Warsztaty z r´
owna´
n r´
o ˙zniczkowych
cza
‘
stkowych – Toru´
n, 12–22.11.2002
Centrum Bada´
n Nieliniowych im. J. Schaudera
R´
ownanie Poissona
T
adeusz
NADZIEJA
Instytut Matematyki, Uniwersytet Zielonog´
orski
ul. Podg´
orna 50, 65–246 Zielona G´
ora,
e-mail: T.Nadzieja@im.uz.zgora.pl
Spis tre´sci
1. Wste
‘
p.
2. Interpretacje fizyczne r´
ownania Poissona.
3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
4. Istnienie, jednoznaczno´s´
c i regularno´s´
c slabych rozwia
‘
za´
n.
5. Rozwia
‘
zania klasyczne.
6. Nieliniowe r´
ownania Poissona.
7. Nielokalne zagadnienia eliptyczne.
8. Literatura.
1. Wste
‘
p.
Wyklady te po´swie
‘
cone sa
‘
r´
ownaniu Poissona
−Δu = f.[pois]
(1.1)
Przypomnijmy, ˙ze symbolem Δu oznaczamy laplasjan funkcji u, Δu =
div(grad u) =
∇ · ∇u. W kartezja´nskim ukladzie wsp´olrze
‘
dnych Δu =
Σ
n
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= Σ
n
i=1
u
x
i
x
i
. Funkcja niewiadoma u jest okre´slona na otwartym
podzbiorze Ω
⊂ IR
n
, u : Ω
→ IR, a f : Ω → IR jest zadana
‘
funkcja
‘
rzeczywista
‘
, ba
‘
d´
z te˙z funkcja
‘
niewiadomej u, f = f (u). W tym drugim
2000
Mathematics Subject Classification: 35-01, 35J05
1
przypadku, je´sli f jest nieliniowa, m´
owimy o nieliniowym r´
ownaniu Pois-
sona. Rozwa˙zymy r´
ownie˙z sytuacje
‘
, gdy prawa strona (1.1) zale˙zy w spos´
ob
nieliniowy i nielokalny od u.
Na u nakladamy warunki brzegowe typu Dirichleta
u
|
∂Ω
= ϕ, [br]
(1.2)
gdzie ϕ : ∂Ω
→ IR jest zadana
‘
funkcja
‘
.
Zakladamy, ˙ze Ω jest obszarem ograniczonym a jego brzeg ∂Ω jest klasy
C
k
, tzn. lokalnie jest wykresem funkcji klasy C
k
, k
≥ 1.
Du˙za cze
‘
´s´
c wynik´
ow przedstawiona poni˙zej dla zagadnienia (1.1), (1.2)
przenosi sie
‘
bez trudu na przypadek, gdy zamiast laplasjanu rozpatrujemy
operator eliptyczny
Lu = −Σ
n
i,j=1
∂
∂x
i
a
ij
(x)
∂u
∂x
i
,
gdzie a
i,j
(x) = a
j,i
(x)
∈ C
1
( ¯
Ω) i Σ
n
i,j=1
a
i,j
(x)ξ
i
ξ
j
> a
|ξ|
2
dla pewnej stalej
a > 0 i ka˙zdego wektora ξ
∈ IR
n
.
´
Zr´
odlem wie
‘
kszo´sci interesuja
‘
cych r´
owna´
n r´
o˙zniczkowych cza
‘
stkowych sa
‘
modele zjawisk fizycznych. Podamy przyklady kilku z nich oraz opiszemy ich
zwia
‘
zek z r´
ownaniem Poissona. Dalej wprowadzimy aparat matematyczny
potrzebny do dowodu istnienia i jednoznaczno´sci jego slabych rozwia
‘
za´
n oraz
ich regularno´sci. Naste
‘
pnie zajmiemy sie
‘
istnieniem rozwia
‘
za´
n klasycznych.
Na koniec udowodnimy kilka fakt´
ow dotycza
‘
cych problemu istnienia i nieist-
nienia rozwia
‘
za´
n nieliniowych (i nielokalnych) r´
owna´
n Poissona (r´
ownania
typu Poissona-Boltzmanna).
Wie
‘
kszo´s´
c przedstawionego materialu mo˙zna znale´
z´
c w podre
‘
cznikach
[5], [6], [7] i klasycznej monografi [3]. Warto poleci´
c, ostatnio przetlumaczony
na je
‘
zyk polski, podre
‘
cznik [2] oraz kr´
otka
‘
(ale trudna
‘
) monografie
‘
[4],
zawieraja
‘
ca
‘
r´
ownie˙z wyniki z ostatnich lat. Zwia
‘
zki r´
ownania Poissona z
modelami zjawisk fizycznych i chemicznych opisane sa
‘
w starym i szeroko
znanym podre
‘
czniku Tichonowa i Samarskiego [10]. Nowocze´sniejsze uje
‘
cie
tych zagadnie´
n mo˙zna znale´
z´
c w niedawno wydanym podre
‘
czniku autorstwa
I. i L. Rubinstein´
ow [9]. Pozycja [1] to zbi´
or przyklad´
ow, kontrprzyklad´
ow
i zada´
n (czasami bardzo trudnych).
Przypomnijmy podstawowe wzory, z kt´
orych p´
o´
zniej be
‘
dziemy wielokrot-
nie korzysta´
c.
Zacznijmy od wzoru na calkowanie przez cze
‘
´sci. Je´sli brzeg obszaru ∂Ω
∈
C
1
, funkcje u, v sa
‘
r´
o˙zniczkowalne w Ω i przedlu˙zaja
‘
sie
‘
wraz z pochodnymi
na domknie
‘
cie Ω, u, v
∈ C
1
( ¯
Ω), to
Ω
u
x
i
(x)v(x) dx =
∂Ω
u(x)v(x)ν
i
(x) dS
x
−
Ω
u(x)v
x
i
(x) dx, [cz]
(1.3)
2
gdzie ν(x) = (ν
1
(x), ..., ν
n
(x)) jest wektorem normalnym zewne
‘
trznym do
∂Ω w punkcie x.
Zakladamy, ˙ze −
→
A (x) = (A
1
(x), ..., A
n
(x)) jest polem wektorowym okre-
´slonym na ¯
Ω
⊂ IR
n
, ∂Ω
∈ C
1
, A
i
(x)
∈ C(¯Ω) ∩ C
1
(Ω) i div−
→
A
∈ L
1
(Ω).
Wtedy zachodzi wz´
or Gaussa
Ω
div−
→
A (x) dx =
∂Ω
−
→
A (x)
· ν(x) dS
x
.[gauss]
(1.4)
Dla u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω), v
∈ C
1
( ¯
Ω) i Δu
∈ L
1
(Ω) z to˙zsamo´sci
vΔu = div(v
∇u) − ∇u · ∇v
dostajemy
Ω
vΔu =
∂Ω
v
∂u
∂ν
−
Ω
∇u · ∇v.[gr1]
(1.5)
Je´sli u, v
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω) i Δu, Δv
∈ L
1
(Ω), to z (1.5) mamy
Ω
(vΔu
− uΔv) =
∂Ω
v
∂u
∂ν
− u
∂v
∂ν
.[gr2]
(1.6)
Ostatnie dwa wzory nazywamy wzorami Greena.
2. Interpretacje fizyczne r´
ownania Poissona.
R´
ownanie membrany.
Prawie ka˙zdy zabawial sie
‘
zanurzaja
‘
c w roztworze mydla pe
‘
telke
‘
z drutu.
Po jej wycia
‘
gnie
‘
ciu rozpostarta jest na niej powierzchnia (membrana), kt´
orej
ksztalt zale˙zy od sposobu w jaki zostal drut powyginany. Przedstawiamy ja
‘
wykresem funkcji u : Ω
⊂ IR
2
→ IR. Interesuje nas r´ownanie, jakie spelnia
u.
Skomplikujmy nieco nasze zadanie zakladaja
‘
c, ˙ze na membrane
‘
dziala
sila zewne
‘
trzna o ge
‘
sto´sci f r´
ownolegla do osi 0u, tzn. na element powierzchni
rozpostarty nad malym zbiorem ω
⊂ Ω, zawieraja
‘
cym punkt x, dziala sila
≈ f(x)|ω| (|ω| jest polem powierzchni ω). Mo˙zemy my´sle´c, ˙ze delikatnie
dmuchamy na membrane
‘
w kierunku prostopadlym do niej. Uwzgle
‘
dniamy
r´
ownie˙z dzialanie sily spre
‘
˙zystej proporcjonalnej do zmiany pola powierzchni
membrany.
Zmieniaja
‘
c ksztalt membrany opisanej funkcja
‘
w(x), do ksztaltu zadanego
funkcja
‘
W (x), sila f wykonuje prace
‘
Ω
f (x)(W (x)
− w(x)) dx,
3
a sily spre
‘
˙zyste prace
‘
−
Ω
k
1 +
|∇W (x)|
2
−
1 +
|∇w(x)|
2
dx,
gdzie przez k > 0 oznaczyli´smy wsp´
olczynnik spre
‘
˙zysto´sci.
Energia potencjalna U (W ) membrany W przybiera wie
‘
c posta´
c
U (W ) = U (w) +
Ω
k
1 +
|∇W (x)|
2
−
1 +
|∇w(x)|
2
dx
+
Ω
f (x)(W (x)
− w(x)) dx.
Je´sli gradienty funkcji W i w sa
‘
male, to korzystaja
‘
c ze wzoru McLaurina
dla funkcji
√
1 + x, mo˙zmy napisa´
c
U (W )
≈ U(w) +
Ω
k
2
(
|∇W (x)|
2
− |∇w(x)|
2
) + f (x)(W (x)
− w(x))
dx.
Opieramy sie
‘
teraz na zasadzie wariacyjnej, kt´
ora m´
owi, ˙ze ksztalt jaki
przybiera membrana, jest zadany wykresem funkcji u, dla kt´
orej energia
U (u) osia
‘
ga ekstremum w klasie wszystkich funkcji r´
o˙zniczkowalnych o zadanych
warto´sciach na ∂Ω, tzn. spelniaja
‘
cych (1.2)
Niech v be
‘
dzie funkcja
‘
r´
o˙zniczkowalna
‘
na ¯
Ω, r´
owna
‘
0 na ∂Ω, v
∈ C
1
0
( ¯
Ω).
Zgodnie z naszym zalo˙zeniem,
U(t) = U(u + tv), t ∈ IR, osia
‘
ga ekstremum
dla t = 0. Latwo obliczy´
c, ˙ze
U
(0) =
Ω
(k
∇u · ∇v − fv) = 0.
Wykazali´smy w ten spos´
ob, ˙ze u spelnia to˙zsamo´s´
c calkowa
‘
Ω
k
∇u · ∇v =
Ω
f v dla v
∈ C
1
0
( ¯
Ω).[toz]
(2.1)
Je´sli zalo˙zymy dodatkowo, ˙ze u
∈ C
2
(Ω)
∩C
1
( ¯
Ω) i Δu
∈ L
1
(Ω), to korzystaja
‘
c
ze wzoru (1.5) dostajemy
Ω
k
∇u · ∇v = −
Ω
kvΔu =
Ω
f v,
czyli
Ω
(kΔu + f )v = 0 dla v
∈ C
1
0
( ¯
Ω).
Sta
‘
d otrzymujemy r´
ownanie Poissona na u.
Zagadnienie wyznaczenia ksztaltu membrany sprowadzili´smy do znale-
zienia rozwia
‘
zania r´
ownania (1.1) spelniaja
‘
cego warunek brzegowy (1.2).
Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli zrezygnujemy z dwukrotnej r´
o˙zniczkowalno´sci u i ogra-
niczymy sie
‘
do u
∈ C
1
( ¯
Ω), to nasz problem polega na znalezieniu funkcji
4
spelniaja
‘
cej (2.1), (1.2). Jak sie
‘
p´
o´
zniej oka˙ze, tak postawione zagadnienie
jest z pewnych wzgle
‘
d´
ow o wiele wygodniejsze do badania i przy odpowied-
nich zalo˙zeniach o regularno´sci f i ∂Ω jego rozwia
‘
zanie jest te˙z rozwia
‘
zaniem
r´
ownania Poissona.
R´
ownanie wia
‘
˙za
‘
ce ge
‘
sto´
s´
c ladunku elektrycznego z wytworzonym
potencjalem elektrycznym.
Je´sli w pocza
‘
tku ukladu wsp´
olrze
‘
dnych umie´scimy ladunek elektryczny
q, to potencjal Φ wytworzony przez ten ladunek, zgodnie z prawem Coulomba,
be
‘
dzie r´
owny Φ(x) = Φ(
|x|) =
q
|x|
. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej funkcji v klasy
C
1
, o no´sniku zwartym, v
∈ C
1
c
(IR
3
), spelniona jest r´
owno´s´
c
IR
3
∇Φ · ∇v = 4πqv(0).[ele]
(2.2)
Istotnie, wykorzystuja
‘
c wz´
or na calkowanie przez cze
‘
´sci oraz fakt, ˙ze poza
pocza
‘
tkiem ukladu wsp´
olrze
‘
dnych Φ jest funkcja
‘
harmoniczna
‘
, dostajemy
IR
3
∇Φ · ∇v = lim
ε→0
|x|>ε
∇Φ · ∇v = lim
ε→0
|x|=ε
q
ε
2
(v(0) + o(1)) = 4πqv(0).
Zal´
o˙zmy, ˙ze w obszarze Ω ladunki elektryczne rozlo˙zone sa
‘
w spos´
ob
cia
‘
gly z ge
‘
sto´scia
‘
ρ. Podzielmy Ω na male obszary Ω
i
i wybierzmy w ka˙zdym
z nich dowolny punkt x
i
. Calkowity ladunek zawarty w Ω
i
,
Ω
i
ρ(x) dx,
zaste
‘
pujemy ladunkiem q
i
= ρ(x
i
)
|Ω
i
| skupionym w x
i
. Przypomnijmy, ˙ze
|Ω
i
| jest obje
‘
to´scia
‘
zbioru Ω
i
. Potencjal ¯
Φ wytworzony przez ladunki q
i
jest suma
‘
potencjal´
ow pochodza
‘
cych od poszczeg´
olnych ladunk´
ow, a wie
‘
c
zachodzi dla niego r´
owno´s´
c
IR
3
∇¯Φ · ∇v = 4πΣρ(x
i
)
|Ω
i
|v(x
i
).[abc1]
(2.3)
Je´sli podzial Ω na zbiory Ω
i
jest coraz drobniejszy, to w granicy, gdy ´srednice
Ω
i
da
‘
˙za
‘
do 0, lewa strona (2.3) da
‘
˙zy do
IR
3
∇Φ·∇v, gdzie Φ jest potencjalem
wytworzonym przez rozklad ladunk´
ow z ge
‘
sto´scia
‘
ρ. Prawa strona zbiega
natomiast do 4π
IR
3
ρv. W rezultacie dostajemy to˙zsamo´s´
c
IR
3
∇Φ · ∇v = 4π
IR
3
ρv
spelniona
‘
dla ka˙zdej funkcji v
∈ C
1
c
(IR
3
).
Zakladaja
‘
c dodatkowo, ˙ze Φ
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω), ΔΦ
∈ L
1
(Ω) mamy
IR
3
∇Φ · ∇v = −
IR
3
ΔΦ v = 4π
IR
3
ρv.
Sta
‘
d natychmiast otrzymujemy r´
ownanie
−ΔΦ = 4πρ.[epois]
(2.4)
5
W przypadku, gdy zamiast oddzialywa´
n elektrycznych rozpatrujemy
grawitacyjne, r´
ownanie wia
‘
˙za
‘
ce ge
‘
sto´s´
c rozkladu masy ρ z potencjalem gra-
witacyjnym Φ przez niego wytworzonym ma posta´
c
ΔΦ = 4πρ.[gpois]
(2.5)
R´
ownanie opisuja
‘
ce rozklad temperatury.
Zakladamy, ˙ze w obszarze ograniczonym Ω
⊂ IR
3
rozmieszczone sa
‘
´
zr´
odla
ciepla z ge
‘
sto´scia
‘
ρ, tzn. dla ω
⊂ Ω,
ω
ρ jest ilo´scia
‘
ciepla produkowana
‘
w ω
w jednostce czasu. Na brzegu Ω temperature
‘
zadajemy. Naszym celem jest
wyprowadzenie r´
ownania wia
‘
˙za
‘
cego rozklad temperatury T (x) z ge
‘
sto´scia
‘
ρ.
Wykorzystamy naste
‘
puja
‘
ce, dosy´
c jasne z fizycznego punktu widzenia,
zalo˙zenia:
Z1. Je´sli na brzegu kuli K
R
(x
0
) zadany jest rozklad temperatury T ,
a wewna
‘
trz nie ma ´
zr´
odel ciepla, to temperatura w punkcie x
0
r´
owna jest
´sredniej temperaturze na sferze S
R
(x
0
), T (x
0
) =
1
4πR
2
S
R
(x
0
)
T ,
Z2. Przeplyw ciepla przez powierzchnie
‘
S r´
owny jest κ
S
∂T
∂ν
(prawo
Fouriera), gdzie κ jest dodatnia
‘
stala
‘
.
Dalej, dla prostoty przyjmujemy, ˙ze κ, jak i wszystkie inne stale fizyczne
sa
‘
r´
owne 1.
Definicja 2.1.
Funkcja u, cia
‘
gla na otwartym podzbiorze Ω
⊂ IR
n
, ma
wlasno´s´
c ´sredniej, je´sli dla ka˙zdej sfery S
R
(x)
⊂ Ω, ´srednia warto´s´c u na tej
sferze r´
owna jest warto´sci funkcji u w ´srodku tej sfery,
1
R
n−1
σ
n
S
R
(x)
u = u(x)
(przez σ
n
oznaczyli´smy pole powierzchni sfery jednostkowej w IR
n
).
Lemat 2.1
[2] Je´sli u ma wlasnos´
c ´sredniej, to funkcja u jest gladka i har-
moniczna.
Dow´
od. Oznaczmy przez γ(x) ja
‘
dro wygladzaja
‘
ce, tzn. nieujemna
‘
funkcje
‘
klasy C
∞
(IR
n
), radialnie symetryczna
‘
, o no´sniku zawartym w kuli K
1
(0)
⊂
IR
n
, spelniaja
‘
ca
‘
warunek
IR
n
γ = 1.
Definiujemy γ
ε
(x) = ε
−n
γ(xε
−1
).
Wiadomo [2], ˙ze splot u z γ
ε
, u
ε
(x) := γ
ε
u(x) =
Ω
u(y)γ
ε
(x
− y) dy
jest funkcja
‘
gladka
‘
na IR
n
. Zal´
o˙zmy, ˙ze x
∈ Ω oraz ε < dist(x, ∂Ω). Latwe
obliczenia prowadza
‘
do naste
‘
puja
‘
cych r´
owno´sci:
u
ε
(x) =
Ω
u(y)γ
ε
(y
− x) dy = ε
−n
|y|<ε
u(x + y)γ(y/ε) dy
6
=
|y|<1
u(x + εy)γ(y) dy =
1
0
r
n−1
dr
S
1
(0)
u(x + εrw)γ(rw) dS
w
=
1
0
γ(r)r
n−1
dr
|w|=1
u(x + εrw) dS
w
= u(x)σ
n
1
0
γ(r)r
n−1
dr = u(x).
W przedostatniej r´
owno´sci wykorzystali´smy wlasno´s´
c ´sredniej funkcji u.
Wykazali´smy, ˙ze u(x) = u
ε
(x) na Ω
ε
:=
{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}, a
wie
‘
c u jest gladka na Ω. Jej harmoniczno´s´
c wynika z r´
owno´sci
K
r
(x)
Δu = r
n−1
∂
∂r
|w|=1
u(x + rw) dS
w
= r
n−1
∂
∂r
(σ
n
u(x)) = 0,
spelnionej na ka˙zdej kuli K
r
(x) zawartej w Ω.
2
Zakladamy, ˙ze w punkcie ¯
x
∈ Ω znajduje sie
‘
´
zr´
odlo ciepla o wydajno´sci
q, a na brzegu ∂Ω temperatura jest zadana. Interesuje nas temperatura
T
¯x
(x) w dowolnym punkcie x
∈ Ω.
Zgodnie z zalo˙zeniem Z2
|x−¯x|=r
∂T
¯
x
(x)
∂ν
=
−q. Mo˙zemy te˙z zalo˙zy´c, ˙ze w
otoczeniu punktu ¯
x funkcja T
¯x
jest ”prawie ” radialnie symetryczna, a wie
‘
c
−
|x−¯x|=r
∂T
¯x
(x)
∂ν
= q
≈ −4πr
2
T
¯x
(r).
Wynika sta
‘
d, ˙ze w rozwa˙zanym otoczeniu, T
¯x
(x)
≈
q
4π|x−¯x|
. Z zalo˙zenia Z1
wnioskujemy ˙ze, poza punktem ¯
x funkcja T
¯x
(x) ma wlasno´s´
c ´sredniej, a wie
‘
c
jest harmoniczna.
Rozumuja
‘
c podobnie jak przy wyprowadzaniu r´
ownania wia
‘
˙za
‘
cego ge
‘
sto´s´
c
ladunk´
ow elektrycznych z potencjalem przez nia
‘
wytworzonym, dla ka˙zdej
funkcji v
∈ C
1
c
(Ω) dostajemy
Ω
∇T
¯x
(x)
· ∇v = qv(¯x).
Sta
‘
d, dla cia
‘
glego rozkladu ρ ´
zr´
odel ciepla,
Ω
∇T (x) · ∇v =
Ω
ρv dla ka˙zdej funkcji
v
∈ C
1
c
(Ω).
Je´sli T
∈ C
2
(Ω)
∩C
1
( ¯
Ω), ΔT
∈ L
1
(Ω), to oczywi´scie z ostatniej to˙zsamo´sci
otrzymujemy r´
ownanie
−ΔT = ρ.[7x]
(2.6)
Je´sli na wste
‘
pie naszych rozwa˙za´
n zalo˙zymy dwukrotna
‘
r´
o˙zniczkowalno´s´
c
T , to r´
ownanie (2.6) dostaniemy w prostszy spos´
ob. Wystarczy zauwa˙zy´
c,
˙ze dla dowolnego ω
⊂ Ω przeplyw ciepla przez ∂ω r´owny jest ilo´sci wytwor-
zonego w nim ciepla, a wie
‘
c
ω
ρ =
−
∂ω
∂T
∂ν
=
−
ω
ΔT,
7
sta
‘
d wobec dowolno´sci ω wynika (2.6).
W przedstawionych modelach funkcja u opisuja
‘
ca zjawisko fizyczne spelniala
to˙zsamo´s´
c calkowa
‘
∇u · ∇v =
f v, [a]
(2.7)
a przy dodatkowym zalo˙zeniu o regularno´sci u, r´
ownanie
−Δu = f.[b]
(2.8)
Udowodnienie istnienia funkcji u spelniaja
‘
cej to˙zsamo´s´
c (2.7) jest na og´
ol
latwiejsze od wykazania istnienia rozwia
‘
zania r´
ownania (2.8). Przyczyna
le˙zy w tym, ˙ze w pierwszym przypadku mo˙zemy wybra´
c wie
‘
ksza
‘
przestrze´
n,
w kt´
orej szukamy rozwia
‘
za´
n.
Zagadnienie (1.1), (1.2) be
‘
dziemy rozpatrywa´
c na otwartym, ograni-
czonym podzbiorze Ω
⊂ IR
n
.
Definicja 2.2.
Funkcje
‘
u
∈ C
0
( ¯
Ω)
∩ C
2
(Ω) nazywamy klasycznym
rozwia
‘
zaniem zagadnienia (1.1), (1.2), je´sli u spelnia r´
ownanie (1.1) i warunek
brzegowy (1.2).
Poni˙zszy przyklad wskazuje, ˙ze (1.1), (1.2) nie zawsze ma rozwia
‘
zanie
klasyczne, nawet przy dosy´
c mocnych zalo˙zeniach o f .
Przyklad 2.1. [4], [7] Rozpatrujemy r´
ownanie Poissona w kole K =
{x =
(x
1
, x
2
)
∈ IR
2
:
|x| < R < 1} postaci
−Δu =
x
2
1
− x
2
2
2
|x|
2
4
(
− ln |x|)
1/2
+
1
(2(
− ln |x|))
3/2
=: f (x
1
, x
2
).[p1]
(2.9)
Przyjmuja
‘
c 0 jako warto´s´
c prawej strony w (0, 0), f staje sie
‘
funkcja
‘
cia
‘
gla
‘
na K. Latwo sprawdzi´
c, ˙ze h(x
1
, x
2
) = (x
2
1
−x
2
2
)(
− ln |x|)
1/2
jest rozwia
‘
zaniem
(2.9) w K
\ (0, 0), pierwsze pochodne cza
‘
stkowe h sa
‘
ograniczone w K oraz
h
x
1
x
1
(x
1
, x
2
) da
‘
˙zy do
∞, gdy (x
1
, x
2
)
→ (0, 0).
Udowodnimy, ˙ze (2.9) nie ma rozwia
‘
za´
n klasycznych. Zal´
o˙zmy, ˙ze takie
rozwia
‘
zanie u istnieje. Wtedy w = u
− h jest funkcja
‘
harmoniczna
‘
w K
\
(0, 0) i ograniczona
‘
. Definiujemy
p(x) :=
γ
−w
x
2
dx
1
+ w
x
1
dx
2
,
gdzie γ jest dowolna
‘
krzywa
‘
la
‘
cza
‘
ca
‘
ustalony punkt x
0
z x. Zauwa˙zmy, ˙ze
funkcja p jest dobrze okre´slona, tzn. p(x) nie zale˙zy od drogi calkowania.
Istotnie, je´sli krzywe γ
1
i γ
2
la
‘
cza
‘
te same punkty i γ
1
∪ γ
2
ogranicza obszar
Ω
1
nie zawieraja
‘
cy we wne
‘
trzu (0, 0), to poniewa˙z w Ω
1
w jest harmoniczna,
mamy
γ
1
−w
x
2
dx
1
+ w
x
1
dx
2
=
γ
2
−w
x
2
dx
1
+ w
x
1
dx
2
.[p2]
(2.10)
8
Je´sli (0, 0)
∈ Ω
1
, to calka po krzywej zamknie
‘
tej zlo˙zonej z γ
1
, γ
2
, okre
‘
gu
S
ε
o promieniu ε i ´srodku (0, 0) zawartego w Ω
1
oraz odcinka la
‘
cza
‘
cego S
ε
z γ
1
obieganego dwa razy w przeciwnych kierunkach, jest r´
owna 0. Sta
‘
d
γ
1
∪γ
2
−w
x
2
dx
1
+ w
x
1
dx
2
=
S
ε
−w
x
2
dx
1
+ w
x
1
dx
2
. Pierwsze pochodne cza
‘
-
stkowe w sa
‘
ograniczone, a wie
‘
c prawa strona ostatniej r´
owno´sci da
‘
˙zy do 0,
gdy ε
→ 0. Pocia
‘
ga to r´
owno´s´
c (2.10).
Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy punkt (0, 0) le˙zy na γ
1
ba
‘
d´
z
γ
2
. Zauwa˙zmy, ˙ze dzie
‘
ki ograniczono´sci pierwszych pochodnych cza
‘
stkowych
funkcji w, male zmiany krzywej γ daja
‘
male zmiany calki
γ
−w
x
2
dx
1
+
w
x
1
dx
2
. Je´sli r´
owno´s´
c (2.10) spelniona jest dla wszystkich krzywych γ
1
, γ
2
nie przechodza
‘
cych przez (0, 0), to zachodzi te˙z dla dowolnych krzywych.
Latwo zauwa˙zy´
c, ˙ze p jest funkcja
‘
sprze
‘
˙zona
‘
do w, tzn. w + ip jest harmon-
iczna w Ω
\ (0, 0) i ograniczona. Mo˙zna wie
‘
c okre´sli´
c ja
‘
w (0, 0), tak aby
byla analityczna na calym Ω, a wie
‘
c w bylaby harmoniczna w Ω. Przeczy
to nieograniczono´sci jej pochodnych w
x
1
x
1
.
2
Dalej wr´
ocimy do problemu zalo˙ze´
n o funkcji f gwarantuja
‘
cych istnienie
rozwia
‘
za´
n klasycznych.
3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
Niech u : Ω
→ IR, α = (α
1
, ..., α
n
), α
i
∈ IN i |α| = α
1
+ ... + α
n
. Oz-
naczmy D
α
i
u :=
∂
αi
u
∂x
αi
i
i D
α
u := D
α
1
...D
α
n
u. Zakladamy, ˙ze u
∈ C
k
( ¯
Ω), tzn.
w Ω istnieja
‘
pochodne D
α
u,
|α| ≤ k i przedlu˙zaja
‘
sie
‘
do funkcji cia
‘
glych na
¯
Ω. C
k
( ¯
Ω) jest przestrzenia
‘
Banacha z norma
‘
|u|
C
k
= Σ
|α|≤k
sup
x∈Ω
|D
α
u(x)
|.
Je´sli u
∈ C
1
(Ω) i v jest funkcja
‘
o no´sniku zwartym zawartym w Ω,
v
∈ C
1
c
(Ω), to z (1.3) dostajemy
Ω
uv
x
i
=
−
Ω
u
x
i
v.[prt]
(3.1)
R´
owno´s´
c (3.1) spelniona dla ka˙zdej funkcji v
∈ C
1
c
(Ω) wyznacza jednozna-
cznie u
x
i
. Fakt ten jest punktem wyj´scia do definicji slabej pochodnej.
Niech u
∈ L
2
loc
(Ω), tzn. u jest calkowalna z kwadratem na ka˙zdym
zwartym podzbiorze Ω.
Definicja 3.1.
Funkcje
‘
u
α
∈ L
2
loc
(Ω) nazywamy slaba
‘
pochodna
‘
rze
‘
du α
funkcji u, je´sli dla ka˙zdej funkcji v
∈ C
∞
c
(Ω)
Ω
uD
α
v = (
−1)
|α|
Ω
u
α
v.[prt2]
(3.2)
Slabe pochodne oznaczamy takim samym symbolem jak pochodne w
klasycznym sensie. Z kontekstu be
‘
dzie wynika´
c jakie pochodne mamy na
9
my´sli. Nietrudno wykaza´
c, ˙ze slaba pochodna D
α
u jest wyznaczona jednoz-
nacznie, nie zale˙zy od kolejno´sci r´
o˙zniczkowania, a dla funkcji r´
o˙zniczkowalnych
w klasycznym sensie jest identyczna z klasyczna
‘
pochodna
‘
. Przypomnijmy
te˙z, ˙ze slaba pochodna, jako element L
2
loc
(Ω), jest okre´slona prawie wsze
‘
dzie.
Przyklad 3.1. Wyka˙zemy, ˙ze funkcja u(x) =
|x| na (−1, 1) ma slaba
‘
pochodna
‘
u
(x) = 1 dla x > 0 i u
(x) =
−1 dla x < 0. Istotnie, dla dowolnej funkcji
v
∈ C
∞
c
((
−1, 1))
1
−1
uv
=
−
0
−1
xv
(x) dx +
1
0
xv
(x) dx =
−
1
−1
u
v.
2
Przyklad 3.2.
Funkcja u(x) =
x
|x|
na (
−1, 1) nie ma slabej pochodnej.
Zal´
o˙zmy, ˙ze taka pochodna u
istnieje. Wtedy dla dowolnej funkcji v
∈
C
∞
c
((
−1, 1)),
1
−1
u
v =
−
1
−1
uv
=
0
−1
v
−
1
0
v
= 2v(0). Wynika sta
‘
d,
˙ze dla v
∈ C
∞
c
((0, 1)),
1
0
u
v = 0, a wie
‘
c u
(x) = 0 dla x > 0. Podobnie
uzasadniamy, ˙ze u
(x) = 0 dla x < 0. W rezultacie dostajemy, ˙ze u
≡ 0.
Przeczy to r´
owno´sci
1
−1
u
v = 2v(0), je´sli tylko v(0)
= 0.
2
Naste
‘
pny przyklad pokazuje, ˙ze istnieja
‘
funkcje maja
‘
ce slabe pochodne
drugiego rze
‘
du, a nie posiadaja
‘
ce slabych pierwszych pochodnych. Oczywi´scie
tak nie mo˙ze sie
‘
zdarzy´
c, je´sli pochodne rozumiemy w klasycznym sensie.
Przyklad 3.3. Rozpatrzmy w kole jednostkowym K
1
(0) = Ω
⊂ IR
2
funkcje
‘
u(x
1
, x
2
) =
x
1
|x
1
|
+
x
2
|x
2
|
. Z poprzedniego przykladu wynika, ˙ze nie istnieja
‘
pochodne u
x
i
. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze istnieje pochodna u
x
1
x
2
. Je´sli bowiem
v
∈ C
∞
c
(Ω), to
Ω
v
x
1
x
2
u =
Ω
v
x
1
x
2
x
1
|x
1
|
+
Ω
v
x
1
x
2
x
2
|x
2
|
=
−
Ω∩{x
1
<0}
v
x
1
x
2
+
Ω∩{x
1
>0}
v
x
1
x
2
−
Ω∩{x
2
<0}
v
x
1
x
2
+
Ω∩{x
2
>0}
v
x
1
x
2
= 0.
Wynika sta
‘
d, ˙ze u
x
1
x
2
≡ 0.
2
Niech γ be
‘
dzie ja
‘
drem wygladzaja
‘
cym. W dalszej cze
‘
´sci be
‘
dziemy wyko-
rzystywa´
c naste
‘
puja
‘
ce fakty [2], [7]:
P1. Je´sli u
∈ C
k
(Ω), to u
ε
(x) :=
Ω
u(y)γ
ε
(x
− y) dy jest klasy C
∞
(IR
n
)
oraz dla ka˙zdego podzbioru zwartego Ω
⊂⊂ Ω, |u
ε
− u|
C
k
(Ω
)
→ 0, gdy
ε
→ 0.
P2. Je´sli u
∈ L
2
(Ω), to u
ε
∈ C
∞
(IR
n
) i
|u
ε
− u|
L
2
(Ω)
→ 0, gdy ε → 0.
P3. Je´sli u ma zwarty no´snik, to r´
ownie˙z u
ε
ma no´snik zwarty.
10
P4. Operacja brania splotu z ja
‘
drem wygladzaja
‘
cym jest przemienna z
r´
o˙zniczkowaniem
D
α
u
ε
= (D
α
u)
ε
[roz]
(3.3)
oraz
|D
α
u
ε
− D
α
u
|
L
2
(Ω
)
→ 0, [roz2]
(3.4)
gdy ε
→ 0 i Ω
⊂⊂ Ω.
Uwaga 3.1.
Je´sli pierwsze pochodne cza
‘
stkowe sa
‘
r´
owne 0, u
x
k
= 0, to
u jest funkcja
‘
stala
‘
. Istotnie, na mocy (3.3) (u
ε
)
x
k
= (u
x
k
)
ε
= 0; wynika
sta
‘
d, ˙ze u
ε
jest funkcja
‘
stala
‘
, u
ε
(x) = c(ε). Korzystaja
‘
c z (3.4) dostajemy
|c(ε
1
)
− c(ε
2
)
|
L
2
(Ω
)
=
|c(ε
1
)
− c(ε
2
)
|
|Ω
| → 0, gdy ε
1
, ε
2
→ 0. Oznacza to,
˙ze u
ε
da
‘
˙zy do stalej, a wie
‘
c u
≡ Const.
Pochodne w sensie klasycznym definiujemy za pomoca
‘
iloraz´
ow r´
o˙znicowych.
Poni˙zej wyka˙zemy, ˙ze w podobny spos´
ob mo˙zna zdefiniowa´
c slabe pochodne,
je´sli granice iloraz´
ow r´
o˙znicowych rozumiemy w sensie zbie˙zno´sci w L
2
. Oz-
naczmy
D
k
h
u =
1
h
(u(x
1
, ..., x
k
+ h, ..., x
n
)
− u(x
1
, ..., x
n
)).
(3.5)
Prosty rachunek pokazuje, ˙ze je´sli u
∈ L
2
(Ω) jest funkcja
‘
o no´sniku zwartym,
u
∈ L
2
c
(Ω), v
∈ L
2
(Ω) i h jest dostatecznie male, to dla iloraz´
ow r´
o˙znicowych
prawdziwy jest odpowiednik wzoru na calkowanie przez cze
‘
´sci
(D
k
h
u, v)
L
2
(Ω)
=
−(u, D
k
−h
v)
L
2
(Ω)
, [czesc]
(3.6)
gdzie (
·, ·)
L
2
(Ω)
oznacza iloczyn skalarny w L
2
.
Twierdzenie 3.1
Zakladamy, ˙ze u
∈ L
2
c
(Ω).
a. Je´sli istnieje slaba pochodna u
x
k
, to dla dostatecznie malych h
|D
k
h
u
|
L
2
(Ω)
≤ |u
x
k
|
L
2
(Ω)
, [nx1]
(3.7)
|D
k
h
u
− u
x
k
|
L
2
(Ω)
→ 0, gdy h → 0.[nx2]
(3.8)
b. Je´sli istnieje taka stala C > 0, ˙ze dla dostatecznie malych h,
|D
k
h
u
|
L
2
(Ω)
≤
C, to istnieje slaba pochodna u
x
k
i
|u
x
k
|
L
2
(Ω)
≤ C.
Dow´
od. Zal´
o˙zmy, ˙ze u
∈ C
1
c
(Ω) i k = n. Wtedy
D
n
h
u =
1
h
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
dξ
n
,
gdzie x
= (x
1
, ..., x
n−1
). Sta
‘
d
|D
n
h
u
|
2
=
1
h
2
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
dξ
n
2
≤
1
h
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
2
dξ
n
.
11
Calkuja
‘
c te
‘
nier´
owno´s´
c wzgle
‘
dem x
n
, mamy
+∞
−∞
|D
n
h
u
|
2
dx
n
≤
1
h
+∞
−∞
dx
n
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
2
dξ
n
≤
1
h
+∞
−∞
dx
n
h
0
∂u(x
, ¯
ξ
n
+ x
n
)
∂ξ
n
2
d ¯
ξ
n
≤
1
h
h
0
d ¯
ξ
n
+∞
−∞
dx
n
∂u(x
, ¯
ξ
n
+ x
n
)
∂ξ
n
2
=
+∞
−∞
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
2
dξ
n
.
Calkuja
‘
c teraz wzgle
‘
dem x
∈ IR
n−1
otrzymujemy (3.7) dla u
∈ C
1
c
(Ω).
Je´sli funkcja u
∈ L
2
c
(Ω), to wygladzamy ja
‘
, splataja
‘
c z ja
‘
drem wygladzaja
‘
cym
Otrzymujemy funkcje
‘
u
ε
∈ C
1
c
(Ω) , dla kt´
orej zachodzi nier´
owno´s´
c
|D
n
h
u
ε
|
L
2
(Ω)
≤ |(u
ε
)
x
n
|
L
2
(Ω)
=
|(u
x
n
)
ε
|
L
2
(Ω)
.
Przechodza
‘
c z ε
→ 0 i korzystaja
‘
c z (3.4) dostajemy (3.7) dla u
∈ L
2
c
(Ω).
Aby wykaza´
c (3.8), rozumuja
‘
c jak w dowodzie (3.7), mo˙zemy ograniczy´
c
sie
‘
do u
∈ C
1
c
(Ω). Zauwa˙zmy, ˙ze
|D
n
h
u(x)
− u
x
n
(x)
| =
1
h
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
−
∂u(x
, x
n
)
∂x
n
dξ
n
.
Sta
‘
d
+∞
−∞
(D
n
h
u(x)
−u
x
n
(x))
2
dx
n
≤
1
h
+∞
−∞
dx
n
x
n
+h
x
n
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
−
∂u(x
, x
n
)
∂x
n
2
dξ
1
h
h
0
dξ
+∞
−∞
∂u(x
, x
n
+ ξ)
∂x
n
−
∂u(x
, x
n
)
∂x
n
2
dx
n
.
Calkuja
‘
c te
‘
nier´
owno´s´
c wzgle
‘
dem x
∈ IR
n−1
, dostajemy
|D
n
h
u
− u
x
n
|
2
L
2
≤
1
h
h
0
dξ
Ω
∂u(x
, x
n
+ ξ)
∂x
n
−
∂u(x
, x
n
)
∂x
n
2
dx.
Calka
Ω
∂u(x
,x
n
+ξ)
∂x
n
−
∂u(x
,x
n
)
∂x
n
2
dx da
‘
˙zy do 0, gdy h
→ 0, a wie
‘
c D
n
h
u
→
u
x
n
w L
2
. Wykorzystali´smy naste
‘
puja
‘
cy fakt: je´sli w
∈ L
2
c
(Ω), to
Ω
(w(x +
h)
− w(x))
2
→ 0, gdy h → 0.
Przejd´
zmy do dowodu punktu (b). Z zalo˙ze´
n wynika, ˙ze rodzina funkcji
D
k
h
u jest slabo zwarta w L
2
. Mo˙zna wie
‘
c wybra´
c z niej podcia
‘
g slabo zbie˙zny
D
k
h
m
u
→ ω i |ω|
L
2
≤ C. Korzystaja
‘
c z (3.6) mamy (D
k
h
m
u, v)
L
2
(Ω)
=
−(u, D
k
−h
m
v)
L
2
(Ω)
dla ka˙zdej funkcji v
∈ C
∞
0
(Ω).
Przechodza
‘
c z m do
niesko´
nczono´sci dostajemy (ω, v)
L
2
(Ω)
=
−(u, v
x
k
)
L
2
(Ω)
, co oznacza, ˙ze u
x
k
=
ω.
12
2
Przestrzenie
H
k
(Ω).
Oznaczmy przez H
k
loc
(Ω) podzbi´
or L
2
loc
(Ω) zlo˙zony z funkcji maja
‘
cych
slabe pochodne do rze
‘
du k wla
‘
cznie. Zbi´
or H
k
(Ω)
⊂ H
k
loc
(Ω) sklada sie
‘
z funkcji, kt´
orych slabe pochodne do rze
‘
du k wla
‘
cznie nale˙za
‘
do L
2
(Ω).
H
k
(Ω) jest przestrzenia
‘
Hilberta z iloczynem skalarnym
(u, v)
H
k
(Ω)
= Σ
|α|≤k
Ω
D
α
uD
α
v.
Wymie´
nmy kilka podstawowych wlasno´sci przestrzeni H
k
(Ω):
H1. Je´sli u
∈ H
k
(Ω) i v
∈ C
k
( ¯
Ω), to vu
∈ H
k
(Ω).
H2. Dla ka˙zdego Ω
⊂⊂ Ω, u
ε
→ u w H
k
(Ω
), gdy ε
→ 0.
H3. Je´sli Ω
⊂⊂ Ω
, ∂Ω
∈ C
k
, k
≥ 1, to dla ka˙zdej funkcji u ∈ H
k
(Ω)
(C
k
(Ω)) istnieje taka funkcja U
∈ H
k
(Ω
), (U
∈ C
k
(Ω
) o no´sniku zwartym,
˙ze U
|
Ω
= u i
|U|
H
k
(Ω
)
≤ C|u|
H
k
(Ω)
, (
|U|
C
k
(Ω
)
≤ C|u|
C
k
(Ω)
), gdzie stala C
zale˙zy tylko od Ω i Ω
.
H4. Je´sli ∂Ω
∈ C
k
, to zbi´
or C
∞
( ¯
Ω) jest ge
‘
sty w H
k
(Ω).
Dalej korzysta´
c be
‘
dziemy z wlasno´sci przedlu˙zania funkcji ϕ
∈ C
k
(∂Ω)
do funkcji okre´slonej na ¯
Ω.
H5. Przy zalo˙zeniach ∂Ω
∈ C
k
, k
≥ 1, ϕ ∈ C
k
(∂Ω), istnieje taka funkcja
u
∈ C
k
( ¯
Ω), ˙ze u
|
∂Ω
= ϕ i
|u|
C
k
(¯Ω)
≤ C|ϕ|
C
k
(∂Ω)
. Stala C zale˙zy tylko od Ω.
´
Slad funkcji.
Zal´
o˙zmy, ˙ze u
∈ C
1
( ¯
Ω), ∂Ω
∈ C
1
i S jest kawalkiem brzegu ∂Ω be
‘
da
‘
cym
wykresem funkcji x
n
= Φ(x
1
, ..., x
n−1
). Z wlasno´sci H3 wynika, ˙ze mo˙zna
przedlu˙zy´
c u na pewien prostopadlo´scian Ω
=
{x : 0 ≤ x
i
≤ a}, Ω ⊂⊂ Ω
i przedlu˙zenie to , oznaczamy je przez u, ma no´snik zwarty w Ω
. Dla x
∈ S
mamy
u(x) = u(x
, Φ(x
)) =
Φ(x
)
0
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
dξ
n
.
Sta
‘
d
(
|u(x)|
S
)
2
≤ |Φ(x
)
|
Φ(x
)
0
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
2
dξ
n
≤ a
a
0
∂u(x
, ξ
n
)
∂ξ
n
2
dξ
n
.
Mno˙za
‘
c te
‘
nier´
owno´s´
c przez
1 + Φ
2
x
1
+ ...Φ
2
x
n−1
i calkuja
‘
c po dziedzinie D
funkcji Φ, dostajemy
|u|
2
L
2
(S)
≤ C
2
|u|
2
H
1
(Ω)
,
a wie
‘
c dla dowolnej funkcji u
∈ C
1
( ¯
Ω)
|u|
L
2
(∂Ω)
≤ C|u|
H
1
(Ω)
.[nnx]
(3.9)
13
Zal´
o˙zmy, ˙ze u
∈ H
1
(Ω). Z wlasno´sci H4 wynika istnienie takiego cia
‘
gu
u
n
∈ C
∞
( ¯
Ω), ˙ze u
n
→ u w H
1
(Ω). Z (3.9) otrzymujemy nier´
owno´s´
c
|u
n
− u
m
|
L
2
(∂Ω)
≤ C|u
n
− u
m
|
H
1
(Ω)
.
Cia
‘
g u
n
na ∂Ω jest wie
‘
c fundamentalny w L
2
(∂Ω), a tym samym zbie˙zny w
tej przestrzeni, u
n
→ ˜u. Funkcje
‘
˜
u
∈ L
2
(∂Ω) nazywamy ´sladem funkcji u
na ∂Ω. Nietrudno wykaza´
c, ˙ze ˜
u jest dobrze okre´slona, tzn. nie zale˙zy od
wyboru cia
‘
gu u
n
. Dla funkcji u
∈ C
1
( ¯
Ω) ´slad funkcji jest jej obcie
‘
ciem do
∂Ω.
Oznaczmy przez H
1
0
(Ω) funkcje z H
1
(Ω) o ´sladzie r´
ownym 0. Dalej
wykorzystamy fakt, ˙ze H
1
0
(Ω) jest domknie
‘
ciem zbioru C
∞
c
(Ω) w topologii
H
1
.
Zgodnie z definicja
‘
, iloczyn skalarny w H
1
0
(Ω) zadany jest wzorem
(u, v)
H
1
(Ω)
=
Ω
uv +
Ω
∇u · ∇v.
Z nier´
owno´sci Poincar´
ego [2], [3]
|u|
2
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
|∇u|
2
, prawdziwej dla
dowolnej funkcji u
∈ H
1
0
(Ω), wynika, ˙ze jest on r´
ownowa˙zny z iloczynem
(u, v)
H
1
(Ω)
=
Ω
∇u · ∇v,
kt´
ory bywa wygodniejszy w u˙zyciu.
Wyka˙zemy, ˙ze wz´
or na calkowanie przez cze
‘
´sci,
Ω
u
x
i
v =
∂Ω
uvν
i
−
Ω
uv
x
i
, [calk]
(3.10)
prawdziwy dla funkcji u, v
∈ C
1
( ¯
Ω), przenosi sie
‘
na funkcje z H
1
(Ω), je´sli
warto´sci u i v na ∂Ω rozumiemy w sensie ich ´sladu.
W tym celu funkcje u, v aproksymujemy, w sensie H
1
, funkcjami u
n
, v
n
∈
C
1
( ¯
Ω). Z definicji ´sladu wynika, ˙ze obcie
‘
cia u
n
i v
n
do ∂Ω sa
‘
zbie˙zne w
L
2
(∂Ω) do ´slad´
ow funkcji u i v. Wystarczy teraz podstawi´
c we wzorze
(3.10) u = u
n
, v = v
n
i przej´s´
c z n do
∞.
Podobnie argumentuja
‘
c mo˙zna wykaza´
c, ˙ze je´sli v
∈ H
1
(Ω), u
i
∈ H
1
(Ω),
−
→
u = (u
1
, ..., u
n
), to
Ω
v div−
→
u =
∂Ω
v(−
→
u
· ν) −
Ω
−
→
u
· ∇v.[gree]
(3.11)
Regularno´
s´
c funkcji z
H
k
(Ω).
Uzasadnimy, ˙ze funkcje z H
k
loc
(Ω), je´sli tylko k jest dostatecznie du˙ze, sa
‘
funkcjami r´
o˙zniczkowalnymi w klasycznym sensie. Dokladniej, prawdziwe
jest naste
‘
puja
‘
ce zawieranie
14
Twierdzenie 3.2 [locglad]
H
l+1+[n/2]
loc
(Ω)
⊂ C
l
(Ω).[gladkosc]
(3.12)
Dow´
od. Dow´
od przeprowadzimy dla n = 2. W wy˙zszym wymiarze jego idea
jest taka sama, ale rachunki bardziej skomplikowane.
Zacznijmy od przypomnienia definicji rozwia
‘
zania fundamentalnego E
n
(x)
operatora Laplace’a. Dla n > 2, E
n
(x) =
−
1
(n−2)σ
n
|x|
n−2
, E
2
(x) =
−
1
2π
log
1
|x|
.
Poni˙zszy wz´
or [5], [7], [9], kt´
orego dow´
od pomijamy, pozwala wyrazi´
c
warto´s´
c funkcji u
∈ C
2
( ¯
Ω) w dowolnym punkcie x
∈ Ω za pomoca
‘
laplasjanu
tej funkcji oraz jej warto´sci i pochodnych na brzegu,
u(x) =
Ω
E
n
(x
−y)Δu(y) dy+
∂Ω
u(y)
∂E
n
(x
− y)
∂ν
y
dS
y
−
∂Ω
∂u
∂ν
y
E
n
(x
−y) dS
y
.[w
(3.13)
Pierwsza
‘
calke
‘
brzegowa
‘
w (3.13) nazywamy potencjalem warstwy podw´
ojnej
a druga
‘
potencjalem warstwy pojedynczej. Dalej korzysta´
c be
‘
dziemy z tego,
˙ze potencjaly te jako funkcje zmiennej x sa
‘
funkcjami harmonicznymi na
IR
n
\ ∂Ω.
W szczeg´
olno´sci z (3.13) wynika, ˙ze dla u
∈ C
2
c
(Ω) i n = 2
u(x) =
1
2π
Ω
log
|x − y|Δu(y) dy.[wzor1]
(3.14)
Sta
‘
d
|u(x)| ≤
1
2π
Ω
(Δu(y))
2
dy
1/2
Ω
(log
|x − y|)
2
dy
1/2
≤ C|u|
H
2
(Ω)
,
gdzie C = sup
x∈Ω
{
1
2π
(
Ω
(log
|x − y|)
2
dy)
1/2
}.
Wykazali´smy, ˙ze
|u|
C
0
(Ω)
≤ C|u|
H
2
(Ω)
, [nx3]
(3.15)
a stala C zale˙zy tylko od obszaru Ω.
Je´sli u
∈ C
l+2
c
(Ω), l > 0, to z (3.15) wynika, ˙ze dla ka˙zdego α,
|α| < l,
zachodza
‘
nier´
owno´sci
|D
α
u
|
C
0
(Ω)
≤ C|D
α
u
|
H
2
(Ω)
≤ C|u|
H
l+2
(Ω)
, a wie
‘
c
|u|
C
l
(Ω)
≤ C|u|
H
l+2
(Ω)
.[nn]
(3.16)
Dla u
∈ H
l+2
c
(Ω), na mocy wlasno´sci H4 i P3, istnieje cia
‘
g u
m
∈ C
l+2
c
(Ω)
zbie˙zny do u w H
l+2
, i ponadto z (3.16) dostajemy
|u
m
− u
k
|
C
l
(Ω)
≤ C|u
m
− u
k
|
H
l+2
(Ω)
.
Prawa strona powy˙zszej nier´
owno´sci zbiega do 0, gdy m, k
→ ∞, a wie
‘
c
u
m
jest cia
‘
giem fundamentalnym w C
l
( ¯
Ω). Sta
‘
d u
m
jest zbie˙zny w C
l
( ¯
Ω)
15
do pewnej funkcji u. Wykazali´smy w ten spos´
ob, ˙ze je´sli u
∈ H
l+2
c
(Ω), to
u
∈ C
l
( ¯
Ω) i
|u|
C
l
(¯Ω)
≤ C|u|
H
l+2
(Ω)
.
Zal´
o˙zmy, ˙ze u
∈ H
l+2
loc
(Ω) i ˜
Ω
⊂⊂ Ω. Je´sli ξ ∈ C
∞
c
(Ω), ξ
|
˜Ω
= 1, to
ξu
∈ H
l+2
c
(Ω) i ξu = u na ˜
Ω, a wie
‘
c ξu
∈ C
l
(Ω). Tym samym u
∈ C
l
(Ω).
2
Przy odpowiednich zalo˙zeniach o regularno´sci ∂Ω mo˙zemy Twierdzenie
(3.2) wzmocni´
c.
Twierdzenie 3.3 [globglad]
Je´sli ∂Ω
∈ C
l+1+[
n
2
]
, to H
l+1+[
n
2
]
(Ω)
⊂ C
l
( ¯
Ω).
Dow´
od. Z H3 wynika, ˙ze funkcje
‘
u
∈ H
l+1+[
n
2
]
(Ω) mo˙zna przedlu˙zy´
c do
funkcji U
∈ H
l+1+[
n
2
]
c
( ˜
Ω), Ω
⊂⊂ ˜Ω i |U|
H
l+1+[ n
2 ]
(˜Ω)
≤ C|u|
H
l+1+[ n
2 ]
(Ω)
. Sta
‘
d i
Twierdzenia 3.2: U
∈ C
l
( ˜
Ω), a wie
‘
c u
∈ C
l
( ¯
Ω) i
|u|
C
l
(¯Ω)
≤ C|u|
H
l+1+[ n
2 ]
(Ω)
.
2
4. Istnienie, jednoznaczno´
s´
c i regularno´
s´
c slabych rozwia
‘
za´
n.
Rozpatrujemy zagadnienie brzegowe
−Δu = f, [s1]
(4.1)
u
|
∂Ω
= ϕ.[s2]
(4.2)
Zakladamy, ˙ze f
∈ L
2
(Ω) i ϕ
∈ L
2
(∂Ω).
Funkcje
‘
u
∈ H
1
(Ω) nazywamy slabym rozwia
‘
zaniem r´
ownania (4.1), gdy
dla ka˙zdej funkcji v
∈ H
1
0
(Ω) spelniona jest to˙zsamo´s´
c:
Ω
∇u · ∇v =
Ω
f v.[s3]
(4.3)
Je´sli dodatkowo u = ϕ na ∂Ω (w sensie ´sladu), to u nazywamy slabym
rozwia
‘
zaniem (4.1), (4.2).
Przypomnijmy, ˙ze u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
0
( ¯
Ω) nazywamy rozwia
‘
zaniem klasy-
cznym zagadnienia (4.1), (4.2), je´sli u spelnia r´
ownanie (4.1) i warunek brze-
gowy (4.2). Nie wymagamy aby
∇u ∈ L
2
(Ω), a wie
‘
c rozwia
‘
zanie klasyczne
nie musi by´
c rozwia
‘
zaniem slabym. Oczywi´scie jest nim, je´sli dodatkowo
u
∈ C
1
( ¯
Ω).
Twierdzenie 4.1
Je´sli f
∈ L
2
(Ω) i ϕ
≡ 0, to zagadnienie (4.1), (4.2) ma
dokladnie jedno slabe rozwia
‘
zanie.
Dow´
od. Funkcja f zadaje na H
1
0
(Ω) funkcjonal liniowy v
→ (f, v)
L
2
(Ω)
. Jego
cia
‘
glo´s´
c wynika z oszacowa´
n :
|(f, v)
L
2
(Ω)
| ≤ |f|
L
2
(Ω)
|v|
L
2
(Ω)
≤ C|f|
L
2
(Ω)
|v|
H
1
0
(Ω)
.
16
Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden element u
∈ H
1
0
(Ω)
spelniaja
‘
cy warunek (u, v)
H
1
0
(Ω)
=
Ω
∇u · ∇v = (f, v)
L
2
(Ω)
, a tym samym u
jest jedynym rozwia
‘
zaniem (4.1) z zerowym warunkiem na brzegu.
2
Rozpatrzmy przypadek, gdy ϕ jest dowolnym elementem L
2
(∂Ω). Z
definicji slabego rozwia
‘
zania u wynika, ˙ze ϕ = u na ∂Ω w sensie ´sladu, a wie
‘
c
warunek brzegowy ϕ winien by´
c ´sladem pewnej funkcji. Je´sli ϕ
∈ C
1
(∂Ω),
to na mocy H5 ϕ jest ´sladem funkcji Φ
∈ C
1
( ¯
Ω). Podkre´slmy, ˙ze cia
‘
glo´s´
c
ϕ nie jest warunkiem wystarczaja
‘
cym, aby byla ona ´sladem pewnej funkcji
z H
1
(Ω). Istnieje przyklad funkcji cia
‘
glej na okre
‘
gu, kt´
ora nie jest ´sladem
˙zadnej funkcji z H
1
(K(0, 1)) [3].
Zal´
o˙zmy, ˙ze istnieje Φ
∈ H
1
(Ω), kt´
orej ´sladem jest ϕ. Wprowad´
zmy
funkcje
‘
niewiadoma
‘
˜
u = u
− Φ.
Je´sli ∂Ω
∈ C
2
, ϕ
∈ C
2
(∂Ω), to Φ
∈ C
2
( ¯
Ω) i ˜
u spelnia
−Δ˜u = f + ΔΦ, ˜u|
∂Ω
= 0.[tilde]
(4.4)
Z poprzednich rozwa˙za´
n wnioskujemy istnienie jedynego rozwia
‘
zania ˜
u za-
gadnienia (4.4).
Przejd´
zmy do przypadku og´
olnego: zakladamy, ˙ze Φ
∈ H
1
(Ω) i szukamy
funkcji ˜
u
∈ H
1
0
(Ω) spelniaja
‘
cej to˙zsamo´s´
c
Ω
∇˜u · ∇v =
Ω
f v +
Ω
∇Φ · ∇v[s4]
(4.5)
dla ka˙zdego v
∈ H
1
0
(Ω). Wyka˙zemy, ˙ze prawa strona (4.5) definiuje funkcjonal
liniowy cia
‘
gly na H
1
0
(Ω), k(v) :=
Ω
f v +
Ω
∇Φ · ∇v. Zauwa˙zmy bowiem,
˙ze
|k(v)| ≤ |f|
L
2
(Ω)
|v|
L
2
(Ω)
+
|∇Φ|
L
2
(Ω)
|∇v|
L
2
(Ω)
≤ C(|f|
L
2
(Ω)
+
|Φ|
H
1
(Ω)
)
|v|
H
1
0
(Ω)
.
Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden taki element ˜
u
∈
H
1
0
(Ω), ˙ze (˜
u, v)
H
1
0
(Ω)
= k(v) i
|˜u|
H
1
0
(Ω)
≤ C(|f|
L
2
(Ω)
+
|Φ|
H
1
(Ω)
). Zakladaja
‘
c,
˙ze ∂Ω
∈ C
1
, ostatnia
‘
nier´
owno´s´
c mo˙zna zapisa´
c w postaci
|˜u|
H
1
0
(Ω)
≤ C(|f|
L
2
(Ω)
+
|ϕ|
C
1
(∂Ω)
), [ss44]
(4.6)
a og´
olnie
|˜u|
H
1
0
(Ω)
≤ C(|f|
L
2
(Ω)
+ inf
Φ|
∂Ω
=ϕ
|Φ|
H
1
(Ω)
).[ss45]
(4.7)
Jednoznaczno´s´
c slabych rozwia
‘
za´
n zagadnienia (4.1), (4.2) jest natych-
miastowa
‘
konsekwencja
‘
jednoznaczno´sci rozwia
‘
za´
n zagadnienia z jednorod-
nym warunkiem brzegowym. Gdyby bowiem istnialy dwa rozwia
‘
zania u
1
,
u
2
, to ich r´
o˙znica u = u
1
− u
2
spelnialaby Δu = 0, u
|
∂Ω
= 0, a wie
‘
c u
≡ 0.
Wykazali´smy w ten spos´
ob
17
Twierdzenie 4.2
Je´sli f
∈ L
2
(Ω) i ϕ jest ´sladem pewnej funkcji Φ
∈
H
1
(Ω), to istnieje dokladnie jedno rozwia
‘
zanie u zagadnienia (4.1), (4.2).
Regularno´
s´
c slabych rozwia
‘
za´
n.
Z definicji, slabe rozwia
‘
zanie u nale˙zy do przestrzeni H
1
(Ω). Wyka˙zemy,
˙ze odpowiednie zalo˙zenia o regularno´sci f gwarantuja
‘
wy˙zsza
‘
regularno´s´
c u.
Zacznijmy od przypadku jednowymiarowego
−u
= f,
u(0) = 0,
u(1) = 0.[w1]
(4.8)
Klada
‘
c w Twierdzeniu 3.3 n = 1, l = 0 dostajemy zawieranie H
1
((0, 1))
⊂
C
0
([0.1]), czyli slabe rozwia
‘
zanie u zagadnienia (4.8) jest cia
‘
gle. Z definicji
spelnia te˙z to˙zsamo´s´
c
1
0
u
v
=
1
0
f v
dla v
∈ H
1
0
((0, 1)).[w2]
(4.9)
Twierdzenie 4.3
Je´sli f
∈ C
0
([0, 1]) i u jest slabym rozwia
‘
zaniem (4.8),
to u
∈ C
2
([0, 1]) i spelnia (4.8) w klasycznym sensie.
Dow´
od. Funkcja ˜
u :=
−
x
0
y
0
f (ξ) dξ dy jest klasy C
2
([0, 1]) i
−˜u
= f , a
wie
‘
c spelnia to˙zsamo´s´
c (4.9). Oczywi´scie je´sli u
1
= u
− ˜u, to
1
0
u
1
v
= 0 dla
v
∈ H
1
0
((0, 1)). Wynika sta
‘
d, ˙ze (u
1
)
=0 (
rozumiemy tutaj w sensie slabej
pochodnej), a wie
‘
c u
1
jest stala (Uwaga 3.1) i tym samym u
∈ C
2
([0, 1]).
Z to˙zsamo´sci
1
0
u
v
=
−
1
0
u
v =
1
0
f v wynika, ˙ze
−u
= f , tzn. slabe
rozwia
‘
zanie u spelnia r´
ownanie w klasycznym sensie.
2
Przejd´
zmy do badania regularno´sci slabych rozwia
‘
za´
n w wy˙zszych wy-
miarach.
Twierdzenie 4.4 [x18]
Zakladamy, ˙ze f
∈ L
2
(Ω)
∩ H
k
loc
(Ω), k = 0, 1, 2...
i u jest slabym rozwia
‘
zaniem (4.1). Wtedy u
∈ H
k+2
loc
(Ω) i dla ka˙zdej pary
obszar´
ow Ω
1
⊂⊂ Ω
2
⊂⊂ Ω istnieje taka stala C = C(Ω
1
, Ω
2
), ˙ze
|u|
H
k+2
(Ω
1
)
≤ C(|f|
H
k
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
).[w3]
(4.10)
Dow´
od. Dow´
od przebiega indukcyjnie. Zal´
o˙zmy, ˙ze k = 0, tzn. f
∈ L
2
(Ω).
Oznaczmy ε = dist(∂Ω
1
, ∂Ω
2
) i Ω
ε
=
{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}. Niech
ξ be
‘
dzie taka
‘
funkcja
‘
klasy C
∞
(IR
n
), ˙ze ξ(x) = 1 na Ω
2
ε
i ξ(x) = 0 dla
x /
∈ Ω
2
2
3
ε
. Je´sli v
0
∈ H
1
(Ω
2
), to ξv
0
= v
∈ H
1
0
(Ω). Rozumiemy tutaj, ˙ze
v
0
(x) = 0 dla x /
∈ Ω
2
. W to˙zsamo´sci (4.3) kladziemy v = ξv
0
. Korzystaja
‘
c
z r´
owno´sci
∇u · ∇v = (∇u · ∇ξ)v
0
+
∇(ξu) · ∇v
0
− u∇ξ · ∇v
0
,
18
(4.3) mo˙zna zapisa´
c w postaci
Ω
2
∇U · ∇v
0
=
Ω
2
F v
0
+
Ω
2
u
∇ξ · ∇v
0
, [w5]
(4.11)
gdzie F = f ξ
− ∇u · ∇ξ ∈ L
2
(Ω
2
) i U = ξu
∈ H
1
(Ω
2
). Poniewa˙z ξ zeruje
sie
‘
na poza Ω
2
2
3
ε
to calkowanie w (4.11) przebiega po Ω
2
2
3
ε
.
Niech v
1
be
‘
dzie funkcja
‘
z H
1
(Ω
2
) przedlu˙zona
‘
zerem poza Ω
2
.
Dla
|h| <
ε
2
, D
i
−h
v
1
∈ H
1
(Ω
2
ε
2
)
∩ L
2
(Ω
ε
2
). Podstawiaja
‘
c w (4.11) v
0
= D
i
−h
v
1
i wykorzystuja
‘
c wz´
or (3.6) dostaniemy
Ω
2
∇D
i
h
U
· ∇v
1
=
−
Ω
2
F D
i
−h
v
1
+
Ω
2
D
i
h
(u
∇ξ) · ∇v
1
.[w6]
(4.12)
Sta
‘
d i z (3.7)
|
Ω
2
∇D
i
h
U
· ∇v
1
| ≤ (|F |
L
2
(Ω
2
)
+ C
|u|
H
1
(Ω
2
)
)
|∇v
1
|
L
2
(Ω
2
)
.
Z oszacowania
|F |
L
2
(Ω)
≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
),
otrzymujemy
|
Ω
2
∇D
i
h
U
· ∇v
1
| ≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
)
|∇v
1
|
L
2
(Ω
2
)
.[w7]
(4.13)
Podstawiaja
‘
c w (4.13) v
1
= D
i
h
U mamy
Ω
2
|∇v
1
|
2
≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
)
|∇v
1
|
L
2
(Ω
2
)
.
Sta
‘
d
|∇v
1
|
L
2
(Ω
2
)
≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
).
Z powy˙zszej nier´
owno´sci wynika, ˙ze rodzina
∇D
i
h
U jest jednostajnie ogra-
niczona w L
2
(Ω
2
), a wie
‘
c na mocy Twierdzenia 3.1, U
∈ H
2
(Ω
2
) oraz
|∇U|
L
2
(Ω
2
)
≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
).[w77]
(4.14)
Przypomnijmy, ˙ze U = u na Ω
1
, sta
‘
d u
∈ H
2
(Ω
1
), a tym samym u
∈ H
2
loc
(Ω).
Korzystaja
‘
c z nier´
owno´sci Poincar´
ego i (4.14) dostajemy oszacowanie
|u|
H
2
(Ω
1
)
≤ C(|f|
L
2
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
).
W ten spos´
ob zako´
nczyli´smy dow´
od pierwszego kroku indukcji.
Zal´
o˙zmy teraz, ˙ze je´sli f
∈ L
2
(Ω)
∩ H
k
loc
(Ω), to u
∈ H
k+2
loc
(Ω),
|u|
H
k+2
(Ω
1
)
≤ C(k, Ω
1
, Ω
2
)(
|f|
H
k
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
)
19
oraz zachodzi to˙zsamo´s´
c
Ω
2
∇D
i
h
(D
α
U )
· ∇v
k+1
=
−
Ω
2
D
α
F D
i
−h
v
k+1
+
Ω
2
D
i
h
(D
α
(u
∇ξ)) · ∇v
k+1
[w8]
(4.15)
dla ka˙zdej funkcji v
k+1
∈ H
1
(Ω
2
) i
|α| ≤ k.
Je´sli teraz f
∈ L
2
(Ω)
∩ H
k+1
(Ω) i
|α| ≤ k, to D
α
U
∈ H
2
(Ω
2
) i D
α
F
∈
H
1
(Ω
2
). Przechodza
‘
c w (4.15) z h
→ 0, dostajemy
Ω
2
∇D
α
U
x
i
· ∇v
k+1
=
−
Ω
2
D
α
F (v
k+1
)
x
i
+
Ω
2
D
α
(u
∇ξ)
x
i
· ∇v
k+1
.
Niech v
k+2
∈ H
1
(Ω
2
); klada
‘
c v
k+1
= D
i
−h
v
k+2
otrzymamy
Ω
2
∇D
i
h
(D
α
U
x
i
)
·∇v
k+2
=
−
Ω
2
D
α
F
x
i
D
i
−h
v
k+2
+
Ω
2
D
i
h
(D
α
(u
∇ξ)
x
i
)
·∇v
k+2
.
Z zalo˙zenia indukcyjnego
|F |
H
k+1
(Ω
2
)
≤ C(|f|
H
k+1
(Ω
2
)
+
|u|
H
k+2
(Ω
2
)
)
≤ C(|f|
H
k+1
(Ω
2
)
+
|u|
H
1
(Ω
2
)
).
Podstawiaja
‘
c v
k+2
= D
i
h
(D
α
U
x
i
), rozumuja
‘
c jak w kroku pierwszym, wniosku-
jemy, ˙ze u
∈ H
k+3
loc
(Ω).
2
Uwaga 4.1.
Je´sli f
∈ L
2
(Ω) i u
∈ H
1
(Ω) jest rozwia
‘
zaniem (4.1), to u
spelnia r´
ownanie Poissona prawie wsze
‘
dzie.
Dow´
od. Z Twierdzenia (4.4) wynika, ˙ze u
∈ H
2
loc
(Ω), czyli Δu
∈ L
2
loc
(Ω).
Niech Ω
1
⊂⊂ Ω i v ∈ H
1
0
(Ω
1
). Z (4.3) dostaniemy to˙zsamo´s´
c
−
Ω
1
Δu v =
Ω
1
f v dla v
∈ H
1
0
(Ω
1
).
Sta
‘
d
Ω
1
(Δu + f )v = 0, co pocia
‘
ga
−Δu = f prawie wsze
‘
dzie w Ω.
2
Stosuja
‘
c podobne idee jak w dowodzie Twierdzenia (4.4), mo˙zna wykaza´
c
[2], [3], [7] regularno´s´
c rozwia
‘
za´
n a˙z do brzegu.
Twierdzenie 4.5 [glad1]
Je´sli f
∈ H
k
(Ω), ∂Ω
∈ C
k+2
, k
≥ 0, to slabe
rozwia
‘
zanie u zagadnienia Δu = f , u
|
∂Ω
= 0 jest w H
k+2
(Ω),
|u|
H
k+2
(Ω)
≤
C
|f|
H
k
(Ω)
i stala C nie zale˙zy od f .
Zauwa˙zmy, ˙ze z Twierdzenia (4.5) i Twierdzenia (3.3) wynika
Twierdzenie 4.6 [gladx]
Je´sli f
∈ H
1+[
n
2
]
(Ω) i ∂Ω
∈ C
3+[
n
2
]
, to slabe
rozwia
‘
zanie r´
ownania (4.1) z jednorodnym warunkiem brzegowym jest rozwia
‘
zan
klasycznym.
20
Rozpatrzmy teraz zagadnienie (4.1), (4.2) w calej og´
olno´sci, tzn. zakla-
damy, ˙ze ϕ jest ´sladem pewnej funkcji Φ
∈ H
k+2
(aby to zagwarantowa´
c, w
my´sl H5 wystarczy, ˙ze ϕ
∈ C
k+2
(∂Ω)) i f
∈ H
k
(Ω).
Wprowad´
zmy funkcje
‘
pomocnicza
‘
w = u
−Φ. Oczywi´scie dla v ∈ H
1
0
(Ω)
Ω
∇w · ∇v =
Ω
F
1
v, gdzie F
1
= f + ΔΦ. Funkcja w spelnia jednorodny
warunek brzegowy i F
1
∈ H
k
(Ω), a wie
‘
c z Twierdzenia 4.5 w
∈ H
k+2
(Ω).
Wykazali´smy w ten spos´
ob
Twierdzenie 4.7 [glad2]
Je´sli f
∈ H
k
(Ω) i ϕ jest ´sladem funkcji z H
k+2
(Ω),
to rozwia
‘
zanie u zagadnienia (4.1), (4.2) nale˙zy do H
k+2
(Ω).
5. Klasyczne rozwia
‘
zania r´
ownania Poissona.
Be
‘
dziemy rozpatrywa´
c klasyczne rozwia
‘
zania zagadnienia (4.1), (4.2).
W Twierdzeniu (4.6) podane sa
‘
warunki na f i ∂Ω gwarantuja
‘
ce istnienie
klasycznych rozwia
‘
za´
n. Udowodnimy, ˙ze istnieja
‘
rozwia
‘
zania klasyczne przy
znacznie slabszych zalo˙zeniach o ∂Ω, f i ϕ. Zaczniemy od tzw. zasad
maksimum, kt´
ore sa
‘
podstawowym narze
‘
dziem analizy rozwia
‘
za´
n r´
owna´
n
eliptycznych.
Zasady maksimum.
Udowodnimy prosty pomocniczy
Lemat 5.1
Je´sli u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
0
( ¯
Ω) i Δu > 0, to maksimum funkcji u nie
mo˙ze by´
c osia
‘
gnie
‘
te w Ω.
Dow´
od. Zal´
o˙zmy, ˙ze maksimum funkcji u przyje
‘
te jest w punkcie x
0
∈ Ω.
Wtedy Δu(x
0
)
≤ 0, co jest sprzeczne z naszym zalo˙zeniem.
2
Poni˙zszy lemat nosi nazwe
‘
slabej zasady maksimum.
Lemat 5.2
Je´sli u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
0
( ¯
Ω) i Δu
≥ 0, to u osia
‘
ga maksimum na
∂Ω.
Dow´
od. Wprowadzamy funkcje
‘
pomocnicza
‘
w(x) = u + εe
x
1
, x
1
oznacza
pierwsza
‘
wsp´
olrze
‘
dna
‘
punktu x i ε > 0. Oczywi´scie Δw = Δu + εe
x
1
> 0.
Funkcja w osia
‘
ga maksimum na ∂Ω i na mocy poprzedniego lematu
sup
x∈Ω
u(x) < sup
x∈Ω
w(x)
≤ sup
x∈∂Ω
w(x)
≤ sup
x∈∂Ω
u(x) + ε sup
x∈∂Ω
e
x
1
Przechodza
‘
c z ε
→ 0 dostajemy sup
x∈Ω
u(x)
≤ sup
x∈∂Ω
u(x).
2
Ze slabej zasady maksimum wynikaja
‘
natychmiast dwa wnioski.
21
Wniosek 5.1
Funkcja harmoniczna i cia
‘
gla w ¯
Ω osia
‘
ga swoje kresy na ∂Ω.
Wniosek 5.2
Zagadnienie (4.1), (4.2) ma co najwy˙zej jedno klasyczne roz-
wia
‘
zanie.
Poni˙zszy lemat odgrywa tutaj pomocnicza
‘
role
‘
przy dowodzie mocnej zasady
maksimum, ale poza tym znajduje wiele zastosowa´
n.
Lemat 5.3
(E. Hopf ) Zakladamy, ˙ze K := K
R
(0)
⊂ IR
n
, x
0
∈ ∂K, u ∈
C
2
(K)
∩ C(K ∪ {x
0
}), Δu ≥ 0 oraz u(x) < u(x
0
) dla x
∈ K. Wtedy dla
takiego wektora n, ˙ze n
· ν(x
0
) > 0 (ν(x
0
) wektor normalny zewne
‘
trzny do
∂Ω w punkcie x
0
) zachodzi nier´
owno´s´
c
lim inf
t→0
+
1
t
[u(x
0
)
− u(x
0
− tn)] > 0.
W szczeg´
olno´sci, je´sli u
∈ C
1
(K
∪ {x
0
}), to
∂u
∂n
> 0.
Dow´
od. Bez zmniejszania og´
olno´sci, mo˙zemy zalo˙zy´
c, biora
‘
c ewentualnie
mniejsza
‘
kule
‘
, ˙ze K = K
R
(0), u(x) < u(x
0
) dla x
∈ ¯
K
− {x
0
} i u ∈
C
0
( ¯
K). Wprowadzamy funkcje
‘
pomocnicza
‘
w(x) = u(x) + εh(x), gdzie
h(x) = e
−|x|
2
− e
−R
2
≥ 0. Oznaczmy Σ = K ∩ K
R/2
(x
0
) i zauwa˙zmy, ˙ze
Δw > 0 na Σ. Wynika sta
‘
d, ˙ze w nie mo˙ze osia
‘
ga´
c maksimum na Σ.
Dowodzimy, ˙ze dla dostatecznie malych ε, w osia
‘
ga maksimum w x
0
. Na
Σ
∩ ∂K h(x) = 0, a wie
‘
c w(x) < w(x
0
) i dla x
∈ ∂Σ ∩ K u(x) < u(x
0
). Je´sli
dobierzemy ε dostatecznie male, to taka sama nier´
owno´s´
c be
‘
dzie zachodzi´
c
dla funkcji w.
W rezultacie
w(x
0
)
− w(x
0
− tn)
t
≥ 0,
dla dostatecznie malych dodatnich t. Przechodza
‘
c z t
→ 0 dostajemy
lim inf
t→0
u(x
0
)
− u(x
0
− tn)
t
≥ −ε
∂h
∂n
(x
0
) > 0,
bo
∂h
∂n
< 0.
2
Jak wspomnieli´smy, wnioskiem z zasady Hopfa jest
Twierdzenie 5.1
(Mocna zasada maksimum) Je´sli u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
0
( ¯
Ω),
Δu
≥ 0 i u przyjmuje maksimum w Ω, to u jest funkcja
‘
stala
‘
.
Dow´
od. Pol´
o˙zmy Q =
{x ∈ Ω : u(x) = sup
y∈Ω
u(y)
}. Q jest zbiorem
domknie
‘
tym w Ω.
Mamy wykaza´
c, ˙ze jest pusty lub pokrywa sie
‘
z Ω.
Zal´
o˙zmy, ˙ze jest wla´sciwym podzbiorem Ω. Istnieje wtedy taka kula K,
˙ze K
⊂ Ω \ Q i ∂K ∩ Q = ∅. Je´sli x
0
∈ ∂K ∩ Q, to u(x
0
) > u(x) dla x
∈ K.
22
Sta
‘
d, na mocy zasady Hopfa pochodna w kierunku wektora ν normalnego
do ∂K w punkcie x
0
jest dodatnia,
∂u
∂ν
(x
0
) =
∇u(x
0
)
· ν > 0, co przeczy
temu, ˙ze x
0
∈ Ω, a wie
‘
c
∇u(x
0
) = 0.
2
Mocna zasada maksimum pozwala oszacowa´
c rozwia
‘
zanie przez jego
warto´sci na brzegu oraz prawa
‘
strone
‘
r´
ownania.
Wniosek 5.3
Je´sli f
∈ C
0
( ¯
Ω), ϕ
∈ C
0
(∂Ω) i u jest klasycznym rozwia
‘
zaniem
(4.1), (4.2), to
|u(x)| ≤ max |ϕ| + C max |f|.[osz1]
(5.1)
Dow´
od. Mo˙zemy zalo˙zy´
c, ˙ze Ω
⊂ {x : 0 ≤ x
1
≤ d}. Kladziemy w(x) =
M + (e
βd
− e
βx
1
)F , gdzie M = max
|ϕ|, F = max |f|. Dla dostatecznie
du˙zych β, Δ(w+u) = Δw+Δu =
−β
2
e
x
1
F
−f < 0, a na ∂Ω, w+u = w+ϕ ≥
0. Z zasady maksimum
−w ≤ u. Przeprowadzaja
‘
c podobne rozumowanie
dla funkcji w
− u, dostajemy u ≤ w. W rezultacie −w ≤ u ≤ w, a wie
‘
c
spelniona jest nier´
owno´s´
c (5.1).
2
Istnienie rozwia
‘
za´
n klasycznych.
Zaczniemy od twierdzenia, kt´
ore m´
owi, ˙ze dla dostateczne regularnych
warunk´
ow brzegowych istnieja
‘
funkcje harmoniczne spelniaja
‘
ce te warunki.
W dowodzie wykorzystamy
Lemat 5.4 [lem]
Je´sli f
∈ C
1
( ¯
Ω) i U jest potencjalem obje
‘
to´sciowym
zwia
‘
zanym z f , to U
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω) i U spelnia r´
ownanie ΔU = f .
Dow´
od. Przypomnijmy, ˙ze potencjalem obje
‘
to´sciowym funkcji f nazywamy
funkcje
‘
U zadana
‘
wzorem
U (x) =
Ω
E
n
(x
− y)f(y) dy.
Korzystaja
‘
c z mierzalno´sci i ograniczono´sci f latwo wykaza´
c, ˙ze U
∈ C
1
( ¯
Ω)
oraz
∂U
∂x
i
=
−
Ω
∂E
n
(x
− y)
∂y
i
f (y) dy.[lem1]
(5.2)
Je´sli f
∈ C
1
( ¯
Ω), to ze wzoru (1.3) dostajemy
∂U
∂x
i
=
Ω
E
n
(x
− y)
∂f
∂y
dy
−
∂Ω
E
n
(x
− y)f(y)ν
i
(y) dS
y
.[lem2]
(5.3)
Pierwsza calka w (5.3) jest potencjalem obje
‘
to´sciowym funkcji
∂f
∂y
∈ C
0
( ¯
Ω),
a wie
‘
c, jako funkcja x, nale˙zy do C
1
( ¯
Ω). Druga jako potencjal warstwy
23
pojedynczej jest gladka. Wynika sta
‘
d, ˙ze U
∈ C
1
( ¯
Ω)
∩ C
2
(Ω). Niech v
be
‘
dzie dowolna
‘
funkcja
‘
z C
2
c
(Ω). Wykorzystuja
‘
c (3.13) dostajemy
v(x) =
Ω
E
n
(x
− y)Δv(y) dy.[lem3]
(5.4)
Stosuja
‘
c teraz wzory Greena i twierdzenie Fubiniego oraz (5.4) otrzymujemy
Ω
v(x)ΔU (x) dx =
Ω
Δv(x)U (x) dx =
Ω
Δv(x)
Ω
E
n
(x
− y)f(y) dy
dx =
Ω
v(y)f (y) dy.[lem4]
(5.5)
W ten spos´
ob wykazali´smy, ˙ze
Ω
v(x)(ΔU (x)
− f(x)) dx = 0 dla ka˙zdej v ∈ C
2
c
(Ω).
Sta
‘
d natychmiast wynika, ˙ze ΔU = f .
2
Twierdzenie 5.2
Je´sli ∂Ω
∈ C
2
, to istnieje funkcja u harmoniczna na Ω
i cia
‘
gla na ¯
Ω przyjmuja
‘
ca zadane warto´sci ϕ
∈ C
0
(∂Ω) na ∂Ω.
Dow´
od. Zal´
o˙zmy, ˙ze ∂Ω
∈ C
∞
. Istnieje wtedy cia
‘
g ϕ
n
∈ C
∞
(∂Ω) zbie˙zny
w C
0
do ϕ. Dla takich ϕ
n
, na mocy Twierdzenia (4.6), istnieja
‘
funkcje har-
moniczne u
n
∈ C
0
( ¯
Ω) spelniaja
‘
ce warunek brzegowy u
n
|
∂Ω
= ϕ
n
. Z zasady
maksimum dla funkcji harmonicznych
|u
n
−u
m
| ≤ |ϕ
n
−ϕ
m
|, a wie
‘
c u
n
zbie-
ga jednostajnie na ¯
Ω do pewnej funkcji u, kt´
ora jako granica jednostajnie
zbie˙znego cia
‘
gu funkcji harmonicznych jest te˙z harmoniczna.
Oznaczmy przez Φ cia
‘
gle rozszerzenie ϕ na ¯
Ω, a przez M = max
x∈ ¯
Ω
|Φ(x)|.
Niech Ω
i
⊂ Ω be
‘
dzie wste
‘
puja
‘
cym cia
‘
giem zbior´
ow otwartych, o brze-
gach klasy C
∞
, wypelniaja
‘
cych w sumie Ω,
Ω
i
= Ω. Jak wykazali´smy
wy˙zej, dla ka˙zdego Ω
i
istnieje cia
‘
g funkcji harmonicznych u
i,m
zbie˙zny na
¯
Ω
i
do funkcji harmonicznej u
i
spelniaja
‘
cej warunek brzegowy u
i
|
∂Ω
i
= Φ. Z
cia
‘
gu u
i,2
wybieramy podcia
‘
g zbie˙zny u
i
k
,2
na ¯
Ω
1
, dalej z u
i
k
,3
wybieramy
podcia
‘
g zbie˙zny na ¯
Ω
2
, i.t.d. . Cia
‘
g u
i,i
, jak wynika z jego konstrukcji,
jest zbie˙zny na Ω do pewnej funkcji harmonicznej u. Pozostaje wykaza´
c,
˙ze u
∈ C(¯Ω) i u|
∂Ω
= ϕ. Dopiero teraz wykorzystamy zalo˙zenie ∂Ω
∈ C
2
.
Dow´
od dla wygody zapisu przeprowadzimy dla n > 2, na przypadek n = 2
przenosi sie
‘
on w naturalny spos´
ob. Wybieramy dowolny punkt x
0
∈ ∂Ω
i chcemy wykaza´
c, ˙ze lim
x→x
0
u(x) = Φ(x
0
). Φ jest funkcja
‘
cia
‘
gla
‘
, a wie
‘
c
dla zadanego ε istnieje takie δ, ˙ze
|Φ(x) − Φ(x
0
)
| < ε dla |x − x
0
| < δ.
Niech K
r
(x
1
) be
‘
dzie kula
‘
styczna
‘
zewne
‘
trznie do ∂Ω w punkcie x
0
. Funkcja
24
w(x) = r
2−n
−|x−x
1
|
2−n
jest harmoniczna dla x
= x
1
i w(x)
≥ 0 dla x ∈ ¯Ω.
Dobieramy stala
‘
C tak aby,
Φ(x
0
)
− ε − Cw(x) ≤ Φ ≤ Φ(x
0
) + ε + Cw(x)
dla x
∈ ¯Ω. Funkcje u
i,i
(x) + Cw(x) i u
i,i
(x)
− Cw(x) sa
‘
harmoniczne w Ω
i
,
cia
‘
gle na ¯
Ω
i
oraz
(u
i,i
+ Cw)
|
∂Ω
= (Φ + Cw)
|
∂Ω
> Φ(x
0
)
− ε,
(u
i,i
− Cw)|
∂Ω
= (Φ
− Cw)|
∂Ω
< Φ(x
0
) + ε.
Sta
‘
d na mocy zasady maksimum u
i,i
(x) + Cw(x) > Φ(x
0
)
− ε i u
i,i
(x)
−
Cw(x) > Φ(x
0
) + ε. W rezultacie dostajemy oszacowanie
Φ(x
0
)
− ε − Cw(x) ≤ u(x) ≤ Φ(x
0
) + ε + Cw(x)
dla x
∈ Ω
i
. Przechodza
‘
c teraz z i
→ ∞, a naste
‘
pnie z x
→ x
0
, otrzymujemy
Φ(x
0
)
− ε ≤ lim inf
x→x
0
u(x)
≤ lim sup
x→x
0
u(x)
≤ Φ(x
0
) + ε,
a sta
‘
d lim
x→x
0
u(x) = Φ(x
0
).
2
Przejd´
zmy do problemu istnienia rozwia
‘
zania r´
ownania Poissona (4.1)
z niejednorodnym warunkiem brzegowym (4.2).
Twierdzenie 5.3
Je´sli ∂Ω
∈ C
2
, f
∈ C
1
( ¯
Ω) i ϕ
∈ C
0
(∂Ω), to zagadnienie
(4.1), (4.2) ma klasyczne rozwia
‘
zanie.
Dow´
od. Na mocy Lematu (5.4) U (x) =
−
Ω
E
n
(x
− y)f(y) dy jest klasy-
cznym rozwia
‘
zaniem (4.1) i U
∈ C
2
(Ω)
∩C
0
( ¯
Ω). Z poprzedniego twierdzenia
wynika istnienie funkcji harmonicznej v
∈ C
0
( ¯
Ω) spelniaja
‘
cej warunek brze-
gowy v
|
∂Ω
= ϕ
− U. Oczywi´scie u = U + v jest klasycznym rozwia
‘
zaniem
naszego problemu.
2
Funkcja Greena.
Oznaczmy przez γ(x, y) funkcje
‘
dw´
och zmiennych spelniaja
‘
ca
‘
naste
‘
puja
‘
ce
warunki:
γ(x,
·) ∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω),
Δ
y
γ(x, y) = 0 dla y
∈ Ω,
γ(x, y) = E
n
(x, y) dla y
∈ ∂Ω.
Istnienie funkcji γ jest gwarantowane Twierdzeniem (4.6) i odpowiednimi
zalo˙zeniami o regularno´sci ∂Ω.
25
Definicja 5.1.
Funkcje
‘
G(x, y) =
−E
n
(x, y) + γ(x, y) nazywamy funkcja
‘
Greena dla operatora Laplace’a
W interpretacji fizycznej G(x, y) jest potencjalem elektrycznym w punkcie
y wytworzonym przez ladunek jednostkowy umieszczony w punkcie x. Warunek
trzeci w definicji oznacza, ˙ze brzeg obszaru Ω zostal uziemiony.
Je´sli u jest klasycznym rozwia
‘
zaniem zagadnienia (4.1), (4.2) i f
∈
C
0
( ¯
Ω), to
u(x) =
Ω
G(x, y)f (y) dy +
∂Ω
ϕ(y)
∂G
∂ν
y
(x, y) dS
y
.[wzor1]
(5.6)
Odwrotnie, mo˙zna te˙z wykaza´
c [2], [3], ˙ze je´sli u dana jest wzorem (5.6) i f
spelnia warunek H¨
oldera to u jest rozwia
‘
zaniem (4.1), (4.2).
W dalszej cze
‘
´sci, w dowodach istnienia rozwia
‘
za´
n zagadnie´
n nieliniowych
wykorzystywa´
c be
‘
dziemy oszacowania funkcji Greena.
Twierdzenie 5.4
Prawdziwe sa
‘
naste
‘
puja
‘
ce oszacowania funkcji Greena
i jej pochodnych:
(a). 0 < G
2
(x, y) <
−E
2
(x, y) +
1
2π
log diam Ω ,
(b). 0 < G
n
(x, y) <
−E
n
(x, y) dla n > 2,
(c).
|∇G
n
| <
C
|x−y|
n−1
, gdzie stala C zale˙zy tylko od obszaru Ω.
Dow´
od. Ograniczymy sie
‘
tylko do dowodu pierwszych dw´
och nier´
owno´sci.
Dow´
od oszacowa´
n pochodnych jest znacznie trudniejszy [8].
Ustalmy x
∈ Ω i oznaczmy G(y) = G(x, y). Z definicji funkcji Greena
wynika, ˙ze G(y)
→ +∞, gdy y → x. Istnieje wie
‘
c takie r > 0, ˙ze G(y) > 0
w K
r
(x). G jest harmoniczna w Ω
\ K
r
(x), G
|
∂Ω
= 0 i G
|
∂K
r
(x)
> 0. Z
zasady maksimum wynika, ˙ze G(y) > 0 w Ω
\ K
r
(x), a tym samym G > 0
w Ω. Z zasady maksimum wynika te˙z, ˙ze je´sli n > 2, to γ(x,
·) < 0 w Ω.
Dostali´smy tym samym oszacowanie (b).
Dla n = 2, E
2
(x, y)
≤
1
2π
log diamΩ dla y
∈ ∂Ω, a wie
‘
c z zasady maksi-
mum γ <
1
2π
log diamΩ. Ska
‘
d natychmiast wynika (a).
2
6. Nieliniowe r´
ownania Poissona.
Zajmiemy sie
‘
zagadnieniem postaci
−Δu = f(u), [n1]
(6.1)
u
|
∂Ω
= 0.[n2]
(6.2)
Poni˙zszy przyklad wskazuje, ˙ze zalo˙zenia regularno´sci funkcji f nie gwarantuja
‘
istnienia rozwia
‘
zania problemu (6.1), (6.2).
26
Przyklad 6.1. Rozpatrzmy zagadnienie
−Δu = λe
u
,
λ
∈ IR
+
, [n3]
(6.3)
u
|
∂Ω
= 0.[nnn]
(6.4)
Niech u
1
, λ
1
be
‘
da
‘
odpowiednio pierwsza
‘
funkcja
‘
wlasna
‘
i pierwsza
‘
warto´scia
‘
wlasna
‘
−Δ w obszarze Ω. Wiadomo [2], ˙ze u
1
> 0 na Ω i λ
1
> 0. Mno˙zymy
r´
ownanie (6.3) przez u
1
i calkujemy po obszarze Ω. Dostajemy
−
Ω
Δu u
1
=
Ω
∇u · ∇u
1
=
−
Ω
uΔu
1
= λ
1
Ω
uu
1
= λ
Ω
e
u
u
1
> λ
Ω
uu
1
.
Sta
‘
d (λ
1
− λ)
Ω
uu
1
> 0, a wie
‘
c λ < λ
1
. Wykazali´smy w ten spos´
ob, ˙ze dla
λ
≥ λ
1
nasze zagadnienie nie ma rozwia
‘
za´
n.
Z pomoca
‘
funkcji Greena zagadnienia r´
o˙zniczkowe (6.1), (6.2) mo˙zemy
sprowadzi´
c do r´
ownania calkowego
u(x) =
Ω
G(x, y)f (u(y)) dy.[n4]
(6.5)
Prawa
‘
strone
‘
(6.5) definiuje operator w
→
Ω
G(x, y)f (w(y)) dy dzialaja
‘
cy
na pewnej przestrzeni funkcyjnej X. Istnienie rozwia
‘
zania (6.5) sprowadza
sie
‘
w ten spos´
ob do znalezienia punktu stalego tego operatora. Problem
polega na odpowiednim doborze przestrzeni X i zastosowaniu jednego z
twierdze´
n o punkcie stalym. U˙zyteczna dla nas be
‘
dzie wersja Twierdzenia
Leraya-Schaudera, znana te˙z jako Twierdzenie Schaefera.
Twierdzenie 6.1
Zakladamy, ˙ze odwzorowanie T przestrzeni Banacha X
jest cia
‘
gle i zwarte oraz zbi´
or
{u ∈ X : u = λT (u) dla pewnego λ ∈ [0, 1]}
jest ograniczony. Wtedy T ma punkt staly.
Zastosujmy ja
‘
do dowodu naste
‘
puja
‘
cego twierdzenia:
Twierdzenie 6.2
Je´sli f jest funkcja
‘
nieujemna
‘
, cia
‘
gla
‘
i maleja
‘
ca
‘
, to za-
gadnienie (6.1), (6.2) ma dokladnie jedno klasyczne rozwia
‘
zanie.
Dow´
od. Przestrzenia
‘
X, w kt´
orej be
‘
dziemy pracowa´
c, jest przestrze´
n funkcji
cia
‘
glych na ¯
Ω, X = C
0
( ¯
Ω). Z cia
‘
glo´sci f wynika natychmiast cia
‘
glo´s´
c ope-
ratora T (w)(x) =
Ω
G(x, y)f (w(y)) dy. Jego zwarto´s´
c jest konsekwencja
‘
Twierdzenia Arz`
eli-Ascoliego oraz oszacowa´
n na pochodne funkcji Greena.
Istotnie, zauwa˙zmy, ˙ze je´sli A
⊂ X jest podzbiorem ograniczonym, to
sup
w∈A
|∇T (w)| ≤ C sup
x∈Ω
Ω
|x − y|
1−n
dy
≤ C, a wie
‘
c obraz T (A) sklada
sie
‘
z funkcji wsp´
olnie ograniczonych i jednakowo cia
‘
glych.
27
Pozostaje do wykazania oszacowanie a priori rozwia
‘
za´
n r´
ownania u =
λT (u). Je´sli u
λ
= T (u
λ
), to 0
≤ u
λ
(x)
≤ λ
Ω
|G(x, y)|f(0) dy ≤ C(Ω, f), co
daje potrzebne oszacowanie na mo˙zliwe rozwia
‘
zania.
Twierdzenie Schaefera nie gwarantuje jednoznaczno´sci rozwia
‘
za´
n. Za-
l´
o˙zmy wie
‘
c istnienie dw´
och rozwia
‘
za´
n, u i v. Ich r´
o˙znica spelnia r´
ownanie
−Δ(u − v) = f(u) − f(v). Mno˙zymy je obustronnie przez u − v i calkujemy
po Ω. Dostajemy
Ω
|∇(u − v)|
2
=
Ω
(f (u)
− f(v))(u − v) ≤ 0, a wie
‘
c
u
− v = 0.
2
Bardzo ciekawym zagadnieniem jest podanie warunk´
ow na f lub ob-
szar Ω gwarantuja
‘
cych nieistnienie rozwia
‘
za´
n. Mo˙ze sie
‘
to uda´
c, jak w
przykladzie (6.1), gdzie prawa strona byla specjalnej postaci. Rozpatrzmy
og´
olniejsze zagadnienie
−Δu = λf(u),
u
|
∂Ω
= 0, [n5]
(6.6)
nazywane czasami nieliniowym zagadnieniem wlasnym. Wyka˙zemy, podob-
nie jak w przykladzie (6.1), ˙ze przy odpowiednich zalo˙zeniach o f , dla
dostatecznie du˙zych λ, (6.6) nie ma rozwia
‘
za´
n.
Zauwa˙zmy, ˙ze do powt´
orzenia przeprowadzonego wcze´sniej rozumowania
istotne jest tylko zalo˙zenie lim
s→∞
f (s)
s
= a > 0, z kt´
orego wynika istnienie
takich stalych a, b, ˙ze f (u)
≥ au + b. Mno˙za
‘
c teraz r´
ownanie (6.6) przez
pierwsza
‘
funkcje
‘
wlasna
‘
laplasjanu u
1
i calkuja
‘
c po Ω dostajemy
Ω
u
1
(
−Δu) = λ
1
Ω
u
1
u = λ
Ω
u
1
f (u)
≥ λ
Ω
u
1
(au + b).
Wynika sta
‘
d, ˙ze (λ
1
−λa)
Ω
uu
1
≥ 0, a wie
‘
c warunkiem koniecznym istnienia
rozwia
‘
za´
n jest λ <
λ
1
a
.
Bardzo pomocnym narze
‘
dziem w dowodach twierdze´
n o nieistnieniu rozwia
‘
za
zagadnienia (6.1), (6.2) jest tzw. to˙zsamo´s´
c Pokho˙zajewa.
Zacznijmy od to˙zsamo´sci :
Ω
Δu
Σ
n
k=1
x
k
∂u
∂x
k
=
Ω
Σ
n
i,k=1
x
k
∂
∂x
i
∂u
∂x
i
∂u
∂x
k
−
Ω
Σ
n
i,k=1
1
2
x
k
∂
∂x
k
∂u
∂x
i
2
prawdziwej dla funkcji u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω), Δu
∈ L
1
(Ω). Calkuja
‘
c przez
cze
‘
´sci pierwszy skladnik powy˙zszej sumy dostajemy
∂Ω
(ν
· ∇u)(x · ∇u) −
Ω
|∇u|
2
,
a drugi jest r´
owny
∂Ω
x
· ν|∇u|
2
− n
Ω
|∇u|
2
.
28
W rezultacie dostajemy tzw. to˙zsamo´s´
c Rellicha
Ω
Δu
Σ
n
k=1
x
k
∂u
∂x
k
=
∂Ω
(ν
·∇u)(x·∇u)+
n
− 2
2
Ω
|∇u|
2
−
1
2
∂Ω
x
·ν|∇u|
2
.
Zal´
o˙zmy, ˙ze u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω) jest rozwia
‘
zaniem (6.1), (6.2) z f
∈ C
0
(IR).
Oznaczmy przez F funkcje
‘
pierwotna
‘
f , F
= f . Calkuja
‘
c przez cze
‘
´sci
otrzymujemy
Ω
Δu
Σ
n
k=1
x
k
∂u
∂x
k
=
−
Ω
f (u)Σ
n
k=1
x
k
∂u
∂x
k
=
−
Ω
Σ
n
k=1
F
(u)x
k
∂u
∂x
k
=
−
Ω
Σ
n
k=1
x
k
∂
∂x
k
F (u) =
Ω
F (u)
−
∂Ω
ν
· xF (0).
Punkt x
∈ ∂Ω traktowany jako wektor, przedstawiamy w postaci x = (x·
ν)ν +(x
·¯t)¯t, gdzie ¯tjest wektorem jednostkowym stycznym do ∂Ω w punkcie
x. Z przedstawienia tego natychmiast dostajemy x
· ∇u =
∂u
∂x
= (x
· ν)
∂u
∂ν
.
Sta
‘
d
∂Ω
(ν
· ∇u)(x · ∇u) =
∂Ω
(x
· ν)
∂u
∂ν
2
.
Korzystaja
‘
c teraz z to˙zsamo´sci Rellicha otrzymujemy to˙zsamo´s´
c Pokho˙zajewa
∂Ω
(x
· ν)
2
∂u
∂ν
2
+ F (0)
∂Ω
ν
· x
+
n
− 2
2
Ω
|∇u|
2
− n
Ω
F (u) = 0.[poch]
(6.7)
Znajduje ona zastosowania w dowodach twierdze´
n o nieistnieniu rozwia
‘
za´
n
pewnych klas r´
owna´
n w obszarach gwia´
zdzistych. Przypomnijmy, ˙ze
Definicja 6.1.
Obszar Ω nazywamy gwia´
zdzistym wzgle
‘
dem pocza
‘
tku
ukladu wsp´
olrze
‘
dnych, je´sli dla ka˙zdego x
∈ Ω, x · ν > 0. Jak wcze´sniej ν
oznacza wektor zewne
‘
trzny normalny do ∂Ω w punkcie x.
Wniosek 6.1
Je´sli d >
n+2
n−2
i obszar Ω jest gwia´zdzisty, to zagadnienie
−Δu = u
d
, u
|
∂Ω
= 0 nie ma rozwia
‘
za´
n u
∈ C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω).
Dow´
od. W naszym przypadku F (u) =
u
d+1
d+1
i (6.7) ma posta´
c
∂Ω
ν
· x
2
∂u
∂ν
2
+
n
− 2
2
Ω
|∇u|
2
− n
Ω
u
d+1
d + 2
= 0.
29
Z zalo˙zenia gwia´
zdzisto´sci Ω wynika, ˙ze pierwszy skladnik powy˙zszej sumy
jest nieujemny, a wie
‘
c
n
− 2
2
Ω
|∇u|
2
≤ n
Ω
u
d+1
d + 2
.[n10]
(6.8)
Mno˙za
‘
c nasze r´
ownanie przez u i calkuja
‘
c po Ω dostajemy
Ω
|∇u|
2
=
Ω
u
d+1
.[n11]
(6.9)
Z (6.8) i (6.9) wynika, ˙ze
n
− 2
2
Ω
|∇u|
2
≤
n
d + 1
Ω
|∇u|
2
,
a wie
‘
c d
≤
n+2
n−2
.
2
7. Nielokalne zagadnienia eliptyczne.
Zajmiemy sie
‘
problemem istnienia (nieistnienia) rozwia
‘
za´
n zagadnie´
n
postaci
−Δu = M
f (u)
Ω
f (u)
,
u
|
∂Ω
= 0.[nn1]
(7.1)
Zagadnienia tego typu pojawiaja
‘
sie
‘
w teorii elektrolit´
ow, termistor´
ow oraz
ewolucji uklad´
ow cza
‘
stek wzajemnie oddzialuja
‘
cych.
Z pomoca
‘
funkcji Greena przeksztalcamy (7.1) do postaci calkowej
u(x) = M μ
Ω
G(x, y)f (u(y)) dy, [nn2]
(7.2)
gdzie μ = (
Ω
f (u))
−1
. Prawa
‘
strone
‘
(7.4) traktujemy jak przeksztalcenie
przestrzeni C
0
( ¯
Ω) w siebie. Z oszacowa´
n funkcji Greena wynika, ˙ze jest
ono cia
‘
gle i zwarte, je´sli tylko f jest funkcja
‘
cia
‘
gla
‘
. Je´sli dodatkowo jest
maleja
‘
ca
‘
, dostajemy oszacowanie na norme
‘
rozwia
‘
zania
|u|
∞
≤ MC(Ω)f(0)(f(|u|
∞
))
−1
.
Wynika z niego, ˙ze je´sli
lim
z→∞
zf (z) > M C(Ω),
to dysponujemy oszacowaniem a priori rozwia
‘
za´
n (7.1).
Przy zalo˙zeniu, ˙ze f jest funkcja
‘
rosna
‘
ca
‘
|u|
∞
≤ MC(Ω)f(|u|
∞
),
oszacowanie na rozwia
‘
zanie dostaniemy, je´sli tylko
lim
z→∞
z
f (z)
> M C(Ω).
Aby uzyska´
c mocniejsze twierdzenia o istnieniu rozwia
‘
za´
n wykorzystamy
30
Lemat 7.1
Je´sli f, g : IR
→ IR sa
‘
funkcjami cia
‘
glymi, f > 0 i g jest
niemaleja
‘
ca, to dla ka˙zdej funkcji cia
‘
glej u
Ω
f (u)g(f (u))
Ω
f (u)
≥
Ω
g(f (u))
|Ω|
.[lem1]
(7.3)
Dow´
od. Dow´
od jest oczywisty, je´sli tylko zauwa˙zymy, ˙ze (7.3) jest r´
ownowa˙zne
Ω
Ω
f (u(x))g(f (u(x))) dx dy
−
Ω
Ω
f (u(y))g(f (u(x))) dx dy
≥ 0,
kt´
ora mo˙ze by´
c przeksztalcona do postaci
1
2
Ω
Ω
(g(f (u(x)))
− g(f(u(y)))(f(u(x)) − f(u((y)))) dx dy ≥ 0.
2
Wyka˙zemy
Twierdzenie 7.1
Je´sli f jest funkcja
‘
dodatnia
‘
, maleja
‘
ca
‘
i cia
‘
gla
‘
oraz sup
|f
/f
∞, to problem (7.1) ma dokladnie jedno rozwia
‘
zanie.
Dow´
od. Z pomoca
‘
funkcji Greena sprowadzamy zagadnienie (7.1) do formy
calkowej
u(x) = M μ
Ω
G(x, y)f (u(y)) dy, [nn2]
(7.4)
gdzie μ = (
Ω
f (u))
−1
. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia (6.2) wyko-
rzystamy Twierdzenie Schaeffera. Prawa
‘
strone
‘
(7.4) traktujemy jak przek-
sztalcenie przestrzeni C
0
( ¯
Ω). Nietrudno wykaza´
c, ˙ze jest to przeksztalcenie
cia
‘
gle i zwarte.
Wystarczy wie
‘
c tylko poda´
c oszacowania
a priori na
rozwia
‘
zania. Oczywi´scie je´sli u jest dowolnym rozwia
‘
zaniem, to
0
≤ u(x) ≤ Mμf(0) sup
x∈Ω
Ω
|G(x, y)| dy ≤ MC(Ω)μ.
Ostatnia nier´
owno´s´
c jest konsekwencja
‘
Twierdzenia 5.4. Wystarczy teraz
oszacowa´
c
Ω
f (u) od dolu. Z nier´
owno´sci Jensena
exp
1
|Ω|
Ω
log f (u)
≤
1
|Ω|
Ω
f (u).
Problem sprowadzili´smy zatem do oszacowania od dolu
Ω
log f (u). Z nier´
owno´sc
Schwarza i zalo˙ze´
n o f dostajemy
Ω
log f (u)
2
≤ C
Ω
(log f (u))
2
≤
C
Ω
|f
/f
|
2
|∇u|
2
≤ sup |f
/f
|
Ω
|f
/f
||∇u|
2
≤ C
Ω
|f
/f
||∇u|
2
.[x31]
(7.5)
31
Mno˙za
‘
c r´
ownanie (7.1) przez log f (u) i calkuja
‘
c po Ω otrzymujemy
0
≥ −
Ω
Δu log f (u) =
Ω
|∇u|
2
(f
/f ) =
M μ
Ω
f (u) log f (u)
≥
M
|Ω|
Ω
log f (u).[y31]
(7.6)
Ostatnia nier´
owno´s´
c jest konsekwencja
‘
Lematu 7.1 z funkcja
‘
g(x) = log x.
Z (7.5), (7.6) wynika oszacowanie od dolu na
Ω
log f (u), a tym samym
otrzymujemy oszacowanie aprioryczne na rozwia
‘
zania zagadnienia (7.1).
Przechodzimy do dowodu jednoznaczno´sci rozwia
‘
za´
n. Zal´
o˙zmy, ˙ze nasz
problem ma dwa rozwia
‘
zania u
1
i u
2
, tzn.
−Δu
i
= M μ
i
f (u
i
),
u
i
|
∂Ω
= 0, [ii]
(7.7)
gdzie μ
i
= (
Ω
f (u
i
))
−1
. Rozr´
o˙znimy dwa przypadki: μ
1
= μ
2
i μ
1
= μ
2
.
W pierwszym z nich jednoznaczno´s´
c rozwia
‘
za´
n wynika z Twierdzenia (6.2).
Zal´
o˙zmy wie
‘
c, ˙ze μ
1
> μ
2
. Wyka˙zemy, ˙ze wtedy u
1
> u
2
w Ω. Przypu´s´
cmy,
˙ze tak nie jest. Istnieje wtedy taki punkt x
0
∈ Ω, ˙ze u
1
(x
0
)
≤ u
2
(x
0
) i
−Δ(u
1
− u
2
)(x
0
)
≤ 0. Z drugiej strony −Δ(u
1
− u
2
)(x
0
) = M μ
1
f (u
1
(x
0
))
−
M μ
2
f (u
2
(x
0
)) > 0, a wie
‘
c otrzymujemy sprzeczno´s´
c.
Z nier´
owno´sci u
1
> u
2
wynika, ˙ze
∂u
1
∂ν
≤
∂u
2
∂ν
.[z31]
(7.8)
Calkuja
‘
c (7.7) po obszarze Ω dostajemy
∂Ω
∂u
1
∂ν
=
∂Ω
∂u
2
∂ν
. Sta
‘
d i z (7.8)
wynika, ˙ze
∂u
1
∂ν
=
∂u
2
∂ν
.[a31]
(7.9)
Z nier´
owno´sci μ
1
> μ
2
wnioskujemy, ˙ze Δ(u
1
−u
2
) < 0 w pewnym otoczeniu
brzegu ∂Ω, a wie
‘
c z lematu Hopfa
∂(u
1
−u
2
)
∂ν
< 0 na ∂Ω, co jest sprzeczne z
(7.9).
2
Je´sli f (u) = e
−u
to rozwia
‘
zanie zagadnienia (7.1) opisuje potencjal elek-
tryczny gazu zlo˙zonego z elektrycznie naladowanych cza
‘
stek i pozostaja
‘
cego
w termodynamicznej r´
ownowadze. Z Twierdzenia (7.1) wynika, ˙ze stan taki
istnieje i jest jednoznacznie wyznaczony. Wyka˙zemy, ˙ze je´sli oddzialywania
coulombowskie zamienimy na grawitacyjne, co odpowiada podstawieniu w
prawej stronie (7.1) funkcji f (u) =
−e
−u
, to dla dostatecznie du˙zych M
(masy calkowitej gazu) w obszarze gwia´
zdzistym, zagadnienie (7.1) nie ma
rozwia
‘
za´
n.
Twierdzenie 7.2
Je´sli obszar Ω
⊂ IR
n
jest gwia´zdzisty, to dla dostatecznie
du˙zych M zagadnienie (7.1) z funkcja
‘
f (ϕ) = e
−ϕ
nie ma rozwia
‘
za´
n u
∈
C
2
(Ω)
∩ C
1
( ¯
Ω).
32
Dow´
od. Dow´
od przeprowadzimy dla n = 3. W naszym przypadku to˙zsamo´s´
c
Pokho˙zajewa ma posta´
c
3M μ
Ω
(e
−u
− 1) +
1
2
μ
Ω
ue
u
=
1
2
Ω
x
· ν
∂u
∂ν
2
.
Rozwia
‘
zanie jest nieujemne, a wie
‘
c
3M μ
Ω
(e
−u
− 1) ≥
1
2
Ω
x
· ν
∂u
∂ν
2
.[os1]
(7.10)
Calkuja
‘
c r´
ownanie i wykorzystuja
‘
c nier´
owno´s´
c Schwarza dostajemy
Ω
Δu
2
= M
2
=
∂Ω
∂u
∂ν
2
≤
∂Ω
1
x
· ν
∂Ω
x
· ν
∂u
∂ν
2
.[os2]
(7.11)
Wykorzystuja
‘
c (7.10) mamy
M
2
≤ C(Ω)Mμ
Ω
e
−u
= M C(Ω).
Co daje warunek konieczny na M , M
≤ C(Ω).
2
Literatura
[1] P. Biler, T. Nadzieja, Problems and Examples in Differential Equa-
tions, M. Dekker, New York, 1992.
[2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, RI,
1998. Przeklad polski: PWN, Warszawa, 2002.
[3] D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations,
Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[4] Quing Han, Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations,
AMS, Providence, RI, 2000.
[5] H.
Marcinkowska,
Wste
‘
p
do
teorii
r´owna´n
r´o˙zniczkowych
cza
‘
stkowych, wyd. drugie, PWN, Warszawa, 1986.
[6] H. Marcinkowska, Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, r´ownania
r´o˙zniczkowe, PWN, Warszawa, 1993.
[7] V. P. Mikhailov, Differencialnye uravnenia v ˇcastnych proizvodnych,
Nauka, Moskva, 1983.
[8] W. Pogorzelski, R´ownania calkowe i ich zastosowania, PWN,
Warszawa, 1953.
33
[9] I. Rubinstein, L. Rubinstein, Partial Differential Equations in Math-
ematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[10] A. N. Tichonov, A. A. Samarski, R´ownania fizyki matematycznej,
PWN, Warszawa, 1963.
34