KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 4

Zad. 4.1
Obliczyć przemieszczenie

δ belki z podporą sprężystą.

.

2

1000

EI

kNm

=

Rys. 4.1.1

s

k

− sztywność podpory sprężystej – siła, jaka powstaje w sprężynie po przemieszczeniu jej o

wielkość

1[ ]

m

δ

=

Odwrotność sztywności:

1

s

s

k

δ

=

- podatność podpory – przemieszczenie sprężyny pod

jednostkową siłą.
Przemieszczenie

δ obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:

B

B

l

M M

ds

R

EI

δ

=

+

∫

δ

⋅

(4.1)

Stan obciążenia zewnętrznego:

Rys. 3.5.2

Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego:

1

1

10 0,1[ ]

100

B

s

B

B

s

R

R

m

k

δ

δ

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

C16-2005-cw04

28

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego:

Rys. 4.1.3

Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego:

1

[ ]

2

B

R

=

−

Obliczenie przemieszczenia

Wpływ zginania belki:

1

1

1

2

8

2

2 20

1

2,667[

]

1000

2

3

300

l

M M

ds

cm

EI

δ

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

=

∫

Wpływ przemieszczenia podpory sprężystej:

2

1

0,1

0,05

5,0[

]

2

B

B

R

m

c

δ

δ

=

⋅

=

⋅ =

=

m

1

2

7,667[

]

cm

δ δ δ

= +

=

Ogólny wzór dla układów ramowych z podporami sprężystymi:

1

1

n

i

i

i

i

l

M M

ds

R R

EI

k

δ

=

=

+

∑

∫

⋅

(4.2)

gdzie:

n

- liczba podpór sprężystych

,

1,

i

k i

n

=

- sztywność danej podpory

,

1,

i

R i

= n - reakcja w danej podporze od obciążenia rzeczywistego

,

1,

i

R i

= n

- reakcja w danej podporze od jednostkowego obciążenia wirtualnego

Inny wariant:

1

2

1

n

i

i

i

i

l

M M

ds

R R

EI

δ

δ

δ

=

=

+

⋅

=

∑

∫

δ

+

gdzie:

1

i

i

k

δ

=

- podatność danej podpory

C16-2005-cw04

29

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 4.2 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć przemieszczenie

δ . Przyjąć

.

2

2000

EI

kNm

=

Rys. 4.2.1

Przemieszczenie

δ obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:

2

1

1

i

i

i

i

l

M M

ds

R R

EI

k

δ

=

=

+

∑

∫

⋅ (4.3)

Stan obciążenia zewnętrznego (reakcje jak dla podpór stałych)

Rys. 4.2.2

Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego

Rys. 4.2.3

C16-2005-cw04

30

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Obliczenie przemieszczenia

Wpływ zginania:

(

) ( )

1

1

20 2

1

0,02[ ]

2000

l

M M

ds

m

EI

δ

=

=

⋅ −

⋅ ⋅ − =

∫

Wpływ przemieszczenia podpór sprężystych:

2

1

2

1

1

1

20 2 0,05

800

A

A

A

A

R

R

M

M

k

k

δ

=

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅ =

m

m

1

2

0,07

7,0

m

c

δ δ δ

= +

=

=

Zad. 4.3
Obliczyć kat obrotu w punkcie B układu jak na Rys. 4.1.1 wywołany przyrostem temperatury

w zaznaczonych elementach.

30

o

t

∆ =

C

Rys. 4.3.1

Szukany kąt obrotu obliczymy ze wzoru

t

B

l

t

M

ds

h

α

ϕ

⋅ ∆

=

∫

(4.4)

Momenty zginające wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

Rys. 4.3.2

C16-2005-cw04

31

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Obliczenie kąta obrotu:

(

)

5

3

10

30 1

1

1 0,3

4

0, 4

3 0,3

5

4,35 10 [

] 14'57"

0, 2

2

2

2

t

B

l

t

M

ds

rad

h

α

ϕ

−

−

⋅ ∆

⋅

+

⎡

⎤

=

=

⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅

+

⋅

=

⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

∫

Zad. 4.4
Obliczyć przemieszczenie

δ

wywołane równomiernym ogrzaniem wszystkich elementów układu.

Dane są wielkości

0

, ,

t

a

t

α

.

Rys. 4.4.1

Przemieszczenie obliczymy ze wzoru

t

l

N

t

δ

α

=

⋅ ⋅ ∆ ⋅

∫

ds (4.5)

Siły normalne wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

Rys. 4.4.2

Obliczenie przemieszczenia:

0

2

2

2

2

2

3

2

3

3

t

t

a

a

a

a

δ

α

α

⎛

⎞

= − ⋅

⋅

+ ⋅

+ ⋅

= − ⋅ ⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

0

t

t

C16-2005-cw04

32

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 4.5
Obliczyć przemieszczenie

δ

wywołane równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów

kratownicy o wielkość

względem temperatury montażu.

0

20

o

t

=

C

Rys. 4.5.1

Przemieszczenie wywołane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru

0

t

l

N

t d

δ

α

=

⋅ ⋅ ⋅

∫

s (4.6)

W przypadku kratownic wzór przedstawiamy w postaci

0

1

i

i

n

i

t

i

S

t

δ

α

=

=

⋅

⋅

∑

i

l

⋅

i

(4.7)

gdzie:

n

- liczba prętów

0

, ,

i

i

t

t

l

α

- wielkości związane z danym prętem

i

S - siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego

Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

Rys. 4.5.2

Obliczenie przemieszczenia:

( )

5

4

0

1

1

2

2

1, 2 10

20 2

1

2 2

2 2

2 2

1,6 10 [ ] 0,016 [

]

3

3

3

i

i

n

i

t

i

i

S

t

l

m

c

δ

α

−

−

=

⎡

⎤

⎛

⎞

=

⋅

⋅ ⋅ =

⋅

⋅

⋅ − + ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ +

⋅

=

⋅

=

⎢

⎥

⎜

⎟

⎝

⎠

⎣

⎦

∑

m

C16-2005-cw04

33

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 4.6
Obliczyć zmianę kąta obrotu w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinematycznymi

Rys. 4.6.1

Zmianę kata obrotu

ϕ

∆ obliczymy ze wzoru

3

1

i

i

i

R

ϕ

=

∆ = − ∆ ⋅

∑

(4.8)

Zadane przemieszczenia podpór:

1

2

3

0,05 [

]

0,04 [ ]

0,03[ ]

A

B

B

rad

u

m

v

m

ϕ

∆ =

=

∆ =

= −

∆ =

= −

Reakcje podporowe wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

1

2

3

1,5 [ ]

1

0, 25

0

A

B

B

R

M

R

H

m

R

V

=

=

−

⎡ ⎤

=

=

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

=

Rys. 4.6.2

Obliczenie zmiany kąta obrotu

ϕ

∆

:

(

)

3

1

1,5 0,05 0, 25

0,04

0,065 [

]

3 43'

o

i

i

i

R

ϕ

=

∆ = − ∆ ⋅ = −

⋅

+

⋅ −

= −

= −

⎡

⎤

⎣

⎦

∑

rad

C16-2005-cw04

34

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Zad. 4.7
Obliczyć przemieszczenie

δ

powstałe w wyniku zaznaczonych błędów montażowych

Rys. 4.6.1

Przemieszczenie

δ

obliczymy ze wzoru

(

i

i

i

i

l N

M

δ

=

∆ ⋅

+ ∆ ⋅

∑

)

ϕ

(4.9)

Imperfekcje geometryczne:

1 2

2

0,03[ ]

0,01[

]

l

m

rad

ϕ

−

∆

=

∆

=

Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego i odpowiadające mu wielkości statyczne (sprzężone
z zadanymi imperfekcjami)

Rys. 4.6.2

Obliczenie przemieszczenia:

1 2

1 2

2

2

0,03 0,5 0,01 ( 2)

0,005[ ]

0,5 [

]

l

N

M

m

cm

δ

ϕ

−

−

= ∆

⋅

+ ∆ ⋅

=

⋅

+

⋅ − = −

= −

C16-2005-cw04

35