Egzamin, matematyka A, 29 czerwca 2006

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr.

indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicz-

nych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Niech ~v =

4

5
4

, ~

w =

−3

0
3

~x =

x

1

x

2

x

3

, Niech M =





0

5

0

0

0

5

5 −13 13



.

(i) Znale´z´c M~v , M ~

w i ~v × ~

w . Napisa´c r´ownanie p laszczyzny P , kt´ora przechodzi przez punkt

0 = (0, 0, 0) i kt´ora jest prostopad la do wektora ~v× ~

w . Wykaza´c, ˙ze je´sli wektor ~x jest prostopad ly

do wektora ~v × ~

w , to r´ownie˙z wektor M~x jest prostopad ly do ~v × ~

w .

(ii) Znale´z´c liczby α, β, γ, δ ∈ R takie, ˙ze M~v = α~v + β ~

w i M ~

w = γ~v + δ ~

w .

(ii) Znale´z´c warto´sci w lasne (rzeczywiste lub zespolone) i wektory w lasne macierzy M .

(iii) Wykaza´c, ˙ze macierz M ma macierz odwrotna

,

i znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M

−1

.

(iv) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M

2

.

2. Znale´z´c cze

,

´s´c rzeczywista

,

, cze

,

´s´c urojona

,

i argument wszystkich tych liczb zespolonych z , dla kt´orych

z

8

+ z

4

+ 1 = 0 . Znale´z´c z

2006

dla tej z nich, kt´ora jest po lo˙zona najbli˙zej liczby 1 +

i

2

.

3. Wiedza

,

c, ˙ze

R

∞

0

e

−x

2

dx =

√

π

2

, obliczy´c

R

∞

0

x

2

e

−(x−1)

2

dx .

4. Naszkicowa´c obszar A = {(x, y):

0 ≤ x ≤ 1

i

x

2

≤ y ≤ 11x

2

} i znale´z´c jego ´srodek masy

przyjmuja

,

c, ˙ze jest on jednorodny.

5. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania x

00

(t) + 4x

0

(t) + 4x(t) = 6te

−2t

+ 25 cos t .

6. Niech f (x, y) = 2x

3

− 3x

2

y − 3xy

2

+ 2y

3

− 3x

2

+ 3xy − 3y

2

i niech Q = {(x, y) ∈ R

2

:

|x| ≤ 2, |y| ≤ 2} .

Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f oraz wszystkie lokalne ekstrema w zbiorze Q . Mo˙zna

ewentualnie skorzysta´c z r´owno´sci

∂f
∂x

=

6x

2

− 6xy − 3y

2

− 6x + 3y ,

∂f
∂y

= −3x

2

− 6xy + 6y

2

+ 3x − 6y .

Wzory, kt´orych cze

,

´s´c mo˙ze sie

,

przyda´c:

sin(2α) = 2 sin α cos α ,

tg(2α) =

2 tg α

1−tg

2

α

, cos(π − x) = − cos x , tg(x + π) = tg x ,

cos(2α) = cos

2

α − sin

2

α = 1 − 2 sin

2

α = 2 cos

2

α − 1 ,

ctg(2α) =

ctg

2

α−1

2 ctg α

,

sin

π

6

=

1
2

, sin

π

4

=

√

2

2

, sin

π

3

=

√

3

2

, cos

π

6

=

√

3

2

, cos

π

4

=

√

2

2

, cos

π

3

=

1
2

, sin

5π

6

=

1
2

, sin

π

4

=

√

2

2

,

√

2 ≈ 1,4142 ,

√

3 ≈ 1,7321 ,

√

5 ≈ 2,2361 ,

√

7 ≈ 2,6458 ,

√

17 ≈ 4,1231 ,

√

37 ≈ 6,0828 ,

√

71 ≈ 8,4262 ,

√

73 ≈ 8,5440 ,

√

137 ≈ 11,7047 ,

√

713 ≈ 26,7021 .