MMF 1 Metody Matematyczne Fizyki I 2005/6 dr hab. Jan Iwaniszewski Wykład (dla studentów I roku Fizyki, Fizyki Technicznej, Astronomii oraz Automatyki i Robotyki) wprowadza podsta- wowe pojęcia, operacje i metody matematyczne stosowane w fizyce i technice. Główny nacisk położony jest na intuicyjne zrozumienie istoty poszczególnych operacji, a przede wszystkim na zdobycie biegłości rachunkowej. Do wykładu prowadzone są ćwiczenia rachunkowe. Zaliczenie przedmiotu następuje po zaliczeniu ćwiczeń i zdaniu egzaminu końcowego. Treść wykładu 1. Liczby, podstawowe działania. 2. Funkcja jednej i wielu zmiennych: podstawowe pojęcia, funkcje elementarne, granica i ciągłość funkcji. 3. Różniczkowanie funkcji: pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej, pochodna cząstkowa, różniczka zupełna, pochod- ne wyższych rzędów, szereg Taylora. 4. Całkowanie funkcji: całka nieoznaczona i oznaczona funkcji jednej zmiennej, podstawowe metody całkowania, całki wielokrotne. 5. Równania różniczkowe zwyczajne: równania I rzędu o rozdzielonych zmiennych, równania liniowe I i II rzędu. 6. Współrzędne: układ współrzędnych kartezjańskich, biegunowych, cylindrycznych i sferycznych. 7. Algebra wektorów: dodawanie i mnożenie przez skalar, rozkład na składowe, zależność liniowa, przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny i wektorowy. 8. Analiza wektorowa: pole skalarne i wektorowe, różniczkowanie i całkowanie wektorów, gradient, dywergencja, rotacja. 9. Metody przybliżone: szacowanie rzędu wielkości, rozwinięcie w szereg. 10. Rachunek prawdopodobieństwa: podstawowe pojęcia, wartość średnia i wariancja, rozkład jednorodny i normalny. 11. Analiza pomiarów fizycznych: błędy i niepewności, pomiary bezpośrednie i pośrednie, prezentacja wyników, regresja liniowa. Zalecana literatura 1. F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, T. I (PWN, Warszawa, 1973) 2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, T. 1-3I (PWN, Warszawa, 1999) 3. E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1971). 4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, T. I-II (PWN, Warszawa, 1999) 5. W. Korczak, M. Trajdos, Wektory, pochodne, całki ((PWN, Warszawa, 1997) 6. W. Leksiński, I. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka dla studiów eksperymentalnych (WNT, Warszawa, 1977) 7. K. Szałajko, Matematyka T.1 (PWN, Warszawa, 1984) 8. S. Romanowski, W. Wrona, Matematyka wyzsza dla studiów technicznych (PWN, Warszawa, 1962) 9. B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej (Oficyna Wydawnicza Poli- techniki Warszawskiej, 2000) 10. G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i technicznych, cz. 1 i 2 (PWN, Warszawa, 1983) 11. red. I Dziubiński, T. Świątkowski, Poradnik Matematyczny, cz.1 i 2 (PWN, Warszawa, 1985) 12. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka, poradnik encyklopedyczny (PWN, Warszawa, 1968) 13. B. Piłat, M. J. Wasilewski, Tablice całek (WNT, Warszawa, 1983) 14. A. Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów (Wyd. UMK, Toruń, 2001) 15. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna (PWN, Warszawa, 1999) MMF 2 Przedrostki liczbowe wielokrotności powielokrotności 103 kilo k 10-3 mili m 106 mega M 10-6 mikro 109 giga G 10-9 nano n 1012 tera T 10-12 piko p 1015 peta P 10-15 femto f 1018 eksa E 10-18 atto a 101 deka da 10-1 decy d 102 hekto ha 10-2 centy c n! = 1 2 3 . . . (n - 1) n , 0 n , 0! = 1 Silnia
n! n = , k n Symbol Newtona k k!(n - k)!
n
n (a + b)n = akbn-k Dwumian Newtona k k=0 Zadania I Symbol Newtona Wykazać, że:
n n n n n 1. = , 3. 1 + + + . . . + = 2n, k n - k 1 2 n
n n n + 1 n n n 2. + = , 4. 1 - + - . . . + (-1)n = 0, k k - 1 k 1 2 n Szacowanie rzędu wielkości 1. Promień Wszechświata szacuje się na 1026 m, a liczbę nukleonów we Wszechświecie na 1080. Oszacować masę Wszech- świata, średnią gęstość materii i średnią ilość nukleonów w 1 m3. 2. (Feynman T I cz.1 s.365) Dawno temu, w erze paleozoicznej kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnistą równinę, pozostawiając trwały ślad. Slad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat pózniej student geologii. Wysączywszy do dna wodę ze swojej manierki student ten bezskutecznie się zastanawiał, ile cząsteczek wody z tej starożytnej kropli mogło znajdować się w manierce, którą przed chwilą opróżnił. Spróbuj Ty ocenić tę liczbę. 3. Oszacować jaki rezultat osiągnąłby skoczek wzwyż na Księżycu, jeżeli przyspieszenie grawitacyjne jest tam 6-krotnie mniejsze niż na Ziemi. 4. Ciekły hel ma gęstość = 0.13 g/cm3. Oszacować wartość promienia atomu He zakładając, że atomy są upakowane w najgęstszej możliwej konfiguracji, która wypełnia 74% przestrzeni. 5. Jaki wpływ na wyniki konkurencji biegowych miało ustawienie strzelającego z pistoletu startera na murawie stadionu? Dlaczego obecnie zawodnicy mają głośniki wmontowane w bloki startowe? Jak to pogodzić z faktem, że na mecie fotokomórka ustawiona jest w dalszym ciągu z boku bieżni? 6. Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile elektronów zawiera jedna cegła? (Głównym składnikiem glinek ceramicznych jest kaolinit Al2Si2O9H4.) MMF 3 Funkcje elementarne xa, ax, loga(x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x) Zadania II Funkcje 1. Określić dziedzinę i przeciwdziedzinę wszystkich funkcji elementarnych (w przypadku funkcji wykładniczej i logaryt- micznej uwzględnić wszystkie możliwe wartości parametru a). 2. Narysować na jednym wykresie przebieg następujących funkcji: (a) y = xw dla różnych wartości rzeczywistego wykładnika w (uwzględnić wszystkie możliwe typy krzywych), określić wzajemne relacje miedzy nimi, (b) ax i loga(x) dla różnych wartości podstawy a, w tym dla a = 10 i a = e, (c) funkcje trygonometryczne i funkcje do nich odwrotne (cyklometrycznych), 3. Korzystając z wzorów na sin(a + b), cos(a + b) i jedynki trygonometrycznej: (a) znalezć wzór na tg(a + b) i ctg(a + b), (b) przedstawić sin(a) ą sin(b) oraz cos(a) ą cos(b) w postaci iloczynu funkcji sin i cos, (c) przedstawić każdą funkcję trygonometryczną przez każdą inną funkcję (wziąć pod uwagę wartości x w różnych ćwiartkach układu współrzędnych) (d) przedstawić wszystkie funkcje trygonometryczne od argumentu połówkowego a/2 (np. sin(a/2)) przy pomocy funkcji od argumentu a i odwrotnie. 4. Uprościć wyrażenia a2
a - (a2 - b2) (a + b)2 - ab a - b (a) b3 - a3 b(a + 2b) b2 + b - a a - b 12+3 23 32 8 18 (b) - + - a - + 1 1 1 9a + 6 128a + 48 1 - 2 - 3 - 1 1 1 1 + 2 + 3 + a a a (1 - e-2x)2 + 2(1 + e-x) - 4 (c) ex - e-x
(d) loga bx+y logb ax-y - logb ay-x loga by+x
sin x ą sin y 1 - tan(x)2 (e) (e) arcsin cos x ą cos y 1 + tan(x)2
sin x + sin y 1 Ą (f) " (f) arccos cos(x) + cos(x - ) sin x - sin y 2 2
cos x - cos y 1 1 (g) (g) arctan - cos x + cos y tan x + cot y cot x + tan y
tan a + tan b cot a + cot b (h) + 1 - sin(2x)2 tan a - tan b cot a - cot b (h) arccot - sin(2x) tan a + tan b + 1 " cot a + cot b 1 (i) (i) arcsin 2 cos x + arcsin - " - cos x 2 tan a - tan b - 1
2. Dla jakich wartości parametru p wektory b i są liniowo niezależne? a, c
b a c (2, -3, 4) (0, -1, 2) (-2, 2, p) (-3, 2, -2) (1, p, 1) (3, -2, 3) (3, -2, -1) (-2, 3, 4) (p, -2, -3) (2, -1, 1) (3, p, -3) (-4, 2, 2) 3. W dowolnym pięciokącie poprowadzono 5 wektorów ze środka każdego boku do przeciwległego wierzchołka. Wykazać, że suma tych wektorów jest równa zeru. Jaki ogólny wniosek można wysnuć z tego zadania? MMF 5
4. Wektory b i tworzą boki trójkąta ABC. Wykazać, że jeżeli punkty D, E i F dzielą odpowiednio boki BC, CA i a, c - - - - - - AB w stosunku m : n, to z wektorów AD, BE i CF można zbudować trójkąt.
5. Wykazać, że jeżeli wektory A, B, C i D mają wspólny początek, a ich końce leżą na jednej płaszczyznie to D =
ąA + B + łC, gdzie ą + + ł = 1. 6. Rozłozyć wektor p na składowe prostopadłą i równoległą do wektora q, oraz odwrotnie - wektor q względem wektora
7. Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów = (1, -1, 0) i b = (1, 1, 1). a
8. Wektor A = (2, 1) ma początek w punkcie (0, 0). Znalezć wektor prostopadły do niego o początku w punkcie (2, -1) i
końcu leżącym na wektorze A. 9. Udowodnić, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. -- -- - - 10. Znalezć składowe wektora P1P2 równoległą i prostopadłą do wektora P1P3 dla punktów P1(1, 2, -1), P2(0, 4, -3) i P3(-1, -2, 3). 11. Znalezć odległość punktu A(2, 3, 1) od prostej zadanej parametrycznie = p + dla p = (2, -1, 3) i q = (1, 1, -2). r q 12. Jeżeli wektor leży na płaszczyznie, to jego cosinusy kierunkowe spełniają relację cos2(x) + cos2(y) = 1, gdyż a cos(y) = sin(x). Znalezć relację wiążącą cosinusy kierunkowe wektora w przestrzeni trójwymiarowej. 13. Wektor tworzy z osią OX kąt 60o, a z osią OZ kąt 135o. Jaki jest kąt pomiędzy wektorem i osią OY ? a a 14. Pewien wektor tworzy z osiami układu kartezjańskiego kąty ą, 2ą i 3ą. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości kąta ą. 15. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach L1(0, 0, 1), L2(0, 1, 0), L3(-1, 0, 1) i L4(1, -1, 0). - - - 16. W punktach A(-2, -1, 0) i B(-3, 2, 1) zaczepione są dwa wektory: AC = (2, -4, 1) i BD = (0, -4, 3). Jeżeli wektory te nie leżą w jednej płaszczyznie to można na nich zbudować równoległościan (Jak? Czy w sposób jednoznaczny?). Obliczyć jego objętość. - - - - - 17. Wektory AB = (0, -4, 0), AC = (0, 0, -4) i AD = (4, 0, 0) tworzą krawędzie pewnego czworościanu. Obliczyć pole powierzchni tego czworościanu. 18. Wyrazić w prostszej formie (tzn. w postaci wymagającej prostszych obliczeń) następujące iloczyny:
(a) ( ( d) a b) c
(b) ( ( d) a b) c (c) ( + ( + ( a b c) b c a) c a b)
(d) ( ( d) + ( ( d) + ( ( d) a b) c b c) a c a) b 19. Wykazać słuszność następujących relacji:
(a) ( ( ( = [ b, a b) b c) c a) a, c]2 2 (b) ( a - ( ( = a2[ b, a b)2( c)2 a b) a c) a, c]2
20. Wykazać, że jeżeli b i nie leżą na jednej płaszczyznie, to dla dowolnego d zachodzi relacja a, c
[ b, = [ c, d] + [ d, b + [ b, d] a, c]d b, a a, c] a, c
21. Z wersorów i, j, k zbudować potrójny iloczyn wektorowy typu ( ( d) o największej wartości. a b) c
22. Dane są wektory i b. Znalezć wektor spełniający relacje: = b i = 0. a c c a c a
23. Dane są niezerowe wektory b i oraz parametry liczbowe ą i . Wyznaczyć wektory i spełniające układ równań: a, c x y
ą y = oraz + c = b. Podać wzór ogólny oraz rozwiązanie dla = (5, -3, 0), b = (6, 1, -5), = (1, -1, -1), x+ c a y x a c ą = 2 i = -1. MMF 6 Granice funkcji Jeżeli lim f(x) = a i lim g(x) = b, to: xx0 xx0 Granica iloczynu przez skalar lim [c f(x)] = c a (c-dowolna stała) xx0 Granica sumy lim [f(x) + g(x)] = a + b xx0 Granica iloczynu lim [f(x) g(x)] = a b xx0
f(x) a Granica ilorazu lim = (dla b = 0)
xx0 g(x) b Granica funkcji złożonej Jeżeli lim f(x) = a i lim g(x) = b, to lim g(f(x)) = b xx0 xa xx0 Pewne granice x 1 sin(x) lim 1 + = e lim = 1 x " x0 x x Zadania IV Wyznaczyć następujące granice (znak ą Pokazać, że: oznacza, że należy policzyć dwie różne gra- 1 3 1 + x 5 nice dla tej samej funkcji): 1. lim = 1 x-1 5 3 1 + x x + 1 x 1. lim 1 xą1 x3 + 1 2. lim 1 + = e x- " x x - 1 1 2. lim x xą2 4 - x2 3. lim (1 + x) = e x0 " x2 + 1 ln(1 + x) 3. lim 4. lim = 1 xą " x x0 x 1 - x log (1 + x) 1 4. lim a 5. lim = x0, ą1, ą2, ą " 2x2 + 2x - 4 x0 x ln(a) " a2 - x - a ex - 1 5. lim , dla a > 0 6. lim = 1 x0 x x0 x tan x ax - 1 6. lim 7. lim = ln(a) x0 x x0 x tan x sin(x) 7. lim x0 8. lim = 0 arctan x x " x cos 2x - 1 8. lim cos(x) - 1 1 x0 sin 4x 9. lim = - x0 x2 2
1 9. lim tan x + xĄ/2 x - Ą/2 MMF 7 Różniczkowanie dy df(x) f(x + "x) - f(x) f(x1) - f(x) Definicja pochodnej y = = = lim = lim x1x "x0 dx dx "x x1 - x d df(x) dg(x) Pochodna sumy [f(x) + g(x)] = + dx dx dx d df(x) dg(x) Pochodna iloczynu [f(x)g(x)] = g(x) + f(x) dx dx dx
d df(y) dg(x)
Pochodna funkcji złożonej f [g(x)] = y=g(x) dx dy dx -1
d df(y)
Pochodna funkcji odwrotnej f-1(x) = y=f-1 (x) dx dy
da(t) d dax(t) day(t) daz(t) Pochodna wektora = ( ax(t), ay(t), az(t) ) = , , dt dt dt dt dt Różniczki " dx - różniczka zmiennej x - nieskończenie mały (infinitezymalny) przyrost "x wartości zmiennej x " dy = df = df(x) = f (x)dx - różniczka funkcji y = f(x) - liniowa część przyrostu "y wartości funkcji przy infinitezymalnej zmianie dx wartości argumentu Zadania V 1. Wyprowadzić wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji: (a) badając granicę ilorazu różnicowego, (b) korzystając ze wzorów na pochodną iloczynu, funkcji złożonej i funkcji potęgowej, 2. Wyznaczyć różniczkę sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, oraz funkcji złożonej i odwrotnej. 3. Korzystając z definicji (granica ilorazu różnicowego) znalezć pochodne następujących funkcji: " " 1 x + 1 2 cos x , , , x , 2 3x - 1 , xe-x , x x - 1 3 - 2x x 4. Obliczyć pochodne wszystkich funkcji elementarnych korzystając tylko z definicji (granica ilorazu różnicowego), z wzorów na pochodną sumy, iloczynu, funkcji złożonej i funkcji odwrotnej, z obliczonych już pochodnych innych funkcji elementarnych, oraz ze znanych relacji między funkcjami. 5. Korzystając ze znajomości pochodnych funkcji elementarnych oraz ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu, itd., obliczyć pochodne następujących funkcji (rezultat podać w możliwie najprostszej postaci): 1. y = 4x3 - 6x2 + 3x + 5 , 9. y = sin (tan(x)) , 5 cot(3x) cot(2x) + 1 2. y = x2 - 2x + 3 , 10. y = , cot(2x) - cot(3x) 4 3. y = " , " 11. y = ln (2 sin(3x)) , 3x3 x - x2 x3
3 1 - sin x 2x2 - x - 1 12. y = log10 , 4. y = (1 - x) (x + 0.5)2 , 1 + sin x (2x + 1)5(3x - 3)2
3
2 13. y = arctan 1 + x2 - x , x2 + 3x + 2 5. y = ,
x2 - 3x + 2 1 - x2 14. y = cos arcsin , 6. y = ewx [A sin(ax) + B cos(bx)] , 1 + x2 7. y = xx ,
1 15. y = x arctan(x) - ln x2 + 1 . 8. y = ln e2x - e-2x , 2 MMF 8 Całka nieoznaczona Funkcja pierwotna
dF (x) f(x) = , dxf(x) = F (x) + const dx Związek z pochodną
a b a b c b dxf(x) = 0 , dxf(x) = - dxf(x) , dxf(x) = dxf(x) + dxf(x) a a b a a c
b f(x) 0 dla x " (a, b) ! dxf(x) 0 a
b b f(x) g(x) dla x " (a, b) ! dxf(x) dxg(x) a a Twierdzenie o wartości średniej Jeśli f(x) jest ciagła i ograniczona na (a, b), to:
b
dx f(x) = f(x)(b - a) , dla pewnego x " [a, b] a Podstawowy wzór rachunku całkowego
x d dy f(y) = f(x) dx a
b dx f(x) = F (b) - F (a) , gdzie dxf(x) = F (x) + C a Całkowanie przez podstawienie (zamianę zmiennych) Jeśli x = g(y) jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to:
b v dx f(x) = dyf (g(y)) g (y) , gdzie u = g-1(a) , v = g-1(b) a u Całki niewłaściwe
" b b b dx f(x) = lim dx f(x); jeśli lim f(x) = ą ", to dx f(x) = lim dx f(x); i.t.d b " xa+ 0+ a+ a a a MMF 9 Funkcje elementarne
xa axa-1 ół ln |x| (a = -1) ex ex ex ax ax (ln a) ax (ln a)-1 ln x x-1 x ln x - x loga x x-1 (ln a)-1 x loga x - x (ln a)-1 sin x cos x - cos x cos x - sin x sin x tan x (cos x)-2 - ln | cos x| cot x -(sin x)-2 ln | sin x| 1 1 2 2 arcsin x (1 - x2)- x arcsin x + (1 - x2) 1 1 2 2 arccos x -(1 - x2)- x arccos x - (1 - x2) 1 arctan x (1 + x2)-1 x arctan x - ln (1 + x2) 2 1 arccot x -(1 + x2)-1 x arccot x + ln (1 + x2) 2 MMF 10 Zadania VI 1. Obliczyć całki nieoznaczone wszystkich funkcji elementarnych. 2. Obliczyć następujące całki:
1 1 x3 1. dx 37. dx " 19. dx 3 - 2x 1 + cos x 3 - 2x2
x " 5 sin x
2. dx 2 x x - 2x " 38. dx 3 - 2x 20. dx " 1 + cos 2x 3
2 x - x x2 ex 3 3. dx
39. dx 2 2x - 3x 3 - 2x 2 + 3ex 21. dx "
3 x3 x e2x + e-x
4. dx 40. dx 3 - 2x 1 + 2e2x 22. dx x sin x
1
5. dx 41. dx xex 1 + x2 23. dx x sin x cos x
x
42. dx x2ex 6. dx 1 + x2 24. dx x sin2x cos x
2
x2 43. dx x ex 7. dx 25. dx x2 sin x
1 + x2 2
44. dx (2x - 3) e2x -6x x3 8. dx 26. dx x2 sin x cos x
1 + x2
45. dx (2x2 - 6x) e2x-3
x2 27. dx x sin(2x2 - 3)
9. dx
4 + x6 46. dx x ln x
1 28. dx (2x2 - 3) sin x
10. dx "
3 + 2 x 47. dx ln(x2 - 3) " 29. dx cos2x
x
11. dx 48. dx x2 ln x 3 + 30. dx cos3x "2x
x
49. dx x ln(x2) 12. dx " 3 + 2 x 31. dx cos4x
"
50. dx eax [b sin(wx) + c cos(wx)] x cos x 13. dx " 32. dx
3 x + 2x 1 + 4 sin x
51. dx tan(x) ln(cos x) cos x x " 33. dx 14. dx 1 + 4 sin2x 4x2 + 1 52. dx x arccos x
" 17. dx 36. dx x3 x 1 + cos 2x 3 - 2x2 55. dx (3x + )-1
3 1 + arccot(x) x2 3 " 18. dx 3 - 2x2 MMF 11 Zadania VII Obliczyć następujące całki oznaczone (jeżeli całki są niewłaściwe podać dodatkowo czy są one zbieżne czy rozbieżne):
17. dx x2e-ax , a > 0 x Ą - arctan 2 0 2 " 2 36. dx 18. dx xe-ax , a > 0 0 x2 + 4 0
1 e3 ln x " 19. dx 0 2 + x4
1 20. dx x 10x -1 MMF 12 Szereg Taylora n
1 f(x) = f(k)(x0) (x - x0)k + Rn(x; x0) k! k=0 Dla x0 = 0 szereg Taylora nazywa się szeregiem Maclaurina. Zadania VIII 1. Rozwinąć w szereg Taylora uwzględniając wyrazy rzędu (x - x0)5: (a) w punkcie x = 0 wszystkie funkcje elementarne, które są w tym punkcie określone, (b) w punkcie x0 = 1 funkcje xp (dla p < 0), ln x, log10 x, cot x, (c) w punkcie x0 = Ą/4 wszystkie funkcje trygonometryczne, a w x0 = Ą/2 te z nich, które są tam określone. Których funkcji elementarnych nie można rozwinąć w szereg Taylora ani w x0 = 0, ani w x0 = 1? 2. Wyznaczyć trzy początkowe różne od zera wyrazy szeregu Taylora następujących funkcji: " " x+ "2-x (a) f(x) = , w punkcie x0 = 1, 1+ x " " 3 Ą 3 (b) f(x) = arccos - x - , w punkcie x0 = , 2 2 2
" " 2 (f) f(x) = x (2x2 - e-2x ), (l) f(x) = x sin Ą2 - x2 - Ą2 - x2 , 4. Ile wyrazów rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji ex należy wykorzystać aby otrzymać dokładność rzędu 0.01 dla x = 1 , 0.5 , 0.1 , 0.05 , 0.01? Dla uzyskania wartości dokładnych można posłużyć się tablicami lub obliczeniami na kalkulatorze. 5. Wykorzystując rozwinięcie w szereg Taylora funkcji arctan(x) (w jakim punkcie?) wyznaczyć liczbę Ą z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku. 6. Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora i znanych wartości funkcji podać przybliżoną wartość
1 9 " liczbową (z dokładnością do 0.01) następujących wyrażeń: , cos(36ć%), cos(2ć%), tan Ą , (1.1)1.1, 3 40 0.95 ln(2.8) (wartości liczb e i Ą obliczyć także korzystając z szeregu Taylora). MMF 13 Rozkład prawdopodobieństwa 2 wartość średnia x, odchylenie standardowe Sx, wariancja Sx: N2 N2
" Ż odchylenie standardowe wartości średniej: Sx = Sx = (xn - x)2 , Ż N(N - 1) N n=1 Pomiar pośredni wielkości z = f(x, y, . . .) wartość średnia: z = f(x, y, . . .) Ż Ż Ż
2 2 "f(x, y, . . .) "f(x, y, . . .) Ż Ż Ż Ż 2 2 odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru: Sz = Sx + Sy + . . . , "x "y Ż Ż
2 2 "f(x, y, . . .) "f(x, y, . . .) Ż Ż Ż Ż 2 2 odchylenie standardowe wartości średniej: Sz = Sx + Sy + . . . , Ż Ż Ż "x "y Ż Ż MMF 14 Błąd maksymalny (prawdopodobieństwo ą = 0.9973) "x = 3Sx, ! x = x ą 3Sx , Ż Ż Ż "z = 3Sz, ! z = z ą 3Sz , Ż Ż Ż Niepewność Ux = kSx, (dla k = 1 niepewność standardowa, dla k > 1 niepewność rozszerzona) ! x = x ą Ux , Ż Ż Ż Ż Uz = kSz, ! z = z ą Uz , Ż Ż Ż Ż Mała seria pomiarów metoda Studenta-Fishera Ux = tą()Sx , ( = N - 1), ! x = x ą tą()Sx Ż Ż Ż Ż (ą - poziom ufności, - liczba st.swobody, tą() - wsp. Studenta-Fishera) jeśli niepewność standardowa, to t0.6827(), jeśli błąd maksymalny to t0.9973() Błędy systematyczny i przypadkowy są porównywalne wartość średnia x, odchylenie standardowe wartości średniej Sx, błąd systematyczny x, Ż Ż Pomiar bezpośredni wielkości x błąd maksymalny: "x = x + t0.9973()Sx Ż
1 2 odchylenie standardowe (niepewność): S = Sx + 2 , Ż x 3 Pomiar pośredni wielkości z = f(x, y, . . .)
2 2 "f(x, y, . . .) 1 "f(x, y, . . .) 1 Ż Ż Ż Ż 2 2 Sz = Sx + 2 + Sy + 2 + . . . Ż Ż x Ż y "x 3 "y 3 Ż Ż Wynik pomiaru błąd maksymalny: x = x ą "x , z = z ą "z Ż Ż niepewność: x = x ą S , z = z ą Sz Ż Ż Ż Porównanie bł edów pojedynczy pomiar: bład systematyczny
seria pomiarów: rozst r = xmax - xmin ep relacja mi parametrami przypadek kryterium edzy 1 r tylko bład systematyczny r <
2 1 r H" oba rodzaje bł edów < r < 10 2 r tylko bład przypadkowy r > 10
MMF 15 Średnia ważona
pomiar tej samej wielkości z różną precyzją: xj, Sx , j = 1, 2, . . . , J Ż Ż j J wjxj 2 1 Ż 1 j=1 x = Ż J , Sx = J , wj = Ż 2 Sx wj wj Ż j j=1 j=1 Regresja liniowa Dopasowanie prostej y = ax + b do wyników pomiarów: {xn, yn} , n = 1, 2, . . . , N (xy) - (x) (y) 1 (d2) 2 = , S = , 2 2 N - 2 (x2) - (x) (x2) - (x) Ć dn = yn - xn - b N
(x2) (y) - (x) (xy) gdzie 1 2 2 Ć b = , SĆ = S (x2) , (u) a" un. 2 b N (x2) - (x) n=1 (x) 2 C,Ć = - SĆ . b 2 b (x2) - (x) Ć y = x + b Dla dowolnego x mamy: 2 2 2 Sw = x2S + SĆ + 2xC ,Ć b b MMF 16 Zadania IX We wszystkich zadaniach odpowiedzi podawać zgodnie z zasadami prezentacji danych eksperymentalnych. 1. Wyznaczyć błędy maksymalne następujących wielkości złożonych: (a) y = sin(xĄ), dla x = 0.432 ą 0.002, " (b) z = x + 2y dla x = 34(1), y = 12.35(5), " (c) z = x - 2y dla x = 34(1), y = 12.35(5), x + y (d) u = dla x = 23.12 ą 0.01, y = -7.3 ą 0.1, z = 57.6 ą 1.7, z " Ąx2 y (e) u = dla x = 0.96 ą 0.01, y = 2.4 ą 0.1, z = 3400 ą 100, 2z 2. Wyznaczyć wartości średnie, odchylenia standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej, oraz niepewność pomiaru dla podanych wartości poziomu ufności ą: (a) x = 23.43, 23.71, 24.18, 22.90, 23.83 dla ą = 0.9, (b) h = 8848, 8796, 8931, 8812, 8865, 8804, 8873, 8187, 8817, 8785, 8823, 8853 dla ą = 0.95, (c) V = 9.17, 9.56, 8.67, 8.94, 9.32, 9.02, 8.15, 8.88, 9.34, 9.78, 8.99, 9.19, 8.73, 9.42, 9.08, 8.85 dla ą = 0.7, 3. Podać wynik pomiaru wielkości złożonych wraz z błędem maksymalnym i niepewnością standardową: (a) y = 2x - 3, dla x = 0.74, 0.82, 0.71, 0.78, 0.77, 0.80, 0.75, (b) z = x exp(-Ąt), dla x = 345, 367, 329, 339, 351, 354, t = 0.17, 0.23, 0.31, 0.26, 0.27, 0.34, 0.30, 0.27 " b2 c (c) a = dla b = 2.56, 2.67, 2.46, 2.53, 2.59, c = 538(8), u = 3781, 3854, 3723, 4u -1 h (d) n = sin(ą) sin dla ą = 63o15 ą 5 , h = 17.2, 17.1, 17.3, 17.3, 17.4, 17.2, d = 32 ą 2. d 4. Wykonując pomiar pewnej wielkości na kilka różnych sposobów uzyskano następujące rezultaty: (a) s1 = 5680, S1 = 320, s2 = 5495, S2 = 45, (b) x1 = 23.1, S1 = 2.3, x2 = 25.7, S2 = 4.5, x3 = 22.9, S3 = 1.9, (c) g1 = 9.81, S1 = 0.17, g2 = 10, S2 = 1, g3 = 9.4, S3 = 0.8, g4 = 10.43, S4 = 0.05, g5 = 9.64, S5 = 0.21, Jaką wartość mierzonej wielkości i jej niepewności należy podać? 5. Wielkości x i y zależą od siebie liniowo. Zmierzono następujące wartości (x, y): (-4.5, 23), (3.2, 27), (12.0, 27), (17.1, 28), (24.9, 31), (31.8, 32), (42.2, 33). Jakie wartości y i ich niepewności należy podać dla x = 0, 10, 20, 30, 40? 6. Wielkości p i t związane są ze sobą relacją p = A exp(-kt). Wyznaczyć wartości parametrów A i k jeżeli zmierzono następujące wartości (p, t): (9.2, 1.6), (8.5, 2.9), (8.0, 4.1), (7.6, 5.8), (6.6, 7.5), (6.2, 9.2), (5.5, 12.0). 7. Aby określić powierzchnię prostokątnego stołu zmierzono miarą o podziałce 1 cm jego długość l = 1.73 m i szerokość d = 1.12 m. Jaką powierzchnię ma stół? 8. Ze śniegu ulepiono kulę. Jej masę zmierzono pięciokrotnie otrzymując następujące wartości wyrażone w kg: 3.52, 3.71, 3.48, 3,64, 3.59. Średnicę kuli zmierzono 10-krotnie (w cm): 21.2, 22.3, 24.1, 23.4, 22.8, 21.9, 23.4, 22.7, 23.2, 23.9. Wyznaczyć gęstość masy śniegu. MMF 17 9. Mierzono spadek napięcia i natężenie prądu płynącego przez układ dwóch rezystorów połączonych (a) szeregowo, (b) równolegle. Uzyskano (a) Ua = (8.9 ą 0.1) V , Ia = (80 ą 5)A, (b) Ub = (8.1 ą 0.1) V , Ib = (880 ą 10)A. Wyznaczyć wartości oporu elektrycznego obu rezystorów. 10. Wyznaczyć wartość współczynnika rozszerzalności liniowej stalowego pręta. W temperaturze (20 ą 1)oC pręta miał 1543.32(1) mm długości, zaś w temperaturze (83 ą 1)oC miał 1544.27(1) mm. W jakiś czas pózniej powtórzono pomiar uzyskując 1543.27(1) mm długości w temperaturze (18 ą 1)oC, oraz 1544.03(1) mm długości w temperaturze (69 ą 1)oC. 11. Wyznaczyć wartość współczynnika rozszerzalności liniowej pręta mosiężnego. Zmieniając tempera- turę (dokładność 0.1oC) mierzono jego długość (dokładność 0.01mm). Uzyskano następujące rezul- taty: 16.3oC 1021.32 mm, 21.9oC 1021.41 mm, 29.1oC 1021.52 mm, 33.9oC 1050.10 mm, 40.6oC 1061.82 mm, 46.0oC 1069.05 mm, 53.7oC 1081.92 mm, 58.7oC 1091.03 mm, 66.6oC 1102.79 mm, 70.5oC 1009.11 mm. 12. Badano wahadło matematyczne. Długość wahadła miała wartość (263.1 ą 0.1) cm. Mierząc czas trwania 20 okresów uzyskano wartości (w sekundach): 65.02, 64.78, 64.81, 65.21, 64.96, 64.88, 61.03, 65.07, 65.93. Dokładność stopera wynosiła 0.01 s. Wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego. 13. Badano współczynnik tarcia k mierząc czas zsuwania się klocka prostopadłościennego po równi po- chyłej. Zmierzono: kąt nachylenia równi ą = 37(1)0, długość równi L = 268.5(1) cm, masę klocka m = 85.75(05) g, rozmiary klocka a = 81.3(1) mm, b = 41.5(1) mm, c = 26.9(1) mm. Czas zsu- wania wynosił (z dokł. do 0.1 s): 1.6, 1.7, 1.5, 1.6, 1.5, 1.4, 1.6, 1.5, 1.6, 1.7. Wyznaczyć wartość współczynnika k. MMF 18 Całki podwójne b y2(x) d x2(y)
dS f(x, y) = dx dy f(x, y) = dy dx f(x, y) a c S y1(x) x1(y)
dx dy f(x, y) = du dv |J(u, v)| f (x(u, v), y(u, v)) S S
"u "v np. przy zamianie współrzędnych kartezjańskich (x, y) na biegunowe (r, ) jakobian ma postać: J = r. Całki potrójne b y2(x) z2(x, y)
dV f(x, y, z) = dx dy dz f(x, y, z) a V y1(x) z1(x, y)
dx dy dz f(x, y, z) = du dv dw |J(u, v, w)| f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) V V
"x(u, v, w) "x(u, v, w) "x(u, v, w)
"u "v "w
D(x, y, z) "y(u, v, w) "y(u, v, w) "y(u, v, w)
J(u, v, w) = = !- jakobian
D(u, v, w) "u "v "w
"z(u, v, w) "z(u, v, w) "z(u, v, w)
"u "v "w np. jakobian przyjmuje następującą postać przy zamianie współrzędnych: kartezjańskie - cylindryczne J = r kartezjańskie - sferyczne J = r2 sin Zadania IX Obliczyć całki podwójne: 1. obszar: kwadrat x " (0, Ą), y " (0, Ą); f(x, y) = sin(ax + by), dla dowolnych stałych a i b 2. obszar: trójkąt x " (0, Ą), y " (0, x); f(x, y) = sin(ax + by), dla dowolnych stałych a i b " 3. obszar: trójkąt o wierzchołkach (1, -1), (3, -1), (1, 3); f(x, y) = x/ 5 - y, 4. obszar: trójkąt o wierzchołkach (1, 2), (4, 2), (2, 4); f(x, y) = 1/(1 + x + y), 5. obszar: trójkąt o wierzchołkach (-3, -2), (-2, 0), (0, 1); f(x, y) = 1/(x2 + y2), " 6. obszar pomiędzy odcinkiem [0, Ą] na osi OX oraz krzywą y = sin x; f(x, y) = sin x 1 - y sin x, 7. obszar: x 0, y 0, x2 + y2 R2; f(x, y) = arctan (y/x), MMF 19 x+y 8. obszar pomiędzy krzywymi y = a sin x i y = b sin x na odcinku x " [0, Ą] dla dowolnych stałych a i b; f(x, y) = , sin x 9. obszar pomiędzy prostymi: y = x, y = 2x, y = 1 - x, y = 1 - 2x; f(x, y) = 1/(x2y),
10. obszar dla x > 0 zawarty pomiędzy parabolami: y = 2x2 - 1, y = 2x2 - 4, y = -x2, y = 3x2; f(x, y) = x-3 y - 2x2. Obliczyć całki potrójne: 11. obszar: prostopadłościan o wierzchołkach (0, 0-, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); f(x, y, z) = 1/(1 + x + y + z), 12. obszar: ostrosłup o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); f(x, y, z) = 1/(1 + x + y + z), " 13. obszar: graniastosłup o podstawie o wierzchołkach (1, 0, 1), (2, 0, 1), (3, 0, 2) i wysokości h = 4; f(x, y, z) = y/ x + z, " 14. obszar: równoległościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) i (1, 1, 1); f(x, y, z) = x y + z,
15. obszar: walec o środku w punkcie (0, 0, 0), wysokości h równoległej do osi OZ i o promieniu R; f(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
16. obszar: kula o środku w punkcie (0, 0, 0), i promieniu R; f(x, y, z) = x2 + |yz|, 17. obszar: część wspólna kuli o promieniu R i walca o promieniu R/2, obie bryły mają środek w punkcie (0, 0, 0), oś walca leży wzdłuż osi OY ; f(x, y, z) = (x + z)y/(x2 + z2). 18. Wyprowadzić wzory na objętość: walca, stożka, elipsoidy (półosie a, b i c). 19. Obliczyć objętość części wspólnej kuli o promieniu R i stożka o promieniu i wysokości h: (a) gdy jego wierzchołek leży w środku kuli, (b) gdy jego wierzchołek leży na powierzchni kuli a oś symetrii przechodzi przez środek kuli. Rozważyć wszystkie przypadki. Jaka jest objętość wycinka kuli (w kształcie stożka) o kącie bryłowym równym 1 steradianowi? (Co to jest steradian?) 20. Środek kuli o promieniu R1 umieszczony jest na powierzchni kuli o promieniu R2. Obliczyć objętość części wspólnej obu kul (rozważyć wszystkie przypadki). 21. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego płaszczyzną OXY , powierzchnią boczną walca o równaniu x2 + y2 = 4 oraz powierzchnią paraboloidy obrotowej z = z0 + a(x2 + y2). 22. Moment bezwładności brył sztywnych względem danej osi obrotu wyraża się całką po objętości bryły:
I = dV r2 (x, y, z) , V gdzie r jest odległością danego punktu od osi obrotu. Wyprowadzić wzory na momenty bezwładności względem wszyst- kich osi symetrii następujących brył o jednorodnie rozłożonej masie całkowitej M (przyjąć dodatkowe parametry określające kształt brył): (a) sześcian, (b) prostopadłościan, (c) walec, (d) stożek, (e) elipsoida obrotowa, (f) torus, (g) sześcioramienna gwiazdka z choinki.