Dr Andrzej Kmiecik
Zakład Logiki i Epistemologii
Instytut Filozofii i Socjologii UKW
w Bydgoszczy
ul. Ogińskiego 16

Wykład 9

Klasyczny rachunek zdań (3)

Aksjomatyczny (sformalizowany) system rachunku zdań.

Uwaga 1
Metoda budowania systemów dedukcyjnych, badania poprawności i badania ich
wartości poznawczej.

Uwaga 2
System dedukcyjno-aksjomatyczny jest to zbiór wyrażeń zdaniowych, który
rozpada się na dwa podzbiory:
1) zbiór wyrażeń zdaniowych przyjętych bez dowodu i nie opartych na
doświadczeniu;
2) zbiór wyrażeń niezawodnie wywnioskowanych z wyrażeń pierwszego zbioru.

Rodzaje systemów dedukcyjnych aksjomatycznych (Stadia rozwoju)

1) Systemy w stadium przedaksjomatycznym

Założenia są tu pewnikami, czyli zdaniami oczywistymi, prawdziwymi.

2) Stadium aksjomatyczne niesoformalizowane.
Założenia są aksjomatami wyraźnie wyliczonymi. Regułuy wyprowadzanoa
twierdzeń mogą być intuicyjne (np. geometria Euklidesa).

3) Stadium aksjomatyczne sformalizowane.
Założenia są postulatami, a reguły wyprowadzania twierdzeń są wyraźnie
wyliczone.

Poprawność dowodu można stwierdzić śledzą zewnętrzne kształty i porządek
napisów.

Postulat – naczelna przesłanka systemu oraz jest pseudodefinicją terminów w
nim występujących.

A1

(p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

A2

(~p

→

p)

→

p

A3

p

→

(~p

→

p)

Reguły pierwotne

reguła odrywania
reguła podstawiania

Te aksjomaty są pseudodefinicją negacji i implikacji
Regułą podstawiania, która głosi, że jeśli wyrażenie

ϕ

jest tezą, to tezą również

będzie wyrażenie

ψ

uzyskane przez podstawienie w wyrażeniu

ϕ

za wszystkie

równokształtne zmienne zdaniowe odpowiednich wyrażeń rachunku zdań.

Reguła odrywania jest to zdanie, które głosi, że jeżeli tezą systemu jest

implikacja

ϕ

→

ψ

oraz tezą systemu jest również wyrażenie

ϕ

, to tezą systemu

jest wyrażenie

ψ

.

(Ta reguła jest szczególnym przypadkiem reguły z rachunku zdań)

|-

ϕ

→

ψ

|-

ϕ

________
|-

ψ

Każdy wiersz musi być tezą

Definicje

ϕ

∨

ψ



=

df



~

ϕ

→

ψ

ϕ

∧

ψ



=

df



~(

ϕ

→

~

ψ

)



ϕ

≡

ψ



=

df



(

ϕ

→

ψ

)

∧

(

ψ→

ϕ

)



Uwaga 1
Stałe logiczne występujące w aksjomatach nazywamy terminami pierwotnymi
systemu. Za pomocą terminów pierwotnych definiujemy inne funktory.

Uwaga 2
Powyższe definicje są regułami zastępowania pozwalającymi jedną stronę
definicji zastąpić przez drugą.

Uwaga 3

Dowodem wyrażenia

ϕ

w systemie aksjomatycznym jest skończony ciąg

wyrażeń, którego ostatni wyraz jest wyrażeniem

ϕ

, i w którym każdy wyraz jest

bądź aksjomatem bądź jest uzyskany z wcześniejszych od niego wyrażeń tego
ciągu za pomocą jakiejś reguły pierwotnej systemu lub definicji.

Każdy wiersz dowodu aksjomatycznego jest tezą.

T1

p

→

p

Dowód
1.

(p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

A1

2.

(p

→

(~p

→

q))

→

(((~p

→

q)

→

r)

→

(p

→

r))

A1, q | ~p

→

q

3.

p

→

(~p

→

q)

A3

4.

(((~p

→

q)

→

r)

→

(p

→

r))

RO: 2, 3

5.

(((~p

→

p)

→

p)

→

(p

→

p))

4, q | p, r | p

6.

(~p

→

p)

→

p

A2

7.

p

→

p

RO: 5, 6

Rachunek zdań może być oparty na innych aksjomatach. Wówczas aksjomaty
Łukasiewicza dadzą się udowodnić jako twierdzenia.

Można udowodnić, że zbiór tez systemu założeniowego rachunku zdań jest
identyczny ze zbiorem tez systemu aksjomatycznego systemu rachunku zdań
oraz ze zbiorem wyrażeń prawdziwych tego rachunku.

Oprócz ujęcia rachunku zdań następującymi metodami:

- założeniowo
- zero-jedynkowo
- aksjomatycznie

istnieje jeszcze ujęcie metodą założeniową Gentzena oraz metodą tablic
semantycznych E. W. Betha.

Logika zdań z kwantyfikatorami

1

W omawianym dotychczas rachunku zdań nie można np. sformułować zdania
stwierdzającego, iż nie jest prawdą, że dla każdego p jeśli p, to nie p.
Można je wyrazić w rachunku zdań z kwantyfikatorami wiążącymi zmienne
zdaniowe.

1

L. Borkowski: Logika formalna, s. 94nn.

Będziemy kwantyfikatora ogólnego będziemy używać symbolu " Λ ", a
wyrażenie Λ

p

czytać "dla każdego p".

Jako kwantyfikatora szczegółowego będziemy używać znaku " V ", wyrażenie "
V

p

" czytać: dla pewnego p, istnieje takie p.

Przy pomocy kwantyfikatora ogólnego możemy zdefiniować stałą falsum w
następujący sposób:

0 =

df

Λ

p

p

Zdanie stwierdzające, że dla każdego p, jest tak, że p, jest zdaniem fałszywym.
np.: p| 2+2=5. A wiemy, że nie jest to zdanie prawdziwe. Żeb y obalić zdanie
ogólne wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład.

Przy pomocy stałej falsum i znaku implikacji można zdefiniować negację

~p =

df

p

→

Λ

p

p

~p

≡

p

→

Λ

p

p

p | ~p | p

→

0 | ~p

≡

p

→

Λ

p

p

---|-----|---------|---------------------

1 | 0 | 0 | 1
0 | 1 | 1 | 1

w postaci metajęzykowej



~

ϕ



=

df



ϕ

→

Λ

ϕ

ϕ



a) Wyrażenia zdaniowe rachunku zdań z kwantyfikatorami

1

0

wyrażenia zdaniowe omawianego dotychczas rachunku zdań;

2

0

wyrażające powstające z nich poprzez poprzedzenie ich

kwantyfikatorami wiążącymi zmienne zdaniowe;

3

0

wyrażenia uzyskane z poprzednich wyrażeń za pomocą funktorów

rachunku zdań;

b) Aksjomaty Tarskiego-Bernaysa

A1

(p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

A2

q

→

(p

→

q)

A3

((p

→

q)

→

p)

→

p

Terminy pierwotne:

→

,

∧

, Λ (

∀

)

Definicja negacji



~

ϕ



=

df



ϕ

→

Λ

ϕ

ϕ



Reguły pierwotne

a) podstawiania
b) odrywania
c) reguła dotycząca kwantyfikatora ogólnego

1

0

można wstawić kwantyfikator ogólny wiążący dowolną zmienną

zdaniową na początku poprzednika implikacji, która to
implikacja jest tezą systemu;

Ex.

(p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

Λ

p

(p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

2

0

na początku następnika implikacji można wstawić kwantyfikator

ogólny wiążący taką zmienną zdaniową, która nie jest wolna w
poprzedniku tej implikacji

Ex. (p

→

q)

→

((q

→

r)

→

(p

→

r))

Λ

p

(p

→

q)

→

Λ

p

((q

→

r)

→

(p

→

r))

Prototetyka jest najbardziej ogólną teorią zdań. Występują w niej m. in. oprócz
zmiennych zdaniowych zmienne reprezentujące funktory prawdziwościowe.

Kwantyfikatory mogą wiązać oba rodzaje zmiennych. Twórcą tej teorii był
Stanisław Leśniewski (zm. 1939).

Uwaga
Nie jest zrobiona prototetyka dla systemów logiki modalnej Clarence'a Irwinga
Lewisa. Zadanie to może być przedmiotem badań w rozprawie doktorskiej lub
habilitacyjnej.