ELEMENTY ANALIZY PROCESÓW DECYZYJNYCH
Gry z naturą
Własności problemów decyzyjnych, które można rozwiązać wykorzystując metody
teorii gier
a. Istnieje skończona liczba uczestników gry (zarówno zainteresowanych jak i nie
zainteresowanych w jej wyniku).
b. Każdy uczestnik dysponuje skończoną liczbą sposobów działania.
c. Uczestnicy, którzy chcą zastosować teorię gier, muszą znać wszystkie sposoby
działania innych uczestników, nie wiedząc jednak, które z nich zostaną wybrane.
d. Każdej kombinacji sposobów działania wszystkich uczestników odpowiada określona
korzyść płynąca z gry.
e. Korzyść uczestnika gry zależy zarówno od jego działania, jak i od działania
pozostałych uczestników.
f. Wszystkie możliwe wyniki gry dadzą się wyliczyć.
Sytuacja odpowiadająca powyższym warunkom zwana jest grą.
"Gra z naturą" - decyzję podejmuje tylko jeden uczestnik gry, posiadając informację o
możliwych stanach, w jakich znajdzie się otoczenie, wpływających na korzyści wynikające
z podjęcia decyzji.
Przykład 1
Firma specjalizująca się w zakresie przetwarzania informacji, analizy danych, itp.
zamierza wydzierżawić system komputerowy wspomagający jej usługi. Wchodzą w grę trzy
możliwości:
d1 - dzierżawa dużego systemu komputerowego,
d2 - dzierżawa średniego systemu komputerowego,
d3 - dzierżawa małego systemu komputerowego.
Wybór jednej z trzech decyzji powinien prowadzić do uzyskania maksymalnego zysku
przez firmę. Zysk ten zależy jednak od tego jak zachowa się rynek klientów w zakresie tego
typu usług.
W grę wchodzą dwie możliwości:
s1 - wysoka akceptacja oferowanych usług lub
s2 - niska akceptacja oferowanych usług.
Każdej parze (di ,sj ) i=1,2,3, j=1,2 odpowiada pewna kwota zysku jaki osiągnie firma.
I tak, np.: przy decyzji o wydzierżawieniu małego systemu i dużej akceptacji dla
oferowanych przez firmę usług (para: (d3 ,s1 )) zysk wynosi 100.000 zł. Dla decyzji (d1 ,s2 )
- duży system i mała akceptacja - zysk wyniesie -20.000 zł, czyli poniesiemy stratę.
Zakładamy, że klienci nie działają świadomie na niekorzyść firmy. Również firma nie jest
zainteresowana oferowaniem kiepskich usług za wygórowaną opłatą. Jaką decyzję powinna
podjąć firma ?
Każdej parze (di ,sj) odpowiada pewna wielkość nazywana wypłatą (korzyścią). Wypłaty
zestawia się w, tzw. tablicę wypłat, w której wiersze są przyporządkowane graczowi I a
kolumny odpowiadają stanom natury (tu: sytuacji rynkowej).
Tablica wypłat dla Przykładu 1
decyzja zachowanie rynku
firmy
s1 s2
d1 200 000 -20 000
d2 150 000 20 000
d3 100 000 60 000
W omawianym przykładzie macierz wypłat jest następująca:
s1 s2
d1
200 000 - 20 000
�ł łł
�ł150 000 20 000 śł
d2
�ł100 000 60 000 śł
A = [aij] =
d3
�ł �ł
Kryteria nieprobabilistyczne w grach z naturą
MaxiMin - postępowanie pesymisty (asekuranta)
Pesymista (asekurant) określa dla każdej swojej decyzji najgorszy możliwy wynik
wip
(minimalną wypłatę) a następnie wybiera taką decyzję dk, dla której tak określona
minimalna (gwarantowana) wypłata jest największa.
{ }
dk : min{wip}, gdzie wip = min aij
j
i
{ }
s1 s2 min aij
j
d1 �ł200 - 20łł - 20
d2 150 20 20
�ł śł
d3 �ł
�ł100 60 śł 60
�ł
Firma podejmuje decyzję d3 o wydzierżawieniu małego systemu komputerowego.
MaxiMax - postępowanie optymisty (ryzykanta)
Optymista (ryzykant) określa dla każdej swojej decyzji najwyższy możliwy wynik
(maksymalną wypłatę ) wio a następnie wybiera taką decyzję dk, dla której tak określona
maksymalna (ale nie gwarantowana) wypłata jest największa.
dk : wko = max { wio } , gdzie: wio = max{ aij }
i j
Dla rozważanego przykładu postępowanie wg zasady MaxiMax'u jest następujące:
{ }
s1 s2 max aij
j
d1 �ł200 - 20łł200
d2 150 20 150
�ł śł
d3 �ł100 60śł 100
�ł �ł
Firma podejmuje decyzję d1 o wydzierżawieniu dużego systemu komputerowego - nie
bierze pod uwagę możliwej straty w przypadku małej akceptacji swoich usług przez
klientów.
Kryterium Hurwicza - postępowanie pośrednie (mieszane)
Jest to postępowanie pośrednie pomiędzy postępowaniem pesymisty (asekuranta) a
postępowaniem optymisty (ryzykanta). Reguła Hurwicza przyporządkowuje każdej decyzji
di indeks h(di), który jest ważoną średnią minimalnej i maksymalnej wypłaty związanej z
decyzją. Wybierana jest decyzja, której odpowiada maksymalna wartość h(�"
�").
�"
�"
Oznaczmy:
ąi - skłonność decydenta do ryzyka (optymizmu) przy wyborze decyzji di, ąi"[0,1].
(Zatem 1-ąi jest skłonnością do bycia pesymistą (asekurantem).
Dla każdej decyzji di wyznaczamy hipotetyczną wygraną h(di)
h(di ) =ąi wio + (1-ąi)wip .
ą ą
ą ą
ą ą
Należy wybrać taką decyzję, dla której hipotetyczna wygrana h(di) jest największa
dk: h(dk ) = max { h(di) }.
Rozważymy dwa przypadki rozwiązania problemu prezentowanego w przykładzie
zgodnie z kryterium Hurwicza przy przyjęciu różnych założeń odnośnie wag ąi :
Przypadek (a)
Przyjmijmy ą1 = ą2 = ą3 = 0,5, tzn. że przy każdej z trzech decyzji jesteśmy w
jednakowym stopniu pesymistą i optymistą. Jest to postępowanie właściwe w przypadkach,
gdy nie jesteśmy w stanie określić prawdopodobieństw zajścia "stanów natury" sj .
p o
wi wi h(di) = ąiwio + (1-ąi)wip
d1 �ł- 20 200 łł 0,5�" 200 + 0,5�" (-20) = 90
śł
d2 �ł 20 150 0,5�"150 + 0,5�" 20 = 85
�ł śł
�ł śł
d3 �ł 60 100�ł 0,5�"100 + 0,5�" 60 = 80
 Właściwą decyzją jest w tym przypadku decyzja d1 (duży system).
Przypadek (b).
Przyjmijmy ą1=0.6, ą2 =0.5 oraz ą3 = 0.4. Oznacza to, że przy decyzji d1 mamy większą
skłonność do bycia asekurantem, przy decyzji d2 jesteśmy pół na pół asekurantem i
ryzykantem oraz przy decyzji d3 mamy skłonność być większym ryzykantem.
wip wio h(di ) = ąi wio + (1-ąi )wip
�ł łł
d1 - 20 200
0,6 �" 200 + 0,4 �"( -20) = 112
d2 �ł 20 150śł 0,5 �"150 + 0,5 �" 20 = 85
śł
0,4 �"100 + 0,6 �"60 = 76
d3 �ł
�ł 60 100 �ł
W tym przypadku właściwą decyzją jest decyzja d1 (system komputerowy o dużych
rozmiarach).
 Wybór decyzji optymalnej zgodnie z kryterium Hurwicza może być bardzo wrażliwy na
dobrane subiektywne wagi ąi . Załóżmy, że "i ąi =ą.
Wówczas
h(d1 ) = -20ą + 200 - 200ą = -220ą + 200
h(d2 ) = 20ą + 150 - 150ą = -130ą + 150
h(d3) = 60ą + 100 - 100ą = -40ą + 100 .
h(d1)
220
h(d2)
h(d3)
180
140
100
60
20
"
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-20
Rys.1 Funkcja wagowa h(" ) dla analizy optymalności według Hurwicza
Analiza zachowania się indeksów h(" ) jako funkcji wagi ą, wykazuje, że w powyższym
przykładzie:
" dla ą = 5/9 nie jesteśmy w stanie podjąć decyzji o wyborze strategii - wartość indeksu
Hurwicza jest jednakowa dla wszystkich strategii i równa 700/9 E" 77.8.
" dla ą < 5/9 optymalną decyzją jest wybór strategii d1 ,
" dla ą >5/9 optymalną decyzją jest wybór d3 .
Minimax "żalu" - Savage'a
Macierz wypłat A = [aij ] transformujemy do postaci macierzy "żalu" R = [rij] w
następujący sposób:
Określamy maksymalną wypłatę ai dla każdego "stanu natury" j=1,& n
a = max{aij}
j
i
a następnie obliczamy wartości elementów rij według wzoru:
rij = aj - aij .
Elementy macierzy "żalu" rij wyrażają naszą stratę z powodu podjęcia decyzji
nieoptymalnej z punktu widzenia zaistniałego stanu natury. Do macierzy "żalu" stosujemy
postępowanie według reguły MinMax, tzn. wskazujemy decyzję dk, dla której największa
strata ("żal") z powodu z
le podjętej decyzji będzie możliwie najmniejsza.
rk = min{ri}, gdzie ri = max{rij}
dk:
i j
 s1 s2
s1 s2
d1 �ł200 - 20łł
0 80
d1
�ł łł
śł
d2 �ł
�ł śł
�ł150 20 śł
50 40
d2
�ł śł �ł śł
d3 �ł100 60
�ł
[rij] =
�ł śł
d3
�ł100 0 �ł
max aij 200 60
i
macierz  żalu
{ }
s1 s2 max rij
j
Zgodnie z kryterium Savage'a
firma powinna wybrać decyzję
d1 �ł 0 80łł 80
d2 - wydzierżawienie systemu
d2 �ł
�ł50 40śł 50
śł
komputerowego o średnich
�ł śł
d3 �ł100 0 100
�ł
rozmiarach.
Kryteria probabilistyczne w grach z naturą
Zakładamy, że znamy rozkład prawdopodobieństwa dla stanów natury (w naszym
przykładzie naturą jest rynek usług firmy). W najprostszym układzie wiedza ta sprowadza
się do znajomości prawdopodobieństwa zaistnienia określonego stanu natury, tj. P(sj)
j=1,& n. Stosowane podejścia noszą nazwę kryterium Bayesa-Laplace a.
Prawdopodobieństwa można oszacować na podstawie dostępnych informacji historycznych,
specjalnie przeprowadzonego badania statystycznego, metodą ekspercką bądz
wykorzystać
subiektywne oceny prawdopodobieństw.
Maksymalizacja oczekiwanej korzyści
Wybieramy decyzję, dla której wartość oczekiwanej wypłaty (zysku) będzie największa,
tj.
max{Eia} , gdzie Eia =
"P(s )aij .
j
dk : Eka =
i
j
 P(s1) = 0.4 P(s2 ) = 0.6
d1 �ł200 - 20łł 0.4�" 200 + 0.6�" (-20) = 68
śł
d2 �ł 0.4�"150 + 0.6�" 20 = 72
�ł150 20 śł
�ł śł
d3 �ł100 60�ł 0.4�"100 + 0.6�" 60 = 76
Oparcie decyzji na oczekiwanej wypłacie prowadzi do wyboru decyzji d3.
Minimalny oczekiwany "żal" (strata)
Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej straty ("żalu") będzie
najmniejsza, tj.
r
Ek = min{Eir} , gdzie Eir = P(s )rij.
" j
i
dk :
j
Dla rozważanego przykładu oparcie decyzji na minimalizacji oczekiwanego "żalu"
związanego z nietrafną decyzją prowadzi do wyboru decyzji d3 , tak samo jak w przypadku
kryterium maksymalizacji oczekiwanej wypłaty:
P(s1) = 0.4 P(s2 ) = 0.6
d1 �ł 0 80łł 0.4�" 0 + 0.6�"80 = 48
d2 �ł50 40śł 0.4�"50 + 0.6�" 40 = 44
�ł śł
�ł śł
d3 �ł100 0�ł 0.4�"100 + 0.6�" 0 = 40.
 Załóżmy, że w ogólnym modelu podejmowania decyzji w warunkach niepewności
posiadamy doskonałą informację wtedy, gdy przed podjęciem decyzji znamy stan natury.
Tablica 2 przedstawia funkcję korzyści wraz z odpowiednimi prawdopodobieństwami P(sj)
a priori stanów natury.
Tablica 2
Funkcja korzyści oraz oczekiwane korzyści
P(s1) P(s2 ... P(sn)
sj
)
di s1 s2 ... sn Eia
n
d1 a11 a12 ... a1n
P(s )
"a1 j j
j=1
n
d2 a21 a22 ... a2n
P(s )
"a2 j j
j=1
... ... ... ... ... ...
n
dm am1 am2 ... amn
P(s )
"amj j
j=1
a = max aij
j
a1 a2 & an
i
Decydent wybiera decyzję maksymalizującą korzyść przy danym stanie natury.
a.j  korzyść, jaką gwarantuje decyzja optymalna przy danym stanie natury.
Oczekiwana korzyść przy doskonałej informacji (OKDI) wynosi
n
"P(s )aj .
j
OKDI =
j =1
Jeżeli nie posiadamy doskonałej informacji, to wybieramy decyzję zgodnie z zasadą
maksymalizacji oczekiwanej korzyści
n
a
Ek = max Eia = max
"a P(s ).
ij j
i i
j=1
Oczekiwaną wartość doskonałej informacji (OWDI) możemy obliczyć następująco
OWDI = OKDI - Eka.
Spodziewany "żal" (strata) związany z optymalną decyzją wybraną przy pomocy kryterium
minimalizacji oczekiwanego żalu jest równy oczekiwanej wartości doskonałej informacji.
W tym celu należy odpowiednio przekształcić wzór określający OWDI
n n
OWDI =
"P(s )a - max"a P(s ) =
j j ij j
i
j=1 j=1
n
= min
"P(s )(a - aij )
j j
i
j=1
n
= min
"P(s )rij,
j
i
j=1
gdzie elementy rij wyrażają stratę z powodu podjęcia decyzji.
Oczekiwana wartość dodatkowej informacji (OWDI), inaczej nazywana ceną graniczną
dodatkowej informacji, jest równa wartości minimalnego oczekiwanego żalu
odpowiadającej decyzji optymalnej, zgodnie z kryterium Savage a.
Analiza bayesowska
Przed podjęciem istotnych ostatecznych decyzji będziemy szukać dodatkowej
informacji prowadzącej do uaktualnienia ocen prawdopodobieństw zajścia poszczególnych
stanów natury. Można to przedstawić na następującym schemacie.
Prawdopodobieństwa Dodatkowa Analiza Prawdopodobieństwa
a priori informacja bayesowska a posteriori
Rys.2 Schemat uaktualniania wartości prawdopodobieństw
 Oznaczmy przez (S,W) dwuwymiarową zmienną losową posiadającą łączny rozkład
prawdopodobieństwa P(sj ,wl ) j=1,...,n, l=1,...,k.
" W - oznacza zmienną losową, której wartości to możliwe do uzyskania warianty
dodatkowej informacji,
" S - jest zmienną losową, której wartościami są poszczególne stany natury.
Rozważymy przypadek, w którym zmienna (S,W) ma charakter dyskretny. Obie
zmienne losowe W i S posiadają rozkłady brzegowe. Dla zmiennej S jest to rozkład a priori
prawdopodobieństw stanów natury P(sj).
A
ączny rozkład zmiennej (S,W) określimy jako
P(sj,wl ) a" P(sj )" wl ) = P(wl | sj )P(sj )
. lub
P(s , wl ) a" P(s )" wl ) = P(s | wl )P(wl )
j j j
Rozkład brzegowy zmiennej W, prawdopodobieństwa wyników eksperymentu, można
wyrazić przez
n n
P(wl ) =
"P(s )" wl ) = "P(w | sj)P(sj)
j l
j=1 j=1
Analiza bayesowska ma na celu uaktualnienie szacunków prawdopodobieństw a priori
stanów natury P(sj) w wyniku czego otrzymujemy oszacowania prawdopodobieństw a
posteriori P(sj|wl ). Powinny one dostarczać nam precyzyjniejszej informacji dla uzyskania
dokładniejszych ocen oczekiwanych wypłat.
Prawdopodobieństwa a posteriori:
P(wl )" sj ) P(wl | sj )P(sj )
P(sj | wl ) = =
.
P(wl ) P(wl )
 Układ prawdopodobieństw warunkowych P(sj|wl) daje nam rozkład a posteriori stanów
natury, który uzależnia wartości szacunków prawdopodobieństw zajścia stanów natury od
wyników eksperymentu - informacji dodatkowej.
Zmienna W, która reprezentuje eksperyment powinna być wobec tego odpowiednio
dobrana. Musi to być oczywiście zmienna zależna od zmiennej S a ponadto powinna być
łatwo obserwowalna bądz
jej wartości powinny dać się bez kłopotu precyzyjnie
prognozować. Jest to warunek konieczny dla praktycznego wykorzystania analizy
bayesowskiej w procesie podejmowania decyzji.
W teorii podejmowania decyzji szczególnie ważną sprawą jest umiejętność oceny
dodatkowych korzyści płynących ze zmniejszenia niepewności (nieokreśloności) w
porównaniu do kosztów uzyskania dodatkowych informacji. Można dokładnie obliczyć
wartość dodatkowej informacji, odejmując maksymalną spodziewaną korzyść, jaką
jesteśmy w stanie osiągnąć posługując się dodatkową informacją od spodziewanej korzyści
bez posługiwania się nią.
Przykład 2
Załóżmy, że firma rozważana w Przykładzie 1 ma możliwość przeprowadzenia badania
rynku w celu określenia potrzeb klientów. Studium takie może polepszyć oceny
prawdopodobieństw preferencji rynku - akceptacji usług firmy. Oczywiście koszt badania
rynku obciąża firmę i jeżeli przewyższa on wartość dodatkowej informacji (uzyskanej w
wyniku badania), to firma z niego zrezygnuje. Spróbujmy oszacować wartość doskonałej
informacji.
P(sj) 0.4 0.6
di sj s1 s2 Eia
d1 200 -20 68
d2 150 20 72
d3 100 60 76
aj 200 60
P(sj)aj 80 36
OKDI = 80 + 36 = 116 tys. $ .
Zatem, gdybyśmy byli w stanie wybrać zawsze najkorzystniejszą decyzję, w przypadku
każdego ze stanów natury (akceptacji usług naszej firmy na rynku), oczekiwana wypłata
mogłaby wynosić (jesteśmy to w stanie policzyć zdając sobie sprawę z tego, że jest to
sytuacja idealna, w praktyce prawie niemożliwa) 116 tys.$. Oznaczałoby to wybór d1 w
przypadku stanu rynku s1 i d3 w przypadku stanu rynku s2.
W przypadku braku doskonałej informacji, decyzję można podjąć stosując zasadę
maksymalizacji oczekiwanej korzyści.
max Eia = max {68, 72, 76} = 76 tys. $.
i
Zatem optymalną decyzją w przypadku braku doskonałej informacji jest d3 - dzierżawa
małego systemu komputerowego.
Oczekiwana wartość doskonałej informacji:
max Eia = = 116 - 76 = 40 tys. $.
OWDI = OKDI -
i
Wynika z tego, że jeżeli cena pozyskania dodatkowej pełnej informacji (doskonałej)
przekracza 40 tys. $ firmie nie opłaca się z niej skorzystać. W przeciwnym przypadku
można rozważyć skorzystanie z usługi badania rynku.
OWDI stanowi pułap maksymalny - wartość informacji próbkowej (OWPI) na pewno
nie będzie wyższa.
Załóżmy, że firma decyduje się zaangażować firmę specjalizującą się w badaniach
rynku w celu sprawdzenia potencjalnej akceptacji swoich usług na rynku. Badanie rynku
dostarczy nowej informacji próbkowej, dzięki której prawdopodobieństwa a priori zostaną
za pomocą procedury bayesowskiej zaktualizowane - staną się prawdopodobieństwami a
posteriori.
 Wyróżnimy dwa wskaz
niki rynku:
w1 - klienci w badanej próbie wykazują duże zainteresowanie usługami firmy,
w2 - w badanej próbie klienci wykazują małe zainteresowanie usługami firmy.
Jako wyniku eksperymentu mającego na celu zdobycie dodatkowej informacji
oczekujemy prawdopodobieństw a posteriori: P(sj|wl), które oznaczają warunkowe
prawdopodobieństwa, że zaistnieje stan natury j, jeżeli wynikiem eksperymentu był
wskaz
nik wl .
Na podstawie wcześniejszych doświadczeń firma prowadząca badanie rynku szacuje, że
prawdopodobieństwa warunkowe P(wl|sj) są następujące:
Tablica 3
Prawdopodobieństwa warunkowe wskaz
ników badania
2
Stany natury Wskaz
niki badania
s )
"P(wl j
l =1
w1 w2
s1 P(w1|s1)=0.85 P(w2|s1)=0.15 1
s2 P(w1|s2)=0.05 P(w2|s2)=0.95 1
Tablica 4
Obliczanie prawdopodobieństw a posteriori
sj P(sj) P(wl|sj)
P(sj)P(wl|sj)= P(wl )" sj)
w1 w2 w1 w2
s1 0.4 0.85 0.15 0.34 0.06
s2 0.6 0.05 0.95 0.03 0.57
2
0.37 0.63
P(wl ) =
"P(s )P(s wl )
j j
j=1
P(s1|wl) 0.34/0.37= 0.92 0.06/0.63= 0.095
P(s2|wl) 0.03/0.37= 0.08 0.57/0.63= 0.905
Możemy teraz obliczyć maksymalne oczekiwane korzyści dla poszczególnych sytuacji,
jakie mogą zaistnieć w przypadku korzystania z dodatkowej próbklowej informacji:
1. w wyniku badania otrzymaliśmy wskaz
nik w1
d1 : 200�"0.92 + 0.08�" (-20) = 182.4
ńł �ł
max�łd2 : 150�"0.92 + 0.08�" 20 = 139.6 �ł
�ł żł
max E(di|w1) = = 182.4 tys. $ ,
�łd : 100�" 0.92 + 0.08�" 60 = 96.8 �ł
ół 3 �ł
co odpowiada decyzji d1.
2. w wyniku badania otrzymaliśmy wskaz
nik w2
d1 : 200 �" 0.095 + (-20)�" 0.905 = 0.9
ńł �ł
max�łd2 : 150 �" 0.095 + 20 �" 0.905 = 32.35 �ł
�ł żł
max E(di|w2) = = 63.8 tys $,
�łd : 100 �" 0.095 + 60 �" 0.905 = 63.8 �ł
ół 3 �ł
co odpowiada decyzji d3.
Reasumując, jeżeli w wyniku badania rynku otrzymamy informację, że klienci w badanej
próbie wykazują silne zainteresowanie usługami świadczonymi przez naszą firmę, to
powinniśmy podjąć decyzję d1 o dzierżawie dużego systemu komputerowego. Możemy
wówczas oczekiwać zysku w wysokości 182.4 tys. $. Jeżeli natomiast badanie rynku
pokaże, że klienci są słabo zainteresowani usługami naszej firmy, to powinniśmy
wydzierżawić mały system komputerowy - oczekiwać możemy wówczas zysków w
wysokości 63.8 tys. $.
Oczekiwaną korzyść przy próbkowej informacji statystycznej (OKPI)
k
"P(w ) �" max E(di | wl )
l
OKPI = .
i
l=1
W naszym przykładzie oczekiwana wypłata szacowana w przypadku korzystania z
próbkowej informacji statystycznej wynosi:
OKPI= 0.37�"182.4 + 0.63�"63.8 = 107.6 tys. $.
 Oczekiwana wartość informacji próbkowej (OWPI), będąca różnicą szacunków
oczekiwanej wypłaty w przypadku korzystania i nie korzystania z dodatkowej próbkowej
informacji statystycznej wynosi
max Eia
OWPI = OKPI -
i
W naszym przykładzie wartość dodatkowej informacji pochodzącej ze statystycznego
badania rynku wynosi
OWPI = 107.6 - 76 = 31.6 tys. $
i tyle, ewentualnie, moglibyśmy maksymalnie zapłacić za przeprowadzenie tego badania.
Wartość OWPI jest oczywiście nie większa niż wartość doskonałej informacji OWDI.
Efektywność informacji dodatkowej :
E = OWPI/OWDI �" 100%
Efektywność badania rynku w naszym przykładzie wynosi:
E = 31.6/40 �" 100% = 0.79 �" 100% = 79%.
Można powiedzieć, że informacja pochodząca z proponowanego w naszym przykładzie
badania rynku odpowiada w 79% doskonałej informacji.