A.M. 10 listopada 2004 roku
U w a g a : Dowody twierdzeń nie są obowiązkowe! Student, któ-
ry opanuje dowody podawanych w toku wykładu twierdzeń może
zgłosić się do mnie, pod koniec semestru, do odpowiedzi z teorii. Je-
śli rozmowa wypadnie pozytywnie, student ten otrzyma odpowiednio
wysoką ocenę z teorii i zostanie zwolniony z części teoretycznej eg-
zaminu. !
1
Uzupełnienie wykładu z analizy matema-
tycznej. Twierdzenia Weierstrassa i twier-
dzenie Darboux. Przestrzeń funkcji ciągłych.
1.1
Zbiór ciągowo zwarty w p.m.
Dana jest p.m. (X, d).
Definicja 1.1
Mówimy, że podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest cią-
gowo zwarty w X, jeżeli dowolny podciąg zawarty w A zawiera podciąg zbieżny
do elementu zbioru A:
∀
(x
n
)⊂A
∃
(x
kn
)
∃ lim
n→∞
x
k
n
= x
∈ A.
Twierdzenie 1.1
Jeżeli zbiór A w p.m. (X, d) jest zwarty, to jest domknięty
i ograniczony.
Dw.
1
o
Wykażemy najpierw, że jeśli A jest zwarty w (X, d), to A jest zbio-
rem ograniczonym. Dowód tego faktu prowadzimy „nie wprost”. Przypuśćmy
zatem, że A jest zwarty i nieograniczony, tzn
∃
x
0
∈
A
∀
n∈N
∃
x
n
∈
A
d
(x
0
, x
n
)
n.
Ciąg (x
n
) jest zwarty w A. Ze zwartości zbioru A wynika, że istnieje podciąg
(x
k
n
) ciagu (x
n
) taki, że istnieje granica lim
n→∞
x
k
n
= x
∈ A. Oczywiście,
ma miejsce nierówność
k
n
¬ d(x
0
, x
k
n
), n
∈ N.
Z nierówności trójkąta uzyskujemy nierówność:
k
n
¬ d(x
0
, x
) + d(x, x
k
n
), n
∈ N.
1
Przechodząc w powyższej nierówności (obustronnie) do granicy przy n
→ ∞
otrzymujemy (z tw. o zachowaniu słabej nierówności dla ciągów rzeczywi-
stych) nierówność
∞ ¬ d(x
0
, x
) <
∞.
Nierówność
∞ < ∞ jest sprzeczna z aksjomatyką rozszerzonego zbioru liczb
rzeczywistych. To kończy dowód nieograniczoności zbioru A.
2
o
Wykażemy, że jeżeli zbiór A jest zwarty, to jest domknięty w (X, d).
Weźmy dowolny ciąg (x
n
)
⊂ A taki, że istnieje lim
n→∞
x
n
= x
∈ X. Wykaże-
my, że x
∈ A. Ponieważ A jest zbiorem zwartym, więc istnieje podciąg (x
k
n
)
ciągu (x
n
), zbieżny do elementu y zbioru A. Ponieważ (x
k
n
) jest podciągiem
ciągu zbieżnego (x
n
), więc musi być zbieżny do tej samej granicy x = y
∈ A,
co kończy dowód 2
o
i tym samym kończy dowód twierdzenia.
Uwaga 1.1
a
) W przestrzeni R
n
(z metryką euklidesową) każdy zbiór do-
mknięty i ograniczony jest zwarty.
b
) Istnieją przestrzenie metryczne, w których zbiory domknięte i ograniczone
nie muszą być zbiorami zwartymi.
1
Twierdzenie 1.2
(1-sze tw. Weierstrassa) Dana jest p.m. (X, d) i zwarty
podzbiór A przestrzeni X oraz funkcja ciągła f : A → R. Wtedy funkcja f
jest ograniczona w A, tzn.
∃
M >
0
∀
x∈A
|f(x)| ¬ M.
Dw.
(nie wprost). Przypuśćmy, że funkcja ciągła f nie jest ograniczona z
góry na zbiorze zwartym A:
∼ ∃
M ∈R
∀
x∈A
f
(x)
¬ M ⇔ ∀
n∈N
∃
x
n
∈
A
f
(x
n
)
n.
Ponieważ (x
n
)
⊂ A, więc na mocy zwartości zbioru A, istnieje podciąg (x
k
n
)
ciągu (x
n
) zbieżny w (X, d) do elementu x zbioru A: lim
n→∞
x
k
n
= x
∈ A.
Mamy nierówność:
k
n
¬ f(x
k
n
), n
∈ N
i przy n
→ ∞, z twierdzenia o zachowaniu nierówności słabej dla ciągów
rzeczywistych,
∞ ¬ f(x) < ∞. Uzyskana sprzeczność: ∞ < ∞ kończy
dowód twierdzenia.
1
Podamy niebawem przykład p.m. (X, d), w której kula domknięta i ograniczona nie
jest zbiorem zwartym.
2
Twierdzenie 1.3
(2-gie tw. Weierstrassa) Niech A będzie zwartym podzbio-
rem p.m. (X, d). Jeżeli f : A → R jest funkcją ciągłą, to funkcja f osiąga
w A swoje kresy, tzn istnieje x ∈ A taki, że f(x) = inf{f(x) : x ∈ A} oraz
istnieje x ∈ A taki, że f(x = sup{f(x) : x ∈ A}.
Dw.
W dowodzie ograniczymy się do uzasadnienia, że f osiąga kres górny w
A
. Miech B =
{f(x) : x ∈ A} ⊂ R. Z poprzedniego twierdzenia Weierstrassa
wynika, że B jest zbiorem ograniczonym i tym samym B jest ograniczony z
góry w R. Z własnośći zbioru ograniczonego w R, istnieje kres górny b zbioru
B
.
Kres b zbioru B ma znaną własność
1
:
∀
>
0
∃
y∈B
b
− y < .
Zatem
∀
n∈N
∃
x
n
∈
A
b
− f(x
n
) < .
Z ciągu (x
n
) można wybrać (na mocy zwartości zbiopru A) podciąg (x
k
n
)
taki, że istnieje lim
n→∞
x
k
n
= x
∈ A. Z nierównośći
b
− f(x
k
n
) < , n
∈ N,
dostajemy w granicy, przy n
→ ∞,
b
− f(x) ¬ .
Z dowolności , b = f (x), co kończy dowód faktu, że f osiąga kres górny w
A
.
Przykład 1.1
W R, twierdzenia Weierstrassa wypowiada się łącznie nastę-
pująco: Funkcja ciągła f : [a; b]
→ R jest ograniczona w przedziale [a; b] i
osiąga w tym przedziale swoje kresy.
Przykład 1.2
W R
n
dana jest funkcja 3-ech zmiennych f : K
−
((0, 0), r)
→
R
, wzorem f(x, y, z) =
√
x
2
+ y
2
+ z
2
. Kula domknięta A = K
−
((0, 0, 0), r)
jest zbiorem zwartym w R
3
a f jest funkcją rzeczywistą ciągłą. Z tw. Weier-
strassa, funkcja f jest ograniczona w kuli A i osiąga w A swoje kresy.
1
Wyszukaj odpowiedni fragment z książki Decewicza, w którym omawia się kresy zbio-
rów w R
3
1.2
Zbiory spójne. Łukowa spójność.
Definicja 1.2
Niech (X, d) będzie p.m.. Zbiór A w X nazywamy spójnym,
jeżeli ma on własność: nie istnieją zbiory M, N, niepuste, rozłączne i otwarte
w (X, d) takie, że A = M ∪ N.
Twierdzenie 1.4
Jeżeli (X, d) jest p.m. spójną, (Y.ρ) - p.m. i f : X → Y
jest odwzorowaniem ciągłym, to f(X) jest zbiorem spójnym w Y .
Dw.
(nie wprost) Przypuśćmy, że f (X) nie jest zbiorem spójnym. Zatem
istnieją zbiory niepuste, rozłączne i otwarte takie, że f (X) = M
∪ N. Wtedy
X
= f
−
1
(f (X)) = f
−
1
(M
∪ N) = f
−
1
(M )
∪ f
−
1
(N ). Zbiory f
−
1
(M ) i
f
−
1
(N ) są niepuste. Sa to zbiory otwarte (jako ciągłe przeciwobrazy zbiorów
otwartych). f
−
1
(M )
∩ f
−
1
(N ) =
∅. Istotnie, jeżeli założymy, że przekrój ten
jest niepusty i istnieje element x, który do przekroju należy, to dostajemy
x
∈ f
−
1
(M )
∩ f
−
1
(N )
⇔ x ∈ f
−
1
(M
∩ N) ⇔ f(x) ∈ M ∩ N = ∅.
Ta sprzeczność dowodzi prawdziwości tezy.
Uwaga 1.2
Można wykazać, że ciągły obraz dowolnego zbioru spójnego jest
zbiorem spójnym.
Uwaga 1.3
W R jedynymi zbiorami spójnymi są: cała przestrzeń R, zbiory
jednoelementowe postaci {x}, przedziały nieograniczone (−∞; a), (−∞; a],
(a,
∞), [a; ∞) i przedziały ograniczone: (a; b), (a; b], [a; b), [a; b].
Definicja 1.3
Niech (X, d) będzie p.m. i A - podzbiorem X. Mówimy, że
funkcja f : A → R ma własność Darboux w A, jeżeli
∀
η
1
,η
2
∈
f
(A),η
1
<η
2
∀
η∈
(η
1
;η
2
)
∃
x∈A
f
(x) = η.
Twierdzenie 1.5
(Darboux) Dana jest p.m. (X, d) i podzbiór spójny A tej
przestrzeni. Jeżeli f : A → R jest funkcją ciągłą, to f ma własność Darboux.
Dw.
(nie wprost). Przypuśćmy, że f (X) nie jest zbiorem jednoelementowym
i jest pewnym przedziałem (ograniczonym lub nie). Jeżeli założymy, że f nie
ma własnośći Darboux, to istnieje liczba η
∈ f(A) taka, że nie istnieje x ∈ A,
że f (x) = η. Wtedy f (A) = M
∪ N, M = {ξ ∈ f(A) : ξ < η}, N = {ξ ∈
f
(A) : ξ > η
} i f(A) nie jest zbiorem spójnym (jes sumą zbiorów niepustych,
otwartych i rozłącznych), wbrew temu, że jako obraz ciągły zbioru spójnego
jest zbiorem spójnym. Jest to sprzeczność, co kończy dowód twierdzenia.
4
Uwaga 1.4
a
) Jeżeli w p.m. (X, d) dany jest zbiór spójny A i f : A
→ R jest
funkcją ciągłą, to równanie f(x) = η ma zawsze rozwiązanie x dla dowolnego
η
∈ f(A).
b
) W szczególności, jeśli istnieje ξ < 0 i η > 0 takie, że ξ, η
∈ f(A), to
istnieje x
0
∈ A (miejsce zerowe funkcji f) takie, że f(x
0
) = 0.
Przykład 1.3
Równanie f(x) = 0, gdzie f(x) = a
0
x
2n+1
+ a
1
x
2n
+ . . . +
a
2n
x
+ a
2n+1
= 0, x
∈ R ma w R miejsce zerowe dla dowolnego n ∈ N.
Istotnie, załóżmy dla podzielności uwagi, że a
0
>
0. Wtedy lim
x→−∞
f
(x) =
−∞ < 0 i lim
x→∞
f
(x) = +
∞ > 0. Zatem istnieje przedział [a; b] taki, że
f
(a) < 0 i f (b) > 0. Z ciągłości funkcji f i ze spójności przedziału otwar-
tego [a; b] w R wynika, że spełnione są założenia tw. Darboux. Stąd istnieje
x
0
∈ [a; b] takie, że f(x
0
) = 0. Zatem równanie algebraiczne stopnia niepa-
rzystego ma zawsze rozwiązanie w R.
1.3
Łukowa spójność
Przy badaniu spójności zbiorów w przestrzeni metrycznej (zwłaszcza na płasz-
czyźnie lub w przestrzeni R
3
) wygodnie jest posługiwać się pojęciem łukowej
spójności. Oto kilka słów na ten temat.
Definicja 1.4
Niech (X, d), (Y, ρ) będą p.m. i niech A ⊂ X oraz B ⊂ Y .
Odwzorowanie f : A → B nazywamy homeomorfizmem
1
zbioru A na zbiór B,
jeżeli f jest bijekcją A na B, f jest odwzorowaniem ciągłym i odwzorowanie
f
−
1
jest ciągłe.
Jeżeli istnieje homeomorfizm f : (X, d)
→ (Y, ρ), to przestrzenie (X, d) i
(Y, ρ) nazywamy homeomorficznymi.
Definicja 1.5
Zbiór A w p.m. (X, d) nazywamy łukowo spójnym, jeżeli dla
dowolnych punktów x
1
, x
2
∈ A istnieje homeomorfizm h : [0; 1] → A, odcinka
[0; 1] w A taki, że h(0) = x
1
i h(1) = x
2
.
Uwaga 1.5
Jeżeli zbiór A jest łukowo spójny, to jest spójny.
1
Pojęcie homeomorfizmu jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych. Na wy-
kładach z analizy matematycznej słowo homeomorfizm zostanie użyte wielekrotnie!
5
1.4
Przestrzeń
C
[a; b]
Niżej podamy przykład (dość już abstrakcyjnej jak dla studentów 1-ego roku)
przestrzeni funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale domkniętym [a; b].
Dodajmy, że przestrzeń ta jest jedną z podstawowych przestrzeni funkcyjnych
i będziemy do niej „wracać” w tym i w następnym semestrze.
Weźmy pod uwagę zbiór C[a; b] - wszystkich funkcji ciągłych f : [a; b]
→
R
. W zbiorze C[a; b] określamy w zwykły sposób działania: dodawanie funkcji
i mnożenie funkcji przez liczbę rzeczywistą „po współrzędnych”:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), x
∈ [a; b],
(αf )(x) = α
· f(x), α ∈ R, x ∈ [a; b].
Nietrudno sprawdzić, że C[a; b] z tak określonymi działaniami jest przestrze-
nią liniową (patrz wykład z algebry).
W oparciu o twierdzenie Weierstrassa stwierdzamy, że sup
{|f(x)| : x ∈
[a; b]
} < ∞ dla dowolnej funkcji ciągłej f : [a; b] → R (funkcja |f| jest funkcją
ciągłą na zbiorze zwartym [a; b]).
Co więcej, funkcja
kk : C[a; b] → [0; ∞) dana wzorem kfk = sup{|f(x)| :
x
∈ [a; b]}, f ∈ C[a; b] jest normą w C[a; b]. Ma ona własności (porównaj
wykład z algebry):
(N.1)
kfk = 0 ⇔ f = Θ,
gdzie Θ(x) = 0 dla x
∈ [a; b].
(N.2)
kλfk = |λ| · kfk, λ ∈ R, f ∈ C[a; b].
(N.3)
kf + gk ¬ kfk + kgk, f, g ∈ C[a; b].
Dw. własności
(N.1), (N.2), (N.3):
Ad(N.1)
kfk = 0 ⇔ sup{|f(x)| : x ∈ [a; b]} = 0 ⇔
∀
x∈
[a;b]
|f(x)| = 0 ⇔ ∀
x∈
[a;b]
f
(x) = 0
⇔ f = Θ.
Ad(N.3)
kλfk = sup{|λf(x)| : x ∈ [a; b]} =
sup
{|λ||f(x)| : x ∈ [a; b]} = |λ| sup{|f(x)| : x ∈ [a; b]}.
6
Ad(N.3)
|f(x) + g(x)| ¬ |f(x)| + |g(x)|, f, g ∈ C[a; b], x ∈ [a; b],
Zatem dla dowolnego x
∈ [a; b] mamy oszacowanie
|f(x) + g(x)| ¬ sup{|f(x) : x ∈ [a; b]} + sup{|g(x) : x ∈ [a; b]} = kfk + kgk.
Ponieważ zbiór
{|f(x) + g(x)| : x ∈ [a; b]} jest ograniczony w R, więc istnieje
kres górny tego zbioru i na mocy twierdzenia Weierstrassa jest on osiągnięty.
Z ostatniej nierówności otrzymujemy:
kf + gk = sup{|f(x) + g(x)| : x ∈ [a; b]} ¬ kfk + kgk,
co kończy dowód nierówności trójkąta (N.3) dla normy.
Metrykę d w C[a; b] określamy wzorem
d
(f, g) =
kf − gk = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]}, f, g ∈ C[a; b].
Dowodzi się, że (C[a; b], d) jest p.m. zupełną. Kula otwarta (domknięta) o
środku f i promieniu r > 0 jest zbiorem pstaci
K
o
(f, r) =
{g ∈ C[a; b] : d(f, g) < r} =
{g ∈ C[a; b] : sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]} < r}
K
−
(f, r) =
{g ∈ C[0; 1] : sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ [a; b]} ¬ r}
.
Uzasadnia się, że kula domknięta K
−
(f, 1) nie jest zbiorem zwartym w C[0; 1].
Zbieżność ciągu (f
n
) do funkcji granicznej f w tej przestrzeni nazywa się
zbieżnością jednostajną
1
lim
n→∞
f
n
= f
⇔ ∀
>
0
∃
n
0
∈
N
∀
nn
0
∀
x∈
[a;b]
|f
n
(x)
− f(x)| < .
Przykład 1.4
Niech A = {f ∈ C[0; 1] : f(0) = 0}. Sprawdzimy, czy A jest
zbiorem otwartym, domkniętym. Znajdziemy wnętrze i domknięcie zbioru A
oraz brzeg zbioru.
Żadna funkcja f ∈ C[0; 1] nie jest punktem wewnętrznym zbioru A. Istot-
nie, nie istnieje kula otwarta K
o
(f, )
⊂ A. Zbiór A nie jest zbiorem otwartym
i wnętrze A
o
jest zbiorem pustym. Zbiór A jest zbiorem domkniętym. Można
1
Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych omawiana będzie bardziej szczegółowo w
terminie późniejszym!
7
to uzasadnić z definicji lub z wykorzystaniem zbieżnych ciągów funkcji. Za-
tem, jeżeli d(f
n
, f
)
→ 0 i f
n
(0) = 0, dla n = 1, 2, . . ., to f (0) = 0. Istotnie,
|f(0)| ¬ |f(0) − f
n
(0)
| + |f
n
(0)
¬ d(f, f
n
) i przy n
→ ∞, f(0) = 0. Oczywi-
ście domknięcie A
−
zbioru A jest równe A. Ostatecznie brzeg zbioru A jest
równy zbiorowi A a więc ∂A = A
−
\ A
o
= A
\ ∅ = A. Tym samym, A jest
zbiorem brzegowym, bo A ⊂ ∂A.
Uwaga 1.6
Niech (X, d) będzie p.m. i A - podzbiorem zwartym przestrzeni
X
. Symbolem C(A, R) oznaczmy zbiór wszystkich funkcji ciągłych f : A → R.
W C(A, R) definiujemy metrykę d wzorem:
d
(f, g) = sup
{|f(x) − g(x)| : x ∈ A}, f, g ∈ C(A, R).
Łatwo uzasadnić (z tw. Weierstrassa), że d jest poprawnie określona (przyj-
myje wartości różne od +∞) oraz spełnia aksjomaty metryki. Jest to prze-
strzeń metryczna zupełna.
Z przestrzenią tą będziemy mieć często do czynienia między innymi w
ramach teorii funkcji wielu zmiennych lub funkcji zespolonych. W szczegól-
ności ciąg (f
n
) funkcji f
n
: A
→ R, gdzie A jest domkniętym i ograniczonym
podzbiorem R
n
nazywamy jednostajnie zbieżnym na zbiorze A do funkcji f,
jeżeli
∀
>
0
∃
n
0
∈
N
∀
nn
0
∀
x
=(x
1
,...,x
n
)∈A
|f
n
(x
1
, . . . , x
n
)
− f(x
1
, . . . , x
n
)
| < .
Zapamiętajmy tę uwagę!
8