Zadania z Teorii gier 2 - rozwiązania

Zad.1

a)

Wskaż

wierzchołek początkowy

oraz

wierzchołki końcowe

powyższej

gry.

b)

Wyznacz etapy gry.

c)

Wyznacz wszystkie możliwe strategie poszczególnych graczy:

S

1

={AG, AH, BG, BH}

S

2

={CE, CF, DE, DF}

d)

Przedstaw powyższą grę w postaci normalnej:

1

2

CE

CF

DE

DF

AG

1;4

1;4

5;2

5;2

AH

1;4

1;4

5;2

5;2

BG

3;3

6;2

3;3

6;2

BH

2;0

6;2

2;0

6;2

e)

Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):

NE={(BG;CE), (BH;CF), (BH;DF)}
f)

Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):

SPNE={(BG;CE)}

Zad.2 (Konkurencja firm)

W pewnym małym miasteczku działa tylko jedna cukiernia (gracz 2),

której zyski szacowane są na 10 000 zł miesięcznie. Pojawia się jednak
potencjalny konkurent (gracz 1), który rozważa rozpoczęcie działalności
cukierniczej. Jeżeli konkurent zdecyduje się wejść na rynek, to
prawdopodobnie przejmie 40 % udziałów w rynku. Gracz 2 w odpowiedzi
na pojawienie się konkurencji może pogodzić się z tym faktem i nic nie
robić (wówczas firmy podzielą się zyskami proporcjonalnie do udziałów w
rynku), lub rozpocząć ostrą konkurencję cenową (wówczas konkurent
również będzie zmuszony do stosowania cen dumpingowych w
konsekwencji czego ich zyski będą o 5 000 zł mniejsze od zysków w
przypadku, gdy firmy nie rywalizują ze sobą).

a)

Przedstaw powyższą grę w postaci ekstensywnej:

(1;4)

(5;2)

(3;3
)

(2;0)

(6;2)

1

1

2

2

A

B

C

D

E

F

G

H

Etap 1

Etap 2

Etap 3

(4 000 ; 6 000)

(-1 000 ; 1 000)

1

2

Wejść (W)

Nie wchodzić (NW)

Nie konkurować (NK)

Konkurować (K)

(0 ; 10 000)

b)

Wyznacz wszystkie możliwe strategie poszczególnych graczy:

S

1

={W, NW}

S

2

={NK, K}

c)

Przedstaw powyższą grę w postaci normalnej:

1

2

NK

K

W

4;6 -1;1

NW 0;10 0;10

d)

Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):

NE={(W;NK), (NW;K)}
e)

Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):

SPNE={(W;NK)}

Zad. 3 (Propozycja współpracy)

Na rynku działają dwie firmy. Firma 1 myśli o nawiązaniu współpracy

z firmą 2. Ponieważ firma 1 jest inicjatorem rozmów, to do niej należy
pierwszy krok. Ma ona trzy możliwości: zaproponować konkurentowi
pewne wspólne przedsięwzięcie (P1), zaproponować mu pełną współpracę
(P2), lub nie składać żadnej propozycji (s). Firma 2 w odpowiedzi na ruch
gracza 1 może przyjąć ofertę, jeżeli takowa była, lub ją odrzucić. Przyjęcie
oferty P1 oznacza wypłaty poszczególnych graczy:

)

2

;

4

(

)

,

(

2

1

=

u

u

, zaś

odrzucenie:

)

3

;

0

(

)

,

(

2

1

=

u

u

. Przyjęcie natomiast oferty P2 oznacza wypłaty:

)

4

;

3

(

)

,

(

2

1

=

u

u

, zaś jej odrzucenie:

)

2

;

1

(

)

,

(

2

1

=

u

u

. Jeżeli firma 1 nie złoży

oferty, to wypłaty będą wynosiły odpowiednio:

)

1

;

2

(

)

,

(

2

1

=

u

u

.

a)

Przedstaw powyższą grę w postaci ekstensywnej:

b)

Wyznacz wszystkie możliwe strategie poszczególnych graczy:

S

1

={S, P

1

, P

2

}

S

2

={T

1

T

2

, T

1

N

2,

N

1

T

2,

N

1

N

2

}

c)

Przedstaw powyższą grę w postaci normalnej:

1

2

T1T2 T1N2 N1T2 N1N2

S

2;1

2;1

2;1

2;1

P1

4;2

4;2

0;3

0;3

P2

3;4

1;2

3;4

1;2

d)

Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):

NE={(P

2

;N

1

T

2

), (S; N

1

N

2

)}

e)

Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):

SPNE={(P

2

;N

1

T

2

)}

Zad.4

Rozważmy następującą grę dwuosobową. Gracze na przemian kładą

na stole monety 1zł lub 2 zł. Wygrywa ta osoba, po ruchu której na stole
znajdzie się X zł. Zawsze zaczyna gracz numer jeden. Który z graczy
wygra i ile zarobi jeżeli obydwoje są racjonalni oraz:

(4;2)

(0;3)

(2;1)

(3;4)

(1;2)

1

2

2

P

1

P

2

T

1

N

1

T

2

N

2

S

a)

X = 5 zł => (u

1

; u

2

) = (1 ; -1)

b)

X = 6 zł => (u

1

; u

2

) = (-2 ; 2)

c)

X = 3695 zł => (u

1

; u

2

) = (1231 ; -1231)

Ogólna zależność:
- dla x podzielnego przez 3: (u

1

; u

2

) = (-x/3 ; x/3);

- dla x nie podzielnego przez 3: (u

1

; u

2

) = (x/3 ; -x/3);