Wykład 23

Witold Obłoza

3 kwietnia 2011

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) =

k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) =

hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 346

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

,

∂

2

f

∂x

l

∂x

p

i s

,

a ci

,

agłe w jakimś

punkcie to s

,

a w tym punkcie równe.

DOWÓD:

Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k

∂ϕ

∂y

(x, y + θk) =

k(

∂f

∂y

(x + h, y + θk) −

∂f

∂y

(x, y + θk)) = hk

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk),

gdzie κ, θ ∈ (0, 1).

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) =

h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) =

hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =

ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h

∂ψ

∂x

(x + ηh, y) =

h(

∂f

∂x

(x + ηh, y + k) −

∂f

∂x

(x + ηh, y)) = hk

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk),

gdzie ζ, η ∈ (0, 1).

Z równości

∂

2

f

∂y∂x

(x + ηh, y + ζk) =

∂

2

f

∂x∂y

(x + κh, y + θk)

i ciągłości

∂

2

f

∂y∂x

oraz

∂

2

f

∂x∂y

w punkcie (x, y)

mamy

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

UWAGA 347

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

i kazda z funkcji f

j

jest różniczkowalna w obszarze D to f jest

różniczkowalna i d

a

f = (d

a

f

1

, d

a

f

2

, . . . , d

a

f

m

).

UWAGA 348

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

jest różniczkowalna w obszarze D to d

·

f możemy utożsamić z funkcj

,

a

z D w R

mn

. Z definicji d

2

a

f = d

a

(d

·

f ).

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

UWAGA 347

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

i kazda z funkcji f

j

jest różniczkowalna w obszarze D to f jest

różniczkowalna i d

a

f = (d

a

f

1

, d

a

f

2

, . . . , d

a

f

m

).

UWAGA 348

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

jest różniczkowalna w obszarze D to d

·

f możemy utożsamić z funkcj

,

a

z D w R

mn

. Z definicji d

2

a

f = d

a

(d

·

f ).

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

UWAGA 347

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

i kazda z funkcji f

j

jest różniczkowalna w obszarze D to f jest

różniczkowalna i d

a

f = (d

a

f

1

, d

a

f

2

, . . . , d

a

f

m

).

UWAGA 348

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

jest różniczkowalna w obszarze D to d

·

f możemy utożsamić z funkcj

,

a

z D w R

mn

. Z definicji d

2

a

f = d

a

(d

·

f ).

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

UWAGA 347

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

i kazda z funkcji f

j

jest różniczkowalna w obszarze D to f jest

różniczkowalna i d

a

f = (d

a

f

1

, d

a

f

2

, . . . , d

a

f

m

).

UWAGA 348

Jeżeli funkcja
f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

jest różniczkowalna w obszarze D to d

·

f możemy utożsamić z funkcj

,

a

z D w R

mn

. Z definicji d

2

a

f = d

a

(d

·

f ).

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 349

Jeżeli istnieje d

2

a

f to istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe drugiego rz

,

edu i

d

2

a

f (h

1

, h

2

, . . . , h

n

)(k

1

, k

2

, ·, k

n

) =

P

i,j∈{1,2...,n}

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

k

i

h

j

.

DEFINICJA 350

Funkcj

,

e f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

nazywamy funkcj

,

a klasy C

p

jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do

rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe.

TWIERDZENIE 351

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe w

otoczeniu punktu a to istnieje d

p

a

f i jest ona ci

,

agła.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 349

Jeżeli istnieje d

2

a

f to istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe drugiego rz

,

edu i

d

2

a

f (h

1

, h

2

, . . . , h

n

)(k

1

, k

2

, ·, k

n

) =

P

i,j∈{1,2...,n}

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

k

i

h

j

.

DEFINICJA 350

Funkcj

,

e f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

nazywamy funkcj

,

a klasy C

p

jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do

rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe.

TWIERDZENIE 351

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe w

otoczeniu punktu a to istnieje d

p

a

f i jest ona ci

,

agła.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 349

Jeżeli istnieje d

2

a

f to istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe drugiego rz

,

edu i

d

2

a

f (h

1

, h

2

, . . . , h

n

)(k

1

, k

2

, ·, k

n

) =

P

i,j∈{1,2...,n}

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

k

i

h

j

.

DEFINICJA 350

Funkcj

,

e f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

nazywamy funkcj

,

a klasy C

p

jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do

rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe.

TWIERDZENIE 351

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe w

otoczeniu punktu a to istnieje d

p

a

f i jest ona ci

,

agła.

jeżeli istnieją wszystkie pochodne
dowolnego rzędu i są one ciagłe to mówimy,
że funkcja jest funkcją klasy Cp

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 349

Jeżeli istnieje d

2

a

f to istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe drugiego rz

,

edu i

d

2

a

f (h

1

, h

2

, . . . , h

n

)(k

1

, k

2

, ·, k

n

) =

P

i,j∈{1,2...,n}

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

k

i

h

j

.

DEFINICJA 350

Funkcj

,

e f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

nazywamy funkcj

,

a klasy C

p

jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do

rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe.

TWIERDZENIE 351

Jeżeli istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe aż do rz

,

edu p i s

,

a one ci

,

agłe w

otoczeniu punktu a to istnieje d

p

a

f i jest ona ci

,

agła.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 352

Jeżeli funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C

p

w

obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d

p

x

f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że

f (a + h) = f (a) +

p−1

P

j=1

1

j!

d

j

a

f.(h)

j

+

1

p!

d

p
a+θh

f.(h)

n

.

DEFINICJA 353

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D

f

−→ R, gdzie D

f

⊂ R. Mówimy, że

funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s

,

asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S

f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.

TWIERDZENIE 354

Niech dana b

,

edzie funkcja różniczkowalna f : D

f

−→ R. Warunkiem

koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e

w tym punkcie wszystkich pochodnych cz

,

astkowych.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 352

Jeżeli funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C

p

w

obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d

p

x

f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że

f (a + h) = f (a) +

p−1

P

j=1

1

j!

d

j

a

f.(h)

j

+

1

p!

d

p
a+θh

f.(h)

n

.

DEFINICJA 353

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D

f

−→ R, gdzie D

f

⊂ R. Mówimy, że

funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s

,

asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S

f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.

TWIERDZENIE 354

Niech dana b

,

edzie funkcja różniczkowalna f : D

f

−→ R. Warunkiem

koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e

w tym punkcie wszystkich pochodnych cz

,

astkowych.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 352

Jeżeli funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C

p

w

obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d

p

x

f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że

f (a + h) = f (a) +

p−1

P

j=1

1

j!

d

j

a

f.(h)

j

+

1

p!

d

p
a+θh

f.(h)

n

.

DEFINICJA 353

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D

f

−→ R, gdzie D

f

⊂ R. Mówimy, że

funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s

,

asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S

f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.

TWIERDZENIE 354

Niech dana b

,

edzie funkcja różniczkowalna f : D

f

−→ R. Warunkiem

koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e

w tym punkcie wszystkich pochodnych cz

,

astkowych.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 352

Jeżeli funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C

p

w

obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d

p

x

f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że

f (a + h) = f (a) +

p−1

P

j=1

1

j!

d

j

a

f.(h)

j

+

1

p!

d

p
a+θh

f.(h)

n

.

DEFINICJA 353

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D

f

−→ R, gdzie D

f

⊂ R. Mówimy, że

funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s

,

asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S

f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.

TWIERDZENIE 354

Niech dana b

,

edzie funkcja różniczkowalna f : D

f

−→ R. Warunkiem

koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e

w tym punkcie wszystkich pochodnych cz

,

astkowych.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

DOWÓD:

Każda z funkcji f

j

jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a

j

wzorem f

j

(x

j

) = f (a

1

, a

2

, . . . a

j−1

, x

j

, a

j+1

. . . a

n

) jest różniczkowalna i

w punkcie a

j

ma ekstremum.

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f

j

zeruje się w punkcie a

j

, ale ta pochodna

jest równa

∂f

∂x

j

(a). Co kończy dowód twierdzenia.

TWIERDZENIE 355

Niech dana b

,

edzie funkcja f : R

2

⊃ D

f

−→ R klasy C

2

w otoczeniu

punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym istnienia ekstremum

funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e w tym punkcie wszystkich

pochodnych cz

,

astkowych pierwszego rz

,

edu i to aby

W = det

∂

2

f

∂x

2

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂y

2

(a)

!

był wi

,

ekszy od zera

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

DOWÓD:

Każda z funkcji f

j

jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a

j

wzorem f

j

(x

j

) = f (a

1

, a

2

, . . . a

j−1

, x

j

, a

j+1

. . . a

n

) jest różniczkowalna i

w punkcie a

j

ma ekstremum.

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f

j

zeruje się w punkcie a

j

, ale ta pochodna

jest równa

∂f

∂x

j

(a). Co kończy dowód twierdzenia.

TWIERDZENIE 355

Niech dana b

,

edzie funkcja f : R

2

⊃ D

f

−→ R klasy C

2

w otoczeniu

punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym istnienia ekstremum

funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e w tym punkcie wszystkich

pochodnych cz

,

astkowych pierwszego rz

,

edu i to aby

W = det

∂

2

f

∂x

2

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂y

2

(a)

!

był wi

,

ekszy od zera

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

DOWÓD:

Każda z funkcji f

j

jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a

j

wzorem f

j

(x

j

) = f (a

1

, a

2

, . . . a

j−1

, x

j

, a

j+1

. . . a

n

) jest różniczkowalna i

w punkcie a

j

ma ekstremum.

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f

j

zeruje się w punkcie a

j

, ale ta pochodna

jest równa

∂f

∂x

j

(a). Co kończy dowód twierdzenia.

TWIERDZENIE 355

Niech dana b

,

edzie funkcja f : R

2

⊃ D

f

−→ R klasy C

2

w otoczeniu

punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym istnienia ekstremum

funkcji f w punkcie a jest zerowanie si

,

e w tym punkcie wszystkich

pochodnych cz

,

astkowych pierwszego rz

,

edu i to aby

W = det

∂

2

f

∂x

2

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂x∂y

(a)

∂

2

f

∂y

2

(a)

!

był wi

,

ekszy od zera

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.

FUNKCJA UWIKŁANA

przy czym jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli

∂

2

f

∂x

2

(a) < 0

to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

TWIERDZENIE 356

Niech dana b

,

edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R

2

maj

,

aca ci

,

agłe

pochodne cz

,

astkowe pierwszego rz

,

edu.

Jeżeli F (x

0

, y

0

) = 0 oraz

∂F

∂y

(x

0

, y

0

) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu

x

0

i istnieje V otoczenie punktu y

0

takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie

jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn

,

a

y

0

= −

F

0

x

F

0

y

.