Zadania

domo

w

e

z

Matemat

yki

I

I

Seria

I

I

-

Caªk

a

Riemanna

10

Mara

2010

1.

a)

Z

∞

−∞

1

x

2

+ 2x + 2

dx

,

b)

Z

π

0

e

3x

cos

(7x)dx

,

)

Z

1

2

0

1

x

6

− 1

dx

,

d)

Z

1

−1

1

√

1 − x

2

dx

,

e)

Z

1

−1

√

1 − x

2

dx

,

f

)

Z

5

3

√

x

2

− 1dx

,

g)

Z

∞

0

x

exp(ax

2

) + 1

dx

,

a ∈ R

+

h)

Z

e

−

1

n

1

ln x

x

(n+1)

dx

,

n ∈ N

2.

Zna

jd¹

p

ole

gury

ogranizonej

krzywymi

a)

y

= x

2

cos x

,

x ∈ [−π, π]

,

y

= 0

,

b)

y

= x

4

− 1

,

y

= −x

2

+ 1

)

y

= (x + 1)e

x

,

y

= x

2

e

−x

i

y

= 2

3.

Zna

jd¹

ob

jto±¢

torusa

p

o

wsta

j¡ego

w

wyniku

obrotu

okrgu

x

2

+ (y − R)

2

= r

2

w

ok

óª

osi

OX

(

0 < r < R

).

4.

Zna

jd¹

dªugo±¢

jednego

ªuku

ykloidy

tzn.

dªugo±¢

krzyw

ej

zadanej

parametryznie

przez

x

(θ) = R(θ − sin θ), y(θ) = R(1 − sin θ)

,

θ ∈ [0, 2π]

.

5.

Obliz

R

2π

0

dx

5+4 cos x

6.

Czy

zbie»na

jest

aªk

a?

a)

R

1

0

sin

2

x

x

4

,

b)

R

1

0

log(1+x)

√

x

3

,

)

R

∞

1

√

x

2

+1

3

√

x

9

+x

3

+1

1

Rozwi¡zania

1.

a)

π

,

b)

−

3

58

(e

3π

+ 1)

,

)

−

1

12

ln 21 −

1
6

√

3 arctan(

2
3

√

3)

,

d)

π

,

e)

π

2

,

f

)

10 −

9
2

ln 3

,

g)

1

2a

ln 2

,

h)

1

n

2

,

2.

a)

π

2

+ 4π − 8

b)

44
15

)

2e

2

+ 10e

−2

− 2

3.

2π

2

Rr

2

4.

8R

5.

2
3

π

6.

a)

nie,

b)

tak,

)

tak.

2