Zadania z RP1 - 1 1. Z talii 52 kart wybieramy 13 kart tak, aby dok a) siedem, b) sześć kart by tego ladnie lo samego koloru. Na ile sposobów można to uczynić? 2. W szafie jest n par butów. Wyjmujemy na chybi trafi k butów (k d" n). Obliczyć l l prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wyjetych butów jest co najmniej jedna para,
b) wśród wyjetych butów jest dok jedna para. ladnie
3. Na ile sposobów można ustawić w ciag sześć jedynek, pieć dwójek oraz cztery trójki?
4. Klasa liczy 15 uczniów. Nauczyciel wybiera na każdej lekcji na chybi trafi jednego l l ucznia do odpowiedzi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń
a) w liczbach ca lkowitych nieujemnych x1, x2, x3, x4, b) w liczbach ca lkowitych dodatnich x1, x2, x3, x4. 6. Rzucamy jednocześnie 7 nieodróżnialnymi kostkami do gry. Ile jest możliwych wyników? 7. Ile jest takich ,,szóstek w Totolotku, że żadne dwie z wylosowanych liczb nie sa kolejne? 8. (&!, F, P ) jest przestrzenia probabilistyczna, A, B, C " F.
a) P (A *" B) = 1/2, P (A )" B) = 1/4, P (A\B) = P (B\A). Obliczyć P (A) oraz P (B\A). b) A *" B *" C = &!, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A )" B) = P (A )" C) = P (B )" C). Wykazać, że 1/6 d" P (A) d" 1/4. c) P (A) e" 2/3, P (B) e" 2/3, P (C) e" 2/3, P (A )" B )" C) = 0. Obliczyć P (A). 9. W celu oszacowania liczby ryb w stawie z lowiono n ryb i po oznakowaniu wypuszczono je z powrotem. Nastepnie znowu z lo lowiono n ryb i okaza sie, że k ryb jest oznakowanych. Dla
jakiej liczby N ryb w stawie taki wynik jest najbardziej prawdopodobny? 10. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jakie jest prawdopodo- bieństwo, że każdy z graczy ma co najmniej jednego pika? 11. Jest N listów i N zaadaresowanych kopert z różnymi adresami. Każdy list odpowiada dok jednemu adresowi i na odwrót. W listy do kopert na chybi trafi po jednym ladnie lożono l l, liście do każdej koperty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żaden list nie trafi do w l laściwej koperty. Zadania z RP1 - 2 1. Na odcinku [0, 1] wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z powsta trzech odcinków można zbudować trójkat? lych
2. Odcinek P Q jest średnica okregu O. Na okregu O wybieramy na chybi trafi dwa punkty l l
A, B. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jeden z luków AB zawiera oba punkty P , Q?
2 3. Na nieskończona szachownice o boku 1 rzucono monete o średnicy . Jakie jest prawdo- 3 podobieństwo, że a) moneta znajdzie sie ca lkowicie we wnetrzu jednego z pól; b) przetnie sie z
dwoma bokami szachownicy? 4. Grupa n osób (n e" 3), wśród których sa osoby X, Y i Z, ustawia sie losowo w kolejce.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a) X stoi bezpośrednio przed Y , jeśli Y stoi bezpośrednio przed Z? b) X stoi przed Y , jeśli Y stoi przed Z? 5. Z talii 52 kart losujemy 5 kart bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że mamy dok 3 asy, jeżeli wiadomo, że ladnie a) mamy co najmniej jednego asa; b) mamy asa czarnego koloru; c) mamy asa pik; d) pierwsza wylosowana karta jest as; e) pierwsza wylosowana karta jest czarny as; f) pierwsza wylosowana karta jest as pik. 6. W urnie znajduja sie trzy bia i cztery czarne kule. Losujemy kule, wyrzucamy bez le
ogladania, a nastepnie losujemy kolejna kule z urny.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula jest bia la? b) Za óżmy, że za drugim razem wyciagnieto bia a kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że l l
za pierwszym razem wylosowano czarna kule?
7. Partia pewnego towaru sk sie z n sztuk. Prawdopodobieństwo tego, że dok k lada ladnie
sztuk jest wybrakowanych wynosi pk, k = 0, 1, . . . , n. Losujemy jedna sztuke i okazuje sie, że
jest wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii jest k braków? 8. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeżeli w teście diagnostycznym uczeń pope 6 lub lni wiecej b edów, to zostaje uznany za dyslektyka. Każdy dyslektyk na pewno pope co najmniej l lni
6 b edów w takim teście, jednak również nie-dyslektyk może pope wiecej niż 5 b edów l lnić l
dzieje sie tak z prawdopodobieńswem 0,1.
Jasio pope l w teście 6 b edów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest dyslektykiem? lni l
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejnym teście też pope co najmniej 6 b edów? lni l
9. W pewnej fabryce telewizorów każdy z aparatów może być wadliwy z prawdopodo- bieństwem p. W fabryce sa trzy stanowiska kontroli i wyprodukowany telewizor trafia na każde ze stanowisk z jednakowym prawdopodobieństwem. i-te stanowisko wykrywa wadliwy telewi- zor z prawdopodobieństwem pi (i = 1, 2, 3). Telewizory nie odrzucone w fabryce trafiaja do hurtowni i tam poddawane sa dodatkowej kontroli, która wykrywa wadliwy telewizor z praw- dopodobieństwem p0. a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dany nowowyprodukowany telewizor znajdzie sie
w sprzedaży (tzn. przejdzie przez obie kontrole). b) Przypuśćmy, że telewizor jest już w sklepie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on wadliwy? 2 Zadania z RP1 - 3 1. Rzucamy dwa razy kostka. Rozważmy zdarzenia: A za pierwszym razem wypad la
liczba oczek podzielna przez 3; B suma wyrzuconych oczek jest parzysta; C za każdym razem uzyskaliśmy te sama liczbe oczek. Czy zdarzenia A, B, C sa niezależne? Czy sa parami
niezależne? 2. Na n kartonikach zapisano n różnych liczb rzeczywistych. Kartoniki w do pude lożono lka, dobrze wymieszano, a nastepnie losowano kolejno bez zwracania. Niech Ak k-ta wylosowana
liczba jest wieksza od poprzedniej.
a) Udowodnić, że P(Ak) = 1/k, k = 1, 2, . . . , n. b) Udowodnić, że zdarzenia A1, A2, . . . , An sa niezależne. 3. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w schemacie Ber- noulliego B(n, p)? 4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób 1 z p = bedzie podzielna 2 a) przez 3? b) przez 4? Czy można znalezć granice tych prawdopodobieństw, gdy n "? 2k 5. Prawdopodobieństwo tego, że w urnie znajduje sie k kostek, wynosi e-2, k = 0, 1, 2, . . .. k! Losujemy kolejno bez zwracania wszystkie kostki z urny i wykonujemy rzuty każda z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uzyskamy l szóstek? 6. Rzucono 10 razy kostka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie
otrzymano szóstke, jeśli wiadomo, że
a) otrzymano trzy szóstki? b) w nastepnych dziewieciu rzutach otrzymano same szóstki?
7. Rzucamy kostka aż do momentu gdy wyrzucimy piatke badz trzy razy szóstke ( acznie, l
niekoniecznie pod rzad). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy dok n razy? ladnie
8. Dwie osoby rzucaja po n razy symetryczna moneta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wyrzuca te sama liczbe reszek?
Zadania z RP1 - 4 1. Z odcinka [0, 1] losujemy przeliczalnie wiele punktów. Udowodnić, że z prawdopodo- bieństwem 1 w każdym otwartym podprzedziale tego odcinka znajdzie sie co najmniej jeden
punkt. 2. Rodzina A = {Ai}i"I zdarzeÅ„ generuje Ã-cia F. Wiadomo, że dla pewnych miar µ, ½ lo zachodzi µ(Ai) = ½(Ai) dla wszystkich i. a) Czy wynika stad, że µ = ½?
b) Co jeśli za ladem? lożymy, że A jest Ą-uk 3. Z przedzia [0, 1] losujemy kolejno liczby a1, a2, . . .. Obliczyć prawdopodobieństwo lu tego, że ciag (an) jest rosnacy od pewnego miejsca.
4. Dane sa miary probabilistyczne µ na R, ½ na R2 takie, że dla dowolnych s, t, µ((- ", s])µ([t, ")) = ½((- ", s] × [t, ")). Udowodnić, że ½ = µ " µ. " 5. Zdarzenia A1, A2, . . . maja prawdopodobieÅ„stwo 1. Udowodnić, że P( An) = 1. Co n=1 jeÅ›li rodzina {Ai} jest nieprzeliczalna? 6. Ã-cia F1, F2, . . . sa niezależne. Niech " Fi, i = 1, 2, . . .. la Ai n a) Udowodnić, że jeÅ›li dla pewnego n, P( Ak) = 1, P(Ak) = 1 dla pewnego k d" n. k=1 "to b) Czy analogiczne stwierdzenie ma miejsce, gdy P( Ak) = 1? k=1 7. Niech (&!, F, P) bedzie przestrzenia probabilistyczna dla schematu Bernoulliego B(n, p).
Niech dla pewnego k " {0, 1, . . . , n}, Ak = {liczba sukcesów wynosi k}. Udowodnić, że praw- dopodobieÅ„stwo warunkowe P(·|Ak) nie zależy od p. Zadania z RP1 - 5 1. W urnie znajduje sie jedna czarna kula. Wykonujemy nieskoÅ„czony ciag losowaÅ„. W
każdym losowaniu ciagniemy kule z urny, ogladamy ja, wrzucamy z powrotem oraz dorzucamy
bia a kule. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że nieskończenie wiele razy wyciagniemy czarna l
kule.
2. Rzucamy nieskończenie wiele razy moneta, dla której prawdopodobieństwo wypadniecia
or wynosi p = 1/2. Niech dla n = 2, 4, 6, . . ., An oznacza zdarzenie, iż w n pierwszych la rzutach wypad tyle samo or ów, co reszek. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem 1 zasz lo l lo skończenie wiele zdarzeń An. 3. Z odcinka [0, 1] wybieramy kolejno nieskończenie wiele liczb X1, X2, . . .. Udowodnić, że P( lim X1X2 . . . Xn = 0) = 1. n " 4. Rzucamy symetryczna moneta aż do momentu, gdy wyrzucimy 5 reszek ( acznie, nieko- l
niecznie pod rzad). Niech X oznacza liczbe rzutów. Wyznaczyć rozk zmiennej X. lad
5. Zmienna losowa X ma ciag a rosnaca dystrybuante F . Wyznaczyć dystrybuante zmien- l
nej F (X). 6. Dane sa zmienne losowe X, Y , przy czym Ã(X) Ä…" Ã(Y ). Udowodnić, że X = f(Y ) dla pewnej funkcji borelowskiej f. 7. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem Å„Å‚ dla t < -1, ôÅ‚ ôÅ‚0 ôÅ‚1 òÅ‚ (t + 1) dla - 1 d" t < 0, 2 Fµ(t) = ôÅ‚3 dla 0 d" t < 4, ôÅ‚4 ôÅ‚ ół 1 dla t e" 4. Obliczyć P(X = -5), P(2 < X d" 5), P(X = 4), P(-1 < X < 0). 8. Rzucamy trzy razy moneta. Zmienna losowa X okreÅ›lona jest nastepujaco: 0 jeÅ›li liczba
or ów jest wieksza niż liczba reszek oraz 2 jeÅ›li tak nie jest. Opisać Ã-cia generowane przez l lo
zmienna X. Zadania z RP1 - 6 1. Zmienne X, Y sa niezależne i maja rozk geometryczne z parametrami p, r, odpo- lady wiednio. Obliczyć P(X < Y ). 2. Zmienne X, Y sa niezależne, przy czym X nie ma atomów. Udowodnić, że P(X = Y ) = 0. 3. Zmienne losowe X1, X2, . . ., Xn sa niezależne i maja rozk Poissona z parametrami 1, lady 2, . . ., n. Udowodnić, że X1+X2+. . .+Xn ma rozk Poissona z parametrem 1+2+. . .+n. lad 4. Zmienne µ1, µ2, . . ., µn sa niezależne i maja ten sam rozk P(µk = 1) = P(µk = -1) = lad 1/2. Udowodnić, że zmienne µ1µ2, µ2µ3, . . ., µn-1µn sa niezależne. 5. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym X ma rozk B(n, p), a Y ma rozk lad lad B(m, p). Udowodnić, że X + Y ma rozk B(n + m, p). lad 6. Zmienna losowa X jest niezależna od siebie samej. Udowodnić, że istnieje c takie, że P(X = c) = 1. 7. Zmienna losowa X ma rozk wyk lad ladniczy z parametrem 1. a) Wyznaczyć rozk zmiennych [X] oraz {X}. lady b) Czy zmienne te sa niezależne? Zadania z RP1 - 7 1. Zmienna losowa X ma rozk wyk lad lad ladniczy z parametrem 2. Wyznaczyć rozk zmien- nej Y = e-2X. 2. Zmienna losowa X ma rozk normalny N (0, 1). Wyznaczyć gestoÅ›ci zmiennych lad
Y = eX, Z = X2. 3. Zmienne losowe X1, X2, . . ., Xn sa niezależne i maja rozk wyk lady ladnicze z parame- trami 1, 2, . . ., n. Wyznaczyć rozk zmiennej Y = max(X1, X2, . . . , Xn). lad 4. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa lad
g(x, y) = Cxy1{0d"xd"yd"1}. a) Wyznaczyć C. b) Obliczyć P(X + Y d" 1). c) Wyznaczyć rozk zmiennej Y/X. lad d) Czy X, Y sa niezależne? e) Czy X/Y , Y sa niezależne? 5. Zmienna losowa X ma rozk Cauchy ego, tzn. z gestościa lad
1 1 g(x) = . Ä„ 1 + x2 Udowodnić, że zmienne X, 1/X maja ten sam rozk lad. 6. Zmienna losowa X ma standardowy rozk normalny, a µ jest zmienna Rademachera lad niezależna od X. Udowodnić, że µX ma ten sam rozk co X. lad, Zadania z RP1 - 8 1. Zmienna losowa X ma ten sam rozk co eX-1. Udowodnić, że P(X = 1) = 1. lad 2. Niech Åš bedzie zmienna losowa o rozk jednostajnym na odcinku [0, 2Ä„]. ladzie
a) Udowodnić, że tgŚ oraz tg(2Ś) maja ten sam rozk Co to za rozk lad. lad? b) Udowodnić, że jeśli X, Y sa niezależnymi zmiennymi o rozk N (0, 1), niezależnymi ladzie X od Ś, to oraz tgŚ maja ten sam rozk lad. Y 3. Zmienne losowe X, Y1, Y2, . . ., Yn sa niezależne, przy czym X ma rozk wyk lad ladniczy z parametrem 1, a Yk ma rozk N (0, 1), k = 1, 2, . . . , n. Udowodnić, że zmienna X ma ten lad sam rozk co lad n 1 1 1 n-1 + +...+ 2 4 2n X1/2 2 |Y1||Y2|1/2|Y3|1/4 . . . |Yn|1/2 .
" 4. Niech “(r) = xr-1e-xdx, r > 0. Mówimy, że zmienna X ma rozk gamma z lad 0 parametrami , r (ozn. “(, r)), jeÅ›li ma gestość
1 g,r(x) = rxr-1e-x1[0, ")(x). “(r) a) Udowodnić, że jeÅ›li X, Y sa niezależnymi zmiennymi losowymi, X <" “(, r), Y <" “(, s), to X + Y <" “(, r + s). b) Udowodnić, że jeÅ›li X1, X2, . . ., Xn sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie Exp(), to X1 + X2 + . . . + Xn ma rozk “(, n). lad c) Udowodnić, że jeÅ›li X1, X2, . . ., Xn sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie 2 2 2 N (0, 1), to X1 + X2 + . . . + Xn ma rozk “(1/2, n/2) (jest to tzw. rozk chi kwadrat o n lad lad stopniach swobody. " 5. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk jednostajny na kwadracie {(x, y) : |x| + |y| = 2}. lad a) Obliczyć kowariancje X i Y . Czy zmienne X, Y sa niezależne?
2 b) Obliczyć P(X2 + Y d" 1). c) Wyznaczyć rozk X oraz rozk Y . lad lad d) Wyznaczyć rozk zmiennej X + Y . lad e) Udowodnić, że zmienne X + Y oraz X - Y sa niezależne. 6. Zmienne losowe X, Y sa niezależne i maja rozk wyk lad ladniczy z parametrem 1. Udo- wodnić, że zmienne X/Y oraz X + Y sa niezależne. Zadania z RP1 - 9 1. Zmienna losowa X jest skoncentrowana na zbiorze liczb nieujemnych, p " (1, "). Udo- wodnić, że
" " EXp = p tp-1P(X e" t)dt = p tp-1P(X > t)dt. 0 0 1 1 2. Dana jest zmienna losowa X taka, że P(X = 0) = P(X = 1) = , P(X = -3) = . 4 2 1 Obliczyć EX, EX+2, E cos(ĄX). 3. Zmienna losowa X ma rozk Poissona z parametrem 2. Obliczyć E6X. lad 4. Zmienna losowa X ma rozk z gestościa lad
3 g(x) = x21[0,2](x). 8 1 Obliczyć EX, E1+x , EeX. 3 5. Na klasówce jest 5 zadań. Każdy z 30 uczniów rozwia że każde z zadań z prawdo- 1 podobieństwem . Niech X oznacza liczbe uczniów, którzy rozwia ża co najmniej 4 zadania. 2 Wyznaczyć EX. 6. W urnie znajduje sie 50 bia kul. Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli, przy czym lych
wyciagnieta kule malujemy na czerwono, jeśli jest bia Niech X oznacza liczbe czerwonych la.
kul w urnie po 20 losowaniach. Wyznaczyć EX. 7. Każdy bok i każda przekatna sześciokata foremnego malujemy losowo na jeden z trzech
kolorów. Wybór każdego koloru jest jednakowo prawdopodobny, kolorowania różnych odcinków sa niezależne. Niech X oznacza liczbe jednobarwnych trójkatów o wierzcho bedacych lkach
wierzcho sześciokata. Obliczyć EX. lkami
8. Urna zawiera N kul, wśród których jest b kul bia Losujemy bez zwracania n kul lych. (n d" N) i definiujemy X jako liczbe kul bia wśród wylosowanych kul. Wyznaczyć EX. lych
9. Zmienna losowa X ma rozk z dystrybuanta lad Å„Å‚ jeÅ›li t < 0, ôÅ‚ ôÅ‚0 ôÅ‚ òÅ‚t/2 jeÅ›li 0 d" t < 1, F (t) = ôÅ‚3/4 jeÅ›li 1 d" t < 5, ôÅ‚ ôÅ‚ ół 1jeÅ›li t e" 5. Wyznaczyć EX oraz E2X. Zadania z RP1 - 10 1. Rzucamy kostka aż do momentu, gdy wyrzucimy wszystkie liczby oczek. Wyznaczyć wartość oczekiwana liczby rzutów. 2. Liczby 1, 2, . . . , n ustawiono losowo w ciag (a1, a2, . . . , an). Niech N oznacza najwieksza
taka liczbe, że ak > ak-1 dla k d" N. Obliczyć EN.
3. Zmienna losowa X należy do Lp(&!, F, P), gdzie p jest ustalona liczba niemniejsza niż 1. Udowodnić, że lim tP(|X| e" t) = 0. t " 4. Zmienna losowa X ma wariancje Ã2 < ". Udowodnić, że
1 P(|X - EX| > 3Ã) d" . 9 5. Zmienna losowa X jest ca lasność: istnieje lkowalna z kwadratem i ma nastepujaca w
niezależna od niej, ca lkowalna z kwadratem zmienna Y taka, że X + Y oraz aX maja ten sam rozk a " (-1, 1). Udowodnić, że X jest sta p.n.. lad, la 6. a) Zmienna losowa X ma nastepujaca w lasność: dla każdej liczby naturalnej n mamy
2n E|X|n d" . n Udowodnić, że istnieje taka liczba M, że |X| d" M p.n. b) Udowodnić,że dla dowolnej zmiennej losowej X " L "(&!, F, P), lim ||X||p = ||X|| ". p " 7. Zmienne losowe µ1, µ2, . . . , µn sa niezależne i maja ten sam rozk P(µk = 1) = P(µk = lad -1) = 1/2, k = 1, 2, . . . , n. Niech a1, a2, . . . , an bedzie ciagiem liczb rzeczywistych. Niech
n A = ( a2)1/2. Udowodnić, że k=1 k
n
P akµk > t d" 2 exp(-t2/2A2).
k=1 8. Zmienne µ1, µ2, . . . sa niezależne i maja ten sam rozk P(µk = 1) = P(µk = -1) = 1/2, lad k = 1, 2, . . . . Niech Sn = µ1 + µ2 + . . . + µn, n = 1, 2, . . .. Udowodnić, że Sn lim sup " d" 1 p.n. 2n log n oraz Sn lim inf " e" -1 p.n.. 2n log n 9. Dany jest ciag (Xn) " niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozk z ladzie n=0
ciag a dystrybuanta. Niech Ä = inf{n : Xn > X0}. Wyznaczyć rozk Ä i obliczyć EÄ. l lad
10. Zmienna losowa X ma d-wymiarowy rozk normalny z gestościa lad
"
detA 1 g(x) = exp - (A(x - m), x - m) , (2Ä„)d/2 2 gdzie A jest symetryczna dodatnio okreÅ›lona macierza d × d oraz m " Rd. Udowodnić, że EX = m oraz › = A-1. 2 Zadania z RP1 - 11 1. Zmienna losowa X ma rozk normalny w Rd, o Å›redniej m i macierzy kowariancji ›. lad Niech T bedzie przekszta lad lceniem afinicznym Rd na Rk, k d" d. Udowodnić, że T X ma rozk
normalny w Rk. Wyznaczyć jego średnia oraz macierz kowariancji. 2. . Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa lad
1 x2 - 2xy + 3y2 " g(x, y) = exp - . 2 2Ä„ Wyznaczyć macierz kowariancji wektora (X, Y ) oraz rozstrzygna ć, czy zmienne X + Y , X - Y sa niezależne. 3. Niech (&!, F, P) = ([0, 1], B([0, 1]), |·|), X(É) = É2 dla É " [0, 1] i niech G bedzie Ã-cia lem
generowanym przez zbiory [0, 1/3] i [0, 1/2]. Wyznaczyć E(X|G). 4. Zmienne losowe µ1, µ2 sa niezależne i maja ten sam rozk P(µ1 = -1) = P(µ1 = 1) = lad 1/2. Wyznaczyć E(µ1|µ1 + µ2). 5. Zmienna losowa X ma rozklad wyk ladniczy z parametrem 1. Wyznaczyć E(X|[X]).
6. W urnie znajduja sie cztery kule ponumerowane od 1 do 4. Rzucamy kostka, a nastepnie
losujemy ze zwracaniem tyle razy po jednej kuli z urny, ile oczek wypad na kostce. Niech X- lo liczba wyrzuconych oczek, Y - liczba wyciagnietych kul z numerem 3. Obliczyć E(Y |X) oraz
E(X|Y ). 7. Zmienna losowa X ma rozk Poissona z parametrem 1. Wyznaczyć E(X| max(X, 2)). lad 8. Zmienne X1, X2, . . ., Xn sa niezależne i maja ten sam rozk o skończonym pierwszym lad momencie. Wyznaczyć E(X1|X1 + X2 + . . . + Xn). Zadania z RP1 - 12 1. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk jednostajny na [0, 1]2. lad a) Wyznaczyć rozk (min(X, Y ), max(X, Y )). lad b) Obliczyć E(min(X, Y )| max(X, Y )) oraz E(sin(min(X, Y ))| max(X, Y )). 2. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa lad
x3 g(x, y) = e-x(y+1)1{x,ye"0}. 2 Wyznaczyć E(Y |X). 3. Zmienne losowe X, Y sa niezależne i maja rozk N (0, 1). Wyznaczyć E(X + Y |X -Y ) lad oraz E(XY |X + Y ). 4. Rzucamy kostka aż do momentu, gdy wyrzucimy szóstke. Wyznaczyć wartość oczeki-
wana sumy wyrzuconych liczb oczek. 5. W urnie znajduje sie 5 bia 6 czarnych i 7 niebieskich kul. Losujemy po jednej kuli ze lych,
zwracaniem aż do momentu, gdy wyciagniemy kule niebieska. Wyznaczyć wartość oczekiwana
liczby wyciagnietych kul czarnych.
6. Zmienne losowe X, Y sa ca lem. lkowalne z kwadratem, a G jest Ã-cia Udowodnić, że E[XE(Y |G)] = E[E(X|G)Y ]. 7. Dane sa zmienne losowe X, Y oraz Ã-cia G takie, że X jest mierzalna wzgledem G, a lo
Y jest niezależna wzgledem G. Udowodnić, że jeśli Ć jest taka funkcja borelowska, że Ć(X, Y )
jest ca lkowalne, to E(Ć(X, Y )|G) = f(X), gdzie f(x) = EĆ(x, Y ). Zadania z RP1 - 13 1. Zmienne losowe N, X1, X2, . . . sa niezależne, N ma rozk Poissona z parametrem 2, lad a Xi maja rozk wyk lad ladniczy z parametrem 3. Wyznaczyć E(X1 + X2 + . . . + XN). 2. Zmienne (Xn) sa niezależnymi zmiennymi Rademachera. Udowodnić, że (Xn) nie jest zbieżny p.n.. Czy (Xn) jest zbieżny wed prawdopodobieństwa? lug " 3. Dany jest ciag (Xn) jak poprzednio. Udowodnić, że szereg 2-nXn jest zbieżny p.n. n=1 i wyznaczyć rozk graniczny. lad 4. Dane sa ciagi (Xn), (Yn) zbieżne wed prawdopodobieństwa do X, Y , odpowiednio. lug
Udowodnić, że a) (Xn + Yn) zbiega do X + Y wed prawdopodobieństwa. lug b) (XnYn) zbiega wed prawdopodobieństwa do (XY ). lug 5. Dany jest ciag (Xn) scentrowanych zmiennych normalnych zbieżny w Lp do X. Udo-
wodnić, że X ma rozk normalny lub jest sta p.n. lad la 6. Podać przyk ciagu (Xn) zbieżnego p.n. ale nie w L1. lad
7. Dana jest ca lkowalna zmienna losowa X. Niech dla n e" 1, Å„Å‚ ôÅ‚-n jeÅ›li X(É) < -n, òÅ‚ Xn(É) = X(É) jeÅ›li |X(É)| d" n, ôÅ‚ ółn jeÅ›li X(É) > n. Czy (Xn) zbiega do X p.n.? Czy zbiega w L1? 8. Dane sa ciagi (Xn), (Yn) zbieżne p.n. do zmiennych X, Y . Udowodnić, że jeÅ›li dla
każdego n zmienne Xn oraz Yn maja ten sam rozk to X i Y też maja ten sam rozk lad, lad. Zadania z RP1 - 14 1. Dana jest funkcja G : [0, ") [0, ") taka, że limt " G(t) = ". Zalóżmy, że (Xi)i"I t jest rodzina zmiennych losowych takich, że supi EG(|Xi|) < ". Udowodnić, że rodzina ta jest jednostajnie calkowalna. 2. Podać warunek na zbiór ›, aby rodzina zmiennych losowych byla jednostajnie calkowalna: a) (Xi)i"›, Xi <"Exp(i), › ‚" (0, "). b) (Xi)i"›, Xi <"Poiss(i), › ‚" (0, "). c) (Xa,b)(a,b)"›, Xa,b <" U(a, b). 3. Dany jest ciag zmiennych losowych (Xn), gdzie Xn <"Exp(n). Udowodnić, że (Xn) jest zbieżny w L1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny w Lp. 4. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych. a) Udowodnić, że ciag X1 + 2X2 + . . . + nXn n jest albo zbieżny p.n., albo rozbieżny p.n. b) Zalóżmy, że podany ciag jest zbieżny p.n.. Udowodnić, że jego granica jest stala p.n. 5. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych o rozkladzie Poissona z parametrem 2. Udowodnić, że ciag X1X2 + X2X3 + . . . + XnXn+1 n + 2009 jest zbieżny p.n. i wyznaczyć jego granice. 6. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla n e" 1 zmienna Xn ma rozklad jednostajny na przedziale (1/n, 1]. Udowodnić, że ciag X1 + X2 + . . . + Xn n jest zbieżny p.n. i wyznaczyć jego granice. 7. Dany jest ciag (Xn) niezależnych nieujemnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie. Udowodnić, że jeÅ›li EX1 = ", to X1 + X2 + . . . + Xn " n prawie na pewno. 8. Dany jest ciag (An) niezależnych zdarzeÅ„, pn = P(An). Udowodnić, że 1A + 1A + . . . + 1A p1 + p2 + . . . + pn 1 2 n - 0 n n wedlug prawdopodobieÅ„stwa. Zadania z RP1 - 15 1. a) Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie takim, że Xi " Lp dla pewnego p > 1. Udowodnić, że X1 + X2 + . . . + Xn EX1 n w L1. b) Udowodnić powyższe bez zalożenia o dodatkowej calkowalnoÅ›ci ciagu (Xn). 2. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla n e" 1 zmienna Xn ma rozklad wykladniczy z parametrem n. Zbadać zbieżność ciagu X1 + X2 + . . . + Xn n w sensie zbieżnoÅ›ci p.n. 3. Zmienne losowe X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n e" 1 rozklad Xn zadany jest nastepujaco: 1 1 P(Xn = 0) = 1/2, P(Xn = 1) = 1/2 - , P(Xn = n) = . 4n2 4n2 Udowodnić, że ciag X1 + X2 + . . . + Xn n jest zbieżny prawie na pewno i wyznaczyć jego granice. 4. Dany jest ciag (Nn) niezależnych zmiennych losowych takich, że dla n e" 1 zmienna Nn ma rozklad Poissona z parametrem n. Udowodnić, że (Nn/n) jest zbieżny w L1. 5. Dany jest ciag (µn) niezależnych zmiennych Rademachera. Udowodnić, że dla p > 1/2 ciag µ1 + µ2 + . . . + µn , n = 1, 2, . . . np jest zbieżny p.n. Co dla p = 1/2? 6. Dany jest ciag Z1, Z2, . . . niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie: Zi ma rozklad jednostajny na kole o Å›rodku w (0, 0) i promieniu 1. a) Udowodnić, że ciag Z1 + Z2 + . . . + Zn , n = 1, 2, . . . n jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice. b) Udowodnić, że ciag ||Z1|| + ||Z2|| + . . . + ||Zn|| , n = 1, 2, . . . n jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granice. Zadania z RP1 - 16 1. PrawdopodobieÅ„stwo urodzenia chlopca wynosi 0, 517. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo tego, że wÅ›ród n = 10000 noworodków liczba chlopców nie przewyższy liczby dziewczat? 2. Rzucamy symetryczna moneta aż do momentu, gdy wyrzucimy 200 orlów (lacznie, nie- koniecznie pod rzad). Jakie jest przybliżone prawdopodobieÅ„stwo tego, że rzucimy wiecej niż 440 razy? 3. Do sklepu meblowego przywieziono 150 biurek I rodzaju oraz 75 biurek II rodzaju. Wia- domo, że biurka I rodzaju ciesza sie dwukrotnie wiekszym powodzeniem (tzn. prawdopodo- bieÅ„stwo tego, że klient kupujacy biurko zdecyduje sie na biurko I rodzaju, wynosi 2/3). Jakie jest przybliżone prawdopodobieÅ„stwo tego, że któryÅ› z pierwszych 200 klientów kupujacych biurka nie dostanie takiego modelu, jaki chce? 4. Stwierdzono, iż przecietnie 30% spoÅ›ród ogólnej liczby studentów przyjetych na studia koÅ„czy je w terminie. Ile osób trzeba przyja ć na pierwszy rok, aby z prawdopodobieÅ„stwem co najmniej 0, 9 co najmniej 50 osób skoÅ„czylo studia w terminie? 5. W pewnym doÅ›wiadczeniu prawdopodobieÅ„stwo zajÅ›cia zdarzenia A wynosi 0, 7. Ile razy trzeba powtórzyć to doÅ›wiadczenie, żeby z prawdopodobieÅ„stwem 0, 9 czestość zajÅ›cia zdarzenia A nie różnila sie od 0, 7 o wiecej niż 0, 1? Czy można coÅ› powiedzieć o potrzebnej liczbie powtórzeÅ„, jeÅ›li nie znamy prawdopodobieÅ„stwa zdarzenia A?