1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne

Semestr II

ELEKTROTECHNIKA

LISTA ZADAŃ Nr 9

CAŁKA NIEOZNACZONA

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI I PRZEZ PODSTAWIENIE

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Zad. 1. Wykorzystując przekształcenia algebraiczne sprowadzić podane całki do całek podstawowych, a
następnie obliczyć je:

a)

(

) (

)

dx

x

x

x

x

1

1

2

2

+

+

⋅

+

−

∫

b)

(

)

∫

−

dx

x

x

3

2

1

c)

(

)

∫

+

dx

x

3

4

2

3

d)

∫

+

−

dx

x

x

x

x

3

4

3

3

2

6

5

4

2

e)

∫

+

+

du

u

u

1

1

3

f)

∫

dx

x

x

x

2

2

sin

cos

2

cos

g)

∫

+

−

dx

x

x

e

x

x

x

3

2

3

h)

∫

+

+

dt

t

t

2

cos

1

cos

1

2

i)

∫

−

dx

e

e

x

x

1

2

j)

∫

dx

e

a

x

x

gdzie a > 0

k)

(

) (

)

dw

w

w

w

1

1

+

−

⋅

+

∫

l)

∫

dx

x

2

tg

m)

(

)

dx

x

x

x

∫

−

+

−

−

38

,

0

8

,

0

2

,

1

5

3

2

n)

∫

−

dx

x

x

x

sin

cos

2

cos

o)

∫

dx

x

2

sin

2

2

Zad.2. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie, wyznaczyć całki nieoznaczone:

a)

∫

x

x

dx

ln

b)

∫

+

dx

x

x

2

3

cos

3

tg

c)

∫

+

4

2

7

2x

xdx

d)

∫

dx

x

e

x

cos

sin

e)

∫

dx

x

ctg

f)

∫

−

dx

e

x

x

3

2

g)

dx

x

x

∫

+

2

sin

ctg

1

h)

∫

−

x

x

e

dx

e

2

1

i)

(

)

∫

−

2

3

1

arcsin

x

x

dx

j)

dx

x

x

x

2

4

cos

1

tg

1

tg

∫

⋅

+

k)

∫

⋅

dx

e

x

x

1

2

1

l)

∫

+

dx

x

x

x

ln

ln

1

m)

∫

−

dx

x

a

x

2

2

n)

(

)

∫

+

dx

x

2

5

sh

o)

∫

dx

x

x

cos

sin

7

p)

∫

−

x

x

dx

4

1

2

r)

(

)

∫

dx

x

x

ln

cos

s)

∫

+

8

3

1

x

dx

x

t)

∫

−

























π

−

dx

x

2

4

2

cos

u)

dx

x

x

∫

−

⋅

5

5

4

6

1

w)

(

)

∫

−

dx

x

4

5

tg

x)

∫

+

dx

e

e

x

x

6

3

1

y)

∫

+

dx

x

x

2

1

arcctg

ln

z)

∫

dx

x

x

sin

2

a1)

(

)

∫

x

x

x

dx

ln

ln

ln

b1)*

∫

+

x

b

x

a

dx

x

x

2

2

2

2

cos

sin

cos

sin

c1)

∫

−

+

x

x

e

e

dx

d1)

∫

dx

x

x

)

ln(sin

ctg

e1)

∫

+

dx

x

x

7

ln

5

f1)

∫

+

+

dx

x

x

2

)

2

(

ln

5

Zad.3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:

a)

∫

⋅

dx

x

x

3

b)

∫

dx

x

x

arctg

c)

∫

dx

x

x

3

cos

d)

∫

dx

e

x

x

3

e)

(

)

∫

dx

x

ln

sin

f)

∫

dx

x

e

x

sin

g)

∫

−

dx

x

x

x

2

1

arcsin

h)

∫

dx

x

x

2

cos

i)

(

)

∫

dx

x

x

ln

ln

j)

∫

dx

x

2

arccos

k)

(

)

∫

+

dx

x

x

1

ln

2

l)

∫

dx

x

2

ln

m)

∫

−

dx

e

x

x

2

n)

∫

dx

x

x

cos

ch

o)

∫

dx

x

x

3

sin

5

p)

∫

−

dx

e

x

x

2

3

r)

∫

dx

x

x

2

ln

s)

∫

dx

x

7

arctg

t)

(

)

0

,

cos

2

≠

+

∫

a

dx

b

ax

x

u)

∫

dx

x

x

4

cos

3

w)

(

)

∫

−

+

dx

e

x

x

2

2

1

x)

∫

dx

x

e

x

2

sin

sin

y)

∫

dx

x

2

arcsin

z)*

(

)

∫

+

dx

x

xe

x

3

2

arctg

1

a1)*

(

)

∫

+

+

+

dx

x

x

x

x

2

2

1

1

ln

b1)*

∫

dx

x

arctg

c1)

∫

dx

e

e

x

x

sin

2

d1)

(

)

∫

dx

x

2

arcsin

e1)

∫

dx

x

5

log

f1)

∫

dx

x

x

x

cos

sin

g1)

∫













dx

x

x

2

ln

h1)*

∫

dx

x

e

x

x

sin

2

j1)

∫

+

dx

x

x

2

sin

5

3

UWAGA: W przykładach i), k), p), x) należy w pierwszej kolejności wykonać odpowiednie podstawienie, a
dopiero potem zastosować w/w twierdzenie.

Zad.4. Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:

a)

∫

+

+

dx

x

x

x

10

6

2

b)

∫

+

−

+

dx

x

x

x

2

2

2

1

3

2

c)

∫

+

−

−

dx

x

x

x

1

4

4

3

2

d)

∫

+

−

−

dx

x

x

x

7

5

2

5

4

2

e)

∫

+

−

+

+

dx

x

x

x

x

5

6

5

6

2

2

f)

∫

+

+

+

+

dx

x

x

x

x

25

6

20

7

2

2

2

g)

(

)(

)

∫

+

−

2

2

2

1

4 x

x

dx

h)

∫

+

+

4

3

3

x

x

dx

i)

∫

+

dx

x

x

6

3

27

2

6

j)

(

)

∫

+

+

dx

x

x

x

2

2

5

1

k)

∫

+

−

+

−

+

−

dx

x

x

x

x

x

x

2

3

5

20

21

10

2

2

2

3

4

l)

∫

−

dx

x

x

1

3

3

m)

∫

−

64

4

x

dx

n)

∫

+

−

−

dx

x

x

x

x

5

2

15

7

2

3

o)

∫

+

+

+

+

−

dx

x

x

x

x

x

16

8

8

5

2

2

4

2

3

p)*

∫

+

64

4

x

dx

r)

(

)

dx

x

x

x

x

∫

−

+

+

2

2

2

3

1

2

s)

(

)

dx

x

x

x

∫

+

+

+

2

2

6

1

1

t)

∫

+

−

+

−

+

−

dx

x

x

x

x

x

x

x

4

5

4

9

3

2

3

5

2

3

4

8

u)

∫

−

8

3

x

dx

w)

∫

−

+

−

+

dx

x

x

x

x

1

1

2

3

4

x)

(

)

∫

−

2

4

1

x

dx

y)

∫

−

−

+

dx

x

x

x

x

4

8

3

4

5

z)

∫

+

+

−

dx

x

x

x

8

6

6

2

4

3

Zad.5. Obliczyć następujące całki nieoznaczone:

a)

dx

x

x

∫

+

sin

4

1

cos

b)

(

)

∫

+

−

4

2

2

8

2

x

x

dx

x

c)

∫

dx

x

x

sin

2

d)*

∫

≠

>

+

1

,

0

,

1

a

a

a

dx

x

e)

∫

dx

x

x

x

3

2

cos

sin

f)

∫

dx

x

x

2

tg

g)

∫

dx

e

x

h)

(

)

dx

x

x

∫

−

4

2

1

i)

(

)

∫

+

dx

x

2

1

ctg

j)

dx

x

x

3

8

7

5

1 −

∫

k)

∫

dx

x

x

ch

l)

∫

−

⋅

dx

x

x

3

m)

∫

−

−

−

dx

x

x

x

6

1

6

2

n)

∫

x

x

dx

5

ln

o)

∫

dx

x

2

cos

p)

∫

π

dx

x

cos

r)

∫

+

x

dx

x

2

sin

4

1

cos

s)

∫

+

+

+

dx

x

x

x

5

2

2

2

4

2

t)

∫

dx

x

e

x

3

2

sin

u)

∫

−

+

dx

x

x

2

1

1

w)

∫

dx

x

e

x

2

cos

3

x)

(

)

∫

+

+

dx

x

x

2

1

ln

y)

∫

dx

x

x

cos

z)

∫

+

+

12

12

3

9

2

x

x

dx