KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 13
WYJŚCIOWE SIŁY PRZYWĘZŁOWE
w elemencie belkowym wg. teorii II rzędu (wpływ siły normalnej na sztywność giętną)
Rys. 13.1
, , , , `, `
α β ν δ α δ
− funkcje argumentu
2
Pl
EI
λ
=
, są one stablicowane
Gdy 0 (
0)
P
λ
→
→
zachodzi: 4,
2,
6,
12, `
3
3, `
α
β
δ
→
→
→
→
- wartości sił przywęzłowych wg teorii I rzędu
bl
powiadające długości wyboczeniowe
lementów ściskanych.
EI
const
=
ν
δ
α
→
→
Zad. 13.1
O iczyć wartości obciążenia krytycznego
kr
P oraz od
e
Rys. 13.1.1
.
Rozwiązanie metodą przemieszczeń
Momenty przywęzłowe wywołane jednostko
i obrotu
1
2
i
wymi kątam
ϕ ϕ
:
Rys. 13.1.2
C16-2005-cw13
103
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Z założenia symetrycznej postaci wyboczenia wynika warunek
2
1
ϕ
ϕ
= −
- wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np. dla węzła „1”
2
1
2
Pl
l
EI
EI
l
λ
ϕ
=
=
=
1
1
12
1
2
`( ) ,
4
2
A
EI
M
gdzie
EI
EI
M
l
l
α λ ϕ
ϕ
ϕ
=
+
Równanie równowagi:
[
]
`( ) 2
0
EI
α λ
ϕ
+
=
1
1
12
0
A
M
M
M
Σ
=
+
=
1
l
Niezerowe rozwiązanie
1
(
0)
`( )
2
dla
ϕ
α λ
≠
= −
Przybliżone rozwiązanie – z zastosowaniem tablicy funkcji
'
α
3,5
`( )
1, 4682
587
3,6
`( )
2,0
λ
α λ
=
⇒
= −
λ
α λ
=
⇒
= −
Interpolacja liniowa:
2 1, 4682
2,0587 1, 4682
0,1
x
−
−
=
0,09
3,59
x
λ
=
⇒ =
Rys. 13.1.3
Obciążenie krytyczne
2
2
2
12,89
kr
EI
EI
P
l
l
λ
=
=
Długość wyboczeniowa (efektywna na wyboczenie) elem
ciskanego – długość pręta prostego,
którego siła krytyczn
wili wyboczenia danego elementu ramy
entu ś
a wg wzoru Eulera równa jest sile w ch
2
2
r
kr
EI
EI
EI
l
l
P
P l
2
kr
w
w
k
P
l
l
π
π
π
π
λ
=
⇒
=
=
=
Dla danych z zadania otrzymujemy
1
2
3,59
A
B
0,875
w
w
l
l
l
l
π
−
−
=
=
=
oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu
wyboczenia
EI
const
Zad. 13.2
Obliczyć krytyczną wartość obciążenia
kr
P
ściskanego. Założyć symetryczną postać
=
C16-2005-cw13
104
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.2.1
2
1
Przy założeniu symetrii mamy
ϕ
ϕ
= − oraz zerową wartość przesuwu elementu 1 2
− .
W rozwiązaniu metodą przemieszczeń wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np.
1
0
M
Σ
= .
Rys. 13.2.2
[
]
1
1
1
2
3
5
0,6
A
EI
EI
M
l
l
EI
EI
EI
Pl
EI
ϕ
ϕ
=
=
12
1
2
1
( )
( )
( )
( )
,
M
l
l
l
α λ ϕ
β λ ϕ
α λ
β λ ϕ
λ
=
+
=
−
=
Równanie równowagi:
[
]
1
1
12
1
l
0
5
( )
( )
0
A
M
M
M
EI
α λ
β λ ϕ
Σ
=
+
=
+
−
=
zanie jedynie w przypadku, gdy ( )
( ) 5
Niezerowe rozwią
β λ α λ
−
=
i
Wykorzystujemy tablice funkcji
α β
Rys. 13.2.3
y
0,06
x
Z interpolacji liniowej uzyskujem
=
, a wiec
4,76
λ
=
.
C16-2005-cw13
105
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.2.4
Krytyczna wartość obciążenia:
2
2
2
22,66
kr
EI
EI
P
l
l
λ
=
=
Długość wyboczeniowa elem
entu 1-2:
0,66
4,76
w
l
l
l
l
π
π
λ
=
=
=
Wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia
kr
P oraz długości wyboczeniowe elementów ściskanych.
Zad. 13.3
EI
const
=
Rys. 13.3.1
Rozwiązanie metodą przem
g
n
1
=
ieszczeń,
, niewiadomą jest
B
ϕ
ϕ
= .
Parametry
λ
każdego z elementów:
2
2
1
1
4
2
Pl
Pl
A B
EI
EI
2
2
Pl
B C
2
EI
λ
λ
−
=
=
=
omenty przywęzłowe:
λ
λ
−
=
=
M
`( )
`(2 )
BA
BC
EI
M
l
EI
M
l
α λ ϕ
α λ ϕ
=
=
Równanie równowagi:
0
B
BA
BC
M
M
M
Σ
=
+
=
[
]
`( )
`(2 )
0
EI
l
α λ α λ ϕ
−
=
Niezerowe rozwiązanie jedynie w przypadku, gdy `( )
`(2 ) 0
α λ α λ
+
=
Z interpolacji liniowej uzyskujem
Rys. 13.3.2
y
1,81
λ
=
.
C16-2005-cw13
106
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.3.3
Obciążenie krytyczne:
2
2
2
4
1
kr
EI
P
l
l
λ
=
=
e elementów:
3,104
EI
Długości wyboczeniow
1
2
1,736
0,868
81
2
3,62
w
w
l
l
l
l
A B
l
l
B C
l
l
1,
π
π
π
π
λ
λ
−
=
=
=
−
=
=
=
enia
kr
P oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu
Zad. 13.4
Obliczyć krytyczną wartość obciąż
ściskanego.
Rys. 13.4.1
Rozwiązanie metodą przemieszczeń, 2( , )
g
n
ϕ
=
∆ .
Rys. 13.4.2
C16-2005-cw13
107
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
1
( )
( )
A
EI
EI
M
l
1
2
3
5
0,6
B
l
EI
EI
M
l
l
Pl
EI
α λ ϕ
ν λ
=
−
∆
ϕ
ϕ
λ
=
=
=
Równania równowagi:
[
]
[
]
1
1
1
2
2
2
3
0
( ) 5
( )
0
( ) 5
( )
0
0
( )
( )
( )
A
B
EI
EI
M
M
M
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
EI
EI
l
l
K
α λ
ϕ
ν λ
α λ
ν λ
ϕ
ν λ
δ λ
λ
Σ
=
+
=
⇒
+
−
∆ =
=
⎡
⎤
+
−
⎢
⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⋅
=
⎢
⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∆
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
Aby istniało niezerowe rozwiązanie musi zachodzić warunek det ( ) 0
K
1
2
3
0
( )
( )
A
T
l
l
ν λ ϕ
δ λ
Σ
=
⇒ −
+
∆ 0
λ
=
[
]
{
}
[
]
2
2
4
2
(
)
( ) 5 ( )
( )
0
( )
( ) 5 ( )
( ) 0
EI
l
f
α λ
δ λ ν λ
λ
α λ
δ λ ν λ
+
−
=
=
+
−
=
Rys. 13.4.3
y
2,65
Z interpolacji liniowej uzyskujem
λ
=
.
Obciążenie krytyczne:
2
7,023
EI
EI
P
λ
=
=
2
2
kr
l
l
Długość wyboczeniowa elementu ściskanego:
1,186
w
l
l
l
π
λ
=
=
⋅
C16-2005-cw13
108
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
C16-2005-cw13
109
Document Outline