LISTA ZADAC
NR 4 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Funkcje, moc zbioru
1. Zbadać czy podane relacje są funkcjami? Jeśli tak, to sprawdzić czy są surjekcjami oraz czy są
injekcjami
a) R = {(x, y) " R2 : x2 = y2}.
b) R = {(x, y) " R × (R+ *"{0}) : x2 = y2}.
c) R = {(x, y) " N × Z : x3 = y2}.
d) R = {(x, y) " (R+ *"{0}) × R : log2 x - y = 0} .
e) R = {(x, y) " R2 :[x]- y = 0}.
Jeśli dana relacja jest bijekcją, wyznaczyć funkcję odwrotną.
ax + b
2. Czy relacja xR y Ô! y = , gdzie a,b,c,d " R i ad - bc `" 0 jest funkcjÄ… w zbiorze
cx + d
R × R ? JeÅ›li nie, to jaki jest najwiÄ™kszy podzbiór X ‚" R , dla którego relacja ta, ale zawarta w
zbiorze X × R bÄ™dzie funkcjÄ…? Czy funkcja ta jest injekcjÄ…? Czy jest surjekcjÄ…? JeÅ›li nie to
wyznacz zbiór Y ‚" R , taki aby funkcja R ‚" X ×Y byÅ‚a surjekcjÄ…. Relacja R ‚" X ×Y jest
bijekcją, a zatem relacja do niej odwrotna jest także funkcją (również bijekcją). Wyznacz wzór
funkcji odwrotnej. Narysuj wykresy funkcji R i funkcji odwrotnej dla a = 2,b = 9,c = 1, d = 3.
3. Dane sÄ… zbiory D = {(x, y) " R2 : x2 + y2 d" 1}, Z = [0,5] oraz relacja R ‚" D × Z , okreÅ›lona
nastÄ™pujÄ…co (x, y)R z Ô! z = 5 - x2 - y2 . Czy relacja ta jest funkcjÄ…? JeÅ›li tak, to czy jest
surjekcjÄ…? Czy jest injekcjÄ…?
4. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem f (x) = 3x2 - 3x + 2 . Znalez
ć:
a) f ({1, 2}) .
b) f ([-2, -1]) .
c) f ((-", - 2]) .
-1
d) f ({0, 2,8}) .
-1
e) f ([2,8]) .
-1
f) f ((-", - 6) ) .
5. Niech A będzie zbiorem n  elementowym, a B zbiorem m- elementowym. Ile istnieje
a) relacji binarnych zawartych w A× B ?
b) funkcji ze zbioru A do zbioru B?
c) funkcji różnowartościowych (injekcji) z A do B?
d) funkcji wzajemnie jednoznacznych (bijekcji) z A do B?
6. Uzasadnić, że następujące zbiory są przeliczalne: zbiór liczb całkowitych ujemnych, zbiór
liczb całkowitych, zbiór liczb naturalnych nieparzystych, zbiór liczb wymiernych.
7.Uzasadnić równoliczność zbiorów:
ëÅ‚- Ä„ Ä„
öÅ‚
a) , ~ (a, b) ~ R . b) (0,1) ~ (0,1)2.
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
8. JakÄ… moc majÄ… zbiory A = {x " R : x > 5}, B = {n" N : 4 | n} . Jakiej mocy sÄ… zbiory A *" B ,
A )" B oraz A× B . Odpowiedz
uzasadnij.
Dorota Majorkowska-Mech