Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
6. Przebieg zmienności funkcji
1. Niech f(x) = x|x - 1|. Zbadać istnienie f (1). Wyznaczyć f (x).
ln x
2. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = w jej punkcie
x
przegięcia.
3. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
x2
"
(a) f(x) = ,
x2-1
(b) f(x) = x arctg x,
1
x-2
(c) f(x) = (x - 2)e ,
"
(d) f(x) = x ln x,
(e) f(x) = esin x.
4. Korzystając z twierdzenie Rolle a, wykazać, że równanie ma dokładnie jeden
pierwiastek rzeczywisty: 3x5 + 15x - 8 = 0.
3
5. Sprawdzić, czy funkcja f(x) = (x - 3)2 spełnia założenia twierdzenia
Rolle a w przedziale [0, 6].
6. Korzystając z twierdzenia Lagrange a, udowodnić nierówność:
b-a b b-a
(a) "a, b " R+, a < b < ln < ,
b a a
(b) "x, y " R | arctg x - arctg y| d" |x - y|.
7. Znalez
ć, jeśli istnieją, ekstrema lokalne funkcji:
(a) f(x) = x - arctg 2x,
(b) f(x) = (ln x)3 - 3 ln x,
3
(c) f(x) = (x + 2)2,
|x+1|(x+2)
(d) f(x) = .
x2
8. Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji (jeśli istnieją):
x2
2
(a) f(x) = xe- ,
(b) f(x) = x5e-x,
(c) f(x) = arctg x - x.
"
1 1
9. Sprawdzić, że funkcja f(x) = 1 + x2 - ln + 1 + jest rosnąca i wy-
x x2
pukła na przedziale (0, ").
10. Wyznaczyć największą wartość funkcji f(x) = x-x na przedziale (0, ").