WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW  WYKA
AD 24
24.1 Naprężenia krytyczne
Naprężeniem krytycznym nazywa się naprężenie odpowiadające sile krytycznej
Pk
Rk= (24.1)
A
Można zapisać
Pk
Ä„2EJ
Rk= = (24.2)
A
L2 A
Wyboczenie pręta jest praktycznie rónoważne z jego zniszczeniem wobec czego naprężenie krytyczne Rk można
określać jako wytrzymałość na wyboczenie. Zależy ono nie tylko od rodzaju materiału, ale również od smukłości
pręta:
2 2
Ä„ E Ä„ E
Rk = = (24.3)
2
2
L
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i
íÅ‚ Å‚Å‚
J
gdzie do wzoru (24.2) podstawiono zależność opisującą promień bezwładności =i2 oraz smukłość
A
L
= (24.4)
i
Wzór (24.3) nazywany jest uogólnionym wzorem Eulera na naprężenia krytyczne.
Dzięki niemu można zapisać wzór na siłe krytyczną w postaci
2
Ä„ EA
Pk=Rk A= (24.5)
2
Wzory Eulera można stosować tylko wówczas, gdy naprężenia nie przekraczają granicy proporcjonalności tj.
2
Ä„ E
Rkd"RH czyli d"RH (24.6)
2
E
Oznacza to że musi zachodzić e"Ą czyli smukłość musi przekraczać wielkość graniczną
RH
E
e"gr=Ä„ (24.7)
RH
Rys.24.1 Zakres ważności wzorów Eulera
24.2 Wyboczenie niesprężyste
W przypadku prętów o smukłości <gr wzór Eulera traci ważność. Wyboczenie następuje przy naprężeniach
przekraczających granicę proporcjonalności (prawie równą granicy sprężystości). Takie wyboczenie nazywa się
niesprężystym.
Teoria modułu zastępczego
Rys.24.1Założenia teorii modułu zastępczego
Po stronie wypukÅ‚ej prÄ™ta wygiÄ™tego naprężenia Å›ciskajÄ…ce wskutek wygiÄ™cia zmniejszajÄ… siÄ™ o"Ã1 oraz zachodzi
"Ã1
=E (24.1)
"µ1
Po stronie wklÄ™sÅ‚ej prÄ™ta wygiÄ™tego naprężenia Å›ciskajÄ…ce wskutek wygiÄ™cia wzrastajÄ… o "Ã2 oraz zachodzi
"Ã
2
=Et ( Et nosi nazwę modułu stycznego) (24.2)
"µ2
Wypadkowa sił w przekroju
"NÄ…= - dA2=0 (24.3)
1 1 2
+""ÃdA +""Ã
A A
1 2
Warunek równowagi momentów
"MÄ… = (z1 + e)dA1 - (z2 - e)dA2 = -Pw (24.4)
1 2
+""Ã +""Ã
A A
1 2
2
d w "µ1 "µ2
Wiadomo, że dÕ= a"w''= = stÄ…d
z1 z2
dx2
"Ã1=E"µ1=Ez1w'', "Ã =Et"µ2=Et z2w'' (24.5)
2
Równania równowagi przybierają postać
E dA1-Et 2dA2=0 czyli ES1 - EtS2 = 0 (24.6)
1
+"z +"z
A A
1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
w''ìÅ‚ E
1 1 2 2 1 1 2 2
+"z2dA + Et+"z2dA ÷Å‚ + ew''ìÅ‚ E+"z2dA - Et+"z2dA ÷Å‚ = -Pw
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
A1 A2 A1 A2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rys.24.2 Rozkład naprężeń w przekroju czyli w''(EJ1 + Et J2)+ ew''(ES1 - EtS2)= -Pw (24.7)
Po wykorzystaniu (24.6) równanie (24.7) można zapisać jako
w''(EJ1 + Et J2)= -Pw (24.8)
gdzie J1, J2 są momentami bezwładności pól A1 i A2 .
Wprowadzając wielkość nazywaną modułem zastępczym
EJ1 + Et J2
E = (24.9)
J
gdzie J jest momentem bezwładności całego przekroju względem osi środkowej, równanie osi odkształconej
przybierze postać
EJw''=-Pw (24.10)
Z uwagi na analogię do wyboczenia sprężystego można zapisać (różnica polega na występowaniu E zamiast E)
- wzór na siłę krytyczną
Ä„2EJ Ä„2EJ
Pk= lub Pk= (24.11)
l2 L2
- wzór na naprężenie krytyczne
2
Ä„ E
Rk= (24.12)
2
L µl
gdzie smukÅ‚ość = = , a współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci wyboczeniowej µ wyznacza siÄ™ jak przy analizie wyboczenia
i i
sprężystego.
Teoria modułu stycznego (Engessera-Shanleya)
Zakłada się, że zależność między naprężeniami i odkształceniami spowodowanymi przez wygięcie pręta zarówno po
stronie wklęsłej , jak i wypukłej pręta odpowiada temu sammemu modułowi stycznemu Et . Równanie osi
odkształconej będzie miało postać
Et Jw''=-Pw (24.13)
Siła krytyczna
Ä„2Et J Ä„2Et J
Pkt= lub ogólnie Pkt= (24.14)
l2 L2
Naprężenie krytyczne
2
Ä„ Et
t
Rk= (24.15)
2
Ponieważ J < J1 + J2 oraz Ett
RkRys.24.3 Porównanie naprężeń krytycznych w funkcji
smukłości dla dwuteownika z miękkiej stali
Wzory empiryczne
Zakłada się zależność naprężeń krytycznych w funkcji smukłości Rk = f(). Współczynniki funkcji dobiera się tak
założona funkcja najlepiej aproksymowała uzyskane wyniki doświadczeń.
- prosta Tetmajera-Jasińskiego
Funkcja aproksymująca ma postać
Rk=a-b (24.16)
Rys.24.4 Ilustracja zależności Tetmajera-Jasińskiego
- zależność paraboliczna
Funkcja aproksymująca ma postać
Rk=a-bm (24.17)
Rk=a-b2 (dla m=2) (24.18)
Dla =0 powinno być Rk=Rpl , dla =gr powinno być Rk=RH . Stąd musi zachodzić
Rpl-RH
a=Rpl , b= (24.19)
2
gr
Rpl-RH
Rk=Rpl- 2 (24.20)
2
gr
Rys.24.5 Przykładowa ilustracja zależności (24.20)
24.3 Wymiarowanie prętów ściskanych z uwzględnieniem wyboczenia
Siła ściskająca nie może przekraczać wartości dopuszczalnej
Pd"Pdop (24.21)
Siła dopuszczalna musi być mniejsza od siły krytycznej
Pk
Pdop= (24.22)
nw
gdzie nwe"1 jest współczynnikiem bezpieczeństwa dla pręta obliczanego na wyboczenie, zależnym od smukłości
pręta. Można zapisać
Pdop
P
Ã= d" =Kw (24.23)
A A
gdzie dopuszczalne naprężenie na wyboczenie
Pdop Pk Rk
Kw= = = (24.24)
A Anw nw
Dla prętów ściskanych bez możliwości wyboczenia naprężenia dopuszczalne określa się dzieląc naprężenia
niszczące R przez współczynnik bezpieczeństwa n:
R
Kc= (24.25)
n
Wykorzystując powyższe można zapisać
Rk n Rk n
Kw= = Kc (24.26)
n nw R nw
WprowadzajÄ…c oznaczenie (współczynnik zmniejszajÄ…cy ²d"1)
Rk n
²= (24.27)
R nw
będzie wówczas
Kw=²Kc (24.28)
P
Ã= d"²Kc (24.29)
A
1
Norma PN-80/B-03200 dla konstrukcji stalowych wprowadziła współczynnik wyboczeniowy mw= (mwe"1) i wtedy
²
Pmw
Ã= d"Kc (24.30)
A
Najnowsza norma PN-90/B-03200 wprowadziła następującą formułę
à N
= d"1 (24.31)
Kc ÕÅ"AÅ"fd
gdzie N  osiowa siÅ‚a Å›ciskajÄ…ca prÄ™t, fd - wytrzymaÅ‚ość obliczeniowa, Õd"1 - współczynnik wyboczeniowy zależny
od smukłości względnej
 
= = (24.32)
p
215
84
fd
1
-
2n
n
Współczynnik Õ =(1+  ) gdzie n jest w normie parametrem imperfekcji równym 2, 1,6 lub 1,2.
Algorytm (normowy) obliczania prętów ściskanych wrażliwych na wyboczenie
1. Ustalamy dÅ‚ugość wyboczeniowÄ… L=µl , przy czym współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci µ odpowiada danym warunkom
podparcia i obciążenia prÄ™ta. Normy podajÄ… wartoÅ›ci µ, jakie należy przyjmować dla różnych konstrukcji
prętów.
Jmin
2. Obliczamy ia"imin= lub oba promienie bezwładności gdy warunki podparcia pręta są różne w dwu
A
możliwych płaszczyznach wyboczenia.
L µl 
3. Obliczamy smukłości = = oraz = .
i i
215
84
fd
4. Z odpowiedniej tablicy normy odczytujemy Õ dla danej smukÅ‚oÅ›ci 
N
5. Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek: d"1
ÕÅ"AÅ"fd
Współczynnik normowy Õ wg PN-90/B-03200 jest tak wykalibrowany, że uwzglÄ™dnia zakres sprężysty jak i
niesprężysty wyboczenia. W innych przypadkach należy stosować się do norm przedmiotowych lub po obliczeniu wg
E
punktów 1 do 3 okreśłić naprężenia krytyczne (dla wyboczenia sprężystego gdy e"gr=Ą lub niesprężystego
RH
1
gdy <gr ) i na podstawie danych z literatury przyjąc współczynnik bezpieczeństwa nw (nwH" ). Mając
Õ
współczynnik nw można określić dopuszczalne obciążenie pręta.
Przykład
Sprawdzić założone wymiary przekroju pręta według rys. 24.6 z materiału, dla którego RH=100 MPa, K = 50 MPa,
E=150000 MPa. Wymagany współczynnik bezpieczeństwa nw=1,5.
RozwiÄ…zanie:
1. Współczynnik dÅ‚ugoÅ›ci µ=2 ; L=2l=2Å"40=80 cm.
hb3 b
2. ia"imin=iy= = =0,575 cm.
12hb
12
L 80 150000
3. = = =140>gr=Ą =122, a więc
i 0,575 100
2 2
Ä„ E Ä„ Å"150000
4. Rk= = =77 MPa (wyboczenie sprężyste).
2 1402
P 100
5. Ã= = =5 kN/cm2 =50 MPa.
A 2Å"10
Rk 77
6. nw= = =1,54>1,5 - a więc założone wymiary są wystarczające.
à 50
Rys.24.6 Schemat statyczny pręta