Ćwiczenie 21
Rozładowanie kondensatora
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1. Pojemność elektryczna - definicja, rodzaje kondensatorów.
2. A
adowanie i rozładowanie kondensatora, równanie krzywej ładowania
i rozładowania, stała czasowa obwodu.
3. Wyznaczanie pojemności kondensatora na podstawie jego krzywej rozładowania.
4. Wyznaczanie wartości ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora na
podstawie krzywej rozładowania.
II. Wprowadzenie
Proces ładowania kondensatora przebiega w układzie przedstawionym na rys. 1.
R
U0
C
Rys.1. Obwód ładowania kondensatora
W chwili początkowej, tzn. dla t = 0 napięcie na kondensatorze UC = 0 .
Po upływie czasu t ładunek zgromadzony na okładce kondensatora można
wyrazić zależnością:
t
Q = I(t)dt (1)
+"
0
Napięcie między okładkami kondensatora:
Q
UC = (2)
C
podstawiając zależność (1) otrzymamy:
t
1
UC = I(t)dt (3)
+"
C
o
Napięcie na rezystorze R wyraża się zależnością:
U = I R (4)
R
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa możemy zapisać:
U0 = UC +U (5)
R
Uwzględniając (3) i (4) równanie (5) przyjmuje postać:
t
1
U0 = I R + I(t)dt (6)
+"
C
0
Jest to równanie, z którego można wyznaczyć zależność natężenia prądu podczas
Å‚adowania kondensatora w funkcji czasu.
Po zróżniczkowaniu obustronnie równania (6) dostajemy:
dI I
R + = 0
dt C
1
dI dt
Po rozdzieleniu zmiennych = - i scałkowaniu otrzymamy:
I RC
t
lnI = - + const
RC
lub:
t
-
RC
I = econst e (7)
U0
Ponieważ dla t = 0 , UC = 0 , zaś prąd początkowy I = I0 = , równanie (7) możemy
R
zapisać:
t
-
RC
I = I0e (8)
Zależność ta opisuje prąd ładowania kondensatora. Napięcie między okładkami
kondensatora w czasie ładowania można obliczyć z zależności (3).
Wyraża się następująco:
t
ëÅ‚ - öÅ‚
RC ÷Å‚
UC = U0ìÅ‚1- e (9)
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zależności (8) i (9) przedstawione zostały na rys. 2.
UC
I
U0
I0
t
t
Rys. 2. Krzywa Å‚adowania kondensatora I=f(t) oraz U=f(t)
Wielkość RC nazywa siÄ™ staÅ‚Ä… czasowÄ… obwodu Ä = RC .
A
atwo zauważyć, że dla t =Ä prÄ…d Å‚adowania maleje e-krotnie (e - podstawa
logarytmu naturalnego).
Proces rozładowania kondensatora może być przeprowadzony w obwodzie
przedstawionym na rys..3:
C
R
Rys. 3. Obwód rozładowania kondensatora
W chwili początkowej t = 0 napięcie na kondensatorze wynosi U0 .
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
U0 = UR (10)
Po upływie czasu t ładunek na okładce kondensatora zmniejszy się zgodnie
z zależnością (1) i napięcie na kondensatorze wyrazi się wzorem:
t
Idt
+"
0
UC = U0 - (11)
C
2
Wyrażenie (10) przyjmie zatem postać:
t
1
U0 - Idt = I R (12)
+"
C
0
Równanie to jest identyczne z równaniem (6) i prąd rozładowania kondensatora
wyraża się taką samą zależnością jak prąd ładowania (8).
t
-
U0
RC
I = I0e , gdzie I0 = (13)
R
Napięcie pomiędzy okładkami kondensatora w trakcie rozładowania wyliczamy
z równania (11). Wynosi ono:
t
-
RC
UC = U0e (14)
Zależność (14) i (13) można przedstawić na wykresie:
UC
I
I0
U0
t t
Rys. 4. Krzywa rozładowania kondensatora I=f(t) oraz U=f(t)
Zależność (13) wygodnie jest przedstawić w innej postaci, która jest korzystna do
obliczania stałej czasowej obwodu. Dzieląc równanie (13) obustronnie przez I0
i logarytmujÄ…c dostaniemy:
I t
ln = -
I0 RC
I
Wykres ln = f (t) jest prostą przechodzącą przez początek układu
I0
współrzędnych. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy odwrotności stałej
czasowej obwodu.
III. Wykonanie ćwiczenia
1. Połączyć obwód wg schematu (rys. 5).
2
K
1
C
U
R
Rys. 5. Schemat obwodu do badania rozładowania kondensatora: 1, 2 pozycja przełącznika K
2. Naładować kondensator (przełącznik K w pozycji 1). Ustawić taką wartość oporu R,
aby natężenie prądu było maksymalne, ( I = I0 dla t = 0 s ).
3. Przełączyć przełącznik K w pozycję 2 i jednocześnie włączyć sekundomierz.
Przeprowadzić pomiary natężenia prądu rozładowania kondensatora I = f (t).
3
4. Sporządzić wykres zależności prądu rozładowania I = f (t) oraz wykres
I
ln = f (t).
I0
5. Wartość ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora obliczyć wyznaczając
wartość pola powierzchni zawartego między osiami współrzędnych a wykresem
I = f (t).
6. Wyznaczyć pojemność kondensatora:
Q
C =
U
gdzie: Q - wartość ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora,
U - napięcie między okładkami, które w tym przypadku jest równe napięciu
zasilającemu obwód pomiarowy.
7. Obliczyć stałą czasową obwodu: a) na podstawie wykresu I(t) korzystając z
definicji staÅ‚ej czasowej, b) z zależnoÅ›ci Ä = RC , c) korzystajÄ…c z wykresu
I
ln = f (t) poprzez wyznaczenie współczynnika kierunkowego tej prostej.
I0
Przedyskutować otrzymane wyniki.
Tabela pomiarowa
U R t I Q C
I0 Ä
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Wskazówki do dyskusji błędów
Na wykresie I = f (t) zaznaczyć błędy pomiarowe. Błąd bezwzględny pomiaru
natężenia prądu obliczyć na podstawie klasy przyrządu pomiarowego. Wykres
I
ln = f (t) wykonać posługując się metodą najmniejszych kwadratów. W tym celu
I0
I
równanie prostej zapisać w postaci ln = at , z metody najmniejszych kwadratów
I0
obliczyć i narysować prostą  teoretyczną .
Literatura
B. Jaworski i inni, Kurs Fizyki t.1, PWN, Warszawa
M. Leśniak, Fizyka. Laboratorium, wydanie II, Oficyna Wydawnicza PRz, 2002
J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, t.1, WNT, Warszawa 1980
4