Wzory:

(długośd)

(iloczyn skalarny)
(il. wektorowy)

(na kąt między wektorami)

(na odległośd punktu P od płaszczyzny)

(pole równoległoboku)

(pole trójkąta)

(twierdzenie Pietia Golasa)

Teoria:

Rzut ortogonalny to punkt, że wektor między punktami P i P’ jest
prostopadły do prostej/płaszczyzny.
Macierz

ortogonalna

–

po

pomnożeniu

przez

macierz

transponowaną,

daje

macierz

jednostkową.

Kolumny/wiersze są ortogonalne. Długośd każdej kolumny jest 1.
Układ wektorów ortogonalnych są liniowo niezależne.
Własnośd ortogonalności = liniowa niezależnośd.
Baza ortonormalna – wektory wzajemnie prostopadłe, ich długośd 1.
Parami ortogonalne gdy iloczyn skalarny wektorów = 0.
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym dla
macierzy, da do siebie ortogonalne.
Każda macierz rzeczywista i symetryczna A jest ortogonalnie
diagonalizowalna, tzn. istnieje macierz ortogonalna P oraz macierz
diagonalna D taka, że:

Na diagonali macierzy D stoją wartości własne macierzy A, zaś
kolumnami macierzy P są stowarzyszone z tymi wartościami
własnymi jednostkowe wektory własne macierzy A.
Można zbudowad równoległościan gdy iloczyn mieszany != 0

Wyznaczyd bazę ortonormalną; dana V=lin{u,v}:

1. Szukamy 2 wektorów. Weź te co są podane w przestrzeni. Sprawdź

czy są ortogonalne. Jeśli nie są, trzeba znaleźd jakiś inny wektorek X.

2. Przedstawimy go za pomocą kombinacji liniowej tych wektorów co

nam dali, ale zaznaczamy, że tym razem iloczyn skalarny z wektorem
u =0. Wstawiamy do wzoru .

3. Mnożymy obustronnie skalanie przez u. Wykonujemy rachunki.

Wyszło równanie. I teraz wymyśl sobie takie by to równanie
było prawdziwe.

4. Twoje wstawiasz do wzoru z pkt 2 i wyliczasz w koocu ten

wektor.

5. Teraz V=lin{u,x} Upewniasz się, że są prostopadłe (il. skal. =0).
6. Znormalizuj wektory czyli podziel przez ich długośd. Otrzymasz dwa

nowe wektory które są bazą ortonormalną ={

}

Forma kwadratowa (gdzie mamy kwadraty)

1. Macierz A to coś jak gra w statki. Tylko zamiast liczb i alfabetu są x y

z. Łatwo zauważyd, że na przekątnych kumulują się kwadraty
zmiennych. Piszesz tam współczynniki, które stoją w podanym
równaniu z zadania, przy potęgach. W innych miejscach
odpowiednio wpisujesz to co stoi np. przy xy, ale w tym przypadku
wartośd dzielisz przez 2. I tak dalej. Macierz jest symetryczna :D

2. Podkreślamy wszystkie wyrażenia np. z X. W zależności od

zmiennych

zwijamy

do

wzoru:

Rozumiesz?

Nie wszystko masz dane, więc musisz użyd sztuczki, która zwie się.
Dodaj i odejmij, a do wzoru zwiniesz. I tak dalej, i tak dalej, aż
będziesz mied tylko nawiasy podniesione do kwadratu.

3. Wtedy oznaczasz sobie nawiasy jako

. W tym momencie

twoja macierz B (forma kanoniczna), to takie coś co wszędzie ma
zera, a na przekątnych to co stoi przy

Czasami może byd

coś takiego, że wyłączysz przed nawias, albo po redukcji zostanie ci

.

4.

Tworzymy macierz formy. Zobacz, że

pierwszy nawias oznaczyłeś jako x’. W nim np. było (x+2y-z). Czyli
twój pierwszy wiersz macierzy to {1,2,-1} i robisz tak z drugim
nawiasem…

5. Sygnatura formy. Patrzysz na formę kanoniczną. Liczysz ile na

przekątnej jest wyrazów dodatnich, a ile ujemnych. Zapisujesz
sgnf=(p,q), gdzie p to l. dodatnich, a q ujemnych. Gdy p>q to forma
określona dodatnio.

Forma kwadratowa (nie mamy kwadratów)

1. Robimy sobie kwadraty. Do tego potrzebny będzie nam wzór

. Wybieramy sobie jakiś wyraz z

dwiema zmiennymi. np. 4xy, i zamieniamy go do wzoru. Nawiasy,
które podniesione są do potęgi oznaczamy jako x’ i y’.

2. Na boku wypisujemy sobie co oznaczyliśmy za x’ i y’. np. x’ = x+y,

y’=x-y. Podajemy stronami, kombinujemy, co chcemy to robimy,
byle wyliczyd x i y. Po tym wyczerpującym kroku, wstawiamy to do
naszego równania w każde miejsce gdzie jest x,y. z zostawiamy w
spokoju. (Pamiętałeś, że te nawiasy z kwadratami ze wzoru, to są x’ i
y’ i tam nie trzeba nic wstawiad? ;>)

3. Redukcja wyrazów podobnych. A teraz robisz to co dobrze znasz.

Podkreślasz wszystkie wyrazy z np. x’ i zwijasz do wzoru. Ty tak nie
panikuj, że przy zmiennych pojawił się mały apostrof. Traktuj to jak
normalne zmienne. Robisz tak by zostały nawiasy do kwadratu lub
pojedyncze wyrażenia.

4. Kiedy to zrobiłeś, musisz wrócid do podstawienia. Za x’ i y’ wstaw to

co masz w pkt. 2

5. Teraz na legalu możesz oznaczyd, ze jeden nawias to x’’, drugi y’’ i

tak dalej.

6. Macierz formy kanonicznej tworzysz normalnie. Patrzysz co stoi przy

x’’ y’’ z’’ i wpisujesz na przekątnej. Piszesz sygnaturę. Macierz formy,
robisz tak samo jak pisałam w poprzedniej instrukcji.
BONUS:

Jakby ktoś się pytał.

Jaką linię przedstawia równanie. Forma kwadratowa na płaszczyźnie.

1. Mamy trzy możliwości. A) dwie przecinające się proste gdy

wyznacznik <0. B) Jedna prosta gdy w=0, C) Punkt (0,0) gdy w>0

2. Sprowadzamy do postaci kanonicznej . Generalnie chcemy uzyskad

mnożenie nawiasów, by łatwo było nam powiedzied, że to jest
równe zeru, gdy jeden z czynników jest równy zeru. Łatwo będzie
wyliczyd np. dwie przecinające się proste.

Zdiagonalizowad macierz. Wektory własne i takie tam.

1. Mamy wyznaczyd macierz ortogonalną taką, że

do danej

macierzy A. W tym celu liczymy wielomian charakterystyczny czyli

wyznacznik macierzy A pomniejszonej na przekątnej o – Nazwijmy
ją macierzą G. Liczymy =0 Wyliczamy z tego pierwiastki

przykładowy zapis:

2. Będziemy rozważad przypadki. Najpierw dla

W macierzy G w

miejsce wpisujemy naszą

Później wygląda to mniej więcej tak:

Z tego wynika, że mamy rozwiązad

metodą Gaussa układ gdzie po lewej stronie jest macierz G’, po
prawej same zera, a niewiadomymi są

. Po rozwiązaniu,

wyłączamy literkę przed nawias kwadratowy i mamy wektor. Ładnie
zapiszemy to przykładowo:

Rozstrzygamy przypadek dla kolejnej lambdy w ten sam sposób.

3. Z tych wektorów (jedna kolumna to jeden wektor) utworzymy

macierz wektorów własnych.

4. Ale my mamy mied ortogonalną. Liczymy czy te wektory są

ortogonalne (iloczyn skalarny). Naszym celem jest wybrad wektor,
który jest prostopadły do jednego i do drugiego (nazwijmy go u). ok.
To teraz za pomocą kombinacji liniowej pozostałych 2 wektorów
tworzymy wektor u. Działania są takie jak w Wyznaczyd bazę
ortonormalną od pkt. 2 Wyznaczamy wektor u, normalizujemy.
Normalizujemy pozostałe dwa wektory z którymi się bawiliśmy i
zapisujemy jako macierz A, gdzie kolumny to wektory.

Obliczanie np.

1. Macierz D to taka macierz, która wszędzie ma zera, a na przekątnej

pierwiastki z lambdy. Jeśli pierwiastek był dwukrotny to daną
wartośd wpisujemy dwa razy.

Łączymy tutaj

, w gruncie rzeczy wszystko sprowadza się

do tego, żeby to co stoi na przekątnej podnieśd do żądanej potęgi.

Ortonormalizacja wektorów metodą Grama-Schmidta

1. Wyróżniamy trzy typy wektorów w tym zadaniu. Wektor v – dany.

Wektor e – ostateczny, znormalizowany, zrzutowany, co chcieli
tośmy zrobili. Wektor y – przejściowy, pomocniczy. Tak więc wybierz
sobie wektor z podanych w zadaniu i go znormalizuj. To jest
pierwszy wektor (

) naszej bazy.

2. Zaczepiamy wektor

do wektora

i go rzutujemy. Jest ładny wzór

Aby otrzymad nasz wektor ostateczny wstawiamy do

wzoru

3. Ach! Cóż to! Mamy jeszcze trzeci wektor? Z tym będzie trochę

gimnastyki. Musimy go zrzutowad za pomocą pierwszego wzorku z
pkt. 2 na

Gdy to mamy, sumujemy te wektory, a później

odejmujemy od naszego danego. Wygląda to mniej więcej tak:

. W ten sposób można normalizowad

nieskooczenie wiele wektorów.

Obrót

1. Współczynniki w danym równaniu kolejno nazywamy sobie w

pamięci abcd…. Przy czym wyrazy mieszane to tak jak w budowaniu
macierzy w formie kwadratowej. Musimy podzielid przez 2.
Wstawiamy je do

2. Zostawiamy na chwilę w spokoju i wyliczamy kąt ze wzoru:

. Zajmujemy się macierzą obrotu (czy jak to tam zwał),

wstawiamy do wzoru:

Zauważamy, że

wystąpiło również w naszym pierwszym wzorze, to z pełną

satysfakcją podstawiamy, a

to transponowana macierz

obrotu.

3. Wyliczamy, mnożymy wszystko co się da. Zostawiając koło macierzy

w spokoju. Wyszedł nam wężyk macierzy. Zapiszemy sobie

równanie w formie

Zwijamy do wzoru uproszczonego mnożenia. Robimy co możemy, by
ewidentnie za jakieś nawiasy podstawid jedną ogólną zmienną X, Y.
Dzięki temu zobaczymy równanie figury.

Figury

Elipsa

Hiperbola

Parabola