Egzamin, matematyka A, 29 czerwca 2006
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego, jego nr.
indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektronicz-
nych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly
udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Niech ~v =
4
5
4
, ~
w =
−3
0
3
~x =
x
1
x
2
x
3
, Niech M =
0
5
0
0
0
5
5 −13 13
.
(i) Znale´z´c M~v , M ~
w i ~v × ~
w . Napisa´c r´ownanie p laszczyzny P , kt´ora przechodzi przez punkt
0 = (0, 0, 0) i kt´ora jest prostopad la do wektora ~v× ~
w . Wykaza´c, ˙ze je´sli wektor ~x jest prostopad ly
do wektora ~v × ~
w , to r´ownie˙z wektor M~x jest prostopad ly do ~v × ~
w .
(ii) Znale´z´c liczby α, β, γ, δ ∈ R takie, ˙ze M~v = α~v + β ~
w i M ~
w = γ~v + δ ~
w .
(ii) Znale´z´c warto´sci w lasne (rzeczywiste lub zespolone) i wektory w lasne macierzy M .
(iii) Wykaza´c, ˙ze macierz M ma macierz odwrotna
,
i znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M
−1
.
(iv) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M
2
.
2. Znale´z´c cze
,
´s´c rzeczywista
,
, cze
,
´s´c urojona
,
i argument wszystkich tych liczb zespolonych z , dla kt´orych
z
8
+ z
4
+ 1 = 0 . Znale´z´c z
2006
dla tej z nich, kt´ora jest po lo˙zona najbli˙zej liczby 1 +
i
2
.
3. Wiedza
,
c, ˙ze
R
∞
0
e
−x
2
dx =
√
π
2
, obliczy´c
R
∞
0
x
2
e
−(x−1)
2
dx .
4. Naszkicowa´c obszar A = {(x, y):
0 ≤ x ≤ 1
i
x
2
≤ y ≤ 11x
2
} i znale´z´c jego ´srodek masy
przyjmuja
,
c, ˙ze jest on jednorodny.
5. Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania x
00
(t) + 4x
0
(t) + 4x(t) = 6te
−2t
+ 25 cos t .
6. Niech f (x, y) = 2x
3
− 3x
2
y − 3xy
2
+ 2y
3
− 3x
2
+ 3xy − 3y
2
i niech Q = {(x, y) ∈ R
2
:
|x| ≤ 2, |y| ≤ 2} .
Znale´z´c najmniejsza
,
i najwie
,
ksza
,
warto´s´c funkcji f oraz wszystkie lokalne ekstrema w zbiorze Q . Mo˙zna
ewentualnie skorzysta´c z r´owno´sci
∂f
∂x
=
6x
2
− 6xy − 3y
2
− 6x + 3y ,
∂f
∂y
= −3x
2
− 6xy + 6y
2
+ 3x − 6y .
Wzory, kt´orych cze
,
´s´c mo˙ze sie
,
przyda´c:
sin(2α) = 2 sin α cos α ,
tg(2α) =
2 tg α
1−tg
2
α
, cos(π − x) = − cos x , tg(x + π) = tg x ,
cos(2α) = cos
2
α − sin
2
α = 1 − 2 sin
2
α = 2 cos
2
α − 1 ,
ctg(2α) =
ctg
2
α−1
2 ctg α
,
sin
π
6
=
1
2
, sin
π
4
=
√
2
2
, sin
π
3
=
√
3
2
, cos
π
6
=
√
3
2
, cos
π
4
=
√
2
2
, cos
π
3
=
1
2
, sin
5π
6
=
1
2
, sin
π
4
=
√
2
2
,
√
2 ≈ 1,4142 ,
√
3 ≈ 1,7321 ,
√
5 ≈ 2,2361 ,
√
7 ≈ 2,6458 ,
√
17 ≈ 4,1231 ,
√
37 ≈ 6,0828 ,
√
71 ≈ 8,4262 ,
√
73 ≈ 8,5440 ,
√
137 ≈ 11,7047 ,
√
713 ≈ 26,7021 .