Statystyka - wykłady
26.02.2015
(w.1)
*Podstawowe pojęcia statystyczne:
żð Statystyka- to dyscyplina naukowa, poÅ›wiÄ™cona metodom badania(analizowania) zjawisk
masowych. Statystyka opisowa polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i
jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych wykresów itp.
żð Zbiorowość statystyczna- zbiór dowolnych (nieidentycznych) elementów(jednostek statystycznych:
przedmiotów, osób zdarzeń) objętych badaniem statystycznym posiadających, co najmniej jedną
cechę wspólną (istotną e względu na cel badania)
żð Zbiorowość generalna ( populacja) - zbiór wszystkich jednostek statystycznych, których dotyczy
interesujÄ…cy problem.
żð Zbiorowość próbna ( próba)  część populacji poddawana badaniu statystycznemu. Próba może być
mała ( do 30 elementów) lub duża powyżej 30 elementów.
żð Jednostka statystyczna- każdy element badanej zbiorowoÅ›ci.
żð Cecha statystyczna - wÅ‚aÅ›ciwość jednostki statystycznej (np.; wiek kobiet) wyróżniamy cechy: staÅ‚e
i zmienne.
żð Cechy staÅ‚e- sÄ… wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ciÄ… wspólnÄ… dla wszystkich jednostek
żð Cechy zmienne- to wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci różniÄ…ce poszczególne jednostki, DzielÄ… siÄ™ na jakoÅ›ciowe i
ilościowe.
żð Cecha jakoÅ›ciowa- cecha niemierzalna (opisowa) wyrażona kategoriÄ… sÅ‚ownÄ…( pÅ‚eć, zawód stan
cywilny)
żð Cecha iloÅ›ciowa- cecha mierzalna wyrażona liczbowo różnymi jednostkami ( wzrost waga)
* Skale pomiarowe:
żð Pomiar statystyczny  polega na przyporzÄ…dkowaniu cechom statystycznym ustalonych symboli,
którymi mogą być liczby litery alfabetu kolory opis słowny.
żð Skala pomiarowa- to system pozwalajÄ…cy usystematyzować wyniki pomiarów statystycznych
żð Skala nominalna- skala stosujÄ…ca wyÅ‚Ä…cznie opis sÅ‚owny dla potrzeb identyfikacji jednostki a
dokładnie ustalenia czy dana jednostka należy lub nie należy do określonej kategorii
żð Skala porzÄ…dkowa (rangowa) - sÅ‚użąca do porzÄ…dkowania danych interesuje nas tutaj, w jakim
nasileniu występuje cecha będąca podstawą zakwalifikowania danej jednostki do pewnej kategorii (
porównujemy ze sobą jednostki i oceniamy ze względu na dana cechę przy pomocy operacji większy
równy mniejszy np.; wielostopniowe odpowiedzi w kwestionariuszu skale ocen ranking szkół
wyższych punktu widzenia ich atrakcyjności
żð Skala ilorazowa- (stosunkowa) - pozwala na uzyskanie dokÅ‚adnych wartoÅ›ciowo różnic miÄ™dzy
badanymi cechami statystycznymi, dzięki posiadaniu stałego naturalnego punktu zerowego (tzw.
zero bezwzględne ograniczające jednostronnie zakres skali), w której brak mierzonej cechy. Dane
pisane w tej skali przyjmują zawsze wartości liczbowe, które są proporcjonalne do stopnia, w jakim
poszczególnym elementom tych kategorii przysługuje mierzona własność.
CECHY JAOÅšCIOWE MIERZONE S
W SKALACH NOAMIANLEJ I PORZ
DKOWEJ
CECHY ILOÅšCIOWE MIERZONE S
W SKALACH PRZEDZIAA
OWEJ I ILORAZOWEJ!!!!!!!!!
* Badanie statystyczne  ogół czynności mających na celu poznanie rozkładu zbiorowości statystycznej
pod względem wybranej lub wybranych cech ( analiza struktury) lub ocena rodzajów związków
występujących między cechami ( analiza współzależności)
* Procedura badań statystycznych:
1. Projektowane (przygotowanie) badania: (!!!)
Jest to bardzo ważny etap. Polega on na jasnym, szczegółowym i jednoznacznym sprecyzowaniu
celu, (co i kogo badamy, na jakim terenie i w jakim okresie przeprowadzimy badania). Pozwala to na
1
dokładne uświadomienie sobie, do czego mają służyć wnioski wprowadzone w toku badania
statystycznego.
2. Obserwacja statystyczna (proces zbierania informacji) - etap ten polega na zliczeniu jednostek w
poszczególnych grupach posiadających określoną wartość cechy.
3. Opracowanie zebranego materiału i jego prezentacja
4. Analiza wyników ( opis lub wnioskowanie statystyczne) i ich interpretacja
* Opracowanie metod statystycznych:
żð Grupowanie statystyczne  to usystematyzowanie zebranego materiaÅ‚u statystycznego (np.>
kwestionariuszy, ankiet) według pewnych (ustalonych) kategorii\kryteriów (np. płeć, klas) w szeregi
rozdzielcze przedstawione w formie tabeli lub wykresów.
żð Szereg rozdzielczy- to zbiór wartoÅ›ci liczbowych uporzÄ…dkowanych wedÅ‚ug wariantów badanej
cechy mierzalnej lub niemierzalnej, przy czym poszczególnym wariantom zmiennej
przyporządkowane są odpowiadające im liczebności. Określa on strukturę badanej zbiorowości
Rozróżniamy szeregi rozdzielcze:
żð jednostopniowe (punktowe)
Lp. x f
częstość występowania
1 x1 f1
2 x2 f2
& & &
żð wielostopniowe (przedziaÅ‚owe)
Lp. x f
liczebność
1 x1 - x2 f1
2 x3- x4 f2
& & &
* Etapy budowania szeregu rozdzielnego: (!!! Egzamin punkty 1-3)
1. Określamy obszar zmienności badanej cechy tzn.: obliczamy różnicę pomiędzy najwyższa a
najniższą wartością badanej cechy: R= Xmax X min
2. Ustalamy ilość przedziałów klasowych (k):
5 d" k d" 20
k=
W przypadku bardzo licznych prób k=
3. Ustalamy długość przedziałów klasowych (i):
i =
4. Możemy (opcjonalnie) wyznaczyć nasilenie danej cechy w stosunku do danej zbiorowości (%):
* Prezentowanie danych:
a. Metoda 1.
Tabela zawiera dane statystyczne w postaci szeregów oraz parametrów opisowych. Umieszczenie w
tabeli danych pozwala na uchwycenie ilościowych zależności miedzy nimi.
b. Metoda 2. (równorzędna !)
Najczęściej stosuje się takie wykresy statystyczne jak:
żð krzywa liczebnoÅ›ci  obrazuje rozkÅ‚ad badanej zmiennej w próbie
2
żð histogram  wykres  sÅ‚upkowy
żð krzywa liczebnoÅ›ci skumulowanych (ogniwa)
* ETAPY BUDOWANIA SZEREGU ROZDZIELCZEGO WIELOSTOPNIOWEGO: (ten przykład
na stronie)
1. Wyznaczamy obszar zmienności:
Najwyższa wartość badanej cechy to np. 68, a najniższa, 36 zatem: R = 68-36 = 32
2. Obliczamy liczbę przedziałów klasowych:
N = 178 zatem k= = 13,3
3. Ustalamy długość przedziałów klasowych:
Ponieważ wyliczona wartość k nie dzieli R, to rozszerzamy obszar zmienności do 33 pkt.,
przyjmując 11 przedziałów klasowych ( na podstawie zasady z pkt. 2). Wobec tego l=
* Tabela szeregu rozdzielczości:
W tabeli zostaną umieszczone dwie dodatkowe kolumny, które będą niezbędne do dalszego opracowywania
danych empirycznych:
żð Fk frekwencja skumulowana poszczególnych przedziałów klasowych
żð XÅ›r Å›rodki poszczególnych przedziałów klasowych
Frekwencję skumulowaną otrzymujemy sumując liczebności przedziałów poprzedzających oraz liczebność
danego przedziału klasowego.
Środki poszczególnych przedziałów klasowych wyznaczamy obliczając średnią arytmetyczną z dolnej i
górnej granicy danego przedziału.
* Opis zbiorowości statystycznej to uporządkowanie wyników badań oraz ich analiza w oparciu o szereg
parametrów opisowych szczególnie takich jak:
żð miary poÅ‚ożenia
żð miary rozproszenia
żð miary asymetrii
* Miary położenia (tendencji centralnej, miary średnie, miary przeciętne):
żð WskazujÄ… miejsce gdzie leży wartość najlepiej charakteryzujÄ…ca wszystkie jednostki danej
zbiorowości.
żð MówiÄ… o przeciÄ™tnym poziomie analizowanej cechy.
żð SÄ… najczęściej używane w badaniach pedagogicznych do charakterystyki szeregów rozdzielczych.
Miarami tendencji centralnej sÄ…:
żð w grupie klasycznych  Å›rednia arytmetyczna
żð w grupie pozycyjnych  dominanta (modalna), mediana
* Åšrednia arytmetyczna:
Przeciętny poziom obserwowanej cechy. Ma zastosowanie TYLKO do skal ilościowych (interwałowych i
ilorazowych)
Obliczamy, gdy:
żð wymagana jest wiÄ™ksza rzetelność
żð majÄ… być wykonane inne obliczenia
żð rozkÅ‚ad jest symetryczny wzglÄ™dem Å›rodka szczególnie, gdy jest w przybliżeniu normalny
Nie należy jej obliczać, gdy:
żð rozkÅ‚ad jest asymetryczny
żð próba losowa jest bardzo maÅ‚a
żð klasy sÄ… otwarte na koÅ„cach
Średnia arytmetyczna prosta - wyliczana jest z szeregów szczegółowych prostych (dla danych
niepogrupowanych)
3
liczebność pomiaru
Suma wartści zmiennej wszystkich jednostek, badanej zbiorowości podzieloa przez liczbę tych jednostek.
Powyższy wzór stosujemy gdy mamy do czynienia z małą liczbą spostrzeżeń lub gdy każda wartość
zmiennej powtarza siÄ™ tylko jeden raz.
Średnia wyliczana z szeregów rozdzielczych punkowych (dla danych pogrupowanych).
n - liczebność pomiaru
x - wartość pomiaru
f  liczebność
(frekwencja) pomiaru
Powyższy wzór stosujemy przy dużej liczbie spostrzeżeń.
Średnia wyliczana z szeregów rozdzielczych przedziałowych (dla danych pogrupowanych w tzw. przedziały
n- liczebność pomiaru
klasowe)
x- środek przedziału średnia arytmetyczna przedziału
n oznacza ilość x1
f  liczebność (frekwencja) pomiaru
5.03.2015
(w.2)
* Mediana:
Wyliczana z szeregów szczegółowych prostych (dla danych niepogrupowanych).
Wartość środkowa szeregu statystycznego uporządkowanego rosnąco lub malejąco.
Obliczamy, gdy:
żð ilość pomiarów jest bardzo maÅ‚a
żð w rozkÅ‚adach wystÄ™pujÄ… klasy otwarte
żð dane sÄ… pogrupowane
żð rozkÅ‚ad jest asymetryczny
żð interesuje nas czy obserwacje przypadajÄ… w dolnej czy górnej poÅ‚owie rozkÅ‚adu a nie interesuje nas
ich odchylenie od punktu środkowego
Mediana - wzory:
Mediana wyliczana z szeregów szczegółowych prostych (dla danych niepogrupowanych):
tymi wzorami wyznaczamy pozycję mediany a nie jej wartość!
Mediana wyliczana z szeregów rozdzielczych przedziałowych (dla danych pogrupowanych):
x0  dolna granica przedziału mediany
fx  Å‚Ä…czna liczba obserwacji w klasach poprzedzajÄ…cych klasÄ™ mediany
fMe  liczba obserwacji w przedziale mediany
i  rozpiętość przedziału klasowego
n  liczebność populacji
4
* Modalna (dominanta, moda):
żð cecha dominujÄ…ca czyli wartość która jest najliczniej reprezentowana (wystÄ™puje najczęściej), w
danej zbiorowości statystycznej
żð nadaje siÄ™ najbardziej do charakteryzowania cech jakoÅ›ciowych
żð Obliczamy gdy:
- wymagana jest najszybsza ocena wartości centralnej
- wystarczy przybliżona ocena wartości centralnej
- chcemy wiedzieć, jaka ocena jest najbardziej typowa
- wartości grupują się wyraz
nie wokół jednego punktu
- dla charakterystyki rozkładów wyraz
nie asymetrycznych
Modalna (dominanta, moda) - wzory
Modalna wyliczana z szeregów rozdzielczych przedziałowych (dla danych pogrupowanych)
 liczebność (liczba obserwacji) przedziału modalnej
 liczebność przedziału poprzedzającego przedział modalnej
 liczebność przedziału następującego po przedziale modalnej
 dolna granica przedziału modalnej
 rozpiętość przedziału; np. dla mamy
* Miary rozproszenia (Dyspersji): (!!!)
żð wskaz
niki jakościowe
żð informujÄ… o poziomie jednorodnoÅ›ci badanych zbiorowoÅ›ci (lub inaczej stopniu rozproszenia
wyników w obrębie badanego zjawiska)
żð im mniejsza wartość tych miar, tym wiÄ™ksza jednorodność w zakresie badanej cechy
Miarami dyspersji sÄ…: (!!!)
a. w grupie miar bezwzględnych - odchylenie standardowe, wariancja, obszar zmienności,
b. w grupie miar względnych - współczynnik zmienności
* Wariancja i odchylenie standardowe:
Przeciętne zróżnicowanie (odchylenie) badanej cech od średniej arytmetycznej.
Obliczamy gdy:
żð potrzebna jest wartość, na której można w jak najwiÄ™kszym stopniu polegać
żð mogÄ… być potrzebne dalsze obliczenia z zastosowaniem tych miar
Nie obliczamy gdy badane zjawisko mierzone jest w różnych jednostkach miary (waga, wzrost)
Wariancja - średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmienne jod średniej
arytmetycznej całej zbiorowości
Odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancji
Najważniejsze cechy:
żð jest wielkoÅ›ciÄ… obliczanÄ… na podstawie wszystkich obserwacji
żð można jÄ… poddawać przeksztaÅ‚ceniom algebraicznym
żð im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana tym wiÄ™ksze jest odchylenie standardowe (!!!)
5
ALGORYTM OBLICZANIA WARIANCJI (ODCHYLENIA STANDARDOWEGO DLA SZEREGÓW
ROZDZIELCZYCH PRZEDZIAA
OWYCH):
1. Wypisanie w dwóch kolumnach wartości danych z treści zadania wartości pomiaru i ich liczebności
2. Wyznaczenie środków przedziałów klasowych
3. Obliczenie wartości średniej arytmetycznej
4. Obliczenie różnic odchyleń poszczególnych środków przedziałów klasowych od średniej
5. Obliczenie kwadratów różnic odchyleń poszczególnych środków przedziałów klasowych od średniej
6. Obliczenie iloczynów liczebności poszczególnych przedziałów klasowych przez kwadraty powyższych
różnic
7. Obliczenie sumy powyższych iloczynów.
8. Obliczenie wariancji poprzez podzielenie otrzymanej sumy przez liczebność próby n
9. Wyznaczenie odchylenia standardowego poprzez wyciagnięcie pierwiastka kwadratowego z obliczonej
(powyżej) wariancji.
* Obszar zmienności (rozstęp):
żð pozwala  uchwycić omawiane różnice
żð obliczamy, gdy:
- potrzebna jest miara dotycząca zapisów skrajnych
- potrzebna jest możliwie szybka do obliczenia miara dyspersji
* Współczynnik zmienności - jest względną miarą rozproszenia, służącą do porównania zróżnicowania
dwóch różnych cech (np. wzrost i obwód ramienia) lub jednej cechy w dwóch różnych grupach (np.
porównanie płci nauczycieli o różnych stażach pracy).
Nie wolno stosować, gdy:
żð lub
żð dane empiryczne wyróżnione sÄ… w procentach (!!!)
Informuje, jaki procent średniej arytmetycznej stanowi odchylenie standardowe. Wyższa wartość oznacza
większe zróżnicowanie wielkości danej cechy.
Jeśli współczynnik zmienności przyjmuje wartości liczbowe z przedziału od 0% do 100% to fakt ten
świadczy o niejednorodności zbiorowości.
Jeśli to zbiorowość jest znacznie zróżnicowana pod względem badanej cechy.
* Miary asymetrii (skośności):
żð stosujemy, gdy interesuje nas czy odchylenie od wartoÅ›ci jest wiÄ™ksze w jednÄ… lub drugÄ… stronÄ™
żð wyniki asymetrii - wyróżniamy różnicÄ™ miÄ™dzy Å›redniÄ… arytmetycznÄ…, a modalnÄ…. Dla wyrażenia
faktu występujące zjawiska asymetrii bądz
jej braku i jej kierunku można wykorzystać relację
między średnią arytmetyczną a dominantą.
Interpretacja:
zjawisko skośności nie występuje; rozkład jest symetryczny tzn. występuje jednakowa liczba
jednostek statystycznych poniżej i powyżej średniej arytmetycznej
rozkład jest asymetryczny; skośność prawostronna tzn. zbiorowość z dominantą jednostki o
wartości cechy niższych od średniej
rozkład jest asymetryczny; skośność lewostronna tzn. zbiorowość z dominantą jednostki o
wartości cechy wyższych od średniej
6
* Współczynnik asymetrii - wyrażamy ilorazem wskaz
nika asymetrii przez odchylenie standardowe.
Interpretacja:
współczynnik = 0 (brak skośności)
skośność dodatnia
skośność ujemna
KORELACJE W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH
* Korelacja (współzależność cech) - związek pomiędzy zmiennymi, sytuacja, gdy zmianom średnich
wartości jednej towarzyszy zmiana wartości drugiej  skorelowanej z nią zmiennej.
Np. związek między liczbą opuszczonych godzin w szkole a wynikami testu z jakiegoś przedmiotu
Stwierdzenie czy istnieje związek między dwoma badanymi cechami umożliwia analiza korelacyjna.
Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz siłę.
* Rodzaje korelacji:
Ze względu na sposób analizy oraz charakter analizowanych zmiennych wyróżniamy:
żð KorelacjÄ™ prostÄ…  bada zwiÄ…zek zachodzÄ…cy miÄ™dzy dwoma cechami lub zjawiskami (rxy)
żð KorelacjÄ™ czÄ…stkowÄ…  informuje o zwiÄ…zku dwóch cech z wyÅ‚Ä…czeniem trzeciej zmiennej (rxy.z)
żð KorelacjÄ™ wielorakÄ…  informuje o zwiÄ…zku jej cechy z kilkoma ujÄ™tymi Å‚Ä…cznie (rx.yz)
Rozróżniamy związki korelacyjne między cechami mierzalnymi i niemierzalnymi.
Analiza korelacji
Jakościowa Ilościowa
(umożliwia stwierdzenie (określa siłę i kierunek
zwiÄ…zku przyczynowo - zwiÄ…zku)
skutkowego na
podstawie merytorycznej
analizy logicznej)
Miarą siły i kierunku oraz kształtu związku jest:
żð dla zmiennych porzÄ…dkowych i iloÅ›ciowych współczynnik korelacji (!!!)
żð dla zmiennych nominalnych (jakoÅ›ciowych) współczynnik kontyngencji
Współczynnik to liczba określająca w jakim stopniu zmienne są współzależne
* Związek cech ilościowych:
a. korelacja PEARSONA
b. korelacja rangowa SPERMANA
7
Aby ustalić związek korelacyjny między zmiennymi ilościowymi należy przedstawić obie zmienne w
tablicy korelacyjnej uwzględniającej ich współwystępowanie
* Interpretacja zależności pomiędzy cechami ilościowymi
Współczynnik korelacji oznaczamy literką: r
Wartość współczynnika należy do przedziału <-1,1>
r = 0 brak korelacji (zależności)
r = -1 zależność liniowa ujemna; bardzo silny związek ujemny
r = +1 zależność liniowa dodatnie; bardzo silny związek dodatni
* Kierunek korelacji:
żð ujemna (wartość współczynnika korelacji od -1 do 0, czyli r < 0) to zależność odwrotnie
proporcjonalna. Informuje, że wzrostowi (spadkowi) wartości jednej zmiennej odpowiada spadek
(wzrost) średnich wartości drugiej zmiennej
żð dodatnie (wartość współczynnika korelacji od 0 do 1, czyli r > 0) to zależność proporcjonalna.
Informuje, że wzrostowi (spadkowi) wartości jednej zmiennej towarzyszy wzrost (spadek) średnich
wartości drugi8ej zmiennej
* Siłę współczynnika, dokładnie jego wartość bezwzględną, odczytujemy z poniższej tabelki  im jest on
większa tym związek pomiędzy zmiennymi jest silniejszy.
Na podstawie obliczonego współczynnika korelacji obliczyć można tzw. Wskaz
nik (współczynnik)
determinacji liniowej (r2), informujący o procencie zmienności wyjaśnionej liniowo w zmiennej zależnej
(skutek) przez zmienną niezależną (przyczyna)
r2 = 100% - procent zmienności
Przykład:
Dla r = 0,8 współczynnik determinacji liniowej wynosi 0,64
Oznacza to, że w 64% zmianę wartości jednej zmiennej wyjaśnia zmiana wartości lub drugiej zmiennej lub
inaczej: Zmienność wyników jednej zmiennej da się wyjaśnić zmiennością wyników drugiej zmiennej
* WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA:
Najbardziej popularny współczynnik (wskaz
nik) określający poziom zależności liniowej pomiędzy
zmiennymi mierzalnymi (ilościowymi). Wykorzystywany jest zatem do badania związków prostoliniowych
badanych zmiennych, w których zwiększenie wartości jednej z cech powoduje proporcjonalne zmiany
średnich wartości drugiej cechy (wzrost lub spadek).
Umożliwia ocenę kierunku i siły związku między zmiennymi
Np: korelacja pomiędzy wynikami z testu cichego czytania a testu słownikowego
* Współczynnik ten możemy stosować, jeżeli spełnione są następujące warunki:
żð obie zmienne sÄ… zmiennymi iloÅ›ciowymi
żð zwiÄ…zek pomiÄ™dzy zmiennymi jest liniowy
żð obie zmienne maja rozkÅ‚ad normalny (lub zbliżony do normalnego)
żð do jego obliczenia istnieje kilka równoważnych wzorów.
żð w badaniach pedagogicznych czÄ™sto wykorzystywany jest wzór na obliczenie współczynnika
korelacji z danych pierwotnych.
UWAGA!
Współczynnik korelacji Pearsona jest symetryczny, tzn.
rxy =ryx
8
Dla danych niepogrupowanych drugi wzór z kowariancji odchyleń standardowych.
* Kowariancja to iloczyn odchyleń wyników pomiaru dwu zmiennych od ich średnich.
12.03.2015
(w.3)
* Algorytm obliczania współczynnika korelacji Pearsona stosując wzór wg momentu iloczynowego
1. Dokonanie pomiaru zmiennych X i Y
2. Zestawienie uzyskanych wyników w pary (w tabeli).
3. Obliczenie wartości średnich arytmetycznych (Mx, My)
4. Obliczenie odchyleń od średniej(xi-Mx) oraz (yi-My)
5. Obliczenie iloczynów (xi -Mx)(yi -My)
6. Wyznaczenie kwadratów odchyleń od średniej & oraz&
7. Wyznaczenie sumy powyższych iloczynów oraz sumy powyższych kwadratów odchyleń.
8. Podstawienie do wzoru.
* Współczynnik KORELACJI RANGOWEJ SPERMANA:
Współczynnik stosowany jest do badania zgodności dwóch grup (np. opinii dziewcząt i chłopców na
wybrany temat) oraz współzależności pomiędzy zmiennymi (np. pomiędzy wynikami nauczania z chemii i
fizyki lub pomiędzy średnią ocen a odczuwaną satysfakcją ze studiów).
* Współczynnik jest stosowany, gdy:
żð Obie zmienne (cechy) maja charakter jakoÅ›ciowy, pozwalajÄ…cy na uporzÄ…dkowanie ze wzglÄ™du na
siłę tej cechy,
żð Obie zmienne (cechy) maja charakter iloÅ›ciowy, ale ich liczebność jest niewielka (do 30
przypadków)
żð UporzÄ…dkowanie okreÅ›lane jest za pomocÄ… rang  współczynnik oparty jest na różnicach rang
pomiaru.
Wzór na obliczanie współczynnika korelacji rangowej ma następującą postać (na stronie)
Ranga to liczba odpowiadająca miejscu w uporządkowaniu każdej z cech.
Rangowanie (inaczej nadawanie rangi) to procedura, która polega na ustawieniu obiektów rangowych w
porządku od najmniejszego do największego (lub odwrotnym), a następnie przyporządkowanie
zajmowanym pozycjom kolejnych liczb naturalnych (według zasady podanej na sastępnym slajdzie)
Obiekty rangowane to osoby, przedmioty, zjawiska podlegajÄ…ce ocenie wg wskazanego kryterium (oceny z
testu, zdobytych punktów).
* Jak rangować:
żð sortujemy elementy obu zmiennych w jednej z dwóch kolejnoÅ›ci do wyboru, np.: w kolejnoÅ›ci
malejącej (od największej) do najmniejszej wartości.
żð obiektom przypisujemy pozycje  ten, który zajÄ…Å‚ najwyższÄ… wartość otrzymuje pozycje numeru 1,
kolejny  nr 2 itd.,
żð sbiektom nadajemy rangi, wg zasady: numer rangi równy jest numerowi pozycji (czyli ten który
zajął najwyższą pozycje ma rangę 1)
Jeśli w badanej zbiorowości jest więcej jednostek z identycznym natężeniem badanej cechy (np. te same
oceny), to jednostkom tym przypisuje siÄ™ identyczne rangi, tzw. rangi mieszane.
Rangi mieszane równe są średniej arytmetycznej z pozycji przypisanych tym samym jednostkom.
9
PRZYKA
AD:
Rangowanie przykładowych średnich ocen (X) uzyskanych przez uczniów:
Åšrednia ocen (X): 4,0 3,6 4,0 5,7 3,5 4,0 3,2 3,2 4,0
* ALGORYTM OBLICZANIA WSPÓA
CZYNNIKA KORELACJI RANGOWEJ SPERMANA
1. Zamieszczenie w tabeli wyników zmiennej X i zmiennej Y (parami).
2. Porangowanie wyników zmiennych (Rx, Ry).
3. Obliczenie różnic rang (dla każdej pary) zmiennej X i Y (di = Ry Rx)
4. Obliczanie kwadratu różnicy rang.
5. Zsumowanie kwadratów powyższych różnic w celu otrzymania "di2
6. Podstawienie do wzoru.
* Wnioskowanie statystyczne - dział statystyki zajmujący się problemami uogólniania wyników badania
próby losowej na całą populację oraz szacowania błędów wynikających z dokonywania takich uogólnień.
Wnioskowanie statystyczne zawsze jest obciążone ryzkiem popełnienia błędu.
Wyróżniamy dwa działy wnioskowania statystycznego:
żð estymacja (In. estymacja parametryczna) - szacowanie nieznanych wartoÅ›ci populacji generalnej w
oparciu o odpowiadające im wartości wyznaczone z próby.
żð weryfikacja hipotez statystycznych
Próba to wybrana specjalnie do badań część populacji za pomocą odpowiedniej metody.
W pedagogice przyjmuje się, że mała próba to ok. 30 jednostek, duża to ponad 100 jednostek
statystycznych.
Metody pobierania prób:
żð dobór losowy  polega na przypadkowym doborze jednostek do próby wedÅ‚ug pewnego klucza.
żð dobór celowy  opiera siÄ™ na wÅ‚adzy i przeÅ›wiadczeniach badacza dotyczÄ…cych caÅ‚ej populacji.
Przykładem jest dobór jednostek nietypowych, np. najlepszych i najgorszych uczniów ( uczestników
konkursów szkolnych i uczniów mających trudności w nauce).
Wielkości szacowane to parametry, zaś wielkości szacunkowe to estymatory. Mogę nimi być: średnia
arytmetyczna s próby, frakcja (część względna, odchylenie standardowe, wariancja.
Wyróżniamy estymację:
żð punktowÄ… - polega na szacowaniu parametru na podstawie realizacji w próbie, czyli poszukiwaniu
takiej liczby, która jest najlepszą oceną nieznanej wartości parametru.
żð przedziaÅ‚owÄ… - polega na wyznaczeniu (na podstawie wyników uzyskanych w próbie) takiego
przedziału liczbowego, aby z zadanym z góry prawdopodobieństwem można było oczekiwać, że
nieznana wartość parametru należy do tego przedziału.
Przedział taki nazywamy przedziałem ufności, zaś prawdopodobieństwo  współczynnikiem ufności.
gdzie:
a, b  granice przedziału
m, po  parametry
1-sigma  współczynnik ufności => wielkość ta uzależniona jest od poziomu istotności (od wartości
sigma)
Dla obu wielkości rozróżniamy odmienną symbolikę.
Estymator Parametr
(miara własności rozkładu w próbie) (rozkładu w populacji)
M m
S (sigma)
Pi (frakcja) Po
10
* Hipotezy: (!!!)
żð hipoteza statystyczna - każde przypuszczenie dotyczÄ…ce nieznanego rozkÅ‚adu zmiennej losowej.
Wyróżniamy:
żð hipotezy parametryczne  sÄ…dy dotyczÄ…ce parametrów populacji generalnej
żð hipotezy nieparametryczne  sÄ…dy dotyczÄ…ce rozkÅ‚adów populacji generalnej
Weryfikacja hipotez to podejmowanie określonych decyzji statystycznych w celu sprawdzania hipotez
statystycznych. Sposoby weryfikacji hipotez nazywamy testami statystycznymi. Rozróżnia się testy:
parametryczne i nieparametryczne.
hipoteza zerowa (Ho) - hipoteza sprawdzana (testowana, weryfikowana). Jest to przypuszczenie, że
pomiędzy wartością estymatora, parametrem lub dwoma parametrami nie ma żadnej różnicy.
hipoteza alternatywna (H1)  hipoteza odwrotna, czyli taka, którą można przyjąć, gdy zostanie odrzucona
hipoteza zerowa.
* Rodzaje błędów
żð BÅ‚Ä…d pierwszego rodzaju (inaczej: bÅ‚Ä…d alfa) polega na odrzuceniu hipotezy zerowej w przypadku,
gdy jest ona prawdziwa.
żð BÅ‚Ä…d drugiego rodzaju (inaczej: bÅ‚Ä…d beta) polega na przyjÄ™ciu hipotezy zerowej, gdy jest ona
fałszywa.
Ho jest prawdziwa H1 jest prawdziwa
BÅ‚Ä…d pierwszego
Odrzucenie Ho Ok.
rodzaju
BÅ‚Ä…d drugiego
Nie odrzucenie Ho Ok.
rodzaju
* Poziom istotności (zwany w skrócie alfa) to prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju.
żð alfa = 0,05 oznacza, że podejmujemy ryzyko popeÅ‚nienia bÅ‚Ä™du Å›rednio w 5 przypadkach na 100
(5%). Poziom ufności wynosi: -1 alfa czyli 0,95. Wnioski są istotne w 95%.
żð alfa=0,01 oznacza, że podejmujemy ryzyko popeÅ‚nienia bÅ‚Ä™du Å›rednio w 1 przypadku na 100 (1%).
Poziom ufności wynosi : 1-alfa czyli 0,99. Wnioski są istotne w 99%.
* Poziom beta to prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju.
* Kryteria wyboru określonego poziomu istotności:
żð praktyczne konsekwencje wyboru (dla problemów mniej ważnych można przyjąć niższy poziom, np.
alfa = 0,05)
żð wielkość próby  dla dużych prób należy przyjmować bardziej rygorystyczny poziom istotnoÅ›ci (np.
alfa = 0,01)
żð stopieÅ„ kontroli zmiennych poÅ›redniczÄ…cych  w badaniu o wysokim stopniu kontroli zmiennych
możemy przyjąć niższy poziom wymagań i odwrotnie.
* Obszarem krytycznym nazywamy zbiór wartości sprawdzanej hipotezy, który przemawia za
odrzuceniem hipotezy zerowej.
* Etapy wnioskowania statystycznego:
1. sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej
2. wybór testu do weryfikacji hipotezy zerowej. Kryteria wyboru:
3. skala pomiarowa
4. liczebność grup (małe do 30 osób, duże  powyżej 30 osób)
5. liczba grup (dwie lub więcej)
6. grupy zależne lub niezależne
7. przyjęcie poziomu istotności alfa oraz wyznaczenie obszaru krytycznego
8. wyznaczenie (obliczenie) funkcji testu
11
9. podjęcie, z określonym prawdopodobieństwem, decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej
oraz sformułowanie wniosków.
Podstawą do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej jest porównanie wartości funkcji
testu z wartością krytyczną.
* Testy parametryczne stosowane są w celu sprawdzania hipotez dotyczących parametrów populacji
generalnej. Do najczęściej stawianych należą hipotezy dotyczące wartości średnich arytmetycznych,
wariancji oraz wskaz
ników struktury.
Testy parametryczne mają szerokie możliwości zastosowania w badaniach pedagogicznych. Stosuje się je w
takich sytuacjach, jak np. porównywanie średnich arytmetycznych wyników kształcenia uzyskanych w
nowej i starej metodzie nauczania czy porównanie średnich arytmetycznych przed i po zadziałaniu jakiegoś
czynnika czy zmienność wyników kształcenia w różnych środowisk społecznych.
Testy parametryczne najczęściej stosuje się, jako testy istotności.
Ograniczenia w przypadku stosowania testów parametrycznych:
żð niezależność pomiaru
żð rozkÅ‚ad normalny
żð jednorodność zbioru statystycznego
* Test istotności  test polegający na odrzuceniu Ho lub stwierdzeniu braku podstaw do jej odrzucenia. W
teście tym pod uwagę brany jest tylko błąd pierwszego rodzaju (poziom istotności), nie uwzględnia się
konsekwencji popełnienia błędu drugiego rodzaju. [stąd nazwa testy istotności!]
żð istotność różnicy miÄ™dzy Å›rednimi
żð test t-Studenta , próby niezależne
statystyki z małych prób
żð test t-Studenta, próby zależne
żð istotność różnicy miÄ™dzy wariancjami
żð test F-Fishera, próby niezależne
żð test t-Morgana, próby zależne
żð istotność różnic miar współzależnoÅ›ci
żð istotność współczynnika korelacji
* ISTOTNOŚĆ RÓŻNICY MI
DZY ÅšREDNIMI (TEST T  STUDENTA)
Testy służą do porównania średnich obliczonych dla dwóch rozkładów zmiennej ilościowej w dwóch
próbach (dokładnie czy różnice są istotne czy przypadkowe).
Grupę tych testów stosujemy m.in. w takich sytuacjach jak: porównywanie wyników uzyskanych w nowej i
starej metodzie; wyników przed i po zadziałaniu jakiegoś czynnika; wyników uzyskanych w różnych
warunkach. Oczywiście nie porównuje się tutaj wszystkich wyników, lecz wielkości charakterystyczne dla
badanych populacji  średnie arytmetyczne.
Hipoteza zerowa ma postać:
Ho:
m1 = m2
dwie próby różnią się między sobą w sposób
m1- m2= 0 nieistotny (przypadkowy, dokładnie brak różnic)
Hipoteza alternatywna (odwrotna):
H1:
m1 `" m2 (nie jest równe)  dwustronny test sprawdzający (zakłada jedynie, że różnica jest istotna)
jednostronny test sprawdzający (różnica między
m1 > m2
jedną a drugą średnią jest istotnie wyższa / niższa)
12
m1 < m2
Sformułowanie hipotezy alternatywnej decyduje o tym czy mamy do czynienia z testami
jednostronnymi czy testem dwustronnym !
Przykład testu dwustronnego (bezkierunkowego):
Ho: średnie wynagrodzenie nauczycieli szkół podstawowych na wsi jest równe średniemu wynagrodzeniu
nauczycieli szkół podstawowych w mieście.
H1: średnie wynagrodzenia nauczycieli szkół podstawowych na wsi nie jest równe średniemu
wynagrodzeniu nauczycieli szkół podstawowych w mieście.
Przykład testu jednostronnego (kierunkowego):
Ho: średnie wynagrodzenie nauczycieli szkół podstawowych na wsi jest równe średniemu wynagrodzeniu
nauczycieli szkół podstawowych w mieście.
H1: średnie wynagrodzenie nauczycieli szkół podstawowych na wsi jest niższe (lub wyższe) od średniego
wynagrodzenia nauczycieli szkół podstawowych w mieście.
* Rozkład testu t-Studenta zależy od wielkości odchylenia standardowego z próby i wielkości samej
próby, według której ustala się stopnie swobody.
Stopień swobody (df) określają liczbę niezależnych obserwacji (pomiarów) w próbie, tzn. takich, które
mogę mieć dowolną wartość. Dokładnie liczba stopni swobody informuje nas ile zmiennych w próbie
możemy zmienić, nie zmieniając przy tym ich sumy oraz wartości obliczanych parametrów.
* Decyzja o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej:
Z tablicy rozkładu t-studenta odczytujemy (na podstawie alfa i df) wartość krytyczną talfa1df i porównujemy
ją z obliczoną wartość (t) testu:
żð jeżeli |t|wiÄ™ksze bÄ…dz
równe t alfa1df to odrzucamy Ho co wskazuje na istotność różnic
żð jeżeli |t| * TEST T-STUDENTA DLA PRÓB NIEZALEÅ»NYCH (NIEOKREÅšLONYCH,
NIEPOWI
ZNAYCH):
Porównanie średnich arytmetycznych dwóch wylosowanych niezależnie od siebie (tzn. wyniki pomiaru
jednej grupy są niezależne od wyników pomiaru drugiej grupy) prób np. (z populacji dziewcząt i chłopców,
dzieci wiejskich i miejskich lub studentów studiów dziennych i zaocznych)
Wymagane jest homogeniczność wariancji (wariancje obu prób muszą być jednakowe).
* Homogeniczność wariancji sprawdzana jest testem F-Fishera.
Test t-Studenta dla prób niezależnych  algorytm
1. postawienie hipotez
2. w celu wyznaczenia wartości funkcji testu t, konieczne jest dokonanie niezbędnych obliczeń, tzn.
obliczenie osobno dla każdej zmiennej średniej arytmetycznej i wariancji.
3. z tablicy rozkładu t-Studenta przy założonym z góry poziomie istotności alfa oraz przy df=N1 +N2 
2 stopniach swobody następuje odczytanie wartości krytycznej talfa1df
4. porównanie obliczonej wartości funkcji testu z wartością krytyczną oraz podjęcia decyzji o przyjęciu
lub odrzuceniu hipotezy zerowej.
Test t- studenta dla prób zależnych (skorelowanych, powiązanych)
Porównanie średnich arytmetycznych w dwóch próbach zależnych.
Próby skorelowane (zależne), to dwie próby pochodzące od tych samych badanych, badane w różnych
warunkach, różnymi metodami lub w różnych odstępach czasu. Interesuje nas wielkość zmiany.
Np. wyniki testu przed rozpoczęciem zajęć z terapii pedagogicznej i po jej zakończeniu. Grupa uczniów
zbadana dwoma różnymi testami
13
Test t- studenta dla prób zależnych  algorytm
1. Postawienie hipotez
2. Zestawienie uzyskanych wyników w tabeli, w pary
3. Obliczanie różnicy w poszczególnych parach
4. Obliczanie średniej różnic (suma różnic podzielona przez N)
5. Obliczanie odchylenia standardowego każdej z różnic di od średniej różnicy d z daszkiem
6. Podniesienie do kwadratu obliczonej wartości w punkcie 5
7. Podstawienie do wzoru na obliczenie wartości funkcji t
8. Z tablicy rozkładu t-studenta przy założonym z góry poziomie istotności alfa oraz przy df=N-1
stopniach swobody odczytanie wartości krytycznej talfa,df
9. Porównanie obliczonej wartości funkcji testu z wartością krytyczną oraz podjęcie decyzji o przyjęciu
lub odrzuceniu hipotezy zerowej.
19.03.2015
(w.4)
* Istotność różnicy między wariancjami:
żð Test F-Fishera (próby niezależne, nieskorelowane)
żð Test Fishera sÅ‚uży ocenie, czy wariancje dwóch prób sÄ… równe (homogeniczne), a zatem czy można
zastosować test t-Studenta dla prób niezależnych.
żð Badamy hipotezÄ™ o równoÅ›ci wariancji (o braku istotnych różnic pomiÄ™dzy nimi), tzn.
* Test F-Fishera:
Statystyka  F przy założeniu prawdziwości H0 ma rozkład F-Snedecora ze stopniami swobody
Decyzja o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej
Odczytana z tablicy rozkładu F (Tablicy rozkład Snedecora) wartość krytyczna F alfa,df1,df2 porównywana jest
z obliczoną wartością F:
to odrzucamy H0
to zostawiamy H0
Obliczamy wariancje dla obu prob. Następnie obliczamy estymatory wariancji stosując wzór;
Następnie obliczone estymatory wariancji z obu prób podstawiamy do wzor na F tak, aby w liczniku
znajdowała się większa wartość estymatora!!!
Estymatory wariancji:
żð pierwszym estymatorem jest ten o wiÄ™kszej wariancji (!!!)
* Istotność różnic miar współzależności
Istotność współczynnika korelacji
Istotność współczynnika korelacji, głownie dla małej próby, można sprawdzić testem t-Studenta.
(!!!)
Test stosowany jest dla zależnych współczynników korelacji (Pearsona i Spearmana) w celu dokonania
oceny ich istotności. Pozwala ustalić czy otrzymana wartość jest istotna, czy też powstała w sposób
przypadkowy.
Hipoteza zerowa ma postać:
H0: g =0 współczynnik korelacji jest nieistotny (związku między zmiennymi jest przypadkowy)
Hipoteza alternatywna:
14
H1: g `" 0 Korelacja między zmiennymi jest istotna
Istotność współczynnika korelacji - wzór
* TESTY NIEPARAMETRYCZNE
żð To testy dotyczÄ…ce caÅ‚ej badanej zbiorowoÅ›ci, a nie tylko okreÅ›lonych jej parametrów. Testy te nie
wymagają żadnych założeń co do rozkładu. Można je stosować wobec zmiennych wyrażonych a
wszystkich skalach pomiarowych.
żð MajÄ… one szerokie zastosowanie w badaniach pedagogicznych, stosuje siÄ™ je wtedy, gdy mamy do
dyspozycji niewiele danych bÄ…dz
takie dane, w stosunku, do których nie możemy sprawdzić czy
spełniają założenia wymagane przy użyciu testów parametrycznych.
* Test CHI KWADRAT
Najczęściej stosowany tet nieparametryczny w badaniach statystycznych w pedagogice. Nie wymaga
żadnych założeń o normalności rozkładu, ale liczebność badanej próby powinna być stosunkowo duża (nie
może być mniejsza niż 5 jednostek).
Test CHI jest testem jednostronnym.
Stosuje się go często dla obserwacji ujętych na skalach nominalnych lub silniejszych  porządkowych bądz

przedziałowych.
Stosowany jest do
żð Badania zgodnoÅ›ci rozkÅ‚ad empirycznego z teoretycznym, (czyli zgodnoÅ›ci cech zaobserwowanych i
oczekiwanych)  test zgodności
żð Sprawdzania niezależnoÅ›ci dwóch cech (zmiennych)  test niezależnoÅ›ci
Test niezależności jest szczególnym przypadkiem testu zgodności!!
* Test niezależności CHI
Test niezależności CHI ma zastosowanie do sprawdzania niezależności cech dla:
żð Dwóch zmiennych dychotomicznych, inaczej dwudzielnych (tablice czteropolowe), zazwyczaj
nominalnych
żð Dwóch zmiennych wielodzielnych (tablice wielopolowe), przy czym zmienne te sÄ… najczęściej
zmiennymi jakościowymi (niemierzalnymi)
Ocena niezależności między badanymi cechami jakościowymi jest niezbędna do badania współzależności
pomiędzy nimi.
Stosowanie tego testu wymaga próby o dużej liczebności (N>30)
Test niezależności CHI
Wartość liczby stopni swobody wynosi
k  liczba kolumn tabeli zależnościowej
Df=(k-1)(w-1) w - liczba wierszy
H0: badane cechy są niezależne
(!!!)
H1: badane cechy są zależne
Aby wyznaczyć wartość CHI wymagane jest sporządzenie tablicy kombinowanej (tablicy zależnościowej
(!!!)
lub tablicy mieszanej) czteropolowej lub wielopolowej.
15
* Poprawka Yatesa na ciągłość polega na zmniejszeniu o 0,5 każdej zaobserwowanej liczebności (Fe)
większej od spodziewanej (F0) i na zwiększeniu o 0,5 każdej zaobserwowanej liczebności mniejszej od
spodziewanej.
Powoduje to zmniejszenie wartości x2, co ma istotne znaczenie przy podejmowaniu decyzji o przyjęciu lub
odrzuceniu H0.
Stosujemy, gdy:
żð oczekiwanie liczebnoÅ›ci sÄ… mniejsze niż 10 (w dowolnym polu)
(!!!)
żð próba losowa zawiera mniej niż 40 obserwacji
Stosujemy do:
żð tablic typu 2x2 oraz 2x1 (gdy liczba swobody df=1)
żð tablic z niskimi liczebnoÅ›ciami zaobserwowanymi (nie oczekiwanymi)
żð wszystkich klas w tablicy, nawet gdy tylko jedna liczebność jest maÅ‚a
* Algorytm testu niezależności CHI
1. Materiał empiryczny ujmujemy w tablice czteropolowe lub wielopolowe
2. Stawiamy hipotezę zerową: H0: nie występuje zależność pomiędzy badanymi zmiennymi lub badane
zmienne sa niezależne
3. Ustalamy poziom istotności oraz obliczamy liczbę stopni swobody
4. Obliczamy wartość empiryczną testu 
5. Z tablicy rozkładu CHI odczytujemy (przy uwzględnieniu odpowiedniego poziomu istotności i
liczby stopni swobody) wartość krytyczną (teoretyczną) testu -
6. W celu odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej stosujemy następujące kryterium:
(!!!)
- jeżeli to hipotezę zerową H0 należy odzrucić
- jeżeli to nie ma podstaw do odrzucenia H0  należy ją przyjąć
Wartość statystyki CHI zależy od trzech czynników:
żð Od siÅ‚y zwiÄ…zku badanych zmiennych (im wiÄ™ksze różnice miÄ™dzy liczebnoÅ›ciami empirycznymi i
teoretycznymi tym wartość statystyki większa)
żð Od wielkoÅ›ci próby (im wiÄ™ksza próba tym wartość statystyki wiÄ™ksza)
żð Od szczegółowoÅ›ci grupowania danych (im bardziej szczegółowo tym wartość statystyki wiÄ™ksza).
Wymaga się, by w jednej kratce tabeli korelacyjnej było przynajmniej 8 obserwacji
* Analiza współzależności:
Na podstawie wielkości CHI można wnioskować tylko i wyłącznie o niezależności badanych zmiennych na
określonym poziomie.
Stwierdzenie występowania związku (odrzucenie hipotezy zerowej) daje podstawę do obliczenia siły
tego zwiÄ…zku.
Siłę związku pomiędzy zależnymi zmiennymi jakościowymi badamy za pomocą współczynników
kontyngencji.
Współczynniki:
żð Dla tablic czteropolowych  współczynnik (Fi) Yule a
żð Dla tablic wielopolowych  współczynnik kontyngencji C Pearsona
Współczynnik C Pearsona może być stosowany przy obliczaniu siły związku występującego w tablicach
wielopolowych dowolnej wielkości i dowolnego kształtu (kwadratowych lub prostokątnych) (najmniejsza to
tablica 2x2)
Maksymalna wartość współczynnika C Pearsona zależy od liczby wierszy i kolumn w tabeli. Im większa
jest liczna tych pól, tym bardziej osiągalna jest maksymalna wartość tego współczynnika  tym bardziej
16
współczynnik Cmax zbliża się do +1 i jednocześnie, im mniejsza liczba tych pól, tym niższa jest
maksymalnie osiągana wartość C. Zatem wartość współczynnika C należy rozpatrywać w zależności od
wartości maksymalnej możliwej dla danej tabeli.
Dysponując wartością współczynnika C obliczoną dla konkretnego przykładu oraz Cmax należy obliczyć
wartość skorygowaną współczynnika kontyngencji Ckor:
(!!!)
W każdym przypadku Ckor prowadzi do podwyższenia wartości współczynnika C
* Interpretacja współczynników kontyngencji:
Współczynnik kontyngencji mogą przyjmować tylko wartości dodatnie (od 0 do 1), zatem pokazują
(określają) one tylko siłę zależności, nie ukazują (opisują) natomiast kierunku tej zależności (tendencji).
17