http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

11. Fale mechaniczne

FALA



Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się

w przestrzeni) zaburzenie

(odkształcenie, drgania).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Fale

przenoszą energię, ale nie transportują materii.



Fale

mogą być rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane

są wtedy ze zmiana parametrów takiego ośrodka, jak np. ciśnienie i
gęstość w gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też
nie

potrzebować

ośrodka

materialnego

do

propagacji

(fale

elektromagnetyczne).

Drgania: x(t)

Fale: y(x,t)



Rodzaje fal:

- fale mechaniczne;
- fale elektromagnetyczne;
-

fale materii (cząstki).

FALA



Fala poprzeczna

– gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym

do kierunku rozchodzenia się fali.



Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do

kierunku rozchodzenia się fali.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Równanie falowe:

2

2

2

2

2

1

t

v

r















Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja argumentu:

vt

x

u





FALA



Przykłady rozwiązań równania falowego:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Fala harmoniczna:





kx

t

A

x

T

t

A

v

x

t

A















 













 













cos

2

cos

cos



Fala

płaska:









r

k

i

t

i

A















exp

exp





Fala kulista:

 





r

k

i

t

i

r

A













exp

exp



FALA

dla dowolnej, ustalonej

wartości t:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 





















vt

x

y

t

x

y





2

cos

,

0



Przykład: fala biegnąca

































x

y

const

t

x

y

2

cos

,

0

- to

długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali,

np. „grzbietami”);
-

prędkość przesuwania się „grzbietu” fali, czyli prędkość fazowa fali;



v

FALA



Wielkości opisujące falę:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

-

Związki między prędkością, okresem i długością fali:









2







f

T

v

- okres fali;

-

częstość kołowa;

-

częstotliwość;

T



f

- Liczba falowa (wektor falowy):





2



k

-

Prędkość fazowa:

k

v





FALA STOJĄCA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem
fazy

równym



radianów:

T

t

x

A

x

T

t

A

x

T

t

A

y















2

cos

2

sin

2

2

sin

2

sin















 













 



Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą – taki
rodzaj

drgań ośrodka, który charakteryzuje się

regularnym

występowaniem na przemian miejsc,

gdzie amplituda

drgań jest równa zeru (węzły) i

gdzie jest maksymalna -

równa 2A (strzałki).

FALA STOJĄCA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Generowanie fal

stojących:



Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b – można na

niej

wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożenie się na

każdej krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej
długości fali – figury Chladniego.

NAKŁADANIE SIĘ FAL



Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej

amplitudzie i

zbliżonych częstotliwościach

i

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

1



2



 

 

 

t

a

t

a

t

y

2

1

cos

cos











Jako

falę wypadkową otrzymujemy:

 

 





 

t

t

a

t

y





cos

cos

2





gdzie:





2

2

1















2

2

1













NAKŁADANIE SIĘ FAL

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

to funkcja

modulująca (obwiednia) [zakładamy, że

częstości różnią się nieznacznie]

 





t

a





cos

2

NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA



„Dokładamy” trzecią falę o częstości

i amplitudzie

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



a

2



Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych według podobnej reguły:

NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA



Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją

Gaussa:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 





 





















2

2

2

exp









G

jest odchyleniem standardowym

– tu: rozrzut częstości







Suma

nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją:

   





 

t

t

d

t

G











cos

1

2

exp

cos

2

2





















NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

   





 

t

t

d

t

G











cos

1

2

exp

cos

2

2























Odchylenie standardowe tego

rozkładu:

nazywane jest

szerokością paczki fal.









1

t

Funkcja

to transformata Fouriera paczki fal.

 



G

NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA



Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale

harmoniczne

o

jednakowej

amplitudzie

i

zbliżonych

częstotliwościach

i

oraz

zbliżonych liczbach falowych

i

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

1



2



1

k

2

k

 









x

k

t

a

x

k

t

a

t

x

y

2

2

1

1

cos

cos

,















Jako

falę wypadkową otrzymujemy:

 

 









x

k

t

kx

t

a

t

y















cos

cos

2





2

2

1











gdzie:





2

2

1

















2

2

1

k

k

k









2

2

1

k

k

k







NAKŁADANIE SIĘ FAL –

PRĘDKOŚĆ PACZKI FALOWEJ



Funkcja

modulująca jest teraz równa

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 





kx

t

a









cos

2

i ma ona maksimum dla:

 





0









kx

t



a

stąd otrzymujemy:

k

t

x









NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA



Prędkość grupowa v

g

– prędkość rozchodzenia się paczki fal

sinusoidalnych o

zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu”

obwiedni):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

dk

d

v

g







Prędkość fazowa v

f

-

prędkość rozchodzenia się stałej fazy

(każdej fali składowej osobno):

i

i

f

k

v





NIEZWYKLE WAŻNE

2-2=4

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

FALE AKUSTYCZNE



Jest to rodzaj fal

sprężystych – rozchodzących się w ciągłym

ośrodku materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń
postaci (w

ciałach stałych).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Fale akustyczne w powietrzu

są przykładem fal podłużnych,

polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń
powietrza.



Założenia:

• lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu;
• zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu;
• nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząstek gazu.

FALE AKUSTYCZNE



Równanie falowe dla fali dźwiękowej w powietrzu:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2

2

2

2

x

f

t

f













0

2

p

p

p

v



























gdzie:

-

gęstość



Po wykorzystaniu prawa

Hooke’a i równania Clapeyrona:





B

v





gdzie:
(moduł ściśliwości)

V

V

p

B









FALE AKUSTYCZNE



Natężenie fali dźwiękowej:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

-

szybkość przenoszenia energii (moc);

P

m

s

- amplituda fali;

2

2

2

1

m

s

v

S

P

I











Ludzkie ucho odbiera

dźwięk o amplitudzie od 10

-5

m do 10

-11

m, czyli

stosunek

natężeń dla tych dwóch granic wynosi 10

12

!

Stąd zamiast

natężenia fali dźwiękowej używa się głośności dźwięku



2

12

0

10

m

W

I









0

log

10

I

I

dB





- to standardowe

natężenie odniesienia.