1. J. Chmaj: Rachunek różniczkowy i całkowy. Teoria, przykłady, ćwiczenia.
Podręcznik dla studentów.
2. T. Traczyk: Elementy matematyki wyższej. Podręcznik dla studentów farmacji.
3. W. Krysicki, W. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II.
PODRĘCZNIKI
WŁASNOŚCI POTĘGOWANIA
Jeśli a, b są liczbami dowolnymi, a n i m naturalnymi oraz a ≠ 0, b ≠ 0, to:
gdy n jest parzyste
gdy n jest nieparzyste
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
(
)
n
n
a
=
a
-
(
)
n
n
a
=
a
-
-
m
+
n
m
n
a
=
a
a *
mm-j
gdy n > m
m
n
m
n
a
=
a
a
-
( )
nm
m
n
a
=
a
(
)
n
n
n
b
a
=
ab
n
n
n
b
a
=
)
b
a
(
Dla dowolnych liczb a, b > 0 oraz m, n całkowitych dodatnich zachodzą następujące
równości:
bo
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI PIERWIASTKOWANIA
(
)
m
n
n
m
a
=
a
nm
n m
a
=
a
=
a
n m
=
)
a
(
n
1
m
1
=
a
mn
1
mn
a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
Niech a będzie liczbą dodatnią, a m i n liczbami naturalnymi:
n
n
n
b
a
=
ab
bo
=
b
a
n
1
n
1
=
)
ab
(
n
1
n
ab
n
n
n
b
a
=
b
a
n
m
n
m
a
=
a
1
=
a
0
Dla dowolnych m i a > 0:
m
m
a
1
=
a
-
PRZYKŁAD 1/12
=
10
2
3
=
10
2
3
10
10
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKŁAD 2/12
=
10
1
-
=
10
1
1
,
0
PRZYKŁAD 3/12
=
10
3
-
=
1000
1
001
,
0
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ – WŁASNOŚCI (POWTÓRZENIE)
Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien – dokładnie
Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowano pewien – dokładnie
określony – element y zbioru Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona
funkcja o wartościach w zbiorze Y
( )
x
f
=
y
Y
X
:
f
→
f – określona na zbiorze X funkcja
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
element x ze zbioru X – argument funkcji
element y ze zbioru Y – wartość funkcji f w punkcie x
zbiór X – zbiór argumentów lub dziedzina funkcji
zbiór Y – zbiór wartości lub przeciwdziedzina funkcji
FUNKCJE ZŁOŻONE I ODWROTNE
Niech funkcja f: X→
→
→
→Y, g: Y→
→
→
→Z oraz h: X→
→
→
→Z. Odwzorowanie h nazywamy funkcją
złożoną z funkcji f i g i piszemy h = g ○ f lub h(x) = g(f(x)).
PRZYKŁAD 4/12
( )
1
+
x
2
=
x
f
( )
2
x
=
x
g
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
Funkcją odwrotną do funkcji f: X→
→
→
→Y jest funkcja f
-1
: Y→
→
→
→X
( )
(
)
( )
1
+
x
2
=
x
g
f
=
g
f
2
o
( )
(
)
(
)
2
1
+
x
2
=
x
f
g
=
f
g o
PRZYKŁAD 5/12
⇒
x
3
=
y
3
y
=
x
3
x
=
y
1
-
FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Funkcją parzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdegox∈
∈
∈
∈X: f(x) = f(-x)
Funkcją nieparzystą nazywamy funkcję f jeżeli dla każdego x∈
∈
∈
∈X: f(-x) = -f(x)
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a nieparzystej względem
początku układu współrzędnych.
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE MONOTONICZNE
Mówimy, że funkcja f(x) jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeżeli jest w całym
przedziale (a, b) rosnąca, bądź w całym przedziale (a, b) malejąca
Funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze X, gdy dla każdych x
1
, x
2
∈
∈
∈
∈ X z faktu
x
1
< x
2
wynika, że f(x
1
) < f(x
2
) (f(x
1
) > f(x
2
))
FUNKCJE LINIOWE
Funkcję liniową nazywamy każdą funkcję określoną równaniem y = mx + b;
m, b, x ∈
∈
∈
∈ R
Równanie y = mx + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.
m – współczynnik kierunkowy prostej (m = tgα
α
α
α)
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
y = mx
x
y
α
α
α
α
x
y
x
0
y
0
0
l
FUNKCJE KWADRATOWE
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję określoną równaniem y = ax
2
+ bx + c,
a ≠
≠
≠
≠ 0; b, c, x ∈
∈
∈
∈ R
-2
1
4
-3
0
3
x
y
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE POTĘGOWE
Funkcją potęgową nazywamy funkcję f(x) = x
α
α
α
α
α
α
α
α – dowolna, różna od zera liczba rzeczywista
PRZYKŁAD 6/12
,
x
=
y
Narysuj wykres funkcji:
0
≥
≥
≥
≥
x
:
D
y
x
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
FUNKCJE WYKŁADNICZE
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję f(x) = a
x
a – dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a ∈
∈
∈
∈ R+ \ {1}, x ∈
∈
∈
∈ R
a>1
0<a<1
y
0<a<1
x
Logarytmem liczby b ∈
∈
∈
∈ R
+
przy podstawie a ∈
∈
∈
∈ R
+
\ {1} nazywamy wykładnik potęgi,
do której należy podnieść a, żeby otrzymać liczbę b.
c
=
b
log
a
⇔
b
=
a
c
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
b
=
a
b
log
a
Dla dowolnej liczby a > 0, a
0
= 1, więc:
0
=
1
log
a
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję:
a – dowolna, różna od jedynki, dodatnia liczba rzeczywista, tzn. a ∈
∈
∈
∈ R
+
\ {1}, x ∈
∈
∈
∈ R
+
( )
x
log
=
x
f
a
,
x
log
=
y
a
x
=
a
y
3
a>1
-3
-2
-1
0
1
2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
a>1
0<a<1
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKŁAD 7/12
4
=
16
log
2
⇒
16
=
2
4
WŁASNOŚCI LOGARYTMÓW
logarytm iloczynu dwu liczb równy jest sumie logarytmów tych liczb:
=
)
bc
(
log
a
c
log
+
b
log
a
a
Dowód:
m
=
b
log
a
⇒
b
=
a
m
n
=
c
log
a
⇒
c
=
a
n
=
bc
=
a
a
n
m
n
+
m
a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
bo
(
) =
bc
log
a
(
)
=
a
a
log
n
m
a
=
a
log
n
+
m
a
n
+
m
b
=
a
log
b
a
logarytm ilorazu dwu liczb równy jest różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:
=
c
b
log
a
c
log
b
log
a
a
Dowód:
m
=
b
log
a
⇒
b
=
a
m
=
b
1
log
a
m
⇒
=
a
m
=
a
1
m
b
1
=
c
b
log
a
=
c
1
b
log
a
c
1
log
+
b
log
a
a
=
c
1
log
a
=
c
log
1
a
c
log
a
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
logarytm potęgi pewnej liczby jest równy iloczynowi jej logarytmu przez wykładnik
potęgi
=
c
1
log
+
b
log
a
a
b
log
a
c
log
a
=
c
b
log
a
b
log
a
c
log
a
=
b
log
n
a
=
b
...
bb
log
a
=
b
log
+
...
+
b
log
+
b
log
a
a
a
b
log
n
a
PRZYKŁAD 8/12
=
b
log
3
a
=
b
log
3
1
a
b
log
3
1
a
ZAMIANA PODSTAWY LOGARYTMU
Niech m = log
a
b, n = log
a
c. Ile wynosi log
c
b?
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
z def. logarytmu: c = a
n
, skąd a = c
1/n
b
log
=
m
a
⇒
⇒
⇒
⇒
m
a
=
b
=
a
=
b
m
=
)
c
(
m
n
1
n
m
c
n
m
c
=
b
⇒
⇒
⇒
⇒
n
m
=
b
log
c
=
n
m
=
b
log
c
c
log
b
log
a
a
Logarytm dziesiętny jest to logarytm o podstawie 10:
LOGARYTM DZIESIĘTNY
a
lg
=
a
log
10
LOGARYTM NATURALNY
Logarytm naturalny jest to logarytm o podstawie liczby e będącej granicą ciągu
o wyrazie ogólnym:
n
)
n
1
+
1
(
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
Korzystając z wzoru na zmianę podstaw logarytmów
otrzymujemy:
b
ln
=
b
log
e
n
n
)
n
1
+
1
(
lim
=
e
∞
→
...
7182818285
,
2
≈
≈
≈
≈
=
a
lg
=
10
log
a
log
e
e
10
ln
a
ln
a
lg
a
ln
43
,
0
≈
≈
≈
≈
a
ln
a
lg
3
,
2
≈
≈
≈
≈
PRZYKŁAD 9/12
=
)
3
1
(
*
)
)
3
1
(
:
)
3
1
((
3
5
8
=
)
3
1
(
*
)
3
1
(
3
5
8
=
)
3
1
(
3
+
3
6
)
3
1
(
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
PRZYKŁAD 10/12
=
)
4
*
8
(
12
4
=
)
4
*
8
(
12
4
/
1
=
)
)
2
(
*
2
(
12
4
/
1
2
3
=
)
2
*
2
(
12
4
/
2
3
=
)
2
(
=
)
2
(
12
2
/
7
12
2
/
1
+
3
42
2
PRZYKŁAD 11/12
=
11
log
+
7
log
2
2
1
=
7
log
2
1
=
2
1
log
7
log
2
2
=
1
7
log
2
7
log
2
2
log
2
1
+
7
log
2
=
11
log
2
=
7
log
11
log
2
2
7
11
log
2
PRZYKŁAD 12/12
(
)
x
log
5
,
0
log
=
x
+
5
,
0
log
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
:
D
f
0
>
x
+
5
,
0
⇒
5
,
0
>
x
0
>
x
(
)
∞
∈
+
,
0
x
(
)
x
5
,
0
log
=
x
+
5
,
0
log
=
x
+
2
1
x
2
1
x
2
*
/
1
=
x
2
+
x
2
0
=
1
x
+
x
2
2
ac
4
b
=
∆
2
⇒
⇒
⇒
⇒
;
9
=
∆
3
=
∆
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
a
2
∆
b
=
x
1
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
4
3
1
=
x
1
nie należy do Df (∉
∉
∉
∉ Df)
2
1
=
a
2
∆
+
b
=
x
2
należy do Df (∈
∈
∈
∈ Df)
MATEMATYKA_FARMACJA (FUNKCJE, LOGARYTMY_POWTÓRZENIE)
mm-j
Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x
0
dla przyrostu ∆
∆
∆
∆x zmiennej niezależnej:
lub
f – określona w pewnym otoczeniu U punktu x
0
∆
∆
∆
∆x – przyrost zmiennej niezależnej (dowolna, różna od zera liczba rzeczywista);
x
0
+ ∆
∆
∆
∆x ∈
∈
∈
∈ U
ILORAZ RÓŻNICOWY
(
) ( )
x
∆
x
f
x
∆
+
x
f
=
x
∆
f
∆
0
0
-
(
) ( )
h
x
f
h
+
x
f
=
h
f
∆
0
0
-
POCHODNA FUNKCJI - WPROWADZENIE
∆
∆
∆
∆f – przyrost wartości funkcji f dla przyrostu ∆
∆
∆
∆x: ∆
∆
∆
∆f = f(x
0
+ ∆
∆
∆
∆x) – f(x
0
)
Pochodną funkcji w punkcie x
0
nazywamy granicę:
DEFINICJA POCHODNEJ
RÓŻNICZKOWANIE – ODNAJDYWANIE POCHODNEJ
(
) ( )
( )
0
0
0
0
x
∆
0
x
∆
x
'
f
=
x
∆
x
f
x
∆
+
x
f
lim
=
x
∆
f
∆
lim
-
→
→
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
f – określona w pewnym otoczeniu U punktu x
0
istnieje skończona granica
gdzie α
α
α
α jest kątem nachylenia stycznej do wykresu funkcji do osi OX
funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x
0
jeśli istnieje pochodna funkcji f w tym
punkcie
funkcja f różniczkowalna w punkcie x
0
jest w tym punkcie ciągła
( )
α
tg
=
x
'
f
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
Obliczyć f’(x
0
) jeśli f(x) = x
2
+ x
PRZYKŁAD 1/18
=
x
∆
f
∆
lim
0
x
∆ →
(
)
x
∆
)
x
+
x
x
∆
+
x
+
x
∆
+
x
lim
0
2
0
0
2
0
0
x
∆
(
-
→
=
x
∆
x
x
x
∆
+
x
+
x
∆
+
x
∆
x
2
+
x
lim
0
2
0
0
2
0
2
0
0
x
∆
-
-
→
x
∆
x
∆
+
x
∆
+
x
∆
x
2
lim
2
0
0
x
∆ →
1
+
x
2
=
x
∆
)
1
+
x
∆
+
x
2
(
x
∆
lim
0
0
0
x
∆ →
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
=
'
x
,
1
R
x ∈
( )
[
]
=
'
x
cf
( )
x
'
cf
Dowód:
=
)]'
x
(
cf
[
=
x
∆
)
x
(
cf
)
x
∆
+
x
(
cf
lim
0
x
∆
-
→
=
x
∆
)
x
(
f
)
x
∆
+
x
(
f
c
lim
0
x
∆
-
→
)
x
(
'
cf
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
- pochodna iloczynu funkcji
- pochodna ilorazu funkcji
( )
( )
[
]
=
'
x
g
±
x
f
( )
( )
x
'
g
±
x
'
f
- pochodna sumy (różnicy) funkcji
Dowód:
( )
=
)]'
x
(
g
±
x
f
[(
=
x
∆
))
x
(
g
+
)
x
(
f
(
±
)
x
∆
+
x
(
g
+
)
x
∆
+
x
(
f
lim
0
x
∆ →
=
x
∆
)
x
(
g
)
x
∆
+
x
(
g
±
x
∆
)
x
(
f
)
x
∆
+
x
(
f
lim
0
x
∆
-
-
→
)
x
(
'
g
±
)
x
(
'
f
( ) ( )
[
]
=
'
x
g
x
f
( ) ( )
( ) ( )
x
'
g
x
f
+
x
g
x
'
f
( )
( )
=
]'
x
g
x
f
[
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
)
2
x
g
x
'
g
x
f
x
g
x
'
f
-
=
)'
x
(
a
1
a
ax
-
}
0
{
\
R
x
},
0
{
\
N
a
{
∈
∈
}
R
x
,
N
\
R
a
{
+
∈
∈
=
)'
c
(
,
0
R
c ∈
=
)'
a
(
x
,
a
ln
a
x
+
R
a ∈
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
(
)
=
'
e
x
x
e
=
)'
x
(log
a
,
a
ln
x
1
+
+
R
x
},
1
{
\
R
a
∈
∈
=
)'
x
(ln
,
x
1
+
R
x ∈
=
)'
x
(
2
,
x
2
1
0
>
x
=
)'
x
a
(
,
x
a
2
-
}
0
{
\
R
x ∈
=
)'
x
(sin
x
cos
=
)'
x
(cos
x
sin
-
=
)'
tgx
(
,
x
cos
1
2
0
x
cos
≠
=
)'
ctgx
(
,
x
sin
1
2
-
0
x
sin
≠
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
=
)'
x
(arcsin
,
x
1
1
2
-
)
1
,
1
(
x ∈
=
)'
x
(arccos
,
x
1
1
2
-
-
)
1
,
1
(
x ∈
=
)'
arctgx
(
2
x
+
1
1
=
)'
arcctgx
(
2
x
+
1
1
-
Pochodną funkcji pochodnej danej funkcji y = f(x) nazywamy pochodną drugiego rzędu
funkcji y = f(x) i oznaczamy symbolem Leibnitza:
lub y’’ = f’’(x)
Pochodną n-tego rzędu oznaczamy symbolem y
(n)
= f
(n)
(x) lub
f’(x), f’’(x), _
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
2
2
dx
y
d
n
n
dx
y
d
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
Oblicz y’(0), y’(1/2) funkcji y(x) = 2 + x – x
2
PRZYKŁAD 2/18
x
2
1
=
)
x
(
'
y
-
,
1
=
)
0
(
'
y
0
=
)
2
1
(
'
y
PRZYKŁAD 3/18
Ile wynosi zmienna x, gdy y’(x) = 0?
x
2
2
x
+
3
x
=
)
x
(
y
2
3
-
=
2
x
2
2
1
+
x
3
3
1
=
)
x
(
'
y
2
-
2
x
+
x
2
-
0
=
)
x
(
'
y
⇔
0
=
2
x
+
x
2
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 4/18
,
9
=
∆
3
=
∆
,
2
=
x
1
1
=
x
2
4
3
3
2
x
5
x
a
5
+
a
=
)
x
(
y
-
3
2
3
x
20
x
a
5
*
3
=
)
x
(
'
y
-
,
PRZYKŁAD 5/18
4
3
3
2
x
5
x
a
5
+
a
=
)
x
(
y
-
3
2
3
x
20
x
a
15
=
)
x
(
'
y
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 6/18
(
)
b
+
a
b
+
ax
=
)
x
(
y
(
) (
) (
)(
)
(
)
=
b
+
a
'
b
+
a
b
+
ax
b
+
a
'
b
+
ax
=
)
x
(
'
y
2
-
(
)
(
)
=
b
+
a
b
+
a
a
2
b
+
a
a
PRZYKŁAD 7/18
3
2
1
3
2
x
3
+
x
2
+
x
=
x
3
+
x
2
+
x
1
=
)
x
(
y
-
-
-
4
3
2
x
9
x
4
x
=
)
x
(
'
y
-
-
-
-
-
-
PRZYKŁAD 8/18
=
2
+
x
=
)
x
(
y
3
3
3
1
3
1
2
+
x
=
x
3
1
=
)
x
(
'
y
3
2
-
3
2
x
3
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 9/18
=
x
x
p
x
x
nx
+
x
mx
=
)
x
(
y
3
2
-
=
x
px
x
nxx
+
x
mx
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
-
-
-
-
2
1
-
- px
nx
+
mx
6
7
2
3
2
3
6
1
2
1
px
2
1
+
nx
6
7
+
mx
2
3
=
)
x
(
'
y
-
PRZYKŁAD 10/18
(
)
=
x
3
x
3
=
)
x
(
y
3
-
x
9
x
3
3
-
9
x
9
=
)
x
(
'
y
2
-
PRZYKŁAD 11/18
x
ln
+
x
log
+
3
log
=
)
x
(
y
4
x
1
+
4
ln
x
1
=
)
x
(
'
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 12/18
2
ln
x
=
)
x
(
y
2
(
)
(
)
=
'
2
ln
x
+
2
ln
'
x
=
)
x
(
'
y
2
2
2
ln
x
2
PRZYKŁAD 13/18
1
x
x
=
)
x
(
y
2
1
x
=
)
1
x
(
x
)
1
x
(
x
2
=
)
x
(
'
y
2
2
-
-
-
=
)
1
x
(
x
x
2
x
2
2
2
2
-
-
-
2
2
)
1
x
(
x
2
x
-
-
PRZYKŁAD 14/18
3
5
x
=
)
x
(
y
=
x
3
5
=
)
x
(
'
y
3
2
3
2
x
3
5
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 15/18
2
x
=
)
x
(
y
1
2
x
2
=
)
x
(
'
y
-
PRZYKŁAD 16/18
x
1
x
ln
=
)
x
(
y
-
=
)
x
1
(
)
1
(
x
ln
)
x
1
(
x
1
=
)
x
(
'
y
2
-
-
-
-
2
)
x
1
(
x
x
ln
x
+
x
1
-
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
PRZYKŁAD 17/18
x
ln
7
=
)
x
(
y
=
x
1
7
=
)
x
(
'
y
x
7
PRZYKŁAD 18/18
Oblicz y’’(x) funkcji:
1
x
1
=
)
x
(
y
-
(
)
2
1
x
1
=
)
x
(
'
y
-
-
=
)
1
x
(
)
1
x
(
2
*
1
=
)
x
(
'
'
y
4
-
-
3
)
1
x
(
2
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.1)
mm-j
i nosi nazwę pochodnej logarytmicznej funkcji f(x).
Pochodna funkcji złożonej y = lnf(x) wyraża się wzorem:
POCHODNA LOGARYTMICZNA
[
]
)
x
(
f
)
x
(
'
f
=
'
)
x
(
f
ln
PRZYKŁAD 1/18
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
x
a
=
y
ln
/*
x
a
ln
=
y
ln
a
ln
x
=
y
ln
/'
)'
a
(ln
x
+
a
ln
'
x
=
y
'
y
mm-j
a
ln
=
y
'
y
y
/*
a
ln
y
=
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
a
ln
a
=
'
y
x
PRZYKŁAD 2/18
x
x
=
y
ln
/*
x
x
ln
=
y
ln
x
ln
x
=
y
ln
/'
x
1
x
+
x
ln
=
y
'
y
y
/*
)
1
+
x
(ln
y
=
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
)
1
+
x
(ln
x
=
'
y
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 3/18
(
)
x
x
3
sin
=
y
ln
/*
(
)
x
x
3
sin
ln
=
y
ln
(
)
x
3
sin
ln
x
=
y
ln
/'
(
) +
x
3
sin
ln
x
2
1
=
y
'
y
(
)'
x
3
sin
x
3
sin
1
x
(
)
(
) =
3
x
3
cos
x
3
sin
1
x
+
x
3
sin
ln
x
2
1
=
y
'
y
(
)
x
3
sin
x
3
cos
3
x
+
x
3
sin
ln
x
2
1
(
)
x
3
ctg
x
3
+
x
2
x
3
sin
ln
=
y
'
y
y
/*
(
)
x
3
ctg
x
3
+
x
2
x
3
sin
ln
y
=
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
(
)
]
x
3
ctg
x
3
+
x
2
x
3
sin
ln
[
x
3
sin
=
'
y
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 4/18
x
x
2
sin
=
y
(
)
x
1
x
2
sin
=
y
ln
/*
(
)
x
1
x
2
sin
ln
=
y
ln
(
)
x
2
sin
ln
x
1
=
y
ln
/'
(
)
(
)
'
x
2
sin
x
2
sin
1
x
1
+
x
2
sin
ln
x
1
=
y
'
y
2
-
(
)
x
2
sin
x
2
cos
2
x
1
+
x
2
sin
ln
x
1
=
y
'
y
2
-
(
)
x
2
ctg
x
2
+
x
2
sin
ln
x
1
=
y
'
y
2
-
y
/*
(
)
)
x
2
ctg
x
2
+
x
2
sin
ln
x
1
(
y
=
'
y
2
-
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
)
x
2
ctg
x
2
+
x
2
sin
ln
x
1
(
x
2
sin
2
x
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
Jeżeli funkcja u = g(x) posiada pochodną w punkcie x
0
a funkcja y = f(u) posiada
pochodną w punkcie u
0
= g(x
0
), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x
0
pochodną wyrażoną wzorem:
gdzie:
f’(u
0
) – pochodna funkcji zewnętrznej
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
y’ = (f(g(x
0
)))’=f’(u
0
)g’(x
0
)
g’(x
0
) – pochodna funkcji wewnętrznej
PRZYKŁAD 5/18
2
/
1
2
2
)
1
+
x
(
=
1
+
x
=
y
=
)'
1
+
x
(
)
1
+
x
(
2
/
1
=
'
y
2
2
/
1
2
=
)
1
+
x
(
2
)'
1
+
x
(
2
/
1
2
2
1
+
x
2
)'
1
+
x
(
2
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
1
+
x
2
1
=
'
y
2
=
x
2
1
+
x
x
2
PRZYKŁAD 6/18
2
x
e
=
y
=
)'
x
(
e
=
'
y
2
x
2
=
x
2
e
2
x
2
x
xe
2
PRZYKŁAD 7/18
x
e
=
y
-
=
)'
x
(
e
=
'
y
x
=
)
1
(
e
x
x
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 8/18
bx
ae
=
y
-
=
)'
e
(
a
=
'
y
bx
=
)'
bx
)(
e
(
a
bx
=
'
x
)
b
)(
e
(
a
bx
bx
abe
PRZYKŁAD 9/18
(
)
1
x
2
sin
=
y
-
=
)'
1
x
2
)(
1
x
2
cos(
=
'
y
)
1
x
2
cos(
=
2
)
1
x
2
cos(
2
PRZYKŁAD 10/18
=
1
e
=
y
3
x
3
1
x
)
1
e
(
=
)'
1
e
(
)
1
e
(
3
1
=
'
y
x
3
2
x
-
-
-
(
)
=
e
1
e
3
1
x
3
2
x
-
-
3
2
x
x
)
1
e
(
3
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 11/18
=
1
+
x
5
x
2
log
=
y
2
3
=
)
1
+
x
5
x
2
(
log
2
1
2
3
)
1
+
x
5
x
2
(
log
2
1
2
3
=
)'
1
+
x
5
x
2
(
3
ln
)
1
+
x
5
x
2
(
1
2
1
=
'
y
2
2
3
ln
)
1
+
x
5
x
2
(
5
x
4
2
1
2
PRZYKŁAD 12/18
)
1
x
(
e
2
=
y
x
=
)]'
1
x
(
e
[
2
=
'
y
x
=
]
)'
1
x
(
e
+
)
1
x
(
)'
e
[(
2
x
x
+
)
1
x
(
)'
x
(
e
[
2
x
=
]
1
+
)
1
x
[(
x
2
e
2
=
)]
x
2
1
(
e
+
)
1
x
)(
x
2
1
(
e
[
2
x
x
x
=
)
x
(
x
e
x
x
e
=
)]
x
2
1
(
e
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 13/18
(
)
5
2
1
x
=
y
-
=
)'
1
x
(
)
1
x
(
5
=
'
y
2
4
2
=
x
2
)
1
x
(
5
4
2
4
2
)
1
x
(
x
10
PRZYKŁAD 14/18
(
)
b
+
ax
sin
=
y
=
)'
b
+
ax
)(
b
+
ax
cos(
=
'
y
)
b
+
ax
cos(
a
PRZYKŁAD 15/18
x
sin
ln
=
y
=
)'
x
(sin
x
sin
1
=
'
y
=
x
sin
x
cos
ctgx
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
PRZYKŁAD 16/18
Oblicz y’’’: y = x
2
+ sin5x
(
) =
'
x
5
x
5
cos
+
x
2
=
'
y
x
5
cos
5
+
x
2
(
)
=
)'
x
5
(
x
5
sin
5
+
2
=
'
'
y
-
=
)
5
(
x
5
sin
5
2 -
x
5
sin
25
2 -
(
)
=
'
x
5
x
5
cos
25
=
'
'
'
y
-
x
5
cos
125
-
PRZYKŁAD 17/18
Oblicz y’’’: y = xln2x
(
) =
'
x
2
x
2
1
x
+
x
2
ln
=
'
y
=
2
x
2
1
x
+
x
2
ln
1
+
x
2
ln
(
)
=
'
x
2
ln
=
'
'
y
(
) =
'
x
2
x
2
1
x
1
=
2
x
2
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
gdy f’(x) > 0, f(x) rośnie w przedziale (a, b)
gdy f’(x) < 0, f(x) maleje w przedziale (a, b)
Jeżeli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b), to:
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI RÓŻNICZKOWALNEJ
EKSTREMA FUNKCJI
Funkcja f(x) ma w punkcie x
0
maksimum lub minimum, jeśli spełniona jest nierówność:
f(x) < f(x
0
); x≠
≠
≠
≠x
0
(maksimum)
Maksima i minima noszą nazwę ekstremów funkcji
f(x) > f(x
0
); x≠
≠
≠
≠x
0
(minimum)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
Jeżeli funkcja y = f(x) ma w punkcie x
0
ekstremum i pochodną f’(x
0
), to f’(x
0
) = 0
Jeżeli funkcja y = f(x) ma w przedziale (a, b) pochodną drugiego rzędu f’’(x) > 0
(f’’(x) < 0) to jest w tym przedziale wypukła (wklęsła)
Jeżeli w punkcie x
0
pochodna drugiego rzędu funkcji y = f(x) jest równa zeru (f’’(x
0
) = 0)
i rośnie (lub maleje) w jego otoczeniu, to punkt ten nazywamy punktem przegięcia
funkcji.
WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ FUNKCJI. PUNKT PRZEGIĘCIA WYKRESU
FUNKCJI
PRZYKŁAD 18/18
Wyznacz dla funkcji f(x) = x
3
– 3x
2
+ 4
a) przedziały monotoniczności
b) ekstremum
c) przedziały wypukłości (wklęsłości)
d) punkty przegięcia
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
a) + b)
=
x
6
x
3
=
)
x
(
'
f
2
-
)
2
x
(
x
3
-
0
=
)
x
(
'
f
⇔
0
=
)
2
x
(
x
3
-
,
0
=
x
1
2
=
x
2
,
0
>
)
x
(
'
f
)
x
(
f
↑⇔
)
+
,
2
(
)
0
,
(
x
∞
∪
-∞
∈
,
0
<
)
x
(
'
f
)
x
(
f
↓⇔
)
2
,
0
(
x ∈
4
=
)
0
(
f
(maksimum funkcji – funkcja zmienia znak z dodatniego na ujemny)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
0
=
)
2
(
f
(minimum funkcji – funkcja zmienia znak z ujemnego na dodatni)
c) + d)
=
6
x
6
=
)
x
(
'
'
f
-
)
1
x
(
6
-
0
=
)
1
x
(
6
0
=
)
x
(
'
'
f
-
⇔
1
=
x
,
0
<
)
x
(
'
'
f
)
x
(
f
wkl
⇔
)
1
,
(
x
-∞
∈
,
0
>
)
x
(
'
'
f
)
x
(
f
wyp
⇔
)
+
,
1
(
x
∞
∈
)
2
,
1
(
P
=
))
x
(
f
,
x
(
P
współrzędne punktu przegięcia wykresu funkcji
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.2)
mm-j
- definicja ilorazu różnicowego
- różniczka funkcji f(x) w punkcie x.
Różniczka funkcji jest iloczynem pochodnej funkcji i różniczki argumentu.
Funkcja y = f(x) ma pochodną f’(x) w punkcie x.
RÓŻNICZKA FUNKCJI
x
∆
)
x
∆
)
x
(
f
-
)
x
∆
+
x
(
f
(
=
)
x
(
f
-
)
x
∆
+
x
(
f
=
y
∆
x
∆
)
x
(
'
f
=
)
x
(
df
=
y
∆
Niech y = x
Dowolny przyrost ∆
∆
∆
∆x nazywamy różniczką zmiennej niezależnej dx
- dla małych przyrostów argumentów
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
x
∆
'
x
=
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
x
∆
=
dx
( )
x
f
=
y
dx
'
y
=
dy
( )
( )dx
x
'
f
=
x
df
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
mm-j
PRZYKŁAD 1/21
x
sin
=
y
dx
)'
x
(sin
=
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
(
) dx
'
x
sin
=
x
sin
d
xdx
cos
=
x
sin
d
PRZYKŁAD 2/21
m
x
=
y
(
)
dx
'
x
=
dy
m
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
dx
'
x
=
dx
m
m
dx
mx
=
dx
1
-
m
m
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Pochodna funkcji jest równa ilorazowi różniczki funkcji przez różniczkę argumentu:
( )
( )
dx
x
df
=
x
'
f
;
dx
dy
=
'
y
PRZYKŁAD 3/21
x
ln
=
y
dx
)'
x
(ln
=
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
dx
x
1
=
x
ln
d
'
y
=
)'
x
(ln
=
x
1
=
dx
x
ln
d
PRZYKŁAD 4/21
)'
x
(sin
=
x
cos
=
dx
x
sin
d
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Różniczka sumy jest równa sumie różniczek
Różniczka stałej jest równa zero
PRZYKŁAD 5/21
)'
x
(
=
mx
=
dx
dx
m
1
-
m
m
WŁASNOŚCI RÓŻNICZKI
c
=
y
0
=
dx
'
c
=
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
)
x
(
v
+
)
x
(
u
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
Stały czynnik wyłączamy przed znak różniczki
=
dx
)]'
x
(
v
+
)
x
(
u
[
=
dy
=
dx
)]
x
(
'
v
+
)
x
(
'
u
[
=
dx
)
x
(
'
v
+
dx
)
x
(
'
u
)
x
(
dv
+
)
x
(
du
⇒
⇒
⇒
⇒
)
x
(
cu
=
y
=
dx
)]'
x
(
cu
[
=
dy
=
dx
)]
x
(
'
u
[
c
)
x
(
cdu
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Różniczka ilorazu
Różniczka funkcji złożonej
Różniczka iloczynu
⇒
⇒
⇒
⇒
)
x
(
v
*
)
x
(
u
=
y
=
dx
)]'
x
(
v
*
)
x
(
u
[
=
dy
=
dx
)
x
(
u
)
x
(
'
v
+
dx
)
x
(
v
)
x
(
'
u
)
x
(
u
)
x
(
dv
+
)
x
(
v
)
x
(
du
⇒
⇒
⇒
⇒
)
x
(
v
)
x
(
u
=
y
=
dx
]'
)
x
(
v
)
x
(
u
[
=
dy
=
)]
x
(
v
[
dx
)
x
(
'
v
)
x
(
u
dx
)
x
(
'
u
)
x
(
v
2
-
2
)]
x
(
v
[
)
x
(
dv
)
x
(
u
)
x
(
du
)
x
(
v
-
⇒
⇒
⇒
⇒
))
t
(
g
(
f
=
y
gdzie
),
x
(
f
=
y
),
t
(
g
=
x
dt
)
t
(
'
g
=
dx
;
dt
'
y
=
dy
))
t
(
'
g
*
)
x
(
'
f
=
'
y
(
dt
)
t
(
'
g
*
)
x
(
'
f
=
dy
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Wyznacz różniczkę dy funkcji
PRZYKŁAD 6/21
x
2
sin
5
=
y
x
=
dx
)'
x
2
sin
5
(
=
dy
x
dx
)]
x
2
(
x
2
cos
5
+
x
2
sin
dx
5
ln
5
[
2
x
x
PRZYKŁAD 7/21
Wyznacz różniczkę dy funkcji
x
ln
x
=
y
=
dx
)
x
1
x
+
x
(ln
=
dy
dx
)
1
+
x
(ln
PRZYKŁAD 8/21
Wyznacz różniczkę trzeciego rzędu d
3
y funkcji
x
4
cos
=
y
=
dx
)'
x
4
(cos
=
dy
xdx
4
sin
4
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
=
dx
)'
dy
(
=
y
d
2
dx
)'
'
y
(
=
dx
)'
dx
'
y
(
=
dx
-4sin4x)'
(
=
y
d
2
2
=
x
4(4cos4x)d
-
2
2
16cos4xdx
-
=
dx
-16cos4x)'
(
=
y
d
3
3
3
-4sin4x)dx
(
16
dx
)
x
(
'
f
+
)
x
(
f
=
)
dx
+
x
(
f
0
0
0
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZANIA
PRZYBLIŻONYCH WARTOŚCI FUNKCJI I WYRAŻENIA
PRZYKŁAD 9/21
Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:
2
x
=
)
x
(
f
,
1
=
x
0
0018
,
0
=
dx
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
0018
,
1
=
dx
+
x
0
( )
2
0
0
x
=
x
f
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
( )
0
0
x
2
=
x
'
f
( )
2
=
1
'
f
(
)
(
)
=
0018
,
1
f
=
dx
+
x
f
0
( )
( )
=
0018
,
0
*
1
'
f
+
1
f
0036
,
1
=
0018
,
0
*
2
+
1
PRZYKŁAD 10/21
Oblicz przybliżoną wartość funkcji jeśli:
( )
x
=
x
f
,
1
=
x
0
0025
,
0
=
dx
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
0025
,
1
=
dx
+
x
0
( )
0
0
x
=
x
f
( )
0
0
x
2
1
=
x
'
f
( )
2
1
=
1
'
f
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
(
)
(
)
=
0025
,
1
f
=
dx
+
x
f
0
( )
( )
=
0025
,
0
*
1
'
f
+
1
f
00125
,
1
=
0025
,
0
*
2
1
+
1
PRZYKŁAD 11/21
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
4
17
4
x
=
)
x
(
f
=
)
x
∆
+
x
(
f
=
)
x
∆
+
x
(
f
4
4
17
17
=
x
∆
+
x
⇒
,
16
=
x
1
=
dx
=
x
∆
=
17
4
dx
)
x
(
'
f
+
)
x
(
f
=
)
x
∆
+
x
(
f
=
17
4
1
*
)
16
(
'
f
+
)
16
(
f
=
)
17
(
f
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
=
)
16
(
f
=
)
x
(
f
=
16
4
2
=
)'
x
(
=
)
x
(
'
f
4
=
)'
x
(
4
1
=
x
4
1
4
3
-
4
3
x
4
1
=
16
4
1
=
)
16
(
'
f
4
3
( )
=
)
2
(
4
1
4
3
4
32
1
=
2
*
4
1
3
=
17
4
=
1
*
32
1
+
2
031
,
2
≈
≈
≈
≈
32
65
=
32
1
2
PRZYKŁAD 12/21
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
01
,
1
ln
x
ln
=
)
x
(
f
=
)
x
∆
+
x
ln(
=
)
x
∆
+
x
(
f
01
,
1
ln
01
,
1
=
x
∆
+
x
⇒
,
1
=
x
01
,
0
=
dx
=
x
∆
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
≈
≈
≈
≈
01
,
1
ln
dx
)
x
(
'
f
+
)
x
(
f
≈
≈
≈
≈
01
,
1
ln
01
,
0
*
)
1
(
'
f
+
)
1
(
f
0
=
)
1
(
f
=
)
x
(
f
=
)'
x
(ln
=
)
x
(
'
f
x
1
1
=
)
1
(
'
f
01
,
0
≈
≈
≈
≈
01
,
0
*
1
+
0
≈
≈
≈
≈
01
,
1
ln
POCHODNE CZĄSTKOWE
'
x
f
,
x
f
∂
∂
(pochodna cząstkowa względem x)
'
y
f
,
y
f
∂
∂
(pochodna cząstkowa względem y)
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Jeśli z = f(x,y), to pochodne cząstkowe można oznaczać odpowiednio symbolami:
,
z
,
x
z
'
x
∂
∂
'
y
z
,
y
z
∂
∂
WZORY:
(
)
,
x
g
±
x
f
=
g
±
f
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
y
g
±
y
f
=
g
±
f
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
,
x
g
f
+
g
x
f
=
g
*
f
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
y
g
f
+
g
y
f
=
g
*
f
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
g
x
g
f
-
g
x
f
=
)
g
f
(
x
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
g
y
g
f
-
g
f
=
)
g
f
(
y
∂
∂
∂y
∂
∂
∂
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)
PRZYKŁAD 13/21
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
5
2
2
5
y
2
-
y
x
+
x
=
)
y
,
x
(
f
,
xy
2
+
x
5
=
x
f
2
4
∂
∂
4
2
10y
-
y
x
2
=
y
f
∂
∂
PRZYKŁAD 14/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
y
x
=
)
y
,
x
(
f
,
yx
=
x
f
1
-
y
∂
∂
x
ln
x
=
y
f
y
∂
∂
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKŁAD 15/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji u(x,y)
,
x
)
y
,
x
(
u
∂
∂
∂y
∂u
)
y
,
x
(
)
y
+
x
sin(
x
=
)
y
,
x
(
u
),
y
+
x
cos(
x
+
)
y
+
x
sin(
=
x
u
∂
∂
)
y
+
x
cos(
x
=
y
u
∂
∂
PRZYKŁAD 16/21
)
y
,
x
(
u
∂
∂u
)
y
,
x
(
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji u(x,y)
,
x
)
y
,
x
(
u
∂
∂
∂y
∂u
)
y
,
x
(
y
x
cos
=
)
y
,
x
(
u
2
=
x
2
)
(-sinx
y
1
=
x
u
2
∂
∂
y
2xsinx
-
2
=
)
y
1
(-
x
cos
=
y
u
2
2
∂
∂
2
2
y
cosx
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKŁAD 17/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
xy
sin
x
=
)
y
,
x
(
f
=
xy
sin
x
x
+
xy
sin
x
x
=
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
xy
sin
=
y
xy
2
1
xy
cos
x
+
xy
sin
=
xy
2
xy
cos
xy
xy
cos
xy
2
1
+
xy
sin
=
xy
sin
y
x
+
xy
sin
x
y
=
y
∂
∂
∂
∂
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
xy
2
1
xy
cos
x
+
0
xy
cos
xy
2
x
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKŁAD 18/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
2
3
y
x
=
)
y
,
x
(
f
2
2
2
2
y
x
3
=
)
x
3
(
y
=
x
∂
∂
∂
∂
f
∂
∂
∂
∂
y
x
2
=
y
f
3
∂
∂
(y – stała)
PRZYKŁAD 19/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
x
ln
y
ln
=
y
log
=
)
y
,
x
(
f
x
=
)
x
(ln
x
ln
x
y
ln
-
x
ln
*
y
ln
x
=
x
f
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
(lnx)
x
1
lny
-
2
2
x(lnx)
lny
-
=
)
x
(ln
x
ln
y
y
ln
-
x
ln
*
y
ln
=
f
2
∂
∂
∂y
∂
∂y
∂
=
)
x
(ln
x
ln
y
1
2
)
x
(ln
y
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
PRZYKŁAD 20/21
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
x
y
x
y
x
=
x
=
)
y
,
x
(
f
METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ
=
)
y
,
x
(
f
ln
x
y
x
ln
=
)
y
,
x
(
f
ln
x
ln
x
y
=
=
x
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
f
1
∂
∂
=
x
ln
x
x
y
+
x
ln
*
x
y
x
∂
∂
∂
∂
)
x
y
+
x
ln
x
y
-
(
2
2
)
y
,
x
(
f
/*
=
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
)
y
,
x
(
f
)
x
y
+
x
ln
x
y
-
(
2
2
=
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
x
y
x
)
x
y
+
x
ln
x
y
-
(
2
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
=
y
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
f
1
∂
∂
=
x
ln
y
x
y
+
x
ln
*
x
y
y
∂
∂
∂
∂
)
x
ln
x
1
(
)
y
,
x
(
f
/*
=
y
)
y
,
x
(
f
∂
∂
)
y
,
x
(
f
x
ln
x
1
=
y
)
y
,
x
(
f
∂
∂
x
ln
x
1
x
x
y
PRZYKŁAD 21/21
y
Wyznacz pochodne cząstkowe funkcji
,
x
)
y
,
x
(
f
∂
∂
∂y
∂
)
y
,
x
(
f
)
x
y
(
arctg
=
)
y
,
x
(
f
=
)
x
y
(
x
*
)
x
y
(
+
1
1
=
x
f
2
∂
∂
∂
∂
=
)
x
y
-
(
)
x
y
(
+
1
1
2
2
2
2
y
+
x
y
-
=
)
x
y
(
y
*
)
x
y
(
+
1
1
=
y
f
2
∂
∂
∂
∂
=
)
x
1
(
)
x
y
(
+
1
1
2
=
x
y
+
x
1
2
=
x
y
+
x
1
2
2
2
2
y
+
x
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.3)
mm-j
Błąd bezwzględny
Błąd względny
RACHUNEK BŁĘDÓW
PRZYKŁAD 1/12
)
r
(
V
=
V
r
∆
)
r
(
'
V
=
V
∆
%
100
*
V
V
∆
=
V
δ
Znaleźć przybliżone wartości błędów bezwzględnego i względnego jakie popełnia się
obliczając objętość kuli V ze wzoru
3
r
π
3
4
=
V
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
obliczając objętość kuli V ze wzoru
r
π
3
=
V
jeżeli błąd pomiaru promienia r wynosi ∆
∆
∆
∆r. Założyć, że znana jest dokładna wartość π
π
π
π.
Oszacować błędy bezwzględny i względny przybliżenia objętości kuli, jeśli
r = 1,5 ± 0,05 cm, a π
π
π
π = 3,14.
≈
≈
≈
≈
r
∆
)
r
(
'
V
≈
≈
≈
≈
V
∆
r
∆
r
π
4
≈
≈
≈
≈
r
∆
r
π
3
4
3
2
2
≈
≈
≈
≈
|
V
|
|
V
∆
|
≈
≈
≈
≈
V
δ
r
∆
r
3
≈
≈
≈
≈
r
π
3
4
r
∆
r
π
4
3
2
mm-j
55
,
1
=
r
⇒
4025
,
2
=
55
,
1
=
r
2
2
05
,
0
=
|
r
∆
|
3
3
cm
59
,
15
≈
≈
≈
≈
r
π
3
4
≈
≈
≈
≈
)
r
(
V
=
V
r
∆
r
π
4
≤
≤
≤
≤
r
∆
)
r
(
'
V
≤
≤
≤
≤
V
∆
2
51
,
1
≤
≤
≤
≤
05
,
0
*
4025
,
2
*
14
,
3
*
4
≤
≤
≤
≤
V
∆
błąd maksymalny (bezwzględny)
3
3
cm
51
,
1
±
cm
59
,
15
=
)
r
(
V
=
V
⇒
%
6
,
9
≈
≈
≈
≈
%
100
*
r
r
∆
3
≈
≈
≈
≈
%
100
*
r
π
3
4
r
∆
r
π
4
≤
≤
≤
≤
V
δ
3
2
błąd maksymalny (względny)
⇒
Odp. Błąd przybliżenia objętości kuli
3
cm
59
,
15
≈
≈
≈
≈
V
nie przekracza 9,6%.
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Oszacować błąd bezwzględny i względny tego obliczenia jeśli oszacowania błędów
bezwzględnych przybliżeń x, y wynoszą odpowiednio:
PRZYKŁAD 2/12
Obliczyć wartość funkcji
2
2
xy
-
y
x
=
)
y
,
x
(
f
dla
32
,
4
=
x
oraz
15
,
2
=
y
01
,
0
=
x
∆
005
,
0
=
y
∆
oraz
≈
≈
≈
≈
15
,
2
*
32
,
4
-
15
,
2
*
32
,
4
≈
≈
≈
≈
)
y
,
x
(
f
2
2
155
,
20
≈
≈
≈
≈
15496
,
20
(
)
(
)
y
∆
y
,
x
y
f
+
x
∆
y
,
x
x
f
≤
≤
≤
≤
f
∆
∂
∂
∂
∂
2
y
-
xy
2
=
x
f
∂
∂
xy
2
-
x
=
y
f
2
∂
∂
(
)
≈
≈
≈
≈
15
,
2
-
15
,
2
*
32
,
4
*
2
≈
≈
≈
≈
15
,
2
;
32
,
4
x
f
2
∂
∂
(
)
≈
≈
≈
≈
15
,
2
*
32
,
4
*
2
-
32
,
4
≈
≈
≈
≈
15
,
2
;
32
,
4
y
f
2
∂
∂
09
,
0
≈
≈
≈
≈
0864
,
0
95
,
13
≈
≈
≈
≈
9535
,
13
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Odp. Błąd względny obliczenia wynosi w przybliżeniu 6,9%.
(
)
14
,
0
≈
≈
≈
≈
005
,
0
*
09
,
0
+
01
,
0
*
95
,
13
≤
≤
≤
≤
f
∆
%
9
,
6
=
%
100
*
069
,
0
≈
≈
≈
≈
155
,
20
14
,
0
≤
≤
≤
≤
f
f
∆
≤
≤
≤
≤
f
δ
14
,
0
±
155
,
20
=
f
∆
±
f
=
f
PRZYKŁAD 3/12
Układ sercowo – naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń
Układ sercowo – naczyniowy człowieka jest podobny do układu elektrycznych połączeń
równoległych. Kiedy krew płynie przez dwa układy równolegle, całkowity opór R wynosi:
2
1
R
1
+
R
1
=
R
1
Błędy % pomiaru oporu R
1
i R
2
wynoszą:
2
2
1
1
R
006
,
0
±
=
dR
R
006
,
0
±
=
dR
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Znajdź przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R:
2
1
2
1
R
+
R
R
R
=
R
⇒
)
R
,
R
(
R
=
R
2
1
|
dR
||
R
R
|
+
|
dR
||
R
R
|
≈
≈
≈
≈
R
∆
2
2
1
1
∂
∂
∂
∂
%
100
*
|
R
|
|
R
∆
|
≈
≈
≈
≈
R
δ
=
)
R
+
R
(
R
R
-
)
R
+
R
(
R
=
R
R
2
2
1
2
1
2
1
2
1
∂
∂
=
)
R
+
R
(
R
R
R
+
R
R
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
)
R
+
R
(
R
2
1
1
2
1
2
1
=
)
R
+
R
(
R
R
-
)
R
+
R
(
R
=
R
R
2
2
1
2
1
2
1
1
2
∂
∂
=
)
R
+
R
(
R
R
R
R
+
R
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
)
R
+
R
(
R
≈
≈
≈
≈
R
∆
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
R
006
,
0
)
R
+
R
(
R
+
R
006
,
0
)
R
+
R
(
R
≈
≈
≈
≈
006
,
0
)
R
+
R
(
R
R
+
006
,
0
)
R
+
R
(
R
R
≈
≈
≈
≈
R
∆
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
+
006
,
0
)
R
+
R
(
R
R
R
2
2
1
2
2
1
≈
≈
≈
≈
006
,
0
)
R
+
R
(
R
R
R
2
2
1
1
1
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
z wz.:
2
1
2
1
R
+
R
R
R
=
R
⇒
⇒
⇒
⇒
)
R
+
R
(
R
=
R
R
2
1
2
1
+
006
,
0
)
R
+
R
(
R
)
R
+
R
(
R
2
2
1
2
2
1
≈
≈
≈
≈
006
,
0
)
R
+
R
(
R
)
R
+
R
(
R
2
2
1
1
2
1
≈
≈
≈
≈
R
+
R
R
R
006
,
0
+
R
+
R
R
R
006
,
0
2
1
1
2
1
2
≈
≈
≈
≈
R
+
R
R
R
006
,
0
+
R
R
006
,
0
2
1
1
2
≈
≈
≈
≈
)
R
+
R
(
)
R
+
R
(
R
006
,
0
2
1
1
2
R
006
,
0
%
6
,
0
≈
≈
≈
≈
006
,
0
≈
≈
≈
≈
R
R
006
,
0
≈
≈
≈
≈
R
δ
Odp. Przybliżony błąd procentowy pomiaru oporu całkowitego R wynosi 0,6%.
PRZYKŁAD 4/12
Załóżmy, że średnicę 2r = 0,66 cm pręta stalowego zmierzono z dokładnością do 0,01
cm, jego długość h = 53 cm z dokładnością do 0,1 cm. Dla liczby π
π
π
π przyjęto wartość
przybliżoną 3,14 z dokładnością do 0,005. Wyznacz błąd bezwzględny i względny
obliczenia objętości pręta.
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
2r = 0,66 cm
d(2r) = 0,01 cm
h = 53 cm
dh = 0,1 cm
π = 3,14
dπ = 0,005
⇒
⇒
⇒
⇒
r = 0,33 cm
dr = 0,005 cm
⇒
⇒
⇒
⇒
V(π,r,h) = πr
2
h
objętość stalowego pręta
⇒
⇒
⇒
⇒
V(3,14;0,33;53) = 18,12 cm
3
|
dh
|
*
|
h
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
|
+
|
dr
|
*
|
r
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
|
+
|
π
d
|
*
|
π
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
|
=
V
∆
77
,
5
≈
≈
≈
≈
h
r
=
π
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
)
53
;
33
,
0
(
2
84
,
109
≈
≈
≈
≈
rh
π
2
=
r
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
)
53
;
33
,
0
(
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
34
,
0
≈
≈
≈
≈
r
π
=
h
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
)
53
;
33
,
0
(
2
|
dh
||
r
π
|
+
|
dr
||
rh
π
2
|
+
|
π
d
||
h
r
|
=
|
V
∆
|
2
2
≈
≈
≈
≈
1
,
0
*
34
,
0
+
005
,
0
*
84
,
109
+
005
,
0
*
77
,
5
≈
≈
≈
≈
|
V
∆
|
3
cm
61
,
0
%
4
,
3
≈
≈
≈
≈
%
100
*
12
,
18
61
,
0
≈
≈
≈
≈
V
δ
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
Odp. Błąd bezwzględny pomiaru objętości wynosi ± 0,61 cm
3
; błąd względny
przybliżenia objętości V ≈ 18,12 cm
3
wynosi 3,4%.
PRZYKŁAD 5/12
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
(
)
2
02
,
0
03
,
2
+
e
5
02
,
0
=
x
∆
+
x
⇒
⇒
⇒
⇒
02
,
0
=
x
∆
;
0
=
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
03
,
2
=
y
∆
+
y
⇒
⇒
⇒
⇒
03
,
0
=
y
∆
;
2
=
y
dy
=
y
∆
;
dx
=
x
∆
(
)
2
x
∆
+
x
)
y
∆
+
y
(
+
e
5
≈
≈
≈
≈
y
∆
+
y
,
x
∆
+
x
f
(
)
3
=
y
+
e
5
=
y
,
x
f
)
2
,
0
(
2
x
dy
y
f
+
dx
x
f
+
)
y
,
x
(
f
≈
≈
≈
≈
)
y
∆
+
y
,
x
∆
+
x
(
f
∂
∂
∂
∂
03
,
0
y
∂
∂
∂
∂
f
∂
∂
∂
∂
+
02
,
0
x
∂
∂
∂
∂
f
∂
∂
∂
∂
+
)
2
,
0
(
f
≈
≈
≈
≈
)
03
,
2
;
02
,
0
(
f
)
2
,
0
(
)
2
,
0
(
(
)
6
5
=
2
,
0
x
f
;
e
5
*
y
+
e
5
2
1
=
x
f
x
2
x
∂
∂
∂
∂
(
)
3
2
=
2
,
0
y
f
;
y
2
*
y
+
e
5
2
1
=
y
f
2
x
∂
∂
∂
∂
(
)
≈
≈
≈
≈
03
,
0
*
3
2
+
02
,
0
*
6
5
+
3
≈
≈
≈
≈
03
,
2
;
02
,
0
f
037
,
3
≈
≈
≈
≈
02
,
0
+
10
*
6
10
+
3
2
-
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Odp. Przybliżona wartość wyrażenia
(
)
2
02
,
0
03
,
2
+
e
5
wynosi 3,037.
PRZYKŁAD 6/12
Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
(
)
03
,
3
01
,
2
01
,
2
=
x
∆
+
x
⇒
⇒
⇒
⇒
01
,
0
=
x
∆
;
2
=
x
03
,
3
=
y
∆
+
y
⇒
⇒
⇒
⇒
03
,
0
=
y
∆
;
3
=
y
dy
=
y
∆
;
dx
=
x
∆
(
)
(
)
03
,
3
y
∆
+
y
)
01
,
2
(
≈
≈
≈
≈
x
∆
+
x
≈
≈
≈
≈
y
∆
+
y
,
x
∆
+
x
f
(
)
8
=
x
=
y
,
x
f
)
3
,
2
(
y
(
)
(
)
y
∆
y
f
+
x
∆
x
f
+
y
,
x
f
≈
≈
≈
≈
y
∆
+
y
,
x
∆
+
x
f
∂
∂
∂
∂
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
03
,
0
y
f
+
01
,
0
x
f
+
)
3
,
2
(
f
≈
≈
≈
≈
)
03
,
3
;
01
,
2
(
f
)
3
,
2
(
)
3
,
2
(
∂
∂
∂
∂
(
)
12
=
3
,
2
x
f
;
yx
=
x
f
1
-
y
∂
∂
∂
∂
(
)
545
,
5
=
3
,
2
y
f
;
x
ln
x
=
y
f
y
∂
∂
∂
∂
(
)
≈
≈
≈
≈
03
,
0
*
545
,
5
+
01
,
0
*
12
+
8
≈
≈
≈
≈
03
,
3
;
01
,
2
f
286
,
8
≈
≈
≈
≈
166
,
0
+
12
,
0
+
8
PRZYKŁAD 7/12
Odp. Przybliżona wartość wyrażenia
wynosi 8,286.
(
)
03
,
3
01
,
2
Obliczyć błąd bezwzględny i względny jaki popełnia się przy wyznaczaniu objętości
prostopadłościanu o krawędziach:
1
,
0
±
1
,
4
=
x
∆
+
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
1
,
0
±
2
,
3
=
y
∆
+
y
2
,
0
±
4
,
8
=
z
∆
+
z
xyz
=
)
z
,
y
,
x
(
V
=
V
(
)
2
,
110
=
4
,
8
;
2
,
3
;
1
,
4
V
z
∆
z
V
+
y
∆
y
V
+
x
∆
x
V
=
V
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
88
,
26
=
x
V
;
yz
=
x
∂
∂
∂
∂
V
∂
∂
∂
∂
)
4
,
8
;
2
,
3
;
1
,
4
(
∂
∂
44
,
34
=
y
V
;
xz
=
y
V
)
4
,
8
;
2
,
3
;
1
,
4
(
∂
∂
∂
∂
12
,
13
=
z
V
;
xy
=
z
V
)
4
,
8
;
2
,
3
;
1
,
4
(
∂
∂
∂
∂
=
2
,
0
*
12
,
13
+
1
,
0
*
44
,
34
+
1
,
0
*
88
,
26
=
V
∆
)
4
,
8
;
2
,
3
;
1
,
4
(
3
j
756
,
8
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Odp. Błąd bezwzględny wyznaczenia objętości wynosi ±8,756j
3
; błąd względny
obliczenia objętości, która jest równa
wynosi w przybliżeniu 8%.
PRZYKŁAD 8/12
%
8
≈
≈
≈
≈
%
9
,
7
=
%
100
*
2
,
110
756
,
8
=
V
δ
756
,
8
±
2
,
110
≈
≈
≈
≈
V
756
,
8
±
2
,
110
≈
≈
≈
≈
V
Podczas badania pewnych procesów adiabatycznych ciśnienie p gazu jest związane
z objętością V tak, że
, gdzie C, γγγγ to stałe doświadczalne.
Wykaż, że przybliżony błąd względny ciśnienia
przybliżenia błędu względnego objętości
γ
V
C
=
p
p
p
∆
=
p
δ
jest proporcjonalny do
V
V
∆
=
V
δ
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
γ
V
C
=
)
V
(
p
=
p
dV
)'
V
C
(
=
p
p
∆
=
p
δ
γ
=
V
C
dV
)'
V
C
(
γ
γ
=
V
C
dV
V
'
V
*
C
V
'*
C
γ
γ
2
γ
γ
-
=
V
C
dV
V
V
γ
C
-
γ
γ
2
1
-
γ
=
dV
C
V
V
V
γ
C
γ
γ
2
1
γ
=
dV
V
V
γ
γ
1
γ
=
dV
V
V
γ
γ
1
γ
=
dV
V
γ
γ
1
γ
=
V
dV
γ
=
dV
V
γ
1
V
∆
=
dV
=
p
p
∆
=
p
δ
V
γδ
=
V
V
∆
γ
Odp. Przybliżony błąd względny ciśnienia jest proporcjonalny do
przybliżenia błędu względnego objętości
p
p
∆
=
p
δ
V
V
∆
=
V
δ
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech
)
y
,
x
(
f
=
u
dy
y
u
+
dx
x
u
=
du
∂
∂
∂
∂
)
y
,
x
(
f
=
u
- funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, y jeśli w tym punkcie istnieje
różniczka zupełna funkcji
PRZYKŁAD 9/12
w punkcie (3, -4)
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji
2
2
y
+
x
=
)
y
,
x
(
f
dy
y
f
+
dx
x
f
=
)
y
,
x
(
df
∂
∂
∂
∂
5
3
=
y
+
x
x
=
x
2
y
+
x
2
1
=
x
)
4
-
,
3
(
f
2
2
2
2
∂
∂
5
4
-
=
y
+
x
y
=
y
2
y
+
x
2
1
=
y
)
-4
,
3
(
f
2
2
2
2
∂
∂
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji
Odp. Różniczka zupełna funkcji
wynosi
2
2
y
+
x
=
)
y
,
x
(
f
dy
5
4
-
dx
5
3
=
)
y
,
x
(
df
PRZYKŁAD 10/12
x
xy
=
)
y
,
x
(
z
dy
y
z
+
dx
x
z
=
)
y
,
x
(
dz
∂
∂
∂
∂
)
y
ln
x
+
1
(
y
=
y
ln
xy
+
y
=
y
x
x
+
y
*
x
x
=
x
z
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
-
x
2
1
-
x
x
x
y
x
=
xy
*
x
=
y
y
x
+
y
*
x
y
=
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Odp. Różniczka zupełna funkcji
wynosi
x
xy
=
)
y
,
x
(
z
=
)
y
,
x
(
dz
dy
y
x
+
dx
)
y
ln
x
+
1
(
y
1
-
x
2
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
PRZYKŁAD 11/12
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji
2
1
2
-
3
4t
-
s
+
r
=
)
t
,
s
,
r
(
F
dt
t
F
+
ds
s
F
+
dr
r
F
=
)
t
,
s
,
r
(
dF
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
r
3
=
r
F
∂
∂
3
3
-
s
2
-
=
-2s
=
s
F
∂
∂
t
2
-
=
-2t
=
t
F
2
1
-
∂
∂
Odp. Różniczka zupełna funkcji
wynosi
2
1
2
-
3
4t
-
s
+
r
=
)
t
,
s
,
r
(
F
dt
t
2
-
ds
s
2
-
r
d
r
3
=
)
t
,
s
,
r
(
dF
3
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
PRZYKŁAD 12/12
Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji
x
ye
=
)
y
,
x
(
z
dy
y
z
+
dx
x
z
=
)
y
,
x
(
dz
∂
∂
∂
∂
x
x
ye
=
)
1
(
ye
=
x
z
∂
∂
x
e
=
y
z
∂
∂
Odp. Różniczka zupełna funkcji
wynosi
x
ye
=
)
y
,
x
(
z
)
dy
+
ydx
(
e
=
dy
e
+
dx
ye
=
)
y
,
x
(
dz
x
x
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK RÓŻNICZKOWY_cz.4)
mm-j
CAŁKOWANIE
Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania. Polega na znalezieniu funkcji
pierwotnej F(x), której pochodna w pewnym przedziale jest równa funkcji f(x):
( )
( )
C
+
x
F
=
dx
x
f
∫
⇒
( )
(
)
( )
x
f
=
C
+
x
F
dx
d
CAŁKI NIEOZNACZONE
PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO
∫
C
=
dx
0
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
C
+
x
=
dx
∫
}
1
-
/{
R
n
,
C
+
x
1
+
n
1
=
dx
x
1
+
n
n
∈
∫
∫
C
+
e
=
dx
e
x
x
}
0
/{
R
x
,
C
+
x
ln
=
x
dx
∈
∫
mm-j
1}
/{
R
a
,
C
+
a
ln
a
=
dx
a
+
x
x
∈
∫
C
+
x
sin
=
xdx
cos
∫
∫
C
+
-cosx
=
xdx
sin
0
x
cos
,
C
+
tgx
=
dx
x
cos
1
2
≠
∫
0
x
sin
,
C
+
ctgx
-
=
dx
x
sin
1
2
≠
∫
C
+
-arcctgx
=
C
+
arctgx
=
dx
x
+
1
1
2
∫
(
)
1,1
-
x
C,
+
-arccosx
=
C
+
x
arcsin
=
dx
x
-
1
1
2
∈
∫
WŁANOŚCI CAŁEK NIEOZNACZONYCH
( )
( )
(
)
=
dx
x
g
±
x
f
∫
∫
dx
)
x
(
f
±
dx
)
x
(
g
∫
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
R
a
,
dx
)
x
(
f
a
=
dx
)
x
(
af
∈
∫
∫
PRZYKŁAD 1/28
=
dx
x
5
4
∫
=
dx
x
5
4
∫
=
C
+
5
9
x
5
9
=
C
+
x
9
5
5
9
C
+
x
9
5
5
9
PRZYKŁAD 2/28
=
dx
x
x
2
∫
=
dx
x
2
3
-
∫
=
C
+
2
1
-
x
2
1
-
=
C
+
2x
-
2
1
-
C
+
x
2
-
2
PRZYKŁAD 3/28
=
dx
e
-x
∫
∫
=
dx
)
e
1
(
x
=
C
+
e
1
ln
)
e
1
(
x
=
C
+
)
e
ln(
e
1
-
-x
=
C
+
lne
-
e
-x
C
+
e
-
-x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 4/28
(
)
=
dx
3
-
x
2
+
x
3
2
∫
+
dx
x
3
2
∫
-
xdx
2∫
=
dx
3∫
+
3
x
3
3
-
2
x
2
2
=
C
+
3x
+
x
3
-
x
2
C
+
x
3
PRZYKŁAD 5/28
=
dx
6
2
+
3
x
x
x
∫
=
dx
)
6
2
+
6
3
(
x
x
x
x
∫
=
dx
]
)
3
1
(
+
)
2
1
[(
x
x
∫
+
)
2
1
ln(
)
2
1
(
x
=
C
+
)
3
1
ln(
)
3
1
(
x
-
2
ln
2
1
-
x
)
2
ln(
)
3
ln(
C
+
3
ln
3
1
x
PRZYKŁAD 6/28
∫
=
xdx
5
∫
=
xdx
5
C
+
2
x
5
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 7/28
∫
=
dx
)
1
+
x
+
x
(
2
∫
∫
∫
∫
+
dx
x
2
∫
∫
∫
∫
+
xdx
=
dx
∫
+
3
x
3
+
2
x
2
C
+
x
PRZYKŁAD 8/28
=
∫
∫
∫
∫
xdx
sin
3
=
xdx
sin
3∫
C
+
x
cos
3
-
PRZYKŁAD 9/28
=
x
2
dx
∫
∫ =
x
dx
2
1
C
+
|
x
|
ln
2
1
PRZYKŁAD 10/28
∫
=
x
cos
dx
3
2
=
x
cos
dx
3
2
∫
C
+
tgx
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 11/28
∫
=
dx
3
+
x
9
-
x
=
dx
3
+
x
)
3
+
x
)(
3
-
x
(
∫
=
3)dx
-
x
(
∫
∫
∫
∫
∫ dx
x
2
1
∫ =
dx
3
-
x
3
2
2
3
=
C
+
3x
2
3
x
3
2
C
+
x
3
PRZYKŁAD 12/28
=
dx
x
)
x
3
-
4
(
2
2
∫
=
dx
x
x
9
+
x
24
-
16
2
∫
∫
-
dx
x
1
16
2
+
dx
x
24
2
3
-
∫
=
dx
x
1
9∫
1
x
16
-
+
2
1
x
24
2
1
=
C
+
|
x
|
ln
9
+
x
16
-
+
48x
2
1
-
C
+
|
x
|
ln
9
PRZYKŁAD 13/28
=
dx
)
x
sin
3
-
x
cos
2
(
2
2
∫
-
dx
x
cos
1
2
2
∫
=
dx
x
sin
1
3
2
∫
+
tgx
2
C
+
ctgx
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 14/28
=
dx
x
+
1
x
2
2
∫
∫
=
dx
x
+
1
1
-
1
+
x
2
2
∫
∫
∫
∫
dx
∫
∫
∫
∫
=
dx
x
+
1
1
2
x
C
+
arctgx
PRZYKŁAD 15/28
∫
=
xdx
tg
2
=
dx
x
cos
x
sin
2
2
∫
=
dx
x
cos
x
cos
-
1
2
2
∫
∫
∫
=
dx
-
dx
x
cos
1
2
C
+
x
-
tgx
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
lub
Jeśli u, V są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:
[
]
∫
∫
dx
'
Vu
-
uV
=
dx
'
uV
lub
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Vdu
]
uV
[
=
udV
lub
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 16/28
=
xdx
sin
x
∫
x
=
u
1
=
'
u
x
sin
=
'
V
x
cos
-
∫
∫
∫
∫
=
xdx
sin
=
V
∫
=
xdx
sin
x
-
xcosx
-
(
)
=
dx
cosx
-
∫
+
xcosx
-
C
+
sinx
PRZYKŁAD 17/28
=
dx
5)e
-
x
2
(
x
∫
5
-
x
2
=
u
2
=
'
u
x
e
=
'
V
x
x
e
∫
∫
∫
∫
=
dx
e
=
V
=
dx
5)e
-
x
2
(
x
∫
-
5)e
-
(2x
x
=
dx
e
2
x
∫
-
5)e
-
(2x
x
=
C
+
2e
x
C
+
7)
-
(2x
e
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 18/28
=
xdx
ln
∫
x
ln
=
u
x
1
=
'
u
1
=
'
V
x
∫
∫
∫
∫ =
dx
1
=
V
=
xdx
ln
∫
-
x
ln
x
∫
=
dx
x
x
-
x
ln
x
=
C
+
x
C
+
)
1
-
x
(ln
x
PRZYKŁAD 19/28
=
x
xdx
ln
3
∫
∫
∫
∫
∫
=
xdx
ln
x
3
x
ln
=
u
x
1
=
'
u
3
-
x
=
'
V
2
-
x
∫
∫
∫
∫
=
dx
x
=
V
-2
3
=
x
xdx
ln
3
∫
x
ln
x
2
1
-
2
-
=
dx
)
∫
∫
∫
∫
2
x
(
x
1
2
+
x
ln
x
2
1
-
2
-
=
dx
x
1
2
1
3
∫
+
x
ln
x
2
1
-
2
-
=
C
+
2
-
x
2
1
2
-
-
2x
lnx
-
2
C
+
4x
1
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 20/28
=
dx
)
2
-
x
)(
1
-
x
(
∫
1
-
x
=
u
1
=
'
u
2)
-
x
(
=
'
V
x
2
-
2
x
∫
∫
∫
∫
=
dx
)
2
x
(
=
V
2
=
dx
)
2
-
x
)(
1
-
x
(
∫
-
)
x
2
-
2
x
)(
1
-
x
(
2
=
dx
)
x
2
-
2
x
(
2
∫
-
)
x
2
-
2
x
)(
1
-
x
(
2
=
C
+
)
2
x
2
3
x
2
1
(
2
3
-
)
x
2
-
2
x
)(
1
-
x
(
2
+
6
x
3
C
+
x
2
2
3
2
PRZYKŁAD 21/28
=
arctgxdx
∫
arctgx
=
u
2
x
+
1
1
=
'
u
1
=
'
g
x
=
dx
1
=
g
∫
=
arctgxdx
∫
-
xarctgx ∫
=
dx
x
+
1
x
2
-
xarctgx
=
dx
x
+
1
x
2
2
1
2
∫
-
xarctgx
(
)
C
+
x
+
1
ln
2
1
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 22/28
=
xdx
cos
x
2
∫
2
x
=
u
x
2
=
'
u
x
cos
=
'
V
x
sin
∫
∫
∫
∫
=
xdx
cos
=
V
=
xdx
cos
x
2
∫
-
x
sin
x
2
=
xsinxdx
2∫
x
=
g
1
=
'
g
x
sin
=
'
f
cosx
-
∫
∫
∫
∫
=
xdx
sin
=
f
=
xdx
cos
x
2
∫
-
x
sin
x
2
x
cos
x
(
2
∫
∫
∫
∫
=
)
dx
)
x
cos
(
-
x
sin
x
2
+
x
cos
x
(
2
∫
∫
∫
∫
=
)
xdx
cos
-
x
sin
x
2
+
x
cos
x
(
2
=
C
+
)
x
sin
x
cos
x
2
+
x
sin
x
2
C
+
x
sin
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE (CAŁKOWANIE PRZEZ ZAMIANĘ
ZMIENNYCH)
Jeżeli dla a ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz A ≤
≤
≤
≤ g(x) ≤
≤
≤
≤ B,
a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale [A, B], to
∫
∫
∫
∫
∫
du
)
u
(
f
=
dx
)
x
(
'
g
))
x
(
g
(
f
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić
u = g(x)
PRZYKŁAD 23/28
=
x
+
8
dx
x
3
2
∫
3
x
+
8
=
u
⇒
2
x
3
=
dx
du
⇒
du
=
dx
x
3
2
3
:
/
du
3
1
=
dx
x
2
=
u
du
3
1
∫
=
C
+
|
u
|
ln
3
1
C
+
|
x
+
8
|
ln
3
1
3
∫
∫
∫
∫
u
1
=
du
3
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 24/28
=
dx
)
2
+
x
(
100
∫
2
+
x
=
t
⇒
1
=
dx
dt
dt
=
dx
=
C
+
t
101
1
101
C
+
)
2
+
x
(
101
1
101
PRZYKŁAD 25/28
∫
100
t
=
dt
=
xdx
3
sin
∫
x
3
=
u
⇒
3
=
dx
du
du
=
dx
3
3
:
/
du
3
1
=
dx
∫
∫
∫
∫
=
udu
sin
3
1
=
C
+
u
cos
3
1
-
C
+
x
3
cos
3
1
-
∫ u
sin
=
)
du
3
1
(
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 26/28
=
dx
x
2
-
1
x
∫
2x
-
1
=
t
⇒
2
=
dx
dt
dt
=
dx
2
)
2
(
:
/
⇒
2
dt
=
dx
2x
-
1
=
t
⇒
x
2
=
1
t
)
2
(
:
/
x
=
2
t
1
t
1
2
=
dx
x
2
-
1
x
∫
∫
∫
∫
∫
=
dt
t
)
t
1
(
4
1
2
1
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
)
dt
t
dt
t
(
4
1
2
3
2
1
=
C
+
)
t
5
2
t
3
2
(
4
1
2
5
2
3
=
C
+
t
10
1
+
t
6
1
-
2
5
2
3
+
2x)
-
1
(
6
1
-
3
C
+
2x)
-
1
(
10
1
5
∫
2
t
1
2
1
t
=
)
2
dt
(
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 27/28
=
)
3
-
x
(
dx
5
∫
3
-
x
=
t
⇒
1
=
dx
dt
dt
=
dx
=
)
3
-
x
(
dx
5
∫
∫
∫
∫
∫
=
dt
t
5
=
C
+
t
4
1
4
C
+
3)
-
x
(
4
1
-
4
-
CAŁKI OZNACZONE
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ
∫
5
t
1
=
dt
Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale <a, b>,
tzn. jeżeli F’(x) = f(x) to całka:
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ
( )
( )
[
]
=
C
+
x
F
=
dx
x
f
b
a
b
a
∫
( )
( )
(
)
( )
( )
a
F
-
b
F
=
C
+
a
F
-
C
+
b
F
-wzór Newtona – Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; <a, b> - przedział
całkowania
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 28/28
∫
3
2
2
=
dx
x
3
=
]
C
+
3
x
3
[
3
2
3
=
]
C
+
x
[
3
2
3
-
C
+
3
3
19
=
)
C
+
2
(
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI NIEOZNACZONE)
mm-j
( )
( )
( )
(
)
( )
x
f
=
C
+
x
F
dx
d
C
+
x
F
=
dx
x
f
⇒
∫
Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale <a, b>,
tzn. jeżeli F’(x) = f(x) to całka:
CAŁKI OZNACZONE
ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ
( )
( )
[
]
=
C
+
x
F
=
dx
x
f
b
a
b
a
∫
( )
( )
(
)
( )
( )
a
F
-
b
F
=
C
+
a
F
-
C
+
b
F
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
WŁASNOŚCI:
( )
=
dx
x
kf
b
a
∫
( )
∫
b
a
dx
x
f
k
( )
( )
(
)
∫
b
a
=
dx
x
g
±
x
f
( )
( )
∫
∫
b
a
b
a
dx
x
g
±
dx
x
f
-wzór Newtona – Leibniza; liczby a, b są granicami całkowania; <a, b> - przedział
całkowania
mm-j
Dla trzech dowolnych liczb a, b, c (a < c < b) z przedziału ciągłości funkcji
podcałkowej
f(x) zachodzi związek:
( )
∫
b
a
=
dx
x
f
( )
∫
a
b
dx
x
f
-
( )
∫
a
a
0
=
dx
x
f
( )
∫
b
a
=
dx
x
f
( )
( )
∫
∫
c
a
b
c
dx
x
f
+
dx
x
f
PRZYKŁAD 1/15
=
dx
x
2
0
2
∫
=
]
C
+
3
x
[
2
0
3
=
)
C
+
0
(
-
C
+
3
8
3
8
PRZYKŁAD 2/15
∫
3
2
2
=
dx
x
3
=
]
3
x
3
[
3
2
3
=
]
C
+
x
[
3
2
3
19
=
)
C
2
(
-
C
+
3
3
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 3/15
∫
2
π
0
=
xdx
cos
[
] =
C
+
x
sin
2
π
0
1
=
)
C
+
0
(
-
C
+
1
PRZYKŁAD 4/15
∫
2
1
3
2
3
=
dx
)
x
1
+
x
(
∫
∫
∫
∫
=
dx
x
+
dx
x
2
1
3
/
2
2
1
3
∫
=
]
C
+
3
1
x
+
4
x
[
2
1
3
1
4
=
)
C
+
3
+
4
1
(
-
C
+
2
3
+
4
3
3
2
3
+
4
3
=
PRZYKŁAD 5/15
∫
1
1
2
=
dx
)
x
1
(
=
]
C
+
3
x
x
[
1
1
3
=
)
C
+
3
)
1
(
1
(
C
+
3
1
1
3
3
4
=
)
3
2
(
3
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
Jeśli u(x) i V(X) mają pochodne w przedziale <a, b>, to:
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI:
∫
b
a
=
dx
'
UV
[
]
∫
b
a
b
a
dx
'
VU
-
UV
PRZYKŁAD 6/15
=
dx
x
ln
x
2
1
∫
x
ln
=
)
x
(
f
x
1
=
)
x
(
'
f
x
=
)
x
(
'
g
2
x
=
dx
∫
∫
∫
∫
x
=
)
x
(
g
2
=
dx
x
ln
x
2
1
∫
∫
∫
∫
∫
=
dx
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)]
x
(
g
)
x
(
f
[
2
1
2
1
]
x
ln
2
x
[
2
1
2
∫
∫
∫
∫
=
dx
x
x
1
2
1
2
1
2
=
dx
∫
∫
∫
∫
x
2
1
]
x
ln
2
x
[
2
1
2
1
2
=
]
2
x
2
1
-
x
ln
2
x
[
2
1
2
2
-
C
+
4
4
-
2
ln
2
4
=
)
4
1
-
1
ln
2
1
(
=
C
4
1
+
C
+
1
-
2
ln
2
4
3
-
4
ln
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 7/15
(
)
=
xdx
cos
5
-
x
2
π
0
∫
5
-
x
=
)
x
(
f
1
=
)
x
(
'
f
x
cos
=
)
x
(
'
g
x
sin
∫
∫
∫
∫
=
xdx
cos
=
)
x
(
g
(
)
∫
2
π
0
=
xdx
cos
5
-
x
∫
2
π
0
2
π
0
=
dx
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)]
x
(
g
)
x
(
f
[
2
π
0
]
x
sin
)
5
x
[(
=
xdx
sin
2
π
0
∫
π
π
π
(
)
[
]
=
C
+
x
cos
+
x
sin
5
-
x
2
π
0
C
+
2
π
cos
+
2
π
sin
)
5
-
2
π
(
=
)
C
+
0
cos
+
0
sin
5
(
6
2
π
=
1
5
2
π
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 8/15
=
dx
x
ln
e
1
∫
x
ln
=
)
x
(
f
1
=
)
x
(
'
g
x
1
=
)
x
(
'
f
x
∫
∫
∫
∫
=
dx
1
=
)
x
(
g
=
dx
x
ln
e
1
∫
∫
e
1
e
1
=
dx
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)]
x
(
g
)
x
(
f
[
∫
∫
∫
∫
=
xdx
x
1
]
x
ln
x
[
e
1
e
1
=
]
C
+
x
x
ln
x
[
e
1
C
+
e
e
ln
e
=
)
C
+
1
1
ln
1
(
1
=
1
+
e
e
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:
Jeśli g’(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale <a, b>, a f(u) funkcją
ciągłą w przedziale <g(a), g(b)>, to zachodzi następujący związek:
∫
∫
∫
∫
=
dx
)
x
(
'
g
))
x
(
g
(
f
b
a
∫
∫
∫
∫
du
)
u
(
f
)
b
(
g
)
a
(
g
PRZYKŁAD 9/15
=
x
3
+
1
xdx
5
0
∫
x
3
+
1
=
t
⇒
=
x
3
+
1
2
3
=
dx
dt
t
2
3
⇒
tdt
2
=
dx
3
3
tdt
2
=
dx
x
3
+
1
=
t
2
/
⇒
x
3
+
1
=
t
2
x
3
=
1
t
2
⇒
3
1
-
t
=
x
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
0
=
x
1
⇒
1
=
1
=
t
1
5
=
x
2
⇒
4
=
16
=
t
2
∫
4
1
2
=
t
3
tdt
2
3
1
t
(
)
∫
4
1
2
=
dt
1
-
t
9
2
=
=
]
C
+
t
3
t
[
9
2
4
1
3
=
)]
C
+
1
3
1
(
C
+
4
3
64
[
9
2
4
=
)
5
3
63
(
9
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 10/15
=
dx
1
+
e
2
e
1
0
x
x
∫
1
+
e
2
=
t
x
x
e
2
=
dx
dt
⇒
dx
e
2
=
dt
x
2
dt
=
dx
e
x
0
=
x
1
⇒
3
=
t
1
1
=
x
2
⇒
1
+
e
2
=
t
2
=
dx
1
+
e
2
e
1
0
x
x
∫
∫
∫
∫
∫
=
t
2
dt
1
+
e
2
3
∫
∫
∫
∫
=
t
dt
2
1
1
+
e
2
3
=
|]
t
|
[ln
2
1
1
+
e
2
3
=
)]
C
+
3
(ln
C
+
)
1
+
e
2
[ln(
2
1
3
ln
2
1
)
1
+
e
2
ln(
2
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 11/15
=
dx
x
1
1
3
∫
x
1
=
t
1
=
dx
dt
dx
=
dt
)
1
(
/*
dt
=
dx
⇒
3
=
x
1
⇒
4
=
t
1
1
=
x
2
⇒
0
=
t
2
=
dx
x
1
1
3
∫
∫
0
4
=
)
dt
(
t
=
∫
∫
∫
∫
)
dt
(
t
4
0
=
dt
t
4
0
2
1
∫
=
]
C
+
t
3
2
[
4
0
2
3
=
C
C
+
)
2
(
3
2
2
/
3
2
3
16
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 12/15
∫
6
π
0
=
xdx
3
cos
x
3
=
t
3
=
dx
dt
dx
/*
dt
=
dx
3
3
:
/
3
dt
=
dx
0
=
x
1
⇒
0
=
t
1
6
π
=
x
2
⇒
2
π
=
t
2
∫
6
π
0
=
xdx
3
cos
∫
∫
∫
∫
=
3
dt
t
cos
2
/
π
0
=
dt
t
cos
3
1
2
π
0
∫
=
]
C
+
t
[sin
3
1
2
π
0
=
)]
C
+
0
(sin
C
+
2
π
[sin
3
1
3
1
=
)
0
1
(
3
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 13/15
∫
π
3
0
=
dx
3
x
sin
x
3
1
=
t
3
1
=
dx
dt
dx
=
dt
3
∫
π
3
0
=
dx
3
x
sin
∫
=
tdt
sin
3
=
]
C
+
t
[cos
3
=
]
C
+
3
x
[cos
3
π
3
0
=
)]
C
+
0
(cos
)
C
+
π
[(cos
3
6
=
)
1
1
(
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 14/15
=
dx
)
x
2
1
(
1
2
1
4
∫
x
2
1
=
t
2
=
dx
dt
dx
/*
dt
=
dx
2
⇒
dt
2
1
=
dx
3
=
dx
)
x
2
1
(
1
2
1
4
∫
∫
∫
∫
∫ =
t
dt
2
1
4
∫
∫
∫
∫
=
dt
t
2
1
4
=
C
+
3
t
2
1
3
=
]
C
+
)
x
2
1
[(
6
1
2
1
3
=
]}
C
+
)
1
[(
C
+
)
3
{(
6
1
3
3
=
)
)
1
(
3
(
6
1
3
3
=
)
1
+
27
1
(
6
1
81
13
=
27
26
6
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
PRZYKŁAD 15/15
∫
4
0
=
1
+
x
2
xdx
1
+
x
2
=
t
⇒
2
1
t
=
x
0
=
x
1
⇒
1
=
t
1
4
=
x
2
⇒
9
=
t
2
2
=
dx
dt
⇒
dt
=
dx
2
dt
2
1
=
dx
∫
4
0
=
1
+
x
2
xdx
=
∫
∫
∫
∫
t
dt
2
1
2
1
t
9
1
2
/
1
∫
∫
∫
∫
=
dt
t
)
1
t
(
4
1
9
1
2
/
1
∫
9
1
2
1
2
1
=
dt
)
t
t
(
4
1
=
)]
C
+
t
2
t
3
2
[(
4
1
9
1
2
1
2
3
C
+
)
3
(
2
)
3
(
3
2
[
4
1
2
1
2
2
3
2
=
)]
C
+
2
3
2
(
=
)
3
4
+
6
27
3
2
(
4
1
=
)
3
4
+
6
18
(
4
1
3
10
=
3
40
4
1
2
:
/
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_CAŁKI OZNACZONE)
mm-j
CAŁKI OZNACZONE
GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA CAŁKI OZNACZONEJ
( )
( )
( )
(
)
( )
x
f
=
C
+
x
F
dx
d
C
+
x
F
=
dx
x
f
⇒
∫
( )
( )
[
]
( )
( )
(
)
( )
( )
a
F
-
b
F
=
C
+
a
F
-
C
+
b
F
=
C
+
x
F
=
dx
x
f
b
a
b
a
∫
Całka oznaczona z funkcji f(x) w przedziale <a, b> w interpretacji geometrycznej jest
polem figury S ograniczonej wykresem funkcji f(x), osią odciętych oraz prostymi a i b.
OBLICZANIE PÓL OBSZARÓW PŁASKICH
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
( )
(
)
( )
∫
∫
b
a
b
a
dx
x
f
=
dx
0
-
x
f
=
S
mm-j
Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x
2
– 4x + 3, prostą x = 4 oraz
osiami OX i OY
PRZYKŁAD 1/6
Miejsca zerowe:
0
=
3
+
x
4
x
2
4
=
∆
⇒
2
=
∆
Wierzchołek:
3
=
x
,
1
=
x
2
1
)
a
4
∆
,
a
2
b
(
=
W
)
1
,
2
(
=
W
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
3
=
)
0
(
y
)
3
,
0
(
A
3
2
1
S
+
S
+
S
=
S
=
)
x
3
+
2
x
4
3
x
(
=
dx
)
0
3
+
x
4
x
(
=
S
1
0
1
0
2
3
2
1
∫
2
j
3
1
1
=
)
3
+
2
3
1
(
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
=
dx
)
3
x
4
+
x
(
=
dx
)]
3
+
x
4
x
(
0
[
=
S
3
1
3
1
2
2
2
∫
∫
=
)
x
3
2
x
4
+
3
x
(
3
1
2
3
=
)
3
2
+
3
1
(
)
9
18
+
9
(
2
2
j
3
1
1
=
j
3
4
=
)
3
4
(
∫
4
3
4
3
2
3
2
3
3
64
(
=
)
x
3
+
2
x
4
3
x
(
=
dx
)
0
3
+
x
4
x
(
=
S
=
)
9
+
18
9
(
)
12
+
32
=
20
3
1
21
=
20
3
64
2
2
j
3
1
1
=
j
3
4
2
j
4
=
3
1
1
*
3
=
S
PRZYKŁAD 2/6
Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej parabolą y = x
2
+1, prostymi x = -1, x = 1 oraz
OX
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
∫
∫
∫
1
1
-
1
1
-
1
1
-
3
2
1
1
-
2
=
]
C
+
x
+
3
x
[
=
1dx
+
dx
x
=
0]dx
-
1)
+
[(x
=
)
C
+
1
-
3
1
(-
-
C
+
1
+
3
1
2
j
3
8
=
3
4
+
3
4
PRZYKŁAD 3/6
Obliczyć pole figury ograniczonej parabolą y
1
= x
2
– 1 i prostą y
2
= 2x + 2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Miejsca zerowe dla y
1
= x
2
- 1:
Wierzchołek:
0
=
1
x
2
1
=
x
2
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
x
;
1
=
x
2
1
)
a
4
∆
,
a
2
b
(
=
W
1
⇒
⇒
⇒
⇒
)
1
,
0
(
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
Miejsca zerowe dla y
2
= 2x + 2:
1
=
)
0
(
y
1
)
1
,
0
(
K
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Współrzędne punktu przecięcia z OY:
0
=
2
+
x
2
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
x
3
2
=
)
0
(
y
2
)
2
,
0
(
L
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Współrzędne punktów A i B:
2
1
y
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
2
+
x
2
=
1
x
2
0
=
3
x
2
x
2
16
=
12
+
4
=
∆
4
=
∆
3
=
x
;
1
=
x
2
1
0
=
1
)
x
(
=
y
2
1
1
⇒
⇒
⇒
⇒
)
0
,
1
(
A
8
=
2
+
x
2
=
y
2
2
⇒
⇒
⇒
⇒
)
8
,
3
(
B
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji y = lnx, prostymi x = e, y = 0
Pole obszaru ograniczonego parabolą y
1
i prostą y
2
:
∫
∫
3
1
2
3
1
2
=
dx
)
1
+
x
2
+
x
2
(
=
dx
)]
1
x
(
)
2
+
x
2
[(
=
P
∫
3
1
2
=
dx
)
3
+
x
2
+
x
(
=
]
x
3
+
2
x
2
+
x
3
1
[
3
1
2
3
2
j
3
2
10
=
3
2
1
+
9
=
)
3
1
+
3
1
(
9
+
9
+
9
PRZYKŁAD 4/6
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
ZASTOSOWANIE CAŁEK DO OBLICZEŃ FIZYKO-CHEMICZNYCH
=
dx
)
0
x
(ln
=
S
e
1
∫
∫
e
1
=
xdx
ln
x
ln
=
)
x
(
u
x
1
=
)
x
(
'
u
dx
=
)
x
(
'
V
∫
∫
∫
∫
x
=
dx
=
V
e
1
|
x
ln
x
=
=
dx
x
1
x
e
1
∫
=
|
)
1
x
(ln
x
=
|
)
x
x
ln
x
(
=
e
1
e
1
2
j
1
=
1
+
)
1
1
(
e
=
)
1
1
(ln
)
1
e
(ln
e
Oblicz ilość ciepła potrzebną do ogrzania masy m gazu od temperatury t
1
do t
2
. Ciepło
właściwe C = C
0
+ at + bt
2
PRZYKŁAD 5/6
Cm
=
dt
dQ
⇒
⇒
⇒
⇒
)
bt
+
at
+
C
(
m
=
dt
dQ
2
0
dt
/*
dt
)
bt
+
at
+
C
(
m
=
dQ
2
0
∫
∫
∫
∫
/*
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
K
mol
J
∫
∫
dt
)
bt
+
at
+
C
(
m
=
dQ
2
0
=
dt
)
bt
+
at
+
m(C
=
Q
2
1
t
t
2
0
∫
∫
∫
∫
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
2
0
)
dt
t
b
+
tdt
a
+
dt
C
(
m
=
]
C
)
C
+
t
3
b
+
t
2
a
+
t
C
[(
m
=
Q
3
2
2
0
2
1
t
t
3
2
0
)
C
+
3
t
b
+
2
t
a
+
t
C
(
m
=
Q
3
2
2
0
t
3
b
+
t
2
a
+
t
C
(
m
PRZYKŁAD 6/6
Oblicz zmianę entropii ∆
∆
∆
∆S. i entalpii ∆
∆
∆
∆H podczas ogrzewania m = 200 g pewnego
związku o masie molowej M = 72 g/mol od T
1
= 273 K do T
2
= 523 K, jeśli:
K
mol
J
T
11
,
0
T
3
,
14
+
10
*
02
,
46
=
C
2
3
p
∫
2
1
T
T
p
T
dT
C
n
=
S
∆
∫
2
1
T
T
p
dT
C
n
=
H
∆
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
Dane:
Szukane:
K
mol
J
T
11
,
0
T
3
,
14
+
10
*
02
,
46
=
C
2
3
p
∫
2
1
T
T
p
T
dT
C
n
=
S
∆
∫
2
1
T
T
p
dT
C
n
=
H
∆
8
,
2
=
72
200
=
M
m
=
n
]
mol
=
mol
g
g
[
mola
8
,
2
=
n
⇒
⇒
⇒
⇒
m = 200 g
T
1
= 273 K
T
2
= 523 K
M = 72 g/mol
mol
∫
2
1
T
T
p
T
dT
C
n
=
S
∆
=
T
dT
)
T
11
,
0
T
3
,
14
+
10
*
02
,
46
(
8
,
2
=
S
∆
523
273
2
3
∫
∫
523
273
3
+
T
dT
10
*
02
,
46
[
8
,
2
=
]
T
dT
T
11
,
0
T
dT
T
3
,
14
523
273
523
273
2
∫
∫
=
]
2
T
11
,
0
T
3
,
14
+
|
T
|
ln
10
*
02
,
46
[
8
,
2
523
273
2
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
2
3
523
2
1
*
11
,
0
523
*
3
,
14
+
523
ln
10
*
02
,
46
[
8
,
2
=
+
273
ln
10
*
02
,
46
(
3
=
)]
273
2
1
*
11
,
0
273
*
3
,
14
2
+
)
273
ln
523
(ln
10
*
02
,
46
[
8
,
2
3
)
273
523
(
3
,
14
=
)]
273
523
(
2
1
11
,
0
2
2
250
*
3
,
14
+
273
523
ln
10
*
02
,
46
(
8
,
2
3
=
)
10
*
5
,
99
*
11
,
0
3
3
3
3
3
10
*
14
,
63
=
)
10
*
94
,
10
10
*
57
,
3
+
10
*
92
,
29
(
8
,
2
]
K
J
[
=
]
K
mol
J
mol
[
=
]
S
∆
[
K
kJ
14
,
63
=
K
J
10
*
14
,
63
=
S
∆
3
∫
2
1
T
T
p
dT
C
n
=
H
∆
=
dT
)
T
11
,
0
T
3
,
14
+
10
*
02
,
46
(
8
,
2
=
H
∆
523
273
2
3
∫
∫
523
273
3
+
dT
10
*
02
,
46
(
8
,
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
∫
∫
523
273
523
273
2
=
)
dT
T
11
,
0
TdT
3
,
14
=
]
3
T
11
,
0
2
T
3
,
14
+
T
10
*
02
,
46
[
8
,
2
523
273
3
2
3
)
273
523
(
2
1
3
,
14
+
)
273
523
(
10
*
02
,
46
[
8
,
2
2
2
3
=
)]
273
523
(
3
1
11
,
0
3
3
=
)
10
*
50
,
4
10
*
42
,
1
+
10
*
5
,
11
(
8
,
2
6
6
6
6
10
*
58
,
23
]
J
[
=
]
K
K
mol
J
mol
[
=
]
H
∆
[
kJ
10
*
58
,
23
=
J
10
*
58
,
23
=
H
∆
3
6
MATEMATYKA_FARMACJA (RACHUNEK CAŁKOWY_ZASTOSOWANIE)
mm-j
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
DEFINICJA 1
Jeśli w danym równaniu występuje pochodna pierwszego rzędu niewiadomej funkcji,
a nie występują pochodne wyższych rzędów tej funkcji, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym pierwszego rzędu y’=f(x,y), gdzie f(x,y) jest pewną
funkcją dwóch zmiennych, a litera y oznacza funkcję niewiadomą.
DEFINICJA 2
Jeśli w danym równaniu występuje pochodna drugiego rzędu funkcji niewiadomej,
a nie występują pochodne wyższych rzędów, to takie równanie nazywamy
równaniem różniczkowym drugiego rzędu y’’=f(x,y,y’), gdzie f(x,y,y’) jest
pewną funkcją trzech zmiennych, a litera y oznacza funkcję niewiadomą.
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
DEFINICJA 3
Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym występują
pochodne lub różniczki funkcji niewiadomej jednej zmiennej niezależnej.
mm-j
Rzędem równania różniczkowego nazywamy liczbę równą rzędowi najwyższej
pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu.
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu:
xy
2
=
'
y
⇒
xy
2
=
dx
dy
y
+
x
=
dx
dy
y
4
⇒
y
+
x
=
'
yy
4
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu:
x
sin
=
y
+
'
'
y
⇒
x
sin
=
y
+
dx
y
d
2
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Wykres
funkcji
będącej
rozwiązaniem
równania
różniczkowego
równania
różniczkowego
zwyczajnego
nazywa
się
krzywą
całkową
równania
różniczkowego.
Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych trzeciego rzędu:
x
=
'
'
y
2
-
'
'
'
yy
⇒
x
=
dx
y
d
2
-
dx
y
d
y
2
2
3
3
różniczkowego.
Aby rozwiązać równanie różniczkowe y’ = 2x należy znaleźć wszystkie funkcje
różniczkowalne, które to równanie spełniają (o pochodnej równej 2x).
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego F(x, y, y’, _ , y
n
) = 0 w
przedziale I nazywamy każde rozwiązanie, które można otrzymać z rozwiązania
ogólnego danego równania przez odpowiedni wybór stałej dowolnej.
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego n – tego rzędu nazywamy
rozwiązanie zawierające n stałych dowolnych istotnych.
R. r I-go rzędu o zmiennych rozdzielonych
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
)
y
(
g
)
x
(
f
=
'
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKŁAD 1/10
3
2
y
x
=
'
y
3
2
y
x
=
dx
dy
dx
/*
dx
y
x
=
dy
3
2
3
2
y
:
/
xdx
=
y
dy
3
2
∫
∫
∫
∫
/*
⇒
∫
∫
xdx
=
dy
y
3
2
-
y
3
1
rozwiązanie równania wyrażone w sposób uwikłany, rozwiązanie
ogólne
3
C
+
6
x
=
y
1
2
3
1
rozwiązanie równania wyrażone w sposób jawny (C = C
1
/3),
rozwiązanie ogólne
xdx
=
dy
3
1
y
3
1
1
2
3
1
C
+
2
x
=
y
3
3
:
/
1
2
3
1
C
+
2
x
=
y
3
⇒
3
2
)
C
+
6
x
(
=
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Znaleźć krzywą całkową równania:
przechodzącą przez punkt (3,2)
PRZYKŁAD 2/10
x
y
=
'
y
x
y
=
dx
dy
dx
/*
dx
x
y
=
dy
y
:
/
x
dx
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
⇒
∫
∫
x
dx
=
y
dy
=
|
y
|
ln
C
+
|
x
|
ln
⇒
lub
gdzie C = lnD
Krzywa całkowa przechodząca przez punkt (3,2) ma równanie:
=
|
y
|
ln
D
ln
+
|
x
|
ln
|
xD
|
ln
=
|
y
|
ln
xD
=
y
lub
D
-x
=
y
⇒
lub
lub
2 = 3D (D = 2/3)
lub
2 = - 3D (D = -2/3)
x
3
2
=
y
,
x
3
2
=
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dm = -kmdt - równanie różniczkowe charakteryzujące rozpad pierwiastka
promieniotwórczego w czasie
(m – masa, t – czas, k – dodatni współczynnik
proporcjonalności charakteryzujący zdolność promieniotwórczą danego pierwiastka)
PRZYKŁAD 3/10
kmdt
-
=
dm
m
:
/
kdt
=
m
dm
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫kdt
=
m
dm
⇒
∫
∫
dt
-k
=
m
dm
⇒
1
C
+
kt
=
m
ln
gdzie lnC = C
1
- rozwiązanie ogólne
lnC
+
-kt
=
m
ln
C
ln
+
kt
=
m
log
e
C
ln
+
kt
-
e
=
m
⇒
C
ln
-kt
e
e
=
m
⇒
C
=
e
=
e
C
log
C
ln
e
-kt
Ce
=
m
w chwili t = 0
m
0
= C
⇒
-kt
0
e
m
=
m
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKŁAD 4/10
dt
/*
dt
kc
=
dc
2
2
c
:
/
2
kc
-
=
dt
dc
-kdt
=
c
dc
2
∫
/*
∫
∫
kdt
=
c
dc
2
⇒
∫
∫
dt
-k
=
dc
c
-2
w chwili t = 0
zatem
=
c
1
-
1
C
+
kt
-
=
c
1
-
0
1
C
⇒
=
c
1
-
0
C
1
kt
-
)
1
(
/*
⇒
0
c
1
+
kt
=
c
1
kt
=
c
1
-
c
1
0
⇒
=
c
c
c
-
c
0
0
kt
⇒
=
k
c
c
c
-
c
t
1
0
0
C
C
/*
0
=
C
C
0
C
ktC
0
C
tC
:
/
0
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Całką ogólną równania różniczkowego x + yy’ = 0 jest całka x
2
+ y
2
= C. Znaleźć
całkę szczególną równania, które spełnia warunek y(-3) = 4 (warunek, aby krzywa
całkowa równania x + yy’ = 0 przechodziła przez pkt. A(-3, 4)).
PRZYKŁAD 5/10
C
=
4
+
)
3
(
2
2
C
=
y
+
x
2
2
4
=
y
;
3
=
x
25
=
y
+
x
2
2
Warunek, aby krzywa całkowa tego równania przechodząca przez pkt. A(-3, 4),
nazywamy warunkiem początkowym.
- całka szczególna
C
=
16
+
9
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Całka ogólna równania Vdu – tgudV = 0 ma postać V = csinu. Znaleźć całkę
szczególną wiedząc, że:
warunek początkowy
PRZYKŁAD 6/10
2
1
=
)
6
π
(
V
⇒
⇒
⇒
⇒
2
1
=
V
6
π
=
u
⇒
⇒
⇒
⇒
u
sin
c
=
V
⇒
6
π
sin
c
=
2
1
2
1
c
=
2
1
2
/*
⇒
1
=
c
Całka szczególna równania Vdu – tgudV = 0 ma postać V = - sinu
Znaleźć całkę szczególną równania y’e
-x
= x – 1 dla warunku początkowego:
PRZYKŁAD 7/10
e
=
)
1
(
y
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
x
⇒
⇒
⇒
⇒
e
=
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
1
x
=
e
'
y
x
1
x
=
e
dx
dy
x
dx
/*
⇒
⇒
⇒
⇒
dx
)
1
x
(
=
dye
x
x
e
:
/
x
e
dx
)
1
x
(
=
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
dx
e
)
1
x
(
=
dy
x
∫
/* ⇒
⇒
⇒
⇒
∫
∫
dx
e
)
1
x
(
=
dy
x
∫
=
dx
e
)
1
x
(
x
1
x
=
u
1
=
'
u
x
e
=
'
V
∫ dx
e
=
V
x
x
e
)
1
x
(
=
∫
=
dx
e
x
=
C
+
e
e
)
1
x
(
x
x
C
+
)
2
x
(
e
x
∫
∫
dx
e
)
1
x
(
=
dy
x
⇒
⇒
⇒
⇒
C
+
)
2
x
(
e
=
y
x
e
=
)
1
(
y
C
+
e
=
e
C
=
e
+
e
⇒
0
=
C
⇒
⇒
⇒
⇒
)
2
x
(
e
=
y
x
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Wykazać, że funkcja y = e
– 5x
jest całką równania y’’ + 5y’ = 0
PRZYKŁAD 8/10
=
'
y
x
5
e
5
=
)'
x
5
(
e
x
5
=
)
5
(
e
x
5
x
5
x
5
x
5
x
5
e
25
=
)
e
5
(
5
=
)'
e
(
5
=
)'
e
5
(
=
'
'
y
0
=
)
e
5
(
5
+
e
25
x
5
x
5
Funkcja y = e
– 5x
jest całką równania y’’ + 5y’ = 0
PRZYKŁAD 9/10
0
=
kp
+
V
dV
dp
Dane jest równanie:
Wyznacz równanie adiabaty (związek między p a V).
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
kp
=
V
dV
dp
dV
/*
kpdV
=
dpV
p
:
/
kdV
=
p
dpV
V
:
/
⇒
⇒
⇒
⇒
V
dV
k
=
p
dp
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
V
dV
k
=
p
dp
∫
∫
V
dV
k
=
p
dp
⇒
⇒
⇒
⇒
- równanie adiabaty
1
C
+
|
V
|
ln
k
=
|
p
|
ln
C
ln
+
|
V
|
ln
k
=
|
p
|
ln
gdzie C
1
= lnC
C
ln
=
|
V
|
ln
k
+
|
p
|
ln
C
ln
=
|
V
|
ln
+
|
p
|
ln
k
⇒
⇒
⇒
⇒
C
ln
=
pV
ln
k
⇒
C
=
pV
k
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Szybkość chłodzenia ciała w pewnych warunkach jest wprost proporcjonalne do
różnicy temperatur T – T
0
(T – temperatura ciała, T
0
– temperatura otoczenia).
Wyznaczyć przebieg zmian temperatury T jako funkcji czasu t, jeżeli współczynnik
proporcjonalności k jest stały w czasie.
PRZYKŁAD 10/10
Szybkość zmiany temperatury:
)
T
T
(
k
=
dt
dT
0
dt
/*
dt
)
T
T
(
k
=
dT
0
)
T
T
(
:
/
0
⇒
⇒
⇒
⇒
kdt
=
T
T
dT
0
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
kdt
=
T
T
dT
0
⇒
⇒
⇒
⇒
∫
∫
dt
k
=
T
T
dT
0
=
T
T
dT
0
∫
0
T
T
=
m
1
=
dT
dm
dT
/*
dT
=
dm
⇒
⇒
⇒
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
∫
∫
∫
∫
|
m
|
ln
=
m
dm
⇒
⇒
⇒
⇒
|
T
T
|
ln
0
C
+
kt
=
|
T
T
|
ln
0
C
+
kt
=
|
T
T
|
log
0
e
C
+
kt
0
e
=
T
T
C
+
kt
0
e
+
T
=
T
C
kt
0
e
e
+
T
=
T
kt
1
0
e
C
+
T
=
T
gdzie e
C
= C
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
f jest funkcją ciągłą, zależną od stosunku:
Równanie różniczkowe jednorodne rozwiązuje się przez podstawienie:
)
x
y
(
f
=
'
y
x
y
=
u
u
=
x
y
x
/*
xu
=
y
u
dx
d
x
+
xu
dx
d
=
dx
dy
=
dx
dy
u
dx
d
x
+
u
PRZYKŁAD 1/6
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
x
y
+
2
=
dx
dy
mm-j
u
=
x
y
x
/*
xu
=
y
u
dx
d
x
+
xu
dx
d
=
dx
dy
u
dx
d
x
+
u
=
dx
dy
x
y
+
2
=
dx
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
x
xu
+
2
=
dx
du
x
+
u
u
+
2
=
dx
du
x
+
u
2
=
dx
du
x
dx
/*
dx
2
=
xdu
x
:
/
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dx
x
2
=
du
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
dx
x
1
2
=
du
=
u
C
+
x
ln
2
x
y
=
u
⇒
⇒
⇒
⇒
C
+
x
ln
2
=
x
y
x
/*
⇒
(
)
C
+
x
ln
2
x
=
y
PRZYKŁAD 2/6
Znaleźć całkę szczególną:
warunek początkowy:
x
y
e
x
+
y
=
'
xy
0
=
)
e
1
(
y
⇒
⇒
⇒
⇒
0
=
y
,
e
1
=
x
x
y
e
x
+
y
=
'
xy
x
:
/
x
y
e
+
x
y
=
'
y
⇒
x
y
e
+
x
y
=
'
y
⇒
x
y
e
+
x
y
=
dx
dy
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
u
=
x
y
x
/*
xu
=
y
u
dx
d
x
+
xu
dx
d
=
dx
dy
u
dx
d
x
+
u
⇒
x
y
e
+
x
y
=
dx
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
u
e
+
u
=
dx
du
x
+
u
=
dx
dy
u
e
=
dx
du
x
dx
/*
dx
e
=
xdu
u
u
e
:
/
dx
=
e
xdu
u
x
:
/
x
dx
=
e
du
u
∫
∫
∫
∫
/*
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
∫
∫
x
dx
=
du
e
u
∫
=
du
e
u
t
=
u
)
dt
(
/*
dt
=
du
=
dt
e
t
∫
=
C
+
e
t
C
+
e
u
⇒
⇒
⇒
⇒
∫
∫
x
dx
=
du
e
u
∫
u
e
=
du
∫
t
e
=
)
dt
(
)
1
/(
*
t
=
u
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
dt
du
C
ln
+
|
x
|
ln
=
e
u
gdzie lnC = C
1
u
=
x
y
=
e
x
y
|
C
|
ln
+
|
x
|
ln
⇒
|
Cx
|
ln
=
e
x
y
0
=
)
e
1
(
y
|
C
e
1
|
ln
=
e
0
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Znaleźć całkę ogólną równania:
e
C
ln
=
1
⇒
⇒
⇒
⇒
e
C
log
=
e
log
e
1
e
e
C
=
e
1
⇒
⇒
⇒
⇒
1
=
C
|
Cx
|
ln
=
e
x
y
|
x
|
ln
=
e
x
y
PRZYKŁAD 3/6
x
+
y
5
=
'
xy
x
:
/
⇒
1
+
x
y
5
=
'
y
⇒
u
=
x
y
x
/*
xu
=
y
u
dx
d
x
+
xu
dx
d
=
dx
dy
u
dx
d
x
+
u
=
dx
dy
⇒
1
+
u
5
=
dx
dy
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
1
+
u
5
=
dx
dy
1
+
u
5
=
dx
du
x
+
u
1
+
u
4
=
dx
du
x
dx
/*
dx
)
1
+
u
4
(
=
xdu
x
:
/
dx
x
1
+
u
4
=
du
)
1
+
u
4
(
:
/
dx
x
1
=
)
1
+
u
4
(
du
∫
∫
∫
∫
/*
=
1
+
u
4
du
∫
∫
dx
x
1
4
4
1
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
=
|
1
+
u
4
|
ln
4
1
|
C
|
ln
+
|
x
|
ln
gdzie
1
C
=
|
C
|
ln
=
|
1
+
u
4
|
ln
4
1
|
C
|
ln
+
|
x
|
ln
4
/*
=
|
1
+
u
4
|
ln
C
ln
4
+
|
x
|
ln
4
=
|
1
+
u
4
|
ln
4
4
C
ln
+
|
x
|
ln
4
|
xC
|
ln
=
|
1
+
u
4
|
ln
gdzie
gdzie
gdzie
|
Dx
|
ln
=
|
1
+
u
4
|
ln
4
gdzie D = C
4
4
Dx
=
1
+
u
4
x
y
=
u
4
Dx
=
1
+
x
y
4
x
/*
1
Dx
=
x
y
4
4
⇒
⇒
⇒
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
4
:
/
)
1
Dx
(
x
=
y
4
4
)
1
Dx
(
x
4
1
=
y
4
RÓWNIANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE
( )
( )
x
f
=
y
x
p
+
'
y
PRZYKŁAD 4/6
dy
równanie uproszczone
x
cos
=
x
sin
y
-
x
cos
dx
dy
0
=
x
sin
y
-
x
cos
dx
dy
x
sin
y
=
x
cos
dx
dy
dx
/*
xdx
sin
y
=
x
cos
dy
y
:
/
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
xdx
sin
=
x
cos
y
dy
x
cos
:
/
dx
x
cos
x
sin
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
x
cos
xdx
sin
=
y
dy
=
y
ln
C
+
x
cos
ln
-
C
+
|
x
cos
|
ln
=
tgx
∫
→
→
→
→
C
ln
+
|
x
cos
|
ln
=
|
y
|
ln
1
|
x
cos
C
|
ln
=
|
y
|
ln
x
cos
C
=
y
uzmiennienie stałej:
( )
x
cos
x
C
=
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
( )
( )
x
cos
x
sin
x
C
+
x
cos
x
'
C
=
'
y
2
x
cos
=
x
sin
y
-
x
cos
dx
dy
x
cos
=
x
sin
y
x
cos
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
( )
( )
x
cos
x
sin
x
C
+
x
cos
x
'
C
2
-
x
cos
( )
x
cos
x
C
x
sin
x
cos
=
( )
+
x
cos
x
cos
x
'
C
x
cos
x
sin
)
x
(
C
=
x
cos
x
sin
)
x
(
C
x
cos
( )
x
cos
=
x
'
C
( )
∫
xdx
cos
=
x
C
( )
C
+
x
sin
=
x
C
( )
x
cos
x
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
cos
C
+
x
sin
=
y
x
cos
C
+
tgx
=
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
Znaleźć krzywą całkową równania
przechodzącą przez punkt: A(1, 1).
równanie uproszczone
PRZYKŁAD 5/6
x
=
x
y
+
'
y
x
=
x
y
+
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
=
x
y
+
dx
dy
0
=
x
y
+
dx
dy
x
y
=
dx
dy
dx
/*
dx
x
y
=
dy
y
:
/
dx
x
1
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
dx
x
1
=
y
dy
C
ln
+
|
x
|
ln
=
|
y
|
ln
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
uzmiennienie stałej
C
ln
+
x
ln
=
|
y
|
ln
1
1
Cx
ln
=
y
ln
1
Cx
=
y
x
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
)
x
(
C
=
y
2
x
'
x
)
x
(
C
x
)
x
(
'
C
=
'
y
2
x
)
x
(
C
x
)
x
(
'
C
=
x
x
x
=
x
1
y
+
'
y
2
x
)
x
(
C
x
)
x
(
'
C
x
)
x
(
C
+
x
1
x
=
x
=
x
)
x
(
C
+
x
)
x
(
C
x
)
x
(
'
C
2
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
x
=
x
)
x
(
'
C
x
/*
⇒
⇒
⇒
⇒
2
x
=
)
x
(
'
C
2
x
=
dx
)
x
(
dC
dx
/*
∫
∫
dx
x
=
)
x
(
dC
2
D
+
3
x
=
)
x
(
C
3
D
+
x
3
x
)
x
(
C
=
y
=
x
D
+
3
x
⇒
⇒
⇒
⇒
x
D
+
x
3
x
3
rozwiązanie ogólne równania
dla A(1,1)
Krzywa całkowa równania
ma postać:
D
+
3
1
=
1
3
⇒
⇒
⇒
⇒
3
2
=
D
x
=
x
y
+
'
y
x
3
2
+
x
=
y
3
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
PRZYKŁAD 6/6
Znaleźć krzywą całkową równania
x
ln
=
y
x
1
'
y
przechodzącą przez punkt: A(1, 1).
x
ln
=
y
x
1
'
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
ln
=
y
x
1
dx
dy
0
=
x
y
dx
dy
równanie uproszczone
x
y
=
dx
dy
dx
/*
dx
x
y
=
dy
y
:
/
x
dx
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
x
dx
=
y
dy
C
ln
+
|
x
|
ln
=
|
y
|
ln
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
|
Cx
|
ln
=
|
y
|
ln
Cx
=
y
x
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
uzmiennienie stałej
=
dx
dy
=
'
y
'
x
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
x
ln
=
y
x
1
dx
dy
'
x
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
x
1
x
)
x
(
C
x
ln
=
x
x
ln
=
x
)
x
(
C
x
1
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
x
ln
=
x
)
x
(
'
C
x
:
/
x
x
ln
=
)
x
(
'
C
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
∫
dx
x
x
ln
=
)
x
(
C
∫
=
dx
x
x
ln
x
ln
=
t
x
1
=
dx
dt
⇒
⇒
⇒
⇒
xdt
=
dx
x
:
/
dt
=
dx
x
1
D
+
2
t
2
∫
t
=
dt
∫
D
+
)
x
(ln
2
1
=
tdt
2
rozwiązanie ogólne równania
∫
dx
x
x
ln
=
)
x
(
C
⇒
⇒
⇒
⇒
D
+
)
x
(ln
2
1
=
)
x
(
C
2
x
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
]
D
+
)
x
(ln
2
1
[
=
y
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
dla A(1,1)
]
D
+
)
1
(ln
2
1
[
=
1
2
⇒
⇒
⇒
⇒
D
=
1
x
]
D
+
)
x
(ln
2
1
[
=
y
2
⇒
⇒
⇒
⇒
=
x
]
1
+
)
x
(ln
2
1
[
=
y
2
x
+
)
x
(ln
x
2
1
2
Krzywa całkowa równania
ma postać:
x
ln
=
y
x
1
'
y
x
+
)
x
(ln
x
2
1
=
y
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE)
mm-j
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE
PRZYKŁAD
1/11
( )
( )
x
f
=
y
x
p
+
'
y
2
x
xe
=
xy
2
+
dx
dy
2
x
xe
=
xy
2
+
'
y
równanie uproszczone
0
=
xy
2
+
dx
dy
xy
2
=
dx
dy
dx
/*
xydx
2
=
dy
y
:
/
xdx
2
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
uzmiennienie stałej
∫
∫
xdx
2
=
y
dy
C
+
2
x
2
=
|
y
|
ln
2
⇒
C
+
x
=
|
y
|
log
2
e
C
+
x
2
e
=
y
C
x
e
e
=
y
2
2
x
Ce
=
y
2
x
e
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
=
dx
dy
=
'
y
+
e
)
x
(
'
C
2
x
2
x
e
)
x
(
C
)
x
2
(
2
x
xe
=
xy
2
+
dx
dy
⇒
+
)
x
2
(
e
)
x
(
C
+
e
)
x
(
'
C
2
2
x
x
x
2
=
e
)
x
(
C
2
x
2
x
xe
2
2
x
x
xe
=
e
)
x
(
'
C
x
=
)
x
(
'
C
x
=
dx
)
x
(
dC
dx
/*
⇒
xdx
=
)
x
(
dC
∫
∫
∫
∫
/*
2
x
e
:
/
⇒
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
rozwiązanie ogólne
∫
∫
xdx
=
)
x
(
C
d
D
+
2
x
=
)
x
(
C
2
2
x
e
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
2
x
2
e
)
D
+
2
x
(
=
y
PRZYKŁAD 2/11
x
cos
1
=
tgxy
'
y
równanie uproszczone
x
cos
1
=
tgxy
dx
dy
0
=
tgxy
dx
dy
tgxy
=
dx
dy
tgxydx
=
dy
y
:
/
dx
/*
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
tgxdx
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
tgxdx
=
y
dy
0
C
+
|
x
cos
|
ln
=
|
y
|
ln
0
e
C
+
|
x
cos
|
ln
=
|
y
|
log
gdzie
gdzie
uzmiennienie stałej
C
+
|
x
cos
|
ln
e
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
0
C
|
x
cos
|
ln
e
e
=
y
C
e
=
y
1
|
x
cos
|
ln
C
e
=
C
C
x
cos
1
=
y
1
|
x
cos
|
ln
e
=
x
cos
1
x
cos
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
cos
)
x
(
C
=
y
gdzie
gdzie
gdzie
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
=
dx
dy
=
'
y
x
cos
)
x
sin
)(
x
(
C
x
cos
)
x
(
'
C
2
x
cos
1
=
tgxy
dx
dy
⇒
⇒
⇒
⇒
x
cos
)
x
sin
)(
x
(
C
x
cos
)
x
(
'
C
2
tgx
=
x
cos
)
x
(
C
x
cos
1
x
cos
x
sin
)
x
(
C
+
x
cos
)
x
(
'
C
2
x
cos
x
sin
=
x
cos
)
x
(
C
x
cos
1
x
cos
1
=
x
cos
)
x
(
'
C
x
cos
/*
1
=
)
x
(
'
C
1
=
dx
)
x
(
dC
dx
/*
dx
=
)
x
(
dC
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
dx
=
)
x
(
dC
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
Znaleźć całkę ogólną równania:
rozwiązanie ogólne
D
+
x
=
)
x
(
C
x
cos
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
=
x
cos
D
+
x
x
cos
D
+
x
cos
x
PRZYKŁAD 3/11
y
x
5
=
x
ln
'
xy
y
x
5
=
x
ln
dx
dy
x
x
:
/
równanie uproszczone
x
y
5
=
x
ln
dx
dy
x
ln
:
/
x
ln
x
y
5
=
dx
dy
⇒
x
ln
x
y
x
ln
5
=
dx
dy
x
ln
5
=
x
ln
x
y
+
dx
dy
0
=
x
ln
x
y
+
dx
dy
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
x
ln
x
y
=
dx
dy
dx
/*
x
ln
x
ydx
=
dy
y
:
/
x
ln
x
dx
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
x
ln
x
dx
=
y
dy
∫
=
x
ln
x
dx
t
=
x
ln
dx
dt
=
x
1
⇒
⇒
⇒
⇒
xdt
=
dx
x
:
/
∫
∫
∫
∫
t
1
=
dt
C
+
|
t
|
ln
⇒
⇒
⇒
⇒
C
+
|
x
ln
|
ln
dx
=
x
⇒
⇒
⇒
⇒
dt
=
x
dx
∫
∫
x
ln
x
dx
=
y
dy
0
C
+
|
x
ln
|
ln
=
|
y
|
ln
0
1
e
C
+
|
x
ln
|
ln
=
y
log
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
uzmiennienie stałej
C
+
|
x
ln
|
ln
1
e
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
0
1
C
|
x
ln
|
ln
e
e
=
y
C
|
x
ln
|
=
y
1
|
x
ln
|
ln
1
1
e
=
x
ln
0
C
e
=
C
gdzie
oraz
x
ln
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
ln
)
x
(
C
=
y
=
dx
dy
=
'
y
2
)
x
(ln
x
1
)
x
(
C
x
ln
)
x
(
'
C
y
x
5
=
x
ln
'
xy
1
)
x
(
C
x
ln
)
x
(
'
C
gdzie
oraz
x
2
)
x
(ln
x
1
)
x
(
C
x
ln
)
x
(
'
C
=
x
ln
x
5
x
ln
)
x
(
C
x
ln
x
1
)
x
(
C
x
ln
)
x
(
'
C
x
=
x
ln
)
x
(
C
+
x
5
x
5
=
x
ln
)
x
(
C
+
x
ln
x
)
x
(
C
x
ln
x
ln
)
x
(
'
C
x
x
5
=
)
x
(
'
xC
x
:
/
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
5
=
)
x
(
'
C
5
=
dx
)
x
(
dC
dx
/*
dx
5
=
)
x
(
dC
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
dx
5
=
)
x
(
dC
D
+
x
5
=
)
x
(
C
x
ln
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
ln
D
+
x
5
Znaleźć całkę szczególną równania:
PRZYKŁAD 4/11
x
sin
x
=
y
dx
dy
x
2
warunek początkowy:
π
=
)
2
π
(
y
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
równanie uproszczone
x
sin
x
=
y
dx
dy
x
2
x
:
/
x
sin
x
=
x
y
dx
dy
0
=
x
y
dx
dy
x
y
=
dx
dy
dx
/*
dx
x
y
=
dy
y
:
/
x
dx
=
y
dy
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
x
dx
=
y
dy
0
C
+
|
x
|
ln
=
|
y
|
ln
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
uzmiennienie stałej
0
e
e
C
+
x
log
=
y
log
0
e
C
+
x
log
e
=
y
0
e
C
x
log
e
e
=
y
Cx
=
y
gdzie
x
log
e
e
=
x
oraz
0
C
e
=
C
x
)
x
(
C
=
y
=
dx
dy
=
'
y
'
x
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
=
dx
dy
x
sin
x
=
x
y
dx
dy
)
x
(
C
+
x
)
x
(
'
C
x
1
=
x
)
x
(
C
x
sin
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
x
sin
x
=
x
)
x
(
'
C
x
:
/
x
sin
=
)
x
(
'
C
⇒
x
sin
=
dx
)
x
(
dC
dx
/*
xdx
sin
=
)
x
(
dC
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
xdx
sin
=
)
x
(
dC
D
+
x
cos
=
)
x
(
C
x
)
x
(
C
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
)
D
+
x
cos
(
=
y
π
=
)
2
π
(
y
⇒
⇒
⇒
⇒
π
=
y
,
2
π
=
x
2
π
)
D
+
2
π
cos
(
=
π
2
π
)
D
+
0
(
=
π
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
całka szczególna
2
π
D
=
π
⇒
2
=
D
x
)
D
+
x
cos
(
=
y
⇒
⇒
⇒
⇒
x
)
2
+
x
cos
(
=
y
PRZYKŁAD 5/11
PODSUMOWANIE
Oblicz:
(
)
1
=
1
+
x
log
x
log
Dziedzina funkcji:
0
>
x
(
)
0
1
+
x
log
≠
(
)
0
10
log
1
+
x
log
≠
1
1
+
x
≠
⇒
0
x ≠
0
>
1
+
x
⇒
1
>
x
∞)
(0
∈
,
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
(
)
1
=
1
+
x
log
x
log
)
1
+
x
log(
/*
(
)
1
+
x
log
=
x
log
(
)
1
1
+
x
log
=
x
log
1
+
x
1
=
x
⇒
(
)
1
=
1
+
x
x
rozwiązanie równania (x
1
∈D
f
)
0
=
1
x
+
x
2
5
=
∆
,
5
=
∆
2
5
+
1
=
x
1
,
2
5
1
=
x
2
∉
∉
∉
∉ D
f
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
PRZYKŁAD 6/11
Oblicz:
x
4
+
x
81
=
3
2
x
4
4
+
x
3
=
3
2
x
4
=
4
+
x
2
0
=
4
+
x
4
x
2
0
=
∆
2
=
2
4
=
x
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
PRZYKŁAD 7/11
( )
x
1
+
)
x
1
1
ln(
=
x
y
Wyznacz y’(x):
( )
)
x
1
(
+
)'
x
1
1
x
1
1
1
(
=
x
'
y
2
)(
( )
=
x
1
x
1
x
1
x
1
=
x
'
y
2
2
)
(
)
1
1
x
x
(
x
1
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
Wyznacz y’ korzystając z metody pochodnej logarytmicznej
PRZYKŁAD 8/11
x
x
=
y
x
x
=
y
x
1
x
=
y
ln
/*
x
1
x
ln
=
y
ln
x
ln
x
1
=
y
ln
)'
x
(ln
x
1
+
x
ln
)'
x
1
(
=
)'
y
(ln
x
1
x
1
+
x
ln
x
1
=
y
'
y
2
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
)
1
+
x
ln
(
x
1
=
y
'
y
2
y
/*
)]
1
+
x
ln
(
x
1
[
y
=
'
y
2
⇒
⇒
⇒
⇒
)]
1
+
x
ln
(
x
1
[
x
=
'
y
2
x
)
1
+
x
ln
(
x
x
=
'
y
2
x
PRZYKŁAD 9/11
(
)
y
4
sin
x
=
y
,
x
u
2
Wyznacz różniczkę zupełną du(x,y):
=
x
u
=
'
u
x
∂
∂
y
4
sin
x
x
+
y
4
sin
x
x
2
2
∂
∂
∂
∂
y – const.
y
4
sin
x
2
=
x
u
∂
∂
=
y
u
=
'
u
y
∂
∂
y
4
sin
y
x
+
y
4
sin
x
y
2
2
∂
∂
∂
∂
x – const.
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
y
4
cos
x
4
=
4
*
y
4
cos
x
=
y
u
2
2
∂
∂
dy
'
u
+
dx
'
u
=
)
y
,
x
(
du
y
x
=
)
y
,
x
(
du
y
4
sin
x
2
+
dx
y
4
cos
x
4
2
dy
=
)
y
,
x
(
du
(
)
ydy
4
cos
x
2
+
ydx
4
sin
x
2
PRZYKŁAD 10/11
Oblicz
=
dx
x
cos
x
sin
5
1
∫
t
=
x
sin
5
1
dx
dt
=
x
cos
5
dx
/*
dt
=
xdx
cos
5
)
5
(
:
/
5
dt
=
xdx
cos
∫ t
=
=
)
5
dt
(
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
=
C
+
∫
∫
∫
∫
2
3
t
5
1
=
dt
t
5
1
2
3
2
1
=
C
+
t
15
2
2
3
=
C
+
)
x
sin
5
1
(
15
2
2
3
C
+
x
sin
5
1
)
x
sin
5
1
(
15
2
=
C
+
)
x
sin
5
1
(
15
2
3
PRZYKŁAD 11/11
Rozwiązać równanie różniczkowe
T
C
=
dT
dS
T
5
+
4000
=
C
200
=
T
1
300
=
T
2
T
C
=
dT
dS
dt
/*
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
dT
T
C
=
dS
∫
∫
∫
∫
/*
∫
∫
2
1
T
T
dT
T
C
=
dS
∫
∫
∫
∫
dT
∫
∫
∫
∫
T
)
T
5
+
4000
(
=
dS
2
1
T
T
∫
2
1
T
T
dT
T
T
5
+
4000
=
S
∫
2
1
T
T
dT
)
5
+
T
4000
(
=
S
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
dT
5
+
T
dT
4000
=
S
2
1
2
1
T
T
T
T
=
|
)
C
+
T
5
+
T
ln
4000
(
=
S
300
200
C
+
300
*
5
+
300
ln
4000
=
)
C
+
200
•
5
+
200
ln
4000
(
1500
+
300
ln
4000
=
1000
+
200
ln
4000
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
+
)
200
ln
300
(ln
4000
=
2500
2500
+
2
3
ln
4000
MATEMATYKA_FARMACJA (RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE_PODSUMOWANIE)
mm-j
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
(Microsoft PowerPoint Matematyka Farmacja [tryb zgodn
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnoscib
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych [tryb zgodnosci]
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP3 patenty [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP5 znaki tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP3 patenty tryb zgodności
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodności
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje [tryb zgodnosc
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnoscib
Microsoft PowerPoint IP4 budowaopisu tryb zgodności
więcej podobnych podstron