Sterowanie zapasami w warunkach braku ciągłości

Strategia Zarządzania Zaopatrzeniem

Zdzisław Sarjusz- Wolski

Metoda Wagnera-Withina

Metoda opracowana przez tych naukowców prowadzi do optymalizacji wielostadialnej,
wykorzystując w tym celu idee programowania dynamicznego.

Dla przedstawienia metody wprowadzimy następujące oznaczenia i założenia:

1.

Przez y

t

oznaczymy potrzeby (popyt) w okresie „t" (t = l, 2, ..., N), gdzie N jest horyzontem

planu (na przykład koniec grudnia dla okresu rocznego);

2.

Dostawa zamówionych partii następuje na początku ustalonych krótszych okresów

(tj. przedziałów sterowania, na przykład miesięcy);

3.

Cena zakupu nie zależy od wielkości dostawy (dostawca nie udziela rabatów);

4.

Oszacowane

koszty

tworzenia

i

utrzymywania

zapasów

nie

ulegają

zmianie

na przestrzeni danego roku planowanego;

5.

Rozpatrywany materiał jest zamawiany indywidualnie;

6.

Okres realizacji zamówień jest znany i stały;

7.

Polityka zakupów jest prowadzona w sposób nie dopuszczający zaistnienia sytuacji

wyczerpania zapasu (biorąc za podstawę prognozy bądź plany potrzeb w całym planowanym
okresie i krótszych jego odcinkach);

8.

Dostawy następują jednorazowo na całą zamówioną ilość;

9.

Koszt utrzymania zapasu odnosi się tylko do tej ilości, która przechodzi na następny okres

(tj. wystąpi w zapasie na koniec danego okresu „t", a tym samym na początek następnego
„t+1").

Należy zauważyć, iż założenia te obowiązują również przy stosowaniu klasycznej metody optymalnej
partii dostawy, bowiem w przeciwnym razie trzeba stosować któryś ze szczególnych przypadków
sterowania zapasami, omówiony wcześniej.

Stosując omawianą metodę należy przyjąć jeszcze następujące dodatkowe założenia:

A.

Zamówienie jest wystawiane jedynie wówczas, gdy poziom zapasu na koniec danego

przedziału sterowania ma osiągnąć stan zerowy (lub stan równy zapasowi bezpieczeństwa,
tworzonemu dla zapobieżenia negatywnym skutkom nieprzewidzianych sytuacji - na przykład
większym potrzebom, aniżeli planowano).

B.

Istnieje pewna granica opłacalności włączania do opracowywanego zamówienia potrzeb

materiałowych,

które,

jak

się

przewiduje

lub

planuje

(MRP),

wystąpią

w dalszych okresach. Granica ta wyznacza horyzont zakupu, poza który nie należy
„wychodzić". Ew. koszt utrzymania zapasu okaże się bowiem na tyle wysoki,
iż bardziej będzie się opłacało spowodować nową dostawę na początku pierwszego okresu
po wyznaczonym pierwszym horyzoncie zakupu, aniżeli włączyć tę ilość do zamówienia
opracowanego (i zrealizowanego!) wiele okresów wcześniej.

Niech F (t) oznacza łączne koszty najlepszej polityki zakupów, zaspokajającej potrzeby
w okresach l, 2, ..., t. Działanie metody Wagnera-Withina zostanie przedstawione
na przykładzie pochodzącym z praktyki gospodarczej (potrzeby produkcyjne na pewną
odkuwkę w okresie: lipiec 96 - czerwiec 97 wykazane w tabeli).

Odpowiednie koszty tworzenia i utrzymania zapasu wynoszą:

•

koszt tworzenia zapasu (zakupu) K

z

= 469 zł,

•

jednostkowa cena zakupu C

z

= 113 zł,

Sterowanie zapasami w warunkach braku ciągłości

Strategia Zarządzania Zaopatrzeniem

Zdzisław Sarjusz- Wolski

•

stopa rocznego jednostkowego kosztu utrzymania zapasu r = 20%,

zatem roczny koszt utrzymania zapasu jednej odkuwki jest równy:

K

u

= r

•

C

z

= 0,2

•

113zł = 22,60 zł,

jednostkowy miesięczny koszt utrzymania zapasu:

Tabela 1. Miesięczne potrzeby na odkuwkę (w szt.) w okresie: lipiec 96 czerwiec 97

Miesiąc

Kolejny numer (t)

Potrzeby (y

t

)

Lipiec

1

70

Sierpień

2

223

Wrzesień

3

109

Październik

4

0

Listopad

5

75

Grudzień

6

0

Styczeń

7

0

Luty

8

0

Marzec

9

0

Kwiecień

10

0

Maj

11

84

Czerwiec

12

360

Razem 921 szt.

Łączne koszty optymalnej polityki zakupów (ŁKZ) dla t = l są równe, oczywiście, tylko

kosztowi zakupu lipcowej partii, czyli ŁKZ = F(l) = 469 zł (koszt utrzymania zapasu jest liczony
dopiero wówczas, gdy zapas przechodzi na następny miesiąc - por. założenie 9).

Dla wyznaczenia F(2), tj. minimalnych kosztów towarzyszących optymalnej polityce zakupów

dla pokrycia popytu w dwóch miesiącach, tj. dla horyzontu zakupów obejmującego

t = 2

(lipiec i

sierpień 96), konieczne jest rozpatrzenie dwóch wariantów:

Wariant l

Zakup w dwóch partiach o wielkościach odpowiadających potrzebom lipca (Q

1

= 70)

i sierpnia (Q

2

= 223).

Wariant 2

Jednorazowy zakup obejmujący łączne potrzeby lipca i sierpnia (Q

1

= 293).

Na łączny koszt związany z wariantem l złożą się:

•

koszt najlepszego rozwiązania dla zakupu lipcowego, oraz:

•

koszt odnowienia zapasu na początku sierpnia, pokrywającego potrzeby w tym miesiącu.

Koszty te wynoszą odpowiednio:

•

F(l) = 469 zł (optymalna, jak ustaliliśmy, polityka dla t = 1),

•

K

z

= 469 zł (zakup z dostawą w pierwszym dniu sierpnia).

Łączny koszt wariantu l wyniesie zatem 469 + 469 = 938 zł.

zł

K

K

u

mies

u

88

,

1

12

.

,

=

=

Sterowanie zapasami w warunkach braku ciągłości

Strategia Zarządzania Zaopatrzeniem

Zdzisław Sarjusz- Wolski

Z kolei wariantowi 2 (Q

1

= 293) będą towarzyszyć koszty:

•

koszt zakupu na początku lipca, czyli K

z

= 469 zł,

•

koszt związany z utrzymaniem przez jeden miesiąc zapasu pokrywającego potrzeby

sierpniowe, a więc:

K

u,mies.

= 1miesiąc • 223 szt. • 1,88 zł/szt. • miesiąc = 420 zł

Tak wiec ŁKZ odpowiadający wariantowi 2 (jednorazowy zakup Q

1

= 293) będą towarzyszyć koszty:

K

z

+ K

u,mies.

= 469 + 420 = 889 zł

Wobec:
ŁKZ(wariant 2) = 889 zł < 938 zł = ŁKZ(wariant 1) decydujemy się, rzecz jasna, wybrać wariant 2.
Tak więc F(2) = 889 zł.


Rozpatrując z kolei horyzont zakupu obejmujący trzy pierwsze miesiące

(t = 3),

pokrycia

planowanych w nich potrzeb można dokonać stosując:

Wariant l
Optymalna, ustalona powyżej, polityka zakupów dla horyzontu t = 2 oraz oddzielnie zakup
wrześniowy.

Oznaczałoby

to

dokonanie

dwóch

zakupów:

Q

1

=

293

oraz

Q

2

= 109.

Wariant 2
Łączny zakup dla trzech pierwszych miesięcy (Q

1

= 402). Koszty takich polityk były równe:

ŁKZ(wariant 1) = F(2) +K

Z

= 889 +469 = 1358 zł,

ŁKZ(wariant 2) = K

z

+1 • K

u

,

mies

• y

2

+2 • K

u

,

mies

• y

3

≈ 469 + 420 + 411 = 1300 zł.

Z porównania kosztów towarzyszących rozpatrywanym wariantom zakupów wynika, iż dla

trzech pierwszych miesięcy (lipiec, sierpień, wrzesień) rozpatrywanego okresu optymalną polityką jest
zakup łączny. Tak więc F(3) = 1300 zł.

Podobne obliczenia należałoby wykonać dla dalszych horyzontów, aż do zrównania

horyzontu zakupu z horyzontem planu, tj. do momentu, gdy t = N = 12. Trudno jednak zaprzeczyć,

ż

e nawet posługując się komputerem jest to procedura kłopotliwa. Na szczęście może być ona

znakomicie uproszczona.

Otóż, wykorzystując przedstawione powyżej założenie (B) o istnieniu pewnej górnej granicy

opłacalności włączania potrzeb pewnego okresu do rozpatrywanego zamówienia, omawiana metoda
daje się w istotny uprościć. Dla zilustrowania tego rozpatrzymy warianty zakupów dla pokrycia
popytu aż do końca maja (t = 11).

Zacznijmy jednak od końca, tj. od rozpatrzenia zakupu dla pokrycia potrzeb wynoszących

w

tym

właśnie

miesiącu

(maju):

y

11

=

84.

Koszt

utrzymania

takiej

ilości

w zapasie chociażby przez jeden miesiąc (tzn. gdyby zakupiono ją w kwietniu) wyniósłby:

K

u,mies.

= 1miesiąc • K

u,mies

• y

2

≈

1 • 1,88 • 84 ≈ 158 zł

Sterowanie zapasami w warunkach braku ciągłości

Strategia Zarządzania Zaopatrzeniem

Zdzisław Sarjusz- Wolski

a więc mniej, aniżeli koszt zakupu (jak pamiętamy, K

z

= 469 zł). Jednak w kwietniu nie

przewiduje się zakupu (y

10

= 0), podobnie, jak w czterech wcześniejszych miesiącach. Najbliższym

możliwym

zakupem

jest

zakup

w

listopadzie

(dopiero

w

tym

okresie

potrzeby

są większe od zera).

Dla potrzeb bardzo zróżnicowanych w czasie, ale ciągłych (tzn. charakteryzujących się tym,

ż

e y

t

> O dla każdego „t" ), Wagner i Within formułują następującą, oczywistą zresztą, zasadę:

Jeżeli potrzeby w okresie „t" są tak duże, iż:

y

t

K

u,mies.

> K

z

czyli

wielkość graniczna (WG)

wówczas rozwiązaniem optymalnym będzie zakup (dostawa) tej ilości (y

t

) na początku danego okresu

planowego „t".

Dokonana przeze mnie modyfikacja powyższego wzoru pozwala rozciągnąć tę zasadę na

wiele wcześniejszych okresów (t-l, t-2, ... itd.), dopuszczając występowanie w nich potrzeb zerowych
(brak ciągłości). Rzecz jasna, w takich „zerowych" okresach z reguły (poza jakimiś wyjątkowymi
przypadkami - na przykład krótkotrwałe rabaty cenowe) nie będzie brana pod uwagę ewentualność
zakupu. Tak więc do rozważań może być wzięty dopiero okres w którym potrzeby są większe od zera.

Proponowany przeze mnie wzór ma postać:

y

t

•

L

uz

•

K

u,mies.

> K

z

gdzie: L

uz

- liczba okresów utrzymywania w zapasie ilości y

t

.

Teraz wartość graniczna uogólniona (WGU), orzekająca O ewentualnej zasadności wcześniejszego
nabycia ilości potrzebnej do zaspokojenia potrzeb w okresie „t", będzie wynikać z wzoru:

Jak nietrudno zauważyć, wartość graniczna (WG) zaproponowana przez Wagnera

i Withina jest szczególnym przypadkiem wartości granicznej uogólnionej (WGU). Wystarczy bowiem
we wzorze tej ostatniej przyjąć L

uz

= 1, aby otrzymać formułę wyznaczania WG.

W rozpatrywanym przypadku, wcześniejszy zakup ilości odpowiadającej potrzebom

majowym (y

11=

84) mógłby mieć sens dopiero w listopadzie, czyli miesiącu odległym

o 6 miesięcy (tzn. L

U2

= 6). Dla takiej ewentualności WGU będzie równa:

Ponieważ y

11

= 84 > 42 = WGU, zatem - uwzględniając tylko koszty tworzenia

i utrzymania zapasu - nie może to być decyzja ekonomicznie uzasadniona. Innymi słowy, powyższą
ilość należy sprowadzić indywidualnie w maju (zamawiając w kwietniu, gdyż dostawca odkuwki
zapewnia 1-miesięczny okres realizacji zamówień).

=

>

.

,mis

u

z

t

K

K

y

WGU

K

L

K

y

mis

u

uz

z

t

=

⋅

>

.

,

42

88

,

1

6

469

.

,

=

⋅

=

⋅

=

mis

u

uz

z

K

L

K

WGU

Sterowanie zapasami w warunkach braku ciągłości

Strategia Zarządzania Zaopatrzeniem

Zdzisław Sarjusz- Wolski

Rozpatrzmy jeszcze ewentualne włączenie zakupu na potrzeby czerwcowe do zakupu

majowego. Ponieważ w tym przypadku ilość y

12

= 360 pozostawałaby w zapasie przez

l miesiąc, zatem L

uz

= l, a wartość graniczna uogólniona równałaby się:

Tak więc i w tym przypadku nie opłaca się łączyć zakupu na pokrycie potrzeb czerwcowych

z wcześniejszym (majowym), bowiem koszty utrzymania takiego zapasu przewyższyłyby koszt
utworzenia zapasu (zakupu). Wynika to z faktu, że y

12

= 360 > 249 = WGU.

Zestawienie optymalnej polityki zakupów (sterowania zapasami) dla rozpatrywanego

przykładu przedstawia poniższa tabela.

Tabela 2. Optymalna polityka zakupów ustalona na podstawie metody Wagnera-Withina

t

sp(t)

d(t)

y(t)

y,fakt.(t)

sk(t)

bz(t)

Q(t)

L

1

0

402

(zamówione w

poprzednim

miesiącu)

70

70

332

0

0

2

332

0

223

223

109

0

0

3

109

0

109

109

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

75

1

5

0

75

75

75

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

84

1

11

0

84

84

84

0

0

360

1

12

0

360

360

360

0

0

0

Znaczenie symboli:

sp(t) - zapas początkowy w okresie „t",
d(t) - dostawa w okresie „t",

y(t) - planowane potrzeby w okresie „t",
y, fakt(t), - zaspokojone potrzeby w okresie „t",

sk(t) - zapas końcowy w okresie „t",
bz(t) -brak zapasu w okresie „t" (różnica: y(t)-y,fakt(t)),

Q(t) - wielkość zamówiona w okresie „t",
L - okres realizacji zamówień (liczony w okresach t - w rozpatrywanym przypadku w miesiącach).

Rezultaty takiej polityki zakupów są następujące:

•

ś

redni zapas w okresie 12 miesięcy:

•

liczba zakupów:

n

opt

=4,

•

łączne koszty zakupów

: ŁK

Z

=K

z

•

n

opt

=

469

•

4=1876 zł,

•

łączne koszty utrzymania zapasów:

ŁK

U

=22,60

•

37 = 836,20 zł,

tak wice łączne koszty zapasów wynoszą:

ŁKZ =1876+836,20 =2712,20 zł

249

88

,

1

1

469

.

,

=

⋅

=

⋅

=

mis

u

uz

z

K

L

K

WGU

37

12

109

332

,

≈

+

=

k

s