09 Różniczki wyższych rzędów


ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE
Definicja
Niech X, Y  przestrzenie wektorowe nad ciałem K,
k
g : X ®ð Y.
Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną
osobno, tzn:
"ð j =ð 1,..., k : g(ðx1,..., xj-ð1,·ð, xj+ð1,..., xk )ðÎðL(ðX ,Y)ð, gdzie x1,..., xj-ð1, xj+ð1,..., xk Îð X
Ä™!
tylko w tym miejscu
jest zmienna
Oznaczenie
L (ðX ,Y )ð.
Zbiór odwozrowań k-liniowych oznaczamy
k
Twierdzenie
Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiędzy
klasami
L(ðX ,L (X ,Y ))ði L (ðX ,Y )ð,
k k +ð1
~
L(ðX ,L (ðX ,Y )ð)ð -ð L (ðX ,Y )ð ,
k k +ð1
­ð
izomorfizm
Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobą utożsamiać.
RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZDÓW
Niech (ðX , ×ð )ð, (ðY, ×ð )ð-ð przestrzenie unormowane nad ciaÅ‚em K,
U ÎðTopX ,
f : U ®ð Y ,
f Îð D(ðU )ð.
Wtedy istnieje funkcja pochodna f ',
f ':U 'ð x ®ð f '(ðx)ð:=ð dx f ÎðL(ðX ,Y )ð
Definicja
x0 ÎðU
Drugą różniczką odwozorowania f w punkcie nazywamy różniczkę pochodnej f ' w
2
punkcie x i oznaczamy dx f ,
0
0
2
dx f :=ð dx f '.
0 0
Oczywiście różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym
2
~
(ðX Y
dx f ÎðL(ðX ,L(ðX ,Y )ð)ð -ð L4ð2ð4ð)ð

0
1ð2 ,3ð
z tw.
klasa odwzorowań
dwuliniowych
Zatem drugą różniczkę odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym,
2
dx f ÎðL (ðX ,Y )ð
2
0
1
Jeśli
2
"ðx0 ÎðU $ðdx f ,
0
to można utworzyć odwozorowanie f'' ,
f '':U 'ð x ®ð f ''(x) :=ð dx 2 f ÎðL (ðX ,Y )ð,
2
które nazywamy drugą pochodną funkcji f.
x0 ÎðU.
Załóżmy, że określimy k-tą różniczkę funkcji f w punkcie
Niech
k
"ð x0 ÎðU $ðdx f ÎðL(ðX ,L (X ,Y ))ð~L (ðX ,Y )ð

k -ð1 k
0
Wtedy k-tÄ… pochodnÄ… funkcji f nazywamy odwzorowanie:
(ðk )ð (ðk )ð
f :U 'ð x ®ð f (x) :=ð dx k f ÎðL(ðX ,L (ðX ,Y)ð)ð~L (ðX ,Y )ð

k -ð1 k
możemy utożsamiać te klasy
ponieważ zachodzi izomorfizm
x0 ÎðU
k+1-szą różniczką odwzorowania f w punkcie nazywamy różniczkę k-tej pochodnej w
k
x0
punkcie (o ile istnieje) i oznaczamy dx +ð1 f ,
0
k (ðk )ð
dx +ð1 f :=ð dx f ÎðL(ðX ,L (ðX ,Y )ð)ð~L (X ,Y )

k k +ð1
0 0
różniczka k-tej pochodnej
w punkcie x0
opracował Marcin Uszko
2


Wyszukiwarka