CaÃlka Riemanna

PoprawiÃlem 21 lipca 2014 r, godz 1:27

Przypomnijmy definicje

,

Definicja 10.1 (

funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna

)

Funkcja f : [a, b] −→ IR jest caÃlkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje taka liczba rzeczywista I , ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba

δ > 0 , ˙ze je˙zeli dla i = 1, 2, . . . , n zachodza

,

nier´owno´sci

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= b , x

i−1

≤ t

i

≤ x

i

oraz x

i

− x

i−1

< δ ,

to zachodzi te˙z nier´owno´s´c

¯

¯

¯

¯I −

µ

f (t

1

)(x

1

− x

0

) + f (t

2

)(x

2

− x

1

) + . . . + f (t

n

)(x

n

− x

n−1

)

¶¯

¯

¯

¯ < ε .

Liczba I nazywana jest wtedy caÃlka

,

Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oz-

naczana symbolem

R

b

a

f (x)dx .

Z tej definicji wynika Ãlatwo, ˙ze funkcja f caÃlkowalna w sensie Riemanna jest

ograniczona. Je´sli ustalimy punkty a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= b

dostatecznie drobnego podziaÃlu przedziaÃlu [a, b] , to zmieniaja

,

c odpowiednio punkt

t

i

mo˙zemy dowolnie zwie

,

kszy´c warto´s´c bezwzgle

,

dna

,

skÃladnika f (t

i

)(x

i

− x

i−1

) za-

chowuja

,

c jednocze´snie wszystkie inne punkty (funkcja nieograniczona na caÃlym prze-

dziale [x

0

, x

n

] musi by´c nieograniczona na co najmniej jednym z przedziaÃl´ow [x

0

, x

1

] ,

[x

1

, x

2

] ,. . . , [x

n−1

, x

n

] ). Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze zachodzi

Twierdzenie 10.2 (

o ograniczono´

sci funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna

)

Funkcja caÃlkowalna w sensie Riemanna jest ograniczona.

Niestety istnieja

,

funkcje ograniczone, kt´ore caÃlkowalne w sensie Riemanna nie

sa

,

. Przyja

,

wszy np.

f (x) =

½

1, je´sli x ∈ Q ;
0, je´sli x /

∈ Q .

otrzymujemy funkcje

,

niecaÃlkowalna

,

w sensie Riemanna, bo wybieraja

,

c wymierne

t

1

, . . . , t

n

otrzymujemy

f (t

1

)(x

1

− x

0

) + f (t

2

)(x

2

− x

1

) + . . . + f (t

n

)(x

n

− x

n−1

) = b − a ,

za´s dla niewymiernych t

1

, . . . , t

n

otrzymujemy

f (t

1

)(x

1

− x

0

) + f (t

2

)(x

2

− x

1

) + . . . + f (t

n

)(x

n

− x

n−1

) = 0

niezale˙znie od tego jak drobno podzielony zostaÃl przedziaÃl [a, b] . Nie ma wie

,

c kandy-

data na caÃlke

,

. SformuÃlujemy i udowodnimy twierdzenie charakteryzuja

,

ce funkcje

caÃlkowalne w sensie Riemanna, ale musi to by´c poprzedzone definicja

,

uog´olniaja

,

ca

,

1

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

poje

,

cie dÃlugo´sci przedziaÃlu i kilkoma twierdzeniami na ten temat. Zaczniemy od

dowodu bardzo wa˙znego twierdzenia o pokryciach przedziaÃlu domknie

,

tego przedzia-

Ãlami otwartymi.

Twierdzenie 10.3 (

o liczbie Lebesgue’a

)

Je´sli {I

t

:

t ∈ T } jest pewna

,

rodzina

,

przedziaÃl´ow otwartych, kt´ora pokrywa prze-

dziaÃl domknie

,

ty [a, b] , tzn.

[

t∈T

I

t

⊃ [a, b] , to istnieje liczba λ > 0 taka, ˙ze je´sli

zbi´or A ⊂ [a, b] ma ´srednice

,

mniejsza

,

lub r´owna ni˙z λ (czyli odlegÃlo´s´c ka˙zdych

dw´och punkt´ow zbioru A jest mniejsza lub r´owna λ ), to istnieje t(A) ∈ T takie, ˙ze

A ⊂ I

t(A)

(maÃly zbi´or musi by´c zawarty w jakim´s, niekoniecznie jednym, elemencie

pokrycia przedziaÃlami otwartymi).

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze teza nie jest prawdziwa. Wtedy dla ka˙zdej liczby naturalnej

n istnieje zbi´or A

n

, kt´ory nie jest zawarty w ˙zadnym z przedziaÃl´ow I

t

i kt´orego

´srednica jest mniejsza ni˙z

1

n

. Niech a

n

∈ A

n

. Z cia

,

gu (a

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g

zbie˙zny (a

n

k

) . Niech p = lim

k→∞

a

n

k

. Niech p ∈ I

t(p)

— taki numer t(p) istnieje,

bo

[

t∈T

I

t

⊃ [a, b] 3 p . Poniewa˙z I

(t(p))

jest przedziaÃlem otwartym, wie

,

c istnieje

liczba δ > 0 taka, ˙ze (p − δ, p + δ) ⊂ I

t(p)

. Dla dostatecznie du˙zych k mamy

a

n

k

∈ (p−

δ
2

, p+

δ
2

) . Sta

,

d jednak wynika, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ A

n

k

zachodzi nier´owno´s´c

|x − p| ≤ |x − a

n

k

| + |a

n

k

− p| <

1

n

k

+

δ
2

. Oczywi´scie dla dostatecznie du˙zych k

zachodzi te˙z nier´owno´s´c

1

n

k

<

δ
2

i wobec tego |x − p| < δ . To jednak oznacza, ˙ze

A

n

k

⊂ (p − δ, p + δ) ⊂ I

t(p)

wbrew temu, ˙ze zbi´or A

n

k

nie jest zawarty w ˙zadnym

z przedziaÃl´ow I

t

. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Uwaga 10.4 W dowodzie wykorzystywali´smy jedynie jedna

,

wÃlasno´s´c przedziaÃlu

domknie

,

tego, mianowicie to, ˙ze z ka˙zdego cia

,

gu punkt´ow przedziaÃlu domknie

,

tego

mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do granicy znajduja

,

cej sie

,

w tym przedziale. WÃlas-

no´s´c ta nie przysÃluguje przedziaÃlom otwartym, np. z cia

,

gu (

1

n+10

) punkt´ow prze-

dziaÃlu (0, 1) nie da sie

,

wybra´c podcia

,

gu zbie˙znego do granicy le˙za

,

cej w przedziale

(0, 1) , bowiem cia

,

g ten jest zbie˙zny do punktu 0 /

∈ [0, 1] . Jest jasne, ˙ze zamiast

przedziaÃlu domknie

,

tego mo˙zna rozpatrywa´c dowolny zwarty podzbi´or prostej.

Przypomnijmy, ˙ze zbiory zwarte mo˙zna scharakteryzowa´c np. tak, jak w twier-

dzeniu poni˙zej.

Twierdzenie 10.5 (

charakteryzuja

,

ce podzbiory zwarte

R )

Zbi´or C ⊂ R jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i gdy jego

dopeÃlnienie R \ C jest suma

,

pewnej rodziny przedziaÃl´ow otwartych.

2

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

Z tekstu zawartego w uwadze po dowodzie twierdzenia o liczbie Lebesgue’a

wynika od razu, ˙ze prawdziwe jest

Twierdzenie 10.6 (

o liczbie Lebesgue’a dla zbioru zwartego

)

Je´sli {I

t

:

t ∈ T } jest pewna

,

rodzina

,

przedziaÃl´ow otwartych, kt´ora pokrywa zbi´or

zwarty C , tzn.

[

t∈T

I

t

⊃ C , to istnieje liczba λ > 0 taka, ˙ze je´sli zbi´or A ⊂ C ma

´srednice

,

mniejsza

,

lub r´owna ni˙z λ (czyli odlegÃlo´s´c ka˙zdych dw´och punkt´ow zbioru

A jest mniejsza lub r´owna λ ), to istnieje t(A) ∈ T takie, ˙ze A ⊂ I

t(A)

(maÃly zbi´or

musi by´c zawarty w jakim´s, niekoniecznie jednym, elemencie pokrycia przedziaÃlami

otwartymi).

Definicja 10.7 (

liczby Lebesgue’a

)

Liczba λ , o kt´orej m´owi powy˙zsze twierdzenie Lebesgue’a nazywana jest liczba

,

Lebesgue’a pokrycia {I

t

:

t ∈ T } (nie jest wie

,

c ona zdefiniowana jednoznacznie,

ka˙zda liczba dodatnia mniejsza od niej te˙z jest liczba

,

Lebesgue’a).

Z naste

,

pnego twierdzenia korzysta´c nie be

,

dziemy, jednak wÃla

,

czone jest do tekstu,

bo jest bardzo popularne i cze

,

sto u˙zywane.

Twierdzenie 10.8 (

Heinego-Borela o pokryciach sko´

nczonych

)

Je´sli {I

t

:

t ∈ T } jest pewna

,

rodzina

,

przedziaÃl´ow otwartych pokrywaja

,

ca

,

przedziaÃl

domknie

,

ty [a, b] , tzn.

[

t∈T

I

t

⊃ [a, b] , to istnieje taki zbi´or sko´

nczony T

0

⊂ T , ˙ze

[

t∈T

0

I

t

⊃ [a, b]

czyli z ka˙zdego pokrycia przedziaÃlu domknie

,

tego przedziaÃlami otwartymi mo˙zna wy-

bra´c podpokrycie sko´

nczone tego przedziaÃlu.

Dow´

od. Niech λ oznacza liczbe

,

Lebesgue’a pokrycia {I

t

:

t ∈ T } i niech n >

b−a

λ

be

,

dzie liczba

,

naturalna

,

. Niech x

i

= a +

i

n

(b − a) dla i = 0, 1, . . . , n . Z twierdzenia

o liczbie Lebesgue’a wynika, ˙ze dla ka˙zdego z przedziaÃl´ow [x

i−1

, x

i

] istnieje t(i) ∈ T

takie, ˙ze [x

i−1

, x

i

] ⊂ I

t(i)

dla i = 1, 2, . . . , n . Sta

,

d wynika, ˙ze [a, b] ⊂

n

[

i=1

I

t(i)

, co

ko´

nczy dow´od.

Definicja 10.9 (

dowolnie d lugiej sumy liczb nieujemnych

)

Niech A = {a

t

:

t ∈ T } oznacza pewien zbi´or zÃlo˙zony z liczb nieujemnych. Piszemy

X

A =

X

t∈T

a

t

= sup

n X

t∈ ˜

T

a

t

:

˜

T ⊂ T,

˜

T –zbi´or sko´

nczony

o

3

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

M´owia

,

c sÃlowami (niedokÃladnie!): suma dowolnego zbioru liczb dodatnich r´owna jest

kresowi g´ornemu sum sko´

nczenie wielu jego element´ow. NiedokÃladno´s´c polega na

tym, ˙ze sumujemy nie elementy zbioru liczbowego, lecz indeksowane elementy. Je´sli

jaka´s liczba jest przypisana np. trzem r´o˙znym indeksom t , to liczymy ja

,

trzy razy,

a nie raz jakby to miaÃlo miejsce w przypadku sumowania element´ow zbioru.

Jasne jest, ˙ze je´sli T oznacza zbi´or zÃlo˙zony z kolejnych liczb caÃlkowitych wie

,

k-

szych od k − 1 , to

X

t∈T

a

t

jest po prostu suma

,

szeregu

∞

X

n=k

a

n

, wie

,

c obecna definicja

ma jedynie rozszerzy´c zakres poprzedniej, kt´ora wymagaÃla uporza

,

dkowania zbioru

numer´ow liczb dodawanych.

Stwierdzenie 10.10 (

o liczbie sk ladnik´

ow sumy sko´

nczonej

)

Je´sli

X

t∈T

a

t

< ∞ , to zbi´or indeks´ow t ∈ T :

a

t

> 0 jest sko´

nczony lub co najwy˙zej

przeliczalny: card({t ∈ T :

a

t

> 0}) ≤ ℵ

0

.*

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy dla pewnej liczby naturalnej n zbi´or

T

n

:= {t ∈ T :

a

t

≥

1

n

} musi by´c nieprzeliczalny, wie

,

c tym bardziej niesko´

nczony,

bo {t ∈ T :

a

t

> 0} =

S

∞
n=1

T

n

.Wtedy jednak +∞ ≤

P

t∈T

n

≤

P

t∈T

a

t

, wbrew

zaÃlo˙zeniu.

Stwierdzenie 10.11 (

banalne o d lugo´

sci przedzia lu

)

Je´sli dla ka˙zdego t ∈ T symbol I

t

oznacza przedziaÃl dodatniej dÃlugo´sci o ko´

ncach

a

t

i b

t

oraz

[

t∈T

I

t

⊃ [a, b] , to

X

t∈T

(b

t

− a

t

) ≥ b − a .**

Dow´

od. Wystarczy dowie´s´c, ˙ze teza ma miejsce w przypadku b − a < ∞ , bo

p´oÃlprosta i prosta moga

,

by´c przedstawione w postaci sumy wste

,

puja

,

cego cia

,

gu prze-

dziaÃl´ow sko´

nczonych. Mo˙zemy w tym przypadku zaÃlo˙zy´c, ˙ze

X

t∈T

(b

t

− a

t

) < ∞ , bo

w przypadku przeciwnym nic do dowodu nie ma. Je´sli ta suma jest sko´

nczona, to

zbi´or T jest co najwy˙zej przeliczalny (poprzednie stwierdzenie). ZaÃl´o˙zmy ˙ze jest on

zbiorem liczb naturalnych. Niech ε > 0 oznacza dowolna

,

liczbe

,

dodatnia

,

. Niech

J

n

= (a

n

−

ε

2

n+2

, b

n

+

ε

2

n+2

) . Jasne jest, ˙ze

X

n

¡

b

n

+

ε

2

n+2

− (a

n

−

ε

2

n+2

)

¢

= ε +

X

n

(b

n

− a

n

) .

Wobec tego, ˙ze ε oznacza dowolna

,

liczbe

,

dodatnia

,

wystarczy wykaza´c teze

,

dla

*

symbol card(A) oznacza liczbe, element´ow zbioru A , czyli jego moc, u˙zywane na innych przedmiotach

oznaczenie |A| oznacza´

c be,dzie ju˙z niedÃlugo miare, zbioru.

**

Nie precyzujemy czy przedziaÃly sa, otwarte domknie,te, czy otwarto–domknie,te, czy sko´nczone, czy

niesko´

nczone, a

t

oznacza lewy koniec, b

t

— prawy.

4

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

rodziny {J

n

} : je´sli ε +

X

n

(b

n

− a

n

) ≥ b − a dla ka˙zdego ε > 0 , to r´ownie˙z

X

n

(b

n

− a

n

) ≥ b − a .

PrzedziaÃly J

n

sa

,

otwarte, wie

,

c istnieje taka liczba λ > 0 , ˙ze ka˙zdy przedziaÃl

o dÃlugo´sci mniejszej ni˙z λ jest zawarty w pewnym przedziale J

n

. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

a = x

0

< x

1

< . . . < x

m−1

< x

m

= b oznaczaja

,

takie punkty, ˙ze x

i

− x

i−1

< λ dla

i = 1, 2 . . . , m . Dla ka˙zdego i wybieramy numer n(i) w tak, ˙ze [x

i−1

, x

i

] ⊂ J

n(i)

.

Wyka˙zemy, ˙ze suma dÃlugo´sci przedziaÃl´ow J

n(1)

, J

n(2)

, . . . , J

n(m)

jest wie

,

ksza ni˙z

b − a , z czego teza wyniknie od razu.

Mamy [x

0

, x

1

] ⊆ J

n(1)

. Niech i

1

be

,

dzie najwie

,

ksza

,

z tych liczb i , dla kt´orych

[x

0

, x

i

] ⊆ J

n(1)

. Poniewa˙z J

n(1)

jest przedziaÃlem, wie

,

c punkty x

i

dla i > i

1

zna-

jduja

,

sie

,

poza J

n(1)

. Oczywi´scie [x

i

1

, x

i

1

+1

] ⊂ J

n(i

1

+1)

. Niech teraz i

2

be

,

dzie

najwie

,

kszym numerem takim, ˙ze [x

i

1

, x

i

2

] ⊂ J

n(i

1

+1)

. Tak jak poprzednio dla

i > i

2

punkt x

i

znajduje sie

,

poza przedziaÃlem J

n(i

1

+1)

. Definiuja

,

c kolejno numery

0 = i

0

, i

1

, i

2

,. . . , i

k

otrzymujemy cia

,

g numer´ow taki, ˙ze [x

i

j−1

, x

i

j

] ⊂ J

n(i

j−1

+1)

,

i

k

= m , x

i

j

+1

/

∈ J

n(i

j−1

+1)

. Wobec tego liczby n(i

0

+ 1) , n(i

1

+ 1) ,. . . , n(i

k−1

+ 1)

sa

,

r´

o˙zne. Liczba x

i

j

− x

i

j−1

jest mniejsza ni˙z dÃlugo´s´c przedziaÃlu J

n(i

j−1

+1)

. Wobec

tego b − a =

P

(x

i

j

− x

i

j−1

) jest liczba

,

mniejsza

,

ni˙z suma dÃlugo´sci przedziaÃl´ow

J

n(i

0

+1)

, J

n(i

1

+1)

, . . . , J

n(i

k−1

+1)

, tu korzystamy z tego, ˙ze przedziaÃly J

n(i

0

+1)

,

J

n(i

1

+1)

, . . . , J

n(i

k−1

+1)

sa

,

r´

o˙zne (przedziaÃly J

n(1)

, J

n(2)

, J

n(m)

nie musza

,

by´c

r´o˙zne). Ta zadziwiaja

,

co skomplikowana — jak na tak oczywiste stwierdzenie —

konstrukcja prowadzi do przypisania przedziaÃlom [x

i

j−1

, x

i

j

] r´o˙znych przedziaÃl´ow

J

n(i

j−1

)

, co pozwala na zasta

,

pienie sumy dÃlugo´sci tych pierwszych suma

,

dÃlugo´sci

tych drugich. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Osoby, kt´orym wydaje sie

,

, ˙ze powy˙zsze rozumowanie jest za dÃlugie, ˙ze to prze-

rost formy nad tre´scia

,

, zapraszam do jego skr´ocenia (odrzucaja

,

c jednak metode

,

pole-

gaja

,

ca

,

na opuszczeniu kilku sÃl´ow lub stwierdzeniu, ˙ze teza jest oczywista!).

Teraz mo˙zemy wprowadzi´c zdefiniowa´c miare

,

(zewne

,

trzna

,

) zbioru A ⊂ R .

Definicja 10.12 (

miary zewne

,

trznej

)

|A| = inf

t∈T

n X

|I

t

|:

[

t∈T

I

t

⊃ A

o

, gdzie I

t

oznacza przedziaÃl niezdegenerowany

a |I

t

| — jego dÃlugo´s´c, czyli r´o˙znice

,

ko´

nc´ow. Liczbe

,

|A| nazywamy miara

,

zewne

,

trzna

,

zbioru A .

Dzie

,

ki stwierdzeniu banalnemu o dÃlugo´sci przedziaÃlu definicja ta nie prowadzi do za-

mieszania w oznaczeniach: Je´sli zbi´or A jest przedziaÃlem, to |A| jest jego dÃlugo´scia

,

!

5

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

Naste

,

pnym bezpo´srednim wnioskiem z definicji miary zewne

,

trznej jest

Twierdzenie 10.13 (

o monotoniczno´

sci miary zewne

,

trznej

)

Je´sli A ⊆ B , to |A| ≤ |B| .

Twierdzenie 10.14 (

o podaddytywno´

sci miary zewne

,

trznej

)

Dla dowolnych zbior´ow A

1

, A

2

, . . . zachodzi nier´owno´s´c:

¯

¯

¯

∞

[

n=1

A

n

¯

¯

¯ ≤

∞

X

n=1

|A

n

| .

Dow´

od. Niech ε > 0 be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

. Dla ka˙zdego n istnieje taka rodzina

przedziaÃl´ow {I

t

:

t ∈ T

n

} , ˙ze

[

t∈T

n

I

t

⊃ A

n

i

X

t∈T

n

|I

t

| ≤ |A

n

| +

ε

2

n

. Zdefiniujmy

T =

∞

[

n=1

T

n

. Jasne jest, ˙ze

[

t∈T

I

t

⊃

∞

[

n=1

A

n

oraz ˙ze

X

t∈T

|I

t

| =

∞

X

n=1

³ X

t∈T

n

|I

t

|

´

≤

∞

X

n=1

³

|A

n

| +

ε

2

n

´

=

∞

X

n=1

|A

n

| + ε .

Otrzymana nier´owno´s´c zachodzi dla dowolnej liczby ε > 0 , wie

,

c

¯

¯

¯

¯

¯

∞

[

n=1

A

n

¯

¯

¯

¯

¯

≤

∞

X

n=1

|A

n

| ,

a to chcieli´smy wykaza´c.

Oczywi´scie chciaÃloby sie

,

stwierdzi´c, ˙ze je´sli zbiory {A

n

} sa

,

parami rozÃla

,

czne, to

¯

¯

¯

∞

[

n=1

A

n

¯

¯

¯ =

∞

X

n=1

|A

n

| . Tego niestety nie mo˙zna udowodni´c bez dodatkowych zaÃlo˙ze´

n.

W tym roku nie be

,

dzie nas ta kwestia interesowa´c, zajmiemy sie

,

nia

,

w naste

,

pnym,

bo wymaga to wie

,

kszej pracy i znalazÃlo miejsce w programie trzeciego semestru

studi´ow, a do naszych aktualnych cel´ow wystarczy twierdzenie o podaddytywno´sci

miary zewne

,

trznej. Jest natomiast prawdziwe stwierdzenie naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 10.15 (

o przeliczalnej addytywno´

sci miary zewne,trznej dla przedziaÃl´ow

)

Je´sli przedziaÃly I

1

, I

2

, I

3

, . . . sa

,

parami rozÃla

,

czne (tzn. I

k

∩ I

l

= ∅ dla k 6= l ), to

zachodzi r´owno´s´c:

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ I

3

∪ . . .

¯

¯ =

¯

¯I

1

¯

¯ +

¯

¯I

2

¯

¯ +

¯

¯I

3

¯

¯ + · · ·

Dow´

od. Nier´owno´s´c

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ I

3

∪ . . .

¯

¯ ≤

¯

¯I

1

¯

¯ +

¯

¯I

2

¯

¯ +

¯

¯I

3

¯

¯ + · · · wynika wprost

z definicji miary. Jasne jest r´ownie˙z, ˙ze dla ka˙zdego n zachodzi nier´owno´s´c

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ . . . ∪ I

n

¯

¯ ≤

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ I

3

∪ . . .

¯

¯ ≤

¯

¯I

1

¯

¯ +

¯

¯I

2

¯

¯ +

¯

¯I

3

¯

¯ + · · · .

(*)

Jednak ze stwierdzenia banalnego o dÃlugo´sci przedziaÃlu wynika, ˙ze dla dowolnej liczby

naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ . . . ∪ I

n

¯

¯ =

¯

¯I

1

¯

¯ +

¯

¯I

2

¯

¯ + · · · +

¯

¯I

n

¯

¯

♣

,

a sta

,

d

♣

Je´sli rodzina przedziaÃl´

ow (I

t

) pokrywa zbi´

or I

1

∪I

2

∪...∪I

n

, to mo˙zemy zasta,pi´c przedziaÃl I

t

prze-

dziaÃlami I

1

∩I

t

, I

2

∩I

t

,

. . .

I

n

∩I

t

, oczywi´scie |I

1

∩I

t

|+|I

2

∩I

t

|+...+|(I

n

∩I

t

)|≤|I

t

| .

6

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

¯

¯I

1

∪I

2

∪I

3

∪. . .

¯

¯ ≥

¯

¯I

1

∪I

2

∪. . .∪I

n

¯

¯ =

¯

¯I

1

¯

¯+

¯

¯I

2

¯

¯+· · ·+

¯

¯I

n

¯

¯ −−−−→

n→∞

¯

¯I

1

¯

¯+

¯

¯I

2

¯

¯+

¯

¯I

3

¯

¯+· · · .

Wobec tego

¯

¯I

1

∪I

2

∪I

3

∪. . .

¯

¯ ≥

¯

¯I

1

¯

¯+

¯

¯I

2

¯

¯+

¯

¯I

3

¯

¯+· · · , co w poÃla

,

czeniu z nier´owno´scia

,

(*) dowodzi twierdzenia.

Definicja 10.16 (

zbioru miary 0

)

M´owimy, ˙ze zbi´or A jest zbiorem miary 0 wtedy i tylko wtedy, gdy |A| = 0 .

Z twierdzenia o podaddytywno´sci miary wynika, ˙ze suma przeliczalnej rodziny

zbior´ow miary 0 jest r´ownie˙z zbiorem miary 0 . Dla rodzin wie

,

kszej mocy to oczywi´s-

cie nie jest prawda

,

: ka˙zdy niepusty zbi´or jest suma

,

zbior´ow jednopunktowych, a nie

ka˙zdy ma miare

,

0 , np.

¯

¯[2, 5]

¯

¯ = 3 > 0 . W szczeg´olno´sci ka˙zdy zbi´or przeliczalny ma

miare

,

0 , np. Q . Istnieja

,

te˙z nieprzeliczalne zbiory miary 0 .

PrzykÃlad 10.1

( zbi´

or Cantora)

Opiszemy tzw. zbi´or Cantora C . SkÃlada sie

,

on z tych liczb z przedziaÃlu [0, 1] ,

kt´ore mo˙zna zapisa´c w ukÃladzie tr´ojkowym bez u˙zycia cyfry 1 . Zbi´or ten otrzymu-

jemy usuwaja

,

c z przedziaÃlu [0, 1] kolejno przedziaÃly otwarte (

1
3

,

2
3

) , (

1
9

,

2
9

) , (

7
9

,

8
9

) ,

(

1

27

,

2

27

) , (

7

27

,

8

27

) , (

19
27

,

20
27

) , (

25
27

,

26
27

) , . . . Za ka˙zdym razem usuwamy z jakiego´s

przedziaÃlu jego ´srodkowa

,

cze

,

´s´c, kt´orej dÃlugo´s´c to

1
3

dÃlugo´sci przedziaÃlu, z kt´orego

ja

,

usuwamy. Otrzymujemy zbi´or, kt´ory nie zawiera ˙zadnego przedziaÃlu. Liczba

1
3

jest jego elementem, chocia˙z w ukÃladzie tr´ojkowym zwykle zapisujemy ja

,

w postaci

0,1 . Mo˙zna ja

,

jednak zapisa´c w ukÃladzie tr´ojkowym jako 0,02222222 . . . , bowiem

2
9

+

2

27

+

2

81

+ · · · =

2/9

1−1/3

=

1
3

. Zbi´or Cantora jest mocy kontinuum, bo ma dokÃladnie

tyle element´ow ile jest cia

,

g´ow, kt´orych elementami sa

,

0 i 2 . Jest on miary 0 , bo

mo˙zna go pokry´c 2

n

przedziaÃlami domknie

,

tymi o dÃlugo´sciach

1

3

n

, wie

,

c jego miara

nie przekracza liczby

2

n

3

n

−−−−→

n→∞

0 .

PrzykÃlad 10.2

(zbi´or

¡

R \ Q

¢

∩ [0, 1] ).

Ten zbi´or oczywi´scie nie zawiera ˙zadnego przedziaÃlu, bo ka˙zdy przedziaÃl zawiera

liczby wymierne. Jego miara nie mo˙ze by´c wie

,

ksza ni˙z miara przedziaÃlu [0, 1] , czyli

nie mo˙ze by´c wie

,

ksza ni˙z 1 . Mniejsza te˙z by´c nie mo˙ze, bo

1 =

¯

¯[0, 1]

¯

¯ ≤

¯

¯

¡

R\Q

¢

∩[0, 1]

¯

¯+

¯

¯Q∩[0, 1]

¯

¯ =

¯

¯

¡

R\Q

¢

∩[0, 1]

¯

¯+0 =

¯

¯

¡

R\Q

¢

∩[0, 1]

¯

¯ .

Stwierdzenie 10.17 (

o ge

,

sto´

sci dope lnienia zbioru miary

0 )

Je´sli |A| = 0 i a < b , to (a, b) \ A 6= ∅ .

Dow´

od. Niech {I

t

:

t ∈ T } be

,

dzie rodzina

,

przedziaÃl´ow taka

,

, ˙ze

X

t∈T

|I

t

| < b − a

i

S

t∈T

I

t

⊇ A — taka rodzina istnieje, bo |A| = 0 . Z banalnego stwierdzenia

7

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

o dÃlugo´sci przedziaÃlu wynika, ˙ze nie jest prawda

,

, i˙z

S

t∈T

I

t

⊇ [a, b] . Dow´od zostaÃl

zako´

nczony.

Uwaga 10.18 (

o postaci otwartych podzbior´

ow prostej

)

Je´sli zbi´or G jest suma

,

rodziny przedziaÃl´ow otwartych (by´c mo˙ze nieprzeliczalnej),

to istnieje taki sko´

nczony lub nie cia

,

g parami rozÃla

,

cznych przedziaÃl´ow otwartych

I

1

, I

2

, . . . , ˙ze G = I

1

∪ I

2

∪ . . . PrzedziaÃly I

1

, I

2

, . . . nazywane sa

,

skÃladowymi

zbioru G .

Dow´

od. Niech p ∈ G . Niech J

p

be

,

dzie maksymalnym przedziaÃlem zawieraja

,

cym

punkt p i zawartym w zbiorze G , tzn. J

p

jest suma

,

wszystkich przedziaÃl´ow otwar-

tych zawieraja

,

cych punkt p i zawartych w zbiorze G . Jasne jest, ˙ze je´sli p, q ∈ G

i p 6= q to albo J

p

= J

q

, albo J

p

∩ J

q

= ∅ — suma przedziaÃl´ow o niepustym

przecie

,

ciu jest przedziaÃlem. Rodzina {J

p

:

p ∈ G} jest co najwy˙zej przeliczalna

,

,

bowiem ka˙zdy z tych przedziaÃl´ow zawiera liczbe

,

wymierna

,

, liczby przypisane r´o˙znym

przedziaÃlom sa

,

r´o˙zne, bo te przedziaÃly sa

,

rozÃla

,

czne, zatem przedziaÃl´ow nie mo˙ze by´c

wie

,

cej ni˙z liczb wymiernych, kt´orych jest ℵ

0

.

Stwierdzenie 10.19 (

o mierze dope lnienia sumy przedzia l´

ow

)

Niech C ⊆ [a, b] be

,

dzie suma

,

sko´

nczonej lub przeliczalnej rodziny przedziaÃl´ow (nie-

koniecznie otwartych) i niech D = [a, b] \ C . Wtedy |C| + |D| =

¯

¯[a, b]

¯

¯ = b − a .

Dow´

od. Niech I

1

, I

2

, I

3

, . . . oznaczaja

,

przedziaÃly takie, ˙ze C = I

1

∪ I

2

∪ I

3

∪ . . . ,

i 6= j =⇒ I

i

∩ I

j

= ∅ . Niech C

n

= I

1

∪ I

2

∪ I

3

∪ . . . ∪ I

n

i D

n

= [a, b] \ C

n

. Zbi´or

D

n

jest suma

,

parami rozÃla

,

cznych przedziaÃl´ow J

1

, J

2

, . . . , J

m

n

, niekt´ore moga

,

by´c

jednopunktowe, m

n

≤ n+1 . Z banalnego stwierdzenia o dÃlugo´sci przedziaÃlu wynika,

˙ze b−a = |I

1

|+|I

2

|+· · ·+|I

n

|+|J

1

|+|J

2

|+· · ·+|J

m

n

| , |C

n

| = |I

1

| + |I

2

| + · · · + |I

n

| ,

|D

n

| = |J

1

| + |J

2

| + · · · + |J

m

n

| . Wynika sta

,

d, ˙ze dla ka˙zdego n zachodzi r´owno´s´c

b − a = |C

n

| + |D

n

| . Oczywi´scie |C| = |I

1

| + |I

2

| + · · · = lim

n→∞

|C

n

| i D =

T

n

D

n

,

zatem |D

n

| ≥ |D| . Mamy

b − a =

¯

¯[a, b]

¯

¯ =

¯

¯C ∪ D

¯

¯ ≤ |C| + |D| ,

oraz

b − a = lim

n→∞

£

|C

n

| + |D

n

|] = lim

n→∞

|C

n

| + lim

n→∞

|D

n

| = |C| + lim

n→∞

|D

n

| ≥ |C| + |D| .

Udowodnili´smy, ˙ze |C| + |D| ≥ b − a ≥ |C| + |D| . Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Wypada w tym miejscu powiedzie´c, ˙ze twierdzenie to nie jest prawdziwe dla

dowolnego zbioru C , ale dla wszystkich, kt´ore autor tekstu potrafi zdefiniowa´c nie

u˙zywaja

,

c pewnika wyboru, jest prawdziwe. Szczeg´oÃlami zajmiemy sie

,

za niecaÃly rok,

a mo˙ze ju˙z za 8 miesie

,

cy.

Naste

,

pnych kilku twierdze´

n nie byÃlo na wykÃladzie, ale zamieszczam je, bo mam

8

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

nadzieje

,

, ˙ze niekt´orzy z Pa´

nstwa zechca

,

je obejrze´c. Dowody sa

,

przydÃlugie, ale

wszystko zacznie wygla

,

da´c nieco lepiej w przyszÃlym roku, gdy zajmiemy sie

,

nieco

dokÃladniej teoria

,

miary.

Lemat 10.20 (

o miarach sum i przecie

,

´

c monotonicznych cia

,

g´

ow zbior´

ow maja

,

cych

sko´

nczenie wielu sk ladowych

)

Niech ka˙zdy ze zbior´ow B

1

, B

2

, . . . be

,

dzie suma

,

sko´

nczenie wielu przedziaÃl´ow parami

rozÃla

,

cznych. Je´sli B

1

⊇ B

2

⊇ B

3

⊇ . . . i |B

1

| < ∞ , to

¯

¯ T

n

B

n

¯

¯ = lim

n→∞

|B

n

| .

Je´sli B

1

⊆ B

2

⊆ B

3

⊆ . . . , to

¯

¯ S

n

B

n

¯

¯ = lim

n→∞

|B

n

| .

Dow´

od. Zaczniemy od pierwszego przypadku. Ka˙zda z r´o˙znic zbior´ow B

1

\ B

2

,

B

2

\ B

3

, . . . jest suma

,

sko´

nczenie wielu parami rozÃla

,

cznych przedziaÃl´ow, niekt´ore

moga

,

by´c zdegenerowane do jednego punktu. Niech B

1

\ B

2

= I

1

∪ I

2

∪ . . . ∪ I

k

1

,

B

2

\ B

3

= I

k

1

+1

∪ I

k

1

+2

∪ . . . ∪ I

k

2

, . . . PrzedziaÃly I

1

, I

2

, . . . sa

,

oczywi´scie parami

rozÃla

,

czne. Zachodzi r´owno´s´c B

1

=

³ T

∞
j=1

B

j

´

∪I

1

∪I

2

∪. . .∪I

k

1

∪I

k

1

+1

∪I

k

1

+2

∪. . . ,

wie

,

c ∞ > |B

1

| ≥

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ . . .

¯

¯ =

∞

X

n=1

|I

n

| . Poniewa˙z

B

n

=

³

∞

\

j=n

B

j

´

∪ I

k

n−1

+1

∪ I

k

n−1

+2

∪ . . . ∪ I

k

n

∪ I

k

n

+1

∪ I

k

n

+2

∪ . . . =

=

³

∞

\

j=1

B

j

´

∪ I

k

n−1

+1

∪ I

k

n−1

+2

∪ . . . ∪ I

k

n

∪ I

k

n

+1

∪ I

k

n

+2

∪ . . . .

wie

,

c

|B

n

| ≤

¯

¯ T

∞
j=1

B

j

¯

¯ + |I

k

n−1

+1

| + |I

k

n−1

+2

| + . . . + |I

k

n

| + |I

k

n

+1

+ |I

k

n

+2

| + . . . .

Poniewa˙z ∞ > |B

1

| ≥

¯

¯I

1

∪ I

2

∪ . . .

¯

¯ =

∞

X

n=1

|I

n

| ,

wie

,

c lim

n→∞

h

|I

k

n−1

+1

| + |I

k

n−1

+2

| + . . . + |I

k

n

| + |I

k

n

+1

+ |I

k

n

+2

| + . . .

i

= 0 — reszta

szeregu zbie˙znego da

,

˙zy do 0 . Sta

,

d wynika, ˙ze

lim

n→∞

|B

n

| ≤

¯

¯

¯

∞

\

j=1

B

j

¯

¯

¯+ lim

n→∞

h

|I

k

n−1

+1

|+|I

k

n−1

+2

|+. . .+|I

k

n

|+|I

k

n

+1

+|I

k

n

+2

|+. . .

i

=

=

¯

¯

¯

∞

\

j=1

B

j

¯

¯

¯ ≤ lim

j→∞

¯

¯B

j

| ,

Sta

,

d lim

n→∞

|B

n

| ≤

¯

¯ T

∞
j=1

B

j

¯

¯ ≤ lim

n→∞

|B

n

| i w ko´

ncu lim

n→∞

|B

n

| =

¯

¯ T

∞
j=1

B

j

¯

¯ .

Zajmiemy sie

,

drugim przypadkiem, chyba nie trudniejszym. Niech

B

1

= I

1

∪ I

2

∪ . . . ∪ I

k

1

, B

2

\ B

1

= I

k

1

+1

∪ I

k

1

+2

∪ . . . ∪ I

k

2

,

B

3

\ B

2

= I

k

2

+1

∪ I

k

2

+2

∪ . . . ∪ I

k

3

, . . .

9

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

Mamy wie

,

c

S

n

B

n

= I

1

∪ I

2

∪ . . . ∪ I

k

1

∪ I

k

1

+1

∪ I

k

1

+2

∪ . . . ∪ I

k

2

∪ I

k

2

+1

∪ I

k

2

+2

∪ . . . ∪ I

k

3

∪ . . . .

Sta

,

d i z twierdzenia o przeliczalnej addytywno´sci miary zewne

,

trznej wynika, ˙ze

¯

¯

¯

S

n

B

n

¯

¯

¯ =

¯

¯I

1

¯

¯ +

¯

¯I

2

¯

¯ + . . . +

¯

¯I

k

1

¯

¯ +

¯

¯I

k

1

+1

¯

¯ +

¯

¯I

k

1

+2

¯

¯ + . . . +

¯

¯I

k

2

¯

¯ +

=

¯

¯I

k

2

+1

¯

¯+

¯

¯I

k

2

+2

¯

¯ +. . .+

¯

¯I

k

3

¯

¯+. . . = lim

n→∞

h¯

¯I

1

¯

¯+

¯

¯I

2

¯

¯+. . .+

¯

¯I

k

n

¯

¯

i

= lim

n→∞

¯

¯B

n

¯

¯ .

Twierdzenie 10.21 (

o cia

,

g lo´

sci miary zewne

,

trznej, s laba wersja

)

Je´sli B

1

⊇ B

2

⊇ B

3

⊇ . . . i zbiory te sa

,

otwarte (tzn. ka˙zdy jest suma

,

przedziaÃl´ow

otwartych, by´c mo˙ze niesko´

nczenie wielu) i B

1

⊆ [a, b] , to lim

n→∞

|B

n

| =

¯

¯ T

∞
n=1

B

n

¯

¯ .

Dow´

od. Niech ε > 0 . Zbi´or B

1

mo˙zna przedstawi´c jako sume

,

co najwy˙zej prze-

liczalnie wielu przedziaÃl´ow otwartych parami rozÃla

,

cznych, jego skÃladowych. Niech

B

1

= I

1,1

∪ I

1,2

∪ I

1,3

∪ . . . . Z poprzednio udowodnionych twierdze´

n wynika, ˙ze

|B

1

| = |I

1,1

|+|I

1,2

|+|I

1,3

|+· · · . Poniewa˙z |B

1

| < ∞ , wie

,

c istnieje liczba naturalna k

1

taka, ˙ze |I

1,k

1

+1

|+|I

1,k

1

+2

|+|I

1,k

1

+3

|+· · · <

ε
2

. Niech G

1

= I

1,1

∪I

1,2

∪I

1,3

∪. . .∪I

1,k

1

.

Zbi´or G

1

jest suma

,

sko´

nczenie wielu przedziaÃl´ow, G

1

⊆ B

1

i

|B

1

\G

1

| =

¯

¯I

1,k

1

+1

∪I

1,k

1

+2

∪I

1,k

1

+3

∪. . .

¯

¯ = |I

1,k

1

+1

|+|I

1,k

1

+2

|+|I

1,k

1

+3

|+· · · <

ε
2

.

Zbi´or B

2

∩G

1

jest otwarty, zatem jest suma

,

co najwy˙zej przeliczalnie wielu przedzia-

Ãl´ow otwartych parami rozÃla

,

cznych. Niech B

2

∩ G

1

= I

2,1

∪ I

2,2

∪ I

2,3

∪ . . . . Poniewa˙z

∞ > |B

2

| = |I

2,1

| + |I

2,2

| + |I

2,3

| + · · · , wie

,

c istnieje taka liczba naturalna k

2

, ˙ze

|I

2,k

2

+1

| + |I

2,k

2

+2

| + |I

2,k

2

+3

| + · · · <

ε
4

. Niech

G

2

= I

2,1

∪ I

2,2

∪ I

2,3

∪ . . . ∪ I

2,k

2

⊆ B

2

∩ G

1

.

Mamy wie

,

c

¯

¯B

2

\ G

2

¯

¯ ≤

¯

¯B

2

\ G

1

¯

¯ +

¯

¯B

2

∩ G

1

\ G

2

¯

¯ ≤

¯

¯B

1

\ G

1

¯

¯ +

¯

¯[B

2

∩ G

1

] \ G

2

¯

¯ <

ε
2

+

ε
4

=

3
4

ε .

Naste

,

pnie w taki sam spos´ob konstruujemy zbi´or G

3

⊆ B

3

∩ G

2

taki, ˙ze

¯

¯B

3

\ G

3

¯

¯ <

3
4

ε +

ε
8

=

7
8

ε .

Otrzymujemy taki cia

,

g zbior´ow

G

1

⊇ G

2

⊇ G

3

⊇ . . . ,

˙ze

G

n

⊂ B

n

oraz

¯

¯B

n

\ G

n

¯

¯ < (1 −

1

2

n

)ε , ka˙zdy zbi´or G

n

to suma sko´

nczenie wielu przedziaÃl´ow, wie

,

c

r´ownie˙z

|G

n

| ≤ |B

n

| = |G

n

∪ B

n

\ G

n

| ≤ |G

n

| + |B

n

\ G

n

| < |G

n

| + (1 −

1

2

n

)ε .

Wynika sta

,

d, ˙ze

lim

n→∞

|G

n

| ≤ lim

n→∞

|B

n

| ≤ lim

n→∞

|G

n

| + ε .

Poniewa˙z ka˙zdy ze zbior´ow G

1

, G

2

, . . . ma sko´

nczenie wiele skÃladowych, wie

,

c (odpo-

wiedni lemat)

¯

¯ T G

n

¯

¯ = lim

n→∞

|G

n

| . Z tego, ˙ze

T

G

n

⊆

T

B

n

wynika nier´owno´s´c:

¯

¯ T G

n

¯

¯ ⊆

¯

¯ T B

n

¯

¯ . Poniewa˙z B

j

⊇

T

B

n

, wie

,

c lim

j→∞

|B

j

| ≥

¯

¯ T B

n

¯

¯ . Z tego wszyst-

kiego wynika, ˙ze

10

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

¯

¯ T G

n

¯

¯ = lim

n→∞

|G

n

| ≤

¯

¯ T B

n

¯

¯ ≤ lim

n→∞

|B

n

| ≤ lim

n→∞

|G

n

|+ε =

¯

¯ T G

n

¯

¯+ε ≤

¯

¯ T B

n

¯

¯+ε .

Wykazali´smy, ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 zachodzi nier´owno´s´c

¯

¯ T B

n

¯

¯ ≤ lim

n→∞

|B

n

| ≤

¯

¯ T B

n

¯

¯ + ε ,

a to oznacza, ˙ze

¯

¯ T B

n

¯

¯ = lim

n→∞

|B

n

| .

Teraz mo˙zemy ju˙z sformuÃlowa´c twierdzenie opisuja

,

ce funkcje caÃlkowalne w sensie

Riemanna.

Twierdzenie 10.22 (

charakteryzuja

,

ce ca lkowalno´

s´

c w sensie Riemanna

)

Funkcja f : [a, b] −→ R jest caÃlkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy

jest ograniczona i jej zbi´or punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci ma miare

,

0 . ×

Przed dowodem tego twierdzenia podamy warunek typu warunku Cauchy’ego dla

zbie˙zno´sci wyste

,

puja

,

cej w definicji caÃlki Riemanna i wyka˙zemy, ˙ze jest on konieczny

i dostateczny dla jej istnienia. Be

,

dziemy potrzebowa´c kilku oznacze´

n i termin´ow.

Definicja 10.23

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= b , punkty x

0

, x

1

, . . . , x

n

nazywamy

we

,

zÃlami podziaÃlu przedziaÃlu [a, b] , najwie

,

ksza

,

z liczb x

1

−x

0

, x

2

−x

1

,. . . , x

n

−x

n−1

nazywamy ´srednica

,

podziaÃlu;

m

j

= inf{f (t):

x

j−1

≤ t ≤ x

j

} , M

j

= sup{f (t):

x

j−1

≤ t ≤ x

j

} ;

liczba ω

j

= M

j

− m

j

oscylacja

,

funkcji f na przedziale [x

j−1

, x

j

] ;

liczba ω

f

(x) = inf

δ>0

Ã

sup

|t−x|≤δ

f (t) − inf

|t−x|≤δ

f (t)

!

nazywana jest oscylacja

,

funkcji f

w punkcie x ;

suma

n

X

j=1

M

j

(x

j

− x

j−1

) nazywana jest suma

,

g´orna

,

Darboux funkcji f ;

suma

n

X

j=1

m

j

(x

j

− x

j−1

) nazywana jest suma

,

dolna

,

Darboux funkcji f .

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli x

i−1

< ˆ

x < x

i

, to zachodza

,

nier´owno´sci

sup{f (t):

x

i−1

≤ t ≤ x

i

} · (x

i

− x

i−1

) =

= sup{f (t):

x

i−1

≤ t ≤ x

i

} · (ˆ

x − x

i−1

) + sup{f (t):

x

i−1

≤ t ≤ x

i

} · (x

i

− ˆ

x) ≥

≥ sup{f (t):

x

i−1

≤ t ≤ ˆ

x} · (ˆ

x − x

i−1

) + sup{f (t):

ˆ

x ≤ t ≤ x

i

} · (x

i

− ˆ

x) .

Wykazali´smy, ˙ze je´sli dodamy nowy we

,

zeÃl, to suma g´orna nie zwie

,

kszy sie

,

.

Bardzo proste rozumowanie indukcyjne przekonuje nas, ”re zasta

,

pienie podziaÃlu

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= b drobniejszym, tzn. dodanie nowych

we

,

zÃl´ow do x

0

, x

1

, x

2

, . . . , x

n−1

, x

n

zmniejsza g´orna

,

sume

,

Darboux lub zachowuje

jej warto´s´c. W podobny spos´ob stwierdzamy, ˙ze rozdrabnianie podziaÃlu sume

,

dolna

,

11

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

zwie

,

ksza lub zachowuje. Wobec tego rozdrabnianie podziaÃlu zmniejsza lub zachowuje

oscylacje

,

na przedziale. Podsumujmy te rozwa˙zania:

Lemat 10.24 (

o sumach dolnych i g´

ornych

)

Je´sli a = ˆ

x

0

< ˆ

x

1

< . . . < ˆ

x

m−1

< ˆ

x

m

= b i a = ¯

x

0

< ¯

x

1

< . . . < ¯

x

n−1

< ¯

x

n

= b sa

,

dwoma podziaÃlami przedziaÃlu [a, b] , to zachodzi nier´owno´s´c

m

X

i=1

ˆ

m

i

(ˆ

x

i

− ˆ

x

i−1

) ≤

n

X

j=1

¯

M

j

(¯

x

j

− ¯

x

j−1

) ,

gdzie ˆ

m

i

= inf{f (t):

ˆ

x

i−1

≤ t ≤ ˆ

x

i

} , ¯

M

j

= sup{f (t):

¯

x

j−1

≤ t ≤ ¯

x

j

} , czyli

ka˙zda dolna suma ma warto´s´c nie wie

,

ksza

,

od ka˙zdej sumy g´ornej, niezale˙znie od

podziaÃl´ow.

Dow´

od. Niech a = x

0

< x

1

< . . . < x

k−1

< x

k

= b be

,

dzie podziaÃlem przedziaÃlu

[a, b] wyznaczonym przez wszystkie punkty ˆ

x

0

< ˆ

x

1

< . . . < ˆ

x

m−1

< ˆ

x

m

oraz

¯

x

0

< ¯

x

1

< . . . < ¯

x

n−1

< ¯

x

n

— a = x

0

< x

1

< . . . < x

k−1

< x

k

= b jest wie

,

c

wsp´olnym rozdrobniem obu podziaÃl´ow. Z uwag poprzedzaja

,

cych dowodzony lemat

wynika, ˙ze speÃlnione sa

,

nier´owno´sci (pomijamy oczywiste definicje m

ι

, M

ι

)

m

X

i=1

ˆ

m

i

(ˆ

x

i

− ˆ

x

i−1

) ≤

k

X

ι=1

m

ι

(x

ι

− x

ι−1

) oraz

k

X

ι=1

M

ι

(x

ι

− x

ι−1

) ≤

m

X

i=1

¯

M

i

(¯

x

i

− ¯

x

i−1

) ,

co w poÃla

,

czeniu z oczywista

,

nier´owno´scia

,

k

X

ι=1

m

ι

(x

ι

− x

ι−1

) ≤

k

X

ι=1

M

ι

(x

ι

− x

ι−1

)

daje teze

,

.

Naste

,

pny warunek peÃlni wa˙zna

,

role

,

w dowodach istnienia caÃlki Riemanna: poz-

wala on wykazywa´c jej istnienie bez wskazywania warto´sci caÃlki, podobnie jak waru-

nek Cauchy’ego w wypadku cia

,

g´ow, szereg´ow czy funkcji.

Warunek CICR

(typu Cauchy’ego istnienia ca lki Riemanna)

Dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieja

,

takie punkty a = x

0

< x

1

< . . . < x

n−1

< x

n

, ˙ze

n

X

j=1

ω

j

(x

j

− x

j−1

) < ε .

Twierdzenie 10.25 (

o istnieniu ca lki Riemanna

)

Funkcja f : [a, b] −→ R jest caÃlkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy

zachodzi warunek CICR.

Dow´

od. Je´sli funkcja f jest caÃlkowalna w sensie Riemanna, to dla ka˙zdego ε > 0

istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli x

j−1

≤ t

j

≤ x

j

dla j = 1, 2 . . . , n , to zachodzi

nier´owno´s´c

¯

¯

R

b

a

f (x)dx −

n

X

j=1

f (t

j

)(x

j

− x

j−1

)

¯

¯ <

ε
3

. Sta

,

d natychmiast wynika, ˙ze

12

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

¯

¯

¯

Z

b

a

f (x)dx −

n

X

j=1

m

j

(x

j

− x

j−1

)

¯

¯

¯ ≤

ε
3

i

¯

¯

¯

Z

b

a

f (x)dx −

n

X

j=1

M

j

(x

j

− x

j−1

)

¯

¯

¯ ≤

ε
3

.

Wobec tego

n

X

j=1

ω

j

(x

j

−x

j−1

) =

¯

¯

¯

n

X

j=1

M

j

(x

j

−x

j−1

)−

n

X

j=1

m

j

(x

j

−x

j−1

)

¯

¯

¯ ≤ 2·

ε
3

< ε ,

zatem funkcja f speÃlnia warunek CICR.

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze funkcja f speÃlnia warunek CICR. W niejawny spos´ob zakÃlada-

my tu, ˙ze funkcja f jest ograniczona, bowiem wszystkie r´o˙znice, nieujemne na mocy

definicji, M

1

− m

1

, M

2

− m

2

, . . . , M

n

− m

n

musza

,

by´c sko´

nczone dla dostatecznie

drobnego podziaÃlu, bo

n

X

j=1

(M

j

− m

j

)(x

j

− x

j−1

) < 1 . Mamy wtedy oczywi´scie

M = sup

t∈[a,b]

f (t) =

max

j=1,2,...,n

M

j

< ∞ i m = inf

t∈[a,b]

f (t) =

min

j=1,2,...,n

m

j

> −∞ .

Niech I be

,

dzie kresem dolnym g´ornych sum Darboux funkcji f dla wszystkich

podziaÃl´ow przedziaÃlu [a, b] . Z warunku CICR wynika, ˙ze I jest kresem g´ornym dol-

nych sum Darboux funkcji f . Wyka˙zemy, ˙ze liczba I jest caÃlka

,

Riemanna funkcji f .

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze a = x

0

< x

1

< . . . < x

n−1

< x

n

oraz x

i−1

≤ t

i

≤ x

i

dla

i = 1, 2, . . . , n . Z lematu o sumach dolnych i g´ornych wynika, ˙ze wtedy zachodza

,

nier´owno´sci

n

X

j=1

m

j

(x

j

− x

j−1

) ≤ I ≤

n

X

j=1

M

j

(x

j

− x

j−1

) oraz

n

X

j=1

m

j

(x

j

− x

j−1

) ≤

n

X

j=1

f (t

i

)(x

j

− x

j−1

) ≤

n

X

j=1

M

j

(x

j

− x

j−1

) .

Je´sli wie

,

c δ jest liczba

,

dobrana

,

do ε z warunku CIRC, to obie liczby I oraz

n

X

j=1

f (t

i

)(x

j

− x

j−1

) le˙za

,

w przedziale

h

n

X

j=1

m

j

(x

j

− x

j−1

),

n

X

j=1

M

j

(x

j

− x

j−1

)

i

,

kt´orego dÃlugo´s´c jest mniejsza od ε , zatem

¯

¯

¯I −

n

X

j=1

f (t

i

)(x

j

− x

j−1

)

¯

¯

¯ < ε ,

co ko´

nczy dow´od twierdzenia o istnieniu caÃlki Riemanna.

Dow´

od twierdzenia charakteryzuja

,

cego caÃlkowalno´s´

c w sensie Riemanna.

Wiemy ju˙z, ˙ze je´sli funkcja jest caÃlkowalna w sensie Riemanna, to jest ograniczona.

Trzeba jeszcze wykaza´c, ˙ze jej zbi´or punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci ma miare

,

0 . ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

P

n
j=1

ω

j

(x

j

− x

j−1

) < ε . Niech σ(α) be

,

dzie suma

,

tych liczb x

j

− x

j−1

, dla kt´orych

ω

j

≥ α . Zachodzi nier´owno´s´c α · σ(α) ≤

P

n
j=1

ω

j

(x

j

− x

j−1

) < ε , zatem σ(α) <

ε

α

.

Niech σ

n

(α) oznacza sume

,

dÃlugo´sci tych przedziaÃl´ow z podziaÃlu przedziaÃlu [a, b]

na 2

n

r´ownych podprzedziaÃl´ow, na kt´orych oscylacja funkcji f nie jest mniejsza

13

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

ni˙z α . Z otrzymanej nier´owno´sci wynika, ˙ze σ

n

(α) −−−−→

n→∞

0 . Sta

,

d natychmiast

wynika, ˙ze zbi´or punkt´ow x , dla kt´orych ω

f

(x) ≥ α ma miare

,

0: we

,

zÃl´ow wszystkich

podziaÃl´ow przedziaÃlu [a, b] na 2

n

podprzedziaÃl´ow, n = 1, 2, . . . jest przeliczalnie

wiele, wie

,

c tworza

,

one zbi´or miary 0. Inne punkty, w kt´orych oscylacja nie jest

mniejsza ni˙z α znajduja

,

sie

,

oczywi´scie w przedziaÃlach, kt´orych suma dÃlugo´sci jest

mniejsza ni˙z σ

n

(a) ( −−−−→

n→∞

0 ). W ten spos´ob udowodnili´smy jedna

,

implikacje

,

.

Niech teraz f : [a, b] −→ R oznacza funkcje

,

, C — zbi´or punkt´ow, w kt´orych jest

ona cia

,

gÃla, D = [a, b] \ C — zbi´or punkt´ow, w kt´orych f jest niecia

,

gÃla i niech dla

ka˙zdego x ∈ [a, b] be

,

dzie speÃlniona nier´owno´s´c |f (x)| ≤ M < +∞ . Wyka˙zemy, ˙ze

je´sli |D| = 0 , to funkcja f jest caÃlkowalna w sensie Riemanna. Mo˙zemy oczywi´scie

zakÃlada´c, ˙ze M > 0 , bo je´sli M = 0 , to funkcja f jest to˙zsamo´sciowo r´owna 0 ,

wie

,

c jest oczywi´scie caÃlkowalna w sensie Riemanna.

Niech ε > 0 . Dla ka˙zdego x ∈ C istnieje taka liczba δ

x

> 0 , ˙ze je´sli |t − x| < δ

x

i t ∈ [a, b] , to |f (t) − f (x)| <

ε

4(b−a)

. Z definicji zbioru miary 0 wynika, ˙ze ist-

nieja

,

przedziaÃly I

1

, I

2

, . . . takie, ˙ze

∞

[

n=1

I

n

⊃ D i

∞

X

n=1

|I

n

| <

ε

5M

. Rozpatrywane

przedziaÃly I

1

, I

2

, . . . moga

,

by´c domknie

,

te, otwarto-domknie

,

te, itp. Niech ˜

I

n

ozna-

cza przedziaÃl otwarty, kt´orego ´srodkiem jest ´srodek przedziaÃlu I

n

i kt´ory jest dÃlu˙zszy

od I

n

o

ε

20·M ·2

n

. Oczywi´scie ˜

I

n

⊃ I

n

, wie

,

c

∞

[

n=1

˜

I

n

⊃ D i

∞

X

n=1

| ˜

I

n

| =

∞

X

n=1

³

|I

n

| +

ε

20·M ·2

n

´

=

∞

X

n=1

|I

n

| +

∞

X

n=1

ε

20·M ·2

n

<

ε

5M

+

ε

20M

=

ε

4M

.

Rodzina F = {(x − δ

x

, x + δ

x

:

x ∈ C)} ∪ { ˜

I

n

:

n ∈ N} skÃlada sie

,

z przedziaÃl´ow

otwartych, jej suma zawiera przedziaÃl [a, b] . Wobec tego istnieje taka liczba λ > 0 ,

˙ze ka˙zdy przedziaÃl [c, d] ⊂ [a, b] dÃlugo´sci ≤ λ jest zawarty w kt´orym´s elemencie

rodziny F . Niech a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= b oznacza podziaÃl przedziaÃlu [a, b]

na przedziaÃly dÃlugo´sci < λ . Niech N

C

oznacza zbi´or zÃlo˙zony z tych numer´ow

j ∈ {1, 2, . . . , n} , dla kt´orych istnieje punkt x(j) ∈ C taki, ˙ze zachodzi inkluzja

[x

j−1

, x

j

] ⊂

¡

x(j) − δ

x(j)

, x(j) + δ

x(j)

¢

, za´s N

D

– zbi´or zÃlo˙zony z numer´ow po-

zostaÃlych, tj. takich, dla kt´orych taki punkt x(j) nie istnieje, zatem istnie´c musi

liczba n(j) taka, ˙ze [x

j−1

, x

j

] ⊂ ˜

I

n(j)

. Jasne jest, ˙ze

[

j∈N

D

[x

j−1

, x

j

] ⊂

[

j∈N

D

˜

I

n

,

zatem

P

j∈N

D

¯

¯[x

j−1

, x

j

]

¯

¯ =

¯

¯

¯

S

j∈N

D

[x

j−1

, x

j

]

¯

¯

¯ ≤

P

n

| ˜

I

n

| <

ε

4M

.

Dla ka˙zdego j zachodzi nier´owno´s´c M

j

− m

j

≤ 2M . Ma wie

,

c miejsce nier´owno´s´c

14

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

P

j∈N

D

ω

j

(x

j

− x

j−1

) ≤ 2M

P

j∈N

D

(x

j

− x

j−1

) < 2M ·

ε

4M

=

ε
2

.

Je´sli |t − x| < δ

x

, x ∈ C , to |f (t) − f (x)| <

ε

4(b−a)

. Sta

,

d wynika, ˙ze je´sli |t − x| < δ

x

i |s − x| < δ

x

, to |f (t) − f (s)| ≤ |f (t) − f (x)| + |f (x) − f (s)| <

ε

2(b−a)

. Sta

,

d

wnioskujemy, ˙ze dla j ∈ N

C

zachodzi nier´owno´s´c M

j

− m

j

≤

ε

2(b−a)

. Wobec tego:

X

j∈N

C

ω

j

(x

j

− x

j−1

) ≤

ε

2(b − a)

·

X

j∈N

C

(x

j

− x

j−1

) ≤

ε

2(b − a)

· (b − a) =

ε
2

.

Mo˙zemy wie

,

c napisa´c:

n

X

j=1

ω

j

(x

j

− x

j−1

) =

X

j∈N

D

ω

j

(x

j

− x

j−1

) +

X

j∈N

C

ω

j

(x

j

− x

j−1

) <

ε
2

+

ε
2

= ε .

Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze r´o˙znica mie

,

dzy suma

,

g´orna

,

Darboux i suma

,

dolna

,

Darboux

funkcji f jest mniejsza od ε , je´sli tylko przedziaÃl [a, b] zostaÃl podzielony na dostate-

cznie kr´otkie podprzedziaÃly, a to oznacza, ˙ze funkcja speÃlnia warunek CICR, czyli ˙ze

jest caÃlkowalna w sensie Riemanna.

Z twierdzenia charakteryzuja

,

cego funkcje caÃlkowalne i tego, ˙ze suma i iloczyn

funkcji ograniczonych sa

,

funkcjami ograniczonymi oraz z tego ˙ze suma dw´och zbior´ow

miary 0 jest zbiorem miary 0 wynika

Twierdzenie 10.26

Suma i iloczyn funkcji caÃlkowalnych w sensie Riemanna sa

,

funkcjami caÃlkowalnymi

w sensie Riemanna.

Mamy r´ownie˙z Ãlatwe do wykazania twierdzonka

Twierdzenie 10.27

c

R

b

a

f (x)dx =

R

b

a

cf (x)dx dla dowolnej liczby c ∈ R i funkcji f : [a, b] −→ R , kt´ora

jest caÃlkowalna w sensie Riemanna.

Dow´

od. Wiedza

,

c, ˙ze caÃlka istnieje mo˙zemy rozpatrywa´c podziaÃly przedziaÃlu [a, b]

np. na n r´ownych cze

,

´sci i przyja

,

´c t

j

= x

j

. Wtedy twierdzenie wynika z twierdzenia

o granicy cia

,

gu pomno˙zonego przez liczbe

,

c .

Twierdzenie 10.28

R

b

a

¡

f (x) + g(x)

¢

dx =

R

b

a

f (x)dx +

R

b

a

g(x)dx dla dowolnych funkcji f, g: [a, b] −→ R ,

caÃlkowalnych w sensie Riemanna.

Dow´

od. CaÃlki istnieja

,

, wie

,

c mo˙zemy rozpatrywa´c np. podziaÃl przedziaÃlu [a, b] np.

na n r´ownych cze

,

´sci i przyja

,

´c t

j

= x

j

. Twierdzenie wynika z twierdzenia o granicy

sumy cia

,

g´ow.

15

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

Twierdzenie 10.29

Je´sli funkcje f, g: [a, b] −→ R sa

,

caÃlkowalne w sensie Riemanna i f (x) ≤ g(x) dla

a ≤ x ≤ b , to

R

b

a

f (x)dx ≤

R

b

a

g(x)dx .

Dow´

od. CaÃlki istnieja

,

, wie

,

c mo˙zemy rozpatrywa´c np. podziaÃl przedziaÃlu [a, b]

np. na n r´ownych cze

,

´sci i przyja

,

´c t

j

= x

j

. Twierdzenie wynika z twierdzenia

o nier´owno´sciach dla cia

,

g´ow.

Twierdzenie 10.30

Je´sli funkcje f, g: [a, b] −→ R sa

,

caÃlkowalne w sensie Riemanna i f (x) ≤ g(x) dla

a ≤ x ≤ b ,

R

b

a

f (x)dx <

R

b

a

g(x)dx , to miara zbioru {x ∈ [a, b]:

f (x) < g(x)} jest

liczba

,

dodatnia

,

.

Dow´

od. Je´sli miara zbioru D := {x ∈ [a, b]:

f (x) < g(x)} jest r´owna 0 , to dla

ka˙zdego przedziaÃlu [c, d] zbi´or [c, d]\D jest niepusty, bo ma miare

,

≥ d−c — wynika

to z podaddytywno´sci miary. Wobec tego w charakterze punkt´ow t

j

wysta

,

pi´c moga

,

punkty, w kt´orych f (t

j

) = g(t

j

) , czyli ˙ze odpowiednie sumy Riemanna sa

,

r´owne

dla dowolnie drobnego podziaÃlu przedziaÃlu [a, b] . Sta

,

d wynika r´owno´s´c caÃlek, wbrew

zaÃlo˙zeniu.

Twierdzenie 10.31

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ R jest caÃlkowalna w sensie Riemanna i a < c < b , to jest

caÃlkowalna w sensie Riemanna na obu przedziaÃlach [a, c] i [c, b] i zachodzi r´owno´s´c

R

b

a

f (x)dx =

R

c

a

f (x)dx +

R

b

c

f (x)dx .

Dow´

od. CaÃlkowalno´s´c na podprzedziale wynika z caÃlkowalno´sci na przedziale od

razu, r´owno´s´c

R

b

a

f (x)dx =

R

c

a

f (x)dx+

R

b

c

f (x)dx wynika z tego, ˙ze mo˙zna rozwa˙za´c

tylko te podziaÃly przedziaÃlu [a, b] , w kt´orych c pojawia sie

,

jako we

,

zeÃl.

Twierdzenie 10.32

Je´sli f (x) ≤ g(x) dla a ≤ x ≤ b i miara zbioru {x ∈ [a, b]:

f (x) < g(x)} jest

dodatnia, funkcje f, g: [a, b] −→ R sa

,

caÃlkowalne w sensie Riemanna, to zachodzi

nier´owno´s´c

R

b

a

f (x)dx <

R

b

a

g(x)dx .

Dow´

od. Niech D(f ) oznacza zbi´or punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci funkcji f , D(g) – zbi´or

punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci funkcji g , A — zbi´or tych punkt´ow x ∈ [a, b] , dla kt´orych

f (x) < g(x) . Zbi´or A nie jest miary 0, zbiory D(f ) i D(g) sa

,

miary 0. Zbi´or

A \

¡

D(f ) ∪ D(g)

¢

nie jest miary 0, wie

,

c jest mocy kontinuum*. Niech p be

,

dzie

dowolnym punktem zbioru A \

¡

D(f ) ∪ D(g) ∪ {a, b}

¢

. Mamy f (p) < g(p) . Niech

*

Gdyby zbi´

or A\(D(f )∪D(g)) byÃl miary 0, to zbi´

or A byÃlby suma, 3 zbior´ow miary 0, wie,c zbi´or A

byÃlby miary 0.

16

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

α, β be

,

da

,

takimi liczbami, ˙ze f (p) < α < β < g(p) . Obie funkcje f i g sa

,

cia

,

gÃle

w punkcie p , zatem istnieje taki przedziaÃl [c, d] ⊂ [a, b] o ´srodku w punkcie p , ˙ze

dla x ∈ [c, d] zachodzi nier´owno´s´c f (x) < α < β < g(x) . Mamy wie

,

c

R

b

a

f (x)dx =

R

c

a

f (x)dx+

R

d

c

f (x)dx+

R

b

d

f (x)dx ≤

R

b

a

f (x)dx+α(d−c)+

R

b

d

f (x)dx <

<

R

c

a

g(x)dx+β(d−c)+

R

b

d

g(x)dx ≤

R

c

a

g(x)dx+

R

d

c

g(x)dx+

R

b

d

g(x)dx =

R

b

a

g(x)dx ,

co ko´

nczy dow´od.

Twierdzenie 10.33

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ R jest caÃlkowalna w sensie Riemanna, to funkcja |f | jest

caÃlkowalna w sensie Riemanna i zachodzi nier´owno´s´c

¯

¯

¯

R

b

a

f (x)dx

¯

¯

¯ ≤

R

b

a

|f (x)|dx .

Dow´

od. CaÃlkowalno´s´c funkcji |f | wynika z caÃlkowalno´sci funkcji f , bo je´sli f jest

cia

,

gÃla w pewnym punkcie, to |f | te˙z, z ograniczono´sci f ograniczono´s´c |f | wynika

natychmiast.

Twierdzenie 10.34

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ R jest monotoniczna, to jest caÃlkowalna w sensie Riemanna.

Dow´

od. Funkcja monotoniczna na przedziale domknie

,

tym jest ograniczona, zbi´or

punkt´ow, w kt´orych jest niecia

,

gÃla jest przeliczalny, zatem ma miare

,

0 .

Twierdzenie 10.35

Je˙zeli obydwie funkcje g, f : [a, b] −→ R sa

,

caÃlkowalne w sensie Riemanna a zbi´or

{x ∈ [a, b]:

f (x) 6= g(x)} jest miary 0 , to

R

b

a

f (x)dx =

R

b

a

g(x)dx .

Dow´

od. Wynika to natychmiast z tego, ˙ze caÃlki mo˙zna potraktowa´c jako granice

cia

,

g´ow sum Riemanna np. dla podziaÃl´ow na n r´ownych cze

,

´sci i tych samych punkt´ow

t

1

, t

2

, . . . , t

n

wybranych w ten spos´ob, ˙ze f (t

j

) = g(t

j

) dla j = 1, 2, . . . , n .

Twierdzenie 10.36 (

o warto´

sci ´

sredniej

)

Je´sli f : [a, b] −→ R jest cia

,

gÃla, g: [a, b] −→ R — caÃlkowalna w sensie Riemanna

i nieujemna, to istnieje liczba c ∈ [a, b] taka, ˙ze

R

b

a

f (x)g(x)dx = f (c)

R

b

a

g(x)dx .

Dow´

od. Niech m = inf{f (t):

t ∈ [a, b]} ,

M = sup{f (t):

t ∈ [a, b]} . Dla

ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi wie

,

c nier´owno´s´c mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x) . Wobec

tego

m

Z

b

a

g(x)dx =

Z

b

a

mg(x)dx ≤

Z

b

a

f (x)g(x)dx ≤

Z

b

a

M g(x)dx = M

Z

b

a

g(x)dx

Je´sli

R

b

a

g(x)dx = 0 , to przyjmujemy np. c =

1
2

(a + b) . Je´sli

R

b

a

g(x)dx 6= 0 , czyli

R

b

a

g(x)dx > 0 , to otrzymujemy m ≤

R

b

a

f (x)g(x)dx

R

b

a

g(x)dx

≤ M , a poniewa˙z funkcja f

17

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

ma wÃlasno´s´c Darboux jako cia

,

gÃla, wie

,

c istnieje taka liczba c ∈ [a, b] , ˙ze zachodzi

r´owno´s´c f (c) =

R

b

a

f (x)g(x)dx

R

b

a

g(x)dx

. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

ÃLatwo mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze w przypadku tej wersji twierdzenia o warto´sci ´sredniej

nie da sie

,

omina

,

´c zaÃlo˙zenia cia

,

gÃlo´sci funkcji f — inaczej ni˙z w wersji z poprzed-

niej cze

,

´sci tego tekstu, gdzie wÃlasno´s´c Darboux i tak byÃla (pochodna, je´sli istnieje

w ka˙zdym punkcie przedziaÃlu, ma wÃlasno´s´c Darboux). Funkcja caÃlkowalna w sensie

Riemanna wÃlasno´sci Darboux mie´c nie musi, np. funkcja monotoniczna, kt´ora ma

punkt niecia

,

gÃlo´sci.

Niech f : [a, b] −→ R oznacza funkcje

,

caÃlkowalna

,

w sensie Riemanna. Niech

F (x) =

R

x

a

f (t)dt .

Twierdzenie 10.37 (

o cia

,

g lo´

sci i r´

o˙zniczkowalno´

sci ca lki

)

Funkcja F speÃlnia warunek Lipschitza na przedziale [a, b] . Je´sli funkcja f jest cia

,

gÃla

w punkcie p ∈ [a, b] , to funkcja F ma pochodna

,

w punkcie p i zachodzi r´owno´s´c

F

0

(p) = f (p) .

Dow´

od. Funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b] . Niech M > 0 be

,

dzie

taka

,

liczba

,

, ˙ze |f (x)| ≤ M dla ka˙zdego x ∈ [a, b] . Niech a ≤ x < y ≤ b . Mamy

|F (y) − F (x)| =

¯

¯

R

y

a

f (t)dt −

R

x

a

f (t)dt

¯

¯ =

¯

¯

R

y

x

f (t)dt

¯

¯ ≤

≤

R

y

x

|f (t)|dt ≤

R

y

x

M dt = M (y − x) .

Musimy jeszcze wykaza´c, ˙ze funkcja F jest r´o˙zniczkowalna w punktach cia

,

gÃlo´sci

funkcji f . ZaÃl´o˙zmy, ˙ze p < b , 0 < h < b − p . Mamy

¯

¯

¯

1

h

¡

F (p+h)−F (p)

¢

−f (p)

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

1

h

³R

p+h

p

f (t)dt

´

−f (p)

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

1

h

R

p+h

p

³

f (t)−f (p)

´

dt

¯

¯

¯ ≤

≤

1

h

R

p+h

p

¯

¯

¯f (t) − f (p)

¯

¯

¯dt ≤

sup

p≤t≤p+h

¯

¯

¯f (t) − f (p)

¯

¯

¯ −−−→

h→0

0 .

Ostatnia r´owno´s´c (chodzi o granice

,

, znaku = nie ma, ale jest strzaÃlka, kt´ora go

zaste

,

puje ) wynika z cia

,

gÃlo´sci funkcji f w punkcie p , to jedyny moment, w kt´orym

cia

,

gÃlo´s´c jest wykorzystywana. Wykazali´smy, ˙ze f (p) jest prawostronna

,

pochodna

,

funkcji F w punkcie p . W taki sam spos´ob wykaza´c mo˙zna, ˙ze jest to r´ownie˙z

pochodna lewostronna, gdy a < p . Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Zauwa˙zmy, ˙ze z tego twierdzenia wynika, ˙ze funkcja cia

,

gÃla na przedziale jest

pochodna

,

pewnej funkcji r´o˙zniczkowalnej, tym razem to nie szkic dowodu, lecz dok-

Ãladne rozumowanie. Przy okazji okazuje sie

,

, ˙ze w przypadku funkcji cia

,

gÃlych oba

podej´scia do caÃlkowania daja

,

ten sam wynik: caÃlka Riemanna r´owna jest r´o˙znicy

warto´sci funkcji pierwotnej. Pozwala to znajdowa´c liczne caÃlki Riemanna. Podkre´sli´c

jednak wypada, ˙ze istnieja

,

funkcje r´o˙zniczkowalne, kt´orych pochodne sa

,

niecaÃlkowal-

18

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

ne w sensie Riemanna i oczywi´scie funkcje, kt´ore sa

,

caÃlkowalne w sensie Riemanna

i nie maja

,

wÃlasno´sci przyjmowania warto´sci po´srednich, wie

,

c nie maja

,

funkcji pier-

wotnych. Je´sli funkcja f jest caÃlkowalna w sensie Riemanna i ma funkcje

,

pierwotna

,

F , to caÃlka

R

b

a

f (x)dx r´owna jest r´o˙znicy warto´sci funkcji pierwotnej na ko´

ncach

przedziaÃlu. Wynika to Ãlatwo z twierdzenia o warto´sci ´sredniej:

F (b)−F (a) =

n

X

j=1

¡

F (x

j

)−F (x

j−1

)

¢

=

n

X

j=1

F

0

(t

j

)(x

j

−x

j−1

) =

n

X

j=1

f (t

j

)(x

j

−x

j−1

) .

Ostatnia suma jest bliska caÃlce Riemanna funkcji f , bo zaÃlo˙zyli´smy, ˙ze ta funkcja jest

caÃlkowalna w sensie Riemanna. Dodajmy jeszcze, bez dowodu, ˙ze funkcja speÃlniaja

,

ca

warunek Lipschitza jest r´o˙zniczkowalna w prawie ka˙zdym punkcie, tj. zbi´or punkt´ow

nier´o˙zniczkowalno´sci funkcji lipschitzowskiej jest miary 0, ale to twierdzenie dosy´c

daleko wykracza poza program wykÃladu z analizy.

Twierdzenie 10.38 (

o przybli˙zaniu funkcji ca lkowalnych funkcjami cia

,

g lymi

)

Niech f : [a, b] −→ R be

,

dzie funkcja

,

caÃlkowalna

,

w sensie Riemanna. Dla ka˙zdej liczby

ε > 0 istnieje taka funkcja cia

,

gÃla g: [a, b] −→ R , ˙ze

R

b

a

|f (x) − g(x)|dx < ε i

inf

t∈[a,b]

f (t) ≤ inf

t∈[a,b]

g(t) ≤ sup

t∈[a,b]

g(t) ≤ sup

t∈[a,b]

f (t) .

(PFC)

Je´sli f jest monotoniczna, ale nie jest staÃla, to istnieje funkcja ´sci´sle monotoniczna

g , dla kt´orej speÃlniona jest powy˙zsza nier´owno´s´c (PFC).

Dow´

od.

Niech a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n

= b be

,

dzie tak drobnym rozbiciem przedziaÃlu

[a, b] , ˙ze

¯

¯

¯

R

b

a

f (x)dx −

P

n
j=1

f (t

j

)(x

j

− x

j−1

)

¯

¯

¯ <

ε
2

dla dowolnego wyboru punkt´ow

t

j

∈ [x

j−1

, x

j

] i niech M = sup

t∈[a,b]

|f (t)| . Mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze M > 0 , dla funkcji

zerowej twierdzenie jest oczywiste. Niech δ > 0 be

,

dzie taka

,

liczba

,

, ˙ze 4(n−1)M δ < ε

oraz 3δ < x

j

− x

j−1

dla j = 1, 2, . . . n . Niech P

j

oznacza przedziaÃl domknie

,

ty

o ´srodku x

j

, j = 1, 2, . . . , n − 1 i dÃlugo´sci δ . Niech I

1

, I

2

, . . . , I

n

be

,

da

,

kolejnymi

przedziaÃlami, z kt´orych skÃlada sie

,

zbi´or [a, b]\(P

1

∪ P

2

∪ . . . ∪ P

n−1

) . Niech g be

,

dzie

funkcja

,

okre´slona

,

na przedziale [a, b] , kt´ora

(1) jest cia

,

gÃla,

(2) we wszystkich punktach przedziaÃlu I

j

przyjmuje warto´s´c m

j

,

(3) jest postaci ax + b na ka˙zdym przedziale P

1

, P

2

, . . . , P

n−1

.

Jest jasne, ˙ze na ka˙zdym z przedziaÃl´ow I

1

, I

2

, . . . , I

n

speÃlniona jest nier´owno´s´c

f (x) ≥ g(x) , na przedziaÃlach P

1

, P

2

, . . . , P

n−1

— nier´owno´s´c |f (x) − g(x)| < 2M .

Mamy wie

,

c

19

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

ε
2

>

R

b

a

f (x)−

n

X

j=1

m

j

(x

j

−x

j−1

) =

n

X

j=1

R

x

j

x

j−1

¡

f (x)−m

j

¢

dx ≥

n

X

j=1

R

I

j

¡

f (x)−m

j

¢

dx =

=

n

X

j=1

R

I

j

¡

f (x) − g(x)

¢

dx =

n

X

j=1

R

I

j

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx

— je´sli I = [α, β] , to definiujemy:

R

I

h(x)dx =

R

β

α

h(x)dx .

Mamy te˙z

n−1

X

j=1

R

P

j

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx ≤ 2M(n − 1)δ <

ε
2

. Z dwu ostatnich nier´owno´sci

i z tego, ˙ze

R

b

a

¯

¯f(x)−g(x)

¯

¯dx =

R

I

1

¯

¯f(x)−g(x)

¯

¯dx+

R

P

1

¯

¯f(x)−g(x)

¯

¯dx+

R

I

2

¯

¯f(x)−g(x)

¯

¯dx+

+

R

P

2

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx + · · · +

R

P

n−1

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx +

R

I

n

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx =

=

n−1

X

j=1

R

P

j

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx +

n

X

j=1

R

I

j

¯

¯f(x) − g(x)

¯

¯dx <

ε
2

+

ε
2

= ε

wynika pierwsza cze

,

´s´c tezy. Z konstrukcji wynika natychmiast, ˙ze wszystkie warto´sci

funkcji g znajduja

,

sie

,

mie

,

dzy kresami funkcji f . Jest r´ownie˙z jasne, ˙ze je´sli f jest

funkcja

,

monotoniczna

,

, to r´ownie˙z g jest funkcja

,

monotoniczna

,

.

Wyka˙zemy jeszcze, ˙ze je´sli funkcja f jest niemaleja

,

ca i nie jest staÃla, to mo˙zna

znale´z´c funkcje

,

´sci´sle rosna

,

ca

,

g speÃlniaja

,

ca

,

nier´owno´sci (PFC). W dalszej cze

,

´sci

rozumowania g oznacza funkcje

,

, kt´ora

,

skonstruowali´smy poprzednio. Poniewa˙z f

nie jest staÃla, wie

,

c dla dostatecznie maÃlych ε funkcja g r´ownie˙z nie jest staÃla. Niech

c ∈ [a, b] be

,

dzie takim punktem, ˙ze g(a) < g(c) < g(b) . Niech 0 < k < 1 i niech

g

k

(x) = k

¡

k(x − c) + g(c)

¢

+ (1 − k)g(x) . Mamy wie

,

c

¯

¯g

k

(x) − g(x)

¯

¯ = k

¯

¯k(x − c) + g(c) − g(x)

¯

¯ ≤ k

¡

b − a + 2M

¢

−−−→

k→0

0 ,

oraz

g

k

(b) = k

¡

k(b − c) + g(c)

¢

+ (1 − k)g(b) = g(b) + k

£

k(b − c) −

¡

g(b) − g(c)

¢¤

.

Z ostatniej r´owno´sci i z tego, ˙ze g(b) > g(c) wynika, ˙ze dla k dostatecznie bliskich 0

zachodzi nier´owno´s´c g

k

(b) < g(b) . Analogicznie

g

k

(a) = k

¡

k(a − c) + g(c)

¢

+ (1 − k)g(a) = g(a) + k

³¡

g(c) − g(a)

¢

− k(c − a)

´

.

Wynika sta

,

d, ˙ze dla k dostatecznie bliskich 0 zachodzi nier´owno´s´c g

k

(a) > g(a) .

Wobec tego dla ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi nier´owno´s´c

g(a) < g

k

(a) ≤ g

k

(x) ≤ g

k

(b) < g(b) .

Funkcja g

k

jest ´sci´sle rosna

,

ca, bo jest suma

,

funkcji niemaleja

,

cej (1 − k)g i ´sci´sle

rosna

,

cej k

¡

k(x − c) + g(c)

¢

. Ta obserwacja ko´

nczy dow´od.

WygÃladzimy uzyskana

,

funkcje

,

.

Twierdzenie 10.39 (

o przybli˙zaniu funkcji ca lkowalnych funkcjami g ladkimi

)

Niech f : [a, b] −→ R be

,

dzie funkcja

,

caÃlkowalna

,

w sensie Riemanna. Dla ka˙zdej liczby

20

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

ε > 0 istnieje taka funkcja g: [a, b] −→ R klasy C

1

(r´ownie˙z klasy C

∞

, a nawet

wielomian), ˙ze

R

b

a

|f (x) − g(x)|dx < ε i inf

t∈[a,b]

f (t) ≤ inf

t∈[a,b]

g(t) ≤ sup

t∈[a,b]

g(t) ≤ sup

t∈[a,b]

f (t) .

(PFG)

Je´sli f jest monotoniczna, ale nie jest staÃla, to istnieje funkcja ´sci´sle monotoniczna

g , dla kt´orej speÃlniona jest powy˙zsza nier´owno´s´c (PFG).

Dow´

od. Wska˙zemy jedynie miejsce, w kt´orym nale˙zy nieco zmieni´c poprzedni do-

w´od, by uzyska´c funkcje

,

klasy C

1

. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli

ϕ(x) =







3x

2

− 2x

3

dla 0 ≤ x ≤ 1,

0

dla x < 0,

1

dla x > 1,

to ϕ jest funkcja

,

klasy C

1

, ´sci´sle rosna

,

ca

,

na przedziale [0, 1] , bowiem dla 0 < x < 1

zachodzi nier´owno´s´c ϕ

0

(x) = 6x(1 − x) > 0 . Niech c < d i C 6= D be

,

da

,

czterema

dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Niech ψ(x) = C + (D − C)ϕ

¡

x−c
d−c

¢

. Poniewa˙z

funkcja ϕ jest klasy C

1

, wie

,

c funkcja ψ r´ownie˙z jest klasy C

1

. Zachodza

,

oczywiste

wzory ψ(c) = C oraz ψ(d) = D . Funkcja ψ jest ´sci´sle rosna

,

ca na przedziale [c, d] ,

gdy C < D i ´sci´sle maleja

,

ca w przeciwnym przypadku. W dowodzie twierdzenia

o przybli˙zaniu funkcji caÃlkowalnych cia

,

gÃlymi zaste

,

pujemy funkcje postaci ax + b

funkcjami typu ψ , co czyni konstruowana

,

tam funkcje

,

g funkcja

,

klasy C

1

. Jest ona

monotoniczna, gdy f jest monotoniczna. Konstruowana dalej funkcja g

k

r´ownie˙z

jest klasy C

1

. Jej pochodna g

0

k

jest dodatnia (´sci´sle!) na przedziale [a, b] . Dla

ka˙zdej liczby η > 0 istnieje wie

,

c wielomian v taki, ˙ze |g

k

(x) − v(x)| < η dla ka˙zdego

x ∈ [a, b] . Niech w be

,

dzie takim wielomianem, ˙ze w(a) = g

k

(a) i w

0

(x) = v(x) dla

ka˙zdego x . Jasne jest, ˙ze |g

k

(x)−w(x)| < η(x−a) ≤ η(b−a) dla ka˙zdego x ∈ (a, b] .

Oczywi´scie w jest funkcja

,

´sci´sle rosna

,

ca

,

dla dostatecznie maÃlych η , bo v(x) > 0 dla

takich η . Jasne jest te˙z, ˙ze je´sli ε > 0 , to konstrukcja pozwala zdefiniowa´c wielomian

w w taki spos´ob, by

R

b

a

|f (x) − w(x)|dx < ε .

Twierdzenie o przybli˙zaniu funkcji caÃlkowalnych funkcjami cia

,

gÃlymi pozwoli nam

w przyszÃlo´sci na przeprowadzanie dowod´ow w przypadku funkcji cia

,

gÃlych, a naste

,

pnie

na og´olniejsze wnioski. PrzykÃlady pojawia

,

sie

,

wkr´otce. Liczbe

,

R

b

a

|f (x) − g(x)|dx

mo˙zna traktowa´c jako odlegÃlo´s´c mie

,

dzy funkcjami caÃlkowalnymi f i g . Z formal-

nego punktu widzenia nie jest to najwÃla´sciwsze ze wzgle

,

du na to, ˙ze caÃlka z r´o˙znicy

funkcji przyjmuja

,

cych te same warto´sci poza zbiorem miary 0 r´owna jest 0 , wie

,

c

nale˙zaÃloby najpierw wprowadzi´c relacje

,

r´ownowa˙zno´sci: dwie funkcje sa

,

r´ownowa˙zne

wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´or tych punkt´ow, w kt´orych przyjmuja

,

one r´o˙zne warto´sci

ma miare

,

0 . Oznacza to, ˙ze z takiego punktu widzenia funkcje r´o˙znia

,

ce sie

,

np.

21

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

tylko w punktach wymiernych pewnego przedziaÃlu sa

,

ta

,

sama

,

funkcja

,

. Po przyje

,

ciu

takiej umowy liczba

R

b

a

|f (x) − g(x)|dx mo˙ze peÃlni´c role

,

odlegÃlo´sci. Twierdzenie

o przybli˙zaniu funkcji caÃlkowalnych cia

,

gÃlymi m´owi, ˙ze zbi´or funkcji cia

,

gÃlych jest

ge

,

sty w zbiorze funkcji caÃlkowalnych. Stwierdzenie to w pewnym sensie przypom-

ina twierdzenie o ge

,

sto´sci liczb wymiernych w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych

(w ka˙zdym przedziale znajduje sie

,

niesko´

nczenie wiele liczb wymiernych!).

Lemat 10.40 (

o szacowaniu ca lki

)

Niech f : [a, b] −→ R be

,

dzie taka

,

funkcja

,

caÃlkowalna

,

w sensie Riemanna, ˙ze dla

ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi |f (x)| ≤ M . ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

¯

¯{x ∈ [a, b]: |f(x)| > ε}

¯

¯ < δ .

Przy tych zaÃlo˙zeniach

Z

b

a

|f (x)|dx < M δ + ε(b − a) .

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze a = x

0

< x

1

< . . . < x

n−1

< x

n

= b jest na tyle drob-

nym podziaÃlem przedziaÃlu [a, b] , ˙ze suma Riemanna z nim zwia

,

zana przybli˙za caÃlke

,

Z

b

a

|f (x)|dx z bÃle

,

dem mniejszym ni˙z η > 0 . Niech |f (t

j

)| ≤ ε , je´sli tylko w prze-

dziale [x

j−1

, x

j

] znajduje sie

,

taki punkt t

j

. Je´sli musieli´smy wybra´c t

j

tak, ˙ze

|f (t

j

)| > ε , to mamy |f (t)| > ε dla ka˙zdego t ∈ [x

j−1

, x

j

] . Wobec tego suma

dÃlugo´sci tych przedziaÃl´ow jest < δ a suma pozostaÃlych jest ≤ b − a . Sta

,

d wynika,

˙ze

R

b

a

|f (x)|dx < M δ + ε(b − a) < M δ + ε(b − a) . Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Twierdzenie 10.41 (

o ca lkowalno´

sci granicy jedn. zbie˙z. cia

,

gu funkcyjnego

)

Je´sli ka˙zda z funkcji f

1

, f

2

, . . . jest caÃlkowalna w sensie Riemanna na przedziale

[a, b] i f

n

⇒ f , to r´ownie˙z funkcja f jest caÃlkowalna w sensie Riemanna i zachodzi

r´owno´s´c

lim

n→∞

Z

b

a

f

n

(x)dx =

Z

b

a

f (x)dx

Dow´

od. Niech D

n

be

,

dzie zbiorem punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci funkcji f

n

. Jego miara

,

jest 0, bo funkcja f

n

jest caÃlkowalna w sensie Riemanna. Wobec tego zbi´or

∞

[

n=1

D

n

jest te˙z miary 0 jako suma przeliczalnej rodziny zbior´ow miary 0 . Je´sli p ∈ [a, b]\D ,

to wszystkie funkcje f

1

, f

2

,. . . sa

,

cia

,

gÃle w punkcie p , zatem — na mocy twierdzenia

o cia

,

gÃlo´sci granicy jednostajnie zbie˙znego cia

,

gu funkcyjnego — funkcja f r´ownie˙z jest

cia

,

gÃla w tym punkcie. Cia

,

g (f

n

) speÃlnia jednostajny warunek Cauchy’ego, zatem dla

dostatecznie du˙zych liczb naturalnych k , n zachodzi nier´owno´s´c |f

n

(x)−f

k

(x)| < 1 ,

wobec tego 1 ≥ lim

n→∞

|f

n

(x) − f

k

(x)| = |f (x) − f

k

(x)| . Poniewa˙z funkcja f

k

jest

22

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

caÃlkowalna w sensie Riemanna, wie

,

c jest ograniczona. Wobec tego r´ownie˙z funkcja

f jest ograniczona: |f (x)| ≤ |f

k

(x)| + 1 . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze funkcja f jest

ograniczona i ˙ze jej zbi´or punkt´ow niecia

,

gÃlo´sci ma miare

,

0 , wie

,

c jest caÃlkowalna

w sensie Riemanna.

Niech ε be

,

dzie liczba

,

dodatnia

,

. Niech m be

,

dzie tak du˙za

,

liczba

,

naturalna

,

,

˙ze |f

m

(x) − f (x)| <

ε

b−a

dla ka˙zdego x ∈ [a, b] . Wobec tego na mocy lematu o

oszacowaniu caÃlki zastosowanego do funkcji f

m

− f mamy

¯

¯

¯

R

b

a

f (x)dx −

R

b

a

f

m

(x)dx

¯

¯

¯ ≤

R

b

a

|f (x) − f

m

(x)| dx ≤ (b − a) ·

ε

b−a

= ε .

Przechodzenie do granicy pod znakiem caÃlki jest wa˙zne w wielu sytuacjach. Po-

damy jeszcze jedno twierdzenie, kt´ore w og´olniejszej wersji nazywane jest twierdze-

niem Lebesgue’a.

Twierdzenie 10.42 (

o zbie˙zno´

sci zmajoryzowanej

) (poza programem AMI)

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcje f, f

1

, f

2

, . . . okre´slone na przedziale [a, b] sa

,

caÃlkowalne w sen-

sie Riemanna oraz ˙ze f (x) = lim

n→∞

f

n

(x) dla x ∈ [a, b] \ S , |S| = 0 i ˙ze istnieje

taka liczba M > 0 , ˙ze dla ka˙zdej liczby x ∈ [a, b] zachodza

,

wszystkie nier´owno´sci

M ≥ |f (x)|, |f

1

(x)|, |f

2

(x)|, . . . . Wtedy

R

b

a

f (x)dx = lim

n→∞

R

b

a

f

n

(x)dx .

Dow´

od. Niech D be

,

dzie zbiorem zÃlo˙zonym ze wszystkich punkt´ow, w kt´orych

co najmniej jedna z funkcji f, f

1

, f

2

, . . . jest niecia

,

gÃla oraz z tych punkt´ow x , dla

kt´orych nie jest prawda

,

, ˙ze lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) . Zbi´or D jest suma

,

przeliczalnie

wielu zbior´ow miary 0 , wie

,

c |D| = 0 . Niech C = [a, b] \ D . Niech ε > 0 i

niech A

n

= {x ∈ C :

∃

k≥n

|f

k

(x) − f (x)| >

ε

2(b−a)

} . Niech B

1

⊇ B

2

⊇ B

3

⊇ . . .

be

,

da

,

takimi zbiorami, ˙ze A

n

⊆ B

n

dla n = 1, 2, . . . , B

n

jest zbiorem otwartym,

tzn. jest suma

,

przedziaÃl´ow otwartych i je´sli x ∈ B

n

to istnieje k ≥ n takie, ˙ze

|f

k

(x) − f (x)| >

ε

2(b−a)

. Zbiory A

n

mo˙zna powie

,

kszy´c do zbior´ow B

n

, bo funkcje

f, f

1

, f

2

, . . . sa

,

cia

,

gÃle w ka˙zdym punkcie zbioru C , a nier´owno´s´c wyste

,

puja

,

ca w

definicji zbioru A

n

jest ostra (wie

,

c je´sli jest speÃlniona w jakim´s punkcie x , to r´ownie˙z

we wszystkich punktach dostatecznie kr´otkiego przedziaÃlu o ´srodku w punkcie x ).

Niech B =

T

∞
n=1

B

n

. Jasne jest, ˙ze je´sli x ∈ B , to dla niesko´

nczenie wielu n ∈ N

zachodzi nier´owno´s´c |f

n

(x) − f (x)| >

ε

2(b−a)

. Sta

,

d wynika, ˙ze je´sli x ∈ B , to NIE

jest prawda

,

, ˙ze lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) . Wobec tego |B| = 0 . Z twierdzenia o cia

,

gÃlo´sci

miary zewne

,

trznej wynika, ˙ze lim

n→∞

|B

n

| = 0 . Istnieje wie

,

c taka liczba n

ε

∈ N , ˙ze

je´sli n > n

ε

, to |B

n

| <

ε

4M

. Stosuja

,

c lemat o oszacowaniu caÃlki stwierdzamy, ˙ze

¯

¯

R

b

a

¡

f

n

(x) − f (x)

¢

dx

¯

¯ ≤

R

b

a

¯

¯f

n

(x) − f (x)

¯

¯dx < 2M ·

ε

4M

+

ε

2(b−a)

· (b − a) = ε .

23

CaÃlka Riemanna

MichaÃl Krych

Z definicji granicy cia

,

gu wynika wie

,

c, ˙ze lim

n→∞

¯

¯

R

b

a

f

n

(x)−f (x)dx

¯

¯ = 0 . Sta

,

d od razu

wnioskujemy, ˙ze lim

n→∞

R

b

a

f

n

(x)dx =

R

b

a

f (x)dx . Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Zadanie:

Niech f

n

: [a, b] −→ R i niech f (x) = lim

n→∞

f

n

(x) dla x ∈ [a, b] \ D ,

|D| = 0 . Niech f, f

1

, f

2

, . . . be

,

da

,

funkcjami cia

,

gÃlymi w ka˙zdym punkcie x ∈ [a, b]\D .

Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje zbi´or C

ε

taki, ˙ze

¯

¯[a, b] \ C

ε

¯

¯ < ε

i f

n

⇒ f na C

ε

.

Zadanie:

Niech α(x) = e

−1/[x(1−x)]

dla x ∈ (0, 1) oraz α(x) = 0 dla x /

∈ (0, 1) .

Udowodni´c, ˙ze funkcja α jest klasy C

∞

. Niech β be

,

dzie funkcja

,

pierwotna

,

funkcji

α . Wykaza´c, ˙ze istnieja

,

staÃle c

1

∈ R i c

2

> 0 takie, ˙ze c

1

+ c

2

β(x) = 0 dla ka˙zdego

x < 0 i c

1

+ c

2

β(x) = 1 dla ka˙zdego x > 1 .

24