Podstawy matematyki nansowej

Omówimy tutaj podstawowe poj¦cia matematyki nansowej. Jest to dobre miejsce, gdy» za-

gadnienia te wi¡»¡ si¦ z ci¡gami, w szczególno±ci z ci¡giem arytmetycznym i geometrycznym.

Omówimy zagadnienie lokowania pieni¦dzy w banku i spªaty kredytu. Ograniczymy si¦ do naj-

prostszych sytuacji, gdy oprocentowanie lokaty lub kredytu jest staªe.

Procent prosty i skªadany

Na pocz¡tek przedstawimy kilka denicji:

procent prosty odsetki naliczane od kapitaªu co pewien ustalony okres czasu nie s¡ do tego

kapitaªu dopisywane, zatem za ka»dym razem otrzymujemy tyle samo odsetek i stan naszych

oszcz¦dno±ci tworzy post¦p arytmetyczny.

procent skªadany do kapitaªu s¡ dopisywane odsetki naliczone od kapitaªu, a zatem w na-

st¦pnym razem odsetki liczone s¡ od nowego, wi¦kszego kapitaªu. Stan naszych oszcz¦dno±ci

tworzy post¦p geometryczny.

kapitalizacja odsetek dopisanie odsetek do kapitaªu;

stopa nominalna stopa oprocentowania wzgl¦dem jednostki czasu (najcz¦±ciej 1 roku) liczo-

na tak jakby±my liczyli zgodnie ze wzorem na procent prosty (czyli bez uwzgl¦dnienia kapita-

lizacji odsetek). Je±li w ci¡gu roku odsetki s¡ naliczane n razy, za ka»dym razem w wysoko±ci
q

%, to stopa nominalna wynosi p = nq. Gdy co miesi¡c naliczane s¡ odsetki w wysoko±ci 0,3%,

to stopa nominalna wynosi 12 · 0,3% = 3,6%. Odwrotnie, je±li stopa nominalna wynosi 4,8% a

odsetki s¡ naliczane co dwa miesi¡ce, to za ka»dym razem bank nalicza odsetki w wysoko±ci

4,8%

6

= 0,8%

.

stopa efektywna rzeczywisty, procentowy przyrost kapitaªu (czyli z uwzgl¦dnieniem kapi-

talizacji odsetek).

Przykªad 6.1. Je±li mówimy, »e oprocentowanie w skali roku (roczna stopa nominalna) wynosi

12%, a kapitalizacja odsetek nast¦puje miesi¦cznie, oznacza to, »e co miesi¡c do kapitaªu jest
dopisywane

12%

12

= 1%

odsetek, za± stopa efektywna wynosi (1 + 0,01)

12

≈ 12,68%

.

Kilka wzorów

Niech p stopa nominalna; p

e

stopa efektywna, n liczba kapitalizacji w ci¡gu jednostki czasu

(roku), t liczba lat, K

t

- kapitaª po t latach. Wtedy

K

1

=

n

razy

z

}|

{

1 +

p

100

n

!

1 +

p

100

n

!

· · ·

1 +

p

100

n

!

=

1 +

p

100

n

!

n

K

t

= K

0

1 +

p

100

n

!

t·n

p

e

= 100

"

1 +

p

100

n

!

n

− 1

#

Ciekawostka. Zauwa»my, co si¦ b¦dzie dziaªo, gdy kapitalizacje b¦d¡ nast¦powaªy coraz

cz¦±ciej (czyli n zwi¦ksza si¦). Rozwa»a si¦ tak»e kapitalizacj¦ ci¡gª¡ (odsetki s¡ obliczane i dopi-
sywane na bie»¡co). Poniewa»

1 +

x
n

n n→∞

−−−→ e

x

, to wtedy mamy

K

1

= K

0

e

p

100

K

t

= K

0

e

t

p

100

p

e

= 100

h

e

p

100

− 1

i

1

Oczywi±cie, we wszystkich przykªadach i zadaniach porównuj¡cych oferty dwóch banków za-

kªadamy, »e wszelkie inne szczegóªy oferty poza oprocentowaniem i kapitalizacj¡ odsetek, s¡

identyczne. Jest to zaªo»enie sensowne gdy porównujemy lokaty (czemu, tak na prawd¦ sªu»¡

te rozwa»ania), cho¢ i w tym wypadku banki si¦ ró»ni¡ stopniem swobody w dysponowaniu

pieni¦dzmi i karami za zerwanie lokaty (wcze±niejsze wypªacenie cz¦±ci lub wszystkich pieni¦dzy).

Porównanie kont osobistych jest du»o bardziej skomplikowane ze wzgl¦du na ich funkcj¦ raczej

zarz¡dzania pieni¦dzmi ni» oszcz¦dzania pieni¦dzy. W przypadku kont osobistych oprocentowa-

nie zwykle ma drugorz¦dne znaczenie, w stosunku do kosztu prowadzenia takiego konta, kosztu

kart pªatniczych, dost¦pu do bankomatów, opªat za przelewy i wielu innych usªug oferowanych

w ramach konta osobistego.
Przykªad 6.2. Lokujemy 10 000 zª na dwa lata w banku, który oferuje lokat¦ z miesi¦czn¡

kapitalizacj¡ odsetek o rocznej stopie nominalnej 6%. Jaki b¦dzie nasz zysk?
Rozwi¡zanie: Kapitaª K

0

= 10 000

, stopa nominalna p = 6, kapitalizacja jest miesi¦czna, czyli

mamy n = 12 kapitalizacji w ci¡gu roku. Zatem zgodnie z powy»szym wzorem

K

2

= 10 000

1 +

6

100 · 12

24

= 11 271,60

Zatem zysk wynosi 1 271,61 zª.
Przykªad 6.3. Jaki byªby nasz zysk, gdyby kapitalizacja nast¦powaªa raz w roku
Rozwi¡zanie: W stosunku do poprzedniego zadania zmianie ulega jedynie liczba kapitalizacji

tutaj n = 1 (jedna kapitalizacja rocznie). St¡d

K

2

= 10 000

1 +

6

100

2

= 11 236

Zatem zysk wynosi 1 236,00 zª.
Przykªad 6.4. Bank Zbbieraj SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 24% i miesi¦cznej kapitali-

zacji odsetek. Bank Leppiej SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 25% i póªrocznej kapitalizacji

odsetek. Lokata którego z banków jest lepsza (zakªadamy oczywi±cie, »e pozostaªe warunki obu

lokat na przykªad opªaty za prowadzenie s¡ takie same)?
Rozwi¡zanie: Policzymy stopy efektywne: dla banku Zbbieraj SA:

p

e

= 100

1 +

24

12 · 100

12

− 1

!

= 26,82

Dla banku Leppiej SA:

p

e

= 100

1 +

25

2 · 100

2

− 1

!

= 26,56

Wniosek: Lepszym bankiem jest Zbbieraj SA.

Spªata kredytu.

Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci K zª. Trzeba b¦dzie go spªaci¢ w ratach. Mo»emy zada¢

sobie dwa pytania: (a) jaka b¦dzie wysoko±¢ rat, które b¦dziemy pªaci¢, gdy wiemy jak szybko

chcemy spªaci¢ kredyt; (b) jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt wiedz¡c, »e mo»emy lub chcemy

pªaci¢ raty w wysoko±ci nie wi¦kszej ni» b?

Zakªadamy, »e kredyt jest oprocentowany p% w skali roku, odsetki s¡ doliczane co miesi¡c

w wysoko±ci q =

p

1200

(taka jest zwykle procedura przy normalnych po»yczkach bankowych lub

kredytach natomiast niektóre instytucje nansowe oferuj¡ po»yczki spªacane co tydzie«, wtedy

oczywi±cie q = p/5200 i odsetki s¡ doliczane co tydzie«, a rozumowanie przedstawione poni»ej

2

pozostaje prawie bez zmian, z wyj¡tkiem, tego »e raty spªacamy co tydzie« a nie co miesi¡c).

W rozwa»aniach przyjmujemy staªe oprocentowanie kredytu. W rzeczywisto±ci oprocentowanie

kredytów dªugookresowych (np. mieszkaniowych) jest zwykle zmienne i zale»y od stóp procento-

wych. Poniewa» nie jeste±my w stanie przewidzie¢ (w dªu»szej perspektywie) o ile wzrosn¡/spadn¡

stopy procentowe, a w zwi¡zku z tym jak si¦ zmieni oprocentowanie, nawet banki dokonuj¡ wyli-

czenia rat, zakªadaj¡c staªe oprocentowanie. W przypadku jego zmiany, nale»y ponownie dokona¢

oblicze«.

Raty równe. Niech K

i

oznacza wysoko±¢ zadªu»enia (czyli pozostaªego do spªaty kredytu) po

i

-tym miesi¡cu od zaci¡gni¦cia kredytu. Na pocz¡tku miesi¡ca i-tgo do zadªu»enia, które ma-

my doliczane s¡ odsetki w wysoko±ci q, czyli qK

i−1

i odejmowana jest spªacona przez nas rata

w wysoko±ci b. Pozostaje nam do spªaty K

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− b

. St¡d mamy:

K

0

= K

K

1

= K(1 + q) − b

K

2

=

K(1 + q) − b

(1 + q) − b = K(1 + q)

2

− b((1 + q) + 1)

K

3

=

K(1 + q) − b

(1 + q) − b

!

(1 + q) − b = K(1 + q)

2

− b((1 + q)

2

+ (1 + q) + 1)

...

K

n

= K(1 + q)

n

− b

(1 + q)

n−1

+ (1 + q)

n−2

+ · · · + (1 + q)

2

+ (1 + q) + 1

Zatem otrzymujemy, korzystaj¡c ze wzoru na sum¦ n wyrazów ci¡gu geometrycznego:

K

n

= K(1 + q)

n

− b

(1 + q)

n

− 1

q

=

1

q

b − (b − Kq) (1 + q)

n

(6.1)

Zauwa»my od razu, »e aby spªaci¢ kredyt b > Kq, czyli spªacana rata musi by¢ wi¦ksza od

naliczanych odsetek. Mo»emy teraz odpowiedzie¢ na postawione wy»ej pytania. (a) Znamy liczb¦

rat n i chcemy wyznaczy¢ wysoko±¢ rat b. Oczywi±cie, gdy spªacimy kredyt, to K

n

= 0

. Šatwiej

b¦dzie nam skorzysta¢ z pierwszego z wyra»e« (6.1) na K

n

, gdy» b wyst¦puje tam tylko w jednym

miejscu. Proste przeksztaªcenie daje nam odpowied¹:

b = K

q(1 + q)

n

(1 + q)

n

− 1

(6.2)

Z drugiej strony, je±li znamy wysoko±¢ raty, jak¡ chcemy spªaca¢ (oczywi±cie, jak zauwa»yli±my

wy»ej b > Kq), to chcemy wyznaczy¢ n. Tym razem u»yjemy drugiego z wyra»e« (6.1) na K

n

,

przyrównuj¡c je do zera (bo kredyt ma by¢ spªacony). Mno»¡c stronami przez q pozbywamy si¦
1/q

stoj¡cego przed nawiasem kwadratowym, zatem wystarczy przyrówna¢ do zera wyra»enie

stoj¡ce w nawiasie kwadratowym. Przeksztaªcaj¡c je:

(1 + q)

n

=

b

b − Kq

ln [(1 + q)

n

] = ln

b

b − Kq

!

n ln(1 + q) = ln b − ln(b − Kq)

n =

ln b − ln(b − Kq)

ln(1 + q)

3

Poniewa» musimy spªaci¢ caªkowit¡ liczb¦ rat, nale»y jako t¦ liczb¦ przyj¡¢ najmniejsz¡ liczb¦

caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ od wyznaczonej, czyli kredyt zostanie spªacony gdy:

n =

&

ln b − ln(b − Kq)

ln(1 + q)

'

,

(6.3)

gdzie dxe oznacza najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ x.

Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt nasze zadªu»enie wobec banku maleje, a zatem malej¡ tak»e

naliczane odsetki od kredytu. Poniewa» pªacimy równe raty, a comiesi¦czne odsetki s¡ coraz

mniejsze, to na pocz¡tku spªaty kredytu, gªówn¡ cze±¢ raty stanowi¡ odsetki i spªacamy jedynie

maª¡ cz¦±¢ kapitaªu. Wraz z upªywem czasu, proporcja si¦ zmienia w ka»dej kolejnej racie

spªacany kapitaª stanowi coraz wi¦ksz¡ cz¦±¢.
Przykªad 6.5. Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci 150 000 zª na zakup nowego mieszkania.

Oprocentowanie kredytu wynosi 6%.

a) Jak¡ rat¦ b¦dziemy musieli pªaci¢ co miesi¡c je±li chcemy spªaci¢ kredyt w 20 lat.

b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ ten kredyt, je±li co miesi¡c b¦dziemy pªaci¢ 1 000 zª a ile 1 150 zª.
Rozwi¡zanie: Zauwa»my, »e q =

6

1200

= 0,005

, natomiast K = 150 000.

a) W tym przypadku n = 20 · 12 = 240. Podstawiaj¡c dane do wzoru (6.2) otrzymujemy

b = 150 000

0,005 · (1,005)

240

(1,005)

240

− 1

= 1 074,65

b) Mo»emy ªatwo policzy¢, »e Kq = 750. Rozwa»amy dwa przypadki: Gdy b = 1 000, to

podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:

n =

&

ln 1 000 − ln(1 000 − 750)

ln 1,005

'

= d277,95e = 278 .

Zatem kredyt spªacimy po 23 latach i dwóch miesi¡cach.

Gdy b = 1 150, to podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:

n =

&

ln 1 150 − ln(1 150 − 750)

ln 1,005

'

= d211,74e = 212 .

Kredyt spªacimy po 17 latach i 8 miesi¡cach.

Raty malej¡ce Banki oferuj¡ tak»e mo»liwo±¢ spªaty kredytu w ratach malej¡cych. Polegaj¡

one na tym, »e co miesi¡c spªacamy tak¡ sam¡ cz¦±¢ naszego zadªu»enia plus wszystkie naliczone

odsetki. Poniewa» kapitaª systematycznie maleje, odsetki naliczane od niego s¡ coraz mniejsze

i raty tak»e malej¡. Korzystaj¡c z wprowadzonych oznacze«, w miesi¡cu i do zadªu»enia doliczane

s¡ odsetki w wysoko±ci qK

i−1

i spªacamy rat¦ w wysoko±ci b

i

teraz rata zmienia si¦ w zale»no±ci

od miesi¡ca i skªada si¦ z naliczonych odsetek qK

i−1

, które spªacamy i cz¦±ci kapitaªu

K

n

, czyli

b

i

= qK

i−1

+

K

n

. Zatem

K

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− b

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− qK

i−1

−

K

n

= K

i−1

−

K

n

.

Šatwo zauwa»y¢, »e

K

i−1

= K − K

i

n

= K

1 −

i

n

b

i

= qK

i−1

+

K

n

= K

q

1 −

i − 1

n

+

1

n

(6.4)

4

Oczywiste jest, »e spªata kredytu nast¡pi po n ratach. Aby ustali¢ wysoko±¢ rat, musimy najpierw

wyliczy¢ jak¡ cz¦±¢ kapitaªu b¦dziemy spªaca¢ za ka»dym razem. Gdy wiemy ile rat b¦dziemy

pªaci¢, jest to proste i liczy si¦ dziel¡c kapitaª przez liczb¦ rat. Gdy chcemy pªaci¢ raty nie

wi¦ksze ni» b, to musimy ustali¢ wysoko±¢ najwi¦kszej raty pierwszej. Teraz mo»emy wyliczy¢

liczb¦ rat

b = b

1

= K

q +

1

n

⇒ n =

K

b − qK

(6.5)

któr¡ przyjdzie nam zapªaci¢, a nast¦pnie wysoko±¢ dowolnej raty.
Przykªad 6.6. Rozwa»my ten sam kredyt co w przykªadzie 5.

a) Policzmy, jaka b¦dzie wysoko±¢ 1 i ostatniej raty, gdy b¦dziemy ten kredyt spªaca¢ przez 20

lat? Jak b¦dzie rata zapªacona po 10 latach, czyli o numerze i = 121? Która rata, jako pierwsza

b¦dzie ni»sza od 1 074,65, czyli od kiedy b¦dziemy pªaci¢ raty mniejsze ni» przy ratach równych?

b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt gdy chcemy by najwy»sza rata nie przekraczaªa 1 000 zª,

a jak dªugo gdy najwy»sza rata ma nie przekracza¢ 1 150 zª. Jaka b¦dzie wysoko±¢ ostatniej raty

w ka»dym z tych dwóch przypadków?
Rozwi¡zanie: a) Zauwa»my, »e n = 240, w zwi¡zku z tym K/n = 625. Korzystaj¡c ze wzo-

ru (6.4) dla i = 1, 240, 121 otrzymujemy odpowiednio:

b

1

= 150 000

0, 005 +

1

240

= 1 375

b

240

= 150 000

0,005

240

+

1

240

= 628,13

b

121

= 150 000

0,005

1 −

120

240

+

1

240

= 1 000 .

Pierwsza rata wynosi 1 375 zª, ostatnia 628,13 za± po 10 latach (czyli 121 rata) 1 000 zª.

Policzmy teraz kiedy raty stan¡ si¦ mniejsze ni» b = 1 075,65. Poniewa» raty s¡ malej¡ce

wystarczy znale¹¢ pierwsz¡ rat¦ nie wi¦ksz¡ ni» b. Przeksztaªcamy wzór (6.4)

i = n

"

1 −

1

q

b

K

−

1

n

!#

+ 1 = 240

"

1 −

1

0, 005

1 074,65

150 000

−

1

240

#

+ 1 = 87,112

St¡d wynika, »e ju» 98 rata b¦dzie ni»sza ni» wszystkie raty przy spªacie kredytu ratami równymi.

Rzeczywi±cie, licz¡c wysoko±¢ rat 97 i 98 otrzymujemy odpowiednio 1 075 zª i 1 071,88 zª.

b) Tym razem skorzystamy ze wzoru (6.5). Zauwa»my, »e przy najwy»szej racie w wysoko±ci
1 000

zª mamy b − Kq = 250, natomiast gdy zdecydujemy si¦ na pierwsz¡, najwy»sz¡ rat¦ w wy-

soko±ci 1 150 zª, to b − Kq = 400. Šatwo teraz wyliczy¢ liczb¦ rat, potrzebnych do spªaty kredytu

dziel¡c wysoko±¢ kredytu przez obliczon¡ wcze±niej liczb¦ czyli przez wielko±¢ pojedynczej

spªaty kapitaªu. Otrzymujemy, w przypadku 1 000 zª n = 600, co oznacza, »e kredyt b¦dziemy

spªaca¢ 50 lat!! W przypadku pierwszej raty w wysoko±ci 1 150 zª dostajemy n = 375, czyli kredyt

b¦dziemy spªaca¢ 31 lat i 3 miesi¡ce. Wielko±¢ ostatniej raty b¦dzie, odpowiednio 251,25 zª i 402 zª.

Proponuj¦ porówna¢ uzyskane tu wyniki z wynikami z przykªadu 5.

Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt ratami malej¡cymi, w efekcie, zapªacimy bankowi mniej od-

setek. Z drugiej strony, warto±¢ pieni¡dza spada (inacja). W efekcie koszt kredytu przy obu

sposobach spªaty jest podobny.

Czy zatem warto wybra¢ raty malej¡ce? Czasem tak, czasem nie. Wszystko zale»y od innych

czynników, na przykªad mo»liwo±ci nadpªacania/wcze±niejszej spªaty kredytu, obecnej i przewi-

dywanej sytuacji nansowej.

5