Egzamin z Algebry, 21 VI 2011 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr
Zadanie
Odp.
1
Obliczyć
√
2
2
+i
√
2
2
5
. Wynik zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej).
Rozwiązanie:
z =
√
2
2
+ i
√
2
2
= 1 · (cos
π
4
+ i sin
π
4
)
z
5
= 1
5
· (cos
5π
4
+ i sin
5π
4
) = −
√
2
2
− i
√
2
2
−
√
2
2
−
i
√
2
2
2
Wyznaczyć det A
−1
, jeżeli
A =
0 1 0 0
1 0 2 3
2 0 0 1
1 0 1 0
Rozwiązanie:
detA =
0 1 0 0
1 0 2 3
2 0 0 1
1 0 1 0
= 1 · (−1)
1+2
1 2 3
2 0 1
1 1 0
= −1 · (2 + 6 − 1) = −7
Stosujemy rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza.
detA
−1
=
1
detA
= −
1
7
−
1
7
3
Dla danych wektorów ~
u = [1, 0, 1] , ~
w = [1, 0, 0] obliczyć ~
w × (3~
u − ~
w)
Rozwiązanie:
~
w × (3~
u − ~
w) = [1, 0, 0] × [2, 0, 3] =
i j
k
1 0
0
2 0
3
= −3j = [0, −3, 0]
[0, −3, 0]
4
Obliczyć długość ogniskowej elipsy: 4x
2
+ 9y
2
− 8x − 36y + 4 = 0
Rozwiązanie:
4x
2
+ 9y
2
− 8x − 36y + 4 = 0 =⇒ 4(x
2
− 2x) + 9(y
2
− 4y) + 4 = 0
4(x − 1)
2
− 4 + 9(y − 2)
2
− 36 + 4 = 0 =⇒ 4(x − 1)
2
+ 9(y − 2)
2
= 36 =⇒
(x − 1)
2
9
+
(y − 2)
2
4
= 1
Postać kanoniczna
Półosie: a =
√
9 = 3 , b =
√
4 = 2 , a > b
Ogniskowa:
√
a
2
− b
2
=
√
5
√
5
5
Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny
π
x = 1 + t + s
y = 2t
z = 3 + 2t + s
s, t ∈ R
Rozwiązanie:
Wektor normalny płaszczyzny:
~
n = [1, 2, 2] × [1, 0, 1] =
i j
k
1 2
2
1 0
1
= 2i + j − 2k = [2, 1, −2]
Dowolna prosta o takim wketorze kierukowym jest prostopadła do płasz-
czyzny. Na przykład:
x
2
=
y
1
=
z
−2
x
2
=
y
1
=
z
−2
1
2. Rozłożyć wielomian W (z) = z
4
+ z
3
+ z
2
+ z na czynniki liniowe.
Rozwiązanie:
W (z) = z
4
+ z
3
+ z
2
+ z = z
3
(z + 1) + z(z + 1) = (z + 1)(z
3
+ z) = z(z + 1)(z
2
+ 1)
Szukamy pierwiastków wielomianu:
z
2
+ 1 = 0
z
2
= −1
z = ±i
Stąd:
z
2
+ 1 = (z − i)(z + i)
Mamy:
W (z) = z(z + 1)(z − i)(z + i)
Odpowiedż:
W (z) = z(z + 1)(z − i)(z + i)
2
3. Dla jakich wartości parametru p układ równań
(2 − p)x +
y +
2z = 0
2x + (1 − p)y +
2z = 0
2x +
y + (2 − p)z = 0
ma rozwiązania niezerowe?
Rozwiązanie:
Jednorodny układ równań z trzema niewiadomymi ma rozwiązania niezerowe, gdy rząd
macierzy A jest mniejszy niż 3.
Musi więc być |A| = 0
|A| =
2 − p
1
2
2 1 − p
2
2
1 2 − p
=
−p
1
2
0 1 − p
2
p
1 2 − p
= −p(1 − p)(2 − p) + 2p − 2p(1 −
p) + 2p = −p
3
+ 5p
2
Od pierwszej kolumny odjęliśmy trzecią.
−p
3
+ 5p
2
= 0
−p
2
(p − 5) = 0
p = 0 lub p = 5
Odpowiedź:
Układ ma rozwiązania niezerowe dla p = 0 oraz p = 5 .
3
4. Dany jest punkt P (1, 1, 1) i prosta
l :
x − 1
1
=
y − 2
−1
=
z − 3
1
.
Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P na prostą l .
Rozwiązanie:
Wektor [1, −1, 1] jest wektorem kierunkowym prostej. Płaszczyzna Prostopadła do pro-
stej i przechodząca przez punkt P ma równanie:
π : x − y + z + D = 0
P ∈ π =⇒ 1 − 1 + 1 + D = 0 =⇒ D = −1
π : x − y + z − 1 = 0
Rzut punktu P jest punktem przecięcia prostej i płaszczyzny. Przekształcamy równanie
prostej do postaci parametrycznej.
x = t + 1
y = 2 − t
z = 3 + t
t + 1 − 2 + t + 3 + t − 1 = 0 =⇒ 3t + 1 = 0 =⇒ t = −
1
3
Stąd:
x =
2
3
, y =
7
3
, x =
8
3
Odpowiedź:
P
0
= (
2
3
,
7
3
,
8
3
)
4
5. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x − 10y + 4z − 6 = 0 i równoległych do płaszczyzny 12x − 3y + 4z − 8 = 0
Rozwiązanie:
Przekstałacamy równanie sfery do postaci kanonicznej:
(x + 1)
2
− 1 + (y − 5)
2
− 25 + (z + 2)
2
− 4 − 6 = 0
(x + 1)
2
+ (y − 5)
2
+ (z + 2)
2
= 36
Środek sfery jest w punkcie O(−1, 5, −2) a jej promień R = 6.
Równanie płaszczyzny równoległej do danej:
π : 12x − 3y + 4z + D = 0
Środek sfery jest odległy od płaszczyzny stycznej o R:
| − 12 − 15 − 8 + D|
q
12
2
+ (−3)
2
+ 4
2
= 6
|D − 35| = 6 ·
√
169
D − 35 = ±78
D
1
= 113 , D
2
= −43
Odpowiedź:
Płaszczyzny styczne:
π
1
: 12x − 3y + 4z + 113 = 0
π
2
: 12x − 3y + 4z − 43 = 0
5
6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwie proste:
x
7
=
y + 2
3
=
z − 1
5
oraz
x − 1
7
=
y − 3
3
=
z + 2
5
Rozwiązanie:
Dane proste są równoległe. Szukamy więc płaszczyzny przechodzącej przez pierwszą
prostą i dowolny punkt np. A(1, 3, −2) drugiej prostej.
Równanie pierszej prostej przekształcamy do postaci krawędziowej:
x
7
=
y + 2
3
=⇒ 3x = 7(y + 2) =⇒ 3x − 7y − 14 = 0
x
7
=
z − 1
5
=⇒ 5x = 7(z − 1) =⇒ 5x − 7z + 7 = 0
Szukna płaszczyzna π ma równanie:
α(3x − 7y − 14) + β(5x − 7z + 7) = 0
pęk płaszczyzn
−32α + 26β = 0
punkt (1, 3, −2) ∈ π
16α = 13β
β = 16
możemy wybrać dowolną wartość 6= 0
α = 13
13(3x − 7y − 14) + 16(5x − 7z + 7) = 0
119x − 91y − 112z + 112 = 0
17x − 13y − 16z + 16 = 0
Odpowiedź:
Szukana płaszczyzna:
17x − 13y − 16z + 16 = 0
6