1 

 

 
 
 
 
 

Regresja nieliniowa. Aproksymacja 

krzywych dla potrzeb geodezyjnych 

i in

ż

ynierskich 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wykonawca: 

Grzegorz Kruczek 

Grupa 

ć

wiczeniowa 1 

Rok akademicki 2015/2016 

Numeryczne algorytmy in

ż

ynierskie 

 

2 

 

Spis tre

ś

ci 

Tok post

ę

powania........................................................................................................3 

Wykresy........................................................................................................................5 
Próba skonstruowania bardziej adekwatnego modelu.................................................8 
Wybór modelu..............................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3 

 

Tok post

ę

powania: 

 
1. Okre

ś

lenie długo

ś

ci wektora opracowania: 

 
len=1001 
 
2. Zdefiniowanie warto

ś

ci na osi x: 

 
x=seq(0,10,by=0.01) - zakres od 0 do 10, warto

ść

 co 0.01 

 
3. Przypisanie warto

ś

ciom na osi x argumentów: 

 
y=sin(3*x)+rnorm(len,0,0.04) - do funkcji sin(3x) wprowadzony zostaje szum losowy 
 
4. Utworzenie ramki danych: 
 
ds=data.frame(x=x,y=y) 
 
5. Utworzenie wykresu obrazuj

ą

cego dane: 

 
plot(y~x) 
 
6. Zaznaczenie na wykresie funkcji modelowej y=sin(3x) (ci

ą

głej i pozbawionej 

szumów losowych): 
 
s=seq(0,10,by=0.01) 
lines(s,sin(3*s),lty=2,col="red") 
 
7. Wpasowanie iteracyjne metod

ą

 nls: 

 
m=nls(y~I(sin(liczba*s)),data=ds,start=list(liczba=3),trace=T) 
1.546485 :  3 
1.546046 :  2.999836 
1.546046 :  2.999836 - ostateczny wynik otrzymano w drugiej iteracji; ró

ż

ni si

ę

 on 

nieznacznie od zało

ż

onej funkcji modelowej. 

 
8. Podsumowanie procesu iteracyjnego: 
 
summary(m) 
 
Formula: y ~ I(sin(liczba * s)) 
 
Parameters: 
        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)     
liczba 2.9998362  0.0003071    9767   <2e-16 *** 
--- 
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Residual standard error: 0.03932 on 1000 degrees of freedom 

4 

 

 
Number of iterations to convergence: 2  
Achieved convergence tolerance: 3.397e-08 
 
9. Narysowanie linii wygenerowanego modelu: 
 
lines(s,predict(m,list(x=s),lty=1,col="blue")) 
 
10. Oszacowanie jako

ś

ci wpasowania: 

a) wyznaczenie parametru residual sum of squares (RSS) 
 
RSS.p=sum(residuals(m)^2) 
[1] 1.546046 
 
b) wyznaczenie parametru total sum of squares (TSS): 
 
TSS=sum((y-mean(y))^2) 
[1] 502.6502 
 
c) okre

ś

lenie jako

ś

ci modelu wygenerowanego na podstawie wpasowania metod

ą

 

nls: 
 
1-(RSS.p/TSS) 
[1] 0.9969242 - wysoka jako

ść

 modelu 

  
d) okre

ś

lenie jako

ś

ci znanej funkcji (jako

ść

 zale

ż

na od szumu): 

 
1-sum(sin(3*x)-y)^2/TSS 
[1] 0.9901581 - wysoka jako

ść

 funkcji 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5 

 

Wykresy 

 

Wykres danych 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6 

 

Wykres danych z zaznaczon

ą

 funkcj

ą

 modelow

ą

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7 

 

Wykres danych z zaznaczon

ą

 linia wygenerowanego modelu 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Wygenerowany model ma bardzo podobny przebieg do funkcji modelowej. Obydwie linie niemal si

ę

 pokrywaj

ą

. 

 
 
 

8 

 

Próba skonstruowania bardziej 

adekwatnego modelu 

 
1. Wpasowanie iteracyjne metoda nls zmodyfikowanej funkcji: 
 
sinus=function(x,w,b) 
{sin(w*x)+b} 
m.2=nls(y~sinus(x,w,b),data=ds,start=list(w=3,b=0),trace=T) 
 
1.546485 :  3 0 
1.540819 :   2.99978915 -0.00229316 
1.540819 :   2.999788838 -0.002293284 - w wyniku dwóch iteracji wyznaczone 
zostały parametry funkcji y=sin(wx)+b 
 
2. podsumowanie procesu iteracyjnego: 
 
summary(m.2) 
 
Formula: y ~ sinus(x, w, b) 
 
Parameters: 
    Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)     
w  2.9997888  0.0003078 9744.968   <2e-16 *** 
b -0.0022933  0.0012456   -1.841   0.0659 .   
--- 
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Residual standard error: 0.03927 on 999 degrees of freedom 
 
Number of iterations to convergence: 2  
Achieved convergence tolerance: 8.99e-08 
 
3. Oszacowanie jako

ś

ci wpasowania: 

a) wyznaczenie parametru residual sum of squares (RSS) 
 
RSS.pb=sum(residuals(m.2)^2)  
[1] 1.540819 
 
b) wyznaczenie parametru total sum of squares (TSS): 
 
TSS=sum((y-mean(y))^2) 
[1] 502.6502 
 
c) okre

ś

lenie jako

ś

ci modelu wygenerowanego na podstawie wpasowania metod

ą

 

nls: 
 
1-(RSS.pb/TSS) 
[1] 0.9969346 - wysoka jako

ść

 modelu 

9 

 

Wybór modelu 

 

anova(m.2,m) 
 
Analysis of Variance Table 
 
Model 1: y ~ sinus(x, w, b) 
Model 2: y ~ I(sin(liczba * s)) 
  Res.Df Res.Sum Sq Df     Sum Sq F value  Pr(>F)   
1    999     1.5408                                 
2   1000     1.5460 -1 -0.0052277  3.3894 0.65911 . 
--- 
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Otrzymany wynik analizy wskazuje, 

ż

e lepszym rozwi

ą

zaniem b

ę

dzie przyj

ę

cie 

modelu 1.