Wykład 23
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
Wykład 23
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) =
k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) =
hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 346
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
,
∂
2
f
∂x
l
∂x
p
i s
,
a ci
,
agłe w jakimś
punkcie to s
,
a w tym punkcie równe.
DOWÓD:
Niech ϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y), ψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y).
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y) = k
∂ϕ
∂y
(x, y + θk) =
k(
∂f
∂y
(x + h, y + θk) −
∂f
∂y
(x, y + θk)) = hk
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk),
gdzie κ, θ ∈ (0, 1).
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) =
h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) =
hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − f (x + h, y) + f (x, y) =
ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = h
∂ψ
∂x
(x + ηh, y) =
h(
∂f
∂x
(x + ηh, y + k) −
∂f
∂x
(x + ηh, y)) = hk
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk),
gdzie ζ, η ∈ (0, 1).
Z równości
∂
2
f
∂y∂x
(x + ηh, y + ζk) =
∂
2
f
∂x∂y
(x + κh, y + θk)
i ciągłości
∂
2
f
∂y∂x
oraz
∂
2
f
∂x∂y
w punkcie (x, y)
mamy
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
UWAGA 347
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
i kazda z funkcji f
j
jest różniczkowalna w obszarze D to f jest
różniczkowalna i d
a
f = (d
a
f
1
, d
a
f
2
, . . . , d
a
f
m
).
UWAGA 348
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
jest różniczkowalna w obszarze D to d
·
f możemy utożsamić z funkcj
,
a
z D w R
mn
. Z definicji d
2
a
f = d
a
(d
·
f ).
Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
UWAGA 347
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
i kazda z funkcji f
j
jest różniczkowalna w obszarze D to f jest
różniczkowalna i d
a
f = (d
a
f
1
, d
a
f
2
, . . . , d
a
f
m
).
UWAGA 348
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
jest różniczkowalna w obszarze D to d
·
f możemy utożsamić z funkcj
,
a
z D w R
mn
. Z definicji d
2
a
f = d
a
(d
·
f ).
Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
UWAGA 347
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
i kazda z funkcji f
j
jest różniczkowalna w obszarze D to f jest
różniczkowalna i d
a
f = (d
a
f
1
, d
a
f
2
, . . . , d
a
f
m
).
UWAGA 348
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
jest różniczkowalna w obszarze D to d
·
f możemy utożsamić z funkcj
,
a
z D w R
mn
. Z definicji d
2
a
f = d
a
(d
·
f ).
Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
UWAGA 347
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
i kazda z funkcji f
j
jest różniczkowalna w obszarze D to f jest
różniczkowalna i d
a
f = (d
a
f
1
, d
a
f
2
, . . . , d
a
f
m
).
UWAGA 348
Jeżeli funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
jest różniczkowalna w obszarze D to d
·
f możemy utożsamić z funkcj
,
a
z D w R
mn
. Z definicji d
2
a
f = d
a
(d
·
f ).
Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 349
Jeżeli istnieje d
2
a
f to istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu i
d
2
a
f (h
1
, h
2
, . . . , h
n
)(k
1
, k
2
, ·, k
n
) =
P
i,j∈{1,2...,n}
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
k
i
h
j
.
DEFINICJA 350
Funkcj
,
e f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
nazywamy funkcj
,
a klasy C
p
jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do
rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe.
TWIERDZENIE 351
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe w
otoczeniu punktu a to istnieje d
p
a
f i jest ona ci
,
agła.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 349
Jeżeli istnieje d
2
a
f to istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu i
d
2
a
f (h
1
, h
2
, . . . , h
n
)(k
1
, k
2
, ·, k
n
) =
P
i,j∈{1,2...,n}
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
k
i
h
j
.
DEFINICJA 350
Funkcj
,
e f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
nazywamy funkcj
,
a klasy C
p
jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do
rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe.
TWIERDZENIE 351
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe w
otoczeniu punktu a to istnieje d
p
a
f i jest ona ci
,
agła.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 349
Jeżeli istnieje d
2
a
f to istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu i
d
2
a
f (h
1
, h
2
, . . . , h
n
)(k
1
, k
2
, ·, k
n
) =
P
i,j∈{1,2...,n}
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
k
i
h
j
.
DEFINICJA 350
Funkcj
,
e f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
nazywamy funkcj
,
a klasy C
p
jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do
rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe.
TWIERDZENIE 351
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe w
otoczeniu punktu a to istnieje d
p
a
f i jest ona ci
,
agła.
jeżeli istnieją wszystkie pochodne
dowolnego rzędu i są one ciagłe to mówimy,
że funkcja jest funkcją klasy Cp
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 349
Jeżeli istnieje d
2
a
f to istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu i
d
2
a
f (h
1
, h
2
, . . . , h
n
)(k
1
, k
2
, ·, k
n
) =
P
i,j∈{1,2...,n}
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
k
i
h
j
.
DEFINICJA 350
Funkcj
,
e f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
nazywamy funkcj
,
a klasy C
p
jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do
rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe.
TWIERDZENIE 351
Jeżeli istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe aż do rz
,
edu p i s
,
a one ci
,
agłe w
otoczeniu punktu a to istnieje d
p
a
f i jest ona ci
,
agła.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 352
Jeżeli funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C
p
w
obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d
p
x
f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że
f (a + h) = f (a) +
p−1
P
j=1
1
j!
d
j
a
f.(h)
j
+
1
p!
d
p
a+θh
f.(h)
n
.
DEFINICJA 353
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D
f
−→ R, gdzie D
f
⊂ R. Mówimy, że
funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s
,
asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S
f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).
Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.
TWIERDZENIE 354
Niech dana b
,
edzie funkcja różniczkowalna f : D
f
−→ R. Warunkiem
koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e
w tym punkcie wszystkich pochodnych cz
,
astkowych.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 352
Jeżeli funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C
p
w
obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d
p
x
f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że
f (a + h) = f (a) +
p−1
P
j=1
1
j!
d
j
a
f.(h)
j
+
1
p!
d
p
a+θh
f.(h)
n
.
DEFINICJA 353
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D
f
−→ R, gdzie D
f
⊂ R. Mówimy, że
funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s
,
asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S
f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).
Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.
TWIERDZENIE 354
Niech dana b
,
edzie funkcja różniczkowalna f : D
f
−→ R. Warunkiem
koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e
w tym punkcie wszystkich pochodnych cz
,
astkowych.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 352
Jeżeli funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C
p
w
obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d
p
x
f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że
f (a + h) = f (a) +
p−1
P
j=1
1
j!
d
j
a
f.(h)
j
+
1
p!
d
p
a+θh
f.(h)
n
.
DEFINICJA 353
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D
f
−→ R, gdzie D
f
⊂ R. Mówimy, że
funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s
,
asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S
f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).
Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.
TWIERDZENIE 354
Niech dana b
,
edzie funkcja różniczkowalna f : D
f
−→ R. Warunkiem
koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e
w tym punkcie wszystkich pochodnych cz
,
astkowych.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 352
Jeżeli funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, jest klasy C
p
w
obszarze D a, a + h ∈ D i dla x ∈ (a, a + h) d
p
x
f to ∃θ ∈ (0, 1) takie że
f (a + h) = f (a) +
p−1
P
j=1
1
j!
d
j
a
f.(h)
j
+
1
p!
d
p
a+θh
f.(h)
n
.
DEFINICJA 353
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D
f
−→ R, gdzie D
f
⊂ R. Mówimy, że
funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S
s
,
asiedztwo punktu a takie,że ∀x ∈ S
f (x) < f (a) (f (x) > f (a)).
Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że
ma ona w tym punkcie ekstremum.
TWIERDZENIE 354
Niech dana b
,
edzie funkcja różniczkowalna f : D
f
−→ R. Warunkiem
koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e
w tym punkcie wszystkich pochodnych cz
,
astkowych.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
DOWÓD:
Każda z funkcji f
j
jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a
j
wzorem f
j
(x
j
) = f (a
1
, a
2
, . . . a
j−1
, x
j
, a
j+1
. . . a
n
) jest różniczkowalna i
w punkcie a
j
ma ekstremum.
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f
j
zeruje się w punkcie a
j
, ale ta pochodna
jest równa
∂f
∂x
j
(a). Co kończy dowód twierdzenia.
TWIERDZENIE 355
Niech dana b
,
edzie funkcja f : R
2
⊃ D
f
−→ R klasy C
2
w otoczeniu
punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum
funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e w tym punkcie wszystkich
pochodnych cz
,
astkowych pierwszego rz
,
edu i to aby
W = det
∂
2
f
∂x
2
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂y
2
(a)
!
był wi
,
ekszy od zera
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
DOWÓD:
Każda z funkcji f
j
jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a
j
wzorem f
j
(x
j
) = f (a
1
, a
2
, . . . a
j−1
, x
j
, a
j+1
. . . a
n
) jest różniczkowalna i
w punkcie a
j
ma ekstremum.
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f
j
zeruje się w punkcie a
j
, ale ta pochodna
jest równa
∂f
∂x
j
(a). Co kończy dowód twierdzenia.
TWIERDZENIE 355
Niech dana b
,
edzie funkcja f : R
2
⊃ D
f
−→ R klasy C
2
w otoczeniu
punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum
funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e w tym punkcie wszystkich
pochodnych cz
,
astkowych pierwszego rz
,
edu i to aby
W = det
∂
2
f
∂x
2
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂y
2
(a)
!
był wi
,
ekszy od zera
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
DOWÓD:
Każda z funkcji f
j
jednej zmiennej określonych w otoczeniu punktu a
j
wzorem f
j
(x
j
) = f (a
1
, a
2
, . . . a
j−1
, x
j
, a
j+1
. . . a
n
) jest różniczkowalna i
w punkcie a
j
ma ekstremum.
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej
jednej zmiennej pochodna f
j
zeruje się w punkcie a
j
, ale ta pochodna
jest równa
∂f
∂x
j
(a). Co kończy dowód twierdzenia.
TWIERDZENIE 355
Niech dana b
,
edzie funkcja f : R
2
⊃ D
f
−→ R klasy C
2
w otoczeniu
punktu a. Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym istnienia ekstremum
funkcji f w punkcie a jest zerowanie si
,
e w tym punkcie wszystkich
pochodnych cz
,
astkowych pierwszego rz
,
edu i to aby
W = det
∂
2
f
∂x
2
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂x∂y
(a)
∂
2
f
∂y
2
(a)
!
był wi
,
ekszy od zera
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
przy czym jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli
∂
2
f
∂x
2
(a) < 0
to w punkcie a jest maksimum.
Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.
Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.