Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. in
ż
. Jan Maciej Ko
ś
cielny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
5. Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. in
ż
. Jan Maciej Ko
ś
cielny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
5. Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe
2
Transmitancja widmowa
∫
∞
−
=
)
(
)
(
dt
e
t
f
j
F
t
j
ω
ω
∫
∞
∝
−
−
=
dt
e
t
f
j
F
t
j
ω
ω
)
(
)
(
dla t>0
Przekształcenie Fouriera
∫
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
j
F
ω
ω
ω
j
s
s
G
j
G
=
=
)
(
)
(
3
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe
Je
ż
eli na wej
ś
cie elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie
wymuszenie sinusoidalne o stałej cz
ę
stotliwo
ś
ci, to na wyj
ś
ciu, po zanikni
ę
ciu
przebiegu przej
ś
ciowego, ustali si
ę
odpowied
ź
sinusoidalna o tej samej
cz
ę
stotliwo
ś
ci, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie ni
ż
wymuszenie
u
0
A
1
(
ω
)
t
u
y
ω
ϕ
T=2
π/ω
A
2
(
ω
)
0
t
y
T=2
π/ω
]
sin[
)
(
sin
2
1
ϕ
ω
ω
ω
+
=
=
t
A
y
t
A
u
4
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe -
okre
ś
laj
ą
zachowanie si
ę
elementu
lub układu przy wszystkich cz
ę
stotliwo
ś
ciach wymuszenia
Okre
ś
laj
ą
w funkcji cz
ę
stotliwo
ś
ci:
•
stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
przesuni
ę
cie fazowe mi
ę
dzy odpowiedzi
ą
a wymuszeniem
•
przesuni
ę
cie fazowe mi
ę
dzy odpowiedzi
ą
a wymuszeniem
Rozró
ż
nia si
ę
nast
ę
puj
ą
ce postacie charakterystyk cz
ę
stotliwo
ś
ciowych:
•
charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista,
•
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode
’
a)
•
logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)
5
Podstawy teoretyczne
s
s
s
e
A
e
t
L
A
s
G
t
L
e
t
L
t
L
t
L
A
A
t
A
L
t
A
L
s
G
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
2
2
1
2
1
2
)]
[sin(
)
(
)]
[sin(
)]
[sin(
)]
[sin(
)]
[sin(
)]
sin(
[
)]
sin(
[
)
(
=
=
=
+
=
+
=
+
=
Wej
ś
cie:
Wyj
ś
cie:
)
sin(
)
(
2
ϕ
ω
ω
+
t
A
)
sin(
1
t
A
ω
)]
(
[
)]
(
[
t
f
L
e
t
f
L
s
τ
τ
−
=
−
Gdzie:
- moduł charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowej
(stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)
1
2
)
(
)
(
A
A
M
ω
ω
=
s
s
e
A
A
e
t
L
t
L
A
A
s
G
ω
ω
ω
ω
1
2
1
2
)]
[sin(
)]
[sin(
)
(
=
=
)
(
1
)
(
2
)
(
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
j
j
e
M
A
e
A
j
G
6
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres ko
ń
ców wektorów,
których:
•
długo
ść
reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
k
ą
t przesuni
ę
cie fazowe mi
ę
dzy odpowiedzi
ą
a wymuszeniem
Definiowana cz
ę
sto jako:
Definiowana cz
ę
sto jako:
Wykres transmitancji
widmowej G(j
ω
)
Zespolona charakterystyka
cz
ę
stotliwo
ś
ciowa
G(j
ω
)
7
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyczne
zwi
ą
zki:
G(j
ω
)
)]
(
Re[
)
(
ω
ω
j
G
P
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
jQ
P
j
G
+
=
2
2
)]
(
[
)]
(
[
)
(
ω
ω
ω
Q
P
j
M
+
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ϕ
P
Q
arctg
=
G(j
ω
)
)]
(
Im[
)
(
ω
ω
j
G
Q
=
)
(
cos
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
M
P
=
)
(
sin
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
M
Q
=
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
8
Charakterystyka amplitudowo – fazowa
(Wykres Nyquista)
ω
ωω
ω
[rad/s]
0
0.1
0.5
........
→
→
→
→ ∞
∞
∞
∞
ω
ωω
ω
[rad/s]
0
0.1
0.5
........
→
→
→
→ ∞
∞
∞
∞
P(
ω
ωω
ω
)
Q(
ω
ωω
ω
)
P(
ω
ωω
ω
)
Q(
ω
ωω
ω
)
Przykładowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
9
jQ(
ω
ωω
ω
)
P(
ω
ωω
ω
)
ω
ωω
ω
= 0
ω
ωω
ω
= 3.0
ω
ωω
ω
=
∞
∞
∞
∞
5
- 5
- 5
5
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
ω
ωω
ω
= 0.1
ω
ωω
ω
= 0.2
ω
ωω
ω
= 0.3
ω
ωω
ω
= 1.0
ω
ωω
ω
= 3.0
G(j
ω
ωω
ω
)
- 5
10
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe
amplitudowa charakterystyka
cz
ę
stotliwo
ś
ciowa
fazowa charakterystyka
cz
ę
stotliwo
ś
ciowa
11
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
ϕ
(
ω
)
M(
ω
)
L(
ω
)
Logarytmiczna
charakterystyka amplitudowa
Logarytmiczna
charakterystyka fazowa
)
(
log
20
)
(
ω
ω
M
L
=
)
(
ω
ϕ
0,1
1
10
100
0,01
90
0
180
0
-90
0
-180
0
π
-
π
π
/2
-
π
/2
ω
0,1
1
10
100
0,01
20dB
40dB
-20dB
-40dB
100
0,01
10
0,1
ω
Eksperymentalne wyznaczanie
charakterystyk cz
ę
stotliwo
ś
ciowych
12
u
0
, y
0
– składowe stałe sygnałów, f – cz
ę
stotliwo
ść
[Hz]
f
2
;
2
f
π
=
ω
π
ω
=
13
Charakterystyki elementu proporcjonalnego
jQ(
ω
)
P(
ω
)
G( j
ω
)
k
0
)
(
)
(
=
=
ω
ω
Q
k
P
L(
ω
)
dB
ω
20
log
k
ω
0
0
ϕ
(
ω
)
14
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
Transmitancja widmowa:
1
1
1
1
1
1
)
(
2
2
2
2
+
−
=
−
−
+
−
=
−
−
⋅
+
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
jkT
k
T
jkT
k
Tj
Tj
Tj
k
Tj
k
j
G
1
)
(
2
2
+
−
=
ω
ω
ω
T
kT
Q
∞
=
ω
1
)
(
2
2
+
=
ω
ω
T
k
P
15
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
[
] [
]
log
20
)
(
)
(
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
2
2
+
=
+
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
k
L
Q
P
M
L
c
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
1
log
20
log
20
)
(
1
log
20
)
(
2
2
2
2
+
−
=
+
=
ω
ω
ω
ω
T
k
L
T
L
c
16
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
Dla:
T
/
1
<
ω
k
L
log
20
)
(
=
ω
T
/
1
>
ω
ω
ω
T
k
L
log
20
log
20
)
(
−
=
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Dla: k=10
a – charakterystyka
rzeczywista
b – charakterystyka
asymptotyczna
T
s
/
1
=
ω
17
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
0,1
0,25
0,4
0,5
1,0
10
2,5
4,0
10,0
0,04 0,32 0,65
1,0
3,01
1,0
0,65 0,32 0,04
S
ω
ω
)
(
ω
L
∆
Wykres bł
ę
du:
0,04 0,32 0,65
1,0
3,01
1,0
0,65 0,32 0,04
18
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
P
Q
arctg
−
=
−
=
=
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Charakterystyki elementu inercyjnego I rz
ę
du
19
0.1
5.43
0
∆ϕ
1
100
[
0
]
[rad/s]
s
/
ω
ω
10
0.01
Skala logarytmiczna
s
-5.43
Wykres odchyłek mi
ę
dzy charakterystyk
ą
fazow
ą
asymptotyczn
ą
a
rzeczywist
ą
Maksymalny bł
ą
d aproksymacji wynosi
±
5.43 [
0
]
20
Charakterystyki elementu całkuj
ą
cego
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
1
)
(
0
)
(
−
=
=
Ts
1
21
Charakterystyki elementu ró
ż
niczkuj
ą
cego
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
=
=
)
(
0
)
(
Ts
22
Charakterystyki elementu ró
ż
niczkuj
ą
cego
Transmitancja widmowa elementu ró
ż
niczkuj
ą
cego rzeczywistego:
1
)
(
+
=
ω
ω
ω
Tj
Tj
j
G
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
1
)
(
2
2
2
2
+
=
ω
ω
ω
T
T
P
1
)
(
2
2
+
=
ω
ω
ω
T
T
Q
23
Charakterystyki elementu ró
ż
niczkuj
ą
cego
[
] [
]
1
log
20
)
(
)
(
log
20
)
(
2
2
2
2
+
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
P
L
1
log
20
log
20
)
(
2
2
+
−
=
ω
ω
ω
T
T
L
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
24
Charakterystyki elementu ró
ż
niczkuj
ą
cego
)
(
90
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
0
ω
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
P
Q
arctg
−
=
=
=
c
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
25
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Transmitancja widmowa:
( )
( ) ( )
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
2
)
(
ζωω
ω
ω
ω
ω
ω
ζω
ω
ω
ω
⋅
+
−
=
+
+
=
j
k
j
j
k
j
G
Gdzie:
k — współczynnik proporcjonalno
ś
ci
ω
0
— pulsacja oscylacji własnych elementu
ω
0
— pulsacja oscylacji własnych elementu
ζ
— zredukowany (wzgl
ę
dny) współczynnik tłumienia
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
0
)
2
(
)
(
)
(
)
(
ω
ζω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
=
k
P
2
0
2
2
2
0
3
0
)
2
(
)
(
2
)
(
ω
ζω
ω
ω
ω
ζω
ω
+
−
=
k
Q
26
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Dla:
ω
=0
k
P
=
)
0
(
0
)
0
(
=
Q
,
∞
=
ω
Dla:
ω
=
∞
0
)
(
=
∞
P
0
)
(
=
∞
Q
,
27
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
(
) (
)
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
)
2
(
)
(
log
20
)
(
)
(
log
20
)
(
+
−
=
+
=
ω
ζω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
k
Q
P
L
c
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
2
0
2
2
0
2
1
log
20
log
20
)
(
+
−
−
=
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
k
L
28
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Dla:
ξξξξ
=0
∞
=
=
)
1
(
0
ω
ω
L
ξξξξ
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
Dla:
ξξξξ
=1 – warto
ść
graniczna,
przebieg
aperiodyczny
29
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Asymptotyczna
charakterystyka amplitudowa
dla:
1
3
,
0
≤
≤
ξ
Wykres bł
ę
du
dB
L
6
)
(
<
∆
ω
30
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
−
−
=
2
2
0
0
2
)
(
ω
ω
ω
ζω
ω
ϕ
arctg
31
Charakterystyki elementu opó
ź
niaj
ą
cego
ωτ
ω
ωτ
ω
sin
)
(
cos
)
(
−
=
=
Q
P
s
e
τ
−
32
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe podst. elementów
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
L.p.
Transmitancja
operatorowa
)
(s
G
Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
)
(
ω
j
G
(transmitancji widmowej)
Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej
)
(
ω
L
i fazowej
)
(
ω
ϕ
1
k
0
)
(
)
(
=
=
ω
ω
Q
k
P
2
1
1
+
Ts
∞
=
ω
1
)
(
1
1
)
(
2
2
2
2
+
−
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
T
P
3
1
ω
ω
Q
P
1
)
(
0
)
(
−
=
=
3
Ts
∞
=
ω
ω
ω
T
Q
1
)
(
−
=
4
Ts
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
=
=
)
(
0
)
(
5
2
0
0
2
2
0
2
ω
ξω
ω
+
+
s
s
k
∞
=
ω
1
2
3
ξ
ξ
ξ
<
<
6
s
e
τ
−
ωτ
ω
ωτ
ω
sin
)
(
cos
)
(
−
=
=
Q
P
33
Charakterystyki elementów szeregowo poł
ą
czonych
)
(
)
(
2
2
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
n
j
j
j
e
M
j
G
e
M
j
G
e
M
j
G
=
=
=
K
K
K
K
)
(
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
n
j
n
n
e
M
j
G
=
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
n
e
M
e
M
M
M
j
G
n
c
K
K
+
+
+
=
34
Charakterystyki elementów szeregowo poł
ą
czonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
n
M
M
M
M
L
+
+
+
=
=
K
∑
=
=
n
i
i
L
L
1
)
(
)
(
ω
ω
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ω
ω
ω
n
M
M
M
M
⋅
⋅
⋅
=
K
=
i 1
∑
=
=
n
i
i
1
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ϕ
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
35
Charakterystyki elementów szeregowo poł
ą
czonych
Przykład 1:
(
) (
)
{ {
3
2
1
3
2
1
c
3
2
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
⋅
=
s
T
s
T
s
T
k
s
G
s
T
s
T
s
T
k
s
G
Dla: k=2;
T
1
=1;
T
2
=10;
T
3
=100;
3
2
1
3
2
1
4
3
2
)
(
ω
jQ
)
(
ω
P
36
Charakterystyki elementów szeregowo poł
ą
czonych
1000
1
100
1
10
1
1
10
100 1000
ω
2
1
L(
ω
)
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
-20dB/dek
20dB/dek
6dB
20dB
3
4
c
-20dB/dek
-20dB
-40dB
37
Charakterystyki elementów szeregowo poł
ą
czonych
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
2
4
1
1000
1
100
1
10
1
1
10
100 1000
ω
ϕ
(
ω
)
-45
0
45
0
3
c
-45
-90
0
-180
0
-270
0