Kierunek: Informatyka
rok akademicki: 2009/2010
Semestr: 1
Grupa: 4

Nr ćwiczenia: 4

Bartosz Ogrodowicz

1.Prawo powszechnego ciążenia:
Człowiekiem "odpowiedzialnym" za grawitację jest Izaak Newton . Sformował on prawo 
powszechnego ciążenia, które brzmi następująco:

Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2 znajdującymi się 
w odległości r jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty.

Jej wartość wyraża się wzorem:

2

2

1

*

r

m

m

G

F

=

G - stała grawitacji
r - długości wektora(odległości między promieniami dwóch ciał)
F - siła(z jaką dwa ciała oddziaływają na siebie)

1

m

 - masa pierwszego ciała

2

m

 - masa drugiego ciała

Siłę wyrażamy w jednostkach zwanych "Newtonami". Wielkość ta jest bardzo mała dla ciał o 
niewielkich masach, dlatego w życiu codziennym nie odczuwamy działania sił między różnymi 
przedmiotami. Inna sprawa jeżeli obierzemy jednym z ciał ziemię. Jej masa jest bardzo duża i 
wynosi: 

kg

24

10

*

6

.

Prawo powszechnego ciążenia zostało sformułowane w odniesieniu do Ziemi i Księżyca, ale, jak to 
już było powiedziane, słuszne jest dla dowolnych ciał. Ziemia oddziaływuje na inne ciała z siłą F, 
gdzie M to masa Ziemi a "m" masa ciała.

2

*

r

m

M

G

F

=

F – siła
G – stała grawitacji
R – długość wektora
m – masa Księżyca
M – masa Ziemi

Wartość stałej grawitacyjnej "G" wyznaczył po Newtonie w 1798 roku Henry Cavendish . 

Skonstruował on wagę skręceń:

WAGA SKRĘCEŃ:

Zamocował on dwie małe kulki na pręcie, który zawiesił na cienkiej kwarcowej nici. 
Po przeciwnych stronach pręta na nieruchomej podstawie umieścił drugi pręt z dwoma większymi 
kulkami.
 Wg. prawa powszechnego ciążenia kulki spowodowały odchylenie się zawieszonego pręta 
(przedstawione to zostało na rysunku powyżej). 
Kąt obrotu zmierzono przy pomocy światła odbitego od zwierciadła umieszczonego na nici. Odbite 
światło trafiło na skalę z której odczytano wartość kąta skręcenia.
 Znając jego wartość Cavendish mógł obliczyć siłę oddziaływania, ale nie będziemy podawać tych 
trudnych wzorów, bo przecież jest to "Fizyka dla każdego", a nie podręcznik studencki. 
Jako ciekawostkę można powiedzieć, że ów fizyk obserwował swoje doświadczenie z innego 
pomieszczenia, zamykając "wagę" w przezroczystej skrzyni, aby uniknąć zakłóceń.

2.Moment bezwładności:
Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia 
masy w ciele.
Moment bezwładności ma wymiar: 

2

* L

M

. Zwykle mierzy się go w 

2

* m

kg

.

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi 
obrotu:

2

* r

m

I

=

m -masa punktu
r - odległość punktu od osi obrotu

3.Twierdzenie Steinera:
Twierdzenie, którego autorem jest Jakub Steiner mówi, że jeśli znamy moment bezwładności 

0

I

danego ciała względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tego ciała,
to aby obliczyć moment bezwładności I względem dowolnej innej osi równoległej do niej,
należy do momentu 

0

I

 dodać iloczyn masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami czyli 

2

md

:

2

0

* d

m

I

I

+

=

0

I

 - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

I - moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi
d - odległość między osiami
m - masa bryły

Przykładowe zastosowanie twierdzenia Steinera.

Ilustruje to rysunek powyżej, na przykładzie którego możemy wyliczyć moment bezwładności kuli 
względem osi stycznej do kuli:

2

2

2

0

*

*

5

7

*

*

5

2

*

R

m

R

m

d

m

I

I

=

=

+

=

4.Ruch harmoniczny:
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym 
(periodycznym).
Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus i 
cosinus.
 Ponieważ funkcje te nazywamy funkcjami harmonicznymi, ruch periodyczny często jest nazywany 
ruchem harmonicznym.
Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to 
ruch taki nazywamy ruchem drgającym (wibracyjnym lub oscylacyjnym). W otaczającym nas 
świecie często spotykamy się z ruchami drgającymi.
 Ruch wahadła zegara, drgania strun skrzypiec, ruch ciężarka na końcu sprężyny, ruch atomów w 
cząsteczkach, ruch cząsteczek powietrza podczas rozchodzenia się fali głosowej to przykłady ruchu 
okresowego.
Okresem T ruchu harmonicznego jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (to jest 
najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać.

f

T

1

=

T – okres
f – częstotliwość

Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy położenie, w którym na punkt materialny 
nie działa żadna siła wypadkowa.
Przemieszczenie lub wychylenie jest to odległość drgającego punktu materialnego od położenia 
równowagi w dowolnej chwili.

Przykład: Ruch drgającego klocka jest ruchem harmonicznym prostym. Ruch harmoniczny prosty 
charakteryzuje się również tym, że granice wychyleń są jednakowe po obu stronach położenia 
równowagi (u nas jest to wartość x).

Pomiary: ( wahadło matematyczne )

Długość [cm]

Okres [s]

55 cm

0,842 s

55 cm

0,830 s

55 cm

0,842 s

55 cm

0,840 s

55 cm

0,831 s

Długość [cm]

Okres [s]

36 cm

0,644 s

36 cm

0,695 s

36 cm

0,696 s

36 cm

0,698 s

36 cm

0,696 s

Długość [cm]

Okres [s]

20,5 cm

0,582 s

20,5 cm

0,511 s

20,5 cm

0,582 s

20,5 cm

0,583 s

20,5 cm

0,584 s

Długość [cm]

Okres [s]

9 cm

0,719 s

9 cm

0,686 s 

9 cm

0,717 s

9 cm

0,716 s

9 cm

0,723 s

Długość [cm]

Okres [s]

75 cm

0,976 s

75 cm

0,973 s

75 cm

0,990 s

75 cm

0,967 s

75 cm

0,973 s

Długość [cm]

Okres [s]

89,5 cm

1,046 s

89,5 cm

1,037 s

89,5 cm

1,045 s

89,5 cm

1,042 s

89,5 cm

1,045 s

Długość [cm]

Okres [s]

61,5 cm

0,864 s

61,5 cm

0,873 s

61,5 cm

0,876 s

61,5 cm

0,873 s

61,5 cm

0,875 s

Wahadło fizyczne:

Długość [cm]

Okres [s]

70 cm

1,582 s

70 cm

1,583 s

70 cm

1,586 s

70 cm

1,582 s

70 cm

1,583 s

70 cm

1,591 s

70 cm

1,588 s

70 cm

1,587 s

70 cm

1,589 s

70 cm

1,583 s

Wahadło matematyczne:

Długość [cm]

Przyspieszenie grawitacyjne g [m/s^2]

55 cm

9,86 m/s^2

36 cm

9,61 m/s^2

20,5 cm

7,98 m/s^2

9 cm

7,001 m/s^2

75 cm

9,89 m/s^2

89,5cm

10,33 m/s^2

61,5 cm

10,16 m/s^2

 Średnia wartość g [m/s^2]

Odchylenie standardowe

9,26 m/s^2

1,1696

Wahadło fizyczne:

Długość [cm]

Okres [s]

Przyspieszenie grawitacyjne g 

[m/s^2]

70 cm

1,585 s

10,98 m/s^2

Moment bezwładności

Porównanie wyniku z wartością wyliczoną 

teoretycznie

0,1675 kgm^2

0,01564 kgm^2

I/I

0

10,7097

Wnioski:
(Oczywiście ich głównym wątkiem są wnioski będące następstwem porównania wartości 
obliczonych(oraz tabelarycznych), a w drugim przypadku(wahadło matematyczne) wartości 
wyliczonych z wzorów i wartości wyliczonych teoretycznie (ten drugi wzór).
Odnośnie różnic w przyspieszeniu ziemskim.
Powody:Anomalie grawitacyjne  
 
Poza ruchem obrotowym Ziemi i jej nie sferycznym elipsoidalnym kształtem, również inne 
czynniki powodują zróżnicowanie przyspieszenia ziemskiego. Dokładne jego pomiary wykazują 
wahania wartości, w zależności od położenia.
Jest to spowodowane między innymi różnicami w rzeźbie terenu, gęstości skał podłoża i rozkładzie 
tej gęstości w skorupie ziemskiej. 
Pewną zmienność przyspieszenia grawitacyjnego w czasie powoduje oddziaływanie innych ciał 
Układu Słonecznego, przede wszystkim Księżyca i Słońca. Możliwe są także błędy systematyczne 
( niedokładność błędów pomiarowych, zastosowanie niewłaściwej metody pomiarowej lub 
działaniem czynników zewnętrznych(patrz: Anomalie Grawitacyjne).