Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
Drgania swobodne układów
o jednym stopniu swobody
wykład 2
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
2
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
m
– masa [kg]
c
– tłumienie [kg/s]
k
– sztywność [N/m]
• swobodne
• wymuszone
( )
( )
i
f t
mu t
( )
( )
d
f
t
cu t
( )
( )
s
f t
ku t
( )
( )
( )
( )
i
d
s
f t
f
t
f t
p t
Z uwagi na siłę wymuszającą drgania dzielimy na:
Podział drgań z uwagi na siłę wymuszającą
( )
( )
( )
( )
mu t
cu t
ku t
p t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
3
przemieszczenie początkowe prędkość początkowa
Mówimy, że konstrukcja drga swobodnie, jeżeli przyczyną ruchu jest wytrącenie
z poziomu równowagi, a drgania odbywają się bez udziału siły wymuszającej.
Drgania swobodne
Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez
wytrącenie układu z pozycji równowagi,
to znaczy przez przyłożenie w czasie t = 0
przemieszczenia początkowego u
0
i/lub prędkości początkowej v
0
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
4
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
zagadnienie
własne
Drgania swobodne nietłumione (drgania własne)
0
mu
ku
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
2
0
ms
k
2
n
k
m
2
2
0
n
s
1
2
, s
n
n
s
i
i
1
2
1
2
1
2
( )
n
n
i
t
i
t
s t
s t
u t
A e
A e
A e
A e
( )
cos
sin
n
n
u t
A
t
B
t
cos
sin
cos
sin
n
n
i
t
n
n
i
t
n
n
e
t
i
t
e
t
i
t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
5
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
0
mu
ku
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
( )
cos
sin
n
n
u t
A
t
B
t
(
0)
u t
A
(0)
A
u
(
0)
n
u t
B
(0)
n
u
B
( )
sin(
)
n
u t
C
t
( )
sin(
)
sin
cos
cos
sin
n
n
n
u t
C
t
C
t
t
sin
cos
A
C
B
C
2
2
C
A
B
tg
A
B
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
6
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
0
mu
ku
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
n
k
m
częstość kołowa
drgań własnych
nietłumionych
11
1
n
k
m
m
2
n
n
T
okres
drgań
1
2
n
n
n
f
T
częstotliwość
drgań
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
7
( )
sin(
)
n
u t
C
t
n
C
T
[ ]
u m
[ ]
t s
C
– amplituda drgań [m]
n
– częstość drgań
własnych [rad/s]
n
t
– kąt fazowy [rad]
– faza początkowa [rad]
n
T
– okres drgań [s]
n
f
– częstotliwość [Hz]
2
n
n
T
1
2
n
n
f
T
u_0 = 0.5;
% [m]
v_0 = 2; % [m/s]
m = 1; % [kg]
k = 2; % [N/m]
wn
= 2; % [rad/s
]
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
8
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
( )
sin(
)
n
u t
C
t
( )
cos(
)
n
n
u t
C
t
2
( )
sin(
)
n
n
u t
C
t
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
czas [s]
am
pl
itud
a
u [m]
v [m/s]
a [m/s
2
]
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
9
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
0
mu
ku
( )
( )
0
i
s
f t
f t
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-5
0
5
t [s]
si
ła [
N
]
siła bezwładności f
i
siła sprężystości f
s
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
10
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
Drgania swobodne tłumione
0
mu
cu
ku
0
0
(0)
(0)
u
u
u
u
2
0
ms
cs
k
kr
c
c
2
kr
n
c
m
2
2
2
0
n
n
s
s
2
1,2
1
n
n
s
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
11
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
a)
> 1
– tłumienie nadkrytyczne
1
2
1
2
( )
s t
s t
u t
C e
C e
2
2
1
1
1
2
( )
n
n
n
t
t
t
u t
e
C e
C e
2
2
0
0
0
2
( )
cosh
1 sinh
1
1
n
t
n
n
n
n
u
u
u t
e
u
t
t
2
1,2
1
n
n
s
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
12
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
2
1,2
1
n
n
s
a)
= 1
– tłumienie krytyczne
1
2
( )
n
t
u t
e
C
C t
1
2
n
s
s
0
0
0
0
0
( )
[
(
) ]
[
(1
)
]
n
n
t
t
n
n
u t
e
u
u
u t
e
u
t
u t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
13
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
2
1,2
1
n
n
s
a)
< 1
– tłumienie podkrytyczne
2
1,2
1
n
n
s
i
2
1
d
n
2
d
d
T
1
2
1
2
( )
s t
s t
u t
C e
C e
1
2
( )
n
d
d
t
i
t
i
t
u t
e
C e
C e
( )
cos
sin
n
t
d
d
u t
e
A
t
B
t
0
(
0)
u t
u
A
( )
cos
sin
sin
cos
n
n
t
t
n
d
d
d
d
d
d
u t
e
A
t
B
t
e
A
t
B
t
0
0
0
(
0)
n
n
d
d
u
u
u t
u
A
B
B
0
0
0
( )
cos
sin
n
t
n
d
d
d
u
u
u t
e
u
t
t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
14
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t [s]
u [
m
]
tłumienie podkrytyczne
<1
tłumienie krytyczne
=1
tłumienie nadkrytyczne
>1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t [s]
u [
m
]
tłumienie podkrytyczne
<1
tłumienie krytyczne
=1
tłumienie nadkrytyczne
>1
u_o = 0.5 % [m]
v_o = 2
% [m/s]
w = 2 % [rad/s]
m = 1 % [kg]
c = 3.5 % [kg/s]
c = 4 % [kg/s]
c = 4.5 % [kg/s]
c = 0.5 % [kg/s]
c = 4 % [kg/s]
c = 10 % [kg/s]
2
4
6
8
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
t [s]
u [
m
]
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
15
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t [s]
si
ła [
N
]
siła bezwładości f
i
siła sprężystości f
s
siła tłumienia f
d
0
mu
cu
ku
( )
( )
( )
0
i
d
s
f t
f
t
f t
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
16
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
Wyznaczanie liczby tłumienia
2
2
1
1
( )
e
e
(
)
n d
j
T
d
j
u
u t
u t
T
u
2
1
2
ln
1
j
j
u
u
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Dynamika Budowli
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 1 / 1 2
Magdalena Rucka
Krzysztof Wilde
17
Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody
3
1
1
2
1
2
3
4
1
j
j
j
j
u
u
u
u u
e
u
u u u
u
1
1
1
ln
2
j
u
j
u
2
Dla małego tłumienia, tzn.
< 0.2