Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

ASYMPTOTY, EKSTREMA, PUNKTY PRZEGI†CIA, SZKIC WYKRESU

zadania domowe

Zadanie 1. Wyznaczy¢ wszystkie asymptoty funkcji:

1) f(x) = 6x +

sin x

x

,

2) f(x) = xe

1

x−2

,

3) f(x) =

1

(x − 2)

2

,

4) f(x) = x +

2

x

− 3

,

5) f(x) =

x

2

√

x

2

− 2

,

6) f(x) = e

−

1

x2

,

7) f(x) = x − arctgx,

8) f(x) = x arctgx,

9) f(x) =

x

2

+ 3x − 2

x

2

− 4

,

10) f(x) = (x − 4) e

1

x−4

,

11) f(x) =

x

3

x − 1

12) f(x) =

√

x

2

− 3x + 2

.

Zadanie 2. Zbada¢ monotoniczno±¢ i znale¹¢ ekstrema funkcji:

1) f(x) = e

x2

x−3

,

2) f(x) = x − ln(1 + x),

3) f(x) = x − e

x

,

4) f(x =

x

3

x − 1

,

5) f(x) = x

2

e

−2x

,

6) f(x) = x

3

+ 2x

2

− 8,

7) f(x)) = 1 + arctg(x − 1),

8) f(x) =

x

ln x

,

9) f(x) = x

3

− 10x

2

+ 24x

,

10) f(x) =

(x + 2)

2

(x + 1)

3

,

11) f(x) = 3 − 2

3

√

x

2

,

12) f(x) =

x

ln x

,

13) f(x) = x

2

e

1
x

,

14) f(x) = x

√

4 − x

2

,

15) f(x) =

x

2

2

+

8

x

2

,

16) f(x) = ln x +

1

ln x

.

Zadanie 3. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji:

1) f(x) = x

2

+

1

x

2

,

2) f(x) = arctg

1 − x

1 + x

w przedziale [0, 1],

3) f(x) = 2x

3

− 3x

2

− 36x − 8

w przedziale [−3, 6],

4) f(x) = (x − 3)

2

e

x

w przedziale [−1, 4],

5) f(x) = x + 2

√

x

w przedziale [0, 4],

6) f(x) = x

x

w przedziale [0, 3].

1

Zadanie 4. Znale¹¢ przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia wykresu funkcji:

1) f(x) =

x

2

x

2

+ 1

,

2) f(x) =

1

1 − x

2

,

3) f(x) = tgx,

4) f(x) = e

arctgx

,

5) f(x) = x

√

1 − x

2

,

6) f(x) = x

2

e

−x

,

7) f(x) = x

3

− 6x

2

− 36x + 30

,

8) f(x) = x

2

+

1

x

,

9) f(x) = x arctgx,

10) f(x) = x

2

ln x

,

11) f(x) = ln x −

1

ln x

,

12) f(x) = arctg

1

x

,

13) f(x) = 2 sin x +

sin 2x

2

,

14) f(x) = x

3

ln x + 1

.

Zadanie 5. Zbada¢ przebieg zmienno±ci i naszkicowa¢ wykresy funkcji:

1) f(x) =

3x − 1

2x + 1

,

2) f(x) =

x

x

2

+ 1

,

3) f(x) = x e

1
x

,

4) f(x) =

1

ln x

,

5) f(x) =

x

ln x

,

6) f(x) = xe

−x

,

7) f(x) = sin x − sin

2

x

,

8) f(x) = x

√

1 − x

2

,

9) f(x)) = x

2

e

x

,

10) f(x) = arctg

1

x

,

11) f(x) =

x

2

(x − 1)

(x + 1)

2

,

12) f(x) = ln x +

√

x

2

+ 1

,

13) f(x) = arctg

2x

1 + x

2

,

14) f(x) =

x

4

2 − x

3

,

15) f(x) =

ln x

√

x

,

16) f(x) = ln

e +

1

x

,

17) f(x) =

x

3

(x − 1)

2

,

18) f(x) = x + 2 arctgx.

2