TAUTOLOGIE KRZ

• Niektóre wypowiedzi są prawdziwe niezależnie od 

okoliczności:

1. Pada deszcz lub nie pada deszcz.

2. Jeśli Jan jest wysoki i bogaty, to Jan jest wysoki.

2. Jeśli Jan jest wysoki i bogaty, to Jan jest wysoki.

3. Nie jest prawdą, że jednocześnie pada i nie pada. 

•

Aby zgodzić się, że są to zdania prawdziwe, 

wystarczy wiedzieć, co znaczy „i”, „lub”, „nie jest 
prawdą, że”  

TAUTOLOGIE KRZ

• Czasem trudno nam rozstrzygnąć, czy coś jest 

tautologią, czy nie: 

• Zatrudnię Piotra lub Jana tylko i wyłącznie w tym 

wypadku, gdy nie zdarzy się tak, że nie zatrudnię ani 
Piotra, ani Jana.

• Deszcz i mróz zobowiązuje MZZUDZPS do 

uruchomienia solarek, jednak tak się dzieje tylko i 
wyłącznie w tym wypadku, gdy nieuruchomienie 
solarek implikuje brak deszczu i brak mrozu.

CO TO JEST TAUTOLOGIA?

• Tautologia KRZ - wyrażenie KRZ, które jest 

prawdziwe niezależnie od układu wartości 
logicznych zdań składowych

• IDEA: 

• IDEA: 

•

zdanie prawdziwe w każdej z możliwych sytuacji, 

•

prawdziwe na mocy swej struktury logicznej

•

prawdziwe niezależnie od tego, jaka jest 
rzeczywistość 

PRZYKŁAD: kiedy dwie wypowiedzi są 

równoważne logicznie?

• A1. Przestań palić albo ja wychodzę.

• B1. Jak nie przestaniesz palić, to wyjdę.

• A2. Nie można wziąć kawy i nie zapłacić.

• A2. Nie można wziąć kawy i nie zapłacić.

• B2. Jeśli się weźmie kawę, trzeba za nią zapłacić.

• A3. Nie dam rady zjeść i kanapki i ciastka.

• B3. Zrezygnuję z kanapki lub z ciastka. 

CO TO ZNACZY, ŻE WYPOWIEDZI SĄ 

RÓWNOWAŻNE LOGICZNIE?

PRZYKŁADY

•

A1. Przestań palić albo ja wychodzę.

•

B1. Jak nie przestaniesz palić, to 
wyjdę.

• Warunek A jest spełniony w 

tych samych sytuacjach, co 
warunek B.

• Zdanie A jest prawdziwe w 

•

A2. Nie można wziąć kawy i nie 
zapłacić.

•

B2. Jeśli się weźmie kawę, trzeba za 
nią zapłacić.

•

A3. Nie dam rady zjeść i kanapki i 
ciastka.

•

B3. Zrezygnuję z kanapki lub z ciastka. 

• Zdanie A jest prawdziwe w 

tych samych sytuacjach, co 
zdanie B

• Albo oba naruszam albo 

oba warunki spełniam

JAK ZBADAĆ, CZY COŚ JEST TAUTOLOGIĄ?

• Trzeba sprawdzić, jak dane zdanie zachowuje się przy 

wszystkich możliwych wartościowaniach

• Robimy tabelkę – liczymy, co się dzieje we wszystkich 

przypadkach

• UWAGA: takie obliczenia wykonujemy w pamięci w 

przypadku prostszych zdań

– „Kandydaci na stanowiska” – w pamięci

•

TAUTOLOGIA – zawsze =1

SCHEMATY WNIOSKOWAŃ

• Jak zapisać schemat rozumowania, w którym występuje szereg 

przesłanek? 

1. Identyfikujemy przesłanki.

–

To nie są na ogół zdania proste!!!

2. Identyfikujemy wniosek.

2. Identyfikujemy wniosek.

–

Wniosek też nie musi być zdaniem prostym!

3. Zapisujemy w formie schematu. 

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to 

będzie mógł szybciej spłacić 
kredyt, Jan otrzymał awans; 
a zatem będzie mógł 

SCHEMAT 

•

Przesłanki to: 

1. Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie 

mógł szybciej spłacić kredyt 

–

A  ⇒ K

a zatem będzie mógł 
szybciej spłacić kredyt. 

2. Jan otrzymał awans

–

A

•

Wniosek to: 

•

Jan będzie mógł szybciej spłacić 

kredyt. 

– K

•

SCHEMAT: 

•

[(A ⇒ K ) ∧ A]  ⇒ K

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to 

będzie mógł szybciej spłacić 
kredyt, Jan nie otrzymał 
awansu; a zatem nie będzie 

SCHEMAT

• PRZESŁANKI: 

1. Jeśli Jan otrzyma awans, to 

będzie mógł szybciej 
spłacić kredyt

awansu; a zatem nie będzie 
mógł szybciej spłacić 
kredytu.

spłacić kredyt

2. Jan nie otrzymał awansu

• WNIOSEK

• Jan nie będzie mógł szybciej 

spłacić kredytu.

• [(A  ⇒ K) ∧ ¬A] ⇒ ¬K

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans lub 

wygra proces, to będzie 
mógł szybciej spłacić kredyt, 
jednak nie dostał awansu 

SCHEMAT

•

PRZESŁANKI: 

1.

Jeśli Jan otrzyma awans lub wygra proces, 
to będzie mógł szybciej spłacić kredyt

–

(A∨P) ⇒ K

2.

Jan nie dostał awansu ani nie wygrał 

jednak nie dostał awansu 
ani nie wygrał procesu; a 
zatem nie będzie mógł 
szybciej spłacić kredytu. 

2.

Jan nie dostał awansu ani nie wygrał 
procesu.

–

¬

A ∧ ¬P

•

WNIOSEK: 

•

Jan nie będzie mógł szybciej spłacić 

kredytu.

–

¬

K

•

SCHEMAT: 

•

[((A∨P)  ⇒ K) ∧ (¬A ∧ ¬P)] ⇒ ¬K

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE

• Wnioskowanie dedukcyjne ma następującą 

własność:

• Jeśli przesłanki są prawdziwe to wniosek jest 

prawdziwy.

prawdziwy.

• MÓWIĄC SWOBODNIE: wnioskowanie 

dedukcyjne nie może nas wyprowadzić na 
manowce. 

• INACZEJ: daje gwarancję sukcesu (przy 

pewnych warunkach)

PRZYKŁAD 1

• PRZESŁANKI: 
1. Zaproszę Jana lub Piotra 

2. Ale nie Jana.

• WNIOSEK:

• WNIOSEK:

• Zaproszę Piotra

• UWAGA: mamy gwarancję prawdziwości 

wniosku – o ile prawdziwe są przesłanki

PRZYKŁAD 2

• ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI): 
1. Musimy otworzyć filię w Krakowie lub 

Poznaniu

2. Ale nie w Krakowie.

2. Ale nie w Krakowie.

• WNIOSEK = ...

• UWAGA: Nie zastanawiamy się nad tym, skąd 

wiemy, że spełnione są założenia etc. Nas 
interesuje tylko zależność logiczna!

BANALNA UWAGA

• Kiedy zastanawiamy się, czy dany wniosek  

wynika z danych przesłanek w sposób logiczny 
postępujemy (ogólnie) tak:

• ZAKŁADAMY, że przesłanki są PRAWDZIWE

• ZAKŁADAMY, że przesłanki są PRAWDZIWE

• BADAMY, czy w tej sytuacji (hipotetyczny) 

wniosek też jest prawdziwy

PRZYKŁAD 3

•

ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI):

1. Filia w Krakowie lub Poznaniu.

2. Koniecznie we Wrocławiu.

3. Jeśli we Wrocławiu to nie w Poznaniu.

3. Jeśli we Wrocławiu to nie w Poznaniu.

•

WNIOSEK = ...

PRZYKŁAD 3a

•

ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI):

1. Filia w Krakowie lub Poznaniu.

2. Jeśli w Poznaniu to nie we Wrocławiu.

3. Koniecznie we Wrocławiu.

3. Koniecznie we Wrocławiu.

•

WNIOSEK = ...

PRZYKŁAD 3a c.d.

1. Filia w Krakowie lub 

Poznaniu.

2. Jeśli w Poznaniu to nie 

we Wrocławiu.

1. Filia w K. lub P.

2. Jeśli P, to nie W

3. Koniecznie we 

Wrocławiu.

•

WNIOSEK = ...

3. W

• WNIOSEK = 

PRZYKŁAD 4

ZAŁOŻENIA

1. Filia w K i w P

2. Gdyby R to nie P.

3. R tylko i wyłącznie wtedy, 

JAK MYŚLIMY

1. Na pewno: K, P

2. A więc musi być: nie-R

3. Czyli nie-W

3. R tylko i wyłącznie wtedy, 

gdy W

• Gdzie będą filie? 

3. Czyli nie-W

•

A zatem: K,P,nie-R,nie-W

PRZYKŁAD 5

• Jakie wnioski można wyprowadzić z 

poniższego zbioru przesłanek:

1. Piotr jest niewinny, a Kuba winny.

2. Jeśli Kuba jest winny, to Robert jest niewinny.

2. Jeśli Kuba jest winny, to Robert jest niewinny.

3. Jeśli Stanisław jest winny, to i Piotr jest winny. 

• …na pewno nie tabelka… (16 rządków) 

PRZYKŁAD 5 c.d.

ZAŁOŻENIA

1.

Piotr jest niewinny, a Kuba 
winny.

2.

Jeśli Kuba jest winny, to 
Robert jest niewinny.

W WERSJI ZNACZKOWEJ

1. ¬P∧K

2. K ⇒¬R

Robert jest niewinny.

3.

Jeśli Stanisław jest winny, 
to i Piotr jest winny. 

• Kto jest winny? 

2. K ⇒¬R

3. S⇒P

PRZYKŁAD 5 – tylko znaczkami

• Jakie wnioski można wyprowadzić z 

poniższego zbioru przesłanek:

1. ¬P∧K

2. K ⇒¬R

2. K ⇒¬R

3. S⇒P

• Jak postępujemy (już bez beletrystyki)?

PRZYKŁAD 6

• Założenia naszej firmy dotyczące nowych filii: 
1. Nie otworzymy w Rzeszowie. 

2. Jeśli otworzymy w Szczecinie, to otworzymy 

też w Rzeszowie. 

też w Rzeszowie. 

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy, 

gdy otworzymy we Wrocławiu. 

4. Jeśli nie otworzymy we Wrocławiu, to 

otworzymy w Poznaniu.

PRZYKŁAD 6 znaczkami

CO WIEMY

1.

Nie otworzymy w 
Rzeszowie. 

2.

Jeśli otworzymy w 
Szczecinie, to otworzymy 

JAK MYŚLIMY

1. ¬R

2. S⇒R

Szczecinie, to otworzymy 
też w Rzeszowie. 

3.

Otworzymy w Szczecinie 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
otworzymy we Wrocławiu. 

4.

Jeśli nie otworzymy we 
Wrocławiu, to otworzymy 
w Poznaniu.

2. S⇒R

3. S⇔W

4. ¬W⇒P

PRZYKŁAD 7

1. Jeśli otworzymy we Wrocławiu, to nie 

otworzymy w Poznaniu.

2. Nie otworzymy w Rzeszowie. 

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy, 

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy, 

gdy otworzymy we Wrocławiu. 

4. Jeśli otworzymy w Gdańsku, to otworzymy 

też w Rzeszowie. 

5. Jeśli nie otworzymy w Poznaniu, to 

otworzymy w Gdańsku.

PRZYKŁAD 8

CO WIEMY

1. K ∧ ¬P

2. R ⇒P

3. R∨S

JAK MYŚLIMY

1. Czyli musi być: K, ¬P (K=1, 

P=0)

2. A więc nie może być R 

(R=0)

3. R∨S

WNIOSKI: 

(R=0)

3. Skoro jedno z dwojga, ale 

nie jest to R, więc musi być 
S (S=1)

• WNIOSKI:  K, ¬P, ¬R, S

• K=1, P=0, R=0, S=0

PRZYKŁAD 9

• Mamy następujące przesłanki: p, p⇒q, 

q⇔(r∨s), ¬r

• Co możemy powiedzieć o wartościach p,q,r,s?
1. p 

1. p 

2. p⇒q

3. q⇔(r∨s) 

4. ¬r

DWIE METODY BADANIA

„PRZESŁUCHANIE ŚWIADKÓW”

1.

Rozważamy wszystkie możliwe 
warianty

2.

Po kolei korzystamy z przesłanek

3.

Eliminujemy sytuacje niezgodne z 
przesłankami

KROK PO KROKU

1.

Korzystamy z przesłanek 
„wyciągając” to co jest widoczne

2.

Zaczynamy od najprostszej do 
analizy

3.

W trakcie dalszej analizy korzystamy 

przesłankami

4.

EFEKT: na końcu zostają te sytuacje, 
które są zgodne z wszystkimi
przesłankami

–

TAKICH SYTUACJI MOŻE BYĆ 
KILKA

5.

Hipoteza jest wnioskiem, jeśli 
zachodzi we wszystkich sytuacjach z 
kroku 4

3.

W trakcie dalszej analizy korzystamy 
z efektów naszej pracy

4.

EFEKT: Dowiadujemy się, jakie są 
wartości logiczne zdań prostych 
(ew: jakie są dopuszczalne 
wartościowania)

5.

Hipoteza jest wnioskiem, jeśli 
zachodzi we wszystkich sytuacjach z 
kroku 4

KONSEKWENCJA LOGICZNA

• Zamiast powiedzieć, że zdanie Z dedukcyjnie 

wynika z przesłanek …, możemy powiedzieć, 
że zdanie Z jest konsekwencją logiczną
przesłanek … 

przesłanek … 

• Konsekwencja logiczna to najsilniejszy rodzaj 

związku między informacjami zawartymi w 
przesłankach a wnioskiem. 

• Jest to pojęcie ogólne – nie związane tylko z 

KRZ (o tym później)

KONSEKWENCJA LOGICZNA A TAUTOLOGIE

• FAKT: wnioskowanie jest niezawodne 

(wniosek logicznie wynika z przesłanek) ↔ 
jego schemat jest tautologią

• MORAŁ: mamy sposób sprawdzania, czy dana 

hipoteza wynika z przesłanek

– Metoda czasochłonna, ale mechaniczna

PRZYKŁAD 

WNIOSKOWANIE 

• Jeśli Jan otrzyma awans, to 

będzie mógł szybciej spłacić 
kredyt, Jan otrzymał awans; 
a zatem będzie mógł 

SCHEMAT 

•

[(A  ⇒ K ) ∧ A] ⇒ K

a zatem będzie mógł 
szybciej spłacić kredyt. 

• Jest wnioskiem logicznym.

• (Wnioskowanie jest 

niezawodne) 

• Jest tautologią

PRZYKŁAD 

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to 

będzie mógł szybciej spłacić 
kredyt, Jan nie otrzymał 
awansu; a zatem nie będzie 

SCHEMAT

• [(A ⇒K) ∧ ¬A] ⇒ ¬K 

• NIE JEST tautologią.

awansu; a zatem nie będzie 
mógł szybciej spłacić 
kredytu.

• NIE JEST (!) wnioskiem 

logicznym. 

PRZYKŁAD

PRZESŁANKI / WNIOSEK 

• PRZESŁANKI:  p; p  ⇒ q 

• HIPOTEZA: q

• Jest wnioskiem logicznym

SCHEMAT 

• [p ∧ (p  ⇒ q)]  ⇒ q 

• Schemat jest tautologią 

• Jest wnioskiem logicznym

• PRZESŁANKI: q;   p  ⇒ q

• HIPOTEZA: p

• Nie jest wnioskiem 

logicznym

• Schemat jest tautologią 

• [q ∧ (p  ⇒ q)]  ⇒ p 

• Schemat nie jest tautologią

METODY BADANIA, CZY COŚ JEST 

KONSEKWENCJĄ LOGICZNĄ

1. „Przesłuchanie” 

2. Metoda krok po kroku

3. Zapis schematu i zbadanie, czy jest tautologią

•

To, jaka metoda jest najlepsza (=najszybsza) 
zależy od okoliczności

•

Wszystkie dają oczywiście ten sam wynik!