D

YNAMICZNE

M

ODELE

E

KONOMETRYCZNE

9,,, 2JyOQRSROVNLH 6HPLQDULXP 1DXNRZH ZU]HQLD Z 7RUXQLX

.DWHGUD (NRQRPHWULL L 6WDW\VW\NL 8QLZHUV\WHW 0LNRãDMD .RSHUQLND Z 7RUXQLX

Józef Stawicki

8QLZHUV\WHW 0LNRáDMD .RSHUQLND Z 7RUXQLX

3U]HáF]QLNRZHPRGHOH0DUNRZD

:VWS

-HGQ ] NODV PRGHOL QLHVWDFMRQDUQ\FK SURFHVyZ VWRFKDVW\F]Q\FK V

SU]HáF]QLNRZH PRGHOH áDFXFKyZ 0DUNRZD 0DUNRY 6ZLWFKLQJ 0RGHOV ±06
modele).

0RGHO 06 ]DGDQ\ MHVW IRUPXá













=

=

=

=

r

s

gdy

y

s

gdy

y

s

gdy

y

y

t

rt

t

t

t

t

t

2

1

2

1

gdzie

t

s

MHVW UHDOL]DFM MHGQRURGQHJR áDFXFKD 0DUNRZD

t

S o

r stanach,

]DGDQHJR PDFLHU] SU]HMFLD

r

r

ij

p

P

×

=

]

[

. Klasy procesów MS otrzymujemy

F]\QLF RGSRZLHGQLH ]DáR*HQLD R SURFHVDFK F]VWNRZ\FK

it

y . W przypadku gdy

it

y

V ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R UR]NáDGDFK QD G\VNUHWQ\FK SU]HVWU]HQLDFK X*\ZD

VL QD]Z\ 8NU\WH àDFXFK\ 0DUNRZD Hidden Markov Model – HMM).

6]F]HJyOQHJR ]QDF]HQLD PHWRGD ]\VNDáD SU]\ PRGHORZDQLX L DQDOL]LH

ILQDQVRZ\FK V]HUHJyZ F]DVRZ\FK F]\ WR GRW\F]F\FK NXUVyZ QD U\QNX

NDSLWDáRZ\P F]\ WH* V]HUHJyZ NXUVyZ ZDOXWRZ\FK ,VWQLHQLH RNUHVyZ Z]URVWX L

VSDGNX Z\PXV]D SU]\MFLD QLHVWDFMRQDUQHJR FKDUDNWHUX SURFHVyZ ,GHD PRGHOL

06 ]ZL]DQD MHVW FLOH ] PLHV]DQNDPL UR]NáDGyZ =DLQWHUHVRZDQLH W\PL

PRGHODPL SRG\NWRZDQH MHVW NRQLHF]QRFL SU]\MFLD IDNWX *H UR]NáDG\ VWyS

]ZURWX V DV\PHWU\F]QH ] WDN ]ZDQ\PL JUXE\PL RJRQDPL 3RGVWDZRZ\P

]DáR*HQLHP Z PRGHODFK 06 MHVW QLHREVHUZRZDOQRü VWDQyZ áDFXFKD 0DUNRZD

SU]HáF]DMFHJR SURFHV PLHG]\ UH*LPDPL

Józef Stawicki

124

2. Modele

Najprostszym modelem jest przytoczony przez Millsa (por. Mills (1993))

model postaci

t

t

t

u

z

y

+

=

.

(1)

1LHVWDFMRQDUQ\ VNáDGQLN

t

z

MHVW SURFHVHP EáG]HQLD SU]\SDGNRZHJR L RSLVDQ\

jest równaniem

1

)

(

−

+

=

t

t

t

z

S

z

µ

, (2)

gdzie

t

t

S

a

a

S

1

0

)

(

+

=

µ

(3)

W modelu tym przez

t

S

R]QDF]RQR VWDQ áDFXFKD 0DUNRZD SU]\ELHUDMFHJR

ZDUWRü OXE L RSLVDQHJR PDFLHU] SU]HMFLD













−

−

=

22

22

11

11

1

1

p

p

p

p

P

(4)

2 VNáDGQLNX

t

u

]DNáDGD VL *H MHVW SRVWDFL $5p EG( F]FLHM *H MHVW

procesem n.i.d.

7DN SRVWDZLRQ\ SUREOHP XZ]JOGQLD ]PLDQ UHGQLHM SURFHVX 3R]LRP\ WHM

UHGQLHM RVLJDQH V ORVRZR 3U]HáF]DQLH PLG]\ UHGQLPL QDVWSXMH SRSU]H]
macierz P .

5R]ZLQLFLHP LGHL MHVW SURSRQRZDQ\ SU]H] Hamiltona (por. Hamilton

(1994)) model postaci

t

t

S

S

t

y

c

y

t

t

ε

+

Φ

+

=

−

1

(5)

gdzie

t

S

V VWDQDPL QLHREVHUZRZDQHJR áDFXFKD 0DUNRZD R N stanach a

t

S

Φ

oraz

t

S

c

V SDUDPHWUDPL ]ZL]DQ\PL ] UH*LPHP 0RGHO WHQ Z NRQVHNZHQFML

RSLVXMH ]PLDQ\ UHGQLHM ZDUWRFL ZHGáXJ UH*LPyZ GOD SURFHVX

DXWRUHJUHV\MQHJR -HOL PRGHO WHQ SU]HGVWDZLP\ Z SRVWDFL

t

t

S

S

t

x

c

y

t

t

ε

+

Φ

+

=

(6)

WR PDP\ GR F]\QLHQLD ] PRGHOHP UHJUHVML SU]HáF]QLNRZHM SRU 3UXVND
(1996)).

: SU]\SDGNX ]DOH*QRFL DXWRUHJUHV\MQHM Z\*V]HJR U]GX PRGHO PR*QD

UR]ZLQü GR SRVWDFL

t

S

q

t

q

S

t

S

t

S

t

q

t

t

t

t

y

y

y

y

ε

µ

φ

µ

φ

µ

φ

µ

+

−

+

+

−

+

−

=

−

−

−

−

−

−

−

)

(

...

...

)

(

)

(

2

1

2

2

1

1

.

(7)

3U]\MPXMF ]DáR*HQLH *H

t

y ,

t

s

µ

oraz

t

ε

V SURFHVDPL ZHNWRURZ\PL IRUPXáD

MHVW SRGVWDZ UR]ZD*DQLD PRGHOL 9$5 SU]HáF]DQ\FK áDFXFKHP PDUNRZD
(MS-VAR) (por. Krolzig

: PRGHOX WDNLP PR*OLZH MHVW Z\NRU]\VWDQLH

áDFXFKyZ 0DUNRZD ZLHORNURWQLH ZL]DQ\FK

3U]HáF]QLNRZH PRGHOH 0DUNRZD

125

.ROHMQH ZHUVM PRGHOX SU]HáF]QLNRZHJR SU]HGVWDZLD UyZQDQLH SRU Yin

(2003))

1

1

+

+

+

=

t

t

t

t

V

G

y

ε

,

(8)

gdzie

t

ε

jest procesem

LLG R VWDQGDU\]RZDQ\P UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P

t

G

oraz

t

V

MHVW RGSRZLHGQLR UHGQL L ZDULDQFM SURFHVX 3DU

)

,

(

t

t

V

G

WUDNWXMH VL

MDNR ]PLHQQ ORVRZ ] UHDOL]DFMDPL

)

,

(

t

t

v

g

RGSRZLDGDMF\PL VWDQRP áDFXFKD

0DUNRZD R PDFLHU]\ SU]HMFLD

N

N

ij

p

P

×

=

]

[

0RGHO WHQ WZRU]\ PLHV]DQN

UR]NáDGyZ L Z SU]\SDGNX áDFXFKD UHJXODUQHJR SDUDPHWUDPL PLHV]DMF\PL V

SUDZGRSRGRELHVWZD UR]NáDGX HUJRG\F]QHJR

3. Estymacja

0RGHOH RSLVDQH SRZ\*V]\PL IRUPXáDPL RSLHUDM VL R ]DGDQ ZDUXQNRZ

IXQNFM JVWRFL

(

)

α

;

;

1

−

Ψ

=

t

t

t

t

s

S

y

f

, gdzie

α

jest wektorem parametrów

WHJR UR]NáDGX D

t

Ψ

zbiorem obserwacji do momentu t i

QLHREVHUZRZDQ\ FLJ

zmiennych losowych

t

S

VSHáQLDMF\FK ZDUXQHN

(

)

ij

t

t

p

i

S

j

S

=

=

=

−

1

Pr

.

)XQNFM JVWRFL UR]NáDGX EU]HJRZHJR

t

y

PR*QD ]DSLVDü Z SRVWDFL

(

)

(

)

∑

=

−

−

Ψ

=

Ψ

N

s

t

t

t

t

t

t

s

y

f

y

f

1

1

1

;

,

;

α

α

:DUXQNRZ\ UR]NáDG ]PLHQQHM

t

S

PR*QD

SU]HGVWDZLü Z SRVWDFL LORUD]X áF]QHM IXQNFML JVWRFL

t

y i

t

s

SU]H] IXQNFM

JVWRFL UR]NáDGX EU]HJRZHJR

(

) (

)

(

)

α

α

α

;

;

,

;

Pr

1

1

−

−

Ψ

Ψ

=

Ψ

=

t

t

t

t

t

t

t

t

y

f

s

y

f

s

S

.

(9)

3RZL]DQLH ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK

t

S

PDFLHU] SU]HMFLD ] HOHPHQWDPL

ij

p

SR]ZDOD ]DSLVDü SRGVWDZRZ\ ZDUXQHN Z SRVWDFL

(

)

(

)

∑

=

+

Ψ

=

⋅

=

Ψ

=

T

i

t

t

ij

t

t

i

S

p

j

S

1

1

;

Pr

;

Pr

α

α

.

(10)

Znane metody

HVW\PDF\MQH

Z\NRU]\VWXM

PHWRG

QDMZLNV]HM

ZLDU\JRGQRFL

( )

(

)

∑

=

−

Ψ

=

T

t

t

t

y

f

L

1

1

;

log

α

α

.

(11)

: OLWHUDWXU]H QDMF]FLHM Z\NRU]\VW\ZDQ\P DOJRU\WPHP PDNV\PDOL]DFML

IXQNFML ZLDU\JRGQRFL SU]HGVWDZLRQHM Z\*HM MHVW DOJRU\WP (0 Expectations
Maximization) (por. Hamilton (1994)). Idea polega na wyznaczeniu

Z\JáDG]RQ\FK SUDZGRSRGRELHVWZ SU]HE\ZDQLD Z GDQ\P UH*LPLH D QDVWSQLH

LWHUDF\MQHJR SRVWSRZDQLD GOD ]QDOH]LHQLD PDNVLPXP IXQNFML ZLDU\JRGQRFL

Józef Stawicki

126

)XQNFMD WD PR*H PLHü ZLHOH PDNVLPyZ ORNDOQ\FK GODWHJR NRQLHF]QH MHVW

ZLHORNURWQH EDGDQLH SU]\ Uy*Q\FK ZDUXQNDFK SRF]WNRZ\FK

4. Zastosowania

-DN MX* ZVSRPQLDQR ZH ZVWSLH UR]ZyM EDGD QDG PRGHODPL 06

SRG\NWRZDQ\ E\á REVHUZDFMDPL QLHVWDFMRQDUQRFL Z SURFHVDFK ILQDQVRZ\FK

RUD] DV\PHWU\F]QRFL Z UR]NáDGDFK W\FK*H ]PLHQQ\FK 3LHUZV]H SUDFH
Hamiltona (por.

+DPLOWRQ GRW\F]\á\ MHGQDN DQDOL]\ Z]URVWX

gospodarczego mierzonego poziomem dochodu narodowego w kolejnych

NZDUWDáDFK *13 5R]ZD*DQ\ E\á áDFXFK R GZyFK VWDQDFK 3U]\MWH UH*LP\

R]QDF]DM Z]URVW JRVSRGDUF]\ RUD] UHJUHV 3RVáXJLZDQLH VL PRGHOHP 06 GDMH

PR*OLZRü RFHQ\ UHGQLHJR F]DVX SR]RVWDZDQLD Z ID]LH Z]URVWX L ID]LH UHJUHVX

1XUW W\FK EDGD E\á NRQW\QXRZDQ\ Z SUDFDFK Krolziga

1

(por. Krolzig (1998))

czy Psaradakisa (por. Psaradakis (2002)). Szczególnego znaczenia nabiera

DQDOL]D DV\PHWU\F]QRFL F\NOL JRVSRGDUF]\FK SRU Clements, Krolzig (2000)).

7DN*H Z EDGDQLDFK V]HUHJyZ ILQDQVRZ\FK DV\PHWU\F]QRü L ZDUXQNRZD

KHWHURVNHGDVW\F]QRü MHVW SU]HGPLRWHP EDGDQLD SU]\ SRPRF\ PRGHOL 06

0RGHOH 06 VáX* QLH W\ONR RSLVRZL V\WXDFML HNRQRPLF]QHM L MHM OHSV]HPX

SR]QDQLX DOH WDN*H SURJQR]RZDQLX 0D WR V]F]HJyOQH ]QDF]HQLH QD U\QNDFK

ZDOXWRZ\FK 3\WDQLH R PR*OLZRü SURJQR]\ VWDZLD ZLHOX DXWRUyZ SRU Engel
(1994), Dueker, Neely (2002)). W polskiej literaturze przedmiotu modele MS

Z\NRU]\VWDQH ]RVWDá\ GR DQDOL]\ RGSRZLHG]L Z WHVWDFK NRQLXQNWXU\ SRU

'HFHZLF] =H Z]JOG\ QD MDNRFLRZ\ FKDUDNWHU RGSRZLHG]L L

MHGQRF]HQLH ]DáR*HQLH R QRUPDOQRFL UR]NáDGX ]PLHQQ\FK Z EDGDQ\P SURFHVLH

GR DQDOL]\ X*\WD ]RVWDáD G\QDPLND VDOGD RGSRZLHG]L 'UXJLP PRGHOHP

SUH]HQWRZDQ\P Z F\WRZDQHM SUDF\ MHVW PRGHO UR]NáDGX OLF]HEQRFL 1DOH*\ RQ
do grupy modeli HMM

=DNRF]HQLH

=DSUH]HQWRZDQH PRGHOH V SURSR]\FM QD SRMDZLDMFH VL WUXGQRFL Z

PRGHORZDQLX V]HUHJyZ F]DVRZ\FK :LNV]Rü V]HUHJyZ HNRQRPLF]Q\FK

FKDUDNWHU\]XMH VL QLHVWDFMRQDUQRFL 0RGHOH 06 QLH UR]ZL]XM ZV]\VWNLFK

SUREOHPyZ DOH MDNR SURVWH QDU]G]LH SU]\F]\QL VL GR OHSV]HM ]QDMRPRFL

SURFHVyZ HNRQRPLF]Q\FK 'R LFK SRZV]HFKQRFL SU]\F]\QL VL QLHZWSOLZLH

GRVWSQRü SURJUDPyZ REOLF]HQLRZ\FK Z\NRU]\VWXMF\FK ]QDQH DOJRU\WP\
estymacyjne

2

.

1

3U]HDQDOL]RZDQ\ ]RVWDá PRGHO +DPLOWRQD SRG NWHP 9$5

2

pakietem takim jest MSVAR for Ox, www.economics.ox.ac.uk/hendry/krolzig

3U]HáF]QLNRZH PRGHOH 0DUNRZD

127

Literatura

Clements, M. P., Krolzig, H. M. (2000), Busines Cycle Asymetries:Characterisation and

Testing based on Markov-Switching Autoregression, www.economics.ox.ac.uk.

Decewicz, A. (2001),

3U]HáF]QLNRZH PRGHOH 0DUNRZD Z DQDOL]LH GDQ\FK

MDNRFLRZ\FK L Z\EUDQH PHWRG\ LFK HVW\PDFML, SGH, niepublikowane prace

ZáDVQH 1U ( :DUV]DZD

Dueker, M., Neely, C. J. (2002), Can Markov Switching Models Predict Excess Foreign

Exchange Returns?, Working Paper.

Engel, C. (1994), Can the Markov switching model forecast exchange rates?, Journal of

International Economics 36.

Hamilton, J. D. (1989), A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary

Time Series and the Busines Cycle, Econometrica 57, s. 357-384.

Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.
Krolzig, H. M. (1998), Econometric Modelling of Markov_Switching Vector

Autoregressions using MSVAR for Ox, www.economics.ox.ac.uk.

Krolzig, H. M. (2001), Markov-Switching Procedures for Datinthe Euro-Zone Busines

Cycle, Viertaljahrshefte zur Wirtschaftsforschung 70.Jahrgang,Heft 3/2001.

Mills, T. C. (1993), The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge

University Press, Cambridge.

Pruska, K. (1996),

0HWRG\ UHJUHVML SU]HáF]QLNRZHM L MHM ]DVWRVRZDQLH, Wydawnictwo

8QLZHUV\WHWX àyG]NLHJR àyG(

Psaradakis, Z., Ravn, M. O., Sola, M. (2002), Markov Switching Causality and the

Money-Output Relationship, Working Paper,

Yin, P. (2003), Markov Switching in the Stock Market, Economics 413,

www.missouri.edu/~econprm/ec413f02/pyin_fp.pdf

.