Warsztaty z r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

cza

‘

stkowych – Toru´

n, 12–22.11.2002

Centrum Bada´

n Nieliniowych im. J. Schaudera

R´

ownanie Poissona

T

adeusz

NADZIEJA

Instytut Matematyki, Uniwersytet Zielonog´

orski

ul. Podg´

orna 50, 65–246 Zielona G´

ora,

e-mail: T.Nadzieja@im.uz.zgora.pl

Spis tre´sci

1. Wste

‘

p.

2. Interpretacje fizyczne r´

ownania Poissona.

3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
4. Istnienie, jednoznaczno´s´

c i regularno´s´

c slabych rozwia

‘

za´

n.

5. Rozwia

‘

zania klasyczne.

6. Nieliniowe r´

ownania Poissona.

7. Nielokalne zagadnienia eliptyczne.
8. Literatura.

1. Wste

‘

p.

Wyklady te po´swie

‘

cone sa

‘

r´

ownaniu Poissona

−Δu = f.[pois]

(1.1)

Przypomnijmy, ˙ze symbolem Δu oznaczamy laplasjan funkcji u, Δu =
div(grad u) =

∇ · ∇u. W kartezja´nskim ukladzie wsp´olrze

‘

dnych Δu =

Σ

n

i=1

∂

2

u

∂x

2

i

= Σ

n

i=1

u

x

i

x

i

. Funkcja niewiadoma u jest okre´slona na otwartym

podzbiorze Ω

⊂ IR

n

, u : Ω

→ IR, a f : Ω → IR jest zadana

‘

funkcja

‘

rzeczywista

‘

, ba

‘

d´

z te˙z funkcja

‘

niewiadomej u, f = f (u). W tym drugim

2000

Mathematics Subject Classification: 35-01, 35J05

1

przypadku, je´sli f jest nieliniowa, m´

owimy o nieliniowym r´

ownaniu Pois-

sona. Rozwa˙zymy r´

ownie˙z sytuacje

‘

, gdy prawa strona (1.1) zale˙zy w spos´

ob

nieliniowy i nielokalny od u.

Na u nakladamy warunki brzegowe typu Dirichleta

u

|

∂Ω

= ϕ, [br]

(1.2)

gdzie ϕ : ∂Ω

→ IR jest zadana

‘

funkcja

‘

.

Zakladamy, ˙ze Ω jest obszarem ograniczonym a jego brzeg ∂Ω jest klasy

C

k

, tzn. lokalnie jest wykresem funkcji klasy C

k

, k

≥ 1.

Du˙za cze

‘

´s´

c wynik´

ow przedstawiona poni˙zej dla zagadnienia (1.1), (1.2)

przenosi sie

‘

bez trudu na przypadek, gdy zamiast laplasjanu rozpatrujemy

operator eliptyczny

Lu = −Σ

n

i,j=1

∂

∂x

i

a

ij

(x)

∂u

∂x

i

,

gdzie a

i,j

(x) = a

j,i

(x)

∈ C

1

( ¯

Ω) i Σ

n

i,j=1

a

i,j

(x)ξ

i

ξ

j

> a

|ξ|

2

dla pewnej stalej

a > 0 i ka˙zdego wektora ξ

∈ IR

n

.

´

Zr´

odlem wie

‘

kszo´sci interesuja

‘

cych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych cza

‘

stkowych sa

‘

modele zjawisk fizycznych. Podamy przyklady kilku z nich oraz opiszemy ich
zwia

‘

zek z r´

ownaniem Poissona. Dalej wprowadzimy aparat matematyczny

potrzebny do dowodu istnienia i jednoznaczno´sci jego slabych rozwia

‘

za´

n oraz

ich regularno´sci. Naste

‘

pnie zajmiemy sie

‘

istnieniem rozwia

‘

za´

n klasycznych.

Na koniec udowodnimy kilka fakt´

ow dotycza

‘

cych problemu istnienia i nieist-

nienia rozwia

‘

za´

n nieliniowych (i nielokalnych) r´

owna´

n Poissona (r´

ownania

typu Poissona-Boltzmanna).

Wie

‘

kszo´s´

c przedstawionego materialu mo˙zna znale´

z´

c w podre

‘

cznikach

[5], [6], [7] i klasycznej monografi [3]. Warto poleci´

c, ostatnio przetlumaczony

na je

‘

zyk polski, podre

‘

cznik [2] oraz kr´

otka

‘

(ale trudna

‘

) monografie

‘

[4],

zawieraja

‘

ca

‘

r´

ownie˙z wyniki z ostatnich lat. Zwia

‘

zki r´

ownania Poissona z

modelami zjawisk fizycznych i chemicznych opisane sa

‘

w starym i szeroko

znanym podre

‘

czniku Tichonowa i Samarskiego [10]. Nowocze´sniejsze uje

‘

cie

tych zagadnie´

n mo˙zna znale´

z´

c w niedawno wydanym podre

‘

czniku autorstwa

I. i L. Rubinstein´

ow [9]. Pozycja [1] to zbi´

or przyklad´

ow, kontrprzyklad´

ow

i zada´

n (czasami bardzo trudnych).

Przypomnijmy podstawowe wzory, z kt´

orych p´

o´

zniej be

‘

dziemy wielokrot-

nie korzysta´

c.

Zacznijmy od wzoru na calkowanie przez cze

‘

´sci. Je´sli brzeg obszaru ∂Ω

∈

C

1

, funkcje u, v sa

‘

r´

o˙zniczkowalne w Ω i przedlu˙zaja

‘

sie

‘

wraz z pochodnymi

na domknie

‘

cie Ω, u, v

∈ C

1

( ¯

Ω), to

Ω

u

x

i

(x)v(x) dx =

∂Ω

u(x)v(x)ν

i

(x) dS

x

−

Ω

u(x)v

x

i

(x) dx, [cz]

(1.3)

2

gdzie ν(x) = (ν

1

(x), ..., ν

n

(x)) jest wektorem normalnym zewne

‘

trznym do

∂Ω w punkcie x.

Zakladamy, ˙ze −

→

A (x) = (A

1

(x), ..., A

n

(x)) jest polem wektorowym okre-

´slonym na ¯

Ω

⊂ IR

n

, ∂Ω

∈ C

1

, A

i

(x)

∈ C(¯Ω) ∩ C

1

(Ω) i div−

→

A

∈ L

1

(Ω).

Wtedy zachodzi wz´

or Gaussa

Ω

div−

→

A (x) dx =

∂Ω

−

→

A (x)

· ν(x) dS

x

.[gauss]

(1.4)

Dla u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω), v

∈ C

1

( ¯

Ω) i Δu

∈ L

1

(Ω) z to˙zsamo´sci

vΔu = div(v

∇u) − ∇u · ∇v

dostajemy

Ω

vΔu =

∂Ω

v

∂u
∂ν

−

Ω

∇u · ∇v.[gr1]

(1.5)

Je´sli u, v

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω) i Δu, Δv

∈ L

1

(Ω), to z (1.5) mamy

Ω

(vΔu

− uΔv) =

∂Ω

v

∂u
∂ν

− u

∂v
∂ν

.[gr2]

(1.6)

Ostatnie dwa wzory nazywamy wzorami Greena.

2. Interpretacje fizyczne r´

ownania Poissona.

R´

ownanie membrany.

Prawie ka˙zdy zabawial sie

‘

zanurzaja

‘

c w roztworze mydla pe

‘

telke

‘

z drutu.

Po jej wycia

‘

gnie

‘

ciu rozpostarta jest na niej powierzchnia (membrana), kt´

orej

ksztalt zale˙zy od sposobu w jaki zostal drut powyginany. Przedstawiamy ja

‘

wykresem funkcji u : Ω

⊂ IR

2

→ IR. Interesuje nas r´ownanie, jakie spelnia

u.

Skomplikujmy nieco nasze zadanie zakladaja

‘

c, ˙ze na membrane

‘

dziala

sila zewne

‘

trzna o ge

‘

sto´sci f r´

ownolegla do osi 0u, tzn. na element powierzchni

rozpostarty nad malym zbiorem ω

⊂ Ω, zawieraja

‘

cym punkt x, dziala sila

≈ f(x)|ω| (|ω| jest polem powierzchni ω). Mo˙zemy my´sle´c, ˙ze delikatnie
dmuchamy na membrane

‘

w kierunku prostopadlym do niej. Uwzgle

‘

dniamy

r´

ownie˙z dzialanie sily spre

‘

˙zystej proporcjonalnej do zmiany pola powierzchni

membrany.

Zmieniaja

‘

c ksztalt membrany opisanej funkcja

‘

w(x), do ksztaltu zadanego

funkcja

‘

W (x), sila f wykonuje prace

‘

Ω

f (x)(W (x)

− w(x)) dx,

3

a sily spre

‘

˙zyste prace

‘

−

Ω

k

1 +

|∇W (x)|

2

−

1 +

|∇w(x)|

2

dx,

gdzie przez k > 0 oznaczyli´smy wsp´

olczynnik spre

‘

˙zysto´sci.

Energia potencjalna U (W ) membrany W przybiera wie

‘

c posta´

c

U (W ) = U (w) +

Ω

k

1 +

|∇W (x)|

2

−

1 +

|∇w(x)|

2

dx

+

Ω

f (x)(W (x)

− w(x)) dx.

Je´sli gradienty funkcji W i w sa

‘

male, to korzystaja

‘

c ze wzoru McLaurina

dla funkcji

√

1 + x, mo˙zmy napisa´

c

U (W )

≈ U(w) +

Ω

k

2

(

|∇W (x)|

2

− |∇w(x)|

2

) + f (x)(W (x)

− w(x))

dx.

Opieramy sie

‘

teraz na zasadzie wariacyjnej, kt´

ora m´

owi, ˙ze ksztalt jaki

przybiera membrana, jest zadany wykresem funkcji u, dla kt´

orej energia

U (u) osia

‘

ga ekstremum w klasie wszystkich funkcji r´

o˙zniczkowalnych o zadanych

warto´sciach na ∂Ω, tzn. spelniaja

‘

cych (1.2)

Niech v be

‘

dzie funkcja

‘

r´

o˙zniczkowalna

‘

na ¯

Ω, r´

owna

‘

0 na ∂Ω, v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).

Zgodnie z naszym zalo˙zeniem,

U(t) = U(u + tv), t ∈ IR, osia

‘

ga ekstremum

dla t = 0. Latwo obliczy´

c, ˙ze

U

(0) =

Ω

(k

∇u · ∇v − fv) = 0.

Wykazali´smy w ten spos´

ob, ˙ze u spelnia to˙zsamo´s´

c calkowa

‘

Ω

k

∇u · ∇v =

Ω

f v dla v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).[toz]

(2.1)

Je´sli zalo˙zymy dodatkowo, ˙ze u

∈ C

2

(Ω)

∩C

1

( ¯

Ω) i Δu

∈ L

1

(Ω), to korzystaja

‘

c

ze wzoru (1.5) dostajemy

Ω

k

∇u · ∇v = −

Ω

kvΔu =

Ω

f v,

czyli

Ω

(kΔu + f )v = 0 dla v

∈ C

1

0

( ¯

Ω).

Sta

‘

d otrzymujemy r´

ownanie Poissona na u.

Zagadnienie wyznaczenia ksztaltu membrany sprowadzili´smy do znale-

zienia rozwia

‘

zania r´

ownania (1.1) spelniaja

‘

cego warunek brzegowy (1.2).

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli zrezygnujemy z dwukrotnej r´

o˙zniczkowalno´sci u i ogra-

niczymy sie

‘

do u

∈ C

1

( ¯

Ω), to nasz problem polega na znalezieniu funkcji

4

spelniaja

‘

cej (2.1), (1.2). Jak sie

‘

p´

o´

zniej oka˙ze, tak postawione zagadnienie

jest z pewnych wzgle

‘

d´

ow o wiele wygodniejsze do badania i przy odpowied-

nich zalo˙zeniach o regularno´sci f i ∂Ω jego rozwia

‘

zanie jest te˙z rozwia

‘

zaniem

r´

ownania Poissona.

R´

ownanie wia

‘

˙za

‘

ce ge

‘

sto´

s´

c ladunku elektrycznego z wytworzonym

potencjalem elektrycznym.

Je´sli w pocza

‘

tku ukladu wsp´

olrze

‘

dnych umie´scimy ladunek elektryczny

q, to potencjal Φ wytworzony przez ten ladunek, zgodnie z prawem Coulomba,
be

‘

dzie r´

owny Φ(x) = Φ(

|x|) =

q

|x|

. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej funkcji v klasy

C

1

, o no´sniku zwartym, v

∈ C

1

c

(IR

3

), spelniona jest r´

owno´s´

c

IR

3

∇Φ · ∇v = 4πqv(0).[ele]

(2.2)

Istotnie, wykorzystuja

‘

c wz´

or na calkowanie przez cze

‘

´sci oraz fakt, ˙ze poza

pocza

‘

tkiem ukladu wsp´

olrze

‘

dnych Φ jest funkcja

‘

harmoniczna

‘

, dostajemy

IR

3

∇Φ · ∇v = lim

ε→0

|x|>ε

∇Φ · ∇v = lim

ε→0

|x|=ε

q

ε

2

(v(0) + o(1)) = 4πqv(0).

Zal´

o˙zmy, ˙ze w obszarze Ω ladunki elektryczne rozlo˙zone sa

‘

w spos´

ob

cia

‘

gly z ge

‘

sto´scia

‘

ρ. Podzielmy Ω na male obszary Ω

i

i wybierzmy w ka˙zdym

z nich dowolny punkt x

i

. Calkowity ladunek zawarty w Ω

i

,

Ω

i

ρ(x) dx,

zaste

‘

pujemy ladunkiem q

i

= ρ(x

i

)

|Ω

i

| skupionym w x

i

. Przypomnijmy, ˙ze

|Ω

i

| jest obje

‘

to´scia

‘

zbioru Ω

i

. Potencjal ¯

Φ wytworzony przez ladunki q

i

jest suma

‘

potencjal´

ow pochodza

‘

cych od poszczeg´

olnych ladunk´

ow, a wie

‘

c

zachodzi dla niego r´

owno´s´

c

IR

3

∇¯Φ · ∇v = 4πΣρ(x

i

)

|Ω

i

|v(x

i

).[abc1]

(2.3)

Je´sli podzial Ω na zbiory Ω

i

jest coraz drobniejszy, to w granicy, gdy ´srednice

Ω

i

da

‘

˙za

‘

do 0, lewa strona (2.3) da

‘

˙zy do

IR

3

∇Φ·∇v, gdzie Φ jest potencjalem

wytworzonym przez rozklad ladunk´

ow z ge

‘

sto´scia

‘

ρ. Prawa strona zbiega

natomiast do 4π

IR

3

ρv. W rezultacie dostajemy to˙zsamo´s´

c

IR

3

∇Φ · ∇v = 4π

IR

3

ρv

spelniona

‘

dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

1

c

(IR

3

).

Zakladaja

‘

c dodatkowo, ˙ze Φ

∈ C

2

(Ω)

∩ C

1

( ¯

Ω), ΔΦ

∈ L

1

(Ω) mamy

IR

3

∇Φ · ∇v = −

IR

3

ΔΦ v = 4π

IR

3

ρv.

Sta

‘

d natychmiast otrzymujemy r´

ownanie

−ΔΦ = 4πρ.[epois]

(2.4)

5

W przypadku, gdy zamiast oddzialywa´

n elektrycznych rozpatrujemy

grawitacyjne, r´

ownanie wia

‘

˙za

‘

ce ge

‘

sto´s´

c rozkladu masy ρ z potencjalem gra-

witacyjnym Φ przez niego wytworzonym ma posta´

c

ΔΦ = 4πρ.[gpois]

(2.5)

R´

ownanie opisuja

‘

ce rozklad temperatury.

Zakladamy, ˙ze w obszarze ograniczonym Ω

⊂ IR

3

rozmieszczone sa

‘

´

zr´

odla

ciepla z ge

‘

sto´scia

‘

ρ, tzn. dla ω

⊂ Ω,

ω

ρ jest ilo´scia

‘

ciepla produkowana

‘

w ω

w jednostce czasu. Na brzegu Ω temperature

‘

zadajemy. Naszym celem jest

wyprowadzenie r´

ownania wia

‘

˙za

‘

cego rozklad temperatury T (x) z ge

‘

sto´scia

‘

ρ.

Wykorzystamy naste

‘

puja

‘

ce, dosy´

c jasne z fizycznego punktu widzenia,

zalo˙zenia:

Z1. Je´sli na brzegu kuli K

R

(x

0

) zadany jest rozklad temperatury T ,

a wewna

‘

trz nie ma ´

zr´

odel ciepla, to temperatura w punkcie x

0

r´

owna jest

´sredniej temperaturze na sferze S

R

(x

0

), T (x

0

) =

1

4πR

2

S

R

(x

0

)

T ,

Z2. Przeplyw ciepla przez powierzchnie

‘

S r´

owny jest κ

S

∂T

∂ν

(prawo

Fouriera), gdzie κ jest dodatnia

‘

stala

‘

.

Dalej, dla prostoty przyjmujemy, ˙ze κ, jak i wszystkie inne stale fizyczne

sa

‘

r´

owne 1.

Definicja 2.1.

Funkcja u, cia

‘

gla na otwartym podzbiorze Ω

⊂ IR

n

, ma

wlasno´s´

c ´sredniej, je´sli dla ka˙zdej sfery S

R

(x)

⊂ Ω, ´srednia warto´s´c u na tej

sferze r´

owna jest warto´sci funkcji u w ´srodku tej sfery,

1

R

n−1

σ

n

S

R

(x)

u = u(x)

(przez σ

n

oznaczyli´smy pole powierzchni sfery jednostkowej w IR

n

).

Lemat 2.1

[2] Je´sli u ma wlasnos´

c ´sredniej, to funkcja u jest gladka i har-

moniczna.

Dow´

od. Oznaczmy przez γ(x) ja

‘

dro wygladzaja

‘

ce, tzn. nieujemna

‘

funkcje

‘

klasy C

∞

(IR

n

), radialnie symetryczna

‘

, o no´sniku zawartym w kuli K

1

(0)

⊂

IR

n

, spelniaja

‘

ca

‘

warunek

IR

n

γ = 1.

Definiujemy γ

ε

(x) = ε

−n

γ(xε

−1

).

Wiadomo [2], ˙ze splot u z γ

ε

, u

ε

(x) := γ

ε

 u(x) =

Ω

u(y)γ

ε

(x

− y) dy

jest funkcja

‘

gladka

‘

na IR

n

. Zal´

o˙zmy, ˙ze x

∈ Ω oraz ε < dist(x, ∂Ω). Latwe

obliczenia prowadza

‘

do naste

‘

puja

‘

cych r´

owno´sci:

u

ε

(x) =

Ω

u(y)γ

ε

(y

− x) dy = ε

−n

|y|<ε

u(x + y)γ(y/ε) dy

6

=

|y|<1

u(x + εy)γ(y) dy =

1

0

r

n−1

dr

S

1

(0)

u(x + εrw)γ(rw) dS

w

=

1

0

γ(r)r

n−1

dr

|w|=1

u(x + εrw) dS

w

= u(x)σ

n

1

0

γ(r)r

n−1

dr = u(x).

W przedostatniej r´

owno´sci wykorzystali´smy wlasno´s´

c ´sredniej funkcji u.

Wykazali´smy, ˙ze u(x) = u

ε

(x) na Ω

ε

:=

{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}, a

wie

‘

c u jest gladka na Ω. Jej harmoniczno´s´

c wynika z r´

owno´sci

K

r

(x)

Δu = r

n−1

∂

∂r

|w|=1

u(x + rw) dS

w

= r

n−1

∂

∂r

(σ

n

u(x)) = 0,

spelnionej na ka˙zdej kuli K

r

(x) zawartej w Ω.

2

Zakladamy, ˙ze w punkcie ¯

x

∈ Ω znajduje sie

‘

´

zr´

odlo ciepla o wydajno´sci

q, a na brzegu ∂Ω temperatura jest zadana. Interesuje nas temperatura
T

¯x

(x) w dowolnym punkcie x

∈ Ω.

Zgodnie z zalo˙zeniem Z2

|x−¯x|=r

∂T

¯

x

(x)

∂ν

=

−q. Mo˙zemy te˙z zalo˙zy´c, ˙ze w

otoczeniu punktu ¯

x funkcja T

¯x

jest ”prawie ” radialnie symetryczna, a wie

‘

c

−

|x−¯x|=r

∂T

¯x

(x)

∂ν

= q

≈ −4πr

2

T

¯x

(r).

Wynika sta

‘

d, ˙ze w rozwa˙zanym otoczeniu, T

¯x

(x)

≈

q

4π|x−¯x|

. Z zalo˙zenia Z1

wnioskujemy ˙ze, poza punktem ¯

x funkcja T

¯x

(x) ma wlasno´s´

c ´sredniej, a wie

‘

c

jest harmoniczna.

Rozumuja

‘

c podobnie jak przy wyprowadzaniu r´

ownania wia

‘

˙za

‘

cego ge

‘

sto´s´

c

ladunk´

ow elektrycznych z potencjalem przez nia

‘

wytworzonym, dla ka˙zdej

funkcji v

∈ C

1

c

(Ω) dostajemy

Ω

∇T

¯x

(x)

· ∇v = qv(¯x).

Sta

‘

d, dla cia

‘

glego rozkladu ρ ´

zr´

odel ciepla,

Ω

∇T (x) · ∇v =

Ω

ρv dla ka˙zdej funkcji

v

∈ C

1

c

(Ω).

Je´sli T

∈ C

2

(Ω)

∩C

1

( ¯

Ω), ΔT

∈ L

1

(Ω), to oczywi´scie z ostatniej to˙zsamo´sci

otrzymujemy r´

ownanie

−ΔT = ρ.[7x]

(2.6)

Je´sli na wste

‘

pie naszych rozwa˙za´

n zalo˙zymy dwukrotna

‘

r´

o˙zniczkowalno´s´

c

T , to r´

ownanie (2.6) dostaniemy w prostszy spos´

ob. Wystarczy zauwa˙zy´

c,

˙ze dla dowolnego ω

⊂ Ω przeplyw ciepla przez ∂ω r´owny jest ilo´sci wytwor-

zonego w nim ciepla, a wie

‘

c

ω

ρ =

−

∂ω

∂T

∂ν

=

−

ω

ΔT,

7

sta

‘

d wobec dowolno´sci ω wynika (2.6).

W przedstawionych modelach funkcja u opisuja

‘

ca zjawisko fizyczne spelniala

to˙zsamo´s´

c calkowa

‘

∇u · ∇v =

f v, [a]

(2.7)

a przy dodatkowym zalo˙zeniu o regularno´sci u, r´

ownanie

−Δu = f.[b]

(2.8)

Udowodnienie istnienia funkcji u spelniaja

‘

cej to˙zsamo´s´

c (2.7) jest na og´

ol

latwiejsze od wykazania istnienia rozwia

‘

zania r´

ownania (2.8). Przyczyna

le˙zy w tym, ˙ze w pierwszym przypadku mo˙zemy wybra´

c wie

‘

ksza

‘

przestrze´

n,

w kt´

orej szukamy rozwia

‘

za´

n.

Zagadnienie (1.1), (1.2) be

‘

dziemy rozpatrywa´

c na otwartym, ograni-

czonym podzbiorze Ω

⊂ IR

n

.

Definicja 2.2.

Funkcje

‘

u

∈ C

0

( ¯

Ω)

∩ C

2

(Ω) nazywamy klasycznym

rozwia

‘

zaniem zagadnienia (1.1), (1.2), je´sli u spelnia r´

ownanie (1.1) i warunek

brzegowy (1.2).

Poni˙zszy przyklad wskazuje, ˙ze (1.1), (1.2) nie zawsze ma rozwia

‘

zanie

klasyczne, nawet przy dosy´

c mocnych zalo˙zeniach o f .

Przyklad 2.1. [4], [7] Rozpatrujemy r´

ownanie Poissona w kole K =

{x =

(x

1

, x

2

)

∈ IR

2

:

|x| < R < 1} postaci

−Δu =

x

2

1

− x

2

2

2

|x|

2

4

(

− ln |x|)

1/2

+

1

(2(

− ln |x|))

3/2

=: f (x

1

, x

2

).[p1]

(2.9)

Przyjmuja

‘

c 0 jako warto´s´

c prawej strony w (0, 0), f staje sie

‘

funkcja

‘

cia

‘

gla

‘

na K. Latwo sprawdzi´

c, ˙ze h(x

1

, x

2

) = (x

2

1

−x

2

2

)(

− ln |x|)

1/2

jest rozwia

‘

zaniem

(2.9) w K

\ (0, 0), pierwsze pochodne cza

‘

stkowe h sa

‘

ograniczone w K oraz

h

x

1

x

1

(x

1

, x

2

) da

‘

˙zy do

∞, gdy (x

1

, x

2

)

→ (0, 0).

Udowodnimy, ˙ze (2.9) nie ma rozwia

‘

za´

n klasycznych. Zal´

o˙zmy, ˙ze takie

rozwia

‘

zanie u istnieje. Wtedy w = u

− h jest funkcja

‘

harmoniczna

‘

w K

\

(0, 0) i ograniczona

‘

. Definiujemy

p(x) :=

γ

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

,

gdzie γ jest dowolna

‘

krzywa

‘

la

‘

cza

‘

ca

‘

ustalony punkt x

0

z x. Zauwa˙zmy, ˙ze

funkcja p jest dobrze okre´slona, tzn. p(x) nie zale˙zy od drogi calkowania.
Istotnie, je´sli krzywe γ

1

i γ

2

la

‘

cza

‘

te same punkty i γ

1

∪ γ

2

ogranicza obszar

Ω

1

nie zawieraja

‘

cy we wne

‘

trzu (0, 0), to poniewa˙z w Ω

1

w jest harmoniczna,

mamy

γ

1

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

=

γ

2

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

.[p2]

(2.10)

8

Je´sli (0, 0)

∈ Ω

1

, to calka po krzywej zamknie

‘

tej zlo˙zonej z γ

1

, γ

2

, okre

‘

gu

S

ε

o promieniu ε i ´srodku (0, 0) zawartego w Ω

1

oraz odcinka la

‘

cza

‘

cego S

ε

z γ

1

obieganego dwa razy w przeciwnych kierunkach, jest r´

owna 0. Sta

‘

d

γ

1

∪γ

2

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

=

S

ε

−w

x

2

dx

1

+ w

x

1

dx

2

. Pierwsze pochodne cza

‘

-

stkowe w sa

‘

ograniczone, a wie

‘

c prawa strona ostatniej r´

owno´sci da

‘

˙zy do 0,

gdy ε

→ 0. Pocia

‘

ga to r´

owno´s´

c (2.10).

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy punkt (0, 0) le˙zy na γ

1

ba

‘

d´

z

γ

2

. Zauwa˙zmy, ˙ze dzie

‘

ki ograniczono´sci pierwszych pochodnych cza

‘

stkowych

funkcji w, male zmiany krzywej γ daja

‘

male zmiany calki

γ

−w

x

2

dx

1

+

w

x

1

dx

2

. Je´sli r´

owno´s´

c (2.10) spelniona jest dla wszystkich krzywych γ

1

, γ

2

nie przechodza

‘

cych przez (0, 0), to zachodzi te˙z dla dowolnych krzywych.

Latwo zauwa˙zy´

c, ˙ze p jest funkcja

‘

sprze

‘

˙zona

‘

do w, tzn. w + ip jest harmon-

iczna w Ω

\ (0, 0) i ograniczona. Mo˙zna wie

‘

c okre´sli´

c ja

‘

w (0, 0), tak aby

byla analityczna na calym Ω, a wie

‘

c w bylaby harmoniczna w Ω. Przeczy

to nieograniczono´sci jej pochodnych w

x

1

x

1

.

2

Dalej wr´

ocimy do problemu zalo˙ze´

n o funkcji f gwarantuja

‘

cych istnienie

rozwia

‘

za´

n klasycznych.

3. Slabe pochodne i przestrzenie funkcyjne.
Niech u : Ω

→ IR, α = (α

1

, ..., α

n

), α

i

∈ IN i |α| = α

1

+ ... + α

n

. Oz-

naczmy D

α

i

u :=

∂

αi

u

∂x

αi

i

i D

α

u := D

α

1

...D

α

n

u. Zakladamy, ˙ze u

∈ C

k

( ¯

Ω), tzn.

w Ω istnieja

‘

pochodne D

α

u,

|α| ≤ k i przedlu˙zaja

‘

sie

‘

do funkcji cia

‘

glych na

¯

Ω. C

k

( ¯

Ω) jest przestrzenia

‘

Banacha z norma

‘

|u|

C

k

= Σ

|α|≤k

sup

x∈Ω

|D

α

u(x)

|.

Je´sli u

∈ C

1

(Ω) i v jest funkcja

‘

o no´sniku zwartym zawartym w Ω,

v

∈ C

1

c

(Ω), to z (1.3) dostajemy

Ω

uv

x

i

=

−

Ω

u

x

i

v.[prt]

(3.1)

R´

owno´s´

c (3.1) spelniona dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

1

c

(Ω) wyznacza jednozna-

cznie u

x

i

. Fakt ten jest punktem wyj´scia do definicji slabej pochodnej.

Niech u

∈ L

2

loc

(Ω), tzn. u jest calkowalna z kwadratem na ka˙zdym

zwartym podzbiorze Ω.

Definicja 3.1.

Funkcje

‘

u

α

∈ L

2

loc

(Ω) nazywamy slaba

‘

pochodna

‘

rze

‘

du α

funkcji u, je´sli dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

∞

c

(Ω)

Ω

uD

α

v = (

−1)

|α|

Ω

u

α

v.[prt2]

(3.2)

Slabe pochodne oznaczamy takim samym symbolem jak pochodne w

klasycznym sensie. Z kontekstu be

‘

dzie wynika´

c jakie pochodne mamy na

9

my´sli. Nietrudno wykaza´

c, ˙ze slaba pochodna D

α

u jest wyznaczona jednoz-

nacznie, nie zale˙zy od kolejno´sci r´

o˙zniczkowania, a dla funkcji r´

o˙zniczkowalnych

w klasycznym sensie jest identyczna z klasyczna

‘

pochodna

‘

. Przypomnijmy

te˙z, ˙ze slaba pochodna, jako element L

2

loc

(Ω), jest okre´slona prawie wsze

‘

dzie.

Przyklad 3.1. Wyka˙zemy, ˙ze funkcja u(x) =

|x| na (−1, 1) ma slaba

‘

pochodna

‘

u

(x) = 1 dla x > 0 i u

(x) =

−1 dla x < 0. Istotnie, dla dowolnej funkcji

v

∈ C

∞

c

((

−1, 1))

1

−1

uv

=

−

0

−1

xv

(x) dx +

1

0

xv

(x) dx =

−

1

−1

u

v.

2

Przyklad 3.2.

Funkcja u(x) =

x

|x|

na (

−1, 1) nie ma slabej pochodnej.

Zal´

o˙zmy, ˙ze taka pochodna u

istnieje. Wtedy dla dowolnej funkcji v

∈

C

∞

c

((

−1, 1)),

1

−1

u

v =

−

1

−1

uv

=

0

−1

v

−

1

0

v

= 2v(0). Wynika sta

‘

d,

˙ze dla v

∈ C

∞

c

((0, 1)),

1

0

u

v = 0, a wie

‘

c u

(x) = 0 dla x > 0. Podobnie

uzasadniamy, ˙ze u

(x) = 0 dla x < 0. W rezultacie dostajemy, ˙ze u

≡ 0.

Przeczy to r´

owno´sci

1

−1

u

v = 2v(0), je´sli tylko v(0)

= 0.

2

Naste

‘

pny przyklad pokazuje, ˙ze istnieja

‘

funkcje maja

‘

ce slabe pochodne

drugiego rze

‘

du, a nie posiadaja

‘

ce slabych pierwszych pochodnych. Oczywi´scie

tak nie mo˙ze sie

‘

zdarzy´

c, je´sli pochodne rozumiemy w klasycznym sensie.

Przyklad 3.3. Rozpatrzmy w kole jednostkowym K

1

(0) = Ω

⊂ IR

2

funkcje

‘

u(x

1

, x

2

) =

x

1

|x

1

|

+

x

2

|x

2

|

. Z poprzedniego przykladu wynika, ˙ze nie istnieja

‘

pochodne u

x

i

. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze istnieje pochodna u

x

1

x

2

. Je´sli bowiem

v

∈ C

∞

c

(Ω), to

Ω

v

x

1

x

2

u =

Ω

v

x

1

x

2

x

1

|x

1

|

+

Ω

v

x

1

x

2

x

2

|x

2

|

=

−

Ω∩{x

1

<0}

v

x

1

x

2

+

Ω∩{x

1

>0}

v

x

1

x

2

−

Ω∩{x

2

<0}

v

x

1

x

2

+

Ω∩{x

2

>0}

v

x

1

x

2

= 0.

Wynika sta

‘

d, ˙ze u

x

1

x

2

≡ 0.

2

Niech γ be

‘

dzie ja

‘

drem wygladzaja

‘

cym. W dalszej cze

‘

´sci be

‘

dziemy wyko-

rzystywa´

c naste

‘

puja

‘

ce fakty [2], [7]:

P1. Je´sli u

∈ C

k

(Ω), to u

ε

(x) :=

Ω

u(y)γ

ε

(x

− y) dy jest klasy C

∞

(IR

n

)

oraz dla ka˙zdego podzbioru zwartego Ω

⊂⊂ Ω, |u

ε

− u|

C

k

(Ω

)

→ 0, gdy

ε

→ 0.

P2. Je´sli u

∈ L

2

(Ω), to u

ε

∈ C

∞

(IR

n

) i

|u

ε

− u|

L

2

(Ω)

→ 0, gdy ε → 0.

P3. Je´sli u ma zwarty no´snik, to r´

ownie˙z u

ε

ma no´snik zwarty.

10

P4. Operacja brania splotu z ja

‘

drem wygladzaja

‘

cym jest przemienna z

r´

o˙zniczkowaniem

D

α

u

ε

= (D

α

u)

ε

[roz]

(3.3)

oraz

|D

α

u

ε

− D

α

u

|

L

2

(Ω

)

→ 0, [roz2]

(3.4)

gdy ε

→ 0 i Ω

⊂⊂ Ω.

Uwaga 3.1.

Je´sli pierwsze pochodne cza

‘

stkowe sa

‘

r´

owne 0, u

x

k

= 0, to

u jest funkcja

‘

stala

‘

. Istotnie, na mocy (3.3) (u

ε

)

x

k

= (u

x

k

)

ε

= 0; wynika

sta

‘

d, ˙ze u

ε

jest funkcja

‘

stala

‘

, u

ε

(x) = c(ε). Korzystaja

‘

c z (3.4) dostajemy

|c(ε

1

)

− c(ε

2

)

|

L

2

(Ω

)

=

|c(ε

1

)

− c(ε

2

)

|

|Ω

| → 0, gdy ε

1

, ε

2

→ 0. Oznacza to,

˙ze u

ε

da

‘

˙zy do stalej, a wie

‘

c u

≡ Const.

Pochodne w sensie klasycznym definiujemy za pomoca

‘

iloraz´

ow r´

o˙znicowych.

Poni˙zej wyka˙zemy, ˙ze w podobny spos´

ob mo˙zna zdefiniowa´

c slabe pochodne,

je´sli granice iloraz´

ow r´

o˙znicowych rozumiemy w sensie zbie˙zno´sci w L

2

. Oz-

naczmy

D

k

h

u =

1

h

(u(x

1

, ..., x

k

+ h, ..., x

n

)

− u(x

1

, ..., x

n

)).

(3.5)

Prosty rachunek pokazuje, ˙ze je´sli u

∈ L

2

(Ω) jest funkcja

‘

o no´sniku zwartym,

u

∈ L

2

c

(Ω), v

∈ L

2

(Ω) i h jest dostatecznie male, to dla iloraz´

ow r´

o˙znicowych

prawdziwy jest odpowiednik wzoru na calkowanie przez cze

‘

´sci

(D

k

h

u, v)

L

2

(Ω)

=

−(u, D

k

−h

v)

L

2

(Ω)

, [czesc]

(3.6)

gdzie (

·, ·)

L

2

(Ω)

oznacza iloczyn skalarny w L

2

.

Twierdzenie 3.1

Zakladamy, ˙ze u

∈ L

2

c

(Ω).

a. Je´sli istnieje slaba pochodna u

x

k

, to dla dostatecznie malych h

|D

k

h

u

|

L

2

(Ω)

≤ |u

x

k

|

L

2

(Ω)

, [nx1]

(3.7)

|D

k

h

u

− u

x

k

|

L

2

(Ω)

→ 0, gdy h → 0.[nx2]

(3.8)

b. Je´sli istnieje taka stala C > 0, ˙ze dla dostatecznie malych h,

|D

k

h

u

|

L

2

(Ω)

≤

C, to istnieje slaba pochodna u

x

k

i

|u

x

k

|

L

2

(Ω)

≤ C.

Dow´

od. Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ C

1

c

(Ω) i k = n. Wtedy

D

n

h

u =

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

dξ

n

,

gdzie x

= (x

1

, ..., x

n−1

). Sta

‘

d

|D

n

h

u

|

2

=

1

h

2

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

dξ

n

2

≤

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

dξ

n

.

11

Calkuja

‘

c te

‘

nier´

owno´s´

c wzgle

‘

dem x

n

, mamy

+∞

−∞

|D

n

h

u

|

2

dx

n

≤

1

h

+∞

−∞

dx

n

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

dξ

n

≤

1

h

+∞

−∞

dx

n

h

0

∂u(x

, ¯

ξ

n

+ x

n

)

∂ξ

n

2

d ¯

ξ

n

≤

1

h

h

0

d ¯

ξ

n

+∞

−∞

dx

n

∂u(x

, ¯

ξ

n

+ x

n

)

∂ξ

n

2

=

+∞

−∞

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

dξ

n

.

Calkuja

‘

c teraz wzgle

‘

dem x

∈ IR

n−1

otrzymujemy (3.7) dla u

∈ C

1

c

(Ω).

Je´sli funkcja u

∈ L

2

c

(Ω), to wygladzamy ja

‘

, splataja

‘

c z ja

‘

drem wygladzaja

‘

cym

Otrzymujemy funkcje

‘

u

ε

∈ C

1

c

(Ω) , dla kt´

orej zachodzi nier´

owno´s´

c

|D

n

h

u

ε

|

L

2

(Ω)

≤ |(u

ε

)

x

n

|

L

2

(Ω)

=

|(u

x

n

)

ε

|

L

2

(Ω)

.

Przechodza

‘

c z ε

→ 0 i korzystaja

‘

c z (3.4) dostajemy (3.7) dla u

∈ L

2

c

(Ω).

Aby wykaza´

c (3.8), rozumuja

‘

c jak w dowodzie (3.7), mo˙zemy ograniczy´

c

sie

‘

do u

∈ C

1

c

(Ω). Zauwa˙zmy, ˙ze

|D

n

h

u(x)

− u

x

n

(x)

| =

1

h

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

−

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

dξ

n

.

Sta

‘

d

+∞

−∞

(D

n

h

u(x)

−u

x

n

(x))

2

dx

n

≤

1

h

+∞

−∞

dx

n

x

n

+h

x

n

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

−

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

dξ

1

h

h

0

dξ

+∞

−∞

∂u(x

, x

n

+ ξ)

∂x

n

−

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

dx

n

.

Calkuja

‘

c te

‘

nier´

owno´s´

c wzgle

‘

dem x

∈ IR

n−1

, dostajemy

|D

n

h

u

− u

x

n

|

2

L

2

≤

1

h

h

0

dξ

Ω

∂u(x

, x

n

+ ξ)

∂x

n

−

∂u(x

, x

n

)

∂x

n

2

dx.

Calka

Ω

∂u(x

,x

n

+ξ)

∂x

n

−

∂u(x

,x

n

)

∂x

n

2

dx da

‘

˙zy do 0, gdy h

→ 0, a wie

‘

c D

n

h

u

→

u

x

n

w L

2

. Wykorzystali´smy naste

‘

puja

‘

cy fakt: je´sli w

∈ L

2

c

(Ω), to

Ω

(w(x +

h)

− w(x))

2

→ 0, gdy h → 0.

Przejd´

zmy do dowodu punktu (b). Z zalo˙ze´

n wynika, ˙ze rodzina funkcji

D

k

h

u jest slabo zwarta w L

2

. Mo˙zna wie

‘

c wybra´

c z niej podcia

‘

g slabo zbie˙zny

D

k

h

m

u

→ ω i |ω|

L

2

≤ C. Korzystaja

‘

c z (3.6) mamy (D

k

h

m

u, v)

L

2

(Ω)

=

−(u, D

k

−h

m

v)

L

2

(Ω)

dla ka˙zdej funkcji v

∈ C

∞

0

(Ω).

Przechodza

‘

c z m do

niesko´

nczono´sci dostajemy (ω, v)

L

2

(Ω)

=

−(u, v

x

k

)

L

2

(Ω)

, co oznacza, ˙ze u

x

k

=

ω.

12

2

Przestrzenie

H

k

(Ω).

Oznaczmy przez H

k

loc

(Ω) podzbi´

or L

2

loc

(Ω) zlo˙zony z funkcji maja

‘

cych

slabe pochodne do rze

‘

du k wla

‘

cznie. Zbi´

or H

k

(Ω)

⊂ H

k

loc

(Ω) sklada sie

‘

z funkcji, kt´

orych slabe pochodne do rze

‘

du k wla

‘

cznie nale˙za

‘

do L

2

(Ω).

H

k

(Ω) jest przestrzenia

‘

Hilberta z iloczynem skalarnym

(u, v)

H

k

(Ω)

= Σ

|α|≤k

Ω

D

α

uD

α

v.

Wymie´

nmy kilka podstawowych wlasno´sci przestrzeni H

k

(Ω):

H1. Je´sli u

∈ H

k

(Ω) i v

∈ C

k

( ¯

Ω), to vu

∈ H

k

(Ω).

H2. Dla ka˙zdego Ω

⊂⊂ Ω, u

ε

→ u w H

k

(Ω

), gdy ε

→ 0.

H3. Je´sli Ω

⊂⊂ Ω

, ∂Ω

∈ C

k

, k

≥ 1, to dla ka˙zdej funkcji u ∈ H

k

(Ω)

(C

k

(Ω)) istnieje taka funkcja U

∈ H

k

(Ω

), (U

∈ C

k

(Ω

) o no´sniku zwartym,

˙ze U

|

Ω

= u i

|U|

H

k

(Ω

)

≤ C|u|

H

k

(Ω)

, (

|U|

C

k

(Ω

)

≤ C|u|

C

k

(Ω)

), gdzie stala C

zale˙zy tylko od Ω i Ω

.

H4. Je´sli ∂Ω

∈ C

k

, to zbi´

or C

∞

( ¯

Ω) jest ge

‘

sty w H

k

(Ω).

Dalej korzysta´

c be

‘

dziemy z wlasno´sci przedlu˙zania funkcji ϕ

∈ C

k

(∂Ω)

do funkcji okre´slonej na ¯

Ω.

H5. Przy zalo˙zeniach ∂Ω

∈ C

k

, k

≥ 1, ϕ ∈ C

k

(∂Ω), istnieje taka funkcja

u

∈ C

k

( ¯

Ω), ˙ze u

|

∂Ω

= ϕ i

|u|

C

k

(¯Ω)

≤ C|ϕ|

C

k

(∂Ω)

. Stala C zale˙zy tylko od Ω.

´

Slad funkcji.
Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ C

1

( ¯

Ω), ∂Ω

∈ C

1

i S jest kawalkiem brzegu ∂Ω be

‘

da

‘

cym

wykresem funkcji x

n

= Φ(x

1

, ..., x

n−1

). Z wlasno´sci H3 wynika, ˙ze mo˙zna

przedlu˙zy´

c u na pewien prostopadlo´scian Ω

=

{x : 0 ≤ x

i

≤ a}, Ω ⊂⊂ Ω

i przedlu˙zenie to , oznaczamy je przez u, ma no´snik zwarty w Ω

. Dla x

∈ S

mamy

u(x) = u(x

, Φ(x

)) =

Φ(x

)

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

dξ

n

.

Sta

‘

d

(

|u(x)|

S

)

2

≤ |Φ(x

)

|

Φ(x

)

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

dξ

n

≤ a

a

0

∂u(x

, ξ

n

)

∂ξ

n

2

dξ

n

.

Mno˙za

‘

c te

‘

nier´

owno´s´

c przez

1 + Φ

2

x

1

+ ...Φ

2

x

n−1

i calkuja

‘

c po dziedzinie D

funkcji Φ, dostajemy

|u|

2

L

2

(S)

≤ C

2

|u|

2

H

1

(Ω)

,

a wie

‘

c dla dowolnej funkcji u

∈ C

1

( ¯

Ω)

|u|

L

2

(∂Ω)

≤ C|u|

H

1

(Ω)

.[nnx]

(3.9)

13

Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ H

1

(Ω). Z wlasno´sci H4 wynika istnienie takiego cia

‘

gu

u

n

∈ C

∞

( ¯

Ω), ˙ze u

n

→ u w H

1

(Ω). Z (3.9) otrzymujemy nier´

owno´s´

c

|u

n

− u

m

|

L

2

(∂Ω)

≤ C|u

n

− u

m

|

H

1

(Ω)

.

Cia

‘

g u

n

na ∂Ω jest wie

‘

c fundamentalny w L

2

(∂Ω), a tym samym zbie˙zny w

tej przestrzeni, u

n

→ ˜u. Funkcje

‘

˜

u

∈ L

2

(∂Ω) nazywamy ´sladem funkcji u

na ∂Ω. Nietrudno wykaza´

c, ˙ze ˜

u jest dobrze okre´slona, tzn. nie zale˙zy od

wyboru cia

‘

gu u

n

. Dla funkcji u

∈ C

1

( ¯

Ω) ´slad funkcji jest jej obcie

‘

ciem do

∂Ω.

Oznaczmy przez H

1

0

(Ω) funkcje z H

1

(Ω) o ´sladzie r´

ownym 0. Dalej

wykorzystamy fakt, ˙ze H

1

0

(Ω) jest domknie

‘

ciem zbioru C

∞

c

(Ω) w topologii

H

1

.

Zgodnie z definicja

‘

, iloczyn skalarny w H

1

0

(Ω) zadany jest wzorem

(u, v)

H

1

(Ω)

=

Ω

uv +

Ω

∇u · ∇v.

Z nier´

owno´sci Poincar´

ego [2], [3]

|u|

2

L

2

(Ω)

≤ C

Ω

|∇u|

2

, prawdziwej dla

dowolnej funkcji u

∈ H

1

0

(Ω), wynika, ˙ze jest on r´

ownowa˙zny z iloczynem

(u, v)

H

1

(Ω)

=

Ω

∇u · ∇v,

kt´

ory bywa wygodniejszy w u˙zyciu.

Wyka˙zemy, ˙ze wz´

or na calkowanie przez cze

‘

´sci,

Ω

u

x

i

v =

∂Ω

uvν

i

−

Ω

uv

x

i

, [calk]

(3.10)

prawdziwy dla funkcji u, v

∈ C

1

( ¯

Ω), przenosi sie

‘

na funkcje z H

1

(Ω), je´sli

warto´sci u i v na ∂Ω rozumiemy w sensie ich ´sladu.

W tym celu funkcje u, v aproksymujemy, w sensie H

1

, funkcjami u

n

, v

n

∈

C

1

( ¯

Ω). Z definicji ´sladu wynika, ˙ze obcie

‘

cia u

n

i v

n

do ∂Ω sa

‘

zbie˙zne w

L

2

(∂Ω) do ´slad´

ow funkcji u i v. Wystarczy teraz podstawi´

c we wzorze

(3.10) u = u

n

, v = v

n

i przej´s´

c z n do

∞.

Podobnie argumentuja

‘

c mo˙zna wykaza´

c, ˙ze je´sli v

∈ H

1

(Ω), u

i

∈ H

1

(Ω),

−

→

u = (u

1

, ..., u

n

), to

Ω

v div−

→

u =

∂Ω

v(−

→

u

· ν) −

Ω

−

→

u

· ∇v.[gree]

(3.11)

Regularno´

s´

c funkcji z

H

k

(Ω).

Uzasadnimy, ˙ze funkcje z H

k

loc

(Ω), je´sli tylko k jest dostatecznie du˙ze, sa

‘

funkcjami r´

o˙zniczkowalnymi w klasycznym sensie. Dokladniej, prawdziwe

jest naste

‘

puja

‘

ce zawieranie

14

Twierdzenie 3.2 [locglad]

H

l+1+[n/2]

loc

(Ω)

⊂ C

l

(Ω).[gladkosc]

(3.12)

Dow´

od. Dow´

od przeprowadzimy dla n = 2. W wy˙zszym wymiarze jego idea

jest taka sama, ale rachunki bardziej skomplikowane.

Zacznijmy od przypomnienia definicji rozwia

‘

zania fundamentalnego E

n

(x)

operatora Laplace’a. Dla n > 2, E

n

(x) =

−

1

(n−2)σ

n

|x|

n−2

, E

2

(x) =

−

1

2π

log

1

|x|

.

Poni˙zszy wz´

or [5], [7], [9], kt´

orego dow´

od pomijamy, pozwala wyrazi´

c

warto´s´

c funkcji u

∈ C

2

( ¯

Ω) w dowolnym punkcie x

∈ Ω za pomoca

‘

laplasjanu

tej funkcji oraz jej warto´sci i pochodnych na brzegu,

u(x) =

Ω

E

n

(x

−y)Δu(y) dy+

∂Ω

u(y)

∂E

n

(x

− y)

∂ν

y

dS

y

−

∂Ω

∂u

∂ν

y

E

n

(x

−y) dS

y

.[w

(3.13)

Pierwsza

‘

calke

‘

brzegowa

‘

w (3.13) nazywamy potencjalem warstwy podw´

ojnej

a druga

‘

potencjalem warstwy pojedynczej. Dalej korzysta´

c be

‘

dziemy z tego,

˙ze potencjaly te jako funkcje zmiennej x sa

‘

funkcjami harmonicznymi na

IR

n

\ ∂Ω.

W szczeg´

olno´sci z (3.13) wynika, ˙ze dla u

∈ C

2

c

(Ω) i n = 2

u(x) =

1

2π

Ω

log

|x − y|Δu(y) dy.[wzor1]

(3.14)

Sta

‘

d

|u(x)| ≤

1

2π

Ω

(Δu(y))

2

dy

1/2

Ω

(log

|x − y|)

2

dy

1/2

≤ C|u|

H

2

(Ω)

,

gdzie C = sup

x∈Ω

{

1

2π

(

Ω

(log

|x − y|)

2

dy)

1/2

}.

Wykazali´smy, ˙ze

|u|

C

0

(Ω)

≤ C|u|

H

2

(Ω)

, [nx3]

(3.15)

a stala C zale˙zy tylko od obszaru Ω.

Je´sli u

∈ C

l+2

c

(Ω), l > 0, to z (3.15) wynika, ˙ze dla ka˙zdego α,

|α| < l,

zachodza

‘

nier´

owno´sci

|D

α

u

|

C

0

(Ω)

≤ C|D

α

u

|

H

2

(Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

, a wie

‘

c

|u|

C

l

(Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

.[nn]

(3.16)

Dla u

∈ H

l+2

c

(Ω), na mocy wlasno´sci H4 i P3, istnieje cia

‘

g u

m

∈ C

l+2

c

(Ω)

zbie˙zny do u w H

l+2

, i ponadto z (3.16) dostajemy

|u

m

− u

k

|

C

l

(Ω)

≤ C|u

m

− u

k

|

H

l+2

(Ω)

.

Prawa strona powy˙zszej nier´

owno´sci zbiega do 0, gdy m, k

→ ∞, a wie

‘

c

u

m

jest cia

‘

giem fundamentalnym w C

l

( ¯

Ω). Sta

‘

d u

m

jest zbie˙zny w C

l

( ¯

Ω)

15

do pewnej funkcji u. Wykazali´smy w ten spos´

ob, ˙ze je´sli u

∈ H

l+2

c

(Ω), to

u

∈ C

l

( ¯

Ω) i

|u|

C

l

(¯Ω)

≤ C|u|

H

l+2

(Ω)

.

Zal´

o˙zmy, ˙ze u

∈ H

l+2

loc

(Ω) i ˜

Ω

⊂⊂ Ω. Je´sli ξ ∈ C

∞

c

(Ω), ξ

|

˜Ω

= 1, to

ξu

∈ H

l+2

c

(Ω) i ξu = u na ˜

Ω, a wie

‘

c ξu

∈ C

l

(Ω). Tym samym u

∈ C

l

(Ω).

2

Przy odpowiednich zalo˙zeniach o regularno´sci ∂Ω mo˙zemy Twierdzenie

(3.2) wzmocni´

c.

Twierdzenie 3.3 [globglad]

Je´sli ∂Ω

∈ C

l+1+[

n

2

]

, to H

l+1+[

n

2

]

(Ω)

⊂ C

l

( ¯

Ω).

Dow´

od. Z H3 wynika, ˙ze funkcje

‘

u

∈ H

l+1+[

n

2

]

(Ω) mo˙zna przedlu˙zy´

c do

funkcji U

∈ H

l+1+[

n

2

]

c

( ˜

Ω), Ω

⊂⊂ ˜Ω i |U|

H

l+1+[ n

2 ]

(˜Ω)

≤ C|u|

H

l+1+[ n

2 ]

(Ω)

. Sta

‘

d i

Twierdzenia 3.2: U

∈ C

l

( ˜

Ω), a wie

‘

c u

∈ C

l

( ¯

Ω) i

|u|

C

l

(¯Ω)

≤ C|u|

H

l+1+[ n

2 ]

(Ω)

.

2

4. Istnienie, jednoznaczno´

s´

c i regularno´

s´

c slabych rozwia

‘

za´

n.

Rozpatrujemy zagadnienie brzegowe

−Δu = f, [s1]

(4.1)

u

|

∂Ω

= ϕ.[s2]

(4.2)

Zakladamy, ˙ze f

∈ L

2

(Ω) i ϕ

∈ L

2

(∂Ω).

Funkcje

‘

u

∈ H

1

(Ω) nazywamy slabym rozwia

‘

zaniem r´

ownania (4.1), gdy

dla ka˙zdej funkcji v

∈ H

1

0

(Ω) spelniona jest to˙zsamo´s´

c:

Ω

∇u · ∇v =

Ω

f v.[s3]

(4.3)

Je´sli dodatkowo u = ϕ na ∂Ω (w sensie ´sladu), to u nazywamy slabym
rozwia

‘

zaniem (4.1), (4.2).

Przypomnijmy, ˙ze u

∈ C

2

(Ω)

∩ C

0

( ¯

Ω) nazywamy rozwia

‘

zaniem klasy-

cznym zagadnienia (4.1), (4.2), je´sli u spelnia r´

ownanie (4.1) i warunek brze-

gowy (4.2). Nie wymagamy aby

∇u ∈ L

2

(Ω), a wie

‘

c rozwia

‘

zanie klasyczne

nie musi by´

c rozwia

‘

zaniem slabym. Oczywi´scie jest nim, je´sli dodatkowo

u

∈ C

1

( ¯

Ω).

Twierdzenie 4.1

Je´sli f

∈ L

2

(Ω) i ϕ

≡ 0, to zagadnienie (4.1), (4.2) ma

dokladnie jedno slabe rozwia

‘

zanie.

Dow´

od. Funkcja f zadaje na H

1

0

(Ω) funkcjonal liniowy v

→ (f, v)

L

2

(Ω)

. Jego

cia

‘

glo´s´

c wynika z oszacowa´

n :

|(f, v)

L

2

(Ω)

| ≤ |f|

L

2

(Ω)

|v|

L

2

(Ω)

≤ C|f|

L

2

(Ω)

|v|

H

1

0

(Ω)

.

16

Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden element u

∈ H

1

0

(Ω)

spelniaja

‘

cy warunek (u, v)

H

1

0

(Ω)

=

Ω

∇u · ∇v = (f, v)

L

2

(Ω)

, a tym samym u

jest jedynym rozwia

‘

zaniem (4.1) z zerowym warunkiem na brzegu.

2

Rozpatrzmy przypadek, gdy ϕ jest dowolnym elementem L

2

(∂Ω). Z

definicji slabego rozwia

‘

zania u wynika, ˙ze ϕ = u na ∂Ω w sensie ´sladu, a wie

‘

c

warunek brzegowy ϕ winien by´

c ´sladem pewnej funkcji. Je´sli ϕ

∈ C

1

(∂Ω),

to na mocy H5 ϕ jest ´sladem funkcji Φ

∈ C

1

( ¯

Ω). Podkre´slmy, ˙ze cia

‘

glo´s´

c

ϕ nie jest warunkiem wystarczaja

‘

cym, aby byla ona ´sladem pewnej funkcji

z H

1

(Ω). Istnieje przyklad funkcji cia

‘

glej na okre

‘

gu, kt´

ora nie jest ´sladem

˙zadnej funkcji z H

1

(K(0, 1)) [3].

Zal´

o˙zmy, ˙ze istnieje Φ

∈ H

1

(Ω), kt´

orej ´sladem jest ϕ. Wprowad´

zmy

funkcje

‘

niewiadoma

‘

˜

u = u

− Φ.

Je´sli ∂Ω

∈ C

2

, ϕ

∈ C

2

(∂Ω), to Φ

∈ C

2

( ¯

Ω) i ˜

u spelnia

−Δ˜u = f + ΔΦ, ˜u|

∂Ω

= 0.[tilde]

(4.4)

Z poprzednich rozwa˙za´

n wnioskujemy istnienie jedynego rozwia

‘

zania ˜

u za-

gadnienia (4.4).

Przejd´

zmy do przypadku og´

olnego: zakladamy, ˙ze Φ

∈ H

1

(Ω) i szukamy

funkcji ˜

u

∈ H

1

0

(Ω) spelniaja

‘

cej to˙zsamo´s´

c

Ω

∇˜u · ∇v =

Ω

f v +

Ω

∇Φ · ∇v[s4]

(4.5)

dla ka˙zdego v

∈ H

1

0

(Ω). Wyka˙zemy, ˙ze prawa strona (4.5) definiuje funkcjonal

liniowy cia

‘

gly na H

1

0

(Ω), k(v) :=

Ω

f v +

Ω

∇Φ · ∇v. Zauwa˙zmy bowiem,

˙ze

|k(v)| ≤ |f|

L

2

(Ω)

|v|

L

2

(Ω)

+

|∇Φ|

L

2

(Ω)

|∇v|

L

2

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|Φ|

H

1

(Ω)

)

|v|

H

1

0

(Ω)

.

Na mocy Twierdzenia Riesza istnieje dokladnie jeden taki element ˜

u

∈

H

1

0

(Ω), ˙ze (˜

u, v)

H

1

0

(Ω)

= k(v) i

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|Φ|

H

1

(Ω)

). Zakladaja

‘

c,

˙ze ∂Ω

∈ C

1

, ostatnia

‘

nier´

owno´s´

c mo˙zna zapisa´

c w postaci

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+

|ϕ|

C

1

(∂Ω)

), [ss44]

(4.6)

a og´

olnie

|˜u|

H

1

0

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω)

+ inf

Φ|

∂Ω

=ϕ

|Φ|

H

1

(Ω)

).[ss45]

(4.7)

Jednoznaczno´s´

c slabych rozwia

‘

za´

n zagadnienia (4.1), (4.2) jest natych-

miastowa

‘

konsekwencja

‘

jednoznaczno´sci rozwia

‘

za´

n zagadnienia z jednorod-

nym warunkiem brzegowym. Gdyby bowiem istnialy dwa rozwia

‘

zania u

1

,

u

2

, to ich r´

o˙znica u = u

1

− u

2

spelnialaby Δu = 0, u

|

∂Ω

= 0, a wie

‘

c u

≡ 0.

Wykazali´smy w ten spos´

ob

17

Twierdzenie 4.2

Je´sli f

∈ L

2

(Ω) i ϕ jest ´sladem pewnej funkcji Φ

∈

H

1

(Ω), to istnieje dokladnie jedno rozwia

‘

zanie u zagadnienia (4.1), (4.2).

Regularno´

s´

c slabych rozwia

‘

za´

n.

Z definicji, slabe rozwia

‘

zanie u nale˙zy do przestrzeni H

1

(Ω). Wyka˙zemy,

˙ze odpowiednie zalo˙zenia o regularno´sci f gwarantuja

‘

wy˙zsza

‘

regularno´s´

c u.

Zacznijmy od przypadku jednowymiarowego

−u

= f,

u(0) = 0,

u(1) = 0.[w1]

(4.8)

Klada

‘

c w Twierdzeniu 3.3 n = 1, l = 0 dostajemy zawieranie H

1

((0, 1))

⊂

C

0

([0.1]), czyli slabe rozwia

‘

zanie u zagadnienia (4.8) jest cia

‘

gle. Z definicji

spelnia te˙z to˙zsamo´s´

c

1

0

u

v

=

1

0

f v

dla v

∈ H

1

0

((0, 1)).[w2]

(4.9)

Twierdzenie 4.3

Je´sli f

∈ C

0

([0, 1]) i u jest slabym rozwia

‘

zaniem (4.8),

to u

∈ C

2

([0, 1]) i spelnia (4.8) w klasycznym sensie.

Dow´

od. Funkcja ˜

u :=

−

x

0

y

0

f (ξ) dξ dy jest klasy C

2

([0, 1]) i

−˜u

= f , a

wie

‘

c spelnia to˙zsamo´s´

c (4.9). Oczywi´scie je´sli u

1

= u

− ˜u, to

1

0

u

1

v

= 0 dla

v

∈ H

1

0

((0, 1)). Wynika sta

‘

d, ˙ze (u

1

)

=0 (

rozumiemy tutaj w sensie slabej

pochodnej), a wie

‘

c u

1

jest stala (Uwaga 3.1) i tym samym u

∈ C

2

([0, 1]).

Z to˙zsamo´sci

1

0

u

v

=

−

1

0

u

v =

1

0

f v wynika, ˙ze

−u

= f , tzn. slabe

rozwia

‘

zanie u spelnia r´

ownanie w klasycznym sensie.

2

Przejd´

zmy do badania regularno´sci slabych rozwia

‘

za´

n w wy˙zszych wy-

miarach.

Twierdzenie 4.4 [x18]

Zakladamy, ˙ze f

∈ L

2

(Ω)

∩ H

k

loc

(Ω), k = 0, 1, 2...

i u jest slabym rozwia

‘

zaniem (4.1). Wtedy u

∈ H

k+2

loc

(Ω) i dla ka˙zdej pary

obszar´

ow Ω

1

⊂⊂ Ω

2

⊂⊂ Ω istnieje taka stala C = C(Ω

1

, Ω

2

), ˙ze

|u|

H

k+2

(Ω

1

)

≤ C(|f|

H

k

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

).[w3]

(4.10)

Dow´

od. Dow´

od przebiega indukcyjnie. Zal´

o˙zmy, ˙ze k = 0, tzn. f

∈ L

2

(Ω).

Oznaczmy ε = dist(∂Ω

1

, ∂Ω

2

) i Ω

ε

=

{x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}. Niech

ξ be

‘

dzie taka

‘

funkcja

‘

klasy C

∞

(IR

n

), ˙ze ξ(x) = 1 na Ω

2

ε

i ξ(x) = 0 dla

x /

∈ Ω

2

2

3

ε

. Je´sli v

0

∈ H

1

(Ω

2

), to ξv

0

= v

∈ H

1

0

(Ω). Rozumiemy tutaj, ˙ze

v

0

(x) = 0 dla x /

∈ Ω

2

. W to˙zsamo´sci (4.3) kladziemy v = ξv

0

. Korzystaja

‘

c

z r´

owno´sci

∇u · ∇v = (∇u · ∇ξ)v

0

+

∇(ξu) · ∇v

0

− u∇ξ · ∇v

0

,

18

(4.3) mo˙zna zapisa´

c w postaci

Ω

2

∇U · ∇v

0

=

Ω

2

F v

0

+

Ω

2

u

∇ξ · ∇v

0

, [w5]

(4.11)

gdzie F = f ξ

− ∇u · ∇ξ ∈ L

2

(Ω

2

) i U = ξu

∈ H

1

(Ω

2

). Poniewa˙z ξ zeruje

sie

‘

na poza Ω

2

2

3

ε

to calkowanie w (4.11) przebiega po Ω

2

2

3

ε

.

Niech v

1

be

‘

dzie funkcja

‘

z H

1

(Ω

2

) przedlu˙zona

‘

zerem poza Ω

2

.

Dla

|h| <

ε

2

, D

i

−h

v

1

∈ H

1

(Ω

2

ε

2

)

∩ L

2

(Ω

ε

2

). Podstawiaja

‘

c w (4.11) v

0

= D

i

−h

v

1

i wykorzystuja

‘

c wz´

or (3.6) dostaniemy

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

=

−

Ω

2

F D

i

−h

v

1

+

Ω

2

D

i

h

(u

∇ξ) · ∇v

1

.[w6]

(4.12)

Sta

‘

d i z (3.7)

|

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

| ≤ (|F |

L

2

(Ω

2

)

+ C

|u|

H

1

(Ω

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

(Ω

2

)

.

Z oszacowania

|F |

L

2

(Ω)

≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

),

otrzymujemy

|

Ω

2

∇D

i

h

U

· ∇v

1

| ≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

(Ω

2

)

.[w7]

(4.13)

Podstawiaja

‘

c w (4.13) v

1

= D

i

h

U mamy

Ω

2

|∇v

1

|

2

≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

)

|∇v

1

|

L

2

(Ω

2

)

.

Sta

‘

d

|∇v

1

|

L

2

(Ω

2

)

≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

).

Z powy˙zszej nier´

owno´sci wynika, ˙ze rodzina

∇D

i

h

U jest jednostajnie ogra-

niczona w L

2

(Ω

2

), a wie

‘

c na mocy Twierdzenia 3.1, U

∈ H

2

(Ω

2

) oraz

|∇U|

L

2

(Ω

2

)

≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

).[w77]

(4.14)

Przypomnijmy, ˙ze U = u na Ω

1

, sta

‘

d u

∈ H

2

(Ω

1

), a tym samym u

∈ H

2

loc

(Ω).

Korzystaja

‘

c z nier´

owno´sci Poincar´

ego i (4.14) dostajemy oszacowanie

|u|

H

2

(Ω

1

)

≤ C(|f|

L

2

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

).

W ten spos´

ob zako´

nczyli´smy dow´

od pierwszego kroku indukcji.

Zal´

o˙zmy teraz, ˙ze je´sli f

∈ L

2

(Ω)

∩ H

k

loc

(Ω), to u

∈ H

k+2

loc

(Ω),

|u|

H

k+2

(Ω

1

)

≤ C(k, Ω

1

, Ω

2

)(

|f|

H

k

(Ω

2

)

+

|u|

H

1

(Ω

2

)

)

19