Wzory:
(długośd)
(iloczyn skalarny)
(il. wektorowy)
(na kąt między wektorami)
(na odległośd punktu P od płaszczyzny)
(pole równoległoboku)
(pole trójkąta)
(twierdzenie Pietia Golasa)
Teoria:
Rzut ortogonalny to punkt, że wektor między punktami P i P’ jest
prostopadły do prostej/płaszczyzny.
Macierz
ortogonalna
–
po
pomnożeniu
przez
macierz
transponowaną,
daje
macierz
jednostkową.
Kolumny/wiersze są ortogonalne. Długośd każdej kolumny jest 1.
Układ wektorów ortogonalnych są liniowo niezależne.
Własnośd ortogonalności = liniowa niezależnośd.
Baza ortonormalna – wektory wzajemnie prostopadłe, ich długośd 1.
Parami ortogonalne gdy iloczyn skalarny wektorów = 0.
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym dla
macierzy, da do siebie ortogonalne.
Każda macierz rzeczywista i symetryczna A jest ortogonalnie
diagonalizowalna, tzn. istnieje macierz ortogonalna P oraz macierz
diagonalna D taka, że:
Na diagonali macierzy D stoją wartości własne macierzy A, zaś
kolumnami macierzy P są stowarzyszone z tymi wartościami
własnymi jednostkowe wektory własne macierzy A.
Można zbudowad równoległościan gdy iloczyn mieszany != 0
Wyznaczyd bazę ortonormalną; dana V=lin{u,v}:
1. Szukamy 2 wektorów. Weź te co są podane w przestrzeni. Sprawdź
czy są ortogonalne. Jeśli nie są, trzeba znaleźd jakiś inny wektorek X.
2. Przedstawimy go za pomocą kombinacji liniowej tych wektorów co
nam dali, ale zaznaczamy, że tym razem iloczyn skalarny z wektorem
u =0. Wstawiamy do wzoru .
3. Mnożymy obustronnie skalanie przez u. Wykonujemy rachunki.
Wyszło równanie. I teraz wymyśl sobie takie by to równanie
było prawdziwe.
4. Twoje wstawiasz do wzoru z pkt 2 i wyliczasz w koocu ten
wektor.
5. Teraz V=lin{u,x} Upewniasz się, że są prostopadłe (il. skal. =0).
6. Znormalizuj wektory czyli podziel przez ich długośd. Otrzymasz dwa
nowe wektory które są bazą ortonormalną ={
}
Forma kwadratowa (gdzie mamy kwadraty)
1. Macierz A to coś jak gra w statki. Tylko zamiast liczb i alfabetu są x y
z. Łatwo zauważyd, że na przekątnych kumulują się kwadraty
zmiennych. Piszesz tam współczynniki, które stoją w podanym
równaniu z zadania, przy potęgach. W innych miejscach
odpowiednio wpisujesz to co stoi np. przy xy, ale w tym przypadku
wartośd dzielisz przez 2. I tak dalej. Macierz jest symetryczna :D
2. Podkreślamy wszystkie wyrażenia np. z X. W zależności od
zmiennych
zwijamy
do
wzoru:
Rozumiesz?
Nie wszystko masz dane, więc musisz użyd sztuczki, która zwie się.
Dodaj i odejmij, a do wzoru zwiniesz. I tak dalej, i tak dalej, aż
będziesz mied tylko nawiasy podniesione do kwadratu.
3. Wtedy oznaczasz sobie nawiasy jako
. W tym momencie
twoja macierz B (forma kanoniczna), to takie coś co wszędzie ma
zera, a na przekątnych to co stoi przy
Czasami może byd
coś takiego, że wyłączysz przed nawias, albo po redukcji zostanie ci
.
4.
Tworzymy macierz formy. Zobacz, że
pierwszy nawias oznaczyłeś jako x’. W nim np. było (x+2y-z). Czyli
twój pierwszy wiersz macierzy to {1,2,-1} i robisz tak z drugim
nawiasem…
5. Sygnatura formy. Patrzysz na formę kanoniczną. Liczysz ile na
przekątnej jest wyrazów dodatnich, a ile ujemnych. Zapisujesz
sgnf=(p,q), gdzie p to l. dodatnich, a q ujemnych. Gdy p>q to forma
określona dodatnio.
Forma kwadratowa (nie mamy kwadratów)
1. Robimy sobie kwadraty. Do tego potrzebny będzie nam wzór
. Wybieramy sobie jakiś wyraz z
dwiema zmiennymi. np. 4xy, i zamieniamy go do wzoru. Nawiasy,
które podniesione są do potęgi oznaczamy jako x’ i y’.
2. Na boku wypisujemy sobie co oznaczyliśmy za x’ i y’. np. x’ = x+y,
y’=x-y. Podajemy stronami, kombinujemy, co chcemy to robimy,
byle wyliczyd x i y. Po tym wyczerpującym kroku, wstawiamy to do
naszego równania w każde miejsce gdzie jest x,y. z zostawiamy w
spokoju. (Pamiętałeś, że te nawiasy z kwadratami ze wzoru, to są x’ i
y’ i tam nie trzeba nic wstawiad? ;>)
3. Redukcja wyrazów podobnych. A teraz robisz to co dobrze znasz.
Podkreślasz wszystkie wyrazy z np. x’ i zwijasz do wzoru. Ty tak nie
panikuj, że przy zmiennych pojawił się mały apostrof. Traktuj to jak
normalne zmienne. Robisz tak by zostały nawiasy do kwadratu lub
pojedyncze wyrażenia.
4. Kiedy to zrobiłeś, musisz wrócid do podstawienia. Za x’ i y’ wstaw to
co masz w pkt. 2
5. Teraz na legalu możesz oznaczyd, ze jeden nawias to x’’, drugi y’’ i
tak dalej.
6. Macierz formy kanonicznej tworzysz normalnie. Patrzysz co stoi przy
x’’ y’’ z’’ i wpisujesz na przekątnej. Piszesz sygnaturę. Macierz formy,
robisz tak samo jak pisałam w poprzedniej instrukcji.
BONUS:
Jakby ktoś się pytał.
Jaką linię przedstawia równanie. Forma kwadratowa na płaszczyźnie.
1. Mamy trzy możliwości. A) dwie przecinające się proste gdy
wyznacznik <0. B) Jedna prosta gdy w=0, C) Punkt (0,0) gdy w>0
2. Sprowadzamy do postaci kanonicznej . Generalnie chcemy uzyskad
mnożenie nawiasów, by łatwo było nam powiedzied, że to jest
równe zeru, gdy jeden z czynników jest równy zeru. Łatwo będzie
wyliczyd np. dwie przecinające się proste.
