ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE Definicja Niech X, Y przestrzenie wektorowe nad ciaÅ‚em K, k g : X ®ð Y. Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdÄ… zmiennÄ… osobno, tzn: "ð j =ð 1,..., k : g(ðx1,..., xj-ð1,·ð, xj+ð1,..., xk )ðÎðL(ðX ,Y)ð, gdzie x1,..., xj-ð1, xj+ð1,..., xk Îð X Ä™! tylko w tym miejscu jest zmienna Oznaczenie L (ðX ,Y )ð. Zbiór odwozrowaÅ„ k-liniowych oznaczamy k Twierdzenie Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiÄ™dzy klasami L(ðX ,L (X ,Y ))ði L (ðX ,Y )ð, k k +ð1 ~ L(ðX ,L (ðX ,Y )ð)ð -ð L (ðX ,Y )ð , k k +ð1 ð izomorfizm Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobÄ… utożsamiać. RÓŻNICZKI WYÅ»SZYCH RZDÓW Niech (ðX , ×ð )ð, (ðY, ×ð )ð-ð przestrzenie unormowane nad ciaÅ‚em K, U ÎðTopX , f : U ®ð Y , f Îð D(ðU )ð. Wtedy istnieje funkcja pochodna f ', f ':U 'ð x ®ð f '(ðx)ð:=ð dx f ÎðL(ðX ,Y )ð Definicja x0 ÎðU DrugÄ… różniczkÄ… odwozorowania f w punkcie nazywamy różniczkÄ™ pochodnej f ' w 2 punkcie x i oznaczamy dx f , 0 0 2 dx f :=ð dx f '. 0 0 OczywiÅ›cie różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym 2 ~ (ðX Y dx f ÎðL(ðX ,L(ðX ,Y )ð)ð -ð L4ð2ð4ð)ð {ð 0 1ð2 ,3ð z tw. klasa odwzorowaÅ„ dwuliniowych Zatem drugÄ… różniczkÄ™ odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym, 2 dx f ÎðL (ðX ,Y )ð 2 0 1 JeÅ›li 2 "ðx0 ÎðU $ðdx f , 0 to można utworzyć odwozorowanie f'' , f '':U 'ð x ®ð f ''(x) :=ð dx 2 f ÎðL (ðX ,Y )ð, 2 które nazywamy drugÄ… pochodnÄ… funkcji f. x0 ÎðU. Załóżmy, że okreÅ›limy k-tÄ… różniczkÄ™ funkcji f w punkcie Niech k "ð x0 ÎðU $ðdx f ÎðL(ðX ,L (X ,Y ))ð~L (ðX ,Y )ð -ð k -ð1 k 0 Wtedy k-tÄ… pochodnÄ… funkcji f nazywamy odwzorowanie: (ðk )ð (ðk )ð f :U 'ð x ®ð f (x) :=ð dx k f ÎðL(ðX ,L (ðX ,Y)ð)ð~L (ðX ,Y )ð -ð k -ð1 k możemy utożsamiać te klasy ponieważ zachodzi izomorfizm x0 ÎðU k+1-szÄ… różniczkÄ… odwzorowania f w punkcie nazywamy różniczkÄ™ k-tej pochodnej w k x0 punkcie (o ile istnieje) i oznaczamy dx +ð1 f , 0 k (ðk )ð dx +ð1 f :=ð dx f ÎðL(ðX ,L (ðX ,Y )ð)ð~L (X ,Y ) -ð k k +ð1 0 0 różniczka k-tej pochodnej w punkcie x0 opracowaÅ‚ Marcin Uszko 2