Przykładowe zadania z Metod numerycznych
Kolokwium 1
1. Dana jest 8. bitowa liczba stałoprzecinkowa (zapis binarny ze znakiem): 0.0111000
podać dokładność zapisu.
îÅ‚-1
Å‚Å‚
2. Jakie właściwości ma odwzorowanie dla macierzy: 0.5 0.5 . Narysować obraz wektora w tym
y = Ax îÅ‚ Å‚Å‚
x =
A =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0.5 0.5śł
1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
odwzorowaniu.
2
3. Narysować poziomice funkcji . W punkcie (1,1) wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do funkcji.
y = 4(x1 - 2)2 + 2x2
Narysować rzut płaszczyzny stycznej na płaszczyznę ( ). W punkcie (1,0) wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do
x1, x2
funkcji.
Kolokwium 2
1. Dla równania: -16 = 0
zapisać algorytm iteracyjny Newtona-Raphsona oraz wyznaczyć przedział zbieżności algorytmu.
x4
2. Dla równania iteracyjnego: wyznaczyć przedział zbieżności i narysować kilka punktów początkowych
5
xk+1 = + 2
(xk )3
algorytmu.
3. Narysować przykłady algorytmu: monotonicznie zbieżnego, monotonicznie rozbieżnego, periodycznie zbieżnego,
periodycznie rozbieżnego, periodycznego.
Kolokwium 3
1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań Ax=b dla
1 2 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚4 ïÅ‚20śł
A = 0 2śł, b =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚5 6 5śł ïÅ‚ 6 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
oraz wyznaczyć macierz odwrotną.
2. Wyznaczyć algorytm Newtona-Raphsona dla układu równań: y2 + (x +1)2 = 9
x2 + ( y + 5)2 = 4
podać interpretację geometryczną rozwiązania.
Kolokwium 4
1. Wyznaczyć funkcję aproksymującą f (x) = a1 f1(x) + a2 f2 (x) dla następujących punktów
X
-Ä„ 2 -Ä„ 3 Ä„ 3 Ä„ 2
Y -3 -10 20 3
3
i funkcji bazowych
f1(x) = x, f2(x) = sin(x)
Ä„
2. Dla funkcji aproksymujÄ…cej
f (x) i punktów (X,Y) wyznaczyć błąd średniokwadratowy.
Kolokwium 5
"
4 1 2
1. Omówić właściwości algorytmu:
yn+1 = yn - yn-1 + h yn+1
3 3 3
2. Podać geometryczną interpretację rozwiązania równania różniczkowego w punkcie y(tn+1) stosując następującą metodę:
1 2 3 3
yn+1 = yn + É1 + É2 , É1 = h f (yn ,tn ) É2 = h f (yn + É1, tn + h )
3 3 4 4
3. Wyznaczyć numeryczne kilka punktów rozwiązania (dowolną metodą) równania różniczkowego
&&
y = t2 . Dobrać prawidłowo krok całkowania h, aby metoda była stabilna.
Kolokwium 6
1. Omówić zasadę metody simpleks i podstawowe operacje na simpleksie:
* odbicie symetryczne
* wyznaczanie środka ciężkości
* ekspansjÄ™
* kontrakcjÄ™
* kurczenie simpleksu
2. Wyznaczyć zbiory kierunków dopuszczalnych w punkcie X0 dla ograniczeń :
{ x1 e" 0 , x2 e" 0 , x2 d" - (x1  1)3 } X0 = [ 0 0 ]T X0 = [ 0 1 ]T
{ x2 d" - (x1  1)3 + , x2 e" 0 } X0 = [ 0 1 ]T
3. Wyznaczyć zbiory kierunków poprawy w punkcie X0 dla następujących funkcji :
f(x) = (x1  1)2 + 3x22 - 6x2
f(x) = x1 - 2x22
f(x) = x12 - x22
X0 = [ 0 0 ]T X0 = [ 0 1 ]T X0 = [ 1 0 ]T X0 = [ 1 1 ]T