1.

 

Podać definicję tłumienia krytycznego oraz 
warunek, z którego się go wyznacza. 

Współczynnik tłumienia krytycznego to taka wartość współczynnika tłumieni, po 
przekroczeniu której ruch jest aperiodyczny. 
Warunek – zerowanie się delty równania charakterystycznego: 

km

c

mk

c

k

cr

mr

kr

2

,

0

4

,

0

2

2

=

=

−

=

∆

=

+

+

 

2.

 

Podać definicje:  

a.

 

głównych osi bezwładności, 

b.

 

głównych centralnych osi bezwładności. 

a)   Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora  
      bezwładności. 
b)   Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone  
       przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości  
       bryły. 

3.

 

Podać własności głównych osi bezwładności.  1.

 

Każdy sztywny układ materialny ma co najmniej trzy osie bezwładności: 

−

 

dokładnie trzy, gdy wszystkie wartości własne są różne, 

−

 

jedną i płaszczyznę osi, gdy dwie wartości własne są jednakowe, 

−

 

całą przestrzeń, gdy wszystkie wartości własne są jednakowe. 

2.

 

Tensor bezwładności w układzie głównych osi bezwładności ma postać 
diagonalną (momenty dewiacji względem płaszczyzn wyznaczonych przez 
główne osie bezwładności maja wartość 0). 

3.

 

Momenty bezwładności z przekątnej głównej przyjmują wartości ekstremalne. 

4.

 

Jeśli układ materialny posiada oś symetrii to ta oś pokrywa się z jedną 
z głównych osi bezwładności 

4.

 

Względem jakiej prostej przechodzącej przez 
ś

rodek masy trójkąta materialnego 

przedstawionego na rysunku moment 
bezwładności jest maksymalny i ile wynosi? 

 
 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

24

12

2

2

4

4

a

a

I

l

=













=

 

 

 

 

 

 

 
 
   

5.

 

Przy jakim założeniu o punkcie A obowiązuje 
zasada krętu? 

 
Punkt A jest punktem stałym lub środkiem masy. 

6.

 

Czy znajomość zredukowanego układu sił 
w środku masy pozwala przewidzieć ruch 
ciała sztywnego? Odpowiedź uzasadnić. 

 

S

     

- suma układu sił, 

M

 

- moment układu sił względem  

 

 

  środka masy, 

 

Tak. Ten fakt wynika z postaci równań bryły sztywnej:  











=

=

=

→

=

z

y

x

S

z

m

S

y

m

S

x

m

S

p

&

&

&

&

&

&

&

 

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)











=

−

+

=

−

+

=

−

+

→









×

+

=

=

=

•

•

ς

ξ

η

η

ξ

ς

ς

η

ς

ξ

ξ

ς

η

η

ξ

η

ς

ς

η

ξ

ξ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

M

I

I

I

M

I

I

I

M

I

I

I

J

J

J

M

J

K

&

&

&

&

&

 

7.

 

Napisać równanie Lagrange’a II rodzaju oraz 
podać znaczenie użytych symboli. 

m

i

q

r

F

Q

n

j

Q

q

E

q

E

dt

d

i

j

i

i

j

j

j

k

j

k

,

...

,

2

,

1

,

...

,

2

,

1

=

∂

∂

=

=

=

∂

∂

−















∂

∂

∑

&

 

  

E

k  

– energia kinetyczna układu, 

  

j

q

 – współrzędna uogólniona, 

  

j

Q

 – siła uogólniona, 

  

 n   – liczba stopni swobody, 

  

 m   – liczba punktów przyłożenia siły. 

 

a

a

l 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.

 

W odniesieniu do przedstawionych obszarów 
materialnych podać: 
a.

 

ile głównych centralnych osi bezwładności 
mają te obszary? 

b.

 

ile wynoszą główne centralne momenty 
bezwładności tych obszarów? 

 a) Dwie główne centralne   a) ∞ wiele głównych centralnych osi bezwładności 
     osie bezwładności                  (każda oś przechodząca przez środek masy) 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 

12

4

a

I

yc

=

 

b)  

π

π

π

3

4

2

8

2

4

r

r

r

I

xc

⋅

−

=

 

     

8

4

r

I

yc

π

=

  

 

 

 

 

 

 

2.

 

Podać twierdzenie o pędzie układu. 

Pęd układu materialnego jest równy pędowi środka masy tego układu 
 
 

3.

 

Napisać równania ruchu swobodnej bryły 
sztywnej wraz z objaśnieniami użytych 
symboli. 

S

     

 

- suma układu sił, 

M

 

 

- moment układu sił względem  

 

 

 

  środka masy, 

ς

η

ξ

,

,

 

- gł. centralne osie bezwładności, 

ς

η

ξ

I

I

I

,

,

 - gł. centralne momenty bezwł. 

 

Równanie ruchu postępowego środka masy: 











=

=

=

→

=

z

y

x

S

z

m

S

y

m

S

x

m

S

p

&

&

&

&

&

&

&

 

Równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy: 

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)











=

−

+

=

−

+

=

−

+

→









×

+

=

=

=

•

•

ς

ξ

η

η

ξ

ς

ς

η

ς

ξ

ξ

ς

η

η

ξ

η

ς

ς

η

ξ

ξ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

M

I

I

I

M

I

I

I

M

I

I

I

J

J

J

M

J

K

&

&

&

&

&

 

4.

 

Napisać równanie wynikające z zasady 
d’Alemberta (zasada prac wirtualnych układu 
sił czynnych i bezwładności) wraz 
założeniami o więzach. Podać znaczenie 
użytych symboli. 

(

)

...

,

2

,

1

0

=

∀

=

+

∑

i

B

F

si

i

si

i

i

δ

δ

 

Więzy: geometryczne, stacjonarne, dwustronne i gładkie. 

i

i

B

F ,

   

– siły czynne i bezwładności 

 

si

δ

  

 

– przemieszczenia wirtualne 

 

r

a

a