KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 4
Zad. 4.1
Obliczyć przemieszczenie
δ belki z podporą sprężystą.
.
2
1000
EI
kNm
=
Rys. 4.1.1
s
k
− sztywność podpory sprężystej – siła, jaka powstaje w sprężynie po przemieszczeniu jej o
wielkość
1[ ]
m
δ
=
Odwrotność sztywności:
1
s
s
k
δ
=
- podatność podpory – przemieszczenie sprężyny pod
jednostkową siłą.
Przemieszczenie
δ obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:
B
B
l
M M
ds
R
EI
δ
=
+
∫
δ
⋅
(4.1)
Stan obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.5.2
Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego:
1
1
10 0,1[ ]
100
B
s
B
B
s
R
R
m
k
δ
δ
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
C16-2005-cw04
28
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 4.1.3
Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
1
[ ]
2
B
R
=
−
Obliczenie przemieszczenia
Wpływ zginania belki:
1
1
1
2
8
2
2 20
1
2,667[
]
1000
2
3
300
l
M M
ds
cm
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ =
=
∫
Wpływ przemieszczenia podpory sprężystej:
2
1
0,1
0,05
5,0[
]
2
B
B
R
m
c
δ
δ
=
⋅
=
⋅ =
=
m
1
2
7,667[
]
cm
δ δ δ
= +
=
Ogólny wzór dla układów ramowych z podporami sprężystymi:
1
1
n
i
i
i
i
l
M M
ds
R R
EI
k
δ
=
=
+
∑
∫
⋅
(4.2)
gdzie:
n
- liczba podpór sprężystych
,
1,
i
k i
n
=
- sztywność danej podpory
,
1,
i
R i
= n - reakcja w danej podporze od obciążenia rzeczywistego
,
1,
i
R i
= n
- reakcja w danej podporze od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Inny wariant:
1
2
1
n
i
i
i
i
l
M M
ds
R R
EI
δ
δ
δ
=
=
+
⋅
=
∑
∫
δ
+
gdzie:
1
i
i
k
δ
=
- podatność danej podpory
C16-2005-cw04
29
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.2 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć przemieszczenie
δ . Przyjąć
.
2
2000
EI
kNm
=
Rys. 4.2.1
Przemieszczenie
δ obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:
2
1
1
i
i
i
i
l
M M
ds
R R
EI
k
δ
=
=
+
∑
∫
⋅ (4.3)
Stan obciążenia zewnętrznego (reakcje jak dla podpór stałych)
Rys. 4.2.2
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 4.2.3
C16-2005-cw04
30
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Obliczenie przemieszczenia
Wpływ zginania:
(
) ( )
1
1
20 2
1
0,02[ ]
2000
l
M M
ds
m
EI
δ
=
=
⋅ −
⋅ ⋅ − =
∫
Wpływ przemieszczenia podpór sprężystych:
2
1
2
1
1
1
20 2 0,05
800
A
A
A
A
R
R
M
M
k
k
δ
=
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅ =
m
m
1
2
0,07
7,0
m
c
δ δ δ
= +
=
=
Zad. 4.3
Obliczyć kat obrotu w punkcie B układu jak na Rys. 4.1.1 wywołany przyrostem temperatury
w zaznaczonych elementach.
30
o
t
∆ =
C
Rys. 4.3.1
Szukany kąt obrotu obliczymy ze wzoru
t
B
l
t
M
ds
h
α
ϕ
⋅ ∆
=
∫
(4.4)
Momenty zginające wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.3.2
C16-2005-cw04
31
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Obliczenie kąta obrotu:
(
)
5
3
10
30 1
1
1 0,3
4
0, 4
3 0,3
5
4,35 10 [
] 14'57"
0, 2
2
2
2
t
B
l
t
M
ds
rad
h
α
ϕ
−
−
⋅ ∆
⋅
+
⎡
⎤
=
=
⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅
+
⋅
=
⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
Zad. 4.4
Obliczyć przemieszczenie
δ
wywołane równomiernym ogrzaniem wszystkich elementów układu.
Dane są wielkości
0
, ,
t
a
t
α
.
Rys. 4.4.1
Przemieszczenie obliczymy ze wzoru
t
l
N
t
δ
α
=
⋅ ⋅ ∆ ⋅
∫
ds (4.5)
Siły normalne wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.4.2
Obliczenie przemieszczenia:
0
2
2
2
2
2
3
2
3
3
t
t
a
a
a
a
δ
α
α
⎛
⎞
= − ⋅
⋅
+ ⋅
+ ⋅
= − ⋅ ⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
t
t
C16-2005-cw04
32
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.5
Obliczyć przemieszczenie
δ
wywołane równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów
kratownicy o wielkość
względem temperatury montażu.
0
20
o
t
=
C
Rys. 4.5.1
Przemieszczenie wywołane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru
0
t
l
N
t d
δ
α
=
⋅ ⋅ ⋅
∫
s (4.6)
W przypadku kratownic wzór przedstawiamy w postaci
0
1
i
i
n
i
t
i
S
t
δ
α
=
=
⋅
⋅
∑
i
l
⋅
i
(4.7)
gdzie:
n
- liczba prętów
0
, ,
i
i
t
t
l
α
- wielkości związane z danym prętem
i
S - siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego
Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.5.2
Obliczenie przemieszczenia:
( )
5
4
0
1
1
2
2
1, 2 10
20 2
1
2 2
2 2
2 2
1,6 10 [ ] 0,016 [
]
3
3
3
i
i
n
i
t
i
i
S
t
l
m
c
δ
α
−
−
=
⎡
⎤
⎛
⎞
=
⋅
⋅ ⋅ =
⋅
⋅
⋅ − + ⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅ +
⋅
=
⋅
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
∑
m
C16-2005-cw04
33
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.6
Obliczyć zmianę kąta obrotu w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinematycznymi
Rys. 4.6.1
Zmianę kata obrotu
ϕ
∆ obliczymy ze wzoru
3
1
i
i
i
R
ϕ
=
∆ = − ∆ ⋅
∑
(4.8)
Zadane przemieszczenia podpór:
1
2
3
0,05 [
]
0,04 [ ]
0,03[ ]
A
B
B
rad
u
m
v
m
ϕ
∆ =
=
∆ =
= −
∆ =
= −
Reakcje podporowe wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
1
2
3
1,5 [ ]
1
0, 25
0
A
B
B
R
M
R
H
m
R
V
=
=
−
⎡ ⎤
=
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
=
Rys. 4.6.2
Obliczenie zmiany kąta obrotu
ϕ
∆
:
(
)
3
1
1,5 0,05 0, 25
0,04
0,065 [
]
3 43'
o
i
i
i
R
ϕ
=
∆ = − ∆ ⋅ = −
⋅
+
⋅ −
= −
= −
⎡
⎤
⎣
⎦
∑
rad
C16-2005-cw04
34
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.7
Obliczyć przemieszczenie
δ
powstałe w wyniku zaznaczonych błędów montażowych
Rys. 4.6.1
Przemieszczenie
δ
obliczymy ze wzoru
(
i
i
i
i
l N
M
δ
=
∆ ⋅
+ ∆ ⋅
∑
)
ϕ
(4.9)
Imperfekcje geometryczne:
1 2
2
0,03[ ]
0,01[
]
l
m
rad
ϕ
−
∆
=
∆
=
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego i odpowiadające mu wielkości statyczne (sprzężone
z zadanymi imperfekcjami)
Rys. 4.6.2
Obliczenie przemieszczenia:
1 2
1 2
2
2
0,03 0,5 0,01 ( 2)
0,005[ ]
0,5 [
]
l
N
M
m
cm
δ
ϕ
−
−
= ∆
⋅
+ ∆ ⋅
=
⋅
+
⋅ − = −
= −
C16-2005-cw04
35
Document Outline