METODA MAXWELLA-MOHRA
Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w
postaci:
n
1
k
l
k
z
k
k
k
dx
EJ
)
x
(
M
)
x
(
M
gdzie:
- poszukiwane przemieszczenie,
k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,
k
l
- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x
k
na końcu przedziału),
)
x
(
M
k
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem
rzeczywistym,
)
x
(
M
k
- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i
wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,
E
- moduł Younga,
z
J
- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.
Całki typy
l
0
k
i
dx
można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji
i
i
k
jest
liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole
i
wykresu funkcji
i
przez rzędną
k
wykresu
funkcji
k
(ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola
i
.
k
j
l
0
k
i
dx
Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy
i
i
k
są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole
któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:
j
k
k
j
l
0
k
i
dx
Iloczyn
jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.
i
k
x
k
i
x
Pola figur i położenia środków ciężkości
POLE
ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
X
C
l
f
2
1
l
2
1
l
f
3
2
l
3
1
l
f
4
3
l
f
l
l
l
f
f
x
c
x
c
x
c
a
ax
ax
2
POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU
WZORU MAXWELLA-MOHRA:
1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.
2) Obciążyć układ
tylko i wyłącznie
siłą jednostkową w miejscu i na kierunku
poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.
(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła
jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego -
obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu
- obciążamy układ momentem jednostkowym
)
3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach
obciążeń.
4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.
5) Zastosować
wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego
przemieszczenia.
POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU
SPOSOBU WERESZCZAGINA
DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:
1) Sporządzić wykresy sił
wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami
czynnymi
(rzeczywiście działającymi na konstrukcje)
2) Sporządzić wykresy sił
wewnętrznych S
1
(x) od obciążenia układu siłą
jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego
przemieszczenia
.
3)
Obliczyć powierzchnię
i wyznaczyć środki ciężkości
x
c
pól wykresu
S(x)
odpowiadających odcinkom prostym
S
1
(x)
4) Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji)
=S
1
(x
c
)
odpowiadające położeniom
środków ciężkości pół wykresu
S(x)
Podziału na pola wykresu
S(x)
dokonujemy po wykonaniu wykresu
S
1
(x)
, kiedy
wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie
S
1
(x)
W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę
superpozycji - wykresy
S(x)
mają prostą postać
Wytrzymałość Materiałów 6 35WM
Metoda Maxwella-Mohra obliczania przemieszczeń konstrukcji
(str. 49- 51 oraz str. 230-237)
Dla belek i ram przemieszczenie konstrukcji wyznaczamy ze
wzoru:
ds
GJ
m
M
EJ
m
M
EJ
m
M
GA
t
T
GA
t
T
EA
Nn
f
0
S
S
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
(26)
Dla belek prostych i ram płaskich obciążonych układem sił
płaskich T
2
= t
2
= M
2
= m
2
= 0. Wzór (26) ma postać
ds
GJ
m
M
EJ
m
M
GA
Tt
EA
Nn
f
0
S
S
y
g
g
(27)
gdzie siły i momenty oznaczone dużymi literami są siłami i
momentami wewnętrznymi wywołanymi obciążeniem zewnętrznym
zaś siły i momenty wewnętrzne wywołane siłami jednostkowymi są
określone literami małymi.
N, n siły normalne
T, t
siły tnące
M
g
, m
g
momenty gnące
M
S
, m
S
momenty skręcające
A
pole przekroju elementu konstrukcji
współczynnik wynikający z nierównomierności
rozkładu naprężeń tnących w przekroju
Wzór Wereszczagina do całkowania iloczynu dwóch funkcji, z
których jedna jest funkcją liniową
1
X
0
X
1
X
0
X
1
X
0
X
1
X
0
X
dx
x
Y
b
xdx
x
Y
a
dx
b
ax
x
Y
dx
x
y
x
Y
C
1
C
2
Y(x) y(x)
x
ść
x
ść
x
y = ax + b
Y(x)
C y
c
dA
x
0
dx x x
0
x
x
1
x
1
Rys.29 Sposób obliczania całki
A
pole pod krzywą Y(x),
1
X
0
X
dx
)
x
(
Y
A
x
ść
współrzędna środka ciężkości pola A
C
1
= Aax
ść
C
2
= Ab
1
X
0
X
dx
x
y
x
Y
C
1
+ C
2
= A(ax
ść
+ b) = Ay
c
(28)
Przykład 12
(str. 233)
Określić pionowe przemieszczenie przekroju A
pryzmatycznej belki (rys.30) o przekroju kołowym
wywołane siłą P. Dana średnica przekroju belki d.
Rozwiązanie.
Pierwszy etap polega na wprowadzeniu w przekroju A
jednostkowej siły pionowej P
c
= 1N, jako „czujnika”
mierzącego szukane przemieszczenie. W etapie drugim
wyznaczamy składowe sił i momentów wewnętrznych w
przekroju B jako funkcje x, słuszne w całym przedziale
(0,l).
36WM
z P P
c
= 1N
x B x B
C A C A
l l
M
g
= -P(l-x) m
g
= -1(l-x)
C A C A
Pl 1
l
T = P t = 1N
T + t
C A C A
Rys.30 Przykład obliczenia ugięć belki
M
g
= -P(l-x), T = P, N = 0, m
g
= -(l-x)Nm/N, t = 1N/N, n = 0
W etapie trzecim funkcje te podstawiamy do (27) i
całkujemy
l
0
y
3
l
0
y
A
GA
Pl
EJ
3
Pl
0
dx
GA
1
P
dx
EJ
)
x
l
)(
x
l
(
P
f
(a) (b)
gdzie:
= 1/
=1.185 i wynika z nierównomierności
rozkładu naprężeń stycznych w przekroju
= 0.3,
E/G =2(1+
) = 2(1+0.3) = 2.6
J
y
=
d
4
/64, A =
d
2
/4
przy czym uwzględniono, że iloczyn wartości ujemnych jest
dodatni.
- człon (a) reprezentuje wpływ momentu gnącego na
ugięcie belki
- człon (b) reprezentuje wpływ siły tnącej na ugięcie belki
37WM
2
y
3
2
y
y
3
A
l
d
58
,
0
1
EJ
3
Pl
Al
J
G
E
3
1
EJ
3
Pl
f
Widać, że wpływ siły tnącej jest rzędu (d/l)
2
w stosunku do jedności i gdy l/d > 8, wówczas
wpływ ten nie przekracza 1% wartości ugięcia wywołanego
momentem gnącym.
Przykład 13
(str. 376-380)
Obliczyć wypadkowe przemieszczenie węzła B stalowej
kratownicy obciążonej siłami P
1
= 50kN i P
2
= 40kN (rys.31).
E = 2
10
5
MPa. Długości i przekroje prętów podano w tabeli a.
Wartości sił od obciążenia zewnętrznego N
i
określono na ćwiczeniach w zadaniu 29.
Rozwiązanie
C 3m B C +0.58 B
P
1
P
c
= 1N
3 5 7 +0.58 -1.16
4 6 P
2
-0.58
1 2 A A
3m 3m -0.50
C -1.00 B
P
c
= 1N
-1.00 0
+1.00 0
A
-0.50 0
Rys.31 Obliczenie wartości przemieszczenia węzła B
W kratownicy pręty są tylko rozciągane lub ściskane
wobec tego wzór (27) przyjmuje postać
38WM
39WM
ds
A
E
n
N
f
7
i
1
i
l
0
i
i
i
i
i
(29)
jeśli Ni, ni, E
i
, A
i
są stałe dla wszystkich prętów
to wzór (29) przyjmuje postać
7
i
1
i
i
i
i
i
i
l
A
E
n
N
f
dla E
i
= const =E
7
i
1
i
i
i
i
i
l
A
n
N
E
1
f
(30)
Całość obliczeń ujmujemy w poniższej tabeli a. Pierwsze
trzy kolumny to numeracja i dane geometryczne prętów.
Kolumny 4 i 5 podają siły N
i
odpowiadające
rzeczywistemu obciążeniu i wywołane tym wydłużenia
l
i
= N
i
l
i
/EA
i
. Kolumna 6 to siły n
i
‘
(N/N) dla „
czujnika
”,
tj. pionowej siły
P
c
= 1N przyłożonej w węźle B. Wreszcie
w kolumnie 7 mamy iloczyn n
i
‘
l
i
, których suma to
szukane pionowe przemieszczenie węzła B. Dodatnia
wartość świadczy, że kierunek przemieszczenia jest zgodny
z kierunkiem działania siły
P
c
.
Tabela a
1 2
3
4
5 6
7
8
9
Pręt
nr
l
i
m
A
i
cm
2
N
i
kN
i
i
i
EA
l
N
mm
'
i
n
N/N
'
i
n
l
i
mm
'
'
i
n
N/N
n
i
’’
l
i
mm
1 3.0 10 +1.9 +0.03 -0.50 -0.02 -0.50 -0.02
2 3.0 10 -23.1 -o.35 0
0
0
0
3 3.0 10 +96.2 +1.44 +0.58 +0.83 -1.00 -1.44
4 3.0 20 -96.2 -0.72 -0.58 +0.42 +1.00 -0.72
5 3.0 10 +46.2 +0.69 +0.58 +0.40 -1.00 -0.69
6 3.0 10 -46.2 -0.69 -1.16 +0.80 0
0
7 3.0 10 +46.2 +0.69 0
0
0
0
mm
43
.
2
l
n
f
7
kolumny
suma
i
'
i
y
mm
87
.
2
l
n
f
9
kolumny
suma
i
"
i
x
Obciążając podobnie węzeł B poziomą siłą P
c
= 1N
obliczamy odpowiednie n
i
’’
oraz n
i
’’
l
i
i w wyniku (suma
kolumny 9) mamy poziome przesunięcie węzła B
zachodzące na prawo. Wypadkowe przemieszczenie jest
geometryczną sumą składowych i wynosi f
B
(rys.32)
a) b)
5 B
P
c
=
1N 5 B
x
f
x
f
B
6 7 6
P
c
f
y
B
’
y 7
Rys.32 a) układ sił P
c
tak zwanych „czujników”
(str. 339-
342)
b) przemieszczenie węzła B, f
B
mm
76
.
3
)
87
.
2
(
)
43
.
2
(
f
2
2
B
Przykład 14
Dla kratownicy z przykładu 2 określ wartości naprężeń
w prętach oraz wartości współczynników bezpieczeństwa
względem
e
= 350 MPa.
Rozwiązanie
Dzieląc wartość siły N
i
działającej w pręcie i przez wartość
jego przekroju A
i
(tabela a) określamy wartości naprężeń
i
=N
i
/A
i
, współczynnik bezpieczeństwa n
ei
= 350/
i,
wyniki
przedstawiono w tabeli b.
40WM
Tabela b
Nr.prę. 1
2
3
4
5
6
7
i
(MPa) 1.9
-23.1 96.2
-48.1 46.2
-46.2 46.2
n
ei
157.8 13.0 3.1
6.2
6.5
6.5
6.5
Wyboczenie prętów prostych
(str. 473-481)
Wyboczenie sprężyste
z
+M
w
P
x x
x
l
Rys. 33 Pręt zamocowany przegubowo obciążony siła P
M = -Pw podstawiając do wzoru (11) otrzymujemy
Pw
w
EJ
"
y
(g)
po przeniesieniu –Pw na lewą stronę i po podzieleniu obu
stron równania (g) przez P/EJ
y
= k
2
otrzymujemy
0
w
k
w
2
"
(h)
Rozwiązanie ogólne równania (h) jest
kx
cos
C
kx
sin
C
w
2
1
(i)
Stałe całkowania C
1
, C
2
określamy z warunków
brzegowych: x = 0, w = 0 C
2
= 0
x = l, w = 0 C
1
sinkl = 0 (j)
ostatecznie
x
EJ
P
sin
C
kx
sin
C
w
y
1
1
(k)
Gdyby C
1
= 0 to pręt nie mógłby istnieć w stanie wygiętym,
patrz (k) stąd wiosek że C
1
0, tak więc aby spełnić
41WM
warunki (j) sinkl musi równać się zero czyli
sinkl = 0 stąd kl =
n, gdzie n = 1,2,....
pamiętając że k
2
=P/EJ
y
to
n
EJ
P
l
kl
y
(l )
wartość siły P przy której spełniona jest równość (l )
nazywana jest siłą krytyczną i oznaczana jako P
kr
czyli
2
y
2
2
'
kr
l
EJ
n
P
najmniejszą wartość P otrzymamy
dla n=1, siłę tę nazywamy
siłą Eulerowską
2
2
y
2
w
2
y
2
w
2
2
w
y
2
2
y
2
kr
s
EA
A
J
l
EA
J
l
E
l
EJ
l
EJ
P
(32)
gdzie A przekrój pręta
w
l długość wyboczeniowa pręta =
l
s smukłość pręta =
y
w
J
A
l
współczynnik zależny od podparcia pręta
dla pręta z rysunku 33
= 1
Dzieląc siłę krytyczną P
kr
(32) przez przekrój pręta A
otrzymujemy wzór na naprężenia krytyczne
2
2
kr
s
E
(33)
Wzór (33) jest słuszny w zakresie naprężeń, w którym
obowiązuje prawo Hooke
’
a, czyli w zakresie sprężystym
materiału (rys.34).
42WM
43WM
kr
pl
Parabola Johsona-Ostenfelda
Prosta Tetmajera-Jasińskiego
sp
Hiperbola-Eulera
s
gr
s Rys.34
Przykład 15
Określić kształt przekroju dla ściskanego pręta 4 z
przykładu 14 z warunku, że współczynnik na wyboczenie
n
kr
= 4,
sp
= 300MPa. Proporcje przekroju podaje rys.35.
Rozwiązanie
Pręt 4 jest ściskany
4
= - 48.1 MPa (tabela b).
Przekrój pręta A
4
= 20cm
2
, długość pręta l = 3m (tabela a).
Przyjmuje się, że pręt jest na końcach podparty
przegubowo a więc
= 1 stąd l
w
= l = 3m, E = 2
10
5
MPa.
Z wzoru (33) mamy
4
4
kr
2
y
2
kr
4
n
A
l
EJ
4
4
2
2
kr
y
mm
10
4
.
175
E
A
l
J
(a1)
y
x b
Rys.35
b
A = 3b
= 2000mm
2
= 2000/3b (a2)
12
b
12
b
2
J
3
3
y
(a3)
Po podstawieniu (a1) i (a2) do (a3) otrzymujemy
b= 125.6mm, podstawiając to do (a2) mamy
= 5.3mm.
Sprawdzenie czy J
x
nie jest mniejsze od J
y
4
4
3
2
3
x
mm
10
657
12
b
2
2
2
b
b
2
12
b
J
J
x
>> J
y
43a WM