1

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 8

Wskaźniki jakości regulacji

2

Wymagania stawiane układom regulacji

Š

Stabilność

Š

Wymagania statyczne

Š

Wymagania dynamiczne

Š

Stabilność

Š

Wymagania statyczne

Š

Wymagania dynamiczne

y

t

)

1

2

3

4

3

Zadania układów regulacji

»

minimalizacja odchyłki regulacji w stanach ustalonych

»

kompensacja zakłóceń

»

skrócenie do minimum czasu trwania stanów nieustalonych

»

zapewnienie określonego przebiegu procesu przejściowego

Wskaźniki jakości regulacji pozwalają ocenić efektywność
układów regulacji pod kątem spełniania tych zadań

u

4

Wymagania statyczne

Ograniczenie zakresu zmian wielkości sterującej – zawsze występująca

nieliniowość, np:

Š

Max. i min. otwarcie zaworu regulacyjnego

Š

Max. i min. wydajność pompy

Ograniczenie zakresu zmian wielkości sterującej – zawsze występująca

nieliniowość, np:

Š

Max. i min. otwarcie zaworu regulacyjnego

Š

Max. i min. wydajność pompy

Zakres zmian wielkości sterującej powinien umożliwiać:

Š

tłumienie wpływu zakłóceń na wielkość regulowaną
(w całym zakresie ich zmian)

Š

przenosić zmiany wartości zadanej na wielkość regulowaną
(w całym zakresie zmian wartości zadanej)

Zakres zmian wielkości sterującej powinien umożliwiać:

Š

tłumienie wpływu zakłóceń na wielkość regulowaną
(w całym zakresie ich zmian)

Š

przenosić zmiany wartości zadanej na wielkość regulowaną
(w całym zakresie zmian wartości zadanej)

u

5

Dokładność statyczna

Dokładność statyczna - ocenia wartość odchyłki statycznej e

st

,

na którą wpływają:

•

zakłócenia z na wejściu do obiektu,

•

zmiany wartości zadanej w na wejściu do regulatora

Dok

ł

adno

ść

statyczna -

ocenia wartość odchyłki statycznej e

st

,

na którą wpływają:

•

zakłócenia z na wejściu do obiektu,

•

zmiany wartości zadanej w na wejściu do regulatora

st

w

st

z

st

t

st

e

e

e

t

e

e

+

=

=

∞

→

)

(

lim

Dokładność statyczną – określa się podając liczbowe wartości:

•

dopuszczalnych odchyłek e

st

lub oddzielnie e

w st

i e

z st

•

procentowe wartości odchyłek e

1

i e

2

Dokładność statyczną – określa się podając liczbowe wartości:

•

dopuszczalnych odchyłek e

st

lub oddzielnie e

w st

i e

z st

•

procentowe wartości odchyłek e

1

i e

2

1

1

%

100

,

%

100

e

w

e

e

y

e

n

st

w

n

st

z

≤

⋅

≤

⋅

u

6

Wyliczenie wartości odchyłek statycznych

Założenia: z=0

Założenia: z=0

)

(

)

(

1

1

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

s

G

s

G

s

w

s

s

e

s

t

e

e

r

ob

s

w

s

w

t

st

w

⋅

+

⋅

=

⋅

=

=

→

→

∞

→

e

u

z

y

R

O

w

+

-

)

(

)

(

1

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

s

G

s

G

s

G

s

z

s

s

e

s

t

e

e

r

ob

ob

s

z

s

z

t

st

z

⋅

+

⋅

=

⋅

=

=

→

→

∞

→

Założenia: w

0

=const, w=0 Ö e=y, e

st

=e

zst

=y

st

u

7

Założenia: w

0

=const, w=0 Ö e=y, e

st

=e

zst

=y

st

Założenia: w

0

=const, w=0 Ö e=y, e

st

=e

zst

=y

st

Przykład 1-
obiekt bez regulatora

Przykład 1-
obiekt bez regulatora

st

st

s

s

st

z

z

k

s

T

z

k

s

y

s

t

y

e

⋅

=

+

⋅

⋅

=

⋅

=

=

→

→

1

lim

)

(

lim

)

(

0

0

Przykład 2 –
układ z regulatorem P

Przykład 2 –
układ z regulatorem P

p

st

st

p

s

s

st

z

k

k

z

k

z

k

s

T

k

s

T

k

s

y

s

t

y

e

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

+

+

⋅

=

⋅

=

=

→

→

1

1

1

1

lim

)

(

lim

)

(

0

0

z

z

Wyliczenie wartości odchyłek statycznych

8

Przykład 3 -
układ z regulatorem PI

Przykład 3 -
układ z regulatorem PI

Wpływ akcji PID regulatora na dokładność statyczną:

Wpływ akcji PID regulatora na dokładność statyczną:

• Gdy k

p

rośnie to e

st

maleje (uwaga na stabilność)

• Akcji całkująca likwiduje odchyłkę statyczną (e

st

=0 dla każdej

skończonej, ustalonej wartości wymuszenia)

• Akcja różniczkująca nie ma wpływu na wartość e

st

0

1

1

1

1

1

lim

0

=

⋅













+

+

+

+

=

→

st

i

p

s

st

z

s

T

k

Ts

k

Ts

k

y

z

Wyliczenie wartości odchyłek statycznych

9

Dokładność statyczna

Przykład odpowiedzi skokowych:

Przykład odpowiedzi skokowych:

Układ z regulatorem P

Układ z regulatorem P

Układ z regulatorem PI

Układ z regulatorem PI

10

»

związane z oceną parametrów charakterystyki skokowej

»

związane z oceną parametrów charakterystyk
częstotliwościowych

»

całkowe

Kryteria podziału wskaźników jakości:

Jakość dynamiczna

11

Wskaźniki dotyczące cech odpowiedzi skokowej

A.

Czas regulacji – czas liczony od chwili wystąpienia zakłócenia do
chwili, po której odchyłka regulacji jest stale mniejsza od |∆e|
(przyjmuje się ∆e=5% e

m

)

B.

Odchyłka maksymalna e

m

– największa wartość odchyłki e(t), czyli

różnicy między y(t) i w(t), występująca podczas przebiegu
przejściowego (dla 0≤t≥∞)

C.

Przeregulowanie – charakteryzuje stopień gaśnięcia oscylacji

A.

Czas regulacji – czas liczony od chwili wystąpienia zakłócenia do
chwili, po której odchyłka regulacji jest stale mniejsza od |∆e|
(przyjmuje się ∆e=5% e

m

)

B.

Odchyłka maksymalna e

m

– największa wartość odchyłki e(t), czyli

różnicy między y(t) i w(t), występująca podczas przebiegu
przejściowego (dla 0≤t≥∞)

C.

Przeregulowanie – charakteryzuje stopień gaśnięcia oscylacji

%

100

1

2

⋅

=

e

e

κ

gdzie: e1, e2: amplitudy pierwszego i drugiego odchylenia

od końcowej wartości ustalonej

12

t

r

e

m

e

st

e

2

2

∆

e

e

1

Wskaźniki dotyczące cech odpowiedzi skokowej

13

Przebiegi – wymuszenie na wejściu obiektu

Regulator astatyczny

Regulator statyczny

14

Przebiegi – wymuszenie na wejściu regulatora

Regulator astatyczny

Regulator statyczny

15

Wskaźniki częstotliwościowe - zapas stabilności

ω

m

∆

Lm

0

∆φ

0

ω

a

»

»

zapas modu

zapas modu

ł

ł

u

u ∆L

0

–

odchylenie logarytmicznej
charakterystyki
amplitudowej układu
otwartego od wartości 0 dB
dla pulsacji ω=ω

-

Π

:

∆L

0

= -L

0

(ω

a

)

»

zapas fazy

zapas fazy ∆φ

0

–

odchylenie charakterystyki
fazowej układu otwartego
od wartości –π dla pulsacji
ω=ω

m

:

∆φ

0

= π + φ

0

(ω

m

)

|G

0

(jω

m

)| = 1 ⇒

∆L

0

(ω

m

) = 0

16

ω

L(ω)

L

1

L

2

L

st

ω

2

ω

r

L

r

φ(ω)

ω

ω

gr

0

φ

1

-φ

2

M

1

M

2

ω

2

ω=

∞

+φ

1

-φ

2

jQ(ω)

M

st

ω=0

ω

gr

P(ω)

Wskaźniki częstotliwościowe–pasmo przenoszenia

zakres częstotliwości, w którym wartości modułu i argumentu

transmitancji widmowej układu zamkniętego utrzymane są w
żądanych granicach

Pasmo przenoszenia:

0≤ ω ≥ ω

gr

17

Częstotliwościowy wskaźnik regulacji

Wskaźniki regulacji – wskaźniki skuteczności regulacji

Wskaźniki regulacji – wskaźniki skuteczności regulacji

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

regulatora

bez

j

q

m

regulatore

z

j

q

j

q

ω

ω

ω

=

Wymagania: q(jω)<1 dla zakresu częstotliwości pracy układu, im

mniejsza jest wartość q(jω) tym skuteczniejsze
oddziaływanie regulatora

Wymagania: q(jω)<1 dla zakresu częstotliwości pracy układu, im

mniejsza jest wartość q(jω) tym skuteczniejsze
oddziaływanie regulatora

18

Częstotliwościowy wskaźnik regulacji

t

)

(

ω

j

q

Pasmo tłumienia zakłóceń

Pasmo rezonansowe

Pasmo nadrezonansowe

19

Całkowe wskaźniki jakości regulacji

Miarą jakości regulacji może być wielkość pola pod krzywą odchyłki

regulacji. Dąży się do minimalizacji tego pola.

Miarą jakości regulacji może być wielkość pola pod krzywą odchyłki

regulacji. Dąży się do minimalizacji tego pola.

∫

=

∞

0

1

)

( dt

t

e

I

a

∫

=

∞

0

2

2

)

( dt

t

e

I

a

∫

−

=

∞

0

1

)]

(

[

dt

t

e

e

I

st

b

∫

−

=

∞

0

2

2

)]

(

[

dt

t

e

e

I

st

b

20

Całkowe wskaźniki jakości regulacji

∫

∫

∫

∞

∞

∞

⋅

=

⋅

=

=

0

5

0

4

0

3

)

(

)

(

)

(

dt

t

e

t

I

dt

t

e

t

I

dt

t

e

I

Inne całkowe wskaźniki jakości regulacji: