Równanie Poissona 03 Nadzieja p34

background image

Warsztaty z r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

cza

stkowych – Toru´

n, 12–22.11.2002

Centrum Bada´

n Nieliniowych im. J. Schaudera

ownanie Poissona

T

adeusz

NADZIEJA

Instytut Matematyki, Uniwersytet Zielonog´

orski

ul. Podg´

orna 50, 65–246 Zielona G´

ora,

e-mail: T.Nadzieja@im.uz.zgora.pl

Spis tre´sci

1. Wste

p.

2. Interpretacje fizyczne r´

ownania Poissona.

3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
4. Istnienie, jednoznaczno´s´

c i regularno´s´

c slabych rozwia

za´

n.

5. Rozwia

zania klasyczne.

6. Nieliniowe r´

ownania Poissona.

7. Nielokalne zagadnienia eliptyczne.
8. Literatura.

1. Wste

p.

Wyklady te po´swie

cone sa

ownaniu Poissona

Δu = f.[pois]

(1.1)

Przypomnijmy, ˙ze symbolem Δu oznaczamy laplasjan funkcji u, Δu =
div(grad u) =

∇ · ∇u. W kartezja´nskim ukladzie wsp´olrze

dnych Δu =

Σ

n

i=1

2

u

∂x

2

i

= Σ

n

i=1

u

x

i

x

i

. Funkcja niewiadoma u jest okre´slona na otwartym

podzbiorze Ω

⊂ IR

n

, u : Ω

→ IR, a f : Ω → IR jest zadana

funkcja

rzeczywista

, ba

z te˙z funkcja

niewiadomej u, f = f (u). W tym drugim

2000

Mathematics Subject Classification: 35-01, 35J05

1

background image

przypadku, je´sli f jest nieliniowa, m´

owimy o nieliniowym r´

ownaniu Pois-

sona. Rozwa˙zymy r´

ownie˙z sytuacje

, gdy prawa strona (1.1) zale˙zy w spos´

ob

nieliniowy i nielokalny od u.

Na u nakladamy warunki brzegowe typu Dirichleta

u

|

Ω

= ϕ, [br]

(1.2)

gdzie ϕ : Ω

→ IR jest zadana

funkcja

.

Zakladamy, ˙ze Ω jest obszarem ograniczonym a jego brzeg Ω jest klasy

C

k

, tzn. lokalnie jest wykresem funkcji klasy C

k

, k

1.

Du˙za cze

´s´

c wynik´

ow przedstawiona poni˙zej dla zagadnienia (1.1), (1.2)

przenosi sie

bez trudu na przypadek, gdy zamiast laplasjanu rozpatrujemy

operator eliptyczny

Lu = Σ

n

i,j=1

∂x

i

a

ij

(x)

∂u

∂x

i

,

gdzie a

i,j

(x) = a

j,i

(x)

∈ C

1

( ¯

Ω) i Σ

n

i,j=1

a

i,j

(x)ξ

i

ξ

j

> a

|ξ|

2

dla pewnej stalej

a > 0 i ka˙zdego wektora ξ

∈ IR

n

.

´

Zr´

odlem wie

kszo´sci interesuja

cych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych cza

stkowych sa

modele zjawisk fizycznych. Podamy przyklady kilku z nich oraz opiszemy ich
zwia

zek z r´

ownaniem Poissona. Dalej wprowadzimy aparat matematyczny

potrzebny do dowodu istnienia i jednoznaczno´sci jego slabych rozwia

za´

n oraz

ich regularno´sci. Naste

pnie zajmiemy sie

istnieniem rozwia

za´

n klasycznych.

Na koniec udowodnimy kilka fakt´

ow dotycza

cych problemu istnienia i nieist-

nienia rozwia

za´

n nieliniowych (i nielokalnych) r´

owna´

n Poissona (r´

ownania

typu Poissona-Boltzmanna).

Wie

kszo´s´

c przedstawionego materialu mo˙zna znale´

c w podre

cznikach

[5], [6], [7] i klasycznej monografi [3]. Warto poleci´

c, ostatnio przetlumaczony

na je

zyk polski, podre

cznik [2] oraz kr´

otka

(ale trudna

) monografie

[4],

zawieraja

ca

ownie˙z wyniki z ostatnich lat. Zwia

zki r´

ownania Poissona z

modelami zjawisk fizycznych i chemicznych opisane sa

w starym i szeroko

znanym podre

czniku Tichonowa i Samarskiego [10]. Nowocze´sniejsze uje

cie

tych zagadnie´

n mo˙zna znale´

c w niedawno wydanym podre

czniku autorstwa

I. i L. Rubinstein´

ow [9]. Pozycja [1] to zbi´

or przyklad´

ow, kontrprzyklad´

ow

i zada´

n (czasami bardzo trudnych).

Przypomnijmy podstawowe wzory, z kt´

orych p´

zniej be

dziemy wielokrot-

nie korzysta´

c.

Zacznijmy od wzoru na calkowanie przez cze

´sci. Je´sli brzeg obszaru Ω

C

1

, funkcje u, v sa

o˙zniczkowalne w Ω i przedlu˙zaja

sie

wraz z pochodnymi

na domknie

cie Ω, u, v

∈ C

1

( ¯

Ω), to

Ω

u

x

i

(x)v(x) dx =

Ω

u(x)v(x)ν

i

(x) dS

x

Ω

u(x)v

x

i

(x) dx, [cz]

(1.3)

2

background image

gdzie ν(x) = (ν

1

(x), ..., ν

n

(x)) jest wektorem normalnym zewne

trznym do

Ω w punkcie x.

Zakladamy, ˙ze

A (x) = (A

1

(x), ..., A

n

(x)) jest polem wektorowym okre-

´slonym na ¯

Ω

⊂ IR

n

, Ω

∈ C

1

, A

i

(x)

∈ C(¯Ω) ∩ C

1

(Ω) i div−

A

∈ L

1

(Ω).

Wtedy zachodzi wz´

or Gaussa

Ω

div−

A (x) dx =

Ω

A (x)

· ν(x) dS

x

.[gauss]

(1.4)

Dla u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω), v

∈ C

1

( ¯

Ω) i Δu

∈ L

1

(Ω) z to˙zsamo´sci

vΔu = div(v

∇u) − ∇u · ∇v

dostajemy

Ω

vΔu =

Ω

v

∂u
∂ν

Ω

∇u · ∇v.[gr1]

(1.5)

Je´sli u, v

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω) i Δu, Δv

∈ L

1

(Ω), to z (1.5) mamy

Ω

(vΔu

− uΔv) =

Ω

v

∂u
∂ν

− u

∂v
∂ν

.[gr2]

(1.6)

Ostatnie dwa wzory nazywamy wzorami Greena.

2. Interpretacje fizyczne r´

ownania Poissona.

ownanie membrany.

Prawie ka˙zdy zabawial sie

zanurzaja

c w roztworze mydla pe

telke

z drutu.

Po jej wycia

gnie

ciu rozpostarta jest na niej powierzchnia (membrana), kt´

orej

ksztalt zale˙zy od sposobu w jaki zostal drut powyginany. Przedstawiamy ja

wykresem funkcji u : Ω

⊂ IR

2

→ IR. Interesuje nas r´ownanie, jakie spelnia

u.

Skomplikujmy nieco nasze zadanie zakladaja

c, ˙ze na membrane

dziala

sila zewne

trzna o ge

sto´sci f

ownolegla do osi 0u, tzn. na element powierzchni

rozpostarty nad malym zbiorem ω

Ω, zawieraja

cym punkt x, dziala sila

≈ f(x)|ω| (|ω| jest polem powierzchni ω). Mo˙zemy my´sle´c, ˙ze delikatnie
dmuchamy na membrane

w kierunku prostopadlym do niej. Uwzgle

dniamy

ownie˙z dzialanie sily spre

˙zystej proporcjonalnej do zmiany pola powierzchni

membrany.

Zmieniaja

c ksztalt membrany opisanej funkcja

w(x), do ksztaltu zadanego

funkcja

W (x), sila f wykonuje prace

Ω

f (x)(W (x)

− w(x)) dx,

3

background image

a sily spre

˙zyste prace

Ω

k

1 +

|∇W (x)|

2

1 +

|∇w(x)|

2

dx,

gdzie przez k > 0 oznaczyli´smy wsp´

olczynnik spre

˙zysto´sci.

Energia potencjalna U (W ) membrany W przybiera wie

c posta´

c

U (W ) = U (w) +

Ω

k

1 +

|∇W (x)|

2

1 +

|∇w(x)|

2

dx

+

Ω

f (x)(W (x)

− w(x)) dx.

Je´sli gradienty funkcji W i w sa

male, to korzystaja

c ze wzoru McLaurina

dla funkcji

1 + x, mo˙zmy napisa´

c

U (W )

≈ U(w) +

Ω

k

2

(

|∇W (x)|

2

− |∇w(x)|

2

) + f (x)(W (x)

− w(x))

dx.

Opieramy sie

teraz na zasadzie wariacyjnej, kt´

ora m´

owi, ˙ze ksztalt jaki

przybiera membrana, jest zadany wykresem funkcji u, dla kt´

orej energia

U (u) osia

ga ekstremum w klasie wszystkich funkcji r´

o˙zniczkowalnych o zadanych

warto´sciach na Ω, tzn. spelniaja

cych (1.2)

Niech v be

dzie funkcja

o˙zniczkowalna

na ¯

Ω, r´

owna

0 na Ω, v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).

Zgodnie z naszym zalo˙zeniem,

U(t) = U(u + tv), t ∈ IR, osia

ga ekstremum

dla t = 0. Latwo obliczy´

c, ˙ze

U

(0) =

Ω

(k

∇u · ∇v − fv) = 0.

Wykazali´smy w ten spos´

ob, ˙ze u spelnia to˙zsamo´s´

c calkowa

Ω

k

∇u · ∇v =

Ω

f v dla v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).[toz]

(2.1)

Je´sli zalo˙zymy dodatkowo, ˙ze u

∈ C

2

(Ω)

∩C

1

( ¯

Ω) i Δu

∈ L

1

(Ω), to korzystaja

c

ze wzoru (1.5) dostajemy

Ω

k

∇u · ∇v =

Ω

kvΔu =

Ω

f v,

czyli

Ω

(kΔu + f )v = 0 dla v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).

Sta

d otrzymujemy r´

ownanie Poissona na u.

Zagadnienie wyznaczenia ksztaltu membrany sprowadzili´smy do znale-

zienia rozwia

zania r´

ownania (1.1) spelniaja

cego warunek brzegowy (1.2).

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli zrezygnujemy z dwukrotnej r´

o˙zniczkowalno´sci u i ogra-

niczymy sie

do u

∈ C

1

( ¯

Ω), to nasz problem polega na znalezieniu funkcji

4

background image

spelniaja

cej (2.1), (1.2). Jak sie

zniej oka˙ze, tak postawione zagadnienie

jest z pewnych wzgle

ow o wiele wygodniejsze do badania i przy odpowied-

nich zalo˙zeniach o regularno´sci f i Ω jego rozwia

zanie jest te˙z rozwia

zaniem

ownania Poissona.

ownanie wia

˙za

ce ge

sto´

c ladunku elektrycznego z wytworzonym

potencjalem elektrycznym.

Je´sli w pocza

tku ukladu wsp´

olrze

dnych umie´scimy ladunek elektryczny

q, to potencjal Φ wytworzony przez ten ladunek, zgodnie z prawem Coulomba,
be

dzie r´

owny Φ(x) = Φ(

|x|) =

q

|x|

. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej funkcji v klasy

C

1

, o no´sniku zwartym, v

∈ C

1

c

(IR

3

), spelniona jest r´

owno´s´

c

IR

3

Φ · ∇v = 4πqv(0).[ele]

(2.2)

Istotnie, wykorzystuja

c wz´

or na calkowanie przez cze

´sci oraz fakt, ˙ze poza

pocza

tkiem ukladu wsp´

olrze

dnych Φ jest funkcja

harmoniczna

, dostajemy

IR

3

Φ · ∇v = lim

ε→0

|x|>ε

Φ · ∇v = lim

ε→0

|x|=ε

q

ε

2

(v(0) + o(1)) = 4πqv(0).

Zal´

o˙zmy, ˙ze w obszarze Ω ladunki elektryczne rozlo˙zone sa

w spos´

ob

cia

gly z ge

sto´scia

ρ. Podzielmy Ω na male obszary Ω

i

i wybierzmy w ka˙zdym

z nich dowolny punkt x

i

. Calkowity ladunek zawarty w Ω

i

,

Ω

i

ρ(x) dx,

zaste

pujemy ladunkiem q

i

= ρ(x

i

)

|Ω

i

| skupionym w x

i

. Przypomnijmy, ˙ze

|Ω

i

| jest obje

to´scia

zbioru Ω

i

. Potencjal ¯

Φ wytworzony przez ladunki q

i

jest suma

potencjal´

ow pochodza

cych od poszczeg´

olnych ladunk´

ow, a wie

c

zachodzi dla niego r´

owno´s´

c

IR

3

¯Φ · ∇v = 4πΣρ(x

i

)

|Ω

i

|v(x

i

).[abc1]

(2.3)

Je´sli podzial Ω na zbiory Ω

i

jest coraz drobniejszy, to w granicy, gdy ´srednice

Ω

i

da

˙za

do 0, lewa strona (2.3) da

˙zy do

IR

3

Φ·∇v, gdzie Φ jest potencjalem

wytworzonym przez rozklad ladunk´

ow z ge

sto´scia

ρ. Prawa strona zbiega

natomiast do 4π

IR

3

ρv. W rezultacie dostajemy to˙zsamo´s´

c

IR

3

Φ · ∇v = 4π

IR

3

ρv

spelniona

dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

1

c

(IR

3

).

Zakladaja

c dodatkowo, ˙ze Φ

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω), ΔΦ

∈ L

1

(Ω) mamy

IR

3

Φ · ∇v =

IR

3

ΔΦ v = 4π

IR

3

ρv.

Sta

d natychmiast otrzymujemy r´

ownanie

ΔΦ = 4πρ.[epois]

(2.4)

5

background image

W przypadku, gdy zamiast oddzialywa´

n elektrycznych rozpatrujemy

grawitacyjne, r´

ownanie wia

˙za

ce ge

sto´s´

c rozkladu masy ρ z potencjalem gra-

witacyjnym Φ przez niego wytworzonym ma posta´

c

ΔΦ = 4πρ.[gpois]

(2.5)

ownanie opisuja

ce rozklad temperatury.

Zakladamy, ˙ze w obszarze ograniczonym Ω

⊂ IR

3

rozmieszczone sa

´

zr´

odla

ciepla z ge

sto´scia

ρ, tzn. dla ω

Ω,

ω

ρ jest ilo´scia

ciepla produkowana

w ω

w jednostce czasu. Na brzegu Ω temperature

zadajemy. Naszym celem jest

wyprowadzenie r´

ownania wia

˙za

cego rozklad temperatury T (x) z ge

sto´scia

ρ.

Wykorzystamy naste

puja

ce, dosy´

c jasne z fizycznego punktu widzenia,

zalo˙zenia:

Z1. Je´sli na brzegu kuli K

R

(x

0

) zadany jest rozklad temperatury T ,

a wewna

trz nie ma ´

zr´

odel ciepla, to temperatura w punkcie x

0

owna jest

´sredniej temperaturze na sferze S

R

(x

0

), T (x

0

) =

1

4πR

2

S

R

(x

0

)

T ,

Z2. Przeplyw ciepla przez powierzchnie

S

owny jest κ

S

∂T

∂ν

(prawo

Fouriera), gdzie κ jest dodatnia

stala

.

Dalej, dla prostoty przyjmujemy, ˙ze κ, jak i wszystkie inne stale fizyczne

sa

owne 1.

Definicja 2.1.

Funkcja u, cia

gla na otwartym podzbiorze Ω

⊂ IR

n

, ma

wlasno´s´

c ´sredniej, je´sli dla ka˙zdej sfery S

R

(x)

Ω, ´srednia warto´s´c u na tej

sferze r´

owna jest warto´sci funkcji u w ´srodku tej sfery,

1

R

n−1

σ

n

S

R

(x)

u = u(x)

(przez σ

n

oznaczyli´smy pole powierzchni sfery jednostkowej w IR

n

).

Lemat 2.1

[2] Je´sli u ma wlasnos´

c ´sredniej, to funkcja u jest gladka i har-

moniczna.

Dow´

od. Oznaczmy przez γ(x) ja

dro wygladzaja

ce, tzn. nieujemna

funkcje

klasy C

(IR

n

), radialnie symetryczna

, o no´sniku zawartym w kuli K

1

(0)

IR

n

, spelniaja

ca

warunek

IR

n

γ = 1.

Definiujemy γ

ε

(x) = ε

−n

γ(

1

).

Wiadomo [2], ˙ze splot u z γ

ε

, u

ε

(x) := γ

ε

u(x) =

Ω

u(y)γ

ε

(x

− y) dy

jest funkcja

gladka

na IR

n

. Zal´

o˙zmy, ˙ze x

Ω oraz ε < dist(x, ∂Ω). Latwe

obliczenia prowadza

do naste

puja

cych r´

owno´sci:

u

ε

(x) =

Ω

u(y)γ

ε

(y

− x) dy = ε

−n

|y|<ε

u(x + y)γ(y/ε) dy

6

background image

=

|y|<1

u(x + εy)γ(y) dy =

1

0

r

n−1

dr

S

1

(0)

u(x + εrw)γ(rw) dS

w

=

1

0

γ(r)r

n−1

dr

|w|=1

u(x + εrw) dS

w

= u(x)σ

n

1

0

γ(r)r

n−1

dr = u(x).

W przedostatniej r´

owno´sci wykorzystali´smy wlasno´s´

c ´sredniej funkcji u.

Wykazali´smy, ˙ze u(x) = u

ε

(x) na Ω

ε

:=

{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}, a

wie

c u jest gladka na Ω. Jej harmoniczno´s´

c wynika z r´

owno´sci

K

r

(x)

Δu = r

n−1

∂r

|w|=1

u(x + rw) dS

w

= r

n−1

∂r

(σ

n

u(x)) = 0,

spelnionej na ka˙zdej kuli K

r

(x) zawartej w Ω.

2

Zakladamy, ˙ze w punkcie ¯

x

Ω znajduje sie

´

zr´

odlo ciepla o wydajno´sci

q, a na brzegu Ω temperatura jest zadana. Interesuje nas temperatura
T

¯x

(x) w dowolnym punkcie x

Ω.

Zgodnie z zalo˙zeniem Z2

|x−¯x|=r

∂T

¯

x

(x)

∂ν

=

−q. Mo˙zemy te˙z zalo˙zy´c, ˙ze w

otoczeniu punktu ¯

x funkcja T

¯x

jest ”prawie ” radialnie symetryczna, a wie

c

|x−¯x|=r

∂T

¯x

(x)

∂ν

= q

≈ −4πr

2

T

¯x

(r).

Wynika sta

d, ˙ze w rozwa˙zanym otoczeniu, T

¯x

(x)

q

4π|x−¯x|

. Z zalo˙zenia Z1

wnioskujemy ˙ze, poza punktem ¯

x funkcja T

¯x

(x) ma wlasno´s´

c ´sredniej, a wie

c

jest harmoniczna.

Rozumuja

c podobnie jak przy wyprowadzaniu r´

ownania wia

˙za

cego ge

sto´s´

c

ladunk´

ow elektrycznych z potencjalem przez nia

wytworzonym, dla ka˙zdej

funkcji v

∈ C

1

c

(Ω) dostajemy

Ω

∇T

¯x

(x)

· ∇v = qvx).

Sta

d, dla cia

glego rozkladu ρ ´

zr´

odel ciepla,

Ω

∇T (x) · ∇v =

Ω

ρv dla ka˙zdej funkcji

v

∈ C

1

c

(Ω).

Je´sli T

∈ C

2

(Ω)

∩C

1

( ¯

Ω), ΔT

∈ L

1

(Ω), to oczywi´scie z ostatniej to˙zsamo´sci

otrzymujemy r´

ownanie

ΔT = ρ.[7x]

(2.6)

Je´sli na wste

pie naszych rozwa˙za´

n zalo˙zymy dwukrotna

o˙zniczkowalno´s´

c

T , to r´

ownanie (2.6) dostaniemy w prostszy spos´

ob. Wystarczy zauwa˙zy´

c,

˙ze dla dowolnego ω

Ω przeplyw ciepla przez ∂ω r´owny jest ilo´sci wytwor-

zonego w nim ciepla, a wie

c

ω

ρ =

∂ω

∂T

∂ν

=

ω

ΔT,

7

background image

sta

d wobec dowolno´sci ω wynika (2.6).

W przedstawionych modelach funkcja u opisuja

ca zjawisko fizyczne spelniala

to˙zsamo´s´

c calkowa

∇u · ∇v =

f v, [a]

(2.7)

a przy dodatkowym zalo˙zeniu o regularno´sci u, r´

ownanie

Δu = f.[b]

(2.8)

Udowodnienie istnienia funkcji u spelniaja

cej to˙zsamo´s´

c (2.7) jest na og´

ol

latwiejsze od wykazania istnienia rozwia

zania r´

ownania (2.8). Przyczyna

le˙zy w tym, ˙ze w pierwszym przypadku mo˙zemy wybra´

c wie

ksza

przestrze´

n,

w kt´

orej szukamy rozwia

za´

n.

Zagadnienie (1.1), (1.2) be

dziemy rozpatrywa´

c na otwartym, ograni-

czonym podzbiorze Ω

⊂ IR

n

.

Definicja 2.2.

Funkcje

u

∈ C

0

( ¯

Ω)

∩ C

2

(Ω) nazywamy klasycznym

rozwia

zaniem zagadnienia (1.1), (1.2), je´sli u spelnia r´

ownanie (1.1) i warunek

brzegowy (1.2).

Poni˙zszy przyklad wskazuje, ˙ze (1.1), (1.2) nie zawsze ma rozwia

zanie

klasyczne, nawet przy dosy´

c mocnych zalo˙zeniach o f .

Przyklad 2.1. [4], [7] Rozpatrujemy r´

ownanie Poissona w kole K =

{x =

(x

1

, x

2

)

∈ IR

2

:

|x| < R < 1} postaci

Δu =

x

2

1

− x

2

2

2

|x|

2

4

(

ln |x|)

1/2

+

1

(2(

ln |x|))

3/2

=: f (x

1

, x

2

).[p1]

(2.9)

Przyjmuja

c 0 jako warto´s´

c prawej strony w (0, 0), f staje sie

funkcja

cia

gla

na K. Latwo sprawdzi´

c, ˙ze h(x

1

, x

2

) = (x

2

1

−x

2

2

)(

ln |x|)

1/2

jest rozwia

zaniem

(2.9) w K

\ (0, 0), pierwsze pochodne cza

stkowe h sa

ograniczone w K oraz

h

x

1

x

1

(x

1

, x

2

) da

˙zy do

, gdy (x

1

, x

2

)

(0, 0).

Udowodnimy, ˙ze (2.9) nie ma rozwia

za´

n klasycznych. Zal´

o˙zmy, ˙ze takie

rozwia

zanie u istnieje. Wtedy w = u

− h jest funkcja

harmoniczna

w K

\

(0, 0) i ograniczona

. Definiujemy

p(x) :=

γ

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

,

gdzie γ jest dowolna

krzywa

la

cza

ca

ustalony punkt x

0

z x. Zauwa˙zmy, ˙ze

funkcja p jest dobrze okre´slona, tzn. p(x) nie zale˙zy od drogi calkowania.
Istotnie, je´sli krzywe γ

1

i γ

2

la

cza

te same punkty i γ

1

∪ γ

2

ogranicza obszar

Ω

1

nie zawieraja

cy we wne

trzu (0, 0), to poniewa˙z w Ω

1

w jest harmoniczna,

mamy

γ

1

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

=

γ

2

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

.[p2]

(2.10)

8

background image

Je´sli (0, 0)

Ω

1

, to calka po krzywej zamknie

tej zlo˙zonej z γ

1

, γ

2

, okre

gu

S

ε

o promieniu ε i ´srodku (0, 0) zawartego w Ω

1

oraz odcinka la

cza

cego S

ε

z γ

1

obieganego dwa razy w przeciwnych kierunkach, jest r´

owna 0. Sta

d

γ

1

∪γ

2

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

=

S

ε

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

. Pierwsze pochodne cza

-

stkowe w sa

ograniczone, a wie

c prawa strona ostatniej r´

owno´sci da

˙zy do 0,

gdy ε

0. Pocia

ga to r´

owno´s´

c (2.10).

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy punkt (0, 0) le˙zy na γ

1

ba

z

γ

2

. Zauwa˙zmy, ˙ze dzie

ki ograniczono´sci pierwszych pochodnych cza

stkowych

funkcji w, male zmiany krzywej γ daja

male zmiany calki

γ

−w

x

2

dx

1

+

w

x

1

dx

2

. Je´sli r´

owno´s´

c (2.10) spelniona jest dla wszystkich krzywych γ

1

, γ

2

nie przechodza

cych przez (0, 0), to zachodzi te˙z dla dowolnych krzywych.

Latwo zauwa˙zy´

c, ˙ze p jest funkcja

sprze

˙zona

do w, tzn. w + ip jest harmon-

iczna w Ω

\ (0, 0) i ograniczona. Mo˙zna wie

c okre´sli´

c ja

w (0, 0), tak aby

byla analityczna na calym Ω, a wie

c w bylaby harmoniczna w Ω. Przeczy

to nieograniczono´sci jej pochodnych w

x

1

x

1

.

2

Dalej wr´

ocimy do problemu zalo˙ze´

n o funkcji f gwarantuja

cych istnienie

rozwia

za´

n klasycznych.

3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
Niech u : Ω

→ IR, α = (α

1

, ..., α

n

), α

i

∈ IN i |α| = α

1

+ ... + α

n

. Oz-

naczmy D

α

i

u :=

αi

u

∂x

αi

i

i D

α

u := D

α

1

...D

α

n

u. Zakladamy, ˙ze u

∈ C

k

( ¯

Ω), tzn.

w Ω istnieja

pochodne D

α

u,

|α| ≤ k i przedlu˙zaja

sie

do funkcji cia

glych na

¯

Ω. C

k

( ¯

Ω) jest przestrzenia

Banacha z norma

|u|

C

k

= Σ

|α|≤k

sup

x∈Ω

|D

α

u(x)

|.

Je´sli u

∈ C

1

(Ω) i v jest funkcja

o no´sniku zwartym zawartym w Ω,

v

∈ C

1

c

(Ω), to z (1.3) dostajemy

Ω

uv

x

i

=

Ω

u

x

i

v.[prt]

(3.1)

owno´s´

c (3.1) spelniona dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

1

c

(Ω) wyznacza jednozna-

cznie u

x

i

. Fakt ten jest punktem wyj´scia do definicji slabej pochodnej.

Niech u

∈ L

2

loc

(Ω), tzn. u jest calkowalna z kwadratem na ka˙zdym

zwartym podzbiorze Ω.

Definicja 3.1.

Funkcje

u

α

∈ L

2

loc

(Ω) nazywamy slaba

pochodna

rze

du α

funkcji u, je´sli dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

c

(Ω)

Ω

uD

α

v = (

1)

|α|

Ω

u

α

v.[prt2]

(3.2)

Slabe pochodne oznaczamy takim samym symbolem jak pochodne w

klasycznym sensie. Z kontekstu be

dzie wynika´

c jakie pochodne mamy na

9

background image

my´sli. Nietrudno wykaza´

c, ˙ze slaba pochodna D

α

u jest wyznaczona jednoz-

nacznie, nie zale˙zy od kolejno´sci r´

o˙zniczkowania, a dla funkcji r´

o˙zniczkowalnych

w klasycznym sensie jest identyczna z klasyczna

pochodna

. Przypomnijmy

te˙z, ˙ze slaba pochodna, jako element L

2

loc

(Ω), jest okre´slona prawie wsze

dzie.

Przyklad 3.1. Wyka˙zemy, ˙ze funkcja u(x) =

|x| na (1, 1) ma slaba

pochodna

u

(x) = 1 dla x > 0 i u

(x) =

1 dla x < 0. Istotnie, dla dowolnej funkcji

v

∈ C

c

((

1, 1))

1

1

uv

=

0

1

xv

(x) dx +

1

0

xv

(x) dx =

1

1

u

v.

2

Przyklad 3.2.

Funkcja u(x) =

x

|x|

na (

1, 1) nie ma slabej pochodnej.

Zal´

o˙zmy, ˙ze taka pochodna u

istnieje. Wtedy dla dowolnej funkcji v

C

c

((

1, 1)),

1

1

u

v =

1

1

uv

=

0

1

v

1

0

v

= 2v(0). Wynika sta

d,

˙ze dla v

∈ C

c

((0, 1)),

1

0

u

v = 0, a wie

c u

(x) = 0 dla x > 0. Podobnie

uzasadniamy, ˙ze u

(x) = 0 dla x < 0. W rezultacie dostajemy, ˙ze u

0.

Przeczy to r´

owno´sci

1

1

u

v = 2v(0), je´sli tylko v(0)

= 0.

2

Naste

pny przyklad pokazuje, ˙ze istnieja

funkcje maja

ce slabe pochodne

drugiego rze

du, a nie posiadaja

ce slabych pierwszych pochodnych. Oczywi´scie

tak nie mo˙ze sie

zdarzy´

c, je´sli pochodne rozumiemy w klasycznym sensie.

Przyklad 3.3. Rozpatrzmy w kole jednostkowym K

1

(0) = Ω

⊂ IR

2

funkcje

u(x

1

, x

2

) =

x

1

|x

1

|

+

x

2

|x

2

|

. Z poprzedniego przykladu wynika, ˙ze nie istnieja

pochodne u

x

i

. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze istnieje pochodna u

x

1

x

2

. Je´sli bowiem

v

∈ C

c

(Ω), to

Ω

v

x

1

x

2

u =

Ω

v

x

1

x

2

x

1

|x

1

|

+

Ω

v

x

1

x

2

x

2

|x

2

|

=

Ω∩{x

1

<0}

v

x

1

x

2

+

Ω∩{x

1

>0}

v

x

1

x

2

Ω∩{x

2

<0}

v

x

1

x

2

+

Ω∩{x

2

>0}

v

x

1

x

2

= 0.

Wynika sta

d, ˙ze u

x

1

x

2

0.

2

Niech γ be

dzie ja

drem wygladzaja

cym. W dalszej cze

´sci be

dziemy wyko-

rzystywa´

c naste

puja

ce fakty [2], [7]:

P1. Je´sli u

∈ C

k

(Ω), to u

ε

(x) :=

Ω

u(y)γ

ε

(x

− y) dy jest klasy C

(IR

n

)

oraz dla ka˙zdego podzbioru zwartego Ω

⊂⊂ Ω, |u

ε

− u|

C

k

)

0, gdy

ε

0.

P2. Je´sli u

∈ L

2

(Ω), to u

ε

∈ C

(IR

n

) i

|u

ε

− u|

L

2

(Ω)

0, gdy ε → 0.

P3. Je´sli u ma zwarty no´snik, to r´

ownie˙z u

ε

ma no´snik zwarty.

10

background image

P4. Operacja brania splotu z ja

drem wygladzaja

cym jest przemienna z

o˙zniczkowaniem

D

α

u

ε

= (D

α

u)

ε

[roz]

(3.3)

oraz

|D

α

u

ε

− D

α

u

|

L

2

)

0, [roz2]

(3.4)

gdy ε

0 i Ω

⊂⊂ Ω.

Uwaga 3.1.

Je´sli pierwsze pochodne cza

stkowe sa

owne 0, u

x

k

= 0, to

u jest funkcja

stala

. Istotnie, na mocy (3.3) (u

ε

)

x

k

= (u

x

k

)

ε

= 0; wynika

sta

d, ˙ze u

ε

jest funkcja

stala

, u

ε

(x) = c(ε). Korzystaja

c z (3.4) dostajemy

|c(ε

1

)

− c(ε

2

)

|

L

2

)

=

|c(ε

1

)

− c(ε

2

)

|

|Ω

| → 0, gdy ε

1

, ε

2

0. Oznacza to,

˙ze u

ε

da

˙zy do stalej, a wie

c u

≡ Const.

Pochodne w sensie klasycznym definiujemy za pomoca

iloraz´

ow r´

o˙znicowych.

Poni˙zej wyka˙zemy, ˙ze w podobny spos´

ob mo˙zna zdefiniowa´

c slabe pochodne,

je´sli granice iloraz´

ow r´

o˙znicowych rozumiemy w sensie zbie˙zno´sci w L

2

. Oz-

naczmy

D

k

h

u =

1

h

(u(x

1

, ..., x

k

+ h, ..., x

n

)

− u(x

1

, ..., x

n

)).

(3.5)

Prosty rachunek pokazuje, ˙ze je´sli u

∈ L

2

(Ω) jest funkcja

o no´sniku zwartym,

u

∈ L

2

c

(Ω), v

∈ L

2

(Ω) i h jest dostatecznie male, to dla iloraz´

ow r´

o˙znicowych

prawdziwy jest odpowiednik wzoru na calkowanie przez cze

´sci

(D

k

h

u, v)

L

2

(Ω)

=

(u, D

k

−h

v)

L

2

(Ω)

, [czesc]

(3.6)

gdzie (

·, ·)

L

2

(Ω)

oznacza iloczyn skalarny w L

2

.

Twierdzenie 3.1

Zakladamy, ˙ze u

∈ L

2

c

(Ω).

a. Je´sli istnieje slaba pochodna u

x

k

, to dla dostatecznie malych h

|D

k

h

u

|

L

2

(Ω)

≤ |u

x

k

|

L

2

(Ω)

, [nx1]

(3.7)

|D

k

h

u

− u

x

k

|

L

2

(Ω)

0, gdy h → 0.[nx2]

(3.8)

b. Je´sli istnieje taka stala C > 0, ˙ze dla dostatecznie malych h,

|D

k

h

u

|

L

2

(Ω)

C, to istnieje slaba pochodna u

x

k

i

|u

x

k

|

L

2

(Ω)

≤ C.

Dow´

od. Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ C

1

c

(Ω) i k = n. Wtedy

D

n

h

u =

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

n

,

gdzie x

= (x

1

, ..., x

n−1

). Sta

d

|D

n

h

u

|

2

=

1

h

2

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

n

2

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

n

.

11

background image

Calkuja

c te

nier´

owno´s´

c wzgle

dem x

n

, mamy

+

−∞

|D

n

h

u

|

2

dx

n

1

h

+

−∞

dx

n

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

n

1

h

+

−∞

dx

n

h

0

∂u(x

, ¯

ξ

n

+ x

n

)

∂ξ

n

2

d ¯

ξ

n

1

h

h

0

d ¯

ξ

n

+

−∞

dx

n

∂u(x

, ¯

ξ

n

+ x

n

)

∂ξ

n

2

=

+

−∞

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

n

.

Calkuja

c teraz wzgle

dem x

∈ IR

n−1

otrzymujemy (3.7) dla u

∈ C

1

c

(Ω).

Je´sli funkcja u

∈ L

2

c

(Ω), to wygladzamy ja

, splataja

c z ja

drem wygladzaja

cym

Otrzymujemy funkcje

u

ε

∈ C

1

c

(Ω) , dla kt´

orej zachodzi nier´

owno´s´

c

|D

n

h

u

ε

|

L

2

(Ω)

≤ |(u

ε

)

x

n

|

L

2

(Ω)

=

|(u

x

n

)

ε

|

L

2

(Ω)

.

Przechodza

c z ε

0 i korzystaja

c z (3.4) dostajemy (3.7) dla u

∈ L

2

c

(Ω).

Aby wykaza´

c (3.8), rozumuja

c jak w dowodzie (3.7), mo˙zemy ograniczy´

c

sie

do u

∈ C

1

c

(Ω). Zauwa˙zmy, ˙ze

|D

n

h

u(x)

− u

x

n

(x)

| =

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

n

.

Sta

d

+

−∞

(D

n

h

u(x)

−u

x

n

(x))

2

dx

n

1

h

+

−∞

dx

n

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

1

h

h

0

+

−∞

∂u(x

, x

n

+ ξ)

∂x

n

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

dx

n

.

Calkuja

c te

nier´

owno´s´

c wzgle

dem x

∈ IR

n−1

, dostajemy

|D

n

h

u

− u

x

n

|

2

L

2

1

h

h

0

Ω

∂u(x

, x

n

+ ξ)

∂x

n

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

dx.

Calka

Ω

∂u(x

,x

n

+ξ)

∂x

n

∂u(x

,x

n

)

∂x

n

2

dx da

˙zy do 0, gdy h

0, a wie

c D

n

h

u

u

x

n

w L

2

. Wykorzystali´smy naste

puja

cy fakt: je´sli w

∈ L

2

c

(Ω), to

Ω

(w(x +

h)

− w(x))

2

0, gdy h → 0.

Przejd´

zmy do dowodu punktu (b). Z zalo˙ze´

n wynika, ˙ze rodzina funkcji

D

k

h

u jest slabo zwarta w L

2

. Mo˙zna wie

c wybra´

c z niej podcia

g slabo zbie˙zny

D

k

h

m

u

→ ω i |ω|

L

2

≤ C. Korzystaja

c z (3.6) mamy (D

k

h

m

u, v)

L

2

(Ω)

=

(u, D

k

−h

m

v)

L

2

(Ω)

dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

0

(Ω).

Przechodza

c z m do

niesko´

nczono´sci dostajemy (ω, v)

L

2

(Ω)

=

(u, v

x

k

)

L

2

(Ω)

, co oznacza, ˙ze u

x

k

=

ω.

12

background image

2

Przestrzenie

H

k

(Ω).

Oznaczmy przez H

k

loc

(Ω) podzbi´

or L

2

loc

(Ω) zlo˙zony z funkcji maja

cych

slabe pochodne do rze

du k wla

cznie. Zbi´

or H

k

(Ω)

⊂ H

k

loc

(Ω) sklada sie

z funkcji, kt´

orych slabe pochodne do rze

du k wla

cznie nale˙za

do L

2

(Ω).

H

k

(Ω) jest przestrzenia

Hilberta z iloczynem skalarnym

(u, v)

H

k

(Ω)

= Σ

|α|≤k

Ω

D

α

uD

α

v.

Wymie´

nmy kilka podstawowych wlasno´sci przestrzeni H

k

(Ω):

H1. Je´sli u

∈ H

k

(Ω) i v

∈ C

k

( ¯

Ω), to vu

∈ H

k

(Ω).

H2. Dla ka˙zdego Ω

⊂⊂ Ω, u

ε

→ u w H

k

), gdy ε

0.

H3. Je´sli Ω

⊂⊂ Ω

, Ω

∈ C

k

, k

1, to dla ka˙zdej funkcji u ∈ H

k

(Ω)

(C

k

(Ω)) istnieje taka funkcja U

∈ H

k

), (U

∈ C

k

) o no´sniku zwartym,

˙ze U

|

Ω

= u i

|U|

H

k

)

≤ C|u|

H

k

(Ω)

, (

|U|

C

k

)

≤ C|u|

C

k

(Ω)

), gdzie stala C

zale˙zy tylko od Ω i Ω

.

H4. Je´sli Ω

∈ C

k

, to zbi´

or C

( ¯

Ω) jest ge

sty w H

k

(Ω).

Dalej korzysta´

c be

dziemy z wlasno´sci przedlu˙zania funkcji ϕ

∈ C

k

(Ω)

do funkcji okre´slonej na ¯

Ω.

H5. Przy zalo˙zeniach Ω

∈ C

k

, k

1, ϕ ∈ C

k

(Ω), istnieje taka funkcja

u

∈ C

k

( ¯

Ω), ˙ze u

|

Ω

= ϕ i

|u|

C

k

(¯Ω)

≤ C|ϕ|

C

k

(Ω)

. Stala C zale˙zy tylko od Ω.

´

Slad funkcji.
Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ C

1

( ¯

Ω), Ω

∈ C

1

i S jest kawalkiem brzegu Ω be

da

cym

wykresem funkcji x

n

= Φ(x

1

, ..., x

n−1

). Z wlasno´sci H3 wynika, ˙ze mo˙zna

przedlu˙zy´

c u na pewien prostopadlo´scian Ω

=

{x : 0 ≤ x

i

≤ a}, Ω ⊂⊂ Ω

i przedlu˙zenie to , oznaczamy je przez u, ma no´snik zwarty w Ω

. Dla x

∈ S

mamy

u(x) = u(x

, Φ(x

)) =

Φ(x

)

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

n

.

Sta

d

(

|u(x)|

S

)

2

≤ |Φ(x

)

|

Φ(x

)

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

n

≤ a

a

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

n

.

Mno˙za

c te

nier´

owno´s´

c przez

1 + Φ

2

x

1

+ ...Φ

2

x

n−1

i calkuja

c po dziedzinie D

funkcji Φ, dostajemy

|u|

2

L

2

(S)

≤ C

2

|u|

2

H

1

(Ω)

,

a wie

c dla dowolnej funkcji u

∈ C

1

( ¯

Ω)

|u|

L

2

(Ω)

≤ C|u|

H

1

(Ω)

.[nnx]

(3.9)

13

background image

Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ H

1

(Ω). Z wlasno´sci H4 wynika istnienie takiego cia

gu

u

n

∈ C

( ¯

Ω), ˙ze u

n

→ u w H

1

(Ω). Z (3.9) otrzymujemy nier´

owno´s´

c

|u

n

− u

m

|

L

2

(Ω)

≤ C|u

n

− u

m

|

H

1

(Ω)

.

Cia

g u

n

na Ω jest wie

c fundamentalny w L

2

(Ω), a tym samym zbie˙zny w

tej przestrzeni, u

n

˜u. Funkcje

˜

u

∈ L

2

(Ω) nazywamy ´sladem funkcji u

na Ω. Nietrudno wykaza´

c, ˙ze ˜

u jest dobrze okre´slona, tzn. nie zale˙zy od

wyboru cia

gu u

n

. Dla funkcji u

∈ C

1

( ¯

Ω) ´slad funkcji jest jej obcie

ciem do

Ω.

Oznaczmy przez H

1

0

(Ω) funkcje z H

1

(Ω) o ´sladzie r´

ownym 0. Dalej

wykorzystamy fakt, ˙ze H

1

0

(Ω) jest domknie

ciem zbioru C

c

(Ω) w topologii

H

1

.

Zgodnie z definicja

, iloczyn skalarny w H

1

0

(Ω) zadany jest wzorem

(u, v)

H

1

(Ω)

=

Ω

uv +

Ω

∇u · ∇v.

Z nier´

owno´sci Poincar´

ego [2], [3]

|u|

2

L

2

(Ω)

≤ C

Ω

|∇u|

2

, prawdziwej dla

dowolnej funkcji u

∈ H

1

0

(Ω), wynika, ˙ze jest on r´

ownowa˙zny z iloczynem

(u, v)

H

1

(Ω)

=

Ω

∇u · ∇v,

kt´

ory bywa wygodniejszy w u˙zyciu.

Wyka˙zemy, ˙ze wz´

or na calkowanie przez cze

´sci,

Ω

u

x

i

v =

Ω

uvν

i

Ω

uv

x

i

, [calk]

(3.10)

prawdziwy dla funkcji u, v

∈ C

1

( ¯

Ω), przenosi sie

na funkcje z H

1

(Ω), je´sli

warto´sci u i v na Ω rozumiemy w sensie ich ´sladu.

W tym celu funkcje u, v aproksymujemy, w sensie H

1

, funkcjami u

n

, v

n

C

1

( ¯

Ω). Z definicji ´sladu wynika, ˙ze obcie

cia u

n

i v

n

do Ω sa

zbie˙zne w

L

2

(Ω) do ´slad´

ow funkcji u i v. Wystarczy teraz podstawi´

c we wzorze

(3.10) u = u

n

, v = v

n

i przej´s´

c z n do

.

Podobnie argumentuja

c mo˙zna wykaza´

c, ˙ze je´sli v

∈ H

1

(Ω), u

i

∈ H

1

(Ω),

u = (u

1

, ..., u

n

), to

Ω

v div−

u =

Ω

v(

u

· ν)

Ω

u

· ∇v.[gree]

(3.11)

Regularno´

c funkcji z

H

k

(Ω).

Uzasadnimy, ˙ze funkcje z H

k

loc

(Ω), je´sli tylko k jest dostatecznie du˙ze, sa

funkcjami r´

o˙zniczkowalnymi w klasycznym sensie. Dokladniej, prawdziwe

jest naste

puja

ce zawieranie

14

background image

Twierdzenie 3.2 [locglad]

H

l+1+[n/2]

loc

(Ω)

⊂ C

l

(Ω).[gladkosc]

(3.12)

Dow´

od. Dow´

od przeprowadzimy dla n = 2. W wy˙zszym wymiarze jego idea

jest taka sama, ale rachunki bardziej skomplikowane.

Zacznijmy od przypomnienia definicji rozwia

zania fundamentalnego E

n

(x)

operatora Laplace’a. Dla n > 2, E

n

(x) =

1

(n−2)σ

n

|x|

n−2

, E

2

(x) =

1

2π

log

1

|x|

.

Poni˙zszy wz´

or [5], [7], [9], kt´

orego dow´

od pomijamy, pozwala wyrazi´

c

warto´s´

c funkcji u

∈ C

2

( ¯

Ω) w dowolnym punkcie x

Ω za pomoca

laplasjanu

tej funkcji oraz jej warto´sci i pochodnych na brzegu,

u(x) =

Ω

E

n

(x

−yu(y) dy+

Ω

u(y)

∂E

n

(x

− y)

∂ν

y

dS

y

Ω

∂u

∂ν

y

E

n

(x

−y) dS

y

.[w

(3.13)

Pierwsza

calke

brzegowa

w (3.13) nazywamy potencjalem warstwy podw´

ojnej

a druga

potencjalem warstwy pojedynczej. Dalej korzysta´

c be

dziemy z tego,

˙ze potencjaly te jako funkcje zmiennej x sa

funkcjami harmonicznymi na

IR

n

\ ∂Ω.

W szczeg´

olno´sci z (3.13) wynika, ˙ze dla u

∈ C

2

c

(Ω) i n = 2

u(x) =

1

2π

Ω

log

|x − y|Δu(y) dy.[wzor1]

(3.14)

Sta

d

|u(x)| ≤

1

2π

Ω

u(y))

2

dy

1/2

Ω

(log

|x − y|)

2

dy

1/2

≤ C|u|

H

2

(Ω)

,

gdzie C = sup

x∈Ω

{

1

2π

(

Ω

(log

|x − y|)

2

dy)

1/2

}.

Wykazali´smy, ˙ze

|u|

C

0

(Ω)

≤ C|u|

H

2

(Ω)

, [nx3]

(3.15)

a stala C zale˙zy tylko od obszaru Ω.

Je´sli u

∈ C

l+2

c

(Ω), l > 0, to z (3.15) wynika, ˙ze dla ka˙zdego α,

|α| < l,

zachodza

nier´

owno´sci

|D

α

u

|

C

0

(Ω)

≤ C|D

α

u

|

H

2

(Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

, a wie

c

|u|

C

l

(Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

.[nn]

(3.16)

Dla u

∈ H

l+2

c

(Ω), na mocy wlasno´sci H4 i P3, istnieje cia

g u

m

∈ C

l+2

c

(Ω)

zbie˙zny do u w H

l+2

, i ponadto z (3.16) dostajemy

|u

m

− u

k

|

C

l

(Ω)

≤ C|u

m

− u

k

|

H

l+2

(Ω)

.

Prawa strona powy˙zszej nier´

owno´sci zbiega do 0, gdy m, k

→ ∞, a wie

c

u

m

jest cia

giem fundamentalnym w C

l

( ¯

Ω). Sta

d u

m

jest zbie˙zny w C

l

( ¯

Ω)

15

background image

do pewnej funkcji u. Wykazali´smy w ten spos´

ob, ˙ze je´sli u

∈ H

l+2

c

(Ω), to

u

∈ C

l

( ¯

Ω) i

|u|

C

l

(¯Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

.

Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ H

l+2

loc

(Ω) i ˜

Ω

⊂⊂ Ω. Je´sli ξ ∈ C

c

(Ω), ξ

|

˜Ω

= 1, to

ξu

∈ H

l+2

c

(Ω) i ξu = u na ˜

Ω, a wie

c ξu

∈ C

l

(Ω). Tym samym u

∈ C

l

(Ω).

2

Przy odpowiednich zalo˙zeniach o regularno´sci Ω mo˙zemy Twierdzenie

(3.2) wzmocni´

c.

Twierdzenie 3.3 [globglad]

Je´sli ∂Ω

∈ C

l+1+[

n

2

]

, to H

l+1+[

n

2

]

(Ω)

⊂ C

l

( ¯

Ω).

Dow´

od. Z H3 wynika, ˙ze funkcje

u

∈ H

l+1+[

n

2

]

(Ω) mo˙zna przedlu˙zy´

c do

funkcji U

∈ H

l+1+[

n

2

]

c

( ˜

Ω), Ω

⊂⊂ ˜Ω i |U|

H

l+1+[ n

2 ]

(˜Ω)

≤ C|u|

H

l+1+[ n

2 ]

(Ω)

. Sta

d i

Twierdzenia 3.2: U

∈ C

l

( ˜

Ω), a wie

c u

∈ C

l

( ¯

Ω) i

|u|

C

l

(¯Ω)

≤ C|u|

H

l+1+[ n

2 ]

(Ω)

.

2

4. Istnienie, jednoznaczno´

c i regularno´

c slabych rozwia

za´

n.

Rozpatrujemy zagadnienie brzegowe

Δu = f, [s1]

(4.1)

u

|

Ω

= ϕ.[s2]

(4.2)

Zakladamy, ˙ze f

∈ L

2

(Ω) i ϕ

∈ L

2

(Ω).

Funkcje

u

∈ H

1

(Ω) nazywamy slabym rozwia

zaniem

ownania (4.1), gdy

dla ka˙zdej funkcji v

∈ H

1

0

(Ω) spelniona jest to˙zsamo´s´

c:

Ω

∇u · ∇v =

Ω

f v.[s3]

(4.3)

Je´sli dodatkowo u = ϕ na Ω (w sensie ´sladu), to u nazywamy slabym
rozwia

zaniem (4.1), (4.2).

Przypomnijmy, ˙ze u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

0

( ¯

Ω) nazywamy rozwia

zaniem klasy-

cznym zagadnienia (4.1), (4.2), je´sli u spelnia r´

ownanie (4.1) i warunek brze-

gowy (4.2). Nie wymagamy aby

∇u ∈ L

2

(Ω), a wie

c rozwia

zanie klasyczne

nie musi by´

c rozwia

zaniem slabym. Oczywi´scie jest nim, je´sli dodatkowo

u

∈ C

1

( ¯

Ω).

Twierdzenie 4.1

Je´sli f

∈ L

2

(Ω) i ϕ

0, to zagadnienie (4.1), (4.2) ma

dokladnie jedno slabe rozwia

zanie.

Dow´

od. Funkcja f zadaje na H

1

0

(Ω) funkcjonal liniowy v

(f, v)

L

2

(Ω)

. Jego

cia

glo´s´

c wynika z oszacowa´

n :

|(f, v)

L

2

(Ω)

| ≤ |f|

L

2

(Ω)

|v|

L

2

(Ω)

≤ C|f|

L

2

(Ω)

|v|

H

1

0

(Ω)

.

16

background image

Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden element u

∈ H

1

0

(Ω)

spelniaja

cy warunek (u, v)

H

1

0

(Ω)

=

Ω

∇u · ∇v = (f, v)

L

2

(Ω)

, a tym samym u

jest jedynym rozwia

zaniem (4.1) z zerowym warunkiem na brzegu.

2

Rozpatrzmy przypadek, gdy ϕ jest dowolnym elementem L

2

(Ω). Z

definicji slabego rozwia

zania u wynika, ˙ze ϕ = u na Ω w sensie ´sladu, a wie

c

warunek brzegowy ϕ winien by´

c ´sladem pewnej funkcji. Je´sli ϕ

∈ C

1

(Ω),

to na mocy H5 ϕ jest ´sladem funkcji Φ

∈ C

1

( ¯

Ω). Podkre´slmy, ˙ze cia

glo´s´

c

ϕ nie jest warunkiem wystarczaja

cym, aby byla ona ´sladem pewnej funkcji

z H

1

(Ω). Istnieje przyklad funkcji cia

glej na okre

gu, kt´

ora nie jest ´sladem

˙zadnej funkcji z H

1

(K(0, 1)) [3].

Zal´

o˙zmy, ˙ze istnieje Φ

∈ H

1

(Ω), kt´

orej ´sladem jest ϕ. Wprowad´

zmy

funkcje

niewiadoma

˜

u = u

Φ.

Je´sli Ω

∈ C

2

, ϕ

∈ C

2

(Ω), to Φ

∈ C

2

( ¯

Ω) i ˜

u spelnia

Δ˜u = f + ΔΦ, ˜u|

Ω

= 0.[tilde]

(4.4)

Z poprzednich rozwa˙za´

n wnioskujemy istnienie jedynego rozwia

zania ˜

u za-

gadnienia (4.4).

Przejd´

zmy do przypadku og´

olnego: zakladamy, ˙ze Φ

∈ H

1

(Ω) i szukamy

funkcji ˜

u

∈ H

1

0

(Ω) spelniaja

cej to˙zsamo´s´

c

Ω

˜u · ∇v =

Ω

f v +

Ω

Φ · ∇v[s4]

(4.5)

dla ka˙zdego v

∈ H

1

0

(Ω). Wyka˙zemy, ˙ze prawa strona (4.5) definiuje funkcjonal

liniowy cia

gly na H

1

0

(Ω), k(v) :=

Ω

f v +

Ω

Φ · ∇v. Zauwa˙zmy bowiem,

˙ze

|k(v)| ≤ |f|

L

2

(Ω)

|v|

L

2

(Ω)

+

|∇Φ|

L

2

(Ω)

|∇v|

L

2

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|Φ|

H

1

(Ω)

)

|v|

H

1

0

(Ω)

.

Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden taki element ˜

u

H

1

0

(Ω), ˙ze (˜

u, v)

H

1

0

(Ω)

= k(v) i

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|Φ|

H

1

(Ω)

). Zakladaja

c,

˙ze Ω

∈ C

1

, ostatnia

nier´

owno´s´

c mo˙zna zapisa´

c w postaci

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|ϕ|

C

1

(Ω)

), [ss44]

(4.6)

a og´

olnie

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+ inf

Φ|

Ω

=ϕ

|Φ|

H

1

(Ω)

).[ss45]

(4.7)

Jednoznaczno´s´

c slabych rozwia

za´

n zagadnienia (4.1), (4.2) jest natych-

miastowa

konsekwencja

jednoznaczno´sci rozwia

za´

n zagadnienia z jednorod-

nym warunkiem brzegowym. Gdyby bowiem istnialy dwa rozwia

zania u

1

,

u

2

, to ich r´

o˙znica u = u

1

− u

2

spelnialaby Δu = 0, u

|

Ω

= 0, a wie

c u

0.

Wykazali´smy w ten spos´

ob

17

background image

Twierdzenie 4.2

Je´sli f

∈ L

2

(Ω) i ϕ jest ´sladem pewnej funkcji Φ

H

1

(Ω), to istnieje dokladnie jedno rozwia

zanie u zagadnienia (4.1), (4.2).

Regularno´

c slabych rozwia

za´

n.

Z definicji, slabe rozwia

zanie u nale˙zy do przestrzeni H

1

(Ω). Wyka˙zemy,

˙ze odpowiednie zalo˙zenia o regularno´sci f gwarantuja

wy˙zsza

regularno´s´

c u.

Zacznijmy od przypadku jednowymiarowego

−u

= f,

u(0) = 0,

u(1) = 0.[w1]

(4.8)

Klada

c w Twierdzeniu 3.3 n = 1, l = 0 dostajemy zawieranie H

1

((0, 1))

C

0

([0.1]), czyli slabe rozwia

zanie u zagadnienia (4.8) jest cia

gle. Z definicji

spelnia te˙z to˙zsamo´s´

c

1

0

u

v

=

1

0

f v

dla v

∈ H

1

0

((0, 1)).[w2]

(4.9)

Twierdzenie 4.3

Je´sli f

∈ C

0

([0, 1]) i u jest slabym rozwia

zaniem (4.8),

to u

∈ C

2

([0, 1]) i spelnia (4.8) w klasycznym sensie.

Dow´

od. Funkcja ˜

u :=

x

0

y

0

f (ξ) dξ dy jest klasy C

2

([0, 1]) i

˜u

= f , a

wie

c spelnia to˙zsamo´s´

c (4.9). Oczywi´scie je´sli u

1

= u

˜u, to

1

0

u

1

v

= 0 dla

v

∈ H

1

0

((0, 1)). Wynika sta

d, ˙ze (u

1

)

=0 (

rozumiemy tutaj w sensie slabej

pochodnej), a wie

c u

1

jest stala (Uwaga 3.1) i tym samym u

∈ C

2

([0, 1]).

Z to˙zsamo´sci

1

0

u

v

=

1

0

u

v =

1

0

f v wynika, ˙ze

−u

= f , tzn. slabe

rozwia

zanie u spelnia r´

ownanie w klasycznym sensie.

2

Przejd´

zmy do badania regularno´sci slabych rozwia

za´

n w wy˙zszych wy-

miarach.

Twierdzenie 4.4 [x18]

Zakladamy, ˙ze f

∈ L

2

(Ω)

∩ H

k

loc

(Ω), k = 0, 1, 2...

i u jest slabym rozwia

zaniem (4.1). Wtedy u

∈ H

k+2

loc

(Ω) i dla ka˙zdej pary

obszar´

ow Ω

1

⊂⊂ Ω

2

⊂⊂ Ω istnieje taka stala C = C

1

, Ω

2

), ˙ze

|u|

H

k+2

1

)

≤ C(|f|

H

k

2

)

+

|u|

H

1

2

)

).[w3]

(4.10)

Dow´

od. Dow´

od przebiega indukcyjnie. Zal´

o˙zmy, ˙ze k = 0, tzn. f

∈ L

2

(Ω).

Oznaczmy ε = dist(Ω

1

, ∂Ω

2

) i Ω

ε

=

{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}. Niech

ξ be

dzie taka

funkcja

klasy C

(IR

n

), ˙ze ξ(x) = 1 na Ω

2

ε

i ξ(x) = 0 dla

x /

Ω

2

2

3

ε

. Je´sli v

0

∈ H

1

2

), to ξv

0

= v

∈ H

1

0

(Ω). Rozumiemy tutaj, ˙ze

v

0

(x) = 0 dla x /

Ω

2

. W to˙zsamo´sci (4.3) kladziemy v = ξv

0

. Korzystaja

c

z r´

owno´sci

∇u · ∇v = (∇u · ∇ξ)v

0

+

(ξu) · ∇v

0

− u∇ξ · ∇v

0

,

18

background image

(4.3) mo˙zna zapisa´

c w postaci

Ω

2

∇U · ∇v

0

=

Ω

2

F v

0

+

Ω

2

u

∇ξ · ∇v

0

, [w5]

(4.11)

gdzie F = f ξ

− ∇u · ∇ξ ∈ L

2

2

) i U = ξu

∈ H

1

2

). Poniewa˙z ξ zeruje

sie

na poza Ω

2

2

3

ε

to calkowanie w (4.11) przebiega po Ω

2

2

3

ε

.

Niech v

1

be

dzie funkcja

z H

1

2

) przedlu˙zona

zerem poza Ω

2

.

Dla

|h| <

ε

2

, D

i

−h

v

1

∈ H

1

2

ε

2

)

∩ L

2

ε

2

). Podstawiaja

c w (4.11) v

0

= D

i

−h

v

1

i wykorzystuja

c wz´

or (3.6) dostaniemy

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

=

Ω

2

F D

i

−h

v

1

+

Ω

2

D

i

h

(u

∇ξ) · ∇v

1

.[w6]

(4.12)

Sta

d i z (3.7)

|

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

| ≤ (|F |

L

2

2

)

+ C

|u|

H

1

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

2

)

.

Z oszacowania

|F |

L

2

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

),

otrzymujemy

|

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

| ≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

2

)

.[w7]

(4.13)

Podstawiaja

c w (4.13) v

1

= D

i

h

U mamy

Ω

2

|∇v

1

|

2

≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

2

)

.

Sta

d

|∇v

1

|

L

2

2

)

≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

).

Z powy˙zszej nier´

owno´sci wynika, ˙ze rodzina

∇D

i

h

U jest jednostajnie ogra-

niczona w L

2

2

), a wie

c na mocy Twierdzenia 3.1, U

∈ H

2

2

) oraz

|∇U|

L

2

2

)

≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

).[w77]

(4.14)

Przypomnijmy, ˙ze U = u na Ω

1

, sta

d u

∈ H

2

1

), a tym samym u

∈ H

2

loc

(Ω).

Korzystaja

c z nier´

owno´sci Poincar´

ego i (4.14) dostajemy oszacowanie

|u|

H

2

1

)

≤ C(|f|

L

2

2

)

+

|u|

H

1

2

)

).

W ten spos´

ob zako´

nczyli´smy dow´

od pierwszego kroku indukcji.

Zal´

o˙zmy teraz, ˙ze je´sli f

∈ L

2

(Ω)

∩ H

k

loc

(Ω), to u

∈ H

k+2

loc

(Ω),

|u|

H

k+2

1

)

≤ C(k, Ω

1

, Ω

2

)(

|f|

H

k

2

)

+

|u|

H

1

2

)

)

19

background image

oraz zachodzi to˙zsamo´s´

c

Ω

2

∇D

i

h

(D

α

U )

· ∇v

k+1

=

Ω

2

D

α

F D

i

−h

v

k+1

+

Ω

2

D

i

h

(D

α

(u

∇ξ)) · ∇v

k+1

[w8]

(4.15)

dla ka˙zdej funkcji v

k+1

∈ H

1

2

) i

|α| ≤ k.

Je´sli teraz f

∈ L

2

(Ω)

∩ H

k+1

(Ω) i

|α| ≤ k, to D

α

U

∈ H

2

2

) i D

α

F

H

1

2

). Przechodza

c w (4.15) z h

0, dostajemy

Ω

2

∇D

α

U

x

i

· ∇v

k+1

=

Ω

2

D

α

F (v

k+1

)

x

i

+

Ω

2

D

α

(u

∇ξ)

x

i

· ∇v

k+1

.

Niech v

k+2

∈ H

1

2

); klada

c v

k+1

= D

i

−h

v

k+2

otrzymamy

Ω

2

∇D

i

h

(D

α

U

x

i

)

·∇v

k+2

=

Ω

2

D

α

F

x

i

D

i

−h

v

k+2

+

Ω

2

D

i

h

(D

α

(u

∇ξ)

x

i

)

·∇v

k+2

.

Z zalo˙zenia indukcyjnego

|F |

H

k+1

2

)

≤ C(|f|

H

k+1

2

)

+

|u|

H

k+2

2

)

)

≤ C(|f|

H

k+1

2

)

+

|u|

H

1

2

)

).

Podstawiaja

c v

k+2

= D

i

h

(D

α

U

x

i

), rozumuja

c jak w kroku pierwszym, wniosku-

jemy, ˙ze u

∈ H

k+3

loc

(Ω).

2

Uwaga 4.1.

Je´sli f

∈ L

2

(Ω) i u

∈ H

1

(Ω) jest rozwia

zaniem (4.1), to u

spelnia r´

ownanie Poissona prawie wsze

dzie.

Dow´

od. Z Twierdzenia (4.4) wynika, ˙ze u

∈ H

2

loc

(Ω), czyli Δu

∈ L

2

loc

(Ω).

Niech Ω

1

⊂⊂ Ω i v ∈ H

1

0

1

). Z (4.3) dostaniemy to˙zsamo´s´

c

Ω

1

Δu v =

Ω

1

f v dla v

∈ H

1

0

1

).

Sta

d

Ω

1

u + f )v = 0, co pocia

ga

Δu = f prawie wsze

dzie w Ω.

2

Stosuja

c podobne idee jak w dowodzie Twierdzenia (4.4), mo˙zna wykaza´

c

[2], [3], [7] regularno´s´

c rozwia

za´

n a˙z do brzegu.

Twierdzenie 4.5 [glad1]

Je´sli f

∈ H

k

(Ω), ∂Ω

∈ C

k+2

, k

0, to slabe

rozwia

zanie u zagadnienia Δu = f , u

|

Ω

= 0 jest w H

k+2

(Ω),

|u|

H

k+2

(Ω)

C

|f|

H

k

(Ω)

i stala C nie zale˙zy od f .

Zauwa˙zmy, ˙ze z Twierdzenia (4.5) i Twierdzenia (3.3) wynika

Twierdzenie 4.6 [gladx]

Je´sli f

∈ H

1+[

n

2

]

(Ω) i ∂Ω

∈ C

3+[

n

2

]

, to slabe

rozwia

zanie r´

ownania (4.1) z jednorodnym warunkiem brzegowym jest rozwia

zan

klasycznym.

20

background image

Rozpatrzmy teraz zagadnienie (4.1), (4.2) w calej og´

olno´sci, tzn. zakla-

damy, ˙ze ϕ jest ´sladem pewnej funkcji Φ

∈ H

k+2

(aby to zagwarantowa´

c, w

my´sl H5 wystarczy, ˙ze ϕ

∈ C

k+2

(Ω)) i f

∈ H

k

(Ω).

Wprowad´

zmy funkcje

pomocnicza

w = u

Φ. Oczywi´scie dla v ∈ H

1

0

(Ω)

Ω

∇w · ∇v =

Ω

F

1

v, gdzie F

1

= f + ΔΦ. Funkcja w spelnia jednorodny

warunek brzegowy i F

1

∈ H

k

(Ω), a wie

c z Twierdzenia 4.5 w

∈ H

k+2

(Ω).

Wykazali´smy w ten spos´

ob

Twierdzenie 4.7 [glad2]

Je´sli f

∈ H

k

(Ω) i ϕ jest ´sladem funkcji z H

k+2

(Ω),

to rozwia

zanie u zagadnienia (4.1), (4.2) nale˙zy do H

k+2

(Ω).

5. Klasyczne rozwia

zania r´

ownania Poissona.

Be

dziemy rozpatrywa´

c klasyczne rozwia

zania zagadnienia (4.1), (4.2).

W Twierdzeniu (4.6) podane sa

warunki na f i Ω gwarantuja

ce istnienie

klasycznych rozwia

za´

n. Udowodnimy, ˙ze istnieja

rozwia

zania klasyczne przy

znacznie slabszych zalo˙zeniach o Ω, f i ϕ. Zaczniemy od tzw. zasad
maksimum, kt´

ore sa

podstawowym narze

dziem analizy rozwia

za´

n r´

owna´

n

eliptycznych.

Zasady maksimum.
Udowodnimy prosty pomocniczy

Lemat 5.1

Je´sli u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

0

( ¯

Ω) i Δu > 0, to maksimum funkcji u nie

mo˙ze by´

c osia

gnie

te w Ω.

Dow´

od. Zal´

o˙zmy, ˙ze maksimum funkcji u przyje

te jest w punkcie x

0

Ω.

Wtedy Δu(x

0

)

0, co jest sprzeczne z naszym zalo˙zeniem.

2

Poni˙zszy lemat nosi nazwe

slabej zasady maksimum.

Lemat 5.2

Je´sli u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

0

( ¯

Ω) i Δu

0, to u osia

ga maksimum na

Ω.

Dow´

od. Wprowadzamy funkcje

pomocnicza

w(x) = u + εe

x

1

, x

1

oznacza

pierwsza

wsp´

olrze

dna

punktu x i ε > 0. Oczywi´scie Δw = Δu + εe

x

1

> 0.

Funkcja w osia

ga maksimum na Ω i na mocy poprzedniego lematu

sup

x∈Ω

u(x) < sup

x∈Ω

w(x)

sup

x∈∂Ω

w(x)

sup

x∈∂Ω

u(x) + ε sup

x∈∂Ω

e

x

1

Przechodza

c z ε

0 dostajemy sup

x∈Ω

u(x)

sup

x∈∂Ω

u(x).

2

Ze slabej zasady maksimum wynikaja

natychmiast dwa wnioski.

21

background image

Wniosek 5.1

Funkcja harmoniczna i cia

gla w ¯

Ω osia

ga swoje kresy na ∂Ω.

Wniosek 5.2

Zagadnienie (4.1), (4.2) ma co najwy˙zej jedno klasyczne roz-

wia

zanie.

Poni˙zszy lemat odgrywa tutaj pomocnicza

role

przy dowodzie mocnej zasady

maksimum, ale poza tym znajduje wiele zastosowa´

n.

Lemat 5.3

(E. Hopf ) Zakladamy, ˙ze K := K

R

(0)

⊂ IR

n

, x

0

∈ ∂K, u ∈

C

2

(K)

∩ C(K ∪ {x

0

}), Δu ≥ 0 oraz u(x) < u(x

0

) dla x

∈ K. Wtedy dla

takiego wektora n, ˙ze n

· ν(x

0

) > 0 (x

0

) wektor normalny zewne

trzny do

Ω w punkcie x

0

) zachodzi nier´

owno´s´

c

lim inf

t→0

+

1

t

[u(x

0

)

− u(x

0

− tn)] > 0.

W szczeg´

olno´sci, je´sli u

∈ C

1

(K

∪ {x

0

}), to

∂u
∂n

> 0.

Dow´

od. Bez zmniejszania og´

olno´sci, mo˙zemy zalo˙zy´

c, biora

c ewentualnie

mniejsza

kule

, ˙ze K = K

R

(0), u(x) < u(x

0

) dla x

¯

K

− {x

0

} i u ∈

C

0

( ¯

K). Wprowadzamy funkcje

pomocnicza

w(x) = u(x) + εh(x), gdzie

h(x) = e

−|x|

2

− e

−R

2

0. Oznaczmy Σ = K ∩ K

R/2

(x

0

) i zauwa˙zmy, ˙ze

Δw > 0 na Σ. Wynika sta

d, ˙ze w nie mo˙ze osia

ga´

c maksimum na Σ.

Dowodzimy, ˙ze dla dostatecznie malych ε, w osia

ga maksimum w x

0

. Na

Σ

∩ ∂K h(x) = 0, a wie

c w(x) < w(x

0

) i dla x

∈ ∂Σ ∩ K u(x) < u(x

0

). Je´sli

dobierzemy ε dostatecznie male, to taka sama nier´

owno´s´

c be

dzie zachodzi´

c

dla funkcji w.

W rezultacie

w(x

0

)

− w(x

0

− tn)

t

0,

dla dostatecznie malych dodatnich t. Przechodza

c z t

0 dostajemy

lim inf

t→0

u(x

0

)

− u(x

0

− tn)

t

≥ −ε

∂h
∂n

(x

0

) > 0,

bo

∂h
∂n

< 0.

2

Jak wspomnieli´smy, wnioskiem z zasady Hopfa jest

Twierdzenie 5.1

(Mocna zasada maksimum) Je´sli u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

0

( ¯

Ω),

Δu

0 i u przyjmuje maksimum w Ω, to u jest funkcja

stala

.

Dow´

od. Pol´

o˙zmy Q =

{x ∈ Ω : u(x) = sup

y∈Ω

u(y)

}. Q jest zbiorem

domknie

tym w Ω.

Mamy wykaza´

c, ˙ze jest pusty lub pokrywa sie

z Ω.

Zal´

o˙zmy, ˙ze jest wla´sciwym podzbiorem Ω. Istnieje wtedy taka kula K,

˙ze K

Ω \ Q i ∂K ∩ Q = . Je´sli x

0

∈ ∂K ∩ Q, to u(x

0

) > u(x) dla x

∈ K.

22

background image

Sta

d, na mocy zasady Hopfa pochodna w kierunku wektora ν normalnego

do ∂K w punkcie x

0

jest dodatnia,

∂u
∂ν

(x

0

) =

∇u(x

0

)

· ν > 0, co przeczy

temu, ˙ze x

0

Ω, a wie

c

∇u(x

0

) = 0.

2

Mocna zasada maksimum pozwala oszacowa´

c rozwia

zanie przez jego

warto´sci na brzegu oraz prawa

strone

ownania.

Wniosek 5.3

Je´sli f

∈ C

0

( ¯

Ω), ϕ

∈ C

0

(Ω) i u jest klasycznym rozwia

zaniem

(4.1), (4.2), to

|u(x)| ≤ max |ϕ| + C max |f|.[osz1]

(5.1)

Dow´

od. Mo˙zemy zalo˙zy´

c, ˙ze Ω

⊂ {x : 0 ≤ x

1

≤ d}. Kladziemy w(x) =

M + (e

βd

− e

βx

1

)F , gdzie M = max

|ϕ|, F = max |f|. Dla dostatecznie

du˙zych β, Δ(w+u) = Δwu =

−β

2

e

x

1

F

−f < 0, a na Ω, w+u = w+ϕ ≥

0. Z zasady maksimum

−w ≤ u. Przeprowadzaja

c podobne rozumowanie

dla funkcji w

− u, dostajemy u ≤ w. W rezultacie −w ≤ u ≤ w, a wie

c

spelniona jest nier´

owno´s´

c (5.1).

2

Istnienie rozwia

za´

n klasycznych.

Zaczniemy od twierdzenia, kt´

ore m´

owi, ˙ze dla dostateczne regularnych

warunk´

ow brzegowych istnieja

funkcje harmoniczne spelniaja

ce te warunki.

W dowodzie wykorzystamy

Lemat 5.4 [lem]

Je´sli f

∈ C

1

( ¯

Ω) i U jest potencjalem obje

to´sciowym

zwia

zanym z f , to U

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω) i U spelnia r´

ownanie ΔU = f .

Dow´

od. Przypomnijmy, ˙ze potencjalem obje

to´sciowym funkcji f nazywamy

funkcje

U zadana

wzorem

U (x) =

Ω

E

n

(x

− y)f(y) dy.

Korzystaja

c z mierzalno´sci i ograniczono´sci f latwo wykaza´

c, ˙ze U

∈ C

1

( ¯

Ω)

oraz

∂U

∂x

i

=

Ω

∂E

n

(x

− y)

∂y

i

f (y) dy.[lem1]

(5.2)

Je´sli f

∈ C

1

( ¯

Ω), to ze wzoru (1.3) dostajemy

∂U

∂x

i

=

Ω

E

n

(x

− y)

∂f

∂y

dy

Ω

E

n

(x

− y)f(y)ν

i

(y) dS

y

.[lem2]

(5.3)

Pierwsza calka w (5.3) jest potencjalem obje

to´sciowym funkcji

∂f

∂y

∈ C

0

( ¯

Ω),

a wie

c, jako funkcja x, nale˙zy do C

1

( ¯

Ω). Druga jako potencjal warstwy

23

background image

pojedynczej jest gladka. Wynika sta

d, ˙ze U

∈ C

1

( ¯

Ω)

∩ C

2

(Ω). Niech v

be

dzie dowolna

funkcja

z C

2

c

(Ω). Wykorzystuja

c (3.13) dostajemy

v(x) =

Ω

E

n

(x

− yv(y) dy.[lem3]

(5.4)

Stosuja

c teraz wzory Greena i twierdzenie Fubiniego oraz (5.4) otrzymujemy

Ω

v(xU (x) dx =

Ω

Δv(x)U (x) dx =

Ω

Δv(x)

Ω

E

n

(x

− y)f(y) dy

dx =

Ω

v(y)f (y) dy.[lem4]

(5.5)

W ten spos´

ob wykazali´smy, ˙ze

Ω

v(x)(ΔU (x)

− f(x)) dx = 0 dla ka˙zdej v ∈ C

2

c

(Ω).

Sta

d natychmiast wynika, ˙ze ΔU = f .

2

Twierdzenie 5.2

Je´sli ∂Ω

∈ C

2

, to istnieje funkcja u harmoniczna na Ω

i cia

gla na ¯

Ω przyjmuja

ca zadane warto´sci ϕ

∈ C

0

(Ω) na ∂Ω.

Dow´

od. Zal´

o˙zmy, ˙ze Ω

∈ C

. Istnieje wtedy cia

g ϕ

n

∈ C

(Ω) zbie˙zny

w C

0

do ϕ. Dla takich ϕ

n

, na mocy Twierdzenia (4.6), istnieja

funkcje har-

moniczne u

n

∈ C

0

( ¯

Ω) spelniaja

ce warunek brzegowy u

n

|

Ω

= ϕ

n

. Z zasady

maksimum dla funkcji harmonicznych

|u

n

−u

m

| ≤ |ϕ

n

−ϕ

m

|, a wie

c u

n

zbie-

ga jednostajnie na ¯

Ω do pewnej funkcji u, kt´

ora jako granica jednostajnie

zbie˙znego cia

gu funkcji harmonicznych jest te˙z harmoniczna.

Oznaczmy przez Φ cia

gle rozszerzenie ϕ na ¯

Ω, a przez M = max

x∈ ¯

Ω

|Φ(x)|.

Niech Ω

i

Ω be

dzie wste

puja

cym cia

giem zbior´

ow otwartych, o brze-

gach klasy C

, wypelniaja

cych w sumie Ω,

Ω

i

= Ω. Jak wykazali´smy

wy˙zej, dla ka˙zdego Ω

i

istnieje cia

g funkcji harmonicznych u

i,m

zbie˙zny na

¯

Ω

i

do funkcji harmonicznej u

i

spelniaja

cej warunek brzegowy u

i

|

Ω

i

= Φ. Z

cia

gu u

i,2

wybieramy podcia

g zbie˙zny u

i

k

,2

na ¯

Ω

1

, dalej z u

i

k

,3

wybieramy

podcia

g zbie˙zny na ¯

Ω

2

, i.t.d. . Cia

g u

i,i

, jak wynika z jego konstrukcji,

jest zbie˙zny na Ω do pewnej funkcji harmonicznej u. Pozostaje wykaza´

c,

˙ze u

∈ C(¯Ω) i u|

Ω

= ϕ. Dopiero teraz wykorzystamy zalo˙zenie Ω

∈ C

2

.

Dow´

od dla wygody zapisu przeprowadzimy dla n > 2, na przypadek n = 2

przenosi sie

on w naturalny spos´

ob. Wybieramy dowolny punkt x

0

∈ ∂Ω

i chcemy wykaza´

c, ˙ze lim

x→x

0

u(x) = Φ(x

0

). Φ jest funkcja

cia

gla

, a wie

c

dla zadanego ε istnieje takie δ, ˙ze

|Φ(x) Φ(x

0

)

| < ε dla |x − x

0

| < δ.

Niech K

r

(x

1

) be

dzie kula

styczna

zewne

trznie do Ω w punkcie x

0

. Funkcja

24

background image

w(x) = r

2−n

−|x−x

1

|

2−n

jest harmoniczna dla x

= x

1

i w(x)

0 dla x ∈ ¯Ω.

Dobieramy stala

C tak aby,

Φ(x

0

)

− ε − Cw(x) Φ Φ(x

0

) + ε + Cw(x)

dla x

¯Ω. Funkcje u

i,i

(x) + Cw(x) i u

i,i

(x)

− Cw(x) sa

harmoniczne w Ω

i

,

cia

gle na ¯

Ω

i

oraz

(u

i,i

+ Cw)

|

Ω

= (Φ + Cw)

|

Ω

> Φ(x

0

)

− ε,

(u

i,i

− Cw)|

Ω

= (Φ

− Cw)|

Ω

< Φ(x

0

) + ε.

Sta

d na mocy zasady maksimum u

i,i

(x) + Cw(x) > Φ(x

0

)

− ε i u

i,i

(x)

Cw(x) > Φ(x

0

) + ε. W rezultacie dostajemy oszacowanie

Φ(x

0

)

− ε − Cw(x) ≤ u(x) Φ(x

0

) + ε + Cw(x)

dla x

Ω

i

. Przechodza

c teraz z i

→ ∞, a naste

pnie z x

→ x

0

, otrzymujemy

Φ(x

0

)

− ε ≤ lim inf

x→x

0

u(x)

lim sup

x→x

0

u(x)

Φ(x

0

) + ε,

a sta

d lim

x→x

0

u(x) = Φ(x

0

).

2

Przejd´

zmy do problemu istnienia rozwia

zania r´

ownania Poissona (4.1)

z niejednorodnym warunkiem brzegowym (4.2).

Twierdzenie 5.3

Je´sli ∂Ω

∈ C

2

, f

∈ C

1

( ¯

Ω) i ϕ

∈ C

0

(Ω), to zagadnienie

(4.1), (4.2) ma klasyczne rozwia

zanie.

Dow´

od. Na mocy Lematu (5.4) U (x) =

Ω

E

n

(x

− y)f(y) dy jest klasy-

cznym rozwia

zaniem (4.1) i U

∈ C

2

(Ω)

∩C

0

( ¯

Ω). Z poprzedniego twierdzenia

wynika istnienie funkcji harmonicznej v

∈ C

0

( ¯

Ω) spelniaja

cej warunek brze-

gowy v

|

Ω

= ϕ

− U. Oczywi´scie u = U + v jest klasycznym rozwia

zaniem

naszego problemu.

2

Funkcja Greena.
Oznaczmy przez γ(x, y) funkcje

dw´

och zmiennych spelniaja

ca

naste

puja

ce

warunki:

γ(x,

·) ∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω),

Δ

y

γ(x, y) = 0 dla y

Ω,

γ(x, y) = E

n

(x, y) dla y

∈ ∂Ω.

Istnienie funkcji γ jest gwarantowane Twierdzeniem (4.6) i odpowiednimi

zalo˙zeniami o regularno´sci Ω.

25

background image

Definicja 5.1.

Funkcje

G(x, y) =

−E

n

(x, y) + γ(x, y) nazywamy funkcja

Greena dla operatora Laplace’a

W interpretacji fizycznej G(x, y) jest potencjalem elektrycznym w punkcie

y wytworzonym przez ladunek jednostkowy umieszczony w punkcie x. Warunek
trzeci w definicji oznacza, ˙ze brzeg obszaru Ω zostal uziemiony.

Je´sli u jest klasycznym rozwia

zaniem zagadnienia (4.1), (4.2) i f

C

0

( ¯

Ω), to

u(x) =

Ω

G(x, y)f (y) dy +

Ω

ϕ(y)

∂G

∂ν

y

(x, y) dS

y

.[wzor1]

(5.6)

Odwrotnie, mo˙zna te˙z wykaza´

c [2], [3], ˙ze je´sli u dana jest wzorem (5.6) i f

spelnia warunek H¨

oldera to u jest rozwia

zaniem (4.1), (4.2).

W dalszej cze

´sci, w dowodach istnienia rozwia

za´

n zagadnie´

n nieliniowych

wykorzystywa´

c be

dziemy oszacowania funkcji Greena.

Twierdzenie 5.4

Prawdziwe sa

naste

puja

ce oszacowania funkcji Greena

i jej pochodnych:

(a). 0 < G

2

(x, y) <

−E

2

(x, y) +

1

2π

log diam Ω ,

(b). 0 < G

n

(x, y) <

−E

n

(x, y) dla n > 2,

(c).

|∇G

n

| <

C

|x−y|

n−1

, gdzie stala C zale˙zy tylko od obszaru Ω.

Dow´

od. Ograniczymy sie

tylko do dowodu pierwszych dw´

och nier´

owno´sci.

Dow´

od oszacowa´

n pochodnych jest znacznie trudniejszy [8].

Ustalmy x

Ω i oznaczmy G(y) = G(x, y). Z definicji funkcji Greena

wynika, ˙ze G(y)

+, gdy y → x. Istnieje wie

c takie r > 0, ˙ze G(y) > 0

w K

r

(x). G jest harmoniczna w Ω

\ K

r

(x), G

|

Ω

= 0 i G

|

∂K

r

(x)

> 0. Z

zasady maksimum wynika, ˙ze G(y) > 0 w Ω

\ K

r

(x), a tym samym G > 0

w Ω. Z zasady maksimum wynika te˙z, ˙ze je´sli n > 2, to γ(x,

·) < 0 w Ω.

Dostali´smy tym samym oszacowanie (b).

Dla n = 2, E

2

(x, y)

1

2π

log diamΩ dla y

∈ ∂Ω, a wie

c z zasady maksi-

mum γ <

1

2π

log diamΩ. Ska

d natychmiast wynika (a).

2

6. Nieliniowe r´

ownania Poissona.

Zajmiemy sie

zagadnieniem postaci

Δu = f(u), [n1]

(6.1)

u

|

Ω

= 0.[n2]

(6.2)

Poni˙zszy przyklad wskazuje, ˙ze zalo˙zenia regularno´sci funkcji f nie gwarantuja

istnienia rozwia

zania problemu (6.1), (6.2).

26

background image

Przyklad 6.1. Rozpatrzmy zagadnienie

Δu = λe

u

,

λ

∈ IR

+

, [n3]

(6.3)

u

|

Ω

= 0.[nnn]

(6.4)

Niech u

1

, λ

1

be

da

odpowiednio pierwsza

funkcja

wlasna

i pierwsza

warto´scia

wlasna

Δ w obszarze Ω. Wiadomo [2], ˙ze u

1

> 0 na Ω i λ

1

> 0. Mno˙zymy

ownanie (6.3) przez u

1

i calkujemy po obszarze Ω. Dostajemy

Ω

Δu u

1

=

Ω

∇u · ∇u

1

=

Ω

uΔu

1

= λ

1

Ω

uu

1

= λ

Ω

e

u

u

1

> λ

Ω

uu

1

.

Sta

d (λ

1

− λ)

Ω

uu

1

> 0, a wie

c λ < λ

1

. Wykazali´smy w ten spos´

ob, ˙ze dla

λ

≥ λ

1

nasze zagadnienie nie ma rozwia

za´

n.

Z pomoca

funkcji Greena zagadnienia r´

o˙zniczkowe (6.1), (6.2) mo˙zemy

sprowadzi´

c do r´

ownania calkowego

u(x) =

Ω

G(x, y)f (u(y)) dy.[n4]

(6.5)

Prawa

strone

(6.5) definiuje operator w

Ω

G(x, y)f (w(y)) dy dzialaja

cy

na pewnej przestrzeni funkcyjnej X. Istnienie rozwia

zania (6.5) sprowadza

sie

w ten spos´

ob do znalezienia punktu stalego tego operatora. Problem

polega na odpowiednim doborze przestrzeni X i zastosowaniu jednego z
twierdze´

n o punkcie stalym. U˙zyteczna dla nas be

dzie wersja Twierdzenia

Leraya-Schaudera, znana te˙z jako Twierdzenie Schaefera.

Twierdzenie 6.1

Zakladamy, ˙ze odwzorowanie T przestrzeni Banacha X

jest cia

gle i zwarte oraz zbi´

or

{u ∈ X : u = λT (u) dla pewnego λ ∈ [0, 1]}

jest ograniczony. Wtedy T ma punkt staly.

Zastosujmy ja

do dowodu naste

puja

cego twierdzenia:

Twierdzenie 6.2

Je´sli f jest funkcja

nieujemna

, cia

gla

i maleja

ca

, to za-

gadnienie (6.1), (6.2) ma dokladnie jedno klasyczne rozwia

zanie.

Dow´

od. Przestrzenia

X, w kt´

orej be

dziemy pracowa´

c, jest przestrze´

n funkcji

cia

glych na ¯

Ω, X = C

0

( ¯

Ω). Z cia

glo´sci f wynika natychmiast cia

glo´s´

c ope-

ratora T (w)(x) =

Ω

G(x, y)f (w(y)) dy. Jego zwarto´s´

c jest konsekwencja

Twierdzenia Arz`

eli-Ascoliego oraz oszacowa´

n na pochodne funkcji Greena.

Istotnie, zauwa˙zmy, ˙ze je´sli A

⊂ X jest podzbiorem ograniczonym, to

sup

w∈A

|∇T (w)| ≤ C sup

x∈Ω

Ω

|x − y|

1−n

dy

≤ C, a wie

c obraz T (A) sklada

sie

z funkcji wsp´

olnie ograniczonych i jednakowo cia

glych.

27

background image

Pozostaje do wykazania oszacowanie a priori rozwia

za´

n r´

ownania u =

λT (u). Je´sli u

λ

= T (u

λ

), to 0

≤ u

λ

(x)

≤ λ

Ω

|G(x, y)|f(0) dy ≤ C, f), co

daje potrzebne oszacowanie na mo˙zliwe rozwia

zania.

Twierdzenie Schaefera nie gwarantuje jednoznaczno´sci rozwia

za´

n. Za-

o˙zmy wie

c istnienie dw´

och rozwia

za´

n, u i v. Ich r´

o˙znica spelnia r´

ownanie

Δ(u − v) = f(u) − f(v). Mno˙zymy je obustronnie przez u − v i calkujemy
po Ω. Dostajemy

Ω

|∇(u − v)|

2

=

Ω

(f (u)

− f(v))(u − v) 0, a wie

c

u

− v = 0.

2

Bardzo ciekawym zagadnieniem jest podanie warunk´

ow na f lub ob-

szar Ω gwarantuja

cych nieistnienie rozwia

za´

n. Mo˙ze sie

to uda´

c, jak w

przykladzie (6.1), gdzie prawa strona byla specjalnej postaci. Rozpatrzmy
og´

olniejsze zagadnienie

Δu = λf(u),

u

|

Ω

= 0, [n5]

(6.6)

nazywane czasami nieliniowym zagadnieniem wlasnym. Wyka˙zemy, podob-
nie jak w przykladzie (6.1), ˙ze przy odpowiednich zalo˙zeniach o f , dla
dostatecznie du˙zych λ, (6.6) nie ma rozwia

za´

n.

Zauwa˙zmy, ˙ze do powt´

orzenia przeprowadzonego wcze´sniej rozumowania

istotne jest tylko zalo˙zenie lim

s→∞

f (s)

s

= a > 0, z kt´

orego wynika istnienie

takich stalych a, b, ˙ze f (u)

≥ au + b. Mno˙za

c teraz r´

ownanie (6.6) przez

pierwsza

funkcje

wlasna

laplasjanu u

1

i calkuja

c po Ω dostajemy

Ω

u

1

(

Δu) = λ

1

Ω

u

1

u = λ

Ω

u

1

f (u)

≥ λ

Ω

u

1

(au + b).

Wynika sta

d, ˙ze (λ

1

−λa)

Ω

uu

1

0, a wie

c warunkiem koniecznym istnienia

rozwia

za´

n jest λ <

λ

1

a

.

Bardzo pomocnym narze

dziem w dowodach twierdze´

n o nieistnieniu rozwia

za

zagadnienia (6.1), (6.2) jest tzw. to˙zsamo´s´

c Pokho˙zajewa.

Zacznijmy od to˙zsamo´sci :

Ω

Δu

Σ

n

k=1

x

k

∂u

∂x

k

=

Ω

Σ

n

i,k=1

x

k

∂x

i

∂u

∂x

i

∂u

∂x

k

Ω

Σ

n

i,k=1

1
2

x

k

∂x

k

∂u

∂x

i

2

prawdziwej dla funkcji u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω), Δu

∈ L

1

(Ω). Calkuja

c przez

cze

´sci pierwszy skladnik powy˙zszej sumy dostajemy

Ω

(ν

· ∇u)(x · ∇u)

Ω

|∇u|

2

,

a drugi jest r´

owny

Ω

x

· ν|∇u|

2

− n

Ω

|∇u|

2

.

28

background image

W rezultacie dostajemy tzw. to˙zsamo´s´

c Rellicha

Ω

Δu

Σ

n

k=1

x

k

∂u

∂x

k

=

Ω

(ν

·∇u)(x·∇u)+

n

2

2

Ω

|∇u|

2

1
2

Ω

x

·ν|∇u|

2

.

Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω) jest rozwia

zaniem (6.1), (6.2) z f

∈ C

0

(IR).

Oznaczmy przez F funkcje

pierwotna

f , F

= f . Calkuja

c przez cze

´sci

otrzymujemy

Ω

Δu

Σ

n

k=1

x

k

∂u

∂x

k

=

Ω

f (u

n

k=1

x

k

∂u

∂x

k

=

Ω

Σ

n

k=1

F

(u)x

k

∂u

∂x

k

=

Ω

Σ

n

k=1

x

k

∂x

k

F (u) =

Ω

F (u)

Ω

ν

· xF (0).

Punkt x

∈ ∂Ω traktowany jako wektor, przedstawiamy w postaci x = (

ν)ν +(x

·¯tt, gdzie ¯tjest wektorem jednostkowym stycznym do Ω w punkcie

x. Z przedstawienia tego natychmiast dostajemy x

· ∇u =

∂u
∂x

= (x

· ν)

∂u
∂ν

.

Sta

d

Ω

(ν

· ∇u)(x · ∇u) =

Ω

(x

· ν)

∂u
∂ν

2

.

Korzystaja

c teraz z to˙zsamo´sci Rellicha otrzymujemy to˙zsamo´s´

c Pokho˙zajewa

Ω

(x

· ν)

2

∂u
∂ν

2

+ F (0)

Ω

ν

· x

+

n

2

2

Ω

|∇u|

2

− n

Ω

F (u) = 0.[poch]

(6.7)

Znajduje ona zastosowania w dowodach twierdze´

n o nieistnieniu rozwia

za´

n

pewnych klas r´

owna´

n w obszarach gwia´

zdzistych. Przypomnijmy, ˙ze

Definicja 6.1.

Obszar Ω nazywamy gwia´

zdzistym wzgle

dem pocza

tku

ukladu wsp´

olrze

dnych, je´sli dla ka˙zdego x

Ω, x · ν > 0. Jak wcze´sniej ν

oznacza wektor zewne

trzny normalny do Ω w punkcie x.

Wniosek 6.1

Je´sli d >

n+2
n−2

i obszar Ω jest gwia´zdzisty, to zagadnienie

Δu = u

d

, u

|

Ω

= 0 nie ma rozwia

za´

n u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω).

Dow´

od. W naszym przypadku F (u) =

u

d+1

d+1

i (6.7) ma posta´

c

Ω

ν

· x

2

∂u
∂ν

2

+

n

2

2

Ω

|∇u|

2

− n

Ω

u

d+1

d + 2

= 0.

29

background image

Z zalo˙zenia gwia´

zdzisto´sci Ω wynika, ˙ze pierwszy skladnik powy˙zszej sumy

jest nieujemny, a wie

c

n

2

2

Ω

|∇u|

2

≤ n

Ω

u

d+1

d + 2

.[n10]

(6.8)

Mno˙za

c nasze r´

ownanie przez u i calkuja

c po Ω dostajemy

Ω

|∇u|

2

=

Ω

u

d+1

.[n11]

(6.9)

Z (6.8) i (6.9) wynika, ˙ze

n

2

2

Ω

|∇u|

2

n

d + 1

Ω

|∇u|

2

,

a wie

c d

n+2
n−2

.

2

7. Nielokalne zagadnienia eliptyczne.
Zajmiemy sie

problemem istnienia (nieistnienia) rozwia

za´

n zagadnie´

n

postaci

Δu = M

f (u)

Ω

f (u)

,

u

|

Ω

= 0.[nn1]

(7.1)

Zagadnienia tego typu pojawiaja

sie

w teorii elektrolit´

ow, termistor´

ow oraz

ewolucji uklad´

ow cza

stek wzajemnie oddzialuja

cych.

Z pomoca

funkcji Greena przeksztalcamy (7.1) do postaci calkowej

u(x) = M μ

Ω

G(x, y)f (u(y)) dy, [nn2]

(7.2)

gdzie μ = (

Ω

f (u))

1

. Prawa

strone

(7.4) traktujemy jak przeksztalcenie

przestrzeni C

0

( ¯

Ω) w siebie. Z oszacowa´

n funkcji Greena wynika, ˙ze jest

ono cia

gle i zwarte, je´sli tylko f jest funkcja

cia

gla

. Je´sli dodatkowo jest

maleja

ca

, dostajemy oszacowanie na norme

rozwia

zania

|u|

≤ MC(Ω)f(0)(f(|u|

))

1

.

Wynika z niego, ˙ze je´sli

lim

z→∞

zf (z) > M C(Ω),

to dysponujemy oszacowaniem a priori rozwia

za´

n (7.1).

Przy zalo˙zeniu, ˙ze f jest funkcja

rosna

ca

|u|

≤ MC(Ω)f(|u|

),

oszacowanie na rozwia

zanie dostaniemy, je´sli tylko

lim

z→∞

z

f (z)

> M C(Ω).

Aby uzyska´

c mocniejsze twierdzenia o istnieniu rozwia

za´

n wykorzystamy

30

background image

Lemat 7.1

Je´sli f, g : IR

→ IR sa

funkcjami cia

glymi, f > 0 i g jest

niemaleja

ca, to dla ka˙zdej funkcji cia

glej u

Ω

f (u)g(f (u))

Ω

f (u)

Ω

g(f (u))

|Ω|

.[lem1]

(7.3)

Dow´

od. Dow´

od jest oczywisty, je´sli tylko zauwa˙zymy, ˙ze (7.3) jest r´

ownowa˙zne

Ω

Ω

f (u(x))g(f (u(x))) dx dy

Ω

Ω

f (u(y))g(f (u(x))) dx dy

0,

kt´

ora mo˙ze by´

c przeksztalcona do postaci

1
2

Ω

Ω

(g(f (u(x)))

− g(f(u(y)))(f(u(x)) − f(u((y)))) dx dy ≥ 0.

2

Wyka˙zemy

Twierdzenie 7.1

Je´sli f jest funkcja

dodatnia

, maleja

ca

i cia

gla

oraz sup

|f

/f

∞, to problem (7.1) ma dokladnie jedno rozwia

zanie.

Dow´

od. Z pomoca

funkcji Greena sprowadzamy zagadnienie (7.1) do formy

calkowej

u(x) = M μ

Ω

G(x, y)f (u(y)) dy, [nn2]

(7.4)

gdzie μ = (

Ω

f (u))

1

. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia (6.2) wyko-

rzystamy Twierdzenie Schaeffera. Prawa

strone

(7.4) traktujemy jak przek-

sztalcenie przestrzeni C

0

( ¯

Ω). Nietrudno wykaza´

c, ˙ze jest to przeksztalcenie

cia

gle i zwarte.

Wystarczy wie

c tylko poda´

c oszacowania

a priori na

rozwia

zania. Oczywi´scie je´sli u jest dowolnym rozwia

zaniem, to

0

≤ u(x) ≤ Mμf(0) sup

x∈Ω

Ω

|G(x, y)| dy ≤ MC(Ω)μ.

Ostatnia nier´

owno´s´

c jest konsekwencja

Twierdzenia 5.4. Wystarczy teraz

oszacowa´

c

Ω

f (u) od dolu. Z nier´

owno´sci Jensena

exp

1

|Ω|

Ω

log f (u)

1

|Ω|

Ω

f (u).

Problem sprowadzili´smy zatem do oszacowania od dolu

Ω

log f (u). Z nier´

owno´sc

Schwarza i zalo˙ze´

n o f dostajemy

Ω

log f (u)

2

≤ C

Ω

(log f (u))

2

C

Ω

|f

/f

|

2

|∇u|

2

sup |f

/f

|

Ω

|f

/f

||∇u|

2

≤ C

Ω

|f

/f

||∇u|

2

.[x31]

(7.5)

31

background image

Mno˙za

c r´

ownanie (7.1) przez log f (u) i calkuja

c po Ω otrzymujemy

0

≥ −

Ω

Δu log f (u) =

Ω

|∇u|

2

(f

/f ) =

M μ

Ω

f (u) log f (u)

M

|Ω|

Ω

log f (u).[y31]

(7.6)

Ostatnia nier´

owno´s´

c jest konsekwencja

Lematu 7.1 z funkcja

g(x) = log x.

Z (7.5), (7.6) wynika oszacowanie od dolu na

Ω

log f (u), a tym samym

otrzymujemy oszacowanie aprioryczne na rozwia

zania zagadnienia (7.1).

Przechodzimy do dowodu jednoznaczno´sci rozwia

za´

n. Zal´

o˙zmy, ˙ze nasz

problem ma dwa rozwia

zania u

1

i u

2

, tzn.

Δu

i

= M μ

i

f (u

i

),

u

i

|

Ω

= 0, [ii]

(7.7)

gdzie μ

i

= (

Ω

f (u

i

))

1

. Rozr´

o˙znimy dwa przypadki: μ

1

= μ

2

i μ

1

= μ

2

.

W pierwszym z nich jednoznaczno´s´

c rozwia

za´

n wynika z Twierdzenia (6.2).

Zal´

o˙zmy wie

c, ˙ze μ

1

> μ

2

. Wyka˙zemy, ˙ze wtedy u

1

> u

2

w Ω. Przypu´s´

cmy,

˙ze tak nie jest. Istnieje wtedy taki punkt x

0

Ω, ˙ze u

1

(x

0

)

≤ u

2

(x

0

) i

Δ(u

1

− u

2

)(x

0

)

0. Z drugiej strony Δ(u

1

− u

2

)(x

0

) = M μ

1

f (u

1

(x

0

))

M μ

2

f (u

2

(x

0

)) > 0, a wie

c otrzymujemy sprzeczno´s´

c.

Z nier´

owno´sci u

1

> u

2

wynika, ˙ze

∂u

1

∂ν

∂u

2

∂ν

.[z31]

(7.8)

Calkuja

c (7.7) po obszarze Ω dostajemy

Ω

∂u

1

∂ν

=

Ω

∂u

2

∂ν

. Sta

d i z (7.8)

wynika, ˙ze

∂u

1

∂ν

=

∂u

2

∂ν

.[a31]

(7.9)

Z nier´

owno´sci μ

1

> μ

2

wnioskujemy, ˙ze Δ(u

1

−u

2

) < 0 w pewnym otoczeniu

brzegu Ω, a wie

c z lematu Hopfa

(u

1

−u

2

)

∂ν

< 0 na Ω, co jest sprzeczne z

(7.9).

2

Je´sli f (u) = e

−u

to rozwia

zanie zagadnienia (7.1) opisuje potencjal elek-

tryczny gazu zlo˙zonego z elektrycznie naladowanych cza

stek i pozostaja

cego

w termodynamicznej r´

ownowadze. Z Twierdzenia (7.1) wynika, ˙ze stan taki

istnieje i jest jednoznacznie wyznaczony. Wyka˙zemy, ˙ze je´sli oddzialywania
coulombowskie zamienimy na grawitacyjne, co odpowiada podstawieniu w
prawej stronie (7.1) funkcji f (u) =

−e

−u

, to dla dostatecznie du˙zych M

(masy calkowitej gazu) w obszarze gwia´

zdzistym, zagadnienie (7.1) nie ma

rozwia

za´

n.

Twierdzenie 7.2

Je´sli obszar Ω

⊂ IR

n

jest gwia´zdzisty, to dla dostatecznie

du˙zych M zagadnienie (7.1) z funkcja

f (ϕ) = e

−ϕ

nie ma rozwia

za´

n u

C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω).

32

background image

Dow´

od. Dow´

od przeprowadzimy dla n = 3. W naszym przypadku to˙zsamo´s´

c

Pokho˙zajewa ma posta´

c

3M μ

Ω

(e

−u

1) +

1
2

μ

Ω

ue

u

=

1
2

Ω

x

· ν

∂u
∂ν

2

.

Rozwia

zanie jest nieujemne, a wie

c

3M μ

Ω

(e

−u

1)

1
2

Ω

x

· ν

∂u
∂ν

2

.[os1]

(7.10)

Calkuja

c r´

ownanie i wykorzystuja

c nier´

owno´s´

c Schwarza dostajemy

Ω

Δu

2

= M

2

=

Ω

∂u
∂ν

2

Ω

1

x

· ν

Ω

x

· ν

∂u
∂ν

2

.[os2]

(7.11)

Wykorzystuja

c (7.10) mamy

M

2

≤ C(Ω)

Ω

e

−u

= M C(Ω).

Co daje warunek konieczny na M , M

≤ C(Ω).

2

Literatura

[1] P. Biler, T. Nadzieja, Problems and Examples in Differential Equa-

tions, M. Dekker, New York, 1992.

[2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, RI,

1998. Przeklad polski: PWN, Warszawa, 2002.

[3] D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations,

Springer-Verlag, Berlin, 1983.

[4] Quing Han, Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations,

AMS, Providence, RI, 2000.

[5] H.

Marcinkowska,

Wste

p

do

teorii

r´owna´n

r´o˙zniczkowych

cza

stkowych, wyd. drugie, PWN, Warszawa, 1986.

[6] H. Marcinkowska, Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, r´ownania

r´o˙zniczkowe, PWN, Warszawa, 1993.

[7] V. P. Mikhailov, Differencialnye uravnenia v ˇcastnych proizvodnych,

Nauka, Moskva, 1983.

[8] W. Pogorzelski, R´ownania calkowe i ich zastosowania, PWN,

Warszawa, 1953.

33

background image

[9] I. Rubinstein, L. Rubinstein, Partial Differential Equations in Math-

ematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[10] A. N. Tichonov, A. A. Samarski, R´ownania fizyki matematycznej,

PWN, Warszawa, 1963.

34


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MES1 Wykład 2 PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA POISSONA
Graham Heather 03 Z nadzieją w sercu
Graham Heather ( za wszelką cenę 03 ) Z nadzieją w sercu
MES1 Wykład 2 PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA POISSONA
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
03 Równania kanoniczne, MEiL, [NK 336A] Mechanika analityczna, Zadania domowe
03. Rezonans akustyczny - Teoria + Wyniki, Równanie fali elektromagnetycznej
03 Równania i nierówności
Matematyka III (Ćw) Lista 03 Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Zada
Ingulstad Frid Saga Wiatr Nadziei 03 Ludzkie Gadanie
03 Rozdział 02 Twierdzenie Cauchy'ego o istnieniu rozwiązania równania
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
Ingulstad Frid Saga Wiatr Nadziei 03 Ludzkie gadanie
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
03 Rozdział 02 Twierdzenie Cauchy ego o istnieniu rozwiązania równania
03 Równania tworów geom
(Wiatr nadziei 03) Ludzkie gadanie Frid Ingulstad

więcej podobnych podstron