KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Ćwiczenie 13

WYJŚCIOWE SIŁY PRZYWĘZŁOWE
w elemencie belkowym wg. teorii II rzędu (wpływ siły normalnej na sztywność giętną)

Rys. 13.1

, , , , `, `

α β ν δ α δ

− funkcje argumentu

2

Pl

EI

λ

=

, są one stablicowane

Gdy 0 (

0)

P

λ

→

→

zachodzi: 4,

2,

6,

12, `

3

3, `

α

β

δ

→

→

→

→

- wartości sił przywęzłowych wg teorii I rzędu

bl

powiadające długości wyboczeniowe

lementów ściskanych.

EI

const

=

ν

δ

α

→

→

Zad. 13.1
O iczyć wartości obciążenia krytycznego

kr

P oraz od

e

Rys. 13.1.1

.

Rozwiązanie metodą przemieszczeń

Momenty przywęzłowe wywołane jednostko

i obrotu

1

2

i

wymi kątam

ϕ ϕ

:

Rys. 13.1.2

C16-2005-cw13

103

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Z założenia symetrycznej postaci wyboczenia wynika warunek

2

1

ϕ

ϕ

= −

- wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np. dla węzła „1”

2

1

2

Pl

l

EI

EI

l

λ

ϕ

=

=

=

1

1

12

1

2

`( ) ,

4

2

A

EI

M

gdzie

EI

EI

M

l

l

α λ ϕ

ϕ

ϕ

=

+

Równanie równowagi:

[

]

`( ) 2

0

EI

α λ

ϕ

+

=

1

1

12

0

A

M

M

M

Σ

=

+

=

1

l

Niezerowe rozwiązanie

1

(

0)

`( )

2

dla

ϕ

α λ

≠

= −

Przybliżone rozwiązanie – z zastosowaniem tablicy funkcji

'

α

3,5

`( )

1, 4682

587

3,6

`( )

2,0

λ

α λ

=

⇒

= −

λ

α λ

=

⇒

= −

Interpolacja liniowa:

2 1, 4682

2,0587 1, 4682

0,1

x

−

−

=

0,09

3,59

x

λ

=

⇒ =

Rys. 13.1.3

Obciążenie krytyczne

2

2

2

12,89

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

Długość wyboczeniowa (efektywna na wyboczenie) elem

ciskanego – długość pręta prostego,

którego siła krytyczn

wili wyboczenia danego elementu ramy

entu ś

a wg wzoru Eulera równa jest sile w ch

2

2

r

kr

EI

EI

EI

l

l

P

P l

2

kr

w

w

k

P

l

l

π

π

π

π

λ

=

⇒

=

=

=

Dla danych z zadania otrzymujemy

1

2

3,59

A

B

0,875

w

w

l

l

l

l

π

−

−

=

=

=

oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu

wyboczenia

EI

const

Zad. 13.2
Obliczyć krytyczną wartość obciążenia

kr

P

ściskanego. Założyć symetryczną postać

=

C16-2005-cw13

104

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rys. 13.2.1

2

1

Przy założeniu symetrii mamy

ϕ

ϕ

= − oraz zerową wartość przesuwu elementu 1 2

− .

W rozwiązaniu metodą przemieszczeń wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np.

1

0

M

Σ

= .

Rys. 13.2.2

[

]

1

1

1

2

3

5

0,6

A

EI

EI

M

l

l

EI

EI

EI

Pl

EI

ϕ

ϕ

=

=

12

1

2

1

( )

( )

( )

( )

,

M

l

l

l

α λ ϕ

β λ ϕ

α λ

β λ ϕ

λ

=

+

=

−

=

Równanie równowagi:

[

]

1

1

12

1

l

0

5

( )

( )

0

A

M

M

M

EI

α λ

β λ ϕ

Σ

=

+

=

+

−

=

zanie jedynie w przypadku, gdy ( )

( ) 5

Niezerowe rozwią

β λ α λ

−

=

i

Wykorzystujemy tablice funkcji

α β

Rys. 13.2.3

y

0,06

x

Z interpolacji liniowej uzyskujem

=

, a wiec

4,76

λ

=

.

C16-2005-cw13

105

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rys. 13.2.4

Krytyczna wartość obciążenia:

2

2

2

22,66

kr

EI

EI

P

l

l

λ

=

=

Długość wyboczeniowa elem

entu 1-2:

0,66

4,76

w

l

l

l

l

π

π

λ

=

=

=

Wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia

kr

P oraz długości wyboczeniowe elementów ściskanych.

Zad. 13.3

EI

const

=

Rys. 13.3.1

Rozwiązanie metodą przem

g

n

1

=

ieszczeń,

, niewiadomą jest

B

ϕ

ϕ

= .

Parametry

λ

każdego z elementów:

2

2

1

1

4

2

Pl

Pl

A B

EI

EI

2

2

Pl

B C

2

EI

λ

λ

−

=

=

=

omenty przywęzłowe:

λ

λ

−

=

=

M

`( )

`(2 )

BA

BC

EI

M

l

EI

M

l

α λ ϕ

α λ ϕ

=

=

Równanie równowagi:

0

B

BA

BC

M

M

M

Σ

=

+

=

[

]

`( )

`(2 )

0

EI

l

α λ α λ ϕ

−

=

Niezerowe rozwiązanie jedynie w przypadku, gdy `( )

`(2 ) 0

α λ α λ

+

=

Z interpolacji liniowej uzyskujem

Rys. 13.3.2

y

1,81

λ

=

.

C16-2005-cw13

106

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Rys. 13.3.3

Obciążenie krytyczne:

2

2

2

4

1

kr

EI

P

l

l

λ

=

=

e elementów:

3,104

EI

Długości wyboczeniow

1

2

1,736

0,868

81

2

3,62

w

w

l

l

l

l

A B

l

l

B C

l

l

1,

π

π

π

π

λ

λ

−

=

=

=

−

=

=

=

enia

kr

P oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu

Zad. 13.4
Obliczyć krytyczną wartość obciąż
ściskanego.

Rys. 13.4.1

Rozwiązanie metodą przemieszczeń, 2( , )

g

n

ϕ

=

∆ .

Rys. 13.4.2

C16-2005-cw13

107

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

Momenty przywęzłowe:

1

( )

( )

A

EI

EI

M

l

1

2

3

5

0,6

B

l

EI

EI

M

l

l

Pl

EI

α λ ϕ

ν λ

=

−

∆

ϕ

ϕ

λ

=

=

=

Równania równowagi:

[

]

[

]

1

1

1

2

2

2

3

0

( ) 5

( )

0

( ) 5

( )

0
0

( )

( )

( )

A

B

EI

EI

M

M

M

l

l

EI

EI

EI

EI

l

l

EI

EI

l

l

K

α λ

ϕ

ν λ

α λ

ν λ

ϕ

ν λ

δ λ

λ

Σ

=

+

=

⇒

+

−

∆ =

=

⎡

⎤

+

−

⎢

⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⋅

=

⎢

⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

∆

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

Aby istniało niezerowe rozwiązanie musi zachodzić warunek det ( ) 0

K

1

2

3

0

( )

( )

A

T

l

l

ν λ ϕ

δ λ

Σ

=

⇒ −

+

∆ 0

λ

=

[

]

{

}

[

]

2

2

4

2

(

)

( ) 5 ( )

( )

0

( )

( ) 5 ( )

( ) 0

EI

l

f

α λ

δ λ ν λ

λ

α λ

δ λ ν λ

+

−

=

=

+

−

=

Rys. 13.4.3

y

2,65

Z interpolacji liniowej uzyskujem

λ

=

.

Obciążenie krytyczne:

2

7,023

EI

EI

P

λ

=

=

2

2

kr

l

l

Długość wyboczeniowa elementu ściskanego:

1,186

w

l

l

l

π

λ

=

=

⋅

C16-2005-cw13

108

KMB, WILiŚ, PG

MECHANIKA BUDOWLI I (C16)

Rok II, semestr IV (letni 2005)

Wykłady:

P. Iwicki, M. K. Jasina

Ćwiczenia:

M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada

C16-2005-cw13

109