Egzamin z Algebry, 21 VI 2011 godz. 9.00

1. Zadanie wstępne

Nr

Zadanie

Odp.

1

Obliczyć

√

2

2

+i

√

2

2

5

. Wynik zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej).

Rozwiązanie:
z =

√

2

2

+ i

√

2

2

= 1 · (cos

π

4

+ i sin

π

4

)

z

5

= 1

5

· (cos

5π

4

+ i sin

5π

4

) = −

√

2

2

− i

√

2

2

−

√

2

2

−

i

√

2

2

2

Wyznaczyć det A

−1

, jeżeli

A =








0 1 0 0
1 0 2 3
2 0 0 1
1 0 1 0








Rozwiązanie:

detA =

0 1 0 0
1 0 2 3
2 0 0 1
1 0 1 0

= 1 · (−1)

1+2

1 2 3
2 0 1
1 1 0

= −1 · (2 + 6 − 1) = −7

Stosujemy rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza.

detA

−1

=

1

detA

= −

1

7

−

1

7

3

Dla danych wektorów ~

u = [1, 0, 1] , ~

w = [1, 0, 0] obliczyć ~

w × (3~

u − ~

w)

Rozwiązanie:

~

w × (3~

u − ~

w) = [1, 0, 0] × [2, 0, 3] =

i j

k

1 0

0

2 0

3

= −3j = [0, −3, 0]

[0, −3, 0]

4

Obliczyć długość ogniskowej elipsy: 4x

2

+ 9y

2

− 8x − 36y + 4 = 0

Rozwiązanie:
4x

2

+ 9y

2

− 8x − 36y + 4 = 0 =⇒ 4(x

2

− 2x) + 9(y

2

− 4y) + 4 = 0

4(x − 1)

2

− 4 + 9(y − 2)

2

− 36 + 4 = 0 =⇒ 4(x − 1)

2

+ 9(y − 2)

2

= 36 =⇒

(x − 1)

2

9

+

(y − 2)

2

4

= 1

Postać kanoniczna

Półosie: a =

√

9 = 3 , b =

√

4 = 2 , a > b

Ogniskowa:

√

a

2

− b

2

=

√

5

√

5

5

Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny

π











x = 1 + t + s
y = 2t
z = 3 + 2t + s

s, t ∈ R

Rozwiązanie:
Wektor normalny płaszczyzny:

~

n = [1, 2, 2] × [1, 0, 1] =

i j

k

1 2

2

1 0

1

= 2i + j − 2k = [2, 1, −2]

Dowolna prosta o takim wketorze kierukowym jest prostopadła do płasz-

czyzny. Na przykład:

x

2

=

y

1

=

z

−2

x

2

=

y

1

=

z

−2

1

2. Rozłożyć wielomian W (z) = z

4

+ z

3

+ z

2

+ z na czynniki liniowe.

Rozwiązanie:

W (z) = z

4

+ z

3

+ z

2

+ z = z

3

(z + 1) + z(z + 1) = (z + 1)(z

3

+ z) = z(z + 1)(z

2

+ 1)

Szukamy pierwiastków wielomianu:

z

2

+ 1 = 0

z

2

= −1

z = ±i

Stąd:

z

2

+ 1 = (z − i)(z + i)

Mamy:

W (z) = z(z + 1)(z − i)(z + i)

Odpowiedż:

W (z) = z(z + 1)(z − i)(z + i)

2

3. Dla jakich wartości parametru p układ równań











(2 − p)x +

y +

2z = 0

2x + (1 − p)y +

2z = 0

2x +

y + (2 − p)z = 0

ma rozwiązania niezerowe?

Rozwiązanie:

Jednorodny układ równań z trzema niewiadomymi ma rozwiązania niezerowe, gdy rząd
macierzy A jest mniejszy niż 3.

Musi więc być |A| = 0

|A| =

2 − p

1

2

2 1 − p

2

2

1 2 − p

=

−p

1

2

0 1 − p

2

p

1 2 − p

= −p(1 − p)(2 − p) + 2p − 2p(1 −

p) + 2p = −p

3

+ 5p

2

Od pierwszej kolumny odjęliśmy trzecią.

−p

3

+ 5p

2

= 0

−p

2

(p − 5) = 0

p = 0 lub p = 5

Odpowiedź:

Układ ma rozwiązania niezerowe dla p = 0 oraz p = 5 .

3

4. Dany jest punkt P (1, 1, 1) i prosta

l :

x − 1

1

=

y − 2

−1

=

z − 3

1

.

Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P na prostą l .

Rozwiązanie:

Wektor [1, −1, 1] jest wektorem kierunkowym prostej. Płaszczyzna Prostopadła do pro-
stej i przechodząca przez punkt P ma równanie:

π : x − y + z + D = 0

P ∈ π =⇒ 1 − 1 + 1 + D = 0 =⇒ D = −1

π : x − y + z − 1 = 0

Rzut punktu P jest punktem przecięcia prostej i płaszczyzny. Przekształcamy równanie
prostej do postaci parametrycznej.

x = t + 1

y = 2 − t

z = 3 + t

t + 1 − 2 + t + 3 + t − 1 = 0 =⇒ 3t + 1 = 0 =⇒ t = −

1
3

Stąd:

x =

2
3

, y =

7
3

, x =

8
3

Odpowiedź:

P

0

= (

2
3

,

7
3

,

8
3

)

4

5. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni

x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x − 10y + 4z − 6 = 0 i równoległych do płaszczyzny 12x − 3y + 4z − 8 = 0

Rozwiązanie:

Przekstałacamy równanie sfery do postaci kanonicznej:

(x + 1)

2

− 1 + (y − 5)

2

− 25 + (z + 2)

2

− 4 − 6 = 0

(x + 1)

2

+ (y − 5)

2

+ (z + 2)

2

= 36

Środek sfery jest w punkcie O(−1, 5, −2) a jej promień R = 6.

Równanie płaszczyzny równoległej do danej:

π : 12x − 3y + 4z + D = 0

Środek sfery jest odległy od płaszczyzny stycznej o R:

| − 12 − 15 − 8 + D|

q

12

2

+ (−3)

2

+ 4

2

= 6

|D − 35| = 6 ·

√

169

D − 35 = ±78

D

1

= 113 , D

2

= −43

Odpowiedź:

Płaszczyzny styczne:

π

1

: 12x − 3y + 4z + 113 = 0

π

2

: 12x − 3y + 4z − 43 = 0

5

6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwie proste:

x

7

=

y + 2

3

=

z − 1

5

oraz

x − 1

7

=

y − 3

3

=

z + 2

5

Rozwiązanie:

Dane proste są równoległe. Szukamy więc płaszczyzny przechodzącej przez pierwszą
prostą i dowolny punkt np. A(1, 3, −2) drugiej prostej.

Równanie pierszej prostej przekształcamy do postaci krawędziowej:

x

7

=

y + 2

3

=⇒ 3x = 7(y + 2) =⇒ 3x − 7y − 14 = 0

x

7

=

z − 1

5

=⇒ 5x = 7(z − 1) =⇒ 5x − 7z + 7 = 0

Szukna płaszczyzna π ma równanie:

α(3x − 7y − 14) + β(5x − 7z + 7) = 0

pęk płaszczyzn

−32α + 26β = 0

punkt (1, 3, −2) ∈ π

16α = 13β

β = 16

możemy wybrać dowolną wartość 6= 0

α = 13

13(3x − 7y − 14) + 16(5x − 7z + 7) = 0

119x − 91y − 112z + 112 = 0

17x − 13y − 16z + 16 = 0

Odpowiedź:

Szukana płaszczyzna:

17x − 13y − 16z + 16 = 0

6