1. CIĄGI LICZBOWE
1.1. Definicja ciągu i ciągu liczbowego
Definicja 1.1.
• Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
• Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez
a
n
def
= a(n),
n ∈ N.
• Ciąg o wyrazach a
n
oznaczamy symbolem
(a
n
) lub a
1
, a
2
, . . . .
• Zbiór wartości ciągu (a
n
) oznaczamy przez {a
n
}
n∈N
.
Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o
wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkc-
jami nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-
stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność
Definicja 1.2.
• Ciąg (a
n
) jest rosnący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
> a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest niemalejący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest malejący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
< a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest nierosnący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
¬ a
n
.
Twierdzenie 1.3.
Jeśli a
n
> 0 dla n ∈ N, to
ciąg (a
n
) jest rosnący ⇔
V
n∈N
a
n+1
a
n
> 1.
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.
Definicja 1.5.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu
def
⇔
W
m∈R
V
n∈N
a
n
m.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry
def
⇔
W
M ∈R
V
n∈N
a
n
¬ M.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony
def
⇔ (a
n
) jest ograniczony z dołu i z góry.
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
2
Definicja 1.6.
• Ciąg liczbowy (a
n
) jest zbieżny do a ∈ R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)
wyrazy ciągu (a
n
) znajdują się dowolnie blisko a, czyli
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
|a
n
− a| < ε.
• Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a
n
) i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= a lub a
n
→ a.
Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:
a) lim
n→∞
1
n
= 0;
b) lim
n→∞
1
n
3
= 0.
Definicja 1.8.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny do +∞ i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= +∞,
gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (a
n
) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
a
n
> ε.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= −∞,
gdy
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
a
n
< −ε.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).
Przykład 1.9. Wykazać, że lim
n→∞
n
2
= +∞.
Twierdzenie 1.10.
Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:
a) lim
n→∞
a
n
= ±∞ ⇒
lim
n→∞
1
a
n
= 0;
{
1
±∞
= 0}
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
3
b) lim
n→∞
a
n
= 0
⇒ lim
n→∞
1
a
n
=
+∞,
gdy a
n
> 0 dla prawie wszystkich n ∈ N,
−∞, gdy a
n
< 0 dla prawie wszystkich n ∈ N.
{
1
0
+
= +∞}
{
1
0
−
= −∞}
Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że
a) lim
n→∞
n
α
=
0
dla
α < 0,
1
dla
α = 0,
+∞
dla
α > 0.
b) lim
n→∞
q
n
=
nie istnieje
dla
q ¬ −1,
0
dla
q ∈ (−1; 1),
1
dla
q = 1,
+∞
dla
q > 1.
1.3. Arytmetyka granic
Twierdzenie 1.13.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a oraz c 6= 0, to
lim
n→∞
c · a
n
=
c · a,
gdy a ∈ R,
±∞, gdy a = ±∞.
W szczególności dla c > 0 mamy
{c · (+∞) = +∞}
oraz
{c · (−∞) = −∞}
Twierdzenie 1.14.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b, to
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
4
Twierdzenie 1.15.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a,
lim
n→∞
b
n
= b oraz b
n
6= 0 dla n ∈ N, to
Twierdzenie 1.16.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a,
lim
n→∞
b
n
= b oraz b
n
0 dla n ∈ N, to
Symbole nieoznaczone:
∞ − ∞ 0 · ∞
∞
∞
0
0
0
0
∞
0
1
∞
1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych
Definicja 1.17.
Podciągiem ciągu (a
n
) nazywamy każdy ciąg (a
k
n
), gdzie (k
n
) jest dowolnym rosnącym
ciągiem liczb naturalnych.
Np. Podciągami ciągu (a
n
) są ciągi:
a
1
, a
3
, a
5
, . . .
a
2
, a
4
, a
6
, . . .
a
3
, a
4
, a
5
, . . .
(a
2n−1
)
∞
n=1
(a
2n
)
n∈N
(a
n
)
n3
Twierdzenie 1.18.
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.
Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:
a) lim
n→∞
(−1)
n
;
b) lim
n→∞
cos
nπ
2
;
c) lim
n→∞
(−1)
n
+n
n+1
.
Twierdzenie 1.20.
Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
5
Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa).
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg
zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do −∞ lub +∞.
Twierdzenie 1.23.
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.24. Jeśli ciągi (a
n
), (b
n
) są zbieżne oraz
W
K∈N
V
nK
a
n
¬ b
n
,
to lim
n→∞
a
n
¬ lim
n→∞
b
n
.
Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach).
Załóżmy,że
(∗)
W
K∈N
V
nK
a
n
¬ b
n
¬ c
n
,
a) Jeśli lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a, to istnieje granica ciągu (b
n
), przy czym lim
n→∞
b
n
= a.
b) Jeśli lim
n→∞
a
n
= +∞, to lim
n→∞
b
n
= +∞.
c) Jeśli lim
n→∞
c
n
= −∞, to lim
n→∞
b
n
= −∞.
1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e
Twierdzenie 1.26.
a) lim
n→∞
n
√
n = 1.
b) lim
n→∞
n
√
a = 1, gdy a > 0.
c) Jeśli a
n
0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n→∞
a
n
= a > 0, to lim
n→∞
n
√
a
n
= 1.
Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +∞ lub a = 0.
Twierdzenie 1.28.
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
dla n ∈ N jest ograniczony i monotoniczny.
Definicja 1.29.
Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +
1
n
)
n
, n ∈ N.
Twierdzenie 1.30.
a)
∗
lim
n→∞
n
X
k=0
1
k!
= e.
b) Liczba e jest liczbą niewymierną.
e = 2, 7182818284 . . .
Twierdzenie 1.31.
Jeśli a
n
6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n→∞
a
n
= ±∞, to lim
n→∞
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e.
Definicja 1.32.
Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-
bolem ln.
ln x
def
= log
e
x dla x > 0
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
6
1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny
Definicja 1.33.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Liczbę M
0
∈ E taką, że
V
x∈E
x ¬ M
0
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
• Liczbę m
0
∈ E taką, że
V
x∈E
x m
0
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.34.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
W
M ∈R
V
x∈E
x ¬ M.
Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.
• Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym
zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M , gdy
(1)
V
x∈E
x ¬ M,
(2)
V
M
1
<M
W
x∈E
x > M
1
.
• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +∞.
Definicja 1.35.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
W
m∈R
V
x∈E
x m.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
• Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym
zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy
(1)
V
x∈E
x m,
(2)
V
m
1
>m
W
x∈E
x < m
1
.
• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = −∞.
• Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.
Twierdzenie 1.36.
Każdy niepusty zbiór E ⊂ R posiada kresy górny i dolny.
Twierdzenie 1.37.
a) Jeśli ciąg (a
n
) jest niemalejący, to
sup{a
n
: n ∈ N} = lim
n→∞
a
n
,
inf{a
n
: n ∈ N} = a
1
.
2009, E. Kotlicka
1. CIĄGI LICZBOWE
7
b) Jeśli ciąg (a
n
) jest nierosnący, to
sup{a
n
: n ∈ N} = a
1
,
inf{a
n
: n ∈ N} = lim
n→∞
a
n
.
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
8
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
S(x
0
) = (a, x
0
) ∪ (x
0
, b),
gdzie a, b ∈ R, a < x
0
< b. Zbiory: S
−
(x
0
) = (a, x
0
) oraz S
+
(x
0
) = (x
0
, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
U (x
0
) = S(x
0
) ∪ {x
0
}.
Zbiory: U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
) ∪ {x
0
},
U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
) ∪ {x
0
} nazywamy odpowiednio lewostronnym i
prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór
S(−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór
S(+∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.
Niech X ⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.2.
• Mówimy, że punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x
n
> x
0
dla n ∈ N (x
n
< x
0
dla n ∈ N), to x
0
nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d
. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d+
(X
d−
).
Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem nieogranic-
zonym z góry.
• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = g
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
9
lim
x→+∞
f (x) = +∞
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = −∞].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = −∞
Analogicznie definiujemy granice:
lim
x→−∞
f (x) = g,
lim
x→−∞
f (x) = +∞ oraz
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g
• Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = +∞
Analogicznie definiujemy granicę: lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Definicja 2.5.
Niech f : X → R.
• Niech x
0
∈ X
d−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
• Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(x
0
,+∞)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
10
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.
Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) < −ε].
Twierdzenie 2.8.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).
Jeśli
x
0
∈ X
d−
∩ X
d+
, to
lim
x→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 − 2.14) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.
Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X → R, lim
x→x
0
f (x) = a oraz
lim
x→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x→x
0
(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x→x
0
(f (x) ± g(x) = a ± b;
c) lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = a · b;
d) lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b 6= 0;
e) lim
x→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a 6= 0.
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
11
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a · (+∞) = +∞ dla 0 < a ¬ +∞
a · (+∞) = −∞
dla −∞ ¬ a < 0
a
∞
= 0 dla −∞ < a < +∞
a
0
+
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
a
0
+
= −∞
dla
−∞ ¬ a < 0
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +∞ dla 1 < b ¬
+∞
∞
a
= 0
dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są
warunki:
(1)
lim
x→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
t→a
g(t) = b,
to lim
x→x
0
g(f (x)) = b.
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:
(1)
V
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = a,
to lim
x→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X → R oraz
V
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x).
a) Jeśli lim
x→x
0
f (x) = +∞, to lim
x→x
0
g(x) = +∞.
b) Jeśli lim
x→x
0
g(x) = −∞, to lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Twierdzenie 2.15.
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Twierdzenie 2.16.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
12
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.17.
Niech f : X → R, x
0
∈ X
d
.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
+
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
−
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
−
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko
asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18.
Niech f : X → R.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy
lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy
lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.
Uwaga Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +∞ ⇔
lim
x→+∞
f (x) = b.
Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w −∞ ⇔
lim
x→−∞
f (x) = b.
Twierdzenie 2.19.
a) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ ⇔
a = lim
x→+∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→+∞
(f (x) − ax).
b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞ ⇔
a = lim
x→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→−∞
(f (x) − ax).
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.20.
Niech f : X → R, x
0
∈ X.
• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
albo (istnieje lim
x→x
0
f (x) i
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)).
• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d−
albo (istnieje lim
x→x
−
0
f (x) i
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x
0
)).
• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d+
albo (istnieje lim
x→x
+
0
f (x) i
lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
0
)).
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
f
.
Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)
ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
+
f
(C
−
f
).
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
13
Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).
Niech f : X → R oraz
x
0
∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
⇔ f jest lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x
0
.
Definicja 2.22.
Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D
f
, to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X → R, x
0
∈ X \ C
f
.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim
x→x
−
0
f (x) oraz lim
x→x
+
0
f (x), istnieją i są skończone.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.24.
Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
|f | , f + g, f · g oraz
f
g
(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).
Twierdzenie 2.25.
Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.
Twierdzenie 2.26.
Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f
−1
jest
ciągła.
Twierdzenie 2.27.
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych
Niech a, b ∈ R, a < b.
Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x
0
) > 0 dla pewnego x
0
∈ [a, b], to
W
U (x
0
)
V
x∈U (x
0
)
f (x) > 0.
Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c
1
, c
2
∈ [a, b]
takie, że
V
x∈[a,b]
f (c
1
) ¬ f (x) ¬ f (c
2
).
Twierdzenie 2.30 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min f [[a, b]] oraz M = max f [[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to
V
y∈[m,M ]
W
x∈[a,b]
y = f (x).
Ile jest tych rozwiązań?
Jak je wyznaczyć?
−→ metody numeryczne
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.31.
Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x
1
∈X
V
x
2
∈X
[ |x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε ].
Twierdzenie 2.32.
Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.33.
Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
14
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RZECZYWISTEJ
3.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe
własności
Niech a, b ∈ R i a < b.
Definicja 3.1.
Niech f : (a, b) → R oraz x
0
∈ (a, b).
• Funkcję ϕ : (a, b) \ {x
0
} → R daną wzorem
ϕ(x)
def
=
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x
0
.
• Jeśli granica lim
x→x
0
ϕ(x) istnieje i jest skończona, to nazywamy ją pochodną właściwą funkcji f w
punkcie x
0
i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x
0
. Zapisujemy
f
0
(x
0
)
def
= lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
.
• Jeśli x
0
∈ C
f
i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą funkcji f
w punkcie x
0
.
Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy je odpowiednio przez
f
0
(x
+
0
) oraz f
0
(x
−
0
).
Definicja 3.2.
Niech f : [a, b] → R.
• Jeśli A ⊂ (a, b) oraz funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x ∈ A, to mówimy, że f jest
różniczkowalna na zbiorze A.
• Mówimy, że
f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawostronnie
różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.
• Funkcję
x 7−→ f
0
(x),
określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją pochodną funkcji
f i oznaczamy przez f
0
.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie www
Twierdzenie 3.3 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest
różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b), to jest ciągła w tym punkcie.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
15
Twierdzenie 3.4 (o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji).
Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R
są różniczkowalne w punkcie x
0
∈ (a, b). Wówczas funkcje f +g, f ·g oraz
f
g
są różniczkowalne w tym punkcie
oraz
a) (f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
b) (f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
),
c) (
f
g
)
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f (x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
, o ile g(x
0
) 6= 0.
Twierdzenie 3.5 (o pochodnej funkcji złożonej).
Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b),
(2) f [(a, b)] ⊂ (c, d) oraz
(3) funkcja g : (c, d) → R jest różniczkowalna w punkcie f (x
0
).
Wówczas funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x
0
oraz
(g ◦ f )
0
(x
0
) = g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
).
Twierdzenie 3.6 (o pochodnej funkcji odwrotnej).
Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) → R jest różnowartościowa,
(2) f jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b), przy czym f
0
(x
0
) 6= 0.
Wówczas funkcja f
−1
jest różniczkowalna w punkcie y
0
= f (x
0
) oraz
(f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
16
Twierdzenie 3.7 (pochodne podstawowych funkcji).
jj
Wzór
Założenia
(c)
0
= 0
c ∈ R
(x
α
)
0
= αx
α−1
α ∈ R, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}
(a
x
)
0
= a
x
ln a
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x > 0
(sin x)
0
= cos x
x ∈ R
(cos x)
0
= − sin x
x ∈ R
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
x ∈ R\{
π
2
+ kπ : k ∈ Z}
(ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
x ∈ R\{kπ : k ∈ Z}
(arc sin x)
0
=
1
√
1 − x
2
x ∈ (−1, 1)
(arc cos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
x ∈ (−1, 1)
(arctg x)
0
=
1
1 + x
2
x ∈ R
(arcctg x)
0
= −
1
1 + x
2
x ∈ R
Definicja 3.8.
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b). Funkcję liniową
h 7−→ f
0
(x
0
)h
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy przez df (x
0
).
Definicja 3.9.
Niech f : (a, b) → R oraz n ∈ N.
• Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x
0
∈ (a, b) definiujemy indukcyjnie:
f
(n)
(x
0
)
def
= [f
(n−1)
]
0
(x
0
),
gdzie f
(1)
(x
0
)
def
= f
0
(x
0
) oraz f
(0)
(x
0
)
def
= f (x
0
).
• Funkcję
x 7−→ f
(n)
(x),
określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazywamy funkcją
pochodną n-tego rzędu funkcji f .
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
17
3.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania
Twierdzenie 3.10 (Rolle’a).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest
(1) ciągła na [a, b],
(2) różniczkowalna na (a, b) oraz
(3) f (a) = f (b),
to istnieje punkt x
0
∈ (a, b) taki, że f
0
(x
0
) = 0.
Twierdzenie 3.11 (Lagrange’a).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest
(1) ciągła na [a, b] oraz
(2) różniczkowalna na (a, b),
to istnieje punkt x
0
∈ (a, b) taki, że
f
0
(x
0
) =
f (b) − f (a)
b − a
.
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Twierdzenie 3.12 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji).
Niech f : I → R. Wówczas
a) jeśli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ I, to f jest stała na I;
b) jeśli f
0
(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest rosnąca na I;
c) jeśli f
0
(x) 0 dla każdego x ∈ I, to f jest niemalejąca na I;
d) jeśli f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest malejąca na I;
e) jeśli f
0
(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I, to f jest nierosnąca na I.
Twierdzenie 3.13.
Załóżmy, że funkcja f : I → R jest różniczkowalna na I. Jeśli
a) f jest rosnąca na I, to f
0
(x) 0 dla każdego x ∈ I oraz f
0
nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I;
b) f jest malejąca na I, to f
0
(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I oraz f
0
nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I.
Twierdzenie 3.14.
Załóżmy, że f, g : I → R i x
0
∈ I.
a) Jeśli
(1) f (x
0
) = g(x
0
) oraz
(2)
V
x∈I
f
0
(x) = g
0
(x),
to f (x) = g(x) dla wszystkich x ∈ I.
b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz
(1) f (x
0
) ¬ g(x
0
) i
(2)
V
x∈I∩(x
0
,+∞)
f
0
(x) ¬ g
0
(x),
to f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ I ∩ (x
0
, +∞).
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
18
Twierdzenie 3.15 (reguła de l’Hospitala).
Niech x
0
∈ R oraz niech S(x
0
) będzie pewnym sąsiedztwem
punktu x
0
. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x
0
) → R są różniczkowalne na S(x
0
), przy czym g
0
(x) 6= 0 dla
x ∈ S(x
0
). Jeśli
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
albo
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = ±∞,
oraz istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
= g ∈
R, to lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= g.
Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.
Uwaga 3.16. Regułę de l’Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku sym-
boli nieoznaczonych innych niż
0
0
i
∞
∞
, posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.
Symbol przed
Przekształcenie
Symbol po
przekształceniem
przekształceniu
∞ − ∞
f − g =
f (1 −
g
f
)
1
g
−
1
f
1
f ·g
∞(1 −
∞
∞
)
0
0
0 · ∞
f · g =
f
1
g
g
1
f
0
0
∞
∞
0
0
, ∞
0
lub 1
∞
f
g
= e
g ln f
e
0·(±∞)
Twierdzenie 3.17 (wzór Taylora).
Niech f : [a, b] → R oraz n ∈ N. Załóżmy, że pochodna f
(n−1)
funkcji
f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f
(n)
istnieje wszędzie na (a, b). Niech x
0
∈ [a, b]. Wówczas dla
każdego x ∈ [a, x
0
) ∪ (x
0
, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x
0
taki, że
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
|
{z
}
P
n−1
(x) − wielomian Taylora
+
f
(n)
(c)
n!
(x − x
0
)
n
.
|
{z
}
R
n
(x) − reszta w postaci Lagrange’a
Uwaga 3.18.
(1) Jeśli x
0
= 0, to powyższy wzór przyjmuje postać
f (x) = f (0) +
f
0
(0)
1!
x + · · · +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
|
{z
}
P
n−1
(x) − wielomian Maclaurina
+
f
(n)
(c)
n!
x
n
i nosi nazwę wzoru Maclaurina.
(2) Jeśli założymy, że
W
M >0
V
n∈N
V
x∈(a,b)
f
(n)
(x)
¬ M,
to lim
n→∞
R
n
(x) = 0 dla x ∈ (a, b).
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
19
(3)
Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+ · · · +
x
n−1
(n − 1)!
+
x
n
n!
e
c
sin x =
x
1!
−
x
3
3!
+
x
5
5!
− · · · + (−1)
n−1
x
2n−1
(2n − 1)!
+ (−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
sin c
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− · · · + (−1)
n−1
x
2n−2
(2n − 2)!
+ (−1)
n
x
2n
(2n)!
cos c
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
− · · · + (−1)
n−1
x
n
n
+ (−1)
n
x
n+1
(n + 1)(1 + c)
n+1
3¿ 4¿ 3¿
3.3. Ekstrema globalne i lokalne funkcji
Niech X ⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 3.19.
Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x
0
∈ X
• maksimum globalne na X, gdy
V
x∈X
f (x) ¬ f (x
0
),
• minimum globalne na X, gdy
V
x∈X
f (x) f (x
0
).
Definicja 3.20.
Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x
0
∈ X
• maksimum lokalne, gdy
W
S(x
0
)
V
x∈S(x
0
)∩X
f (x) ¬ f (x
0
),
• minimum lokalne, gdy
W
S(x
0
)
V
x∈S(x
0
)∩X
f (x) f (x
0
).
Jeśli w powyższych definicjach nierówności ”¬”i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ekstremów globalnych i lokalnych właściwych.
Twierdzenie 3.21 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Fermata).
Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w x
0
∈ (a, b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
f
0
(x
0
) = 0.
Twierdzenie 3.22.
Załóżmy, że funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b]. Niech
A = {x ∈ (a, b) : f
0
(x) = 0}
oraz B = {x ∈ (a, b) : f
0
(x) nie istnieje}.
Wówczas
sup{f (x) : x ∈ [a, b]} = max{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B},
inf{f (x) : x ∈ [a, b]} = min{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B}.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
20
Twierdzenie 3.23 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U (x
0
) = S(x
0
) ∪ {x
0
} ⊂ (a, b).
Jeśli
(1) f
0
(x
0
) = 0,
(2)
V
x∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) > 0 i
V
x∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) < 0
(albo
V
x∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) < 0 i
V
x∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) > 0),
to f ma w x
0
maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).
-2¿ 1¿
Uwaga 3.24.
(1) Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym sąsiedztwie
S(x
0
) i ciągła w punkcie x
0
.
(2) Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
3¿
Twierdzenie 3.25 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x
0
∈ (a, b).
Jeśli
(1) f
0
(x
0
) = 0,
(2) f
00
jest ciągła w x
0
,
(3) f
00
(x
0
) 6= 0,
to f ma w x
0
ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to
• maksimum lokalne w przypadku, gdy f
00
(x
0
) < 0,
• minimum lokalne w przypadku, gdy f
00
(x
0
) > 0.
3.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Definicja 3.26.
Niech f : I → R. Dla dowolnych x
1
, x
2
∈ I oznaczmy przez l
x
1
,x
2
funkcję, której wykresem
jest prosta przechodząca przez punkty (x
1
, f (x
1
)) i (x
2
, f (x
2
)).
Mówimy, że funkcja f jest
• wypukła na I, gdy
V
x
1
,x
2
∈I, x
1
<x
2
V
x∈(x
1
,x
2
)
f (x) ¬ l
x
1
,x
2
(x),
• wklęsła na I, gdy
V
x
1
,x
2
∈I, x
1
<x
2
V
x∈(x
1
,x
2
)
f (x) l
x
1
,x
2
(x).
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”¬”i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.
Twierdzenie 3.27.
Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas
a) f jest wypukła na I ⇔
V
x
0
∈I
V
x∈I\{x
0
}
f (x) f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
);
b) f jest wklęsła na I ⇔
V
x
0
∈I
V
x∈I\{x
0
}
f (x) ¬ f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
).
Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
21
Twierdzenie 3.28 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).
Niech f : I → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas
a) jeśli f
00
(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wypukła na I;
b) jeśli f
00
(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wklęsła na I.
Definicja 3.29.
Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x
0
∈ (a, b). Mówimy, że x
0
jest punktem przegięcia funkcji f, gdy istnieje sąsiedztwo S(x
0
) ⊂ (a, b) takie, że
f jest ściśle wypukła na S
−
(x
0
) i ściśle wklęsła na S
+
(x
0
)
albo
f jest ściśle wklęsła na S
−
(x
0
) i ściśle wypukła na S
+
(x
0
).
Twierdzenie 3.30 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x
0
jest punktem przegięcia funkcji
f, to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie S(x
0
) ⊂ (a, b)
punktu x
0
. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x
0
,
(2)
V
x∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) > 0 i
V
x∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) < 0
albo
V
x∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) < 0 i
V
x∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) > 0,
to x
0
jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 3.33.
Niech n ∈ N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest n-krotnie różniczkowalna na
pewnym otoczeniu punktu x
0
∈ (a, b). Jeśli
(1)
V
k∈{1,...,n−1}
f
(k)
(x
0
) = 0,
(2) f
(n)
jest ciągła w x
0
,
(3) f
(n)
(x
0
) 6= 0,
to f ma w x
0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to
• maksimum lokalne w przypadku, gdy f
(n)
(x
0
) < 0,
• minimum lokalne w przypadku, gdy f
(n)
(x
0
) > 0.
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
22
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
4.1. Funkcja pierwotna
Definicja 4.1.
Niech f : I → R. Funkcję F : I → R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale
I, gdy
V
x∈I
F
0
(x) = f (x).
Twierdzenie 4.2.
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to
a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F +C
0
, gdzie C
0
jest odpowiednio dobraną
stałą.
Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu (x
0
, y
0
), gdzie x
0
∈ I, istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna,
której wykres przechodzi przez ten punkt.
Definicja 4.4.
Niech f : I → R. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest
niepusty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez
Z
f (x) dx
lub
Z
f.
Jeśli funkcja F : I → R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy
Z
f (x) dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikają wzory na
podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4).
4.2. Własności całki nieoznaczonej
Twierdzenie 4.5.
Niech f : I → R.
a) Jeśli istnieje całka
Z
f, to
Z
f
0
= f.
b) Jeśli istnieje całka
Z
(f
0
), to
Z
(f
0
) = f + C, gdzie C ∈ R.
Twierdzenie 4.6 (liniowość całki nieoznaczonej).
Niech f, g : I → R. Jeśli istnieją całki
Z
f i
Z
g,
to
a) istnieje całka
Z
(f + g) oraz
Z
(f + g) =
Z
f +
Z
g;
b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka
Z
(kf ) oraz
Z
(kf ) = k
Z
f
.
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
23
Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej).
Jeśli funkcja f : I → R
jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.
Uwaga 4.8.
(1) O ile pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen-
tarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją funkcje elementarne, których
całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji elementarnych,
np.
Z
e
−x
2
dx,
Z
sin(x
2
) dx,
Z
cosx
x
dx.
(2) Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną. Np. można sprawdzić, że funkcja f
określona wzorem
f (x) =
2x sin
1
x
− cos
1
x
,
gdy x 6= 0,
0,
gdy x = 0,
nie jest ciągła w punkcie 0, zaś
Z
f (x) dx = g(x) + C, gdzie C ∈ R oraz
g(x) =
x
2
sin
1
x
,
gdy x 6= 0,
0,
gdy x = 0.
4.3. Metody całkowania
Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez części).
Załóżmy, że
(1) funkcje f, g : I → R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f
0
g na przedziale I.
Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g
0
na przedziale I oraz zachodzi wzór
Z
f g
0
= f g −
Z
f
0
g.
Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie).
Załóżmy, że I, J są przedziałami oraz
(1) funkcja g : I → J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J → R ma na przedziale J funkcję pierwotną F .
Wówczas funkcja (f ◦ g)g
0
ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór
Z
(f ◦ g)g
0
= F ◦ g + C, gdzie C ∈ R.
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
24
4.4. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone
Wzór
Założenia
(1)
Z
0 dx = C
x ∈ R
(2)
Z
x
α
dx =
x
α+1
α+1
+ C
α ∈ R \ {1}, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}
(3)
Z
1
x
dx = ln |x| + C
x 6= 0
(4)
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R
(5)
Z
sin x dx = − cos x + C
x ∈ R
(6)
Z
cos x dx = sin x + C
x ∈ R
(7)
Z
1
sin
2
x
dx = − ctg x + C
x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z
(8)
Z
1
cos
2
x
dx = tg x + C
x ∈ ((2k − 1)
π
2
, (2k + 1)
π
2
), k ∈ Z
(9)
Z
1
1 + x
2
dx = arctg x + C
x ∈ R
(10)
Z
1
√
1 − x
2
dx = arc sin x + C
x ∈ (−1, 1)
(11)
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x) 6= 0
(12)
Z
f
0
(x)
p
f (x)
dx = 2
p
f (x) + C
f (x) > 0
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
25
4.5. Całkowanie funkcji wymiernych.
(A) Każdą funkcję wymierną postaci
V (x)
Q(x)
, gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można jednozncznie
przedstawić w postaci
W (x) +
P (x)
Q(x)
,
gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q.
(B) Każdą funkcję wymierną postaci
P (x)
Q(x)
, gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielo-
mianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych pierwszego lub
drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci
(I)
A
(x − p)
n
,
(II)
Ax + B
((x − p)
2
+ k)
n
,
gdzie n ∈ N, A, B, p ∈ R, k > 0.
(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:
Z
A
(x − p)
n
dx =
t = x − p
dt = dx
= A
Z
1
t
n
dt = . . .
(W przypadku n = 1 można zastosować wzór (11)).
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:
Z
Ax + B
((x − p)
2
+ k)
n
dx
=
o
o
o
o
t = x − p
dt = dx
o
o
o
o
=
Z
A(t + p) + B
(t
2
+ k)
n
dt =
=
Z
At
(t
2
+ k)
n
dt
|
{z
}
J
n
+ (pA + B)
Z
1
(t
2
+ k)
n
dt
|
{z
}
I
n
= . . .
Wzór
Założenia
(13) I
1
=
Z
1
x
2
+ k
dx =
1
√
k
arc tg
x
√
k
+ C
k > 0, x ∈ R
(14)
?
I
n
=
Z
1
(x
2
+ k)
n
dx =
1
k(2n − 2)
x
(x
2
+ k)
n−1
+ (2n − 3)I
n−1
n = 2, 3, . . . , k > 0, x ∈ R
Wskazówki:
J
n
=
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t
2
+ k
I
1
=
o
o
o
o
s =
x
√
k
ds =
dx
√
k
o
o
o
o
= . . .
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
26
4.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
Niech R : R
2
→ R będzie funkcją wymierną.
(A)
Z
R(x,
n
√
ax + b ) dx =
o
o
o
o
t =
n
√
ax + b
dt = . . .
o
o
o
o
lub
o
o
o
o
x =
t
n
−b
a
dx = . . .
o
o
o
o
= . . . ,
a 6= 0
(B)
Z
R
x,
s
ax + b
cx + d
dx =
o
o
o
o
t =
q
ax+b
cx+d
dt = . . .
o
o
o
o
lub jw. . . . ,
Niech W
n
: R → R będzie wielomianem n-tego stopnia, n ∈ N ∪ {0}.
(C)
Z
W
n
(x)
p
k + a(x − p)
2
dx,
k, p ∈ R, a 6= 0
• n = 0
Z
A
p
k + a(x − p)
2
dx =
o
o
o
o
t = x − p
dt = dx
o
o
o
o
= . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),
Wzór
Założenia
(15)
Z
1
√
k − x
2
dx = arc sin
x
√
k
+ C
k > 0, k − x
2
> 0
(16)
Z
1
√
k + x
2
dx = ln
x +
√
k + x
2
+ C
k 6= 0, k + x
2
> 0
Wskazówki:
ad. (15)
o
o
o
o
t =
x
√
k
dt =
dx
√
k
o
o
o
o
lub
o
o
o
o
x =
√
k sin t
dx =
√
k cos tdt
o
o
o
o
ad. (16)
o
o
o
o
t = x +
√
k + x
2
dt =
x+
√
k+x
2
√
k+x
2
dx ⇒
dt
t
=
dx
√
k+x
2
o
o
o
o
• n > 0 – stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:
?
Z
W
n
(x)
p
k + a(x − p)
2
dx = Q
n−1
(x)
q
k + a(x − p)
2
+ β
Z
1
p
k + a(x − p)
2
dx,
gdzie Q
n−1
oznacza wielomian stopnia n − 1, zaś β jest pewną stałą.
2009, E. Kotlicka
4. CAŁKA NIEOZNACZONA
27
4.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Niech R : R
2
→ R będzie funkcją wymierną.
(A) R(−u, v) = −R(u, v)
Z
R(sin x, cos x) dx =
o
o
o
o
t = cos x
dt = − sin xdx
o
o
o
o
= . . .
np.
Z
sin
n
x cos
m
x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba nieparzysta, m− liczba . . . . . . . . . . . . .
(B) R(u, −v) = −R(u, v)
Z
R(sin x, cos x) dx =
o
o
o
o
t = sin x
dt = cos xdx
o
o
o
o
= . . .
np.
Z
sin
n
x cos
m
x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba . . . . . . . . . . . . . m− liczba . . . . . . . . . . . . .
(C) R(−u, −v) = R(u, v)
Z
R(sin x, cos x) dx =
o
o
o
o
t = tg x ⇒ x = arc tg t
dx =
dt
t
2
+1
o
o
o
o
= . . . ,
(sin
2
x =
t
2
1 + t
2
, cos
2
x =
1
1 + t
2
, sin x cos x =
t
1 + t
2
),
np.
Z
sin
n
x cos
m
x dx, gdzie n, m ∈ Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) R – dowolna funkcja
Z
R(sin x, cos x) dx =
o
o
o
o
t = tg
x
2
⇒ x = 2 arc tg t
dx =
2dt
t
2
+1
o
o
o
o
= . . . ,
(sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
).
Wzór
Założenia
(17)
?
Z
sin
n
x dx = −
1
n
cos x sin
n−1
x +
n−1
n
Z
sin
n−2
x dx
n = 2, 3, . . . , x ∈ R
(18)
?
Z
cos
n
x dx =
1
n
sin x cos
n−1
x +
n−1
n
Z
cos
n−2
x dx
n = 2, 3, . . . , x ∈ R
Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
28
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I
CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
5.1. Definicja całki oznaczonej Riemanna
Niech a, b ∈ R i a < b.
Definicja 5.1 (Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej).
• Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór P
n
= {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}, gdzie n ∈ N, punktów spełniają-
cych warunek:
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n−1
< x
n
= b.
• Średnicą podziału P
n
przedziału [a, b] nazywamy liczbę
δ(P
n
)
def
= max{∆x
i
: i = 1, 2, . . . , n},
gdzie ∆x
i
= x
i
− x
i−1
.
• Układem punktów pośrednich podziału P
n
przedziału [a, b] nazywamy dowolny zbiór T
n
= {t
1
, . . . , t
n
}
taki, że
t
i
∈ [x
i−1
, x
i
] dla i = 1, . . . , n.
Definicja 5.2.
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną, zaś P
n
− dowolnym podziałem przedziału
[a, b]. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P
n
i układowi punktów pośrednich T
n
nazywamy liczbę
S(f, P
n
, T
n
)
def
=
n
X
i=1
f (t
i
)∆x
i
.
Definicja 5.3.
Mówimy, że ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na
przedziale [a, b], gdy istnieje granica
lim
δ(P
n
)→0
S(f, P
n
, T
n
) (przyjmujemy, że
lim
δ(P
n
)→0
S(f, P
n
, T
n
) = A wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (P
n
) podziałów przedziału [a, b] takiego, że lim
n→∞
δ(P
n
) = 0, i dowol-
nego ciągu (T
n
) układów punktów pośrednich zachodzi równość A = lim
n→∞
S(f, P
n
, T
n
)). Rozważaną granicę
nazywamy wówczas całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i zapisujemy
b
Z
a
f (x) dx
def
=
lim
δ(P
n
)→0
S(f, P
n
, T
n
).
Ponadto przyjmujemy, że
a
Z
a
f (x) dx
def
= 0
oraz
a
Z
b
f (x) dx
def
= −
b
Z
a
f (x) dx.
Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].
Uwaga 5.4. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie nie musi
być.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
29
5.2. Własności całki oznaczonej
Twierdzenie 5.5 (warunki wystarczające całkowalności funkcji).
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją
ograniczoną.
a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f ∈ R[a, b].
b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f ∈ R[a, b].
Twierdzenie 5.6 (liniowość całki oznaczonej).
Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to
a) f + g ∈ R[a, b] oraz
b
Z
a
(f (x) + g(x)) dx =
b
Z
a
f (x) dx +
b
Z
a
g(x) dx;
b) kf ∈ R[a, b] dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz
b
Z
a
kf (x) dx = k
b
Z
a
f (x) dx.
Twierdzenie 5.7.
a) Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to f g ∈ R[a, b].
b) Jeśli funkcja g ∈ R[a, b] oraz f jest funkcją ciągłą na g[[a, b]], to f ◦ g ∈ R[a, b]. W szczególności, jeśli
g ∈ R[a, b], to |g| ∈ R[a, b].
Twierdzenie 5.8 (monotoniczność całki oznaczonej).
Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b] oraz f (x) ¬ g(x) dla
każdego x ∈ [a, b], to
b
Z
a
f (x) dx ¬
b
Z
a
g(x) dx.
Twierdzenie 5.9 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).
Jeśli f ∈ R[a, b], to dla dowolnego c ∈ (a, b) funkcja f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b] oraz
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx.
Twierdzenie 5.10.
Jeśli f ∈ R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów
przedziału [a, b], to g ∈ R[a, b] oraz
b
Z
a
g(x) dx =
b
Z
a
f (x) dx.
Twierdzenie 5.11 (całkowe o wartości średniej).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na przedziale
[a, b], to
W
c∈(a,b)
f (c) =
1
b − a
b
Z
a
f (x) dx.
Twierdzenie 5.12.
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ciągłą na przedziale [a, b] oraz niech D oznacza
figurę ograniczoną wykresem funkcji f i prostymi o równaniach x = a, x = b, y = 0.
a) Jeśli f (x) 0 dla każdego x ∈ [a, b], to
|D| =
b
Z
a
f (x) dx.
b) Jeśli f (x) ¬ 0 dla każdego x ∈ [a, b], to
|D| = −
b
Z
a
f (x) dx.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
30
5.3. Funkcja górnej granicy całkowania, wzór Newtona-
Leibniza
Definicja 5.13.
Niech f ∈ R[a, b]. Funkcję F : [a, b] → R określoną wzorem
F (x)
def
=
x
Z
a
f (t) dt
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 5.14.
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna na [a, b], to funkcja górnej granicy całkowa-
nia F jest ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w punkcie x
0
∈ [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna
w x
0
oraz
F
0
(x
0
) = f (x
0
).
Twierdzenie 5.15 (Newtona-Leibniza).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b], to
b
Z
a
f (x) dx = G(b) − G(a),
gdzie G jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale [a, b].
Uwaga 5.16.
(1) Zamiast G(b) − G(a) piszemy najczęściej [G(x)]
b
a
lub G(x)|
b
a
.
(2) Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność funkcji f oraz
istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].
5.4. Metody obliczania całek oznaczonych
Twierdzenie 5.17 (o całkowaniu przez części).
Niech f, g : [a, b] → R. Jeśli funkcje f, g mają ciągłe
pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór
b
Z
a
f (x)g
0
(x) dx = [f (x)g(x)]
b
a
−
b
Z
a
f
0
(x)g(x) dx.
Twierdzenie 5.18 (o całkowaniu przez podstawienie).
Załóżmy, że
(1) funkcja g : [a, b]
na
→ [α, β] ma ciągłą pochodną na [a, b],
(2) g(a) = α, g(b) = β,
(3) funkcja f : [α, β] → R jest ciągła na [α, β].
Wówczas zachodzi wzór
b
Z
a
f (g(x))g
0
(x) dx =
β
Z
α
f (t) dt.
Twierdzenie 5.19 (całka funkcji parzystej i nieparzystej).
Niech a ∈ (0, +∞) oraz f ∈ R[−a, a].
a) Jeśli f jest parzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x) dx = 2
a
Z
0
f (x) dx;
b) Jeśli f jest nieparzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x) dx = 0.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
31
5.5. Całki niewłaściwe
W paragrafie tym podamy definicje całki oznaczonej na przedziale nieograniczonym i całki z funkcji
nieograniczonej.
Definicja 5.20 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju).
Niech f : [a, +∞) → R będzie funkcją całkowalną
na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie β > a. Granicę
lim
β→+∞
β
Z
a
f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą
funkcji f na przedziale [a, +∞) i oznaczamy przez
∞
Z
a
f (x) dx. Zatem
∞
Z
a
f (x) dx
def
=
lim
β→+∞
β
Z
a
f (x) dx.
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica
jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞, b] :
b
Z
−∞
f (x) dx
def
=
lim
α→−∞
b
Z
α
f (x) dx.
Ponadto przyjmujemy, że
∞
Z
−∞
f (x) dx
def
=
c
Z
−∞
f (x) dx +
∞
Z
c
f (x) dx,
gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie
są zbieżne.
Definicja 5.21 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju).
Niech f : [a, b) → R będzie funkcją całkowalną na
każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, oraz nieograniczoną w każdym lewostronnym sąsiedztwie
punktu b. Granicę lim
β→b
−
β
Z
a
f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale
[a, b) i oznaczamy przez
b
Z
a
f (x) dx. Zatem
b
Z
a
f (x) dx
def
= lim
β→b
−
β
Z
a
f (x) dx.
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest niewłaściwa
lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f : (a, b] → R nieograniczonej w każdym prawostronnym
sąsiedztwie punktu a:
b
Z
a
f (x) dx
def
= lim
α→a
+
b
Z
α
f (x) dx.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
32
• Jeśli f jest jednocześnie nieograniczona w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b i w każdym
prawostronnym sąsiedztwie punktu a, to przyjmujemy
b
Z
a
f (x) dx
def
=
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
gdzie c jest dowolną stałą z przedziału (a, b).
• Jeśli f jest nieograniczona w każdym sąsiedztwie punktu x
0
∈ (a, b), to
b
Z
a
f (x) dx
def
=
x
0
Z
a
f (x) dx +
b
Z
x
0
f (x) dx.
W obu przypadkach mówimy, że tak zdefniowane całki są zbieżne, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie są zbieżne.
W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można stosować
przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy dana całka niewłaściwa
jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
Twierdzenie 5.22 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych).
Załóżmy, że funkcje
f, g : [a, b) → R są całkowalne na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, przy czym b = +∞ lub
f i g są nieograniczone w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.
a) Jeśli
V
x∈[a,b)
|f (x)| ¬ g(x)
i całka
b
Z
a
g(x) dx jest zbieżna, to całka
b
Z
a
f (x) dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna jest również
całka
b
Z
a
|f (x)| dx).
b) Jeśli
V
x∈[a,b)
f (x) g(x) 0
i całka
b
Z
a
g(x) dx jest rozbieżna, to całka
b
Z
a
f (x) dx jest rozbieżna.
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek niewłaściwych funkcji określonych na przedziale (a, b].
Uwaga 5.23. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto zachodzi
nierówność
b
Z
a
f (x) dx
¬
b
Z
a
|f (x)| dx.
Twierdzenie 5.24 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych).
Niech n
0
∈ N. Jeśli funkcja
f : [n
0
, +∞) → (0, +∞) jest nierosnąca, to
∞
X
n=n
0
f (n) jest zbieżny
⇔
∞
Z
n
0
f (x) dx jest zbieżna.
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
33
5.6. Zastosowania całki oznaczonej w geometrii
A. POLE OBSZARU
• Pole trapezu krzywoliniowego (opis parametryczny). Niech dana krzywa będzie określona rów-
naniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],
gdzie x(t) jest funkcją ściśle monotoniczną i posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [α, β], zaś y(t)
jest funkcją ciągłą na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem danej krzywej oraz
prostymi x = x(α), x = x(β) i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru wyraża się wzorem
|D| =
β
Z
α
y(t)x
0
(t)
dt.
• Pole obszaru normalnego. W przypadku, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Ox, tzn.
D = {(x, y) ∈ R
2
: a ¬ x ¬ b ∧ f (x) ¬ y ¬ g(x)},
gdzie f, g są funkcjami ciągłymi na [a, b], to
|D| =
b
Z
a
(g(x) − f (x)) dx.
Jeśli natomiast D jest obszarem normalnym względem osi Oy, tzn.
D = {(x, y) ∈ R
2
: c ¬ y ¬ d ∧ l(y) ¬ x ¬ p(y)},
gdzie l, p są funkcjami ciągłymi na [c, d], to
|D| =
d
Z
c
(p(y) − l(y)) dy.
• Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych biegunowych
równaniem
r = f (θ), θ ∈ [α, β],
gdzie f jest funkcją nieujemną ciągłą na przedziale [α, β] (0 < β − α < 2π). Wówczas pole obszaru D
ograniczonego łukiem danej krzywej oraz promieniami wodzącymi r
α
i r
β
wyraża się wzorem
|D| =
1
2
β
Z
α
(f (θ))
2
dθ.
B. DŁUGOŚĆ ŁUKU
• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],
przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem
|l| =
β
Z
α
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt.
• W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l :
y = f (x), x ∈ [a, b],
2009, E. Kotlicka
5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
34
gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
|l| =
b
Z
a
q
1 + (f
0
(x))
2
dx.
• Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych
r = f (θ), θ ∈ [α, β],
przy czym funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów wielokrotnych,
to jego długość |l| wyraża się wzorem
|l| =
β
Z
α
q
(f (θ))
2
+ (f
0
(θ))
2
dθ.
C. OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZGNI BOCZNEJ BRYŁY OBROTOWEJ
Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Niech
V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S – powierzchnią boczną tej bryły.
• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],
przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], funkcja x(t) jest ściśle monoton-
iczna, zaś funkcja y(t) – nieujemna na przedziale [α, β], to objętość |V | bryły V oraz pole |S| powierzchni
S wyrażają się wzorami
|V | = π
β
Z
α
(y(t))
2
x
0
(t)
dt,
|S| = 2π
β
Z
α
y(t)
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt.
• W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l :
y = f (x), x ∈ [a, b],
gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
|V | = π
b
Z
a
(f (x))
2
dx,
|S| = 2π
b
Z
a
f (x)
q
1 + (f
0
(x))
2
dx.
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE
35
6. SZEREGI LICZBOWE
6.1. Szeregi liczbowe - podstawowe definicje
Definicja 6.1.
Niech (a
n
) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
• Liczbę S
n
, gdzie
S
n
def
= a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
,
nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a
n
).
• Ciąg (S
n
) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a
n
.
Definicja 6.2.
• Jeśli istnieje skończona granica
S = lim
n→∞
S
n
,
to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.
Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem
∞
X
n=1
a
n
.
• Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.
Uwaga 6.3. Symbolem
∞
X
n=1
a
n
(lub krótko
X
a
n
) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie a
n
, jak
i jego sumę.
Definicja 6.4.
Niech q ∈ R. Szereg postaci
∞
X
n=1
q
n
nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.
Twierdzenie 6.5.
Szereg geometryczny jest zbieżny ⇔ |q| < 1.
Definicja 6.6.
Niech α ∈ R. Szereg postaci
∞
X
n=1
1
n
α
nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α.
Twierdzenie 6.7.
Szereg harmoniczny jest zbieżny ⇔
α > 1.
Twierdzenie 6.8.
Niech n
0
∈ N. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny ⇔ szereg
∞
X
n=n
0
a
n
jest zbieżny.
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE
36
Twierdzenie 6.9.
Jeśli szeregi
∞
X
n=1
a
n
i
∞
X
n=1
b
n
są zbieżne, to
a) szereg
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
) jest zbieżny oraz
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
) =
∞
X
n=1
a
n
+
∞
X
n=1
b
n
,
b) szereg
∞
X
n=1
ca
n
, gdzie c ∈ R, jest zbieżny oraz
∞
X
n=1
ca
n
= c
∞
X
n=1
a
n
.
Twierdzenie 6.10 (warunek konieczny zbieżności szeregu).
.
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny, to lim
n→∞
a
n
= 0.
Uwaga 6.11. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 6.12.
Szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny ⇔ spełnia warunek Cauchy’ego, tzn.
V
ε>0
W
K∈N
V
m,n∈N
[m > n K ⇒ |a
n+1
+ a
n+2
+ · · · + a
m
| < ε].
Twierdzenie 6.13 (o zagęszczaniu).
.
Załóżmy, że (a
n
) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny ⇔ szereg
∞
X
n=1
2
n
a
2
n
jest zbieżny.
6.2. Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów liczbowych
Twierdzenie 6.14 (kryterium bezwzględnej zbieżności).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
|a
n
| jest zbieżny, to zbieżny
jest szereg
∞
X
n=1
a
n
.
Uwaga 6.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Definicja 6.16.
• Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg
∞
X
n=1
|a
n
| .
• Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
a
n
jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.
Twierdzenie 6.17.
Każdy szereg
∞
X
n=1
a
n
bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji
(k
n
) liczb naturalnych szereg
∞
X
n=1
a
k
n
jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE
37
Twierdzenie 6.18 (Riemanna).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S ∈ R
istnieje permutacja (k
n
) liczb naturalnych taka, że
S =
∞
X
n=1
a
k
n
.
6.3. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbo-
wych
Twierdzenie 6.19 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych).
Załóżmy, że
V
n∈N
0 ¬ a
n
¬ b
n
.
a) Jeśli
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny.
b) Jeśli
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny, to szereg
∞
X
n=1
b
n
jest rozbieżny.
Wniosek 6.20 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli
V
n∈N
|a
n
| ¬ b
n
oraz szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny bezwzględnie.
Twierdzenie 6.21 (kryterium ilorazowe).
Załóżmy, że a
n
, b
n
> 0 dla n ∈ N, ciąg (
a
n
b
n
) jest zbieżny oraz
lim
n→∞
a
n
b
n
> 0. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny ⇔ szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny.
Twierdzenie 6.22 (kryterium Cauchy’ego).
Niech g = lim
n→∞
n
p
|a
n
|. Wówczas
a) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny,
b) jeśli 1 < g ¬ ∞, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Twierdzenie 6.23 (kryterium d’Alamberta).
Załóżmy, że a
n
6= 0 dla n ∈ N oraz g = lim
n→∞
a
n+1
a
n
.
Wówczas
a) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny,
b) jeśli 1 < g ¬ ∞, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE
38
Twierdzenie 6.24 (kryterium Raabego).
Załóżmy, że a
n
> 0 dla n ∈ N oraz g = lim
n→∞
n(
a
n
a
n+1
− 1).
Wówczas
a) jeśli g > 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny,
b) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Twierdzenie 6.25 (kryterium Dirichleta).
Jeśli
a) ciąg (a
n
) jest monotonicznie zbieżny do 0,
b) ciąg (S
n
) sum częściowych szeregu
∞
X
n=1
b
n
jest ograniczony,
to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
Wniosek 6.26 (kryterium Leibniza).
Twierdzenie 6.27 (kryterium Abela).
Jeśli
a) ciąg (a
n
) jest monotoniczny i ograniczony,
b) szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny,
to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
2009, E. Kotlicka
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
39
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
7.1. Ciągi funkcyjne
Niech X ⊂ R i X 6= ∅. W rozdziale tym zakładamy, że f
n
: X → R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.
Definicja 7.1.
• Ciąg (f
n
), którego wyrazami są funkcje f
n
, nazywamy ciągiem funkcyjnym.
• Zbiór {x ∈ X : ciąg liczbowy (f
n
(x)) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności ciągu (f
n
).
Definicja 7.2.
• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f
n
) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
f
n
E
→ f,
gdy
V
x∈E
lim
n→∞
f
n
(x) = f (x).
Funkcję f nazywamy granicą punktową ciągu (f
n
) na zbiorze E.
• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f
n
) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
f
n
E
⇒ f,
gdy
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
V
x∈E
|f
n
(x) − f (x)| < ε.
Funkcję f nazywamy granicą jednostajną ciągu (f
n
) na zbiorze E.
Twierdzenie 7.3.
Jeśli f
n
E
⇒ f, to f
n
E
→ f .
Twierdzenie 7.4.
Niech M
n
= sup{|f
n
(x) − f (x)| : x ∈ E} dla n ∈ N. Wówczas
f
n
E
⇒ f
⇔
lim
n→∞
M
n
= 0.
7.2. Szeregi funkcyjne
Niech X ⊂ R i X 6= ∅. Załóżmy, że f
n
: X → R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.
Definicja 7.5.
Niech (f
n
) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech
V
x∈X
S
n
(x)
def
= f
1
(x) + f
2
(x) + · · · + f
n
(x).
• Ciąg funkcyjny (S
n
) nazywamy szeregiem funkcyjnym
o wyrazie ogólnym f
n
i oznaczamy przez
∞
X
n=1
f
n
.
• Zbiór {x ∈ X : szereg liczbowy
∞
X
n=1
f
n
(x) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności danego szeregu
funkcyjnego.
2009, E. Kotlicka
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
40
Definicja 7.6.
Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
f
n
jest
• bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg
∞
X
n=1
|f
n
(x)| jest zbieżny dla x ∈ E,
• punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S
n
) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy szereg
∞
X
n=1
f
n
(x)
jest zbieżny dla x ∈ E),
• jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S
n
) jest jednostajnie zbieżny na E.
Granicę punktową ciągu (S
n
) nazywamy sumą szeregu i oznaczamy przez
∞
X
n=1
f
n
.
Twierdzenie 7.7 (kryterium Weierstrassa).
Niech f
n
: X → R dla n ∈ N. Załóżmy, że
V
n∈N
V
x∈X
|f
n
(x)| ¬ a
n
oraz szereg liczbowy
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny
∞
X
n=1
f
n
jest bezwzględnie i jednostajnie
zbieżny na X.
7.3. Szeregi potęgowe.
Definicja 7.8.
Niech x
0
∈ R oraz niech (a
n
)
∞
n=0
będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
Szereg funkcyjny postaci
a
0
+
∞
X
n=1
a
n
(x − x
0
)
n
, x ∈ R,
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x
0
i współczynnikach a
n
.
Twierdzenie 7.9 (Abela).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
x
n
jest zbieżny w punkcie x
1
6= 0, to jest bezwzględnie zbieżny
w przedziale (− |x
1
| , |x
1
|).
Definicja 7.10.
• Promieniem zbieżności szeregu
∞
X
n=1
a
n
x
n
nazywamy liczbę R > 0 taką, że szereg potęgowy jest zbieżny
w przedziale (−R, R), zaś rozbieżny w zbiorze (−∞, R) ∪ (R, +∞).
• Przyjmujemy, że R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0 oraz R = +∞, gdy szereg jest
zbieżny dla wszystkich x ∈ R.
• Przedział (−R, R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie 7.11 (Cauchy’ego-Hadamarda).
Jeśli istnieje granica lim
n→∞
n
p
|a
n
| = g, to szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
ma promień zbieżności
R =
1/g,
gdy
0 < g < +∞,
0,
gdy
g = +∞,
+∞,
gdy
g = 0.
2009, E. Kotlicka
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
41
Twierdzenie 7.12 (d’Alemberta).
Jeśli a
n
6= 0 dla n ∈ N oraz istnieje granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= g, to szereg
potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
ma promień zbieżności
R =
1/g,
gdy
0 < g < +∞,
0,
gdy
g = +∞,
+∞,
gdy
g = 0.
Twierdzenie 7.13.
Szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale
domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.
7.4. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych
Twierdzenie 7.14.
Niech f
n
: [a, b] → R będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli
∞
X
n=1
f
n
jest zbieżny jednos-
tajnie na [a, b], to
a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x
0
∈ [a, b] zachodzi równość
lim
x→x
0
∞
X
n=1
f
n
(x) =
∞
X
n=1
lim
x→x
0
f
n
(x);
b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz
b
Z
a
∞
X
n=1
f
n
(x)
!
dx =
∞
X
n=1
b
Z
a
f
n
(x)dx.
Twierdzenie 7.15.
Niech f
n
: [a, b] → R, n ∈ N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b]. Jeśli
∞
X
n=1
f
n
jest zbieżny, zaś szereg
∞
X
n=1
(f
n
)
0
jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu funkcyjnego jest funkcją
różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x ∈ [a, b] zachodzi równość
∞
X
n=1
f
n
(x)
!
0
=
∞
X
n=1
f
0
n
(x).
Wniosek 7.16. Niech (a
n
) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
ma promień
zbieżności R, to dla dowolnego x ∈ (−R, R) mamy
x
Z
0
∞
X
n=1
a
n
t
n
!
dt =
∞
X
n=1
a
n
n + 1
x
n+1
oraz
∞
X
n=1
a
n
x
n
!
0
=
∞
X
n=1
a
n
nx
n−1
,
przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień zbieżności jak
dany szereg.
2009, E. Kotlicka
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
42
7.5. Szereg Taylora i Maclaurina
Definicja 7.17.
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x
0
∈ (a, b).
Szereg potęgowy postaci
f (x
0
) +
∞
X
n=1
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
,
x ∈ (a, b),
nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x
0
. Jeśli x
0
= 0, to szereg ten nazy-
wamy szeregiem Maclaurina odpowiadającym funkcji f .
Twierdzenie 7.18.
Jeśli funkcja f : (a, b) → R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x
0
∈ (a, b) oraz
(1)
lim
n→∞
R
n
(x) = 0
dla x ∈ (a, b),
gdzie R
n
(x) oznacza resztę we wzorze Taylora odpowiadającym funkcji f , to szereg Taylora odpowiadający
funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość
f (x) = f (x
0
) +
∞
X
n=1
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
dla x ∈ (a, b).
Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy x
0
= 0).
Uwaga 7.19. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone
na przedziale (a, b).
Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji
e
x
=
∞
X
n=0
x
n
n!
, x ∈ R
sin x =
∞
X
n=0
(−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
, x ∈ R
cos x =
∞
X
n=0
(−1)
n
x
2n
(2n)!
, x ∈ R
1
1 − x
=
∞
X
n=0
x
n
, x ∈ (−1, 1)
7.6. Szereg Fouriera
Niech T oznacza dowolną liczbę dodatnią.
Definicja 7.20.
Niech (a
n
)
∞
n=0
, (b
n
)
∞
n=1
będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygonometrycznym
nazywamy szereg postaci
a
0
2
+
∞
X
n=1
(a
n
cos
nπx
T
+ b
n
sin
nπx
T
),
x ∈ R.
Uwaga 7.21. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o okresie 2T , więc
jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [−T, T ], to jego suma ma również okres 2T i szereg jest zbieżny do
niej na R.
2009, E. Kotlicka
7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
43
Twierdzenie 7.22 (wzory Eulera-Fouriera).
Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie zbieżny na
przedziale [−T, T ] i f jest jego sumą, to
a
n
=
1
T
T
Z
−T
f (x) cos
nπx
T
dx,
n = 0, 1, 2, . . . ,
b
n
=
1
T
T
Z
−T
f (x) sin
nπx
T
dx,
n = 1, 2, . . . .
Definicja 7.23.
Załóżmy, że f : [−T, T ] → R jest funkcją całkowalną na przedziale [−T, T ]. Szereg try-
gonometryczny, w którym współczynniki a
n
, b
n
są określone powyższymi wzorami nazywamy szeregiem
Fouriera odpowiadającym funkcji f .
Definicja 7.24.
Mówimy, że funkcja f : [−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki Dirichleta,
gdy
(1) f (−T ) = f (T ) =
f (−T
+
) + f (T
−
)
2
,
(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie nieciągłości
x
0
∈ (−T, T ) zachodzi warunek:
f (x
0
) =
f (x
−
0
) + f (x
+
0
)
2
,
(3) istnieje podział przedziału [−T, T ]
−T = t
0
< t
1
< · · · < t
k−1
< t
k
= T,
k ∈ N,
taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (t
i−1
, t
i
), i = 1, ..., k.
Twierdzenie 7.25.
Jeśli funkcja f : [−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki Dirichleta, to
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
(a
n
cos
nπx
T
+ b
n
sin
nπx
T
),
x ∈ [−T, T ],
gdzie współczynniki a
n
, b
n
są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest rozwijalna w
szereg Fouriera na przedziale [−T, T ].
2009, E. Kotlicka