Zadania z oryginalną numeracją pochodzą z Informatora o egzaminie maturalnym od 2010 roku
z matematyki (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) – Zbiór przykładowych zadań maturalnych.

Tydzień 5.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań skorzystaj z

tablic

matematycznych 9. Geometria

analityczna oraz podstawowe własności figur płaskich

Proste o równaniach kierunkowych są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

Odp. D

Warunek prostopadłości dla prostych o równaniach kierunkowych to a

1

a

2

= –1.

Możemy rozwiązać proste równanie
4a

2

= –1

a

2

=

Albo sprawdzić warunek dla poszczególnych współczynników.
4 (–4) = –16

4

= –1

Odp. B

Promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie przekątnej np. AC
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka.

|AC| =

|AC| =

|AC| =

|AC| =10
Promień, zatem jest równy 5.

Odp. C

Jest to równanie okręgu o środku w punkcie (–3,1) i promieniu 2. Możemy narysować ten okrąg
w układzie współrzędnych.

Odp. C

Możemy skorzystać ze wzoru x

2

+ y

2

– 2ax – 2by + c =0 (tablice). Wtedy otrzymujemy dwa warunki:

–2a = 4, stąd a = –2
–b = –6, stąd b = 3
Albo dane równanie doprowadzić do postaci (x – a)

2

+ (y – b)

2

= r

2

.

x

2

+ y

2

+4x –6y – 221 =0

(x + 2)

2

– 4 + (y – 3)

2

– 9 – 221 = 0

(x + 2)

2

+ (y – 3)

2

= 234

Zatem S(–2,3)

Odp. A

Niech prosta o równaniu A

2

x + B

2

y + C = 0 będzie prostą równoległą do danej prostej. Równanie danej

prostej jest równaniem ogólnym. W związku z tym skorzystamy z warunku równoległości dla prostych
o równaniu ogólnym.
A

1

B

2

– B

1

A

2

= 0

2B

2

– (–1)A

2

= 0

A

2

= –2B

2

y

0

x

1

1

•S

A

2

x + B

2

y + C = 0

–2B

2

x + B

2

y + C = 0

Teraz skorzystamy z faktu, że do prostej należy punkt P.
–2B

2

+ 2B

2

+ C = 0

C = 0
–2B

2

x + B

2

y = 0 /: B

2

–2x + y = 0

lub po pomnożeniu obu stron równania przez (–1) otrzymujemy równanie 2x – y = 0

Okrąg o środku w punkcie S jest styczny do osi Oy, jeśli odległość środka od osi jest równa promieniowi.
W tym przypadku równa się 3. Zatem równanie okręgu spełniającego warunki zadania ma postać:
(x – 3)

2

+ (y + 5) = 9

(x – 3)

2

+ (y + 5) = r

2

Skoro okrąg ma przechodzić przez początek układu współrzędnych musi być spełniony warunek:
(0 – 3)

2

+ (0 + 5)

2

= r

2

34 = r

2

lub
Możemy obliczyć długość promienia SO.

|SO| =

|SO| =

Równanie okręgu spełniającego warunki zadania ma postać:
(x – 3)

2

+ (y + 5)

2

= 34

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek tego trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Wyznaczamy współrzędne środka D boku AB.

D =

D = (2 , 0) oraz C = (7 , 10)

Korzystamy z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty otrzymujemy:
(x – 7)(0 – 10) – (y – 10)(2 – 7) = 0
–10(x – 7) + 5(y – 10) = 0
–10x + 70 + 5y – 50 = 0
–10x + 5y + 20 = 0
–2x + y + 4 = 0 postać ogólna

y = 2x – 4 postać kierunkowa
Jest to równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC.

Przykład rozwiązania.
Na rysunku można zaznaczyć kąty zgodnie z warunkami zadania. Po wprowadzeniu oznaczeń należy
udowodnić, że δ = 5β.

(ΔABC jest równoramienny)

(ΔABD jest równoramienny)

(ΔABC jest równoramienny)

Z tego wynika, że δ = 5β, a to należało udowodnić.

α

β

δ

β

γ

γ