1

RACHUNEK PRAWDOPOBIE ´

NSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

PRZEDZIA L UFNO´SCI DLA WSKA´

ZNIKA STRUKTURY p

Cecha X (wynik jednego do´swiadczenia) ma rozk lad zero-jedynkowy, tzn. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.
Pr´ob¸e losow¸a n-elementow¸a mo˙zna uto˙zsamia˙c z ci¸agiem n niezale˙znych jednakowych do´swiadcze´n.
Zak ladamy, ˙ze liczba do´swiadcze´n jest du˙za (n ≥ 100).
Niech Z

n

- liczba sukces´ow w n do´swiadczeniach w schemacie Bernoulliego (Z

n

ma rozk lad B(n, p)).

Przedzia l ufno´sci dla wska´

znika strukturyp na poziomie ufno´sci 1 − α:

P





Z

n

n

− u

1−

α

2

·

s

Z

n

n

(1 −

Z

n

n

)

n

< p <

Z

n

n

+ u

1−

α

2

·

s

Z

n

n

(1 −

Z

n

n

)

n





= 1 − α

WERYFIKACJA HIPOTEZ. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNO´SCI

MODEL

H

0

H

1

Statystyka testowa

Zbi´or krytyczny W

m = m

0

m = m

0

m 6= m

0

m > m

0

m < m

0

m 6= m

0

m > m

0

m < m

0

U =

X−m

0

σ

√

n

T =

X−m

0

S

·

√

n − 1

W = (−∞; −u

1−

α

2

) ∪ (u

1−

α

2

; +∞)

W = (u

1−α

; +∞)

W = (−∞; −u

1−α

)

W = (−∞; −t(α, n − 1)) ∪ (t(α, n − 1); +∞)

W = (t(2α, n − 1); +∞)

W = (−∞; −t(2α, n − 1))

m = m

0

m 6= m

0

m > m

0

m < m

0

W = (−∞; −u

1−

α

2

) ∪ (u

1−

α

2

; +∞)

W = (u

1−α

; +∞)

W = (−∞; −u

1−α

)

U =

X−m

0

s

√

n

1. σ dane,

X ∼ N(m, σ)

2. σ nieznane

X ∼ N(m, σ)

3. n ≥ 100

X ma dowolny

rozk lad

σ = σ

0

σ = σ

0

4. n < 50

X ∼ N(m, σ)

X ∼ N(m, σ)

5. n ≥ 50

σ 6= σ

0

σ > σ

0

σ < σ

0

σ 6= σ

0

σ > σ

0

σ < σ

0

χ

2

=

nS

2

σ

2

0

V =

r

2nS

2

σ

2

0

−

√

2n − 3

W = (−∞; −u

1−

α

2

) ∪ (u

1−

α

2

; +∞)

W = (u

1−α

; +∞)

W = (−∞; −u

1−α

)

W = (0; χ

2

(1 −

α

2

, n − 1)) ∪ (χ

2

(

α

2

, n − 1); +∞)

W = (χ

2

(α, n − 1); +∞)

W = (0; χ

2

(1 − α, n − 1))

Opis danych :
α - poziom istotno´sci; n - liczno´s˙c pr´oby, na podstawie kt´orej weryfikujemy hipotez¸e H

0

;

X - warto´s˙c ´srednia, S - odchylenie standardowe (obliczamy dla danej pr´oby);
u

α

- kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0, 1);

t(α, n) - warto´s˙c krytyczna rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 −

α

2

);

X

2

(α, n) - warto´s˙c krytyczna rozk ladu chi-kwadrat o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 − α).

Weryfikacja hipotezy H

0

przeciw hipotezie H

1

na poziomie istotno´sci α:

1) Wybieramy odpowiedni model (dla danej pr´oby i hipotezy).
2) Obliczamy warto´s˙c odpowiedniej statystyki testowej dla danej pr´oby.
3) Znajdujemy zbi´or krytyczny dla danego poziomu istotno´sci α.
4) Je˙zeli obliczona dla danej pr´oby warto´s˙c statystyki testowej nale˙zy do zbioru krytycznego W to hipotez¸e
H

0

nale˙zy odrzuci˙c (tzn. przyj¸a˙c H

1

) na poziomie istotno´sci α. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy H

0

.

c

Krzysztof Bry´s 1999-2006