RACHUNEK ZBIORÓW 1

TEORIA MNOGO CI
W teorii mnogo ci (tj. teorii czy rachunku zbiorów) poj cia podstawowe, czyli
zbiór i nale enie do zbioru (albo bycie elementem zbioru), s poj ciami
pierwotnymi, czyli niedefiniowalnymi, o własno ciach scharakteryzowanych przez
aksjomaty teorii. Nale y zbiory traktowa jako twory abstrakcyjne, stanowi ce
kolekcje okre lonych rozró nialnych obiektów. Zbiory s przez nas
wyabstrahowane spo ród całego uniwersum, poprzez wyodr bnienie w nim
pewnych (nieidentycznych) obiektów i traktowanie ich wszystkich ł cznie jako
odr bnej cało ci. Obiekty te nazywamy elementami zbioru; mówimy te , e
elementy nale do danego zbioru; symbolicznie:
a "B , x " X
def
a "B Ô! (a "B)
Zasada ekstensjonalno ci mówi, e zbiory s identyczne witw, gdy nale do
nich dokładnie te same elementy:
A = B "! '"(x " A "! x "B)
x
A zatem zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje elementy  bo nie ma
dwóch ró nych zbiorów, które składałyby si z tych samych elementów.
Nieistotne jest wi c, jak zbiór okre limy, a jedynie  co do niego nale y.
ZADANIE 1
Czy zbiory A i B s równe?
(1) A  zbiór wszystkich mieszka ców Warszawy w roku 2008,
B  zbiór wszystkich mieszka ców stolicy Polski w roku 2008.
(2) A  zbiór wszystkich mieszka ców Warszawy w roku 1008,
B  zbiór wszystkich mieszka ców stolicy Polski w roku 1008.
(3) A  zbiór wszystkich dzielnic Warszawy,
B  zbiór wszystkich ulic Warszawy.
(4) A  zbiór wszystkich miast mniej ni 90-milionowych,
B  zbiór wszystkich miast mniej ni 100-milionowych.
Metody definiowania zbiorów:
I. Zbiór mo na okre li przez podanie warunku charakteryzuj cego jego
elementy, tj. funkcji zdaniowej spełnionej przez wszystkie i tylko te
przedmioty, które nale do tego zbioru (innymi słowy własno ci posiadanej
przez te i tylko te przedmioty).
{x :P(x)}
{x : (" (x = 2n) }

n"
II. Zbiór mo na scharakteryzowa przez wyliczenie jego elementów.
{0, 2, 4, 6, 8,10}

{0, 2, 4, ,10}

{0, 2, 4, 6, }
{3,Kowalski,Pentagon, Sybir, zbiór liczb parzystych}
1
RACHUNEK ZBIORÓW 1
Porz dek elementów w zbiorze nie odgrywa roli; np.:
{0, 7} = {7, 0}
(na mocy zasady ekstensjonalno ci).
Powtarzanie nazwy tego samego elementu w zbiorze równie nie zmienia zbioru,
np.:
{0, 7} = {7, 7, 7, 0, 0}
tak e na mocy zasady ekstensjonalno ci (zbiór to kolekcja obiektów
rozró nialnych!)
Zbiór jednostkowy (inaczej singleton) to zbiór jednoelementowy. Zbiór
jednostkowy jest obiektem ró nym od nale cego do elementu:
{a} `" a a tak e {{a}} `" {a} itd.
Oczywi cie a " {a}, {a} " {{a}} itd.
Z aksjomatów teorii mnogo ci wynika:
Zasada dystrybutywno ci: aden zbiór nie jest identyczny z adnym ze swoich
elementów.
'"'" (x " A x `" A)
x
A
Zbiór pusty (oznaczany " ) to zbiór, do którego nie nale y aden element;
mo e by wyznaczony jest przez dowolny warunek sprzeczny, czy nie spełniony
przez aden element.
ZADANIE 2
Ile istnieje zbiorów pustych?
Rodzina zbiorów to zbiór, którego elementami s zbiory.
Kolejne stopnie abstrakcji tworz wi c hierarchi obiektów ró nych typów:
indywidua  zbiory  rodziny zbiorów itd.
UWAGA: relacja nale enia do zbioru NIE jest przechodnia !
ZADANIE 3
Jakie zale no ci musz zachodzi miedzy obiektami a, b, c oraz d, aby
zachodziły nast puj ce relacje:
(1) {b, c} = {b, c, d}
(2) {a, {a,b} } = {c, {c,d}}
(3) {{a,b}, {d} } = {{a} }
(4) {a, b, a} = {a, b}
(5) {{a,b}, c} = { {a}, c}
(6) {{a, "},b} = {{"}}
ZADANIE 4*
W ród podanych ni ej zbiorów A, B, C, D, E wska :
(1) zbiór o najmniejszej liczbie elementów,
(2) zbiór o najwi kszej liczbie elementów,
(3) zbiory identyczne,
(4) zbiory maj ce dokładnie jeden element wspólny,
2
RACHUNEK ZBIORÓW 1
(5) zbiory nie maj ce adnego elementu wspólnego.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, {1, 4}, {3, 5, 6} }
C = {{1, 2, 3, 4, 5}}
D = {3, {2}, {{5}}}
E = {{3 -1}, 3, {{3 + 2}}}
ZADANIE 5"
Które z podanych ni ej implikacji s prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C ?
(1) (A "B '"B"C) A "C
(2) (A "B '"B = C) A "C
(3) (A = B '"B"C) A "C
(4) (A = B '"B = C) A = C
(5) (A "B '"B"C) A "C
(6) (A "B '"B = C) A "C
(7) (A "B '"B `" C) A "C
RELACJE MI DZY ZBIORAMI
Zbiory i relacje, które mi dzy nimi zachodz , mo na ilustrowa geometrycznie:
np. ustalony prostok t reprezentuje zbiór uniwersalny, za wyró nione w nim
obszary  dowolne zbiory. Ich wzajemne poło enie odpowiada relacjom, jakie
mi dzy nimi zachodz . Jest to tzw. metoda kół Eulera.
U
A B
C
O ile nie jest on niezb dny, prostok t mo na opuszcza .
Mi dzy dwoma dowolnymi zbiorami mo e zachodzi jedna z czterech poni szych
relacji.
A
B A B A B A B

1. A ‚" B 2. A = B 3. A)(B 4. A B
1. Relacja zawierania si (inkluzji, bycia podzbiorem)
Zbiór A zawiera si w zbiorze B witw, gdy ka dy element zbioru A jest te
elementem zbioru B.
A ‚" B "! '" (x " A x "B)
x
3
RACHUNEK ZBIORÓW 1
Je li A ‚" B, to A jest podzbiorem zbioru B, a B jest nadzbiorem zbioru A.
" ‚" A A ‚" A A ‚" U
Relacja zawierania si (inaczej ni relacja nale enia) jest przechodnia:
(A ‚" B '"B ‚" C) A ‚" C
2. Relacja identyczno ci (równo ci)
Zbiór A jest równy zbiorowi B witw, gdy do zbioru A nale dokładnie te same
elementy, które nale do zbioru B.
A = B "! '"(x " A "! x "B)
x
Oczywi cie, zbiory równe s wzajemnie swoimi podzbiorami (tzw.
podzbiorami niewła ciwymi):
A = B "! (A ‚" B '" B ‚" A)
Je li natomiast A ‚" B '" A `" B, to mówimy, e A jest podzbiorem wÅ‚a ciwym
B; mo na to zapisywa A B .
3. Relacja rozł czno ci (wykluczania si )
Zbiór A jest rozł czny ze zbiorem B witw, gdy aden element zbioru A nie jest
elementem zbioru B.
A)(B "! '" (x " A x "B)
x
4. Relacja krzy owania si
Zbiory A i B krzy uj si witw, gdy maj pewne elementy wspólne oraz
jednocze nie ka dy z nich ma elementy nie nale ce do drugiego.

A B "! (" (x " A '" x "B) '"(" (x " A '" x "B) '"(" (x " A '" x "B)
x x x
ZADANIE 6"
Jakie relacje zachodz mi dzy zbiorami A, B, C, D oraz E?
A = {A.Einstein, zbiór poetów, Pary }
B = {zbiór fizyków, A.Mickiewicz, Francja}
C = {{A.Einstein}, {A.Mickiewicz}, zbiór stolic europejskich}
D = zbiór, którego elementami s : wszyscy poeci, wszyscy uczeni
oraz wszystkie miasta europejskie
E = {A.Einstein, Pary }
ZADANIE 7
Które z podanych relacji s prawdziwe?
(6) " ""
(1) " " {"} (11) {"} ""
(7) " ‚" "
(2) " ‚" {"} (12) {"} ‚" "
(3) " )( {"} (8) " )( " (13) {"} `" "
(9) " = "
(4) " = {"}

(5) " {"} (10) " "
4
RACHUNEK ZBIORÓW 1
ZADANIE 8
(1) Czy jest mo liwe, aby zarazem B = A oraz B" A ?
(2) Czy istnieje zbiór, który zawiera si sam w sobie?
(3) Czy istnieje zbiór, który jest rozł czny sam ze sob ?
(4) Ile elementów musz ł cznie posiada zbiory A i B, aby mogły si
krzy owa ?
(5) Czy jest mo liwe, aby jaki zbiór wykluczał si z innym, a zarazem si w
nim zawierał?
(6) Czy jest mo liwe, aby jakie zbiory A i B spełniały warunki:
B ‚" A oraz B " A (tj. aby podzbiór zbioru A byÅ‚ jednocze nie jego
elementem)?
*
Zadanie pochodzi z  wicze z logiki B. Stanosz.
5