Egzamin z MPiS 25.06.2010 godz. 10:00
Część zadaniowa
Zadanie 1 (4p) Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAA, BBB, CCC
odpowiednio z prawdopodobieństwami 0.5, 0.25, 0.25. Litery te (sygnały) podlegają
niezależnie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera B może być
odebrana jako A. Prawdopodobieństwo poprawnego przesłania albo przekłamania liter
przedstawiono na rys.1
rys.1
Obliczyć: a) (2p) prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu kanału ciągu ABB, b) (2p)
prawdopodobieństwo, że odebrany ciąg ABB został nadany jako AAA.
Zadanie 2 (11p) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
C cos x dla x "[-Ä„ / 2,Ä„ / 2]
Å„Å‚
p x =òÅ‚
( )
ół0 dla x "[-Ą / 2,Ą / 2]
Obliczyć: a) (1p) stałą C, b) (2p) wartość przeciętna, c) (2p) medianę, d) (2p) wariancję, e)
(2p) dystrybuantÄ™, f) (2p) P(X<0)
ur
X
îÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 3 (5p) Dwuwymiarowy wektor losowy Z = ma rozkład prawdopodobieństwa
ïÅ‚Y śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Å‚Ä…cznego dany tabelÄ…:
P(X=i,Y=j) X=i
-1 0 1
-1 1/3 0 0
Y=j
0 0 1/3 0
1 0 0 r 1/3
u
Oblicz: a) (2p) Dystrybuantę łączną WL Z ; b) (2p) Współczynnik korelacji (unormowany
współczynnik kowariancji) ZL X i Y, c) (1p) Sprawdz
, czy ZL X i Y są zależne statystycznie.
Część teoretyczna (na oddzielnych kartkach!!!)
1. Udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym dla zdarzeń losowych. (5p)
2. Podaj definicję niezależności dwóch zmiennych losowych. (3p)
3. Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa. (2p)
4. Podaj definicję i rozpisz na elementy macierz korelacji trójwymiarowego wektora
losowego. (5p)
5. Wymień i opisz właściwości estymatorów. (5p)