METODA MAXWELLA-MOHRA

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w
postaci:









n

1

k

l

k

z

k

k

k

dx

EJ

)

x

(

M

)

x

(

M

gdzie:



- poszukiwane przemieszczenie,

k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,

k

l

- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x

k

na końcu przedziału),

)

x

(

M

k

- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem

rzeczywistym,

)

x

(

M

k

- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i

wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,

E

- moduł Younga,

z

J

- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.

Całki typy









l

0

k

i

dx

można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji



i

i



k

jest

liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole



i

wykresu funkcji



i

przez rzędną



k

wykresu

funkcji



k

(ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola



i

.

k

j

l

0

k

i

dx

















Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy



i

i



k

są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole

któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:

j

k

k

j

l

0

k

i

dx

























Iloczyn



jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.



i



k

x



k



i

x

Pola figur i położenia środków ciężkości

POLE

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI



X

C

l



f

2

1

l

2

1

l



f

3

2

l

3

1

l



f

4

3

l

f

l

l

l

f

f

x

c

x

c

x

c

a

ax

ax

2

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

WZORU MAXWELLA-MOHRA:

1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.
2) Obciążyć układ

tylko i wyłącznie

siłą jednostkową w miejscu i na kierunku

poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.

(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła
jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego -
obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu
- obciążamy układ momentem jednostkowym

)

3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach

obciążeń.

4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.
5) Zastosować

wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego

przemieszczenia.

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

SPOSOBU WERESZCZAGINA

DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:

1) Sporządzić wykresy sił

wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami

czynnymi

(rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

2) Sporządzić wykresy sił

wewnętrznych S

1

(x) od obciążenia układu siłą

jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego
przemieszczenia

.

3)

Obliczyć powierzchnię



i wyznaczyć środki ciężkości

x

c

pól wykresu

S(x)

odpowiadających odcinkom prostym

S

1

(x)

4) Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji)



=S

1

(x

c

)

odpowiadające położeniom

środków ciężkości pół wykresu

S(x)

Podziału na pola wykresu

S(x)

dokonujemy po wykonaniu wykresu

S

1

(x)

, kiedy

wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie

S

1

(x)

W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę
superpozycji - wykresy

S(x)

mają prostą postać

Wytrzymałość Materiałów 6 35WM

Metoda Maxwella-Mohra obliczania przemieszczeń konstrukcji

(str. 49- 51 oraz str. 230-237)

Dla belek i ram przemieszczenie konstrukcji wyznaczamy ze
wzoru:





























ds

GJ

m

M

EJ

m

M

EJ

m

M

GA

t

T

GA

t

T

EA

Nn

f

0

S

S

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1





(26)

Dla belek prostych i ram płaskich obciążonych układem sił
płaskich T

2

= t

2

= M

2

= m

2

= 0. Wzór (26) ma postać



























ds

GJ

m

M

EJ

m

M

GA

Tt

EA

Nn

f

0

S

S

y

g

g



(27)

gdzie siły i momenty oznaczone dużymi literami są siłami i
momentami wewnętrznymi wywołanymi obciążeniem zewnętrznym
zaś siły i momenty wewnętrzne wywołane siłami jednostkowymi są
określone literami małymi.
N, n siły normalne
T, t

siły tnące

M

g

, m

g

momenty gnące

M

S

, m

S

momenty skręcające

A

pole przekroju elementu konstrukcji



współczynnik wynikający z nierównomierności

rozkładu naprężeń tnących w przekroju

Wzór Wereszczagina do całkowania iloczynu dwóch funkcji, z
których jedna jest funkcją liniową

   

 



 

 

















1

X

0

X

1

X

0

X

1

X

0

X

1

X

0

X

dx

x

Y

b

xdx

x

Y

a

dx

b

ax

x

Y

dx

x

y

x

Y

C

1

C

2

Y(x) y(x)
x

ść

x

ść

x

y = ax + b

Y(x)

C y

c

dA

x

0

dx x x

0

x

x

1

x

1

Rys.29 Sposób obliczania całki

A

pole pod krzywą Y(x),





1

X

0

X

dx

)

x

(

Y

A

x

ść

współrzędna środka ciężkości pola A

C

1

= Aax

ść

C

2

= Ab

   









1

X

0

X

dx

x

y

x

Y

C

1

+ C

2

= A(ax

ść

+ b) = Ay

c

(28)

Przykład 12

(str. 233)

Określić pionowe przemieszczenie przekroju A
pryzmatycznej belki (rys.30) o przekroju kołowym
wywołane siłą P. Dana średnica przekroju belki d.

Rozwiązanie.

Pierwszy etap polega na wprowadzeniu w przekroju A
jednostkowej siły pionowej P

c

= 1N, jako „czujnika”

mierzącego szukane przemieszczenie. W etapie drugim
wyznaczamy składowe sił i momentów wewnętrznych w
przekroju B jako funkcje x, słuszne w całym przedziale
(0,l).

36WM

z P P

c

= 1N

x B x B
C A C A
l l

M

g

= -P(l-x) m

g

= -1(l-x)

C A C A
Pl 1



l

T = P t = 1N
T + t
C A C A
Rys.30 Przykład obliczenia ugięć belki

M

g

= -P(l-x), T = P, N = 0, m

g

= -(l-x)Nm/N, t = 1N/N, n = 0

W etapie trzecim funkcje te podstawiamy do (27) i
całkujemy





















l

0

y

3

l

0

y

A

GA

Pl

EJ

3

Pl

0

dx

GA

1

P

dx

EJ

)

x

l

)(

x

l

(

P

f





(a) (b)

gdzie:



= 1/



=1.185 i wynika z nierównomierności

rozkładu naprężeń stycznych w przekroju



= 0.3,

E/G =2(1+



) = 2(1+0.3) = 2.6

J

y

=



d

4

/64, A =



d

2

/4

przy czym uwzględniono, że iloczyn wartości ujemnych jest
dodatni.
- człon (a) reprezentuje wpływ momentu gnącego na
ugięcie belki
- człon (b) reprezentuje wpływ siły tnącej na ugięcie belki

37WM















































2

y

3

2

y

y

3

A

l

d

58

,

0

1

EJ

3

Pl

Al

J

G

E

3

1

EJ

3

Pl

f



Widać, że wpływ siły tnącej jest rzędu (d/l)

2

w stosunku do jedności i gdy l/d > 8, wówczas
wpływ ten nie przekracza 1% wartości ugięcia wywołanego
momentem gnącym.

Przykład 13

(str. 376-380)

Obliczyć wypadkowe przemieszczenie węzła B stalowej
kratownicy obciążonej siłami P

1

= 50kN i P

2

= 40kN (rys.31).

E = 2



10

5

MPa. Długości i przekroje prętów podano w tabeli a.

Wartości sił od obciążenia zewnętrznego N

i

określono na ćwiczeniach w zadaniu 29.

Rozwiązanie

C 3m B C +0.58 B
P

1

P

c

= 1N

3 5 7 +0.58 -1.16
4 6 P

2

-0.58

1 2 A A
3m 3m -0.50

C -1.00 B

P

c

= 1N

-1.00 0
+1.00 0
A
-0.50 0

Rys.31 Obliczenie wartości przemieszczenia węzła B

W kratownicy pręty są tylko rozciągane lub ściskane
wobec tego wzór (27) przyjmuje postać

38WM

39WM

ds

A

E

n

N

f

7

i

1

i

l

0

i

i

i

i

i

 







(29)

jeśli Ni, ni, E

i

, A

i

są stałe dla wszystkich prętów

to wzór (29) przyjmuje postać









7

i

1

i

i

i

i

i

i

l

A

E

n

N

f

dla E

i

= const =E









7

i

1

i

i

i

i

i

l

A

n

N

E

1

f

(30)

Całość obliczeń ujmujemy w poniższej tabeli a. Pierwsze
trzy kolumny to numeracja i dane geometryczne prętów.
Kolumny 4 i 5 podają siły N

i

odpowiadające

rzeczywistemu obciążeniu i wywołane tym wydłużenia



l

i

= N

i

l

i

/EA

i

. Kolumna 6 to siły n

i

‘

(N/N) dla „

czujnika

”,

tj. pionowej siły

P

c

= 1N przyłożonej w węźle B. Wreszcie

w kolumnie 7 mamy iloczyn n

i

‘



l

i

, których suma to

szukane pionowe przemieszczenie węzła B. Dodatnia
wartość świadczy, że kierunek przemieszczenia jest zgodny
z kierunkiem działania siły

P

c

.

Tabela a

1 2

3

4

5 6

7

8

9

Pręt

nr

l

i

m

A

i

cm

2

N

i

kN

i

i

i

EA

l

N

mm

'

i

n

N/N

'

i

n



l

i

mm

'

'

i

n

N/N

n

i

’’



l

i

mm

1 3.0 10 +1.9 +0.03 -0.50 -0.02 -0.50 -0.02
2 3.0 10 -23.1 -o.35 0

0

0

0

3 3.0 10 +96.2 +1.44 +0.58 +0.83 -1.00 -1.44
4 3.0 20 -96.2 -0.72 -0.58 +0.42 +1.00 -0.72
5 3.0 10 +46.2 +0.69 +0.58 +0.40 -1.00 -0.69
6 3.0 10 -46.2 -0.69 -1.16 +0.80 0

0

7 3.0 10 +46.2 +0.69 0

0

0

0













mm

43

.

2

l

n

f

7

kolumny

suma

i

'

i

y

















mm

87

.

2

l

n

f

9

kolumny

suma

i

"

i

x



Obciążając podobnie węzeł B poziomą siłą P

c

= 1N

obliczamy odpowiednie n

i

’’

oraz n

i

’’



l

i

i w wyniku (suma

kolumny 9) mamy poziome przesunięcie węzła B
zachodzące na prawo. Wypadkowe przemieszczenie jest
geometryczną sumą składowych i wynosi f

B

(rys.32)

a) b)
5 B

P

c

=

1N 5 B

x

f

x

f

B

6 7 6

P

c

f

y

B

’

y 7

Rys.32 a) układ sił P

c

tak zwanych „czujników”

(str. 339-

342)

b) przemieszczenie węzła B, f

B

mm

76

.

3

)

87

.

2

(

)

43

.

2

(

f

2

2

B









Przykład 14

Dla kratownicy z przykładu 2 określ wartości naprężeń



w prętach oraz wartości współczynników bezpieczeństwa
względem



e

= 350 MPa.

Rozwiązanie

Dzieląc wartość siły N

i

działającej w pręcie i przez wartość

jego przekroju A

i

(tabela a) określamy wartości naprężeń



i

=N

i

/A

i

, współczynnik bezpieczeństwa n

ei

= 350/



i,

wyniki

przedstawiono w tabeli b.

40WM

Tabela b

Nr.prę. 1

2

3

4

5

6

7



i

(MPa) 1.9

-23.1 96.2

-48.1 46.2

-46.2 46.2

n

ei

157.8 13.0 3.1

6.2

6.5

6.5

6.5

Wyboczenie prętów prostych

(str. 473-481)

Wyboczenie sprężyste
z
+M

w

P

x x

x
l

Rys. 33 Pręt zamocowany przegubowo obciążony siła P

M = -Pw podstawiając do wzoru (11) otrzymujemy

Pw

w

EJ

"

y





(g)

po przeniesieniu –Pw na lewą stronę i po podzieleniu obu
stron równania (g) przez P/EJ

y

= k

2

otrzymujemy

0

w

k

w

2

"





(h)

Rozwiązanie ogólne równania (h) jest

kx

cos

C

kx

sin

C

w

2

1





(i)

Stałe całkowania C

1

, C

2

określamy z warunków

brzegowych: x = 0, w = 0 C

2

= 0

x = l, w = 0 C

1

sinkl = 0 (j)

ostatecznie

x

EJ

P

sin

C

kx

sin

C

w

y

1

1





(k)

Gdyby C

1

= 0 to pręt nie mógłby istnieć w stanie wygiętym,

patrz (k) stąd wiosek że C

1



0, tak więc aby spełnić

41WM

warunki (j) sinkl musi równać się zero czyli
sinkl = 0 stąd kl =



n, gdzie n = 1,2,....

pamiętając że k

2

=P/EJ

y

to

n

EJ

P

l

kl

y









(l )

wartość siły P przy której spełniona jest równość (l )
nazywana jest siłą krytyczną i oznaczana jako P

kr

czyli

2

y

2

2

'

kr

l

EJ

n

P





najmniejszą wartość P otrzymamy

dla n=1, siłę tę nazywamy

siłą Eulerowską





2

2

y

2

w

2

y

2

w

2

2

w

y

2

2

y

2

kr

s

EA

A

J

l

EA

J

l

E

l

EJ

l

EJ

P























(32)

gdzie A przekrój pręta

w

l długość wyboczeniowa pręta =



l

s smukłość pręta =

y

w

J

A

l



współczynnik zależny od podparcia pręta

dla pręta z rysunku 33



= 1

Dzieląc siłę krytyczną P

kr

(32) przez przekrój pręta A

otrzymujemy wzór na naprężenia krytyczne

2

2

kr

s

E







(33)

Wzór (33) jest słuszny w zakresie naprężeń, w którym
obowiązuje prawo Hooke

’

a, czyli w zakresie sprężystym

materiału (rys.34).

42WM

43WM



kr



pl

Parabola Johsona-Ostenfelda

Prosta Tetmajera-Jasińskiego



sp

Hiperbola-Eulera


s

gr

s Rys.34

Przykład 15

Określić kształt przekroju dla ściskanego pręta 4 z
przykładu 14 z warunku, że współczynnik na wyboczenie
n

kr

= 4,



sp

= 300MPa. Proporcje przekroju podaje rys.35.

Rozwiązanie

Pręt 4 jest ściskany



4

= - 48.1 MPa (tabela b).

Przekrój pręta A

4

= 20cm

2

, długość pręta l = 3m (tabela a).

Przyjmuje się, że pręt jest na końcach podparty
przegubowo a więc



= 1 stąd l

w

= l = 3m, E = 2



10

5

MPa.

Z wzoru (33) mamy

4

4

kr

2

y

2

kr

4

n

A

l

EJ















4

4

2

2

kr

y

mm

10

4

.

175

E

A

l

J











(a1)

y



x b



Rys.35

b

A = 3b



= 2000mm

2



= 2000/3b (a2)

12

b

12

b

2

J

3

3

y









(a3)

Po podstawieniu (a1) i (a2) do (a3) otrzymujemy
b= 125.6mm, podstawiając to do (a2) mamy



= 5.3mm.

Sprawdzenie czy J

x

nie jest mniejsze od J

y

4

4

3

2

3

x

mm

10

657

12

b

2

2

2

b

b

2

12

b

J

















 













J

x

>> J

y

43a WM