(mTS ) = X (nfW ) Å" e (19.3)
"
M
n=0
Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy
znajomość połowy ciągu X(nfW), gdyż druga połowa składa się z wartości
sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0):
1
a0 = A0 = X (0) (19.4)
N
12
an = X + X = Re X (19.5)
( ) ( )
n M -n n
M M
j 2
)=
bn = (X - X -n - Im(X ) (19.6)
n M n
M M
2
An = X (19.7)
n
M
Õ =- arg X (19.8)
( )
n n
gdzie n = 1, 2, ..., N.
Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2l, to można zasto-
sować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla
M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń.
Widmo częstotliwościowe sygnału X(nfW) jest przedstawiane w postaci
dwóch wykresów: widma amplitudy An(f) i widma fazy Õn(f). Rozdzielczość
częstotliwościowa tych widm wynosi fW i dla TW = T1 równa się częstotliwości
podstawowej harmonicznej fW = 1/T1 = f1. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje
całkowitą liczbę p okresów sygnału TW = pT1, to wartość fW = 1/pT1 = f1/p
zmniejsza się, czyli gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas
pomiar parametrów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna TW = MTS = M/fS
można powiększyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie
częstotliwości próbkowania fS, przy czym obie te wielkości należy dobierać w
ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności TW = p/f1 =
M/fS wynika wzór na fS
Mf1
fS = = MfW (19.9)
p
288
Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie
stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej
odpowiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicz-
nych nie jest możliwy.
AB
a
b
c
d
f f
Rys. 19.1. Wpływ szerokości okna pomiarowego na kształt widma: A  szerokość okna równa
dwóm okresom sygnału, B - szerokość okna równa niecałkowitej liczbie okresów sygnału, a 
sygnał badany, b  wycięty ciąg próbek, c  sygnał przyjęty do obliczeń, d  wyznaczone widmo
19.2.3. Twierdzenie o próbkowaniu
Zgodnie z twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa próbkowanie sygnału nie
spowoduje utraty informacji, przenoszonej przez harmoniczne tego sygnału
w paśmie od zera do interesującej nas częstotliwości granicznej fg, jeżeli
spełnione są dwa warunki:
" częstotliwość próbkowania fS jest większa od podwojonej częstotliwości fg,
" badany sygnał nie zawiera harmonicznych o częstotliwościach większych
od połowy częstotliwości próbkowania.
Zwykle stosuje się częstotliwość próbkowania fS = 2fg, gdzie  > 1 jest współ-
czynnikiem nadpróbkowania. Jeżeli jednak drugi warunek nie jest spełniony, to
dowolna harmoniczna o częstotliwości f większej od fS/2 zostanie przetransfor-
mowana - bez zmiany amplitudy - na częstotliwość fp w paśmie <0, fS/2) i może
zniekształcić harmoniczną niosącą informację
 289
f = f - ifS (19.10)
p
gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność
- fS / 2 < f - ifS < fS / 2 (19.11)
Pomierzona harmoniczna fp może zatem zawierać w sobie wszystkie
harmoniczne określone zależnością
f =Ä… fp + ifS i =12,... (19.12)
,
Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione grafi-
cznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości.
Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o
częstotliwościach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest
odczytywany jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje
odbijanie się wyższych harmonicznych od barier ustawionych na
częstotliwościach 0 i fS/2.
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-4
-6
czas [ms]
Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych
An
0 fs/2 fs f
Rys. 19.3. Zjawisko odbicia widm
290
W celu uniknięcia nakładania się widm usuwa się z sygnału analogowego
harmoniczne o częstotliwościach f > fS/2 za pomocą filtrów dolnoprzepusto-
wych, zwanych antyaliazingowymi. Inną metodą jest nadpróbkowanie o współ-
czynniku  >> 1 (ang. oversampling). Wówczas wartość częstotliwości fS/2
zostaje przesunięta w zakres harmonicznych o znikomej amplitudzie. Tak
spróbkowany sygnał można dodatkowo przepuścić przez dolnoprzepustowy filtr
cyfrowy i po znacznym zmniejszeniu liczby próbek dokonać szybkiej
transformaty Fouriera. Dzięki temu uzyskuje się lepszą rozdzielczość
częstotliwościową widma przy krótszym czasie obliczeń.
Przykład
W cyfrowych przetwornikach dz
więku częstotliwość próbkowania wynosi
fS = 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości fg =
= 20 kHz daje współczynnik  = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dz
więki do
30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od fS/2 = 22,05 kHz do 30 kHz
zostaną przekształcone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do
|22,05  44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym
i zakłócą odtwarzany dz
więk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed
próbkowaniem przepuścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy,
silnie tłumiący częstotliwości powyżej 22 kHz.
Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy
analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości "f, zawierającym
informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f0, np. dla
sygnałów modulowanych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej
rozdzielczości widma w paśmie "f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości
próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f0, zgodnie ze wzorem
(19.9).
Minimalnym wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozo-
stałych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości wi-
dma (fW maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma fg. Wzrost
częstotliwości próbkowania fS zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale
zmniejsza jego gęstość.
19.2.4. Analiza widmowa sygnału okresowego
Przypadek 1 - znamy wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej f1
i numer najwyższej harmonicznej nmax, istotnej z metrologicznego punktu wi-
dzenia.
Wzory używane w analizie fourierowskiej FFT
 291
Tabela 19.1
Nazwa Wzory Wartość
minimalna maksymalna
Liczba próbek
M = 2l e" 2(nmax +1) 4 Mmax
Liczba składowych
1 1
N = M -1e" nmax Mmax -1
1
2
2
widma
Liczba okresów f1 Mf1
N
p = Ent( )= =
1 N
nmax fw fs
w oknie
Częstotliwość Mf1 M
M
fS = MfW = e" fmax f1 Mf1
p N N
próbkowania
Rozdzielczość f f1
s
fW = =
f1 N f1
M p
widma
Szerokość widma N N
fg = NfW = fS = f1 e" fmax
f1 Nf1
M p
fg
Liczba mierzalnych
Nfs
nMAX = Ent( )= Ent( )
1 N
f1 Mf1
harmonicznych
Współczynnik fs M
M M
 = =
2nmax f1 2nmax p 2Nnmax 2nmax
nadprókowania
Oznaczenia: f1 - częstotliwość podstawowej harmonicznej badanego sygnału, fmax = nmaxf1  czę-
stotliwość najwyższej harmonicznej, która wskutek nakładania się widm może zakłócić pomiar
Dobieramy taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników
szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej nmax (patrz
wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego
największą wartością rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest fWmax =
f1. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na
wartość fSmax = Mf1. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego
widma fgmax = Nf1.
W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy
zmniejszyć wartość fW przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M
obliczamy kolejno N, p i fS. Najmniejszą gęstość widma fWmin = f1/N uzyskuje
siÄ™, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy nmax = 1.
Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej
ani liczby harmonicznych.
W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą
częstotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania
najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką
posiadany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i
obliczeń prześledzimy na przykładzie.
Wykonujemy pomiary dla Mmax = 2048 i fSmax = 100 000 Hz. Sprawdzamy
na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału.
292
Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2
notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla
najniższej harmonicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsied-
nich prążków.
Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościach
Tabela 19.2
Lp. fS f1- f1 f1+ A1- A1 A1+ fm Am
Hz Hz Hz Hz V V V Hz V
çÅ‚
1. 100000 0 48,8281 97,6562 1,2031 9,1698 2,8522 439,453 1,4815
2. 884,9553 59,6308 60,0629 60,4950 1,1783 9,6802 1,5695 420,872 1,9973
3. 75,0786 14,9204 14,9571 14,9937 0,4161 9,9728 0,3823 29,6209 1,7514
4. 961,9696 0 60,1231 120,246 8E-06 10,000 2E-05 420,862 2,0000
Obliczamy numer najwyższej harmonicznej nmax, liczbę okresów p i nową
częstotliwość próbkowania fS:
fm 439,453
nmax = = = 9,000
f1 48,8281
ëÅ‚ öÅ‚
N 2048 2 -1
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p = EntìÅ‚ ÷Å‚ = EntëÅ‚ =113
ìÅ‚ ÷Å‚
nmax 9
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Mf1 2048Å"48,8281
fS = = = 884,9553 Hz
p 113
Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią wię-
cej niż 10-3 amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary
należy kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f1
zwiększamy gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy
częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f1
5
fS = 2 f1 = 2 Å" Å" 60,0629 = 1,25Å" 60,0629 = 75,0786 Hz
P
8
Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotli-
wości, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika
podpróbkowania P = 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej
harmonicznej pojawiÄ… siÄ™ harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo
małych amplitudach.
Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sÄ…siednich
prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f1P
 293
A1+
f1P = f1- + f1+ =
( - f1-)
A1- + A1+
(19.13)
03823
,
= 14,9204 + 14,9937 -14,9204 = 14,9555 Hz
( )
0,4161+ 0,3823
Rzeczywistą częstotliwość f1 wyznaczamy z zależności
f1 = fS - f1P = 75,0786 -14,9555 = 60,1231 Hz (19.14)
Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli
19.1:
fm 420,872
nmax = = = 7,000
f1 60,1231
M e" 2(nmax +1)= 2(7 +1)=16 = 24
ëÅ‚ öÅ‚
N 16 2 -1
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p = EntìÅ‚ ÷Å‚ = EntëÅ‚ =1
ìÅ‚ ÷Å‚
nmax 7
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Mf1 16Å" 60,1231
fS = = = 961,9696 Hz
p 1
Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarcza-
jącą dokładność pomiaru - amplitudy A1- i A1+ są mniejsze od 10-3A1.
Rzeczywiste parametry badanego sygnału były: A1 = 10 V, f1 = 60,1230 Hz,
A7 = 2 V, f7 = 420,861 Hz.
19.3. Wykonanie ćwiczenia
19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego
Układ połączeń
G KP PC Monitor
p
GNO DMM
Rys. 19.4. Schemat układu pomiarowego
294
Oznaczenia
G  generator napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego
GNO  generator napięcia odkształconego
DMM  multimetr cyfrowy
PC  komputer
KP  karta pomiarowa
Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej
podać wielkości charakterystyczne.
OPROGRAMOWANIE  program wykorzystujący program narzędziowy Test-
Point umożliwia:
- generację cyfrowych sygnałów: sinusoidalnego, poliharmonicznego,
trójkątnego i prostokątnego
- monitorowanie przebiegów sygnałów i modułów sygnałów, ich widm
amplitudowych i fazowych, odwrotnej transformaty Fouriera, przebiegów
podstawowej harmonicznej oraz sumy wyższych harmonicznych
- pomiar wartości maksymalnej Um sygnału, średniej z jego modułu |U|śr, sku-
tecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U1, skutecznej sumy
wyższych harmonicznych Uwh, maksymalnej sumy wyższych
harmonicznych Uwhm, amplitudy An i częstotliwości fn dowolnej składowej
szeregu Fouriera
- symulacjÄ™ filtru antyaliazingowego.
a) Pomiary gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej
harmonicznej
Postępowanie podczas pomiaru
W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fali polihar-
monicznej. Dla zadanych wartości częstotliwości f1 i fmax = nmaxf1 obliczamy
minimalną liczbę próbek Mmin = 2(nmax + 1). Dla celów badawczych wybieramy
kilkakrotnie większą wartość M = 2l i wyznaczamy liczbę składników szeregu
Fouriera N = M/2  1, która jest jednocześnie równa maksymalnej liczbie
okresów pmax, jakie można objąć oknem pomiarowym. Pomiary
przeprowadzamy dla następujących liczb okresów p: 0,5 pmin = 1, popt = Ent
(N/nmax), p = 1,001 popt (w celu zbadania wpływu niecałkowitej liczby okresów
na wynik pomiaru), pmax = N i p = N + 2. Zadaną liczbę okresów uzyskujemy
przez nastawienie częstotliwości próbkowania fS na wartość obliczoną ze wzoru
(19.9) (z dokładnością do 0,0001 Hz). Pozostałe wielkości w tabeli 19.3
 295
wyznaczamy doświadczalnie. Podczas pomiarów wygodnie jest posługiwać się
 kursorem f  , sterowanym myszÄ… lub klawiszami Ä™!,“! Å‚Ä…cznie z klawiszem
 shift lub bez niego.
Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f1 badanego sygnału na do-
kładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania
fS, odpowiadającej popt. Częstotliwość f1 zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %,
i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4.
Na zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór
liczby próbek, niespełniający warunku M = 2l. Zmieniamy liczbę próbek i obli-
czamy odpowiadającą jej częstotliwość fS. Po wykonaniu FFT obliczamy
rzeczywistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) Mrz = 2(Nrz +1),
gdzie Nrz - liczba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny
zakres  kursora f  . Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5.
Protokół wyników pomiaru
Sygnał  fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = fmax = 250 Hz, M = 128,
N = pmax = ......
Tabela 19.3
Lp. p fS A1p f1p A2p f2p fWp fgp nMAXp Up
Hz V Hz V Hz Hz Hz V
çÅ‚ çÅ‚ çÅ‚
1. 0,5
2. 1
3.
4.
5.
6.
Sygnał  fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = var, A2 = 3 V, f2 = nmaxf1, M = 128, N = ...... ,
popt = ...... , fS = .................. Hz
Tabela 19.4
Lp. f1 A1p f1p A2p f2p Up
Hz V Hz V Hz V
çÅ‚
1.
2.
3.
4.
296
Sygnał  fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = 250 Hz, p = 8,
fW = f1/p = ........ Hz
Tabela 19.5
Lp. M fS Mrz A1p f1p A2p f2p fWp fgp Up
Hz V Hz V Hz Hz Hz V
çÅ‚ çÅ‚ çÅ‚
1. 96
2. 136
Wzory i przykłady obliczeń
Dla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wy-
niki sÄ… zgodne ze wzorami w tabeli 19.1.
Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, fS i M,
zapewniających dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i
wartości skutecznej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości
skutecznej).
b) Pomiary gdy nie jest znana wartość częstotliwości podstawowej
harmonicznej
Postępowanie podczas pomiaru
y
ródłem sygnału jest generator napięć odkształconych o częstotliwości har-
monicznej podstawowej około 50 Hz. W celu uzyskania stabilnej częstotliwości
należy go włączyć 20 minut przed rozpoczęciem pomiaru. Najpierw ustawiamy
wartość skuteczną pierwszej harmonicznej na 4...5 V i mierzymy jej wartość
multimetrem. Następnie dodajemy wyższe harmoniczne o coraz mniejszych
amplitudach, tak aby wartość szczytowa sygnału  obserwowana na monitorze 
nie przekroczyła zakresu przetwornika A/C. Pomiary przeprowadzamy według
opisu w punkcie 19.2.4 dla przypadku 2. Po ostatnim pomiarze sprawdzamy
multimetrem częstotliwość sygnału i porównujemy ją oraz wartość skuteczną
pierwszej harmonicznej z wynikami pomiaru. Wyniki notujemy w tabeli 19.6.
 297
Protokół wyników pomiaru
Sygnał  fala sinusoidalna odkształcona: U1 = ...... V, f1 = ........ Hz
Tabela 19.6
Lp. fS f1- f1 f1+ A1- A1 A1+ fm Am
Hz Hz Hz Hz V V V Hz V
çÅ‚
1.
2.
3.
4.
Wzory i przykłady obliczeń
Podać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów.
Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej
podstawowej harmonicznej za pomocÄ… multimetru.
Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości
skutecznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodÄ…
analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą.
19.3.2. Badanie zjawiska nakładania się widm
Postępowanie podczas pomiaru
W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fal sinuso-
idalnych. Badamy sygnał złożony z dwóch sinusoid: pierwszej o stałej częstotli-
wości f1 i drugiej o regulowanej częstotliwości f2. Po każdej zmianie f2
wykonujemy FFT i odczytujemy z widma amplitudowego częstotliwość f2p i
odpowiadający jej numer harmonicznej np. Gdy wyższa harmoniczna nakłada
siÄ™ na pierwszÄ…, obserwujemy czy jej amplituda dodaje siÄ™ czy odejmuje od
amplitudy pierwszej harmonicznej. Dla dwóch ostatnich pomiarów
wyznaczamy najbliższe częstotliwości f2, które nakładają się na pierwszą
harmonicznÄ….
298
Protokół wyników pomiaru
SygnaÅ‚  2 sinusoidy: A1 = 10 V, f1 = 300 Hz, Õ1 = 90°, A2 = 4 V, f2 = var, Õ2 = 90°, M = 128,
fS = 1600 Hz
Tabela 19.7
f2 Hz 600 700 800 900 1000 1300 1400 1500 1600
f2p Hz
np
çÅ‚
Tabela 19.7 cd
f2 Hz 1700 1900 2200 2600 2900 3200 3500
f2p Hz
np 1 1
çÅ‚
Wzory i przykłady obliczeń
Należy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f2p dla
f2 = 1300 Hz i f2 = 3500 Hz.
19.3.3. Przeciwdziałanie nakładaniu się widm
Postępowanie podczas pomiaru
Badamy widmo sygnału prostokątnego, bipolarnego o amplitudach ąA
i współczynniku wypełnienia w. Amplituda n-tej harmonicznej tego sygnału
opisana jest wzorem
sinnwĄ
An = 4Aw (19.15)
nwĄ
i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli
100
n > na = (19.16)
a sin wĄ
Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną
częstotliwość próbkowania fS1 nieco większą od 2f5, a następnie - w celu usunię-
cia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości
fS2 H" naf1, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie fil-
tru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butter-
 299
wortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej fgr = 0,5 fS1. Przefiltrowany sygnał
poddajemy szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania fS1.
Protokół wyników pomiaru
Sygnał  fala prostokątna: A = 10 V, f = 300 Hz, A0 = 6 V, w = 0,2, M = 1024, fS1 = 3200 Hz,
fS2 = 102400 Hz
Tabela 19.8
Częstotliwość Amplitudy składowych widma
Lp
składowej teoretyczne bez filtru dla fS1 bez filtru dla fS2 z filtrem dla fS1
Hz V V V V
çÅ‚
1. 100
...
15. 1500
Wzory i przykłady obliczeń
Należy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych An, numeru har-
monicznej na oraz częstotliwości próbkowań fS1 i fS2.
Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu na-
kładania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu
przypadkach.
19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceń
Wykorzystujemy analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształ-
ceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć:
maksymalnej Um, średniej Uśr, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej
U1, skutecznej wyższych harmonicznych Uwh i szczytowej przebiegu czasowego
sumy wyższych harmonicznych Uwhm obliczamy współczynniki:
" współczynnik kształtu k - wzór (23.1)
" współczynnik szczytu s - wzór (23.2)
" współczynnik niesinusoidalności n - wzór (23.3)
" współczynnik zniekształceń harmonicznych THDf - wzór (23.4)
" współczynnik zniekształceń harmonicznych THD - wzór (23.5)
" współczynnik odkształcenia K - wzór (23.7).
Oprogramowanie ćwiczenia zapewnia bezpośredni odczyt mierzonych wartości
napięć. Zostały w nim wykorzystane następujące zależności:
Um = max um (19.17)
300
( N +1)/2
2 A2n-1
UÅ›r = cosÕ jeżeli A0 = 0 (19.18)
" 2n-1
Ä„ 2n -1
n=1
Uśr = A0 FFT um jeżeli A0 `" 0 (19.19)
( )
N
2 2
1
U = A0 + An (19.20)
"
2
n=1
U1 = A1 2 (19.21)
2 2 2
Uwh = U -U1 - A0 (19.22)
N
ëÅ‚ öÅ‚
Uwhm = max IFFT An (19.23)
ìÅ‚ ÷Å‚
"
íÅ‚n=2 Å‚Å‚
gdzie um = u(mTS) dla m = 0, 1,..., M-1, An = An[FFT(um)] dla n = 0, 1,..., N.
Pomiary wykonujemy dla napięć dostarczanych przez generator napięcia
odkształconego GNO i generator napięcia sinusoidalnego G. W pierwszym
przypadku ustawiamy wartości skuteczne i kąty fazowe poszczególnych harmo-
nicznych oraz liczbę próbek M i częstotliwość próbkowania fS takie, jak w pun-
kcie 19.3.1b. W drugim przypadku nastawiamy z pomocÄ… multimetru U = 5 V,
f = 50 Hz i obliczamy M oraz fS zakładając, że mamy pomierzyć 50 harmonicz-
nych. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 19.9, a wyniki obliczeń - w tabeli
19.10.
Protokół wyników pomiaru
Tabela 19.9
Um Uśr U U1 Uwh Uwhm
Lp.
V V V V V V
1.
2.
Tabela 19.10
Lp. k s n THDf THD K
1.
2.
Wzory i przykłady obliczeń
 301
Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń.
19.4. Uwagi o wynikach pomiaru
19.5. Literatura
[1] Praca zbiorowa (red. Sydenham P. H.): Podręcznik metrologii. Pod-
stawy teoretyczne. Tom I. WKiA
, Warszawa 1988
[2] Oppenheim A. V., Schafer R. W.: Cyfrowe przetwarzanie
sygnałów. WkiA
, Warszawa 1979
[3] PN-EN 61000-4-7: Polska Norma. Kompatybilność elektromagnety-
czna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik
dotyczący pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz
stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci
zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. (Projekt normy)