1
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
00530
Fale mechaniczne, część 1 D
Ogólna charakterystyka fal mechanicznych.
Fale sinusoidalne (harmoniczne).
Opis fal harmonicznych.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 8
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Styczeń
ROK 2009
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
Temat 145
Ogólna charakterystyka fal mechanicznych.
1.
Falą nazywamy zaburzenie stanu ośrodka lub pola elektromagnetycznego, rozchodzące się w prze-
strzeni ze skończoną prędkością i niosące ze sobą energię. Fale umoŜliwiają przepływ energii na
duŜe odległości. Przepływowi energii nie towarzyszy przepływ masy. Wiatr nie jest więc falą:
przenosi on wprawdzie energię , ale jedynie dzięki przesuwaniu się mas powietrza. Falami są na-
tomiast światło i dźwięk.
2.
Ś
wiatło i dźwięk stanowią przykłady fal o zupełnie róŜnej naturze. Światło jest przykładem fali
elektromagnetycznej, dźwięk jest przykładem fali mechanicznej lub inaczej fali spręŜystej. Fale
elektromagnetyczne są zaburzeniami stanu pola elektromagnetycznego, rozchodzącymi się w prze-
strzeni - tak w próŜni, jak w ośrodkach materialnych. Fale spręŜyste są to innego rodzaju zaburze-
nia stanu ośrodków materialnych: w gazach - zaburzenia gęstości, w cieczach - zaburzenia gęstości
lub zaburzenia kształtu powierzchni swobodnej, w ciałach stałych - zaburzenia gęstości lub kształ-
tu, czy mówiąc ogólniej - zaburzenia regularności sieci krystalicznej Mimo tak róŜnej natury fi-
zycznej obu rodzajów fal, do ich opisu uŜywamy tych samych pojęć i tego samego formalizmu ma-
tematycznego.
3.
W ośrodkach zupełnie jednorodnych fale rozchodzą się prostoliniowo, ze stałą prędkością. Kierun-
ki rozchodzenia się fal nazywamy promieniami Prędkość fali definiujemy jako stosunek odległości
s, o jaką przesuwa się zaburzenie wzdłuŜ promienia, do czasu t, w którym przesunięcie to następu-
je: ݒ ൌ
௦
௧
.
4.
Ź
ródłem fali spręŜystej moŜe być kaŜde poruszające się lub drgające ciało makroskopowe, które
oddziałuje z cząsteczkami otaczającego je ośrodka i przekazuje im swoją energię ruchu pobudzając
do drgań. Cząsteczki połoŜone w pobliŜu źródła oddziałują z dalej połoŜonymi cząsteczkami i
przekazują im energię uzyskaną ze źródła. Te z kolei przekazują energię jeszcze dalszym czą-
steczką i zaburzenie rozprzestrzenia się dalej.
5.
Proces przekazywania energii jest najbardziej bezpośredni w ciałach stałych. Wychylenie cząste-
czek z połoŜeń równowagi powoduje zachwianie bilansu sił przyciągania i odpychania. Cząsteczki
sąsiadujące z cząsteczkami odchylonymi doznają działania niezrównowaŜonych sił i same wychy-
lają się z połoŜeń równowagi. W gazach przekazywanie energii zachodzi wskutek przypadkowych
zderzeń między cząsteczkami. Im mniejsza jest średnia prędkość ruchu cieplnego cząsteczek, tym
wolniej zachodzi proces przekazywania energii i tym wolniej rozchodzi się zaburzenie. Prędkość
fal spręŜystych w gazach, zwłaszcza w niskich temperaturach, jest mniejsza niŜ prędkość fal sprę-
Ŝ
ystych w ciałach stałych. Ciecze jak zwykle stanowią przypadek pośredni.
MoŜemy powyŜsze rozwaŜania podsumować: mimo, Ŝe proces przekazywania energii zaleŜy bar-
dzo silnie od mikroskopowej struktury ośrodka, ruch falowy jest zjawiskiem makroskopowym.
Ź
ródło fali spręŜystej oddziałuje jednocześnie z bardzo wieloma cząsteczkami
ośrodka, skutkiem
czego
ruchy cząsteczek ośrodka są w pewnym stopniu uporządkowane. Mamy więc do czynienia
z przemieszczeniami względem siebie i deformacjami całych makroskopowych obszarów ośrodka.
6.
Klasyfikacja fal. Przyjmując za podstawę klasyfikacji charakter zaleŜności wychyleń cząstek od
czasu, fale dzieli się na periodyczne i nieperiodyczne.
Jednorazowe, lokalne zaburzenie stanu ośrodka powoduje przebieg w ośrodku pojedynczego im-
pulsu falowego. Cząstki poruszają się tylko w chwili gdy dochodzi do nich impuls, po czym wra-
cają do swych połoŜeń równowagi. JeŜeli zaburzenia wytwarzane są w sposób okresowy (perio-
dyczny), w przestrzeni rozchodzi się fala periodyczna - cały ciąg kolejnych impulsów. KaŜdy z
tych impulsów powoduje wychylenie cząstek ośrodka.
Szczególnie waŜny rodzaj fal periodycznych stanowią fale harmoniczne, powstają one wtedy, gdy
ź
ródło fal porusza się ruchem harmonicznym. W takim przypadku kaŜda z cząstek ośrodka, do
3
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
której dochodzi fala, porusza się takŜe drgającym ruchem harmonicznym wokół swego połoŜenia
równowagi
Fale klasyfikujemy teŜ na podstawie kierunku wychyleń cząsteczek z połoŜenia równowagi
względem kierunku rozchodzenia się fali. JeŜeli wychylenia cząsteczek są równoległe do promie-
nia fali - falę nazywamy podłuŜną. JeŜeli wychylenie cząsteczek jest prostopadłe do promienia fali
- fala nosi nazwę poprzecznej. W cieczach i gazach mogą rozchodzić się jedynie fale podłuŜne, na-
tomiast w ciałach stałych zarówno fale podłuŜne, jak i poprzeczne (chodzi oczywiście o fale me-
chaniczne!).
Fala na powierzchni wody (cieczy) nie jest falą ani poprzeczną ani podłuŜną. W ruchu falowym w war-
stwie powierzchniowej biorą udział nie tylko cząsteczki powierzchniowe ale i te z głębszych warstw cieczy.
Okazuje się, Ŝe cząsteczki cieczy poruszają się po torach kołowych lub eliptycznych w płaszczyznach rów-
noległych do kierunku rozchodzenia się fali (rys.1).
Jako kryterium klasyfikacji fal moŜe posłuŜyć charakter zaleŜności wychyleń cząstek od połoŜenia
cząstek w przestrzeni:
•
fala kulista: wszystkie cząstki ośrodka równoodległe do pewnego punktu mają w kaŜdej chwili
jednakowe wartości wychyleń.
•
fala walcowa: jednakowe wychylenia mają wszystkie cząsteczki równoodległe od pewnej pro-
stej.
•
fala plaska: jednakowe wychylenia mają cząstki równoodległe od pewnej płaszczyzny
SUPLEMENT: I
Źródłem punktowym nazywać będziemy źródło fali o rozmiarach za-
niedbywalnych w porównaniu z odległością fali od źródła.
SUPLEMENT: II
W punkcie 6 uŜywając terminu „cząstka” mamy na myśli nie pojedyn-
czą cząstkę gazu, cieczy czy ciała stałego, lecz bardzo mały, ale makroskopowy element
objętości.
Rys.2. Fala poprzeczna i podłuŜna.
Głęboka woda.
Dno.
Płytka woda
Rys.1.
4
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
Temat 146
Fale sinusoidalne (harmoniczne).
1.
W ośrodku powstają fale sinusoidalne (harmoniczne), jeŜeli źródło, które wytwarza fale,
porusza się ruchem harmonicznym. Mówiąc inaczej – powstający impuls falowy ma
kształt sinusoidy:
Rys. 1 Fala o przebiegu sinusoidalnym.
2.
Do opisu fali harmonicznej podajemy następujące jej parametry i pojęcia:
długość fali
λ
– najkrótsza odległość między dwoma powierzchniami falowymi róŜ-
niącymi się fazą o 2
π
(rys. 1), czyli droga, o jaką przesuwa się zaburzenie w czasie
równym okresowi drgań T (czyli w czasie, w którym cząsteczka ośrodka spręŜystego
wykona jedno pełne drgnienie),
amplituda drgań A
– maksymalne wychylenie cząstki biorącej udział w ruchu falo-
wym z połoŜenia równowagi,
częstość (częstotliwość) drgań f (
ν
)
– ilość drgań w jednostce czasu,
okres drgań T
– czas, w którym następuje jedno pełne drgnienie cząstki fali,
czoło fali
– powierzchnia falowa, która w danej chwili jest najbardziej oddalona od
ź
ródła fali,
powierzchnia falowa
– powierzchnia utworzona z punktów ośrodka znajdujących się
w tej samej fazie drgań; są to punkty zwykle jednakowo odległe od źródła fali,
zgodne fazy drgań
– cząstki drgają w fazach zgodnych, jeśli poruszają się w tych sa-
mych kierunkach i w tym samym czasie mijają połoŜenie równowagi,
przeciwne fazy drgań
– cząstki drgają w fazach przeciwnych, jeśli poruszają się w
przeciwnych kierunkach ale w tym samym czasie mijają połoŜenie równowagi.
3.
Im większa częstość f ruchu harmonicznego, tym mniejsza długość fali. Fala bowiem bie-
gnie z określoną prędkością v. W ciągu jednego okresu T fala przebiega drogę równą dłu-
gości fali
λ
.
Z powyŜszego rozumowania wynikają zaleŜności:
(1)
t
v
s
⋅
=
(równanie ruchu jednostajnego bez prędkości początkowej ),
(2)
T
v
⋅
=
λ
,
(3)
f
v
⋅
=
λ
, bowiem
f
T
1
=
.
Ze wzoru (3) widać, Ŝe długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do częstości fali.
λ
5
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
4.
Prędkość podłuŜna fal dana jest wzorem:
(4)
ρ
E
v
l
=
, gdzie E – moduł Younga,
ρ
- gęstość ośrodka,
zaś prędkość fal poprzecznych:
(5)
ρ
G
v
t
=
, gdzie G – moduł spręŜystości postaci.
Między E i G zachodzi związek:
(6)
(
)
µ
+
=
1
2
E
G
, gdzie
µ
– współczynnik Poissona.
Prędkość rozchodzenia się fali w gazie wynosi:
(7)
ρ
κ
⋅
=
p
v
, gdzie p ciśnienie gazu,
ρ
- gęstość gazu,
κ
- stosunek ciepła właściwego
przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego w stałej objętości.
Temat 147
Opis fal harmonicznych.
1.
fale harmoniczne wytwarzane są przez źródła poruszające się ruchem harmonicznym.
ZałóŜmy, Ŝe w chwili t
0
= 0 źródło znajdujące się do tej pory w połoŜeniu równowagi po-
budziliśmy gwałtownie do drgań, dostarczając mu pewnej porcji energii kinetycznej.
Ruch źródła w czasie t
>
0 opiszemy wzorem:
(1)
α
sin
A
u
=
, ale
t
⋅
=
ω
α
,
(2)
t
A
u
⋅
=
ω
sin
,
T
π
ω
2
=
,
(3)
T
A
u
π
2
sin
=
,
gdzie T jest okresem drgań, A – amplitudą, zaś u oznacza wychylenie z połoŜenia równowagi (wychyle-
niom u w dwie róŜne strony przypisujemy przeciwne znaki).
2.
Wzór (3) opisuje równieŜ ruch cząstek ośrodka stykających się bezpośrednio ze źródłem.
W chwili t
0
= 0 zaczyna rozchodzić się w przestrzeni fala harmoniczna. KaŜda cząstka, do
której dochodzi zaburzenie, zaczyna poruszać się ruchem harmonicznym o tym samym
okresie co źródło (w rzeczywistości w chwili początkowej fala nie ma postaci ściśle har-
monicznej, a regularna zaleŜność czasowa drgań ustala się dopiero po pewnym czasie.
Efekt ten zaniedbujemy).
3.
JeŜeli t
0
oznacza czas, jaki upłynął od chwili początkowej do chwili, gdy zaburzenie do-
tarło do pewnej wybranej cząstki ośrodka, to dla t
≥
t
0
ruch tej cząstki opiszemy wzorem:
(4)
(
)
T
t
t
A
u
0
2
sin
−
=
π
.
Argument funkcji sinus nosi nazwę
fazy drgań
.
6
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
4.
Czas t
0
moŜemy powiązać z prędkością v rozchodzenia się fali oraz mierzoną wzdłuŜ
promienia fali odległością r cząstki od źródła zaleŜnością
v
r
t
=
0
. Ostatecznie więc w cza-
sie t
≥
t
0
wychylenie cząstki znajdującej się w odległości r od źródła opisane jest wzorem:
(5)
−
=
v
r
t
T
A
u
π
2
sin
.
5.
Na rys. 1 przedstawiono zaleŜność czasową wychylenia cząstki, znajdującej się w odle-
głości r od źródła.
6.
Amplituda drgań cząstek leŜących w róŜnych odległościach od źródła moŜe róŜnić się od
siebie. Wystarczy popatrzeć, jak rozchodzą się fale na powierzchni wody: w przypadku
fali kolistej amplituda drgań jest tym mniejsza, im większa jest odległość cząstki od źró-
dła. Jest regułą, Ŝe amplituda drgań cząstek maleje w miarę wzrostu odległości od źródła.
Zmniejszanie się amplitudy zachodzi szczególnie szybko w przypadku fal kulistych. Naj-
wolniej maleje amplituda dla fali płaskiej.
7.
Gdyby ośrodki były doskonale spręŜyste i ruch harmoniczny cząstek nie byłby tłumiony,
amplituda drgań cząstek w przypadku fali płaskiej byłaby stała w całej przestrzeni. W dal-
szym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi ośrodkami doskonale spręŜystymi.
8.
Zamiast mówić o amplitudzie drgań poszczególnych cząstek, uŜywamy terminu amplitu-
dy fali. Amplituda fali w danym punkcie ośrodka jest to amplituda drgań cząstki znajdują-
cej się w tym punkcie. Amplituda fal płaskich jest więc stała, a amplituda fal kulistych i
walcowych jest funkcją odległości od źródła.
9.
Równanie (6) opisuje fale harmoniczne niezaleŜnie od ich kształtu i zwane jest równa-
niem fali.
(6)
v
r
t
v
r
t
T
A
t
r
≥
−
=
Ψ
,
2
sin
)
,
(
π
.
Równanie to, zwane równaniem fali, pozwala określić wychylenie kaŜdej cząstki ośrodka
w dowolnej chwili czasu, jeŜeli tylko znamy postać funkcji A(r) oraz mierzoną wzdłuŜ
promienia fali odległość r od źródła.
A
v
r
t
=
0
t
7
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA
10.
Miejsce geometryczne punktów, które w ustalonym czasie maja taką samą fazę nazywa-
my powierzchnią falową lub czołem fali. Czoło fali jest w ośrodku jednorodnym w kaŜ-
dym punkcie prostopadłe do promienia fali przechodzącego przez ten punkt. Czoło fali
kulistej ma więc kształt sfery, czoło fali walcowej – kształt powierzchni walcowej, a czoło
fali płaskiej jest płaszczyzną.
11.
Funkcja sinus jest funkcją okresową (periodyczną) i ma identyczną wartość we wszyst-
kich punktach, w których faza
(7)
−
=
v
r
t
T
π
α
2
,
(8)
2
π
= 360
0
.
róŜni się o całkowitą wielokrotność 2
π
. Powierzchnie falowe, na których fazy róŜnią się w
ustalonej chwili czasu o całkowitą wielokrotność 2
π
będziemy nazywali powierzchniami o
zgodnych fazach.
12.
Obliczymy teraz, w jakiej odległości od siebie leŜą dwie kolejne powierzchnie falowe
mające w czasie t zgodne fazy. Oznaczymy ich odległości od źródła przez r
1
i r
2
. Dla
dwóch sąsiadujących powierzchni o zgodnych fazach argument funkcji sinus róŜni się o
2
π
. mamy zatem:
(9)
π
π
π
2
2
2
2
1
=
−
−
−
v
r
t
T
v
r
t
T
, czyli
(10)
T
v
r
r
⋅
=
−
1
2
.
Odległość między dwoma sąsiadującymi powierzchniami falowymi o zgodnych fazach
drgań jest równa drodze, o jaką przesuwa się zaburzenie w czasie równym okresowi T. Od-
ległość tę nazywamy długością fali
λ
:
(11)
f
v
f
v
T
v
⋅
=
=
⋅
=
λ
λ
lub
.
Podstawiając wzór (11) do wzoru (6) otrzymujemy równanie fali w ostatecznej postaci:
(12)
−
=
Ψ
λ
π
r
T
t
A
t
r
2
sin
)
,
(
.
8
00530 Fale mechaniczne, part 1 D
TEORIA