A.M. 10 listopada 2004 roku

U w a g a : Dowody twierdzeń nie są obowiązkowe! Student, któ-

ry opanuje dowody podawanych w toku wykładu twierdzeń może
zgłosić się do mnie, pod koniec semestru, do odpowiedzi z teorii. Je-
śli rozmowa wypadnie pozytywnie, student ten otrzyma odpowiednio
wysoką ocenę z teorii i zostanie zwolniony z części teoretycznej eg-
zaminu. !

1

Uzupełnienie wykładu z analizy matema-
tycznej. Twierdzenia Weierstrassa i twier-
dzenie Darboux. Przestrzeń funkcji ciągłych.

1.1

Zbiór ciągowo zwarty w p.m.

Dana jest p.m. (X, d).

Definicja 1.1

Mówimy, że podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest cią-

gowo zwarty w X, jeżeli dowolny podciąg zawarty w A zawiera podciąg zbieżny
do elementu zbioru A:

∀

(x

n

)⊂A

∃

(x

kn

)

∃ lim

n→∞

x

k

n

= x

∈ A.

Twierdzenie 1.1

Jeżeli zbiór A w p.m. (X, d) jest zwarty, to jest domknięty

i ograniczony.

Dw.

1

o

Wykażemy najpierw, że jeśli A jest zwarty w (X, d), to A jest zbio-

rem ograniczonym. Dowód tego faktu prowadzimy „nie wprost”. Przypuśćmy
zatem, że A jest zwarty i nieograniczony, tzn

∃

x

0

∈

A

∀

n∈N

∃

x

n

∈

A

d

(x

0

, x

n

)

­ n.

Ciąg (x

n

) jest zwarty w A. Ze zwartości zbioru A wynika, że istnieje podciąg

(x

k

n

) ciagu (x

n

) taki, że istnieje granica lim

n→∞

x

k

n

= x

∈ A. Oczywiście,

ma miejsce nierówność

k

n

¬ d(x

0

, x

k

n

), n

∈ N.

Z nierówności trójkąta uzyskujemy nierówność:

k

n

¬ d(x

0

, x

) + d(x, x

k

n

), n

∈ N.

1

Przechodząc w powyższej nierówności (obustronnie) do granicy przy n

→ ∞

otrzymujemy (z tw. o zachowaniu słabej nierówności dla ciągów rzeczywi-
stych) nierówność

∞ ¬ d(x

0

, x

) <

∞.

Nierówność

∞ < ∞ jest sprzeczna z aksjomatyką rozszerzonego zbioru liczb

rzeczywistych. To kończy dowód nieograniczoności zbioru A.

2

o

Wykażemy, że jeżeli zbiór A jest zwarty, to jest domknięty w (X, d).

Weźmy dowolny ciąg (x

n

)

⊂ A taki, że istnieje lim

n→∞

x

n

= x

∈ X. Wykaże-

my, że x

∈ A. Ponieważ A jest zbiorem zwartym, więc istnieje podciąg (x

k

n

)

ciągu (x

n

), zbieżny do elementu y zbioru A. Ponieważ (x

k

n

) jest podciągiem

ciągu zbieżnego (x

n

), więc musi być zbieżny do tej samej granicy x = y

∈ A,

co kończy dowód 2

o

i tym samym kończy dowód twierdzenia.

Uwaga 1.1

a

) W przestrzeni R

n

(z metryką euklidesową) każdy zbiór do-

mknięty i ograniczony jest zwarty.
b

) Istnieją przestrzenie metryczne, w których zbiory domknięte i ograniczone

nie muszą być zbiorami zwartymi.

1

Twierdzenie 1.2

(1-sze tw. Weierstrassa) Dana jest p.m. (X, d) i zwarty

podzbiór A przestrzeni X oraz funkcja ciągła f : A → R. Wtedy funkcja f

jest ograniczona w A, tzn.

∃

M >

0

∀

x∈A

|f(x)| ¬ M.

Dw.

(nie wprost). Przypuśćmy, że funkcja ciągła f nie jest ograniczona z

góry na zbiorze zwartym A:

∼ ∃

M ∈R

∀

x∈A

f

(x)

¬ M ⇔ ∀

n∈N

∃

x

n

∈

A

f

(x

n

)

­ n.

Ponieważ (x

n

)

⊂ A, więc na mocy zwartości zbioru A, istnieje podciąg (x

k

n

)

ciągu (x

n

) zbieżny w (X, d) do elementu x zbioru A: lim

n→∞

x

k

n

= x

∈ A.

Mamy nierówność:

k

n

¬ f(x

k

n

), n

∈ N

i przy n

→ ∞, z twierdzenia o zachowaniu nierówności słabej dla ciągów

rzeczywistych,

∞ ¬ f(x) < ∞. Uzyskana sprzeczność: ∞ < ∞ kończy

dowód twierdzenia.

1

Podamy niebawem przykład p.m. (X, d), w której kula domknięta i ograniczona nie

jest zbiorem zwartym.

2

Twierdzenie 1.3

(2-gie tw. Weierstrassa) Niech A będzie zwartym podzbio-

rem p.m. (X, d). Jeżeli f : A → R jest funkcją ciągłą, to funkcja f osiąga

w A swoje kresy, tzn istnieje x ∈ A taki, że f(x) = inf{f(x) : x ∈ A} oraz

istnieje x ∈ A taki, że f(x = sup{f(x) : x ∈ A}.

Dw.

W dowodzie ograniczymy się do uzasadnienia, że f osiąga kres górny w

A

. Miech B =

{f(x) : x ∈ A} ⊂ R. Z poprzedniego twierdzenia Weierstrassa

wynika, że B jest zbiorem ograniczonym i tym samym B jest ograniczony z
góry w R. Z własnośći zbioru ograniczonego w R, istnieje kres górny b zbioru
B

.

Kres b zbioru B ma znaną własność

1

:

∀

>

0

∃

y∈B

b

− y < .

Zatem

∀

n∈N

∃

x

n

∈

A

b

− f(x

n

) < .

Z ciągu (x

n

) można wybrać (na mocy zwartości zbiopru A) podciąg (x

k

n

)

taki, że istnieje lim

n→∞

x

k

n

= x

∈ A. Z nierównośći

b

− f(x

k

n

) < , n

∈ N,

dostajemy w granicy, przy n

→ ∞,

b

− f(x) ¬ .

Z dowolności , b = f (x), co kończy dowód faktu, że f osiąga kres górny w
A

.

Przykład 1.1

W R, twierdzenia Weierstrassa wypowiada się łącznie nastę-

pująco: Funkcja ciągła f : [a; b]

→ R jest ograniczona w przedziale [a; b] i

osiąga w tym przedziale swoje kresy.

Przykład 1.2

W R

n

dana jest funkcja 3-ech zmiennych f : K

−

((0, 0), r)

→

R

, wzorem f(x, y, z) =

√

x

2

+ y

2

+ z

2

. Kula domknięta A = K

−

((0, 0, 0), r)

jest zbiorem zwartym w R

3

a f jest funkcją rzeczywistą ciągłą. Z tw. Weier-

strassa, funkcja f jest ograniczona w kuli A i osiąga w A swoje kresy.

1

Wyszukaj odpowiedni fragment z książki Decewicza, w którym omawia się kresy zbio-

rów w R

3

1.2

Zbiory spójne. Łukowa spójność.

Definicja 1.2

Niech (X, d) będzie p.m.. Zbiór A w X nazywamy spójnym,

jeżeli ma on własność: nie istnieją zbiory M, N, niepuste, rozłączne i otwarte
w (X, d) takie, że A = M ∪ N.

Twierdzenie 1.4

Jeżeli (X, d) jest p.m. spójną, (Y.ρ) - p.m. i f : X → Y

jest odwzorowaniem ciągłym, to f(X) jest zbiorem spójnym w Y .

Dw.

(nie wprost) Przypuśćmy, że f (X) nie jest zbiorem spójnym. Zatem

istnieją zbiory niepuste, rozłączne i otwarte takie, że f (X) = M

∪ N. Wtedy

X

= f

−

1

(f (X)) = f

−

1

(M

∪ N) = f

−

1

(M )

∪ f

−

1

(N ). Zbiory f

−

1

(M ) i

f

−

1

(N ) są niepuste. Sa to zbiory otwarte (jako ciągłe przeciwobrazy zbiorów

otwartych). f

−

1

(M )

∩ f

−

1

(N ) =

∅. Istotnie, jeżeli założymy, że przekrój ten

jest niepusty i istnieje element x, który do przekroju należy, to dostajemy

x

∈ f

−

1

(M )

∩ f

−

1

(N )

⇔ x ∈ f

−

1

(M

∩ N) ⇔ f(x) ∈ M ∩ N = ∅.

Ta sprzeczność dowodzi prawdziwości tezy.

Uwaga 1.2

Można wykazać, że ciągły obraz dowolnego zbioru spójnego jest

zbiorem spójnym.

Uwaga 1.3

W R jedynymi zbiorami spójnymi są: cała przestrzeń R, zbiory

jednoelementowe postaci {x}, przedziały nieograniczone (−∞; a), (−∞; a],
(a,

∞), [a; ∞) i przedziały ograniczone: (a; b), (a; b], [a; b), [a; b].

Definicja 1.3

Niech (X, d) będzie p.m. i A - podzbiorem X. Mówimy, że

funkcja f : A → R ma własność Darboux w A, jeżeli

∀

η

1

,η

2

∈

f

(A),η

1

<η

2

∀

η∈

(η

1

;η

2

)

∃

x∈A

f

(x) = η.

Twierdzenie 1.5

(Darboux) Dana jest p.m. (X, d) i podzbiór spójny A tej

przestrzeni. Jeżeli f : A → R jest funkcją ciągłą, to f ma własność Darboux.

Dw.

(nie wprost). Przypuśćmy, że f (X) nie jest zbiorem jednoelementowym

i jest pewnym przedziałem (ograniczonym lub nie). Jeżeli założymy, że f nie
ma własnośći Darboux, to istnieje liczba η

∈ f(A) taka, że nie istnieje x ∈ A,

że f (x) = η. Wtedy f (A) = M

∪ N, M = {ξ ∈ f(A) : ξ < η}, N = {ξ ∈

f

(A) : ξ > η

} i f(A) nie jest zbiorem spójnym (jes sumą zbiorów niepustych,

otwartych i rozłącznych), wbrew temu, że jako obraz ciągły zbioru spójnego
jest zbiorem spójnym. Jest to sprzeczność, co kończy dowód twierdzenia.

4

Uwaga 1.4

a

) Jeżeli w p.m. (X, d) dany jest zbiór spójny A i f : A

→ R jest

funkcją ciągłą, to równanie f(x) = η ma zawsze rozwiązanie x dla dowolnego
η

∈ f(A).

b

) W szczególności, jeśli istnieje ξ < 0 i η > 0 takie, że ξ, η

∈ f(A), to

istnieje x

0

∈ A (miejsce zerowe funkcji f) takie, że f(x

0

) = 0.

Przykład 1.3

Równanie f(x) = 0, gdzie f(x) = a

0

x

2n+1

+ a

1

x

2n

+ . . . +

a

2n

x

+ a

2n+1

= 0, x

∈ R ma w R miejsce zerowe dla dowolnego n ∈ N.

Istotnie, załóżmy dla podzielności uwagi, że a

0

>

0. Wtedy lim

x→−∞

f

(x) =

−∞ < 0 i lim

x→∞

f

(x) = +

∞ > 0. Zatem istnieje przedział [a; b] taki, że

f

(a) < 0 i f (b) > 0. Z ciągłości funkcji f i ze spójności przedziału otwar-

tego [a; b] w R wynika, że spełnione są założenia tw. Darboux. Stąd istnieje
x

0

∈ [a; b] takie, że f(x

0

) = 0. Zatem równanie algebraiczne stopnia niepa-

rzystego ma zawsze rozwiązanie w R.

1.3

Łukowa spójność

Przy badaniu spójności zbiorów w przestrzeni metrycznej (zwłaszcza na płasz-
czyźnie lub w przestrzeni R

3

) wygodnie jest posługiwać się pojęciem łukowej

spójności. Oto kilka słów na ten temat.

Definicja 1.4

Niech (X, d), (Y, ρ) będą p.m. i niech A ⊂ X oraz B ⊂ Y .

Odwzorowanie f : A → B nazywamy homeomorfizmem

1

zbioru A na zbiór B,

jeżeli f jest bijekcją A na B, f jest odwzorowaniem ciągłym i odwzorowanie
f

−

1

jest ciągłe.

Jeżeli istnieje homeomorfizm f : (X, d)

→ (Y, ρ), to przestrzenie (X, d) i

(Y, ρ) nazywamy homeomorficznymi.

Definicja 1.5

Zbiór A w p.m. (X, d) nazywamy łukowo spójnym, jeżeli dla

dowolnych punktów x

1

, x

2

∈ A istnieje homeomorfizm h : [0; 1] → A, odcinka

[0; 1] w A taki, że h(0) = x

1

i h(1) = x

2

.

Uwaga 1.5

Jeżeli zbiór A jest łukowo spójny, to jest spójny.

1

Pojęcie homeomorfizmu jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych. Na wy-

kładach z analizy matematycznej słowo homeomorfizm zostanie użyte wielekrotnie!

5

1.4

Przestrzeń

C

[a; b]

Niżej podamy przykład (dość już abstrakcyjnej jak dla studentów 1-ego roku)
przestrzeni funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale domkniętym [a; b].
Dodajmy, że przestrzeń ta jest jedną z podstawowych przestrzeni funkcyjnych
i będziemy do niej „wracać” w tym i w następnym semestrze.

Weźmy pod uwagę zbiór C[a; b] - wszystkich funkcji ciągłych f : [a; b]

→

R

. W zbiorze C[a; b] określamy w zwykły sposób działania: dodawanie funkcji

i mnożenie funkcji przez liczbę rzeczywistą „po współrzędnych”:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), x

∈ [a; b],

(αf )(x) = α

· f(x), α ∈ R, x ∈ [a; b].

Nietrudno sprawdzić, że C[a; b] z tak określonymi działaniami jest przestrze-
nią liniową (patrz wykład z algebry).

W oparciu o twierdzenie Weierstrassa stwierdzamy, że sup

{|f(x)| : x ∈

[a; b]

} < ∞ dla dowolnej funkcji ciągłej f : [a; b] → R (funkcja |f| jest funkcją

ciągłą na zbiorze zwartym [a; b]).

Co więcej, funkcja

kk : C[a; b] → [0; ∞) dana wzorem kfk = sup{|f(x)| :

x

∈ [a; b]}, f ∈ C[a; b] jest normą w C[a; b]. Ma ona własności (porównaj

wykład z algebry):

(N.1)

kfk = 0 ⇔ f = Θ,

gdzie Θ(x) = 0 dla x

∈ [a; b].

(N.2)

kλfk = |λ| · kfk, λ ∈ R, f ∈ C[a; b].

(N.3)

kf + gk ¬ kfk + kgk, f, g ∈ C[a; b].

Dw. własności

(N.1), (N.2), (N.3):

Ad(N.1)

kfk = 0 ⇔ sup{|f(x)| : x ∈ [a; b]} = 0 ⇔

∀

x∈

[a;b]

|f(x)| = 0 ⇔ ∀

x∈

[a;b]

f

(x) = 0

⇔ f = Θ.

Ad(N.3)

kλfk = sup{|λf(x)| : x ∈ [a; b]} =

sup

{|λ||f(x)| : x ∈ [a; b]} = |λ| sup{|f(x)| : x ∈ [a; b]}.

6

Ad(N.3)

|f(x) + g(x)| ¬ |f(x)| + |g(x)|, f, g ∈ C[a; b], x ∈ [a; b],

Zatem dla dowolnego x

∈ [a; b] mamy oszacowanie

|f(x) + g(x)| ¬ sup{|f(x) : x ∈ [a; b]} + sup{|g(x) : x ∈ [a; b]} = kfk + kgk.

Ponieważ zbiór

{|f(x) + g(x)| : x ∈ [a; b]} jest ograniczony w R, więc istnieje

kres górny tego zbioru i na mocy twierdzenia Weierstrassa jest on osiągnięty.
Z ostatniej nierówności otrzymujemy:

kf + gk = sup{|f(x) + g(x)| : x ∈ [a; b]} ¬ kfk + kgk,

co kończy dowód nierówności trójkąta (N.3) dla normy.

Metrykę d w C[a; b] określamy wzorem

d

(f, g) =

kf − gk = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]}, f, g ∈ C[a; b].

Dowodzi się, że (C[a; b], d) jest p.m. zupełną. Kula otwarta (domknięta) o
środku f i promieniu r > 0 jest zbiorem pstaci

K

o

(f, r) =

{g ∈ C[a; b] : d(f, g) < r} =

{g ∈ C[a; b] : sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]} < r}

K

−

(f, r) =

{g ∈ C[0; 1] : sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]} ¬ r}

.

Uzasadnia się, że kula domknięta K

−

(f, 1) nie jest zbiorem zwartym w C[0; 1].

Zbieżność ciągu (f

n

) do funkcji granicznej f w tej przestrzeni nazywa się

zbieżnością jednostajną

1

lim

n→∞

f

n

= f

⇔ ∀

>

0

∃

n

0

∈

N

∀

n­n

0

∀

x∈

[a;b]

|f

n

(x)

− f(x)| < .

Przykład 1.4

Niech A = {f ∈ C[0; 1] : f(0) = 0}. Sprawdzimy, czy A jest

zbiorem otwartym, domkniętym. Znajdziemy wnętrze i domknięcie zbioru A
oraz brzeg zbioru.

Żadna funkcja f ∈ C[0; 1] nie jest punktem wewnętrznym zbioru A. Istot-

nie, nie istnieje kula otwarta K

o

(f, )

⊂ A. Zbiór A nie jest zbiorem otwartym

i wnętrze A

o

jest zbiorem pustym. Zbiór A jest zbiorem domkniętym. Można

1

Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych omawiana będzie bardziej szczegółowo w

terminie późniejszym!

7

to uzasadnić z definicji lub z wykorzystaniem zbieżnych ciągów funkcji. Za-
tem, jeżeli d(f

n

, f

)

→ 0 i f

n

(0) = 0, dla n = 1, 2, . . ., to f (0) = 0. Istotnie,

|f(0)| ¬ |f(0) − f

n

(0)

| + |f

n

(0)

¬ d(f, f

n

) i przy n

→ ∞, f(0) = 0. Oczywi-

ście domknięcie A

−

zbioru A jest równe A. Ostatecznie brzeg zbioru A jest

równy zbiorowi A a więc ∂A = A

−

\ A

o

= A

\ ∅ = A. Tym samym, A jest

zbiorem brzegowym, bo A ⊂ ∂A.

Uwaga 1.6

Niech (X, d) będzie p.m. i A - podzbiorem zwartym przestrzeni

X

. Symbolem C(A, R) oznaczmy zbiór wszystkich funkcji ciągłych f : A → R.

W C(A, R) definiujemy metrykę d wzorem:

d

(f, g) = sup

{|f(x) − g(x)| : x ∈ A}, f, g ∈ C(A, R).

Łatwo uzasadnić (z tw. Weierstrassa), że d jest poprawnie określona (przyj-
myje wartości różne od +∞) oraz spełnia aksjomaty metryki. Jest to prze-

strzeń metryczna zupełna.

Z przestrzenią tą będziemy mieć często do czynienia między innymi w

ramach teorii funkcji wielu zmiennych lub funkcji zespolonych. W szczegól-
ności ciąg (f

n

) funkcji f

n

: A

→ R, gdzie A jest domkniętym i ograniczonym

podzbiorem R

n

nazywamy jednostajnie zbieżnym na zbiorze A do funkcji f,

jeżeli

∀

>

0

∃

n

0

∈

N

∀

n­n

0

∀

x

=(x

1

,...,x

n

)∈A

|f

n

(x

1

, . . . , x

n

)

− f(x

1

, . . . , x

n

)

| < .

Zapamiętajmy tę uwagę!

8