1

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

00530

Fale mechaniczne, część 1 D

Ogólna charakterystyka fal mechanicznych.

Fale sinusoidalne (harmoniczne).

Opis fal harmonicznych.

Instrukcja dla zdającego
1.

Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 8
stron. Ewentualny brak należy zgłosić.

2.

Do arkusza może być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.

3.

Proszę uważnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.

4.

Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.

5.

Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.

6.

W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.

7.

Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.

8.

Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.

ś

yczymy powodzenia!

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

Aktualizacja

Styczeń

ROK 2009

Dane osobowe właściciela arkusza

2

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

Temat 145

Ogólna charakterystyka fal mechanicznych.

1.

Falą nazywamy zaburzenie stanu ośrodka lub pola elektromagnetycznego, rozchodzące się w prze-
strzeni ze skończoną prędkością i niosące ze sobą energię. Fale umożliwiają przepływ energii na
duże odległości. Przepływowi energii nie towarzyszy przepływ masy. Wiatr nie jest więc falą:
przenosi on wprawdzie energię , ale jedynie dzięki przesuwaniu się mas powietrza. Falami są na-
tomiast światło i dźwięk.

2.

Ś

wiatło i dźwięk stanowią przykłady fal o zupełnie różnej naturze. Światło jest przykładem fali

elektromagnetycznej, dźwięk jest przykładem fali mechanicznej lub inaczej fali sprężystej. Fale
elektromagnetyczne są zaburzeniami stanu pola elektromagnetycznego, rozchodzącymi się w prze-
strzeni - tak w próżni, jak w ośrodkach materialnych. Fale sprężyste są to innego rodzaju zaburze-
nia stanu ośrodków materialnych: w gazach - zaburzenia gęstości, w cieczach - zaburzenia gęstości
lub zaburzenia kształtu powierzchni swobodnej, w ciałach stałych - zaburzenia gęstości lub kształ-
tu, czy mówiąc ogólniej - zaburzenia regularności sieci krystalicznej Mimo tak różnej natury fi-
zycznej obu rodzajów fal, do ich opisu używamy tych samych pojęć i tego samego formalizmu ma-
tematycznego.

3.

W ośrodkach zupełnie jednorodnych fale rozchodzą się prostoliniowo, ze stałą prędkością. Kierun-
ki rozchodzenia się fal nazywamy promieniami Prędkość fali definiujemy jako stosunek odległości
s, o jaką przesuwa się zaburzenie wzdłuż promienia, do czasu t, w którym przesunięcie to następu-
je: ݒ ൌ

௦

௧

.

4.

Ź

ródłem fali sprężystej może być każde poruszające się lub drgające ciało makroskopowe, które

oddziałuje z cząsteczkami otaczającego je ośrodka i przekazuje im swoją energię ruchu pobudzając
do drgań. Cząsteczki położone w pobliżu źródła oddziałują z dalej położonymi cząsteczkami i
przekazują im energię uzyskaną ze źródła. Te z kolei przekazują energię jeszcze dalszym czą-
steczką i zaburzenie rozprzestrzenia się dalej.

5.

Proces przekazywania energii jest najbardziej bezpośredni w ciałach stałych. Wychylenie cząste-
czek z położeń równowagi powoduje zachwianie bilansu sił przyciągania i odpychania. Cząsteczki
sąsiadujące z cząsteczkami odchylonymi doznają działania niezrównoważonych sił i same wychy-
lają się z położeń równowagi. W gazach przekazywanie energii zachodzi wskutek przypadkowych
zderzeń między cząsteczkami. Im mniejsza jest średnia prędkość ruchu cieplnego cząsteczek, tym
wolniej zachodzi proces przekazywania energii i tym wolniej rozchodzi się zaburzenie. Prędkość
fal sprężystych w gazach, zwłaszcza w niskich temperaturach, jest mniejsza niż prędkość fal sprę-
ż

ystych w ciałach stałych. Ciecze jak zwykle stanowią przypadek pośredni.

Możemy powyższe rozważania podsumować: mimo, że proces przekazywania energii zależy bar-
dzo silnie od mikroskopowej struktury ośrodka, ruch falowy jest zjawiskiem makroskopowym.
Ź

ródło fali sprężystej oddziałuje jednocześnie z bardzo wieloma cząsteczkami

ośrodka, skutkiem

czego

ruchy cząsteczek ośrodka są w pewnym stopniu uporządkowane. Mamy więc do czynienia

z przemieszczeniami względem siebie i deformacjami całych makroskopowych obszarów ośrodka.

6.

Klasyfikacja fal. Przyjmując za podstawę klasyfikacji charakter zależności wychyleń cząstek od
czasu, fale dzieli się na periodyczne i nieperiodyczne.

Jednorazowe, lokalne zaburzenie stanu ośrodka powoduje przebieg w ośrodku pojedynczego im-
pulsu falowego. Cząstki poruszają się tylko w chwili gdy dochodzi do nich impuls, po czym wra-
cają do swych położeń równowagi. Jeżeli zaburzenia wytwarzane są w sposób okresowy (perio-
dyczny), w przestrzeni rozchodzi się fala periodyczna - cały ciąg kolejnych impulsów. Każdy z
tych impulsów powoduje wychylenie cząstek ośrodka.
Szczególnie ważny rodzaj fal periodycznych stanowią fale harmoniczne, powstają one wtedy, gdy
ź

ródło fal porusza się ruchem harmonicznym. W takim przypadku każda z cząstek ośrodka, do

3

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

której dochodzi fala, porusza się także drgającym ruchem harmonicznym wokół swego położenia
równowagi
Fale klasyfikujemy też na podstawie kierunku wychyleń cząsteczek z położenia równowagi
względem kierunku rozchodzenia się fali. Jeżeli wychylenia cząsteczek są równoległe do promie-
nia fali - falę nazywamy podłużną. Jeżeli wychylenie cząsteczek jest prostopadłe do promienia fali
- fala nosi nazwę poprzecznej. W cieczach i gazach mogą rozchodzić się jedynie fale podłużne, na-
tomiast w ciałach stałych zarówno fale podłużne, jak i poprzeczne (chodzi oczywiście o fale me-
chaniczne!).

Fala na powierzchni wody (cieczy) nie jest falą ani poprzeczną ani podłużną. W ruchu falowym w war-
stwie powierzchniowej biorą udział nie tylko cząsteczki powierzchniowe ale i te z głębszych warstw cieczy.
Okazuje się, że cząsteczki cieczy poruszają się po torach kołowych lub eliptycznych w płaszczyznach rów-
noległych do kierunku rozchodzenia się fali (rys.1).

Jako kryterium klasyfikacji fal może posłużyć charakter zależności wychyleń cząstek od położenia
cząstek w przestrzeni:

•

fala kulista: wszystkie cząstki ośrodka równoodległe do pewnego punktu mają w każdej chwili
jednakowe wartości wychyleń.

•

fala walcowa: jednakowe wychylenia mają wszystkie cząsteczki równoodległe od pewnej pro-
stej.

•

fala plaska: jednakowe wychylenia mają cząstki równoodległe od pewnej płaszczyzny

SUPLEMENT: I

Źródłem punktowym nazywać będziemy źródło fali o rozmiarach za-

niedbywalnych w porównaniu z odległością fali od źródła.

SUPLEMENT: II

W punkcie 6 używając terminu „cząstka” mamy na myśli nie pojedyn-

czą cząstkę gazu, cieczy czy ciała stałego, lecz bardzo mały, ale makroskopowy element
objętości.

Rys.2. Fala poprzeczna i podłużna.

Głęboka woda.

Dno.

Płytka woda

Rys.1.

4

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

Temat 146

Fale sinusoidalne (harmoniczne).

1.

W ośrodku powstają fale sinusoidalne (harmoniczne), jeżeli źródło, które wytwarza fale,
porusza się ruchem harmonicznym. Mówiąc inaczej – powstający impuls falowy ma
kształt sinusoidy:

Rys. 1 Fala o przebiegu sinusoidalnym.

2.

Do opisu fali harmonicznej podajemy następujące jej parametry i pojęcia:

długość fali

λ

– najkrótsza odległość między dwoma powierzchniami falowymi róż-

niącymi się fazą o 2

π

(rys. 1), czyli droga, o jaką przesuwa się zaburzenie w czasie

równym okresowi drgań T (czyli w czasie, w którym cząsteczka ośrodka sprężystego
wykona jedno pełne drgnienie),

amplituda drgań A

– maksymalne wychylenie cząstki biorącej udział w ruchu falo-

wym z położenia równowagi,

częstość (częstotliwość) drgań f (

ν

)

– ilość drgań w jednostce czasu,

okres drgań T

– czas, w którym następuje jedno pełne drgnienie cząstki fali,

czoło fali

– powierzchnia falowa, która w danej chwili jest najbardziej oddalona od

ź

ródła fali,

powierzchnia falowa

– powierzchnia utworzona z punktów ośrodka znajdujących się

w tej samej fazie drgań; są to punkty zwykle jednakowo odległe od źródła fali,

zgodne fazy drgań

– cząstki drgają w fazach zgodnych, jeśli poruszają się w tych sa-

mych kierunkach i w tym samym czasie mijają położenie równowagi,

przeciwne fazy drgań

– cząstki drgają w fazach przeciwnych, jeśli poruszają się w

przeciwnych kierunkach ale w tym samym czasie mijają położenie równowagi.

3.

Im większa częstość f ruchu harmonicznego, tym mniejsza długość fali. Fala bowiem bie-
gnie z określoną prędkością v. W ciągu jednego okresu T fala przebiega drogę równą dłu-
gości fali

λ

.

Z powyższego rozumowania wynikają zależności:
(1)

t

v

s

⋅

=

(równanie ruchu jednostajnego bez prędkości początkowej ),

(2)

T

v

⋅

=

λ

,

(3)

f

v

⋅

=

λ

, bowiem

f

T

1

=

.

Ze wzoru (3) widać, że długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do częstości fali.

λ

5

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

4.

Prędkość podłużna fal dana jest wzorem:

(4)

ρ

E

v

l

=

, gdzie E – moduł Younga,

ρ

- gęstość ośrodka,

zaś prędkość fal poprzecznych:

(5)

ρ

G

v

t

=

, gdzie G – moduł sprężystości postaci.

Między E i G zachodzi związek:

(6)

(

)

µ

+

=

1

2

E

G

, gdzie

µ

– współczynnik Poissona.

Prędkość rozchodzenia się fali w gazie wynosi:

(7)

ρ

κ

⋅

=

p

v

, gdzie p ciśnienie gazu,

ρ

- gęstość gazu,

κ

- stosunek ciepła właściwego

przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego w stałej objętości.

Temat 147

Opis fal harmonicznych.

1.

fale harmoniczne wytwarzane są przez źródła poruszające się ruchem harmonicznym.
Załóżmy, że w chwili t

0

= 0 źródło znajdujące się do tej pory w położeniu równowagi po-

budziliśmy gwałtownie do drgań, dostarczając mu pewnej porcji energii kinetycznej.
Ruch źródła w czasie t

>

0 opiszemy wzorem:

(1)

α

sin

A

u

=

, ale

t

⋅

=

ω

α

,

(2)

t

A

u

⋅

=

ω

sin

,

T

π

ω

2

=

,

(3)

T

A

u

π

2

sin

=

,

gdzie T jest okresem drgań, A – amplitudą, zaś u oznacza wychylenie z położenia równowagi (wychyle-
niom u w dwie różne strony przypisujemy przeciwne znaki).

2.

Wzór (3) opisuje również ruch cząstek ośrodka stykających się bezpośrednio ze źródłem.
W chwili t

0

= 0 zaczyna rozchodzić się w przestrzeni fala harmoniczna. Każda cząstka, do

której dochodzi zaburzenie, zaczyna poruszać się ruchem harmonicznym o tym samym
okresie co źródło (w rzeczywistości w chwili początkowej fala nie ma postaci ściśle har-
monicznej, a regularna zależność czasowa drgań ustala się dopiero po pewnym czasie.
Efekt ten zaniedbujemy).

3.

Jeżeli t

0

oznacza czas, jaki upłynął od chwili początkowej do chwili, gdy zaburzenie do-

tarło do pewnej wybranej cząstki ośrodka, to dla t

≥

t

0

ruch tej cząstki opiszemy wzorem:

(4)

(

)

T

t

t

A

u

0

2

sin

−

=

π

.

Argument funkcji sinus nosi nazwę

fazy drgań

.

6

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

4.

Czas t

0

możemy powiązać z prędkością v rozchodzenia się fali oraz mierzoną wzdłuż

promienia fali odległością r cząstki od źródła zależnością

v

r

t

=

0

. Ostatecznie więc w cza-

sie t

≥

t

0

wychylenie cząstki znajdującej się w odległości r od źródła opisane jest wzorem:

(5)













−

=

v

r

t

T

A

u

π

2

sin

.

5.

Na rys. 1 przedstawiono zależność czasową wychylenia cząstki, znajdującej się w odle-
głości r od źródła.

6.

Amplituda drgań cząstek leżących w różnych odległościach od źródła może różnić się od
siebie. Wystarczy popatrzeć, jak rozchodzą się fale na powierzchni wody: w przypadku
fali kolistej amplituda drgań jest tym mniejsza, im większa jest odległość cząstki od źró-
dła. Jest regułą, że amplituda drgań cząstek maleje w miarę wzrostu odległości od źródła.
Zmniejszanie się amplitudy zachodzi szczególnie szybko w przypadku fal kulistych. Naj-
wolniej maleje amplituda dla fali płaskiej.

7.

Gdyby ośrodki były doskonale sprężyste i ruch harmoniczny cząstek nie byłby tłumiony,
amplituda drgań cząstek w przypadku fali płaskiej byłaby stała w całej przestrzeni. W dal-
szym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi ośrodkami doskonale sprężystymi.

8.

Zamiast mówić o amplitudzie drgań poszczególnych cząstek, używamy terminu amplitu-
dy fali. Amplituda fali w danym punkcie ośrodka jest to amplituda drgań cząstki znajdują-
cej się w tym punkcie. Amplituda fal płaskich jest więc stała, a amplituda fal kulistych i
walcowych jest funkcją odległości od źródła.

9.

Równanie (6) opisuje fale harmoniczne niezależnie od ich kształtu i zwane jest równa-
niem fali.

(6)

v

r

t

v

r

t

T

A

t

r

≥













−

=

Ψ

,

2

sin

)

,

(

π

.

Równanie to, zwane równaniem fali, pozwala określić wychylenie każdej cząstki ośrodka
w dowolnej chwili czasu, jeżeli tylko znamy postać funkcji A(r) oraz mierzoną wzdłuż
promienia fali odległość r od źródła.

A

v

r

t

=

0

t

7

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA

10.

Miejsce geometryczne punktów, które w ustalonym czasie maja taką samą fazę nazywa-
my powierzchnią falową lub czołem fali. Czoło fali jest w ośrodku jednorodnym w każ-
dym punkcie prostopadłe do promienia fali przechodzącego przez ten punkt. Czoło fali
kulistej ma więc kształt sfery, czoło fali walcowej – kształt powierzchni walcowej, a czoło
fali płaskiej jest płaszczyzną.

11.

Funkcja sinus jest funkcją okresową (periodyczną) i ma identyczną wartość we wszyst-
kich punktach, w których faza

(7)













−

=

v

r

t

T

π

α

2

,

(8)

2

π

= 360

0

.

różni się o całkowitą wielokrotność 2

π

. Powierzchnie falowe, na których fazy różnią się w

ustalonej chwili czasu o całkowitą wielokrotność 2

π

będziemy nazywali powierzchniami o

zgodnych fazach.

12.

Obliczymy teraz, w jakiej odległości od siebie leżą dwie kolejne powierzchnie falowe
mające w czasie t zgodne fazy. Oznaczymy ich odległości od źródła przez r

1

i r

2

. Dla

dwóch sąsiadujących powierzchni o zgodnych fazach argument funkcji sinus różni się o
2

π

. mamy zatem:

(9)

π

π

π

2

2

2

2

1

=













−

−













−

v

r

t

T

v

r

t

T

, czyli

(10)

T

v

r

r

⋅

=

−

1

2

.

Odległość między dwoma sąsiadującymi powierzchniami falowymi o zgodnych fazach
drgań jest równa drodze, o jaką przesuwa się zaburzenie w czasie równym okresowi T. Od-
ległość tę nazywamy długością fali

λ

:

(11)

f

v

f

v

T

v

⋅

=

=

⋅

=

λ

λ

lub

.

Podstawiając wzór (11) do wzoru (6) otrzymujemy równanie fali w ostatecznej postaci:

(12)













−

=

Ψ

λ

π

r

T

t

A

t

r

2

sin

)

,

(

.

8

00530 Fale mechaniczne, part 1 D

TEORIA