Exokoncovky nové výsledky 2008 Václav Kotěšovec, 2009

Exokoncovky - nové výsledky 2008

(Václav Kotěšovec, 14.5.2008)

Fairy chess endgames - new results 2008

(Vaclav Kotesovec, 14.5.2008)

Exokoncovky jsou relativně nejméně probádanou oblastí šachu. Stále je zde možnost velkých objevů. Tento
článek navazuje na moje starší články z teorie exokoncovek a přináší nové výsledky, které je možno aplikovat v
exostudiích. Všechny moje předchozí výsledky je možno nalézt zde:

Fairy endgames

Moje velké poděkování si zaslouží John Beasley, který přeložil celý text mého článku do angličtiny!

Fairy chess endings form relatively the least explored branch of chess, and always offer the possibility of great
discoveries. This article follows on from my earlier articles, and presents new results which can be used in fairy
studies. All my previous results can be found in Fairy endgames.

Obsah

Content

1. král + 2 cvrčci + skokan - král

1. king + 2 grasshoppers + leaper - king

2. král + věž + cvrček - král + střelec nebo jezdec

2. king + rook + grasshopper - king + bishop or knight

3. král + střelec/jezdec + střelec/jezdec - král +
lion/leo/pao/vao

3. king + bishop/knight + bishop/knight - king +
lion/leo/pao/vao

4. král + věž/dáma - král + lion/leo/pao/vao

4. king + rook/queen - king + lion/leo/pao/vao

5. král + věž/dáma - král + lion/leo/pao/vao +
lion/leo/pao/vao

5. king + rook/queen - king + lion/leo/pao/vao +
lion/leo/pao/vao

Při testování exokoncovek se zvoleným materiálem jsem vycházel z obecné pozice (např. bílé kameny v rohu
šachovnice a černý král uprostřed šachovnice). Tyto pozice jsem řešil jako vícetažky (Alybadix umožňuje až do
126 tahů) s tím, že jsem použil parametr "EverTree", při kterém se po skončení řešení zachovají všechny
probrané pozice a je možno tak snadno měnit polohu některých kamenů a tyto pozice pak bleskově znovu řešit a
proniknout tak do tajů každé z koncovek. Kromě Alybadixu 2005.8 mi pomohl i VMWARE, pod kterým jsem
stromy pro jednotlivé pozice generoval. Vtip je v tom, že zde je možné pomocí tzv. snapshotů kdykoliv uložit
stav celého systému do souboru a kdykoliv se k němu opět vrátit. Tyto soubory sice zabraly přes 700 MB pro
každou koncovku, což při rozsahu koncovek, které jsem analyzoval, spotřebovalo několik desítek GB, soubory
však jdou dobře komprimovat a možnost vrácení se k nim během chvíle namísto mnohahodinového opětného
generování přinesla kvalitativní zlepšení i proti analýzám z roku 2005.

In testing fairy endings with particular material, I started from a general position (for example, with the White
king in a corner of the board and the Black king in the centre). I solved these as problems "White to play and
mate in N moves" (Alybadix will handle these up to 126 moves), using the parameter "EverTree". At the end of
the solution, this saves all the positions examined, and it is easy to change the positions of some of the men and
solve the new positions like lightning, and so penetrate into the secrets of each of the endings. Besides Alybadix
2005.8, I made use of VMWARE, under which I generated the trees for individual positions. The advantage of
this is that by using the so-called "snapshot" it is possible at any time to dump the state of the entire system into
a file and at any later time to recover it. These files occupy more than 700MB for each ending, which with the
increase in the number of endings I was analysing gave a total requirement of several tens of GB. However, the
files are well compressed, and the possibility of coming back to one of them in a moment instead of having to
spend many hours on new generation gave a qualitative advance on my analyses of 2005.

K jednotlivým diagramům.



Nad každým diagramem je

červeně

označen vždy ten kámen, jehož pozice je proměnná a kterému příslušejí

pole označená čísly (počet tahů do matu) nebo znaky "=".



Názvy kamenů jsou uváděny anglicky, matové postupy jsou ale v notaci FIDE.

Notes on individual diagrams.



Above each diagram, the

red

indicates a man which occupies each square of the diagram in turn. On each

square which it can legally occupy, there appears the number of moves to mate, or the symbol "=".



The names of the pieces are given in English, but the lines of play leading to the mates are in FIDE notation

(D=queen, T=rook, L=bishop, S=knight).

1. Koncovka král + 2 cvrčci + skokan proti samotnému králi

1. Endgame king + 2 grasshoppers + leaper against bare king

1.1 šachovnice 6x6

1.1 chessboard 6x6

K + 2 Grasshoppers +

leaper [x,y]

- K

x/y 0 1 2 3 4 5

0 = + + = = =

1 + + + + + =

2 + + = + = =

3 = + + = = =

4 = + = = = =

5 = = = = = =

1.2 šachovnice 7x7

1.2 chessboard 7x7

K + 2 Grasshoppers +

leaper [x,y]

- K

x/y 0 1 2 3 4 5 6

0 = + + = = = =

1 + + + + + = =

2 + + = + = = =

3 = + + = = = =

4 = + = = = = =

5 = = = = = = =

6 = = = = = = =

K + 2 Grasshoppers + [0,2] -

Kb2 Dabbaba a2 Grasshopper a1b1 - Kd3, chessboard 7x7

1.Ga1-a3 Kd3-c4 2.DAa2-c2+ Kc4-b4 3.Ga3-c1 Kb4-a5 4.Kb2-c3 Ka5-b6
5.Kc3-d4 Kb6-c6 6.Kd4-e5 Kc6-b5 7.Ke5-d5 Kb5-a4 8.Gb1-d1 Ka4-b4
9.Kd5-d4 Kb4-a3 10.Gc1-c3 Ka3-b4 11.DAc2-c4 Kb4-b5 12.Gc3-c5 Kb5-a5
13.Kd4-d5 Ka5-b4 14.Gd1-d6+ Kb4-a3 15.Gd6-d4 Ka3-b3 16.Gc5-e5 Kb3-a2
17.Ge5-c3 Ka2-b3 18.Gc3-c5 Kb3-a2 19.Kd5-e4 Ka2-b3 20.Ke4-d3 Kb3-b2
21.Gc5-e3 Kb2-c1 22.Ge3-c3 Kc1-d1 23.Kd3-e3 Kd1-e1 24.Gc3-f3 Ke1-d1
25.Gf3-d3 Kd1-c1 26.Gd3-d5 Kc1-d1 27.Ke3-d3 Kd1-c1 28.Gd4-d2 Kc1-b2
29.Kd3-d4 Kb2-a3 30.Kd4-c3 Ka3-a2 31.Gd5-b3 Ka2-a3 32.Gd2-b4 Ka3-a2
33.Gb3-b5 Ka2-a3 34.Gb4-d2 Ka3-a2 35.Kc3-d4 Ka2-b3 36.Gd2-d5+ Kb3-b4
37.Gb5-d3 Kb4-a5 38.Kd4-c5 Ka5-a6 39.Gd5-b3 Ka6-b7 40.Kc5-d6 Kb7-b6
41.Kd6-d5 Kb6-a7 42.Gd3-b5 Ka7-a6 43.Kd5-c5 Ka6-a5 44.Gb3-d5 Ka5-a6
45.Kc5-c6 Ka6-a7 46.Gb5-d7 Ka7-a6 47.Kc6-c5 Ka6-b7 48.DAc4-c6+ Kb7-
c7 49.Gd5-b5 Kc7-b7 50.DAc6-e6 Kb7-a6 51.Kc5-b4 Ka6-b7 52.Gd7-f5
Kb7-c7 53.Kb4-c5 Kc7-b7 54.Gb5-d5 Kb7-a6 55.Kc5-b4 Ka6-b7 56.Gd5-f7
Kb7-c7 57.Kb4-c5 Kc7-b7 58.Gf7-f4 Kb7-a6 59.Kc5-b4 Ka6-b7 60.Kb4-a5
Kb7-a7 61.Ka5-b5 Ka7-b7 62.Gf4-f6 Kb7-a7 63.DAe6-c6 Ka7-b7 64.Kb5-c5
Kb7-c7 65.Gf5-b5 Kc7-b7 66.Gf6-b6+ Kb7-a7 67.Gb6-b4 Ka7-b7 68.Gb4-d6
Kb7-a7 69.Kc5-d5 Ka7-b7 70.Gb5-e5 Kb7-a7 71.Kd5-c4 Ka7-b7 72.Kc4-b5
Kb7-a7 73.Ge5-a5 Ka7-b7 74.Gd6-b6 Kb7-a7 75.DAc6-e6 Ka7-b7 76.DAe6-
e4 Kb7-a7 77.Kb5-c6 Ka7-a6 78.Ga5-c7 Ka6-a7 79.DAe4-c4 Ka7-a6
80.DAc4-a4+ Ka6-a7 81.Gc7-c5#

K + 2 Grasshoppers +

[0,2]

- K

Lze si všimnout, že pro dababu existují 3 typy polí, můžeme je
symbolicky označit jako typ A1, typ B1 a typ B2. Typ B1 je
symetrický s A2. Výhra je možná jen při pozici dababy na polích
typu A1 a B1. Při pozici na poli typu B2 je koncovka remízová.

For the dabbaba, there are three types of square, which we can
denote by A1, B1, and B2. Type B1 is symmetrically equivalent
to A2. A win is possible only in the cases A1 and B1. If the
dabbaba is on a square of type B2, the ending is drawn.

Kd4 Dabbaba a1 Grasshopper c4d3 - Kg7, chessboard 7x7

1.Kd4-e5 Kg7-f7 2.DAa1-a3 Kf7-g6 3.DAa3-c3 Kg6-g7 4.Ke5-e6 Kg7-g6
5.Gc4-c2 Kg6-g5 6.Ke6-e5 Kg5-g6 7.Gc2-e4 Kg6-f7 8.DAc3-c5 Kf7-e7
9.Ke5-d5 Ke7-d7 10.Gd3-f5 Kd7-e7 11.DAc5-e5+ Ke7-f6 12.Gf5-d3 Kf6-f7
13.Kd5-d4 Kf7-g6 14.Kd4-e3 Kg6-f6 15.Ke3-f4 Kf6-g6 16.Gd3-f5+ Kg6-f6
17.Gf5-f3 Kf6-g6 18.Gf3-d5 Kg6-f6 19.Gd5-f5 Kf6-f7 20.Kf4-g5 Kf7-g7
21.Gf5-d3 Kg7-f7 22.Kg5-f5 Kf7-g7 23.Kf5-e6 Kg7-g6 24.Gd3-f5+ Kg6-g7
25.DAe5-e7#

Kd4 Dabbaba b1 Grasshopper c4d3 - Kg7, chessboard 7x7

1.Kd4-e5 Kg7-f7 2.DAb1-b3 Kf7-e7 3.DAb3-b5 Ke7-d7 4.Ke5-d5 Kd7-e7
5.Gc4-e2 Ke7-d7 6.Gd3-d6 Kd7-c7 7.Kd5-c5 Kc7-d7 8.Ge2-a6 Kd7-e7
9.DAb5-d5 Ke7-f7 10.Kc5-d4 Kf7-f6 11.Kd4-e4 Kf6-e7 12.Ke4-e5 Ke7-f7
13.Ga6-e6 Kf7-e7 14.Ge6-e4 Ke7-f7 15.Ge4-c6 Kf7-e7 16.Gd6-f4 Ke7-f7
17.Ke5-d4 Kf7-e6 18.Gf4-c4+ Ke6-d6 19.Gc6-e4 Kd6-c7 20.Kd4-c5 Kc7-b7
21.Gc4-e6 Kb7-a6 22.Kc5-b4 Ka6-b6 23.Kb4-c4 Kb6-a7 24.Ge4-c6 Ka7-b7
25.Kc4-c5 Kb7-c7 26.Ge6-c4 Kc7-b7 27.Kc5-b5 Kb7-a7 28.Gc6-a4 Ka7-b7
29.Kb5-c5 Kb7-a6 30.DAd5-b5+ Ka6-a5 31.Gc4-c6 Ka5-a6 32.DAb5-b3
Ka6-b7 33.Kc5-d6 Kb7-a6 34.Ga4-c2 Ka6-a5 35.Kd6-c5 Ka5-a6 36.Gc6-c4
Ka6-b7 37.Kc5-d6 Kb7-a6 38.Gc4-a2 Ka6-a5 39.Kd6-c5 Ka5-a6 40.Ga2-d2
Ka6-b7 41.Kc5-d6 Kb7-a6 42.Kd6-c7 Ka6-a7 43.Kc7-c6 Ka7-a6 44.Gd2-b2
Ka6-a7 45.DAb3-b5 Ka7-a6 46.Kc6-c5 Ka6-a5 47.Gc2-c6 Ka5-a6 48.Gb2-
b6+ Ka6-a7 49.Gb6-d6 Ka7-a6 50.Gd6-b4 Ka6-a7 51.Kc5-c4 Ka7-a6 52.Gc6-
c3 Ka6-a7 53.Kc4-d5 Ka7-a6 54.Kd5-c6 Ka6-a7 55.Gc3-c7 Ka7-a6 56.Gb4-
b6 Ka6-a7 57.DAb5-d5 Ka7-a6 58.DAd5-f5 Ka6-a7 59.Kc6-b5 Ka7-b7
60.Gc7-a5 Kb7-a7 61.DAf5-f7 Ka7-b7 62.DAf7-d7+ Kb7-a7 63.Ga5-c5#

K + 2 Grasshoppers + [1,3] -

Kb1 Camel a2 Grasshopper a1b2 - Kd2, chessboard 7x7

1.CAa2-b5 Kd2-d3 2.Kb1-c1 Kd3-c4 3.CAb5-a2 Kc4-d5 4.CAa2-d1 Kd5-c6
5.Kc1-d2 Kc6-b6 6.Kd2-d3 Kb6-c5 7.Ga1-c3 Kc5-b4 8.Gb2-d4 Kb4-c5
9.Gd4-d2 Kc5-d5 10.Gc3-e3 Kd5-c5 11.Kd3-e4 Kc5-d6 12.Ke4-d4 Kd6-c6
13.CAd1-a2 Kc6-b6 14.CAa2-d3 Kb6-b5 15.Ge3-c3 Kb5-b6 16.Kd4-c4 Kb6-
c7 17.Kc4-c5 Kc7-d7 18.Gd2-d4 Kd7-e7 19.Kc5-d5 Ke7-f6 20.CAd3-c6 Kf6-
e7 21.Gc3-e5 Ke7-d7 22.CAc6-b3 Kd7-c7 23.Ge5-c5 Kc7-d7 24.Kd5-e5
Kd7-c7 25.Ke5-e6 Kc7-b7 26.Ke6-d6 Kb7-a7 27.Gc5-e7 Ka7-b6 28.CAb3-e4
Kb6-a5 29.Kd6-c5 Ka5-a4 30.Ge7-b4+ Ka4-a3 31.Kc5-c4 Ka3-b2 32.Kc4-d3
Kb2-c1 33.Kd3-c3 Kc1-b1 34.CAe4-b5 Kb1-c1 35.Gb4-d2 Kc1-b1 36.CAb5-
c2 Kb1-c1 37.CAc2-d5 Kc1-b1 38.Gd4-d6 Kb1-c1 39.CAd5-a6 Kc1-b1
40.Gd2-b4 Kb1-c1 41.Kc3-d3 Kc1-b1 42.CAa6-b3 Kb1-c1 43.Gd6-d2 Kc1-
b1 44.Kd3-c3 Kb1-a1 45.Gb4-b2 Ka1-b1 46.CAb3-e4 Kb1-a1 47.Kc3-b3
Ka1-b1 48.Gb2-b4 Kb1-c1 49.Kb3-c3 Kc1-b1 50.Gb4-f4 Kb1-a2 51.Kc3-b4
Ka2-b2 52.CAe4-b5 Kb2-b1 53.Kb4-a3 Kb1-a1 54.CAb5-c2 Ka1-b1 55.Ka3-
b3 Kb1-a1 56.Gf4-c1 Ka1-b1 57.Gc1-e3 Kb1-a1 58.Gd2-b2 Ka1-b1 59.Ge3-
a3 Kb1-a1 60.CAc2-d5 Ka1-b1 61.CAd5-e2+ Kb1-a1 62.Ga3-c3#

K + 2 Grasshoppers + [1,3] -

Kb1 Camel c1 Grasshopper a1b2 - Kd3, chessboard 7x7

1.Kb1-a2 Kd3-c2 2.CAc1-b4 Kc2-d3 3.Ka2-b3 Kd3-d4 4.Ga1-c3+ Kd4-c5
5.CAb4-a1 Kc5-d5 6.Kb3-b4 Kd5-c6 7.Kb4-c4 Kc6-d6 8.CAa1-b4 Kd6-e6
9.Gb2-b5 Ke6-f5 10.Kc4-d4 Kf5-f4 11.CAb4-e5 Kf4-g5 12.CAe5-d2 Kg5-f6
13.CAd2-c5+ Kf6-g5 14.Gb5-d5 Kg5-f5 15.Gd5-d3 Kf5-e6 16.Gc3-c6 Ke6-
d6 17.Gc6-c4 Kd6-e6 18.Kd4-e4 Ke6-d6 19.CAc5-b2 Kd6-c6 20.Ke4-e5
Kc6-c7 21.Ke5-d5 Kc7-b7 22.CAb2-e3 Kb7-c7 23.CAe3-b4+ Kc7-d7
24.Gc4-e6 Kd7-e7 25.CAb4-e3 Ke7-d7 26.CAe3-d6 Kd7-c7 27.Kd5-c5 Kc7-
b7 28.Gd3-d7 Kb7-a6 29.Gd7-f5 Ka6-b7 30.CAd6-a5 Kb7-a6 31.CAa5-d4
Ka6-b7 32.Gf5-d7 Kb7-a6 33.Kc5-c6 Ka6-a7 34.Ge6-b6 Ka7-a6 35.Gb6-d6
Ka6-a7 36.Gd6-d3 Ka7-a6 37.Gd3-d5 Ka6-a7 38.Gd5-b7+ Ka7-a6 39.Gb7-e7
Ka6-a7 40.Kc6-b5 Ka7-b7 41.CAd4-c7+ Kb7-a7 42.CAc7-b4+ Ka7-b7
43.Ge7-c7#

K + 2 Grasshoppers +

[1,3]

- K

Tento diagram demonstruje rozdíl při umístění velblouda na
polích různých barev, v obou případech je však koncovka na
šachovnici 7x7 vyhrávající.

This diagram demonstrates the difference made by putting the
camel on a light or a dark square. However, in both cases the
ending is won on a 7x7 board.

K + 2 Grasshoppers + [1,4] -

Ka2 Giraffe a1 Grasshopper b1b2 - Kc3, chessboard 7x7

1.GIa1-b5 Kc3-b4 2.GIb5-f4 Kb4-c3 3.GIf4-b3 Kc3-d4 4.Ka2-a3 Kd4-c5
5.Ka3-a4 Kc5-d4 6.Ka4-b4 Kd4-d3 7.GIb3-f2 Kd3-d2 8.Kb4-b3 Kd2-e3
9.GIf2-e6 Ke3-d3 10.GIe6-a5 Kd3-d4 11.Kb3-b4 Kd4-d3 12.Gb1-e4 Kd3-c2
13.Gb2-b5 Kc2-d3 14.Kb4-c5 Kd3-c3 15.Gb5-d5 Kc3-d3 16.Ge4-c6 Kd3-c3
17.Gc6-c4 Kc3-d3 18.Gd5-b5+ Kd3-e3 19.Kc5-d5 Ke3-d2 20.Kd5-d4 Kd2-c2
21.GIa5-e6 Kc2-b3 22.GIe6-f2+ Kb3-b4 23.Gb5-d3 Kb4-a5 24.Kd4-c5 Ka5-
a4 25.Gc4-e2 Ka4-a3 26.Gd3-f1 Ka3-b2 27.Kc5-d4 Kb2-c2 28.Gf1-f3 Kc2-d2
29.Ge2-g2 Kd2-c2 30.Gg2-e4 Kc2-b2 31.Kd4-c4 Kb2-a3 32.GIf2-e6 Ka3-b2
33.Gf3-d5 Kb2-a3 34.GIe6-d2 Ka3-b2 35.GId2-c6+ Kb2-a3 36.Ge4-b4 Ka3-
a2 37.Kc4-c3 Ka2-a3 38.Gd5-b7 Ka3-a4 39.Gb7-b3 Ka4-a5 40.GIc6-b2 Ka5-
b6 41.Kc3-d4 Kb6-c7 42.Kd4-e5 Kc7-d7 43.Gb3-b5 Kd7-e7 44.GIb2-c6 Ke7-
f7 45.Gb4-b6 Kf7-g6 46.Gb6-d6 Kg6-f7 47.Gb5-d7 Kf7-g6 48.Gd7-d5 Kg6-
f7 49.GIc6-g5 Kf7-g6 50.GIg5-c4 Kg6-f7 51.Gd5-b3 Kf7-e7 52.GIc4-g3 Ke7-
d7 53.Ke5-d5 Kd7-c7 54.GIg3-c2 Kc7-d7 55.Gb3-e6 Kd7-c7 56.Gd6-d4 Kc7-
b7 57.Ge6-c4 Kb7-c7 58.Gc4-e4 Kc7-b7 59.Kd5-c5 Kb7-a6 60.Ge4-c4 Ka6-
a5 61.Gd4-b4 Ka5-a6 62.GIc2-d6 Ka6-b7 63.Gb4-d4 Kb7-a6 64.Gd4-d7 Ka6-
a5 65.Gc4-c6 Ka5-a4 66.Kc5-c4 Ka4-a5 67.GId6-c2 Ka5-a4 68.GIc2-b6 Ka4-
a5 69.GIb6-f7 Ka5-a4 70.Gd7-b5+ Ka4-a3 71.Kc4-c3 Ka3-a2 72.GIf7-e3+
Ka2-b1 73.GIe3-a4 Kb1-a2 74.GIa4-e5 Ka2-b1 75.Gc6-c2 Kb1-a2 76.Gc2-c4
Ka2-b1 77.Gb5-d3 Kb1-a2 78.Gd3-b3+ Ka2-b1 79.GIe5-d1 Kb1-a1 80.Gc4-
c2 Ka1-a2 81.GId1-c5 Ka2-a1 82.GIc5-g6 Ka1-a2 83.GIg6-f2 Ka2-a3
84.GIf2-e6 Ka3-a2 85.GIe6-a5 Ka2-a3 86.GIa5-e4+ Ka3-a2 87.Gb3-d3 Ka2-
a1 88.GIe4-a3 Ka1-a2 89.GIa3-b7 Ka2-a1 90.GIb7-f6 Ka1-a2 91.GIf6-b5
Ka2-a3 92.Gd3-b3 Ka3-a2 93.Gc2-a4 Ka2-b1 94.Gb3-d3 Kb1-a2 95.Gd3-a6
Ka2-b1 96.Ga6-c4 Kb1-a2 97.Ga4-c6 Ka2-b1 98.Gc4-c7 Kb1-a2 99.Gc7-c5
Ka2-b1 100.Gc5-a5 Kb1-a2 101.Gc6-a4 Ka2-b1 102.Ga4-a6 Kb1-a2
103.GIb5-f6 Ka2-b1 104.GIf6-g2 Kb1-a2 105.Ga6-a4 Ka2-b1 106.Kc3-b3
Kb1-a1 107.Kb3-c2 Ka1-a2 108.GIg2-f6 Ka2-a1 109.GIf6-e2+ Ka1-a2
110.Ga5-a3#

1.3 šachovnice 8x8

1.3 chessboard 8x8

K + 2 Grasshoppers +

leaper [x,y]

- K

x/y 0 1 2 3 4 5 6 7

0 = + = = = = = =

1 + + + = = = = =

2 = + = + = = = =

3 = = + = = = = =

4 = = = = = = = =

5 = = = = = = = =

6 = = = = = = = =

7 = = = = = = = =

Na šachovnici 8x8 vyhrává král se 2 cvrčky proti samotnému králi (ze všech možných typů skokanů) společně
jen s vezírem, fersem, jezdcem a zebrou. S dababou, velbloudem nebo žirafou nelze v obecné pozici zatlačit
soupeřova krále do rohu šachovnice, tak jako to šlo na šachovnicích 6x6 nebo 7x7.

On an 8x8 board, king plus two grasshoppers plus leaper win against a bare king only if the leaper is a wazir,
fers, kinght, or zebra. With a dabbaba, camel, or giraffe, it is not possible to force the Black king back to a
corner of the board, as was possible on a 6x6 or 7x7 board.

K + 2 Grasshoppers + [0,1] -

Ka1 Grasshopper a2b2 Wazir b1 - Kd4

1.WAb1-c1 Kd4-c3 2.WAc1-c2+ Kc3-b3 3.Ka1-b1 Kb3-c4 4.Gb2-d2 Kc4-b3
5.WAc2-b2+ Kb3-c3 6.Kb1-c1 Kc3-b4 7.Kc1-c2 Kb4-c5 8.Kc2-d3 Kc5-d5
9.WAb2-b3 Kd5-e5 10.WAb3-b4 Ke5-d6 11.Kd3-e4 Kd6-c5 12.WAb4-b3
Kc5-d6 13.WAb3-c3 Kd6-e6 14.Gd2-b4 Ke6-d7 15.Ke4-d5 Kd7-e7 16.Kd5-
e5 Ke7-f7 17.WAc3-c4 Kf7-g6 18.Ke5-f4 Kg6-f6 19.Ga2-d5 Kf6-e6
20.WAc4-c5 Ke6-f6 21.Gd5-b5 Kf6-e6 22.Gb5-b3 Ke6-f7 23.Kf4-f5 Kf7-g7
24.Kf5-g5 Kg7-f7 25.WAc5-d5 Kf7-g7 26.WAd5-d6 Kg7-f7 27.Kg5-f5 Kf7-
g7 28.WAd6-e6 Kg7-h6 29.Kf5-g4 Kh6-g6 30.Gb4-b2 Kg6-h6 31.WAe6-f6
Kh6-h7 32.Kg4-g5 Kh7-g8 33.WAf6-e6 Kg8-f8 34.Kg5-f6 Kf8-e8 35.WAe6-
d6 Ke8-d8 36.Kf6-e6 Kd8-c7 37.Gb2-b4 Kc7-b6 38.Ke6-d5 Kb6-c7 39.Gb3-
b5 Kc7-d8 40.Kd5-e6 Kd8-c7 41.Ke6-e5 Kc7-d8 42.Ke5-d5 Kd8-c7
43.WAd6-c6+ Kc7-d8 44.Kd5-e6 Kd8-c8 45.Gb4-b6 Kc8-d8 46.Ke6-f7 Kd8-
c8 47.Kf7-e8 Kc8-b8 48.Ke8-d7 Kb8-a7 49.Kd7-d6 Ka7-b8 50.WAc6-c7
Kb8-a7 51.Kd6-c5 Ka7-a6 52.WAc7-b7 Ka6-a5 53.Gb6-b4 Ka5-a4 54.Kc5-
c4 Ka4-a3 55.Kc4-c3 Ka3-a4 56.WAb7-b6 Ka4-a5 57.Kc3-c4 Ka5-a4
58.WAb6-a6 Ka4-a3 59.Kc4-c3 Ka3-a2 60.WAa6-a5 Ka2-b1 61.Kc3-d2 Kb1-
a2 62.Kd2-c2 Ka2-a3 63.Gb4-b6 Ka3-a2 64.WAa5-a4 Ka2-a1 65.WAa4-b4
Ka1-a2 66.WAb4-b3 Ka2-a1 67.Gb5-b2 Ka1-a2 68.Gb2-d2 Ka2-a1 69.Gb6-
b2 Ka1-a2 70.Gb2-b4 Ka2-a1 71.Gd2-a5 Ka1-a2 72.Ga5-c3 Ka2-a1
73.WAb3-b2#

K + Grasshopper +

Grasshopper

+ [0,1] - K

Černý může remizovat jen tehdy, pokud se mu podaří chytit
některý z bílých kamenů (v tomto případě cvrčka), obecně je ale
koncovka pro silnější stranu vyhraná.

The Black king can draw only if he can play to capture one of the
White pieces (in this case one of the grasshoppers). In general,
the ending is won for the stronger side.

K + 2 Grasshoppers + [1,1] -

Ka1 Fers a2 Grasshopper b1b2 - Kd4

1.FEa2-b3 Kd4-c3 2.Ka1-a2 Kc3-d4 3.Ka2-a3 Kd4-c5 4.Gb2-b4 Kc5-d4
5.Ka3-b2 Kd4-d3 6.Kb2-c1 Kd3-c3 7.Gb4-b2 Kc3-d3 8.Gb1-d1 Kd3-c3
9.FEb3-c2 Kc3-b4 10.Kc1-d2 Kb4-c4 11.FEc2-d3+ Kc4-d5 12.Kd2-c3 Kd5-
c5 13.Gd1-d4 Kc5-d5 14.Gd4-d2 Kd5-e5 15.Kc3-c4 Ke5-d6 16.Kc4-d4 Kd6-
c7 17.Kd4-d5 Kc7-d8 18.Gd2-d4 Kd8-e7 19.Gb2-e5 Ke7-f7 20.FEd3-e4 Kf7-
g6 21.Kd5-e6 Kg6-g5 22.Ke6-f7 Kg5-h4 23.Kf7-g6 Kh4-g3 24.Ge5-e3 Kg3-
g4 25.Kg6-f6 Kg4-g3 26.Kf6-g5 Kg3-g2 27.Kg5-f4 Kg2-f1 28.Kf4-f3 Kf1-e1
29.FEe4-d3 Ke1-d1 30.Ge3-c5 Kd1-c1 31.FEd3-c4 Kc1-d2 32.Gd4-b4 Kd2-
d1 33.Kf3-e3 Kd1-e1 34.Gc5-c3 Ke1-d1 35.FEc4-b3 Kd1-e1 36.Gb4-d2+
Ke1-f1 37.Ke3-f3 Kf1-g1 38.FEb3-c2 Kg1-h2 39.Kf3-g4 Kh2-g2 40.Gc3-c1
Kg2-f1 41.Kg4-f3 Kf1-e1 42.Gd2-b2 Ke1-f1 43.FEc2-d1 Kf1-g1 44.FEd1-e2
Kg1-h2 45.Kf3-g4 Kh2-g2 46.Kg4-h4 Kg2-h2 47.Gb2-f2 Kh2-g2 48.Gf2-d2
Kg2-h2 49.Gc1-e3 Kh2-g2 50.Ge3-e1 Kg2-h2 51.FEe2-f3 Kh2-g1 52.Kh4-g3
Kg1-f1 53.Ge1-c3 Kf1-g1 54.FEf3-g4 Kg1-f1 55.Kg3-f3 Kf1-g1 56.FEg4-h3
Kg1-h2 57.FEh3-g2+ Kh2-g1 58.Gc3-g3#

K + 2 Grasshoppers +

[1,1]

- K

Kb2 Fers f7 Grasshopper a2b1 - Kh8

1.Gb1-b3 Kh8-g7 2.FEf7-e6 Kg7-f6 3.FEe6-d5 Kf6-e5 4.Ga2-c4 Ke5-d4
5.Kb2-c2 Kd4-e3 6.Kc2-c3 Ke3-f4 7.Kc3-d3 Kf4-e5 8.FEd5-e4 Ke5-f6
9.Gc4-f4 Kf6-e5 10.Gf4-d4 Ke5-e6 11.Gb3-e3 Ke6-d6 12.Kd3-c4 Kd6-c6
13.Gd4-f4 Kc6-d6 14.Kc4-d4 Kd6-c6 15.Kd4-e5 Kc6-c5 16.FEe4-d3 Kc5-c6
17.Ke5-e6 Kc6-c7 18.Ge3-c3 Kc7-b6 19.Ke6-d6 Kb6-b5 20.Gc3-e3 Kb5-a6
21.Kd6-c6 Ka6-a7 22.FEd3-c4 Ka7-a6 23.Gf4-b4 Ka6-a5 24.Kc6-c5 Ka5-a4
25.FEc4-d3 Ka4-b3 26.Gb4-d6 Kb3-a4 27.Gd6-d2 Ka4-a5 28.Ge3-c3 Ka5-a6
29.Kc5-c6 Ka6-a5 30.FEd3-c2 Ka5-a6 31.Gd2-b4 Ka6-a7 32.FEc2-b3 Ka7-b8
33.Kc6-d7 Kb8-b7 34.Gc3-a3 Kb7-a6 35.Kd7-c6 Ka6-a5 36.Gb4-b2 Ka5-a6
37.FEb3-a4 Ka6-a7 38.FEa4-b5 Ka7-b8 39.Kc6-d7 Kb8-b7 40.Kd7-d8 Kb7-
b8 41.Gb2-b6 Kb8-b7 42.Gb6-b4 Kb7-b8 43.Ga3-c5 Kb8-b7 44.Gc5-a5 Kb7-
b8 45.FEb5-c6 Kb8-a7 46.Kd8-c7 Ka7-a8 47.Ga5-c3 Ka8-a7 48.FEc6-d7
Ka7-a8 49.FEd7-c8 Ka8-a7 50.Kc7-c6 Ka7-b8 51.FEc8-b7+ Kb8-a7 52.Gc3-
c7#

Jak je vidět z diagramu, není zde barva pole ferse nijak
významná.

As can be seen from the diagram, the colour of square on which
the fers runs is immaterial.

+ 2 Grasshoppers + [1,1] - K

Černý král může udržet remízu, pokud chytí některou z bílých
figur, obecně je ale koncovka pro silnější stranu vyhraná.

The Black king can draw only if he can play to capture one of the
White pieces. In general, the ending is won for the stronger side.

K + 2 Grasshoppers + [1,2] -

Tuto koncovku jsem již důkladně probíral v dřívějších článcích a
zde ji uvádím jen pro úplnost. Viz např.

Alybadix 2005 and

(fairy) chess endgames

I gave a complete analysis of this ending in my earlier articles
and include it here only for completeness. See for example
Alybadix 2005 and (fairy) chess endgames.

K + 2 Grasshoppers + [2,3] -

Ka2 Grasshopper b1b2 Zebra a1 - Ke3

1.ZEa1-c4 Ke3-d3 2.ZEc4-f6+ Kd3-c3 3.Ka2-a3 Kc3-d2 4.Gb1-b3 Kd2-c3
5.Gb3-d3 Kc3-c2 6.Gb2-g7 Kc2-c3 7.Gd3-b3 Kc3-d4 8.Ka3-b4 Kd4-d5
9.ZEf6-c4+ Kd5-e4 10.Kb4-c5 Ke4-e5 11.Gg7-d4 Ke5-e4 12.Gd4-b4 Ke4-e5
13.Gb3-b5 Ke5-e4 14.Kc5-d6 Ke4-f5 15.Kd6-d5 Kf5-f4 16.ZEc4-e7 Kf4-e3
17.Gb5-e5 Ke3-f4 18.ZEe7-b5 Kf4-f5 19.Ge5-c5 Kf5-f4 20.Kd5-d4 Kf4-f5
21.ZEb5-d2+ Kf5-f4 22.Gb4-d6 Kf4-f3 23.Gc5-e3 Kf3-e2 24.ZEd2-b5 Ke2-
f3 25.Kd4-e5 Kf3-e2 26.Ke5-e4 Ke2-d1 27.Ge3-e5 Kd1-c2 28.Ke4-d4 Kc2-
b3 29.ZEb5-e3 Kb3-c2 30.Gd6-f4 Kc2-b3 31.Ge5-c3 Kb3-b4 32.Gf4-d2+
Kb4-a4 33.Kd4-c4 Ka4-a5 34.Gd2-b4+ Ka5-b6 35.Kc4-d4 Kb6-b7 36.Kd4-c5
Kb7-c7 37.ZEe3-b5 Kc7-d7 38.Kc5-d5 Kd7-e8 39.Kd5-e6 Ke8-f8 40.Gb4-b6
Kf8-e8 41.Gb6-f6 Ke8-f8 42.Gf6-b2 Kf8-g7 43.ZEb5-e3 Kg7-f8 44.Gb2-d4
Kf8-e8 45.ZEe3-g6 Ke8-f8 46.Gc3-e5 Kf8-g7 47.ZEg6-e3 Kg7-f8 48.Gd4-f6
Kf8-e8 49.Ge5-e7 Ke8-f8 50.Ge7-g5 Kf8-g7 51.Gf6-d6 Kg7-f8 52.ZEe3-g6
Kf8-e8 53.Gd6-f6 Ke8-f8 54.Gf6-h4 Kf8-e8 55.Gg5-g7 Ke8-f8 56.Ke6-f6
Kf8-e8 57.Gh4-e7 Ke8-f8 58.Gg7-e5 Kf8-g8 59.ZEg6-e3 Kg8-h7 60.ZEe3-h5
Kh7-h6 61.Ge7-g5 Kh6-h7 62.Gg5-d5 Kh7-h6 63.ZEh5-f2 Kh6-h7 64.Kf6-f7
Kh7-h8 65.Kf7-g6 Kh8-g8 66.ZEf2-h5 Kg8-h8 67.Gd5-f5 Kh8-g8 68.Ge5-g5
Kg8-h8 69.Gf5-h7 Kh8-g8 70.Gh7-h4 Kg8-h8 71.Gh4-f6 Kh8-g8 72.Gf6-h6
Kg8-h8 73.ZEh5-e7 Kh8-g8 74.Gg5-g7 Kg8-h8 75.ZEe7-g4 Kh8-g8
76.ZEg4-d6+ Kg8-h8 77.Gh6-f6#

K + 2 Grasshoppers +

[2,3]

- K

Na rozdíl od cvrčka, ferse nebo vezíra, zebru nelze "chytit" i
když je hodně vzdálena od vlastního krále. Koncovka se zebrou
je vyhraná z obecné pozice.

The zebra, unlike the grasshopper, fers, or wazir, cannot be
"caught" even if it is far away from its king. In general, the
ending with a zebra is won for the stronger side.

K + 2 Grasshoppers + [0,2] -

Koncovka s dababou ([0,2] skokanem) je na rozdíl od šachovnic
6x6 a 7x7 na šachovnici 8x8 remízová. Soupeřova krále nelze z
obecné pozice zatlačit do rohu šachovnice.

The ending with a dabbaba ([0,2] leaper), in contrast to what
happens on 6x6 and 7x7 boards, is only drawn on an 8x8. It is
not possible to force the Black king back to a corner of the board.

+ 2 Grasshoppers + [0,2] - K

Kd5 Dabbaba b4 Grasshopper c4c5 - Ka8

1.Kd5-c6 Ka8-b8 2.DAb4-b6+ Kb8-c8 3.DAb6-d6 Kc8-b8 4.Gc5-c3 Kb8-c8
5.Gc4-c7 Kc8-b8 6.Kc6-b6 Kb8-a8 7.DAd6-d4 Ka8-b8 8.DAd4-b4 Kb8-a8
9.Kb6-c6 Ka8-b8 10.Kc6-d7 Kb8-a7 11.Gc7-e7 Ka7-b7 12.Ge7-a3 Kb7-a6
13.Kd7-c6 Ka6-a7 14.Ga3-d3 Ka7-b8 15.Kc6-d7 Kb8-a7 16.Kd7-c8 Ka7-a8
17.Kc8-c7 Ka8-a7 18.Gd3-b3 Ka7-a8 19.DAb4-b6 Ka8-a7 20.Kc7-c6 Ka7-a6
21.Gc3-c7 Ka6-a7 22.Gb3-b7+ Ka7-a8 23.Gb7-d7 Ka8-a7 24.Gd7-b5 Ka7-a8
25.Kc6-c5 Ka8-a7 26.Gc7-c4 Ka7-a8 27.Kc5-d6 Ka8-a7 28.Kd6-c7 Ka7-a8
29.Gc4-c8 Ka8-a7 30.Gb5-b7 Ka7-a8 31.DAb6-d6 Ka8-a7 32.DAd6-f6 Ka7-
a8 33.Kc7-b6 Ka8-b8 34.Gc8-a6 Kb8-a8 35.DAf6-f8 Ka8-b8 36.DAf8-d8+
Kb8-a8 37.Ga6-c6#

Pokud už je černý král zatlačen do rohu šachovnice, lze v
některých případech mat vynutit, ale jak je vidět z diagramu,
musí být bílý král hodně blízko.

If the Black king is already trapped in a corner of the board, it is
possible in some cases to force mate, but as can be seen from the
diagram the White king must be very close.

K + 2 Grasshoppers +

[0,2]

- K

Ke5 Dabbaba b6 Grasshopper e6f5 - Kh8

1.DAb6-d6 Kh8-g8 2.DAd6-f6 Kg8-g7 3.Ge6-e4 Kg7-h8 4.Ke5-f4 Kh8-g7
5.Kf4-g5 Kg7-h7 6.Ge4-g6+ Kh7-g7 7.Gg6-g4 Kg7-h7 8.Gg4-e6 Kh7-g7
9.Ge6-g6 Kg7-g8 10.Kg5-h6 Kg8-h8 11.Gg6-e4 Kh8-g8 12.Kh6-g6 Kg8-h8
13.Kg6-f7 Kh8-h7 14.Ge4-g6+ Kh7-h8 15.DAf6-f8#

Pro mat dababou musí být na šachovnici 8x8 navíc splněna
podmínka jejího umístění jen na některých typech polí
šachovnice (porovnejte se šachovnicí 7x7)

To give mate, the dabbaba must run on certain squares (compare
the 7x7 board).

K + 2 Grasshoppers + [1,3] -

Koncovka s velbloudem ([1,3] skokanem) je na rozdíl od
šachovnic 6x6 a 7x7 na šachovnici 8x8 remízová. Soupeřova
krále nelze z obecné pozice zatlačit do rohu šachovnice.

The ending with a camel ([1,3] leaper), in contrast to what
happens on 6x6 and 7x7 boards, is only drawn on an 8x8. It is
not possible to force the Black king back to a corner of the board.

+ 2 Grasshoppers + [1,3] - K

Kd5 Camel b4 Grasshopper c4c5 - Ka8

1.Kd5-c6 Ka8-b8 2.Gc5-c7 Kb8-c8 3.CAb4-a7 Kc8-b8 4.Kc6-b6 Kb8-a8
5.Kb6-a6 Ka8-b8 6.CAa7-b4 Kb8-a8 7.Gc4-c8 Ka8-b8 8.Gc8-c6 Kb8-a8
9.Gc7-c5 Ka8-b8 10.CAb4-c7 Kb8-a8 11.Ka6-b6 Ka8-b8 12.Gc5-a7 Kb8-a8
13.Ga7-d7 Ka8-b8 14.Gd7-b5 Kb8-a8 15.Gb5-b7+ Ka8-b8 16.Gc6-a6 Kb8-a8
17.CAc7-d4 Ka8-b8 18.CAd4-e7+ Kb8-a8 19.Ga6-c6#

Mat lze vynutit jen pokud už je černý král zatlačen do rohu
šachovnice a bílý král je nablízku.

Mate can be forced only if the Black king is already trapped in a
corner of the board and the White king is close.

K + 2 Grasshoppers +

[1,3]

- K

Kd5 Camel g8 Grasshopper c5d6 - Ka8

1.Kd5-c6 Ka8-b8 2.Gc5-c7+ Kb8-a7 3.Gd6-b6 Ka7-b8 4.CAg8-f5 Kb8-a7
5.CAf5-e8 Ka7-b8 6.CAe8-d5 Kb8-a7 7.Gc7-a5 Ka7-b8 8.Ga5-e5 Kb8-a7
9.Kc6-c7 Ka7-a8 10.Gb6-d8 Ka8-a7 11.Ge5-c5 Ka7-a8 12.Gc5-c8 Ka8-a7
13.Gc8-e8 Ka7-a8 14.Kc7-b6 Ka8-b8 15.CAd5-c8+ Kb8-a8 16.CAc8-b5+
Ka8-b8 17.Ge8-c8#

Kd5 Camel h2 Grasshopper c5d6 - Ka8

1.Kd5-c6 Ka8-b8 2.Gc5-c7+ Kb8-c8 3.Gd6-b6 Kc8-b8 4.CAh2-g5 Kb8-c8
5.CAg5-f8 Kc8-b8 6.Gc7-c5 Kb8-a8 7.CAf8-e5 Ka8-b8 8.CAe5-b4 Kb8-c8
9.Gc5-c7 Kc8-b8 10.Gb6-b3 Kb8-a8 11.Kc6-b6 Ka8-b8 12.CAb4-a7 Kb8-a8
13.Gb3-b7 Ka8-b8 14.Gb7-b5 Kb8-a8 15.CAa7-d8 Ka8-b8 16.Kb6-c6 Kb8-
c8 17.CAd8-e5 Kc8-b8 18.Gc7-c5 Kb8-a7 19.Gc5-f5 Ka7-a6 20.CAe5-f2
Ka6-a7 21.Gf5-f1 Ka7-a8 22.Kc6-c7 Ka8-a7 23.CAf2-e5 Ka7-a8 24.Kc7-d8
Ka8-b7 25.Kd8-d7 Kb7-b8 26.CAe5-b6 Kb8-a8 27.Kd7-c8 Ka8-a7 28.Kc8-c7
Ka7-a8 29.Gf1-a6 Ka8-a7 30.Ga6-c6 Ka7-a8 31.Gb5-b7+ Ka8-a7 32.Gc6-c8
Ka7-a8 33.CAb6-c3 Ka8-a7 34.CAc3-d6+ Ka7-a8 35.Gc8-c6#

Postupy se liší podle barvy pole velblouda, ale v obou případech
se v této pozici podaří vynutit mat. Obecně je ale koncovka na
šachovnici 8x8 remízová.

The play up to the mate depends on the colour of the squares on
which the camel runs, but in both cases it is possible to force
mate. In general, however, the ending on an 8x8 board is drawn.

K + 2 Grasshoppers +

[1,4]

- K

Koncovka s žirafou ([1,4] skokanem) je na rozdíl od šachovnic
6x6 a 7x7 na šachovnici 8x8 remízová. Soupeřova krále nelze z
obecné pozice zatlačit do rohu šachovnice.

The ending with a giraffe ([1,4] leaper), in contrast to what
happens on 6x6 and 7x7 boards, is only drawn on an 8x8. It is
not possible to force the Black king back to a corner of the board.

Věci znalého čtenáře možná ale napadne jedna věc. V případě této koncovky na šachovnici 7x7 bylo potřeba k
vynucení matu více jak 100 tahů. Alybadix přitom umí testovat vícetažky maximálně do 126 tahů. Nemohl by
proto být v případě šachovnice 8x8 matový postup přesahující 126 tahů a koncovka přeci jen vyhrávající ? Není
tomu tak. Směrodatným ukazatelem je v tomto případě (Alybadixem zobrazovaný) počet všech možných pozic.
Pokud se od určitého tahu již nezvyšuje, všechny možnosti dané pozice byly probrány a koncovka je tudíž
(pokud se do té doby nenašlo žádné řešení) nutně remízová. Zde taková situace nastává od 114. tahu, viz
screenshot zobrazující stav po více jak 4 hodinové práci Alybadixu. Celkový počet pozic 18527259 se nezmění
až do 126. tahu.

One point may have occurred to knowledgeable readers. In some cases, these endings require more than 100
moves to mate on a 7x7 board. Alybadix cannot test problems in more than 126 moves. On an 8x8 board, might
there not be a winning ending whose longest mate exceeds 126 moves? No, there isn't. A conclusive indication
is given by the count of all possible positions which is displayed by Alybadix. Once this stops in creasing, all
possible positions have been examined, and (if no solution has been discovered so far) the ending is necessarily
drawn. Here, such a situation arises after move 114, as is shown by the screenshot after more than four hours
of calculation by Alybadix. The total number of positions remains unchanged right up to move 126.

+ 2 Grasshoppers + [1,4] - K

Kh5 Giraffe a8 Grasshopper d5e5 - Kh8

1.Kh5-g6 Kh8-g8 2.Kg6-f6 Kg8-f8 3.GIa8-e7 Kf8-g8 4.Gd5-f5 Kg8-h7
5.GIe7-a8 Kh7-g8 6.GIa8-b4 Kg8-f8 7.Ge5-g7 Kf8-e8 8.Kf6-e6 Ke8-f8
9.GIb4-c8 Kf8-e8 10.Gf5-d7 Ke8-d8 11.GIc8-b4 Kd8-e8 12.Gg7-c7 Ke8-d8
13.Gc7-e7 Kd8-e8 14.GIb4-c8 Ke8-f8 15.GIc8-d4 Kf8-g7 16.Ke6-f5 Kg7-h8
17.Kf5-g6 Kh8-g8 18.Gd7-f7 Kg8-f8 19.Kg6-f6 Kf8-g8 20.Ge7-g7 Kg8-h8
21.Gg7-e5 Kh8-h7 22.Gf7-f5 Kh7-g8 23.Gf5-d5 Kg8-h8 24.Kf6-g6 Kh8-g8
25.Ge5-c3 Kg8-f8 26.Kg6-f6 Kf8-g8 27.Gd5-d3 Kg8-h8 28.Kf6-g6 Kh8-g8
29.Gc3-e3 Kg8-f8 30.Kg6-f6 Kf8-g8 31.Gd3-f3 Kg8-h8 32.Kf6-f7 Kh8-h7
33.Gf3-f8 Kh7-h6 34.Kf7-f6 Kh6-h7 35.Ge3-c5 Kh7-g8 36.Gf8-b4 Kg8-h7
37.Gb4-d6 Kh7-g8 38.Gd6-g6 Kg8-f8 39.Gg6-e6 Kf8-g8 40.Kf6-g6 Kg8-f8
41.Gc5-e3 Kf8-g8 42.Ge6-h6 Kg8-f8 43.Kg6-f6 Kf8-g8 44.Gh6-d2 Kg8-h8
45.Kf6-g6 Kh8-g8 46.Gd2-f4 Kg8-f8 47.Kg6-f6 Kf8-g8 48.Ge3-g5 Kg8-f8
49.Gf4-h6 Kf8-g8 50.Kf6-g6 Kg8-f8 51.Gh6-f6 Kf8-g8 52.Gf6-c3 Kg8-f8
53.Kg6-f6 Kf8-g8 54.GId4-e8 Kg8-h8 55.Kf6-f7 Kh8-h7 56.GIe8-d4 Kh7-h6
57.Kf7-f6 Kh6-h7 58.Gc3-e5 Kh7-g8 59.Ge5-g7+ Kg8-f8 60.Gg5-e7 Kf8-g8
61.GId4-h5 Kg8-f8 62.GIh5-d6 Kf8-e8 63.GId6-h7 Ke8-f8 64.Gg7-e5 Kf8-g8
65.GIh7-d8 Kg8-f8 66.GId8-e4+ Kf8-g8 67.Ge5-g7 Kg8-h8 68.Kf6-g6 Kh8-
g8 69.Ge7-e3 Kg8-h8 70.Gg7-g5 Kh8-g8 71.Ge3-h6 Kg8-h8 72.Gg5-g7 Kh8-
g8 73.Gh6-f8 Kg8-h8 74.Kg6-f7 Kh8-h7 75.GIe4-d8+ Kh7-h8 76.Gf8-f6#

Také v případě žirafy lze někdy matu dosáhnout, pokud už je
soupeřův král v rohu šachovnice, ale tento případ je spíše
vyjímečný a obecně je koncovka remízová.

Again, in the case of the giraffe it is sometimes possible to force
mate if the enemy king is already confined to a corner of the
board, but this case is somewhat exceptional and the ending is in
general drawn.

Další starší výsledky s kameny Pao, Vao, Leo viz

Chess endgames with fairy pieces Pao, Vao, Leo, Lion and

Grasshopper

(2002).

For further results with Pao, Vao, and Leo, see my earlier article Chess endgames with fairy pieces Pao, Vao,
Leo, Lion and Grasshopper (2002).

2. Koncovka král + věž + cvrček

proti

král + střelec nebo jezdec

2. Endgame king + rook + grasshopper

against

king + bishop or knight

Skutečnost, že král s věží (v obecné pozici) nevyhrává proti střelci nebo jezdci je všeobecně známá. Asi nový je
však poznatek, že na šachovnici 6x6 král s věží vyhrává proti králi a střelci (proti jezdci nikoliv). Hledal jsem
něco o tom v literatuře i na internetu, ale pravděpodobně to zatím nikdo nezjistil. Tento výsledek koresponduje
s tím, že převaha kvality někdy stačí na výhru, ale musí už být král zatlačen na okraj šachovnice. Zajímavé je
ale i to, že na šachovnici 6x6 je jezdec silnější figurou než střelec.

The fact that king and rook (in general) do not win against bishop or knight is universally known. Possibly new
is the observation that on a 6x6 board, king and rook win against king and bishop (but not against king and
knight). I have searched in the literature and on the Internet, but it appears that nobody so far has noticed this.
The result corresponds with the fact that the advantage of the exchange is in itself insufficient to win, but the
king must already be confined to a corner of the board. But it is interesting that on a 6x6 board the knight is a
stronger piece than the bishop.

Těžiště mých výzkumů však nyní bylo v koncovkách, kde má navíc král k věži ještě i cvrčka. Toto relativně
malé navýšení síly už stačí k výhře i na šachovnici 8x8. Se zvětšujícím se rozměrem šachovnice se mění poměr
síly mezi jezdcem a střelcem ve prospěch střelce a na zmacení krále se střelcem je tak potřeba i více jak 100
tahů.

However, the main thrust of my research here was into endings in which the king and rook are accompanied by
a grasshopper. This relatively small increase in strength is sufficient to win even on an 8x8 board. The increase
in size of the board tilts the balance between bishop and knight in favour of the bishop, and mating a king
accompanied by a bishop may take over 100 moves.

6x6 7x7 8x8

K + Rook - K + Knight

K + Rook - K + Bishop

K + Rook + Grasshopper - K + Knight +

K + Rook + Grasshopper - K + Bishop +

K + Rook -

+ Bishop

Kf1 Te1 - Kd2 Ld5, chessboard 6x6

1.Kf1-f2 Ld5-c4 2.Te1-e3 Lc4-d5 3.Te3-e5 Ld5-c4 4.Te5-a5 Kd2-d3 5.Ta5-
a3+ Kd3-e4 6.Kf2-e1 Ke4-d4 7.Ke1-d2 Lc4-b5 8.Ta3-a5 Kd4-c4 9.Ta5-a1
Kc4-d4 10.Ta1-a3 Kd4-c4 11.Ta3-f3 Kc4-b4 12.Kd2-c2 Lb5-c4 13.Tf3-f6
Lc4-b3+ 14.Kc2-d3 Lb3-a2 15.Tf6-b6+ Kb4-c5 16.Tb6-b2 La2-e6 17.Kd3-e4
Kc5-c4 18.Tb2-c2+ Kc4-b3 19.Tc2-c6 Le6-c4 20.Ke4-d4 Lc4-e2 21.Tc6-c3+
Kb3-b2 22.Tc3-e3 Le2-b5 23.Te3-e5 Lb5-c6 24.Te5-e2+ Kb2-b3 25.Kd4-c5
Lc6-a4 26.Te2-e4 Kb3-a3 27.Kc5-c4 Ka3-b2 28.Te4-e2+ Kb2-a3 29.Te2-f2
La4-c6 30.Tf2-f6 Lc6-e4 31.Kc4-d4 Le4-b1 32.Kd4-c3 Ka3-a4 33.Tf6-f2
Ka4-a5 34.Kc3-c4 Lb1-e4 35.Kc4-c5 Ka5-a4 36.Tf2-f4 Ka4-b3 37.Tf4:e4
Kb3-c2 38.Kc5-d4 Kc2-d2 39.Kd4-c4 Kd2-c2 40.Te4-e2+ Kc2-d1 41.Kc4-d3
Kd1-c1 42.Kd3-c3 Kc1-b1 43.Te2-e1+ Kb1-a2 44.Te1-f1 Ka2-a3 45.Tf1-a1#

Na šachovnici 6x6 lze převahu kvality v případě střelce přetvořit
do matu.

On the 6x6 board, it is possible to convert the advantage of rook
against bishop into a win.

+ Rook - K + Knight

Proti jezdci věž ale nevyhraje ani na šachovnici 6x6.

However, against a knight the ending is not a win even on a 6x6
board.

K + Rook - K +

Bishop

Na šachovnici 7x7 nevyhraje věž už ani proti střelci.

On a 7x7 board, the rook does not win even against a bishop.

+ Rook - K + Bishop

Kc4 Ta2 - Kg7 Lf6

1.Kc4-d5 Kg7-f7 2.Ta2-a7+ Kf7-g6 3.Kd5-e6 Kg6-g5 4.Ta7-a5+ Kg5-g6
5.Ta5-c5 Lf6-g7 6.Tc5-c2 Kg6-g5 7.Tc2-g2+ Kg5-f4 8.Tg2:g7 Kf4-e3 9.Ke6-
d5 Ke3-f4 10.Kd5-d4 Kf4-f5 11.Tg7-e7 Kf5-f6 12.Te7-e5 Kf6-f7 13.Kd4-c5
Kf7-g6 14.Kc5-d6 Kg6-f7 15.Te5-f5+ Kf7-g7 16.Kd6-e7 Kg7-g6 17.Ke7-e6
Kg6-g7 18.Tf5-g5#

Pouze v případě, je-li soupeřův král již v rohu šachovnice, lze
někdy matu na šachovnici 7x7 proti střelci dosáhnout. Obecně je
to remíza.

Only in the case where the enemy king is already in a corner of
the board may it be possible to force mate on a 7x7 board. In
general, the ending is drawn.

+ Rook - K + Bishop

Ještě výraznější je remis v případě bělopolného střelce (což je na
šachovnici 7x7 vlastně trochu jiný kámen...)

The draw is even more emphatic in the case of a bishop on light
squares (which on a 7x7 board is by nature a slightly different
piece).

K + Rook + Grasshopper -

+ Knight

Ka1 Tb1 Grasshopper a2 - Kc2 Sd5

1.Tb1-b5 Sd5-c3 2.Tb5-b2+ Kc2-c1 3.Tb2-g2 Sc3-d5 4.Ga2-h2 Sd5-b4
5.Tg2-g4 Sb4-c2+ 6.Ka1-a2 Sc2-e3 7.Tg4-g3 Kc1-d2 8.Ka2-b3 Kd2-d3
9.Tg3-g8 Kd3-d4 10.Tg8-h8 Kd4-e4 11.Kb3-b4 Ke4-d5 12.Kb4-c3 Se3-d1+
13.Kc3-d2 Sd1-b2 14.Th8-h5+ Kd5-e4 15.Th5-h4+ Ke4-d5 16.Gh2-h5 Sb2-
c4+ 17.Kd2-c3 Sc4-d6 18.Kc3-d3 Kd5-e5 19.Gh5-h3 Ke5-f6 20.Th4-g4 Kf6-
e5 21.Tg4-a4 Sd6-c8 22.Kd3-e3 Ke5-d5 23.Ta4-d4+ Kd5-e5 24.Td4-c4 Sc8-
b6 25.Tc4-c5+ Sb6-d5+ 26.Ke3-d3 Ke5-e6 27.Kd3-e4 Sd5-f6+ 28.Ke4-d4
Ke6-d6 29.Tc5-f5 Kd6-e7 30.Kd4-e3 Sf6-e8 31.Tf5-e5+ Ke7-d7 32.Ke3-e4
Se8-c7 33.Ke4-d4 Kd7-c6 34.Te5-c5+ Kc6-d6 35.Tc5-f5 Sc7-e8 36.Tf5-f4
Kd6-e6 37.Tf4-e4+ Ke6-d7 38.Kd4-e5 Se8-c7 39.Te4-g4 Kd7-c6 40.Gh3-f5
Kc6-c5 41.Tg4-g2 Kc5-c6 42.Tg2-c2+ Kc6-d7 43.Gf5-b1 Sc7-b5 44.Tc2-d2+
Kd7-c6 45.Td2-a2 Sb5-c7 46.Ta2-c2+ Kc6-d7 47.Tc2-c4 Sc7-e8 48.Tc4-g4
Kd7-c6 49.Ke5-d4 Kc6-b5 50.Tg4-g5+ Kb5-c6 51.Tg5-g6+ Kc6-b5 52.Kd4-
d5 Se8-c7+ 53.Kd5-d6 Sc7-a6 54.Tg6-g4 Kb5-a5 55.Tg4-g2 Ka5-b4 56.Tg2-
c2 Kb4-a5 57.Tc2-b2 Sa6-b4 58.Tb2-d2 Ka5-b6 59.Td2-e2 Kb6-a5 60.Te2-
e5+ Ka5-a4 61.Te5-b5 Sb4-a6 62.Kd6-c6 Sa6-b4+ 63.Kc6-c5 Sb4-d5 64.Tb5-
b7 Sd5-e3 65.Tb7-b2 Ka4-a3 66.Tb2-d2 Se3-f5 67.Td2-f2 Sf5-e7 68.Tf2-f7
Se7-g8 69.Kc5-d6 Sg8-h6 70.Tf7-f3+ Ka3-b2 71.Kd6-e6 Kb2-c2 72.Tf3-g3
Kc2-b2 73.Gb1-b3 Kb2-c2 74.Tg3-g6 Kc2-d3 75.Tg6:h6 Kd3-e4 76.Th6-h4+
Ke4-d3 77.Ke6-d5 Kd3-e3 78.Th4-e4+ Ke3-d3 79.Gb3-e6 Kd3-c3 80.Te4-d4
Kc3-b3 81.Td4-c4 Kb3-a2 82.Kd5-d4 Ka2-b2 83.Kd4-d3 Kb2-b1 84.Tc4-b4+
Kb1-a2 85.Kd3-c2 Ka2-a3 86.Tb4-c4 Ka3-a2 87.Tc4-a4#

Síla cvrčka je poměrně malá, ale jak je vidět stačí na vynucení
matu při převaze kvality i na šachovnici 8x8.

The grasshopper is relatively feeble, but as can be seen it is
sufficient to convert the advantage of the exchange into a mate
even on an 8x8 board.

K + Rook + Grasshopper -

+ Bishop

Kb2 Tb1 Grasshopper a2 - Kc4 Ld6

1.Tb1-c1+ Kc4-d5 2.Tc1-d1+ Kd5-e5 3.Kb2-c3 Ld6-f8 4.Td1-e1+ Ke5-d5
5.Kc3-d3 Lf8-d6 6.Te1-e4 Ld6-f8 7.Te4-f4 Lf8-e7 8.Tf4-f5+ Kd5-d6 9.Kd3-
e4 Le7-h4 10.Tf5-d5+ Kd6-c6 11.Ga2-e6 Lh4-f6 12.Td5-f5 Lf6-g7 13.Ge6-g4
Lg7-c3 14.Tf5-f8 Lc3-g7 15.Tf8-d8 Kc6-c5 16.Td8-a8 Lg7-b2 17.Gg4-d4
Kc5-d6 18.Ta8-a6+ Kd6-c5 19.Ta6-a2 Lb2-c3 20.Ta2-c2 Kc5-b4 21.Ke4-d3
Lc3-e1 22.Gd4-d2 Le1-f2 23.Gd2-g2 Lf2-b6 24.Kd3-e4 Lb6-g1 25.Gg2-d5
Kb4-b3 26.Tc2-c1 Lg1-f2 27.Gd5-f3 Lf2-a7 28.Ke4-d3 Kb3-b4 29.Tc1-c8
La7-b6 30.Gf3-c3 Kb4-b5 31.Gc3-e3 Kb5-b4 32.Kd3-e4 Lb6-c5 33.Ge3-e5
Kb4-c4 34.Tc8-c7 Kc4-b4 35.Ke4-d5 Lc5-f2 36.Tc7-c1 Lf2-e3 37.Tc1-c4+
Kb4-b3 38.Ge5-c5 Le3-g1 39.Tc4-g4 Lg1-f2 40.Tg4-f4 Lf2-e1 41.Kd5-d4
Kb3-b4 42.Gc5-e3 Kb4-b5 43.Kd4-d5 Kb5-b6 44.Tf4-e4 Kb6-b5 45.Ge3-e5
Le1-d2 46.Te4-h4 Kb5-b6 47.Th4-c4 Ld2-g5 48.Tc4-g4 Lg5-d2 49.Tg4-g6+
Kb6-b7 50.Tg6-g2 Ld2-h6 51.Tg2-f2 Lh6-e3 52.Tf2-f3 Le3-g5 53.Kd5-d6
Kb7-b6 54.Tf3-b3+ Kb6-a5 55.Kd6-c5 Lg5-e7+ 56.Kc5-c4 Le7-f8 57.Tb3-b2
Ka5-a6 58.Ge5-a1 Lf8-e7 59.Tb2-b3 Le7-f8 60.Kc4-d4 Lf8-g7+ 61.Kd4-c5
Lg7-f8+ 62.Kc5-c6 Ka6-a5 63.Ga1-a6 Ka5-a4 64.Tb3-b1 Lf8-e7 65.Ga6-d6
Le7-g5 66.Kc6-d5 Ka4-a5 67.Gd6-d4 Lg5-d8 68.Kd5-c5 Ld8-e7+ 69.Kc5-c4
Ka5-a6 70.Tb1-b5 Le7-d6 71.Tb5-d5 Ld6-f8 72.Td5-d8 Lf8-e7 73.Td8-d7
Le7-f8 74.Td7-f7 Lf8-a3 75.Gd4-b4 La3-b2 76.Kc4-c5 Lb2-c3 77.Tf7-f5
Ka6-b7 78.Kc5-b5 Lc3-e1 79.Tf5-f7+ Kb7-c8 80.Kb5-c6 Kc8-d8 81.Tf7-d7+
Kd8-e8 82.Kc6-d6 Le1-g3+ 83.Kd6-e6 Lg3-f4 84.Td7-f7 Lf4-b8 85.Tf7-b7
Lb8-f4 86.Tb7-d7 Lf4-b8 87.Td7-d3 Lb8-f4 88.Gb4-g4 Lf4-g5 89.Gg4-g6
Ke8-f8 90.Td3-d7 Kf8-g8 91.Td7-f7 Lg5-d2 92.Gg6-e8 Ld2-c3 93.Tf7-d7
Lc3-b4 94.Ge8-e5 Lb4-e1 95.Td7-f7 Le1-h4 96.Tf7-f4 Lh4-e1 97.Tf4-f6 Le1-
h4 98.Tf6-g6+ Kg8-f8 99.Tg6-g1 Lh4-d8 100.Tg1-g4 Ld8-c7 101.Tg4-d4
Kf8-g8 102.Td4-d7 Lc7-b6 103.Td7-f7 Lb6-d8 104.Ge5-e7 Ld8-c7 105.Ke6-
f6 Lc7-e5+ 106.Kf6-g6 Le5-c7 107.Ge7-g7 Lc7-g3 108.Tf7-f3 Lg3-h2
109.Tf3-h3 Lh2-b8 110.Th3-d3 Kg8-f8 111.Td3-d8+ Kf8-e7 112.Td8:b8
Ke7-d6 113.Tb8-b5 Kd6-c6 114.Tb5-e5 Kc6-d7 115.Gg7-c7 Kd7-c6
116.Gc7-f4 Kc6-b7 117.Kg6-f7 Kb7-c6 118.Kf7-e8 Kc6-b7 119.Ke8-d7 Kb7-
b6 120.Te5-f5 Kb6-b7 121.Tf5-f6 Kb7-a8 122.Kd7-c8 Ka8-a7 123.Gf4-f7
Ka7-a8 124.Tf6-a6#

3. Koncovka král + střelec/jezdec + střelec/jezdec

proti

král + lion/leo/pao/vao

3. Endgame king + bishop/knight + bishop/knight

against

king + lion/leo/pao/vao

Leo Pao Vao Lion Grasshopper

K + 2 Bishops

K + Bishop + Knight = +/= +

K + 2 Knights

V případě kombinace 2 střelců stojí tito na polích různých barev.

In the case of two bishops, they run on squares of different colours.

Koncovky se cvrčkem byly již důkladně probrány v tomto článku:

Grasshopper endgames after 25 years

(2002)

The endings with a grasshopper were analysed in the article Grasshopper endgames after 25 years (2002).

K + 2 Knights - K +

Lion

Tato koncovka je (na rozdíl od koncovky proti cvrčkovi)
remízová.

This ending, unlike endings against a grasshopper, is drawn.

+ 2 Knights - K + Lion

Kf2 Sb4 Sb5 - Ka8 Lion h2

1.Kf2-e3 Ka8-b7 2.Ke3-d4 Kb7-b6 3.Kd4-c4 Kb6-b7 4.Kc4-c5 Kb7-b8
5.Sb4-c6+ Kb8-c8 6.Kc5-d4 Kc8-d7 7.Kd4-d5 Kd7-c8 8.Sc6-e7+ Kc8-d7
9.Se7-g6 Kd7-d8 10.Kd5-e6 Kd8-c8 11.Sg6-e7+ Kc8-b7 12.Ke6-d5 Kb7-b6
13.Kd5-c4 Kb6-a5 14.Sb5-d4 Ka5-b6 15.Sd4-e6 Kb6-a5 16.Se7-c8 Ka5-a6
17.Kc4-c5 Ka6-b7 18.Sc8-b6 Kb7-a6 19.Se6-d8 Ka6-a7 20.Kc5-c6 Ka7-b8
21.Sd8-b7 Kb8-a7 22.Sb6-d7 Ka7-a8 23.Kc6-c7 Ka8-a7 24.Sb7-c5 Ka7-a8
25.Sd7-b6+ Ka8-a7 26.Sb6-c8+ Ka7-a8 27.Sc5-d7 LIh2-b8 28.Sd7-b6#

Výhra je možná jen pokud už je soupeřův král v rohu šachovnice
a vlastní král není příliš daleko, jak ukazuje tento diagram.

A win is possible only when the enemy king is already on the
corner of the board and the attacking king is not too far away, as
the diagram shows.

+ 2 Knights - K + Leo

Dva jezdci proti leo nevyhrávají.

Two knights do not win against a leo.

K + 2 Knights - K +

Pao

Dva jezdci nevyhrávají ani proti pao.

Two knights do not win against a pao either.

+ 2 Knights - K + Pao

Ka6 Sb4 Sb5 - Ka8 Pao h2

1.Sb5-a7 PAh2-h3 2.Ka6-b6 PAh3-h6 3.Sb4-d3 PAh6-h7 4.Sd3-e5 PAh7-g7
5.Sa7-c8 Ka8-b8 6.Sc8-e7 Kb8-a8 7.Se5-c6 PAg7-g6+ 8.Kb6-c7 PAg6-g4
9.Se7-d5 PAg4-c4+ 10.Kc7-b6 PAc4-c2 11.Kb6-a6 PAc2-c3 12.Sd5-b6#

Dva jezdci proti pao mohou dát někdy mat, když je černý král v
rohu šachovnice, ale podobných pozic je jen minimálně.

Two knights can sometimes give mate against a pao, if the Black
king is in a corner of the board, but the number of such positions
is minimal.

K + 2 Knights - K +

Vao

Ka1 Sb1 Sb2 - Ke5 Vao b3

1.Ka1-a2 Ke5-d4 2.Ka2-a3 Kd4-c5 3.Sb1-c3 VAb3-c2 4.Sc3-e2 VAc2-b3
5.Ka3-a4 VAb3-d5 6.Ka4-b3 VAd5-c4 7.Kb3-c3 Kc5-d5 8.Se2-d4 Kd5-e4
9.Sd4-c2 Ke4-d5 10.Sc2-e3+ Kd5-e4 11.Se3-d1 Ke4-d5 12.Kc3-d3 Kd5-e5
13.Sd1-c3 VAc4-f7 14.Kd3-e3 Ke5-d6 15.Ke3-d4 Kd6-e6 16.Sc3-e4 Ke6-f5
17.Se4-c5 Kf5-f4 18.Sb2-c4 VAf7-e6 19.Sc4-d6 Kf4-f3 20.Sc5-d3 VAe6-f7
21.Sd6-c4 Kf3-g4 22.Sc4-e3+ Kg4-g5 23.Kd4-e5 VAf7-d5 24.Sd3-c5 Kg5-g6
25.Sc5-e4 Kg6-f7 26.Ke5-d6 VAd5-e6 27.Se3-d5 Kf7-f8 28.Se4-g5 Kf8-g7
29.Kd6-e5 Kg7-g6 30.Sg5-e4 Kg6-f7 31.Se4-d6+ Kf7-g6 32.Sd5-e7+ Kg6-g5
33.Sd6-f7+ Kg5-g4 34.Ke5-e4 Kg4-g3 35.Se7-c6 Kg3-f2 36.Sc6-d4 Kf2-g3
37.Sf7-e5 VAe6-f5 38.Ke4-e3 Kg3-h4 39.Ke3-f4 Kh4-h5 40.Sd4-e6 Kh5-h4
41.Se6-c5 Kh4-h5 42.Sc5-d7 Kh5-h4 43.Sd7-f6 Kh4-h3 44.Se5-g6 Kh3-g2
45.Sf6-e4 Kg2-f1 46.Kf4-e3 Kf1-e1 47.Sg6-h4 VAf5-h7 48.Sh4-f3+ Ke1-f1
49.Se4-g3+ Kf1-g2 50.Sg3-f5 Kg2-f1 51.Sf3-d2+ Kf1-e1 52.Sf5-d4 VAh7-d3
53.Sd2-e4 VAd3-b1 54.Se4-f2 VAb1-c2 55.Sf2-d3+ Ke1-d1 56.Sd4-c6
VAc2-b3 57.Sd3-b2+ Kd1-c2 58.Sb2-a4 Kc2-d1 59.Sc6-b4 VAb3-c4 60.Sa4-
c3+ Kd1-c1 61.Ke3-d3 Kc1-b2 62.Sc3-b5 Kb2-b3 63.Sb4-c6 VAc4-d5
64.Sb5-d4+ Kb3-b2 65.Sd4-e6 VAd5-f3 66.Sc6-d4 Kb2-a3 67.Kd3-c4 Ka3-
b2 68.Se6-f4 Kb2-c1 69.Kc4-c3 Kc1-d1 70.Sf4-g2 VAf3-g4 71.Kc3-d3
VAg4-d7 72.Sd4-e6 VAd7-e8 73.Se6-c5 VAe8-a4 74.Sc5-d7 Kd1-c1 75.Sg2-
e3 Kc1-b2 76.Sd7-c5 VAa4-b5 77.Kd3-d2 VAb5-c4 78.Se3-d1+ Kb2-a3
79.Kd2-c3 Ka3-a2 80.Sd1-e3 Ka2-a3 81.Se3-c2+ Ka3-a2 82.Sc5-d3 VAc4-d5
83.Sc2-d4 VAd5-b7 84.Kc3-b4 VAb7-a6 85.Sd4-e6 VAa6-c4 86.Se6-c7
VAc4-b3 87.Sc7-b5 Ka2-b1 88.Kb4-c3 Kb1-a1 89.Kc3-d2 Ka1-a2 90.Kd2-c2
Ka2-a1 91.Sb5-c3 VAb3-c4 92.Sd3-c5 VAc4-d5 93.Sc5-b3#

Dva jezdci proti vao vyhrávají z obecné pozice. Potřebují k tomu
ale 90 tahů, zajímavé je, že téměř nezáleží na pozici vao.

Two knights against vao is a general win, though it may take
over 90 moves. It is interesting that there is almost no
dependence on the position of the vao.

+ Bishop + Knight - K + Lion

Kb1 La2 Sa1 - Ke5 Lion d5

1.Kb1-b2 Ke5-d4 2.Sa1-c2+ Kd4-e4 3.Kb2-c3 Ke4-e5 4.Kc3-d2 Ke5-d6
5.Kd2-e3 Kd6-e5 6.Sc2-d4 Ke5-d6 7.Ke3-e4 LId5-d7 8.Sd4-f3 Kd6-c6 9.Sf3-
e5+ Kc6-d6 10.La2-g8 Kd6-e7 11.Se5-c4 LId7-g7 12.Ke4-e5 Ke7-d7 13.Lg8-
e6+ Kd7-c6 14.Ke5-d4 LIg7-a1 15.Kd4-e4 Kc6-c5 16.Sc4-e3 Kc5-d6 17.Le6-
b3 Kd6-c5 18.Se3-c2 Kc5-d6 19.Sc2:a1 Kd6-c5 20.Lb3-d5 Kc5-d6 21.Sa1-b3
Kd6-c7 22.Ke4-e5 Kc7-d7 23.Sb3-c5+ Kd7-c7 24.Ke5-e6 Kc7-b6 25.Sc5-d3
Kb6-b5 26.Ld5-b3 Kb5-a5 27.Ke6-d7 Ka5-b6 28.Lb3-a4 Kb6-a5 29.La4-c6
Ka5-b6 30.Kd7-d6 Kb6-a5 31.Kd6-c5 Ka5-a6 32.Sd3-e5 Ka6-a7 33.Kc5-d6
Ka7-b6 34.Se5-c4+ Kb6-a7 35.Kd6-c7 Ka7-a6 36.Lc6-d7 Ka6-a7 37.Ld7-c8
Ka7-a8 38.Sc4-d6 Ka8-a7 39.Sd6-b5+ Ka7-a8 40.Lc8-b7#

Střelec s jezdcem proti lionovi vyhrávají z obecné pozice.

Bishop and knight against lion is a general win.

+ Bishop + Knight - K + Leo

Kc5 Lb1 Sa2 - Kb7 Leo e6

1.Sa2-c3 LEe6-h6 2.Kc5-d6 Kb7-b6 3.Lb1-f5 LEh6-f8 4.Lf5-d7 LEf8-d8+
5.Ld7-e8 Kb6-b7 6.Sc3-a4 LEd8-c8 7.Sa4-b2 LEc8-a8 8.Sb2-c4 LEa8-a1
9.Le8-c6+ Kb7-a6 10.Sc4-b2 LEa1-c1 11.Lc6-d7 Ka6-b7 12.Sb2-a4 Kb7-a6
13.Kd6-c6 Ka6-a5 14.Kc6-c5 Ka5-a6 15.Ld7-g4 Ka6-b7 16.Kc5-d6 Kb7-a6
17.Kd6-c6 Ka6-a5 18.Sa4-b2 LEc1-c2 19.Kc6-c5 Ka5-a6 20.Lg4-f3 LEc2-c3
21.Sb2-d1 LEc3-c1 22.Sd1-e3 Ka6-a5 23.Lf3-e2 LEc1-c3 24.Se3-f5 Ka5-a4
25.Le2-d1+ Ka4-a3 26.Sf5-e3 Ka3-b2 27.Kc5-b4 LEc3-d4 28.Ld1-b3 LEd4-
d3 29.Lb3-a4 LEd3-b1+ 30.Kb4-c4 LEb1-e4 31.Se3-d1+ Kb2-a3 32.La4-e8
LEe4-f5 33.Kc4-c3 LEf5-h3 34.Sd1-b2 Ka3-a2 35.Sb2-c4 Ka2-b1 36.Sc4-d2+
Kb1-c1 37.Le8-a4 LEh3-g3 38.Sd2-e4 LEg3-e3 39.Se4-g5 Kc1-b1 40.La4-
c2+ Kb1-a2 41.Sg5-f3 LEe3-c5 42.Lc2-b3+ Ka2-b1 43.Sf3-d4 LEc5-a3+
44.Lb3-c2+ Kb1-a2 45.Lc2-g6 LEa3-c5 46.Sd4-b5 LEc5-e7 47.Kc3-c2 Ka2-
a1 48.Kc2-b3 LEe7-b7+ 49.Kb3-a3 LEb7-c8 50.Sb5-d4 LEc8-h3 51.Lg6-h7
LEh3-g3 52.Lh7-f5 LEg3-f3 53.Lf5-e6 Ka1-b1 54.Sd4:f3 Kb1-c2 55.Le6-c4
Kc2-c3 56.Lc4-b5 Kc3-c2 57.Ka3-b4 Kc2-b1 58.Kb4-c3 Kb1-a2 59.Lb5-d3
Ka2-a1 60.Sf3-d4 Ka1-a2 61.Sd4-b3 Ka2-a3 62.Ld3-b1 Ka3-a4 63.Sb3-d4
Ka4-a5 64.Kc3-c4 Ka5-b6 65.Sd4-b5 Kb6-b7 66.Lb1-f5 Kb7-c6 67.Lf5-e6
Kc6-b6 68.Le6-d7 Kb6-a5 69.Sb5-c7 Ka5-b6 70.Sc7-d5+ Kb6-a5 71.Kc4-b3
Ka5-a6 72.Kb3-a4 Ka6-b7 73.Ka4-b5 Kb7-a7 74.Ld7-c8 Ka7-b8 75.Lc8-a6
Kb8-a7 76.Sd5-e7 Ka7-b8 77.Kb5-b6 Kb8-a8 78.La6-b7+ Ka8-b8 79.Se7-c6#

Koncovka střelec + jezdec proti leo je obecně remízová.
Naprosto unikátní je pozice s bílým králem na c5, kterou lze
vyhrát.

The ending of bishop and knight against leo is generally drawn.
Quite unique is the position with the White king on c5, where it
is possible to win.

+ Bishop + Knight - K + Leo

Ke8 Lb1 Sa2 - Kb8 Leo e6

1.Ke8-d7 LEe6-g8 2.Kd7-c6 Kb8-c8 3.Lb1-g6 Kc8-d8 4.Kc6-d6 Kd8-c8
5.Lg6-e4 Kc8-d8 6.Le4-c6 LEg8-g6 7.Lc6-d7 LEg6-d3 8.Ld7-b5 LEd3-g6
9.Sa2-c3 Kd8-c8 10.Lb5-d3 LEg6-g8 11.Ld3-a6+ Kc8-d8 12.La6-b5 Kd8-c8
13.Lb5-c6 LEg8-g5 14.Lc6-f3 Kc8-d8 15.Sc3-d5 LEg5-d2+ 16.Sd5-f4 Kd8-
e8 17.Lf3-h5+ Ke8-d8 18.Sf4-e6+ Kd8-c8 19.Lh5-f3 LEd2-c1 20.Lf3-e4
LEc1-e3 21.Se6-g5 Kc8-d8 22.Le4-c6 Kd8-c8 23.Sg5-f7 Kc8-b8 24.Lc6-f3
Kb8-a7 25.Kd6-c6 Ka7-a6 26.Sf7-d6 LEe3-a7 27.Lf3-g4 Ka6-a5 28.Kc6-c5
Ka5-a4 29.Lg4-d1+ Ka4-a5 30.Sd6-b7+ Ka5-a6 31.Ld1-f3 LEa7-a8 32.Sb7-
d8 Ka6-a7 33.Kc5-d6 Ka7-b8 34.Sd8-f7 LEa8-a1 35.Kd6-c6 Kb8-a7 36.Lf3-
e2 LEa1-g7 37.Le2-d3 LEg7-f6 38.Kc6-c7 LEf6-f4 39.Ld3-e2 Ka7-a8
40.Kc7-b6 Ka8-b8 41.Le2-g4 LEf4-f6 42.Sf7-e5 LEf6-h6 43.Lg4-f5 LEh6-f6
44.Se5-d7+ Kb8-c8 45.Sd7:f6+ Kc8-d8 46.Kb6-c5 Kd8-e7 47.Sf6-h7 Ke7-f7
48.Kc5-d6 Kf7-g8 49.Kd6-e7 Kg8-h8 50.Ke7-f6 Kh8-g8 51.Lf5-g6 Kg8-h8
52.Sh7-g5 Kh8-g8 53.Sg5-f7 Kg8-f8 54.Lg6-h7 Kf8-e8 55.Sf7-e5 Ke8-d8
56.Kf6-e6 Kd8-c7 57.Se5-d7 Kc7-b7 58.Lh7-d3 Kb7-c6 59.Ld3-c4 Kc6-c7
60.Lc4-b5 Kc7-d8 61.Sd7-c5 Kd8-c7 62.Sc5-a4 Kc7-d8 63.Ke6-d6 Kd8-c8
64.Lb5-c6 Kc8-b8 65.Sa4-b6 Kb8-a7 66.Kd6-c7 Ka7-a6 67.Sb6-c4 Ka6-a7
68.Lc6-b5 Ka7-a8 69.Sc4-b6+ Ka8-a7 70.Sb6-c8+ Ka7-a8 71.Lb5-c6#

Kb6 Lb1 Sa2 - Kb8 Leo e6

1.Lb1-f5 LEe6-f7 2.Lf5-g4 Kb8-a8 3.Sa2-b4 LEf7-f6 4.Sb4-d3 Ka8-b8 5.Sd3-
e5 LEf6-h6 6.Lg4-f5 LEh6-f6 7.Se5-d7+ Kb8-c8 8.Sd7:f6+ Kc8-d8 9.Kb6-c5
Kd8-e7 10.Sf6-h7 Ke7-f7 11.Kc5-d6 Kf7-g8 12.Kd6-e7 Kg8-h8 13.Ke7-f6
Kh8-g8 14.Lf5-g6 Kg8-h8 15.Sh7-g5 Kh8-g8 16.Sg5-f7 Kg8-f8 17.Lg6-h7
Kf8-e8 18.Sf7-e5 Ke8-d8 19.Kf6-e6 Kd8-c7 20.Se5-d7 Kc7-b7 21.Lh7-d3
Kb7-c6 22.Ld3-c4 Kc6-c7 23.Lc4-b5 Kc7-d8 24.Sd7-c5 Kd8-c7 25.Sc5-a4
Kc7-d8 26.Ke6-d6 Kd8-c8 27.Lb5-c6 Kc8-b8 28.Sa4-b6 Kb8-a7 29.Kd6-c7
Ka7-a6 30.Sb6-c4 Ka6-a7 31.Lc6-b5 Ka7-a8 32.Sc4-b6+ Ka8-a7 33.Sb6-c8+
Ka7-a8 34.Lb5-c6#

Pokud je černý král již na okraji šachovnice a bílý král není
daleko, lze ji někdy vyhrát, jak ukazují matové postupy. Obecně
je to ale remis.

As long as the Black king is already on the edge of the board and
the White king is not far away, it is sometimes possible to win, as
the mating lines show. However, in general this is a draw.

+ Bishop + Knight - K + Pao

Koncovka střelec + jezdec proti pao je nejzajímavější z této série
a nelze ji obecně označit za jako vyhranou ani jako remízovou.
Záleží hodně na pozici. Na šachovnicích větších rozměrů by
zřejmě byla již remízová, ale zde je počet vyhratelných případů
tak velký, že ji jednoznačně za remízovou označit nelze. V pozici
na tomto diagramu však černý udrží remízu ať je bílý král
kdekoliv.

The ending of bishop and knight against pao is the most
interesting in this series, and it cannot be classified as either a
general win or a general draw. It depends very much on the
position. On boards of larger dimension it would obviously
become drawn, but here the number of winning positions is so
large that it cannot be unequivocally be given as drawn. In the
position in this diagram, however, Black can hold the draw
wherever the White king may be.

K + Bishop + Knight -

+ Pao

Kf5 Lc4 Se3 - Kb7 Pao d6

1.Kf5-e4 Kb7-c6 2.Ke4-d4 PAd6-d8 3.Se3-f5 Kc6-d7+ 4.Kd4-c5 PAd8-f8
5.Lc4-g8 PAf8-d8 6.Kc5-c4 Kd7-c6 7.Kc4-d4 Kc6-d7+ 8.Kd4-e5 PAd8-b8
9.Sf5-g7 Kd7-c6 10.Lg8-d5+ Kc6-d7 11.Ld5-f3 PAb8-h8 12.Lf3-h5 Kd7-e7
13.Sg7-e8 Ke7-d7 14.Se8-f6+ Kd7-e7 15.Lh5-g6 PAh8-f8 16.Lg6-e8 PAf8-
h8 17.Le8-b5 Ke7-f7 18.Sf6-e4 Kf7-e7 19.Se4-d6 PAh8-b8 20.Sd6-f5+ Ke7-
f7 21.Lb5-c4+ Kf7-g6 22.Sf5-d6 Kg6-g5 23.Sd6-f7+ Kg5-g6 24.Ke5-e6
PAb8-f8 25.Lc4-d3+ Kg6-h5 26.Ke6-e5 PAf8-b8 27.Ke5-f5 Kh5-h4 28.Ld3-
e2 Kh4-g3 29.Kf5-e4 Kg3-f2 30.Ke4-d3 PAb8-c8 31.Sf7-g5 PAc8-c7 32.Sg5-
e4+ Kf2-e1 33.Se4-f6 Ke1-f2 34.Kd3-d2 PAc7-c8 35.Sf6-e4+ Kf2-g2 36.Le2-
h5 Kg2-h3 37.Kd2-e3 PAc8-a8 38.Ke3-f4 Kh3-g2 39.Se4-c3 PAa8-a3
40.Sc3-d1 Kg2-f1 41.Kf4-f3 Kf1-e1 42.Kf3-e3 Ke1-f1 43.Lh5-e2+ Kf1-g2
44.Ke3-f4 PAa3-a4 45.Le2-f3+ Kg2-f1 46.Kf4-e3 PAa4-a7 47.Sd1-b2 PAa7-
h7 48.Lf3-e4 PAh7-h3 49.Sb2-d1 PAh3-h8 50.Sd1-f2 PAh8-e8+ 51.Le4-d5
PAe8-h8 52.Sf2-h3 Kf1-e1 53.Ld5-b3 Ke1-f1 54.Sh3-f4 PAh8-e8 55.Lb3-d5
Kf1-e1 56.Ld5-f3 Ke1-f1 57.Sf4-g2 Kf1-g1 58.Lf3-d5 Kg1-f1 59.Ke3-f3 Kf1-
g1 60.Kf3-g3 PAe8-e3 61.Ld5-c4 PAe3-c3 62.Sg2-f4 PAc3-a3 63.Sf4-e6
PAa3-a4 64.Se6-c5 PAa4-a5 65.Sc5-b3 PAa5-a3+ 66.Sb3-d4 PAa3-c3
67.Sd4-c2 PAc3-b3 68.Lc4:b3 Kg1-f1 69.Lb3-c4+ Kf1-g1 70.Sc2-d4 Kg1-h1
71.Kg3-f2 Kh1-h2 72.Lc4-f1 Kh2-h1 73.Lf1-g2+ Kh1-h2 74.Sd4-f3#

Zde je převážná většina pozic vyhratelná. Přesto černý udrží
remízu při pozicích jeho krále na polích označených "=".

Here, the great majority of positions are winning, but the Black
king can hold the draw if he is on one of the squares marked "=".

K + Bishop +

Knight

- K + Pao

Kf3 La1 Sh1 - Ka8 Pao b8

1.Kf3-e4 Ka8-b7 2.Ke4-d5 PAb8-d8 3.La1-e5 Kb7-b6 4.Sh1-g3 PAd8-a8
5.Sg3-e2 PAa8-a5 6.Kd5-c4 Kb6-c6 7.Se2-d4+ Kc6-d7 8.Sd4-b3 Kd7-e6
9.Kc4-d4 PAa5-a8 10.Le5-b8 Ke6-f5 11.Kd4-d5 PAa8-a4 12.Sb3-d4+ Kf5-g4
13.Sd4-c2 Kg4-f3 14.Kd5-d4 PAa4-a6 15.Lb8-d6 PAa6-a8 16.Ld6-f8 Kf3-f4
17.Lf8-h6+ Kf4-f5 18.Kd4-d5 Kf5-f6 19.Lh6-f8 PAa8-b8 20.Sc2-e3 PAb8-e8
21.Lf8-d6 Kf6-g5 22.Ld6-c7 PAe8-e7 23.Lc7-d8 Kg5-f4 24.Se3-g2+ Kf4-g3
25.Sg2-e1 PAe7-e8 26.Se1-d3 Kg3-f3 27.Sd3-e5+ Kf3-f2 28.Ld8-g5 Kf2-e2
29.Lg5-h6 Ke2-f2 30.Se5-c6 PAe8-e1 31.Sc6-d4 PAe1-d1+ 32.Kd5-e4 PAd1-
e1 33.Lh6-f8 PAe1-h1 34.Lf8-d6 PAh1-a1 35.Ld6-e7 PAa1-a4+ 36.Sd4-f5
Kf2-e2 37.Le7-g5 PAa4-b4 38.Lg5-e3 PAb4-a4 39.Sf5-g3+ Ke2-e1 40.Le3-
b6 PAa4-a3 41.Lb6-c5 PAa3-a8 42.Ke4-d3 PAa8-d8 43.Kd3-e3 Ke1-d1
44.Lc5-b4 Kd1-c2 45.Ke3-d4 Kc2-b3 46.Kd4-c5 PAd8-e8 47.Sg3-f5 PAe8-g8
48.Sf5-d4+ Kb3-a4 49.Sd4-f3 Ka4-b3 50.Kc5-b5 PAg8-h8 51.Sf3-d4+ Kb3-
b2 52.Lb4-a5 PAh8-h1 53.Kb5-c4 PAh1-c1 54.La5-b4 PAc1-h1 55.Sd4-f3
PAh1-h3 56.Sf3-e5 Kb2-c2 57.Se5-d3 PAh3-h4 58.Sd3-e1+ Kc2-c1 59.Kc4-
c3 PAh4-h3 60.Se1-g2 Kc1-d1 61.Lb4-d6 Kd1-e2 62.Sg2-f4+ Ke2-f3+
63.Sf4:h3 Kf3-e4 64.Kc3-c4 Ke4-f3 65.Sh3-g5+ Kf3-e3 66.Ld6-g3 Ke3-d2
67.Kc4-d4 Kd2-e2 68.Kd4-e4 Ke2-f1 69.Ke4-f3 Kf1-g1 70.Sg5-h3+ Kg1-f1
71.Sh3-f2 Kf1-g1 72.Lg3-f4 Kg1-f1 73.Lf4-h2 Kf1-e1 74.Sf2-e4 Ke1-d1
75.Kf3-e3 Kd1-c2 76.Se4-d2 Kc2-b2 77.Lh2-d6 Kb2-c3 78.Ld6-e7 Kc3-c2
79.Le7-b4 Kc2-d1 80.Sd2-e4 Kd1-c2 81.Se4-c5 Kc2-d1 82.Ke3-d3 Kd1-c1
83.Sc5-a4 Kc1-d1 84.Sa4-b2+ Kd1-c1 85.Kd3-c3 Kc1-b1 86.Sb2-d3 Kb1-a2
87.Kc3-c2 Ka2-a1 88.Lb4-c5 Ka1-a2 89.Sd3-c1+ Ka2-a1 90.Lc5-d4#

Také zde bílý v převážné většině pozic vyhraje, i když na to
potřebuje až 90 tahů. Při pozicích bílého jezdce na polích
označených "=" však nestačí ani to, že je černý král v rohu
šachovnice - černý udrží remízu.

Here also the great majority of positions are winning, even
though it may take up to 90 moves. However, if the White knight
is on one of the squares marked "=", it is not even sufficient that
the Black king is in a corner of the board - Black can hold the
draw.

+ Bishop + Knight - K + Pao

Kf2 La2 Sb1 - Ka8 Pao a7

1.Kf2-e3 Ka8-b7 2.Ke3-d4 Kb7-c6 3.Sb1-c3 PAa7-a5 4.Sc3-e4 Kc6-d7
5.Kd4-e5 Kd7-c6 6.La2-b3 Kc6-b5+ 7.Ke5-d4 PAa5-a3 8.Lb3-c4+ Kb5-c6
9.Lc4-d5+ Kc6-c7 10.Ld5-a8 Kc7-d7 11.Kd4-e5 Kd7-c7 12.Ke5-d5 Kc7-d7
13.Se4-f6+ Kd7-e7 14.Kd5-e5 Ke7-f7 15.La8-d5+ Kf7-g6 16.Sf6-e4 PAa3-
e3+ 17.Se4-d6 Kg6-g5 18.Sd6-f7+ Kg5-g4 19.Ke5-e4 PAe3-h3 20.Ld5-e6+
Kg4-g3 21.Sf7-e5 PAh3-h1 22.Le6-b3 Kg3-h4 23.Se5-f7 Kh4-h5 24.Ke4-f5
Kh5-h4 25.Sf7-d6 Kh4-g3 26.Lb3-d1 Kg3-f2 27.Kf5-e4 PAh1-g1 28.Ke4-d3
PAg1-g7 29.Ld1-h5 PAg7-e7 30.Kd3-d4 PAe7-e1 31.Sd6-e4+ Kf2-g2
32.Kd4-c3 Kg2-h3 33.Kc3-d2 PAe1-a1 34.Kd2-e3 PAa1-a8 35.Ke3-f4 Kh3-
g2 36.Se4-c3 PAa8-a3 37.Sc3-d1 Kg2-f1 38.Kf4-f3 Kf1-e1 39.Kf3-e3 Ke1-f1
40.Lh5-e2+ Kf1-g2 41.Ke3-f4 PAa3-a4 42.Le2-f3+ Kg2-f1 43.Kf4-e3 PAa4-
a7 44.Sd1-b2 PAa7-h7 45.Lf3-e4 PAh7-h3 46.Sb2-d1 PAh3-h8 47.Sd1-f2
PAh8-e8+ 48.Le4-d5 PAe8-h8 49.Sf2-h3 Kf1-e1 50.Ld5-b3 Ke1-f1 51.Sh3-f4
PAh8-e8 52.Lb3-d5 Kf1-e1 53.Ld5-f3 Ke1-f1 54.Sf4-g2 Kf1-g1 55.Lf3-d5
Kg1-f1 56.Ke3-f3 Kf1-g1 57.Kf3-g3 PAe8-e3 58.Ld5-c4 PAe3-c3 59.Sg2-f4
PAc3-a3 60.Sf4-e6 PAa3-a4 61.Se6-c5 PAa4-a5 62.Sc5-b3 PAa5-a3+ 63.Sb3-
d4 PAa3-c3 64.Sd4-c2 PAc3-b3 65.Lc4:b3 Kg1-f1 66.Lb3-c4+ Kf1-g1
67.Sc2-d4 Kg1-h1 68.Kg3-f2 Kh1-h2 69.Lc4-f1 Kh2-h1 70.Lf1-g2+ Kh1-h2
71.Sd4-f3#

Tuto koncovku by bylo podle předchozích kritérií možné označit
za remízovou. Když je bílý král příliš daleko od svého černého
jmenovce, nevyhraje. Celkový počet vyhrávajících případů je
však asi větší než těch remízových, takže si takto jednoznačně
tuto koncovku označit netroufám.

According to the criteria used hitherto, this ending could be
classified as drawn. When the White king is too far from his
Black adversary, there is no win. However, the total number of
winning positions is perhaps greater than that of drawing
positions, and I hesitate to classify it so.

K + Bishop + Knight - K +

Pao

Opět zajímavý případ, kdy většina pozic je pro silnější stranu
vyhraná, ale černý udrží remízu, pokud je jeho pao v zóně na 8.
řadě!

Another interesting case, where the majority of cases are winning
for the stronger side but Black can hold the draw if his pao is in a
certain zone on the eighth rank!

+ Bishop + Knight - K + Vao

Ka2 Lb1 Sa1 - Ke5 Vao e6

1.Ka2-b3 Ke5-d4 2.Sa1-c2+ Kd4-e4 3.Sc2-e1+ Ke4-d4 4.Se1-f3+ Kd4-d5+
5.Kb3-c3 VAe6-f7 6.Kc3-d2 Kd5-e6 7.Kd2-e3 Ke6-d5 8.Lb1-g6 VAf7-e6
9.Lg6-f7 Kd5-d6 10.Sf3-g5 VAe6-c8 11.Ke3-d4 VAc8-b7 12.Sg5-e4+ Kd6-
e7 13.Lf7-c4 VAb7-a8 14.Kd4-e5 Ke7-d7 15.Lc4-b5+ Kd7-e7 16.Se4-f6 Ke7-
f7 17.Lb5-c6 VAa8-b7 18.Lc6:b7 Kf7-g6 19.Lb7-e4+ Kg6-g7 20.Sf6-e8+
Kg7-f7 21.Se8-d6+ Kf7-g7 22.Ke5-e6 Kg7-g8 23.Ke6-e7 Kg8-g7 24.Sd6-f7
Kg7-g8 25.Ke7-f6 Kg8-f8 26.Le4-h7 Kf8-e8 27.Sf7-e5 Ke8-d8 28.Kf6-e6
Kd8-c7 29.Se5-d7 Kc7-b7 30.Lh7-d3 Kb7-c6 31.Ld3-c4 Kc6-c7 32.Lc4-b5
Kc7-d8 33.Sd7-c5 Kd8-c7 34.Sc5-a4 Kc7-d8 35.Ke6-d6 Kd8-c8 36.Lb5-c6
Kc8-b8 37.Sa4-b6 Kb8-a7 38.Kd6-c7 Ka7-a6 39.Sb6-c4 Ka6-a7 40.Lc6-b5
Ka7-a8 41.Sc4-b6+ Ka8-a7 42.Sb6-c8+ Ka7-a8 43.Lb5-c6#

Střelec a jezdec vyhrává proti vao v obecné pozici.

Bishop and knight against vao win in general.

+ 2 Bishops - K + Lion

Ka2 La1 Lb1 - Kd5 Lion d6

1.Ka2-b3 LId6-d2 2.La1-g7 LId2-d7 3.Kb3-c3 Kd5-e6 4.Kc3-d4 Ke6-d6+
5.Kd4-e4 Kd6-c5 6.Lg7-f8+ Kc5-c6 7.Ke4-e5 LId7-a4 8.Lb1-g6 LIa4-d7
9.Lg6-e4+ Kc6-c7 10.Ke5-e6 LId7-a7 11.Lf8-c5 LIa7-h7 12.Lc5-d6+ Kc7-b6
13.Le4:h7 Kb6-a6 14.Lh7-d3+ Ka6-a5 15.Ke6-d7 Ka5-a4 16.Ld3-c4 Ka4-a5
17.Kd7-c6 Ka5-a4 18.Ld6-e7 Ka4-a5 19.Lc4-b3 Ka5-a6 20.Le7-b4 Ka6-a7
21.Kc6-c7 Ka7-a8 22.Lb4-a5 Ka8-a7 23.La5-b6+ Ka7-a8 24.Lb3-d5#

Dva různopolní střelci vyhrávají proti lionovi v obecné pozici.

Two bishops on squares of different colours win against a lion
from a general position.

+ 2 Bishops - K + Leo

Dva střelci proti leo nevyhrávají. Bílý král může být kdekoliv.

Two bishops do not win against a leo. The White king can be
anywhere.

K + 2 Bishops -

+ Leo

Zde je názorně vidět, že černý král musí být už na okraji
šachovnice, aby bylo možno v některých pozicích vynutit mat.

Here it is graphically shown how the Black king must already be
on the edge of the board for mate to be forced.

+ 2 Bishops - K + Leo

Kf3 La1 Lb1 - Ka8 Leo b8

1.Lb1-e4+ Ka8-a7 2.La1-d4+ Ka7-a6 3.Le4-c6 LEb8-c7 4.Kf3-e4 Ka6-a5
5.Ld4-e5 LEc7-h7 6.Le5-c3+ Ka5-b6 7.Ke4-d5 LEh7-c2 8.Lc3-f6 Kb6-c7
9.Lf6-g5 LEc2-g6 10.Kd5-c5 LEg6-e6 11.Lg5-h4 LEe6-g6 12.Lh4-g3+ Kc7-
d8 13.Lc6-e4 LEg6-g4 14.Kc5-d6 Kd8-e8 15.Le4-g6+ Ke8-f8 16.Lg3-e5
LEg4-e2 17.Le5-d4 LEe2-d2+ 18.Kd6-e6 LEd2-h6+ 19.Lg6-h5 LEh6-h7
20.Ke6-f6 LEh7-f7 21.Ld4-b6 Kf8-e8 22.Kf6-e6 Ke8-f8 23.Lh5:f7 Kf8-g7
24.Lb6-c5 Kg7-h8 25.Lc5-f8 Kh8-h7 26.Ke6-e7 Kh7-h8 27.Lf7-e6 Kh8-h7
28.Ke7-f7 Kh7-h8 29.Lf8-g7+ Kh8-h7 30.Le6-f5#

Pokud je černý král v rohu šachovnice, lze jej někdy zmatit,
pokud bílý král není příliš daleko. Obecně je ale koncovka
remízová.

If the Black king is already in the corner, it is sometimes possible
to force mate, provided that the White king is not too far away.
In general, however, the ending is drawn.

K + 2 Bishops - K +

Pao

Ka1 Lb1 Lc1 - Ke5 Pao c6

1.Lb1-h7 Ke5-d4 2.Lh7-g8 Kd4-e5 3.Lc1-b2+ Ke5-e4 4.Lb2-g7 Ke4-f5
5.Ka1-b2 Kf5-g6 6.Lg7-f8 Kg6-f5 7.Kb2-c3 Kf5-e4 8.Lf8-d6 PAc6-c8 9.Kc3-
c4 PAc8-d8 10.Lg8-h7+ Ke4-f3 11.Lh7-c2 Kf3-e3 12.Ld6-e7 PAd8-h8
13.Le7-g5+ Ke3-f3 14.Kc4-d5 Kf3-g4 15.Lg5-h6 PAh8-e8 16.Lc2-g6 PAe8-
h8 17.Kd5-e4 Kg4-g3 18.Lh6-d2 PAh8-h4 19.Lg6-h5 Kg3-f2 20.Ke4-f4
PAh4-h1 21.Ld2-e3+ Kf2-e1 22.Kf4-g3 PAh1-f1 23.Lh5-f3 PAf1-f2 24.Le3-
b6 Ke1-d2 25.Kg3:f2 Kd2-d3 26.Lf3-c6 Kd3-c4 27.Kf2-e3 Kc4-c3 28.Lc6-b5
Kc3-b4 29.Lb5-d3 Kb4-c3 30.Lb6-a5+ Kc3-b2 31.Ke3-d2 Kb2-b3 32.La5-c3
Kb3-a4 33.Kd2-c2 Ka4-a3 34.Ld3-b5 Ka3-a2 35.Lc3-d4 Ka2-a3 36.Ld4-c5+
Ka3-a2 37.Lb5-c4+ Ka2-a1 38.Lc5-d4#

Dva různopolní střelci vyhrávají proti pao v obecné pozici
(případná pozice pao na tomto diagramu na první řadě s vazbou
střelců nenarušuje obecnost)

Two bishops on squares of different colours win against a pao
from a general position (the case in the diagram where the pao is
pinning the bishops on the first rank does not invalidate the
general result).

+ 2 Bishops - K + Vao

Ka2 La1 Lb1 - Kd5 Vao d6

1.Ka2-b3 VAd6-e7 2.Kb3-c2 Kd5-e4 3.Kc2-d2+ Ke4-d5 4.Kd2-e3 Kd5-c6
5.Ke3-e4 Kc6-d6 6.La1-g7 Kd6-c5 7.Lg7-f8 Kc5-d6 8.Lb1-a2 Kd6-d7 9.Ke4-
d5 Kd7-e8 10.Lf8-g7 Ke8-d7 11.La2-b3 Kd7-c7 12.Lg7-e5+ Kc7-b6 13.Kd5-
d6 Kb6-b5 14.Kd6:e7 Kb5-c5 15.Ke7-d7 Kc5-b4 16.Lb3-e6 Kb4-c5 17.Le5-
b2 Kc5-b6 18.Lb2-a3 Kb6-b5 19.Kd7-c7 Kb5-a4 20.La3-d6 Ka4-b5 21.Le6-
b3 Kb5-a6 22.Lb3-a4 Ka6-a5 23.La4-d7 Ka5-a6 24.Ld6-b4 Ka6-a7 25.Ld7-c8
Ka7-a8 26.Lc8-b7+ Ka8-a7 27.Lb4-c5#

Dva různopolní střelci vyhrávají proti vao v obecné pozici.

Two bishops on squares of different colours win against a vao
from a general position.

4. Koncovka král + věž/dáma

proti

král + lion/leo/pao/vao

4. Endgame king + rook/queen

against

king + lion/leo/pao/vao

Leo Pao Vao Lion Grasshopper

K + Rook =

K + Queen +

Koncovky se cvrčkem byly již probrány v tomto článku:

Grasshopper endgames after 25 years

(2002)

Endgames with grasshopper were examined in the article Grasshopper endgames after 25 years (2002).

+ Queen - K + Lion

Ka1 Db1 - Ke5 Lion e6

1.Ka1-b2 Ke5-f4 2.Kb2-c3 Kf4-e5 3.Db1-b5+ Ke5-e4 4.Kc3-c4 Ke4-e3
5.Db5-b6+ Ke3-f4 6.Db6:e6 Kf4-g5 7.De6-e5+ Kg5-h6 8.Kc4-d5 Kh6-h7
9.Kd5-e6 Kh7-g8 10.De5-g5+ Kg8-h7 11.Ke6-f7 Kh7-h8 12.Dg5-h6#

+ Queen - K + Leo

Ka1 Db1 - Ke5 Leo e6

1.Ka1-b2 LEe6-f6+ 2.Kb2-c2 Ke5-d4 3.Db1-b6+ Kd4-e5 4.Kc2-d3 Ke5-f5
5.Db6-a5+ Kf5-e6 6.Kd3-d4 LEf6-g7 7.Da5-d5+ Ke6-f6+ 8.Kd4-e4 LEg7-h8
9.Dd5-d6+ Kf6-f7 10.Ke4-e5 LEh8-f8 11.Dd6-e6+ Kf7-g7 12.De6-f6+ Kg7-
h7 13.Df6:f8 Kh7-g6 14.Df8-g8+ Kg6-h5 15.Ke5-f5 Kh5-h6 16.Dg8-h8#

K + Rook -

+ Lion

Ka1 Tb1 - Kd5 Lion e6

1.Ka1-b2 Kd5-d4 2.Tb1-d1+ Kd4-e5 3.Kb2-c3 Ke5-e4 4.Td1-b1 Ke4-d5
5.Kc3-d3 Kd5-e5 6.Tb1-b5+ Ke5-f6 7.Kd3-d4 LIe6-g6 8.Tb5-e5 LIg6-d6
9.Kd4-e4 LId6-h6 10.Ke4-d5 Kf6-g6 11.Te5-e8 Kg6-f5 12.Te8-f8+ Kf5-g6
13.Kd5-e5 Kg6-h5 14.Ke5-f6 LIh6-h3 15.Kf6-f5 Kh5-h4 16.Tf8-g8 Kh4-h5
17.Tg8-g5+ Kh5-h6 18.Kf5-g4 LIh3-h8 19.Tg5-g8 LIh8-h5 20.Tg8-f8 Kh6-
g6 21.Tf8-f4 LIh5-f7 22.Tf4-f5 Kg6-g7 23.Kg4-g5 LIf7-h7 24.Tf5-f6 LIh7-f7
25.Tf6-g6+ Kg7-f8 26.Kg5-f6 Kf8-e8 27.Kf6-e6 LIf7-d5 28.Tg6-g5 Ke8-d8
29.Tg5:d5+ Kd8-c7 30.Td5-c5+ Kc7-b8 31.Ke6-d7 Kb8-b7 32.Tc5-b5+ Kb7-
a6 33.Kd7-c6 Ka6-a7 34.Tb5-a5+ Ka7-b8 35.Ta5-a6 Kb8-c8 36.Ta6-a8#

Věž proti lionovi vyhrává z obecné pozice.

Rook against lion is a general win.

K + Rook -

+ Leo

Ka1 Tb1 - Ka4 Leo e6

1.Tb1-b6 LEe6-f7 2.Ka1-b2 LEf7-e8 3.Tb6-b7 LEe8-f8 4.Kb2-c3 LEf8-f1
5.Tb7-b4+ Ka4-a5 6.Kc3-c4 LEf1-f2 7.Tb4-b5+ Ka5-a6 8.Kc4-c5 LEf2-f3
9.Tb5-b6+ Ka6-a7 10.Kc5-c6 LEf3-e4 11.Kc6-c7 LEe4-h7 12.Tb6-h6 LEh7-
g8 13.Th6-h5 LEg8-a8 14.Th5-h4 Ka7-a6 15.Kc7-c6 Ka6-a7 16.Th4-h8
LEa8-b8 17.Kc6-c7 LEb8-b7 18.Th8-b8 LEb7-d5 19.Tb8-b5 LEd5-a8
20.Tb5-b7+ Ka7-a6 21.Kc7-b8 LEa8-a7 22.Tb7:a7+ Ka6-b5 23.Ta7-c7 Kb5-
b6 24.Tc7-c2 Kb6-b5 25.Kb8-a7 Kb5-b4 26.Ka7-b6 Kb4-b3 27.Tc2-c6 Kb3-
a4 28.Kb6-c5 Ka4-b3 29.Kc5-b5 Kb3-a2 30.Kb5-a4 Ka2-b2 31.Ka4-b4 Kb2-
a1 32.Tc6-c2 Ka1-b1 33.Kb4-b3 Kb1-a1 34.Tc2-c1#

Koncovka věže proti leo je v obecné pozici remízová. Někdy je
ale možné využít nevýhodné pozice soupeřova krále k matu.

The endgame of rook against leo is in general drawn, but it is
sometimes possible to exploit the unfavourable position of the
enemy king.

+ Rook - K + Leo

Kd3 Tb1 - Kh8 Leo g8

1.Tb1-b7 LEg8-a2 2.Kd3-e4 Kh8-g8 3.Ke4-d5 Kg8-f8 4.Kd5-e6 LEa2-c4
5.Tb7-e7 LEc4-d4 6.Te7-f7+ Kf8-g8 7.Ke6-f6 LEd4-c3 8.Kf6-g6 LEc3-g3
9.Tf7-f1 LEg3-h4 10.Tf1-e1 LEh4-h8 11.Te1-e2 Kg8-f8 12.Kg6-f6 LEh8-h7
13.Te2-e7 LEh7-h8 14.Te7-h7 Kf8-g8 15.Kf6-g6 LEh8-e5 16.Th7-e7 LEe5-
h8 17.Te7-g7+ Kg8-f8 18.Kg6-h7 LEh8-g8 19.Tg7:g8+ Kf8-e7 20.Tg8-g6
Ke7-f7 21.Tg6-b6 Kf7-e7 22.Kh7-g8 Ke7-d7 23.Kg8-f7 Kd7-c7 24.Tb6-f6
Kc7-b8 25.Kf7-e8 Kb8-c7 26.Tf6-g6 Kc7-b8 27.Ke8-d7 Kb8-b7 28.Tg6-h6
Kb7-a8 29.Th6-b6 Ka8-a7 30.Kd7-c7 Ka7-a8 31.Tb6-a6#

Věž také vyhraje proti leo, pokud je už černý král v rohu
šachovnice, jak ukazuje tento diagram. Pokud je však bílý král
příliš vzdálen, je koncovka remízová, krále se nepodaří do rohu
zatlačit.

Rook also wins against leo if the enemy king is already in the
corner of the board, as this diagram shows. However, if the
White king is too far away, the king cannot be kept in the corner,
and the ending is drawn.

K + Rook -

+ Pao

Ka1 Tb1 - Ka8 Pao e6

1.Tb1-b6 PAe6-e7 2.Ka1-b2 Ka8-a7 3.Tb6-b4 PAe7-b7+ 4.Kb2-c3 Ka7-b8
5.Tb4-c4 Kb8-a7 6.Tc4-c6 PAb7-b8 7.Kc3-b4 Ka7-b7+ 8.Kb4-c5 PAb8-c8+
9.Kc5-d6 PAc8-b8 10.Tc6-c7+ Kb7-b6 11.Tc7-c4 Kb6-b7 12.Tc4-e4 Kb7-b6
13.Te4-e8 Kb6-b7 14.Kd6-c5 PAb8-c8 15.Te8-e7+ Kb7-a6 16.Kc5-c6 PAc8-
f8 17.Te7-e8 PAf8-f7 18.Te8-a8+ PAf7-a7 19.Kc6-c7 Ka6-b5 20.Ta8:a7 Kb5-
c4 21.Kc7-d6 Kc4-d3 22.Ta7-e7 Kd3-c4 23.Te7-e4+ Kc4-d3 24.Kd6-d5 Kd3-
c3 25.Te4-d4 Kc3-b3 26.Td4-c4 Kb3-a3 27.Kd5-c5 Ka3-b3 28.Kc5-b5 Kb3-
a2 29.Kb5-a4 Ka2-b2 30.Ka4-b4 Kb2-a1 31.Tc4-c2 Ka1-b1 32.Kb4-b3 Kb1-
a1 33.Tc2-c1#

Pao je sice slabší než leo, ale stále udrží ve většině případů proti
věži remízu.

A pao is weaker than a leo, but in the majority of cases it can still
hold the draw against a rook.

+ Rook - K + Pao

Kc2 Tb1 - Kh8 Pao g8

1.Tb1-b7 PAg8-g7 2.Kc2-d3 Kh8-h7 3.Tb7-b6 Kh7-g8 4.Kd3-e4 Kg8-f7
5.Ke4-f5 PAg7-h7 6.Tb6-d6 Kf7-g7 7.Td6-d4 Kg7-f7 8.Td4-h4 Kf7-g7
9.Kf5-e6 PAh7-h8 10.Th4-g4+ Kg7-f8 11.Ke6-f6 PAh8-h3 12.Tg4-h4 PAh3-
g3 13.Th4-h8+ PAg3-g8 14.Kf6-g6 Kf8-e7 15.Th8:g8 Ke7-d6 16.Kg6-f5
Kd6-c5 17.Tg8-g4 Kc5-d6 18.Tg4-d4+ Kd6-c5 19.Kf5-e5 Kc5-c6 20.Td4-d5
Kc6-c7 21.Td5-d6 Kc7-c8 22.Ke5-e6 Kc8-c7 23.Ke6-e7 Kc7-b8 24.Ke7-d8
Kb8-b7 25.Kd8-d7 Kb7-a8 26.Td6-b6 Ka8-a7 27.Kd7-c7 Ka7-a8 28.Tb6-a6#

I zde je zajímavé porovnat tento diagram s podobným
diagramem pro leo. Pokud je už soupeřův král v rohu
šachovnice, lze koncovku vyhrát, pokud není vlastní král příliš
daleko, obecně je to ale remis. Vyhrávající zóna bílého krále je v
případě koncovky věž-pao trochu větší než v případě věž-leo.
Pěkný příklad porovnání síly obou kamenů.

Here also, it is interesting to compare the diagram with the
corresponding diagram for a leo. If the king is already in the
corner, and the White king is not too far away, the ending can be
won. The zone in which the White king wins is a little larger than
that against a leo. A nice example of the relative strength of the
two pieces.

K + Rook -

+ Vao

Ka1 Tb1 - Kc2 Vao e6

1.Tb1-b8 VAe6-f7 2.Ka1-a2 VAf7-d5 3.Tb8-c8+ Kc2-d3 4.Ka2-b3 Kd3-d4
5.Tc8-d8 Kd4-c5 6.Kb3-c3 VAd5-c6 7.Td8-d4 VAc6-e8 8.Td4-e4 VAe8-d7
9.Te4-e5+ Kc5-d6 10.Kc3-d4 VAd7-c8 11.Te5-d5+ Kd6-e6 12.Kd4-c5 Ke6-
e7 13.Td5-d6 VAc8-f5 14.Kc5-d5 VAf5-c2 15.Td6-e6+ Ke7-f7 16.Kd5-e5
VAc2-a4 17.Ke5-f5 VAa4-d7+ 18.Te6-h6 Kf7-e7 19.Kf5-e5 VAd7-b5
20.Th6-h7+ Ke7-d8 21.Ke5-e6 VAb5-a6 22.Th7-d7+ Kd8-c8 23.Ke6-d6
VAa6-b5 24.Td7-c7+ Kc8-b8 25.Kd6-c6 VAb5-c4 26.Kc6-b6 VAc4-b3
27.Tc7-c4 VAb3-a2 28.Kb6-c6 Kb8-c8 29.Tc4-a4 Kc8-d8 30.Kc6-d6 Kd8-e8
31.Ta4:a2 Ke8-f7 32.Ta2-a5 Kf7-f6 33.Kd6-d7 Kf6-g7 34.Kd7-e6 Kg7-g6
35.Ke6-e7 Kg6-g7 36.Ta5-a6 Kg7-h8 37.Ta6-g6 Kh8-h7 38.Ke7-f7 Kh7-h8
39.Tg6-h6#

Věž proti vao obecně vyhrává (a jak uvidíme dále, může mít
černý dokonce 2 kameny vao a stále prohraje)

Rook against vao is a general win (and as we shall see later,
Black can have two vaos and still lose).

5. Koncovka král + věž/dáma

proti

král + lion/leo/pao/vao + lion/leo/pao/vao

5. Endgame king + rook/queen

against

king + lion/leo/pao/vao + lion/leo/pao/vao

Leo + Leo Pao + Pao Vao + Vao Lion + Lion 2 Grasshoppers

K + Rook

K + Queen

Výsledky pro Vao + Vao platí pro kombinaci různopolných i stejnopolných kamenů.

The results for vao + vao are valid whether they run on squares of the same or different colour.

Koncovky se cvrčkem byly již probrány v tomto článku:

Grasshopper endgames after 25 years

(2002)

Endgames with grasshoppers were examined in the article Grasshopper endgames after 25 years (2002).

K + Rook - K + Vao +

Vao

Ka1 Tb1 - Kd4 Vao d5 Vao e4

1.Tb1-d1+ VAe4-d3 2.Ka1-b2 VAd5-e6 3.Kb2-c1 VAe6-g8 4.Kc1-d2 VAd3-
f5 5.Kd2-c2+ Kd4-c4 6.Td1-d2 VAg8-d5 7.Kc2-d1 Kc4-c5 8.Kd1-e2 Kc5-d6
9.Td2-d4 Kd6-e5 10.Ke2-e3 VAd5-c6 11.Td4-e4+ Ke5-d5 12.Te4-e8 VAf5-
g6 13.Ke3-f4 VAg6-c2 14.Te8-d8+ Kd5-c4 15.Kf4-e5 Kc4-c5 16.Td8-d5+
Kc5-c4 17.Ke5-d6 VAc6-a4 18.Td5-c5+ Kc4-d3 19.Tc5-c7 VAa4-b3 20.Kd6-
c5 VAb3-e6 21.Tc7-d7+ Kd3-c3 22.Td7-d4 VAe6-a2 23.Td4-e4 VAc2-d3
24.Te4-a4 VAa2-b3 25.Ta4-c4+ Kc3-d2 26.Kc5-d4 VAd3-f1 27.Tc4-c5
VAb3-c2 28.Tc5-d5 VAf1-e2 29.Td5-f5 VAe2-d1 30.Tf5-f2+ VAd1-e2
31.Tf2-f3 VAc2-b1 32.Tf3-b3 Kd2-c2 33.Tb3-b5 VAb1-a2 34.Tb5-a5 Kc2-b2
35.Kd4-d3 VAe2-d1 36.Ta5-b5+ VAd1-b3 37.Tb5-b6 VAa2-b1 38.Tb6-b4
VAb1-a2 39.Kd3-d2 VAa2-b1 40.Tb4-c4 VAb1-g6 41.Tc4-c2+ Kb2-a3
42.Kd2-c3 VAg6-h5 43.Tc2-d2 VAb3-a4 44.Td2-b2 VAh5-e8 45.Tb2-b3+
Ka3-a2 46.Kc3-b4 VAa4-d7 47.Tb3-d3 VAd7-g4 48.Td3-d8 VAe8-f7
49.Kb4-c3 Ka2-b1 50.Td8-d1+ Kb1-a2 51.Td1-d4 VAg4-h3 52.Td4-a4+ Ka2-
b1 53.Ta4-e4 VAh3-c8 54.Te4-b4+ Kb1-c1 55.Tb4-c4 VAc8-e6 56.Tc4-e4
VAe6-b3 57.Kc3:b3 Kc1-d2 58.Kb3-c4 VAf7-g6 59.Kc4-d4 Kd2-c2 60.Te4-
f4 VAg6-e8 61.Tf4-f7 VAe8-a4 62.Tf7-c7+ Kc2-d2 63.Tc7-a7 VAa4-b5
64.Ta7-a2+ Kd2-e1 65.Ta2-a5 VAb5-c6 66.Kd4-e3 Ke1-f1 67.Ta5-a2 VAc6-
d7 68.Ta2-f2+ Kf1-g1 69.Ke3-f3 VAd7-e8 70.Tf2-g2+ Kg1-f1 71.Tg2-g7
VAe8-h5 72.Tg7-h7 Kf1-e1 73.Th7:h5 Ke1-d2 74.Th5-h4 Kd2-d3 75.Th4-e4
Kd3-c2 76.Te4-e3 Kc2-b1 77.Te3-e2 Kb1-a1 78.Te2-f2 Ka1-b1 79.Kf3-e4
Kb1-a1 80.Ke4-d3 Ka1-b1 81.Kd3-c3 Kb1-a1 82.Kc3-b3 Ka1-b1 83.Tf2-f1#

Ka1 Tb1 - Kd4 Vao d5 Vao c5

1.Ka1-b2 VAd5-e4 2.Tb1-a1 VAc5-d6 3.Ta1-d1+ Kd4-c5 4.Kb2-c3 VAe4-c6
5.Td1-d4 VAd6-e5+ 6.Kc3-d3 VAe5-g3 7.Td4-d7 VAg3-h4 8.Kd3-e4 VAh4-
g3 9.Td7-d2 VAc6-b5 10.Td2-g2 VAg3-h4 11.Ke4-e5 VAh4-d8 12.Tg2-c2+
VAb5-c4 13.Ke5-e4 Kc5-b4 14.Ke4-d5 VAc4-a6 15.Tc2-c4+ Kb4-b3
16.Kd5-d4 VAd8-e7 17.Tc4-c6 VAa6-b5 18.Tc6-b6 Kb3-b4 19.Kd4-d5
VAe7-f8 20.Kd5-c6 Kb4-c4 21.Tb6:b5 VAf8-b4 22.Tb5-d5 VAb4-c3 23.Kc6-
d6 VAc3-f6 24.Td5-h5 VAf6-g7 25.Th5-h4+ Kc4-d3 26.Kd6-d5 Kd3-e3
27.Th4-e4+ Ke3-d3 28.Te4-f4 VAg7-b2 29.Tf4-f3+ Kd3-e2 30.Tf3-c3 Ke2-
d2 31.Kd5-c4 VAb2-c1 32.Kc4-b3 Kd2-d1 33.Tc3-c2 VAc1-e3 34.Kb3-c3
VAe3-f4 35.Tc2-f2 VAf4-g5 36.Kc3-d3 Kd1-e1 37.Tf2-f6 VAg5-c1 38.Kd3-
e3 Ke1-d1 39.Tf6-d6+ Kd1-c2 40.Td6-c6+ Kc2-d1 41.Tc6-c3 VAc1-b2
42.Ke3-d3 VAb2-a1 43.Tc3-a3 VAa1-b2 44.Ta3-a1+ VAb2-c1 45.Ta1-b1
Kd1-e1 46.Tb1:c1+ Ke1-f2 47.Tc1-c4 Kf2-f3 48.Kd3-d2 Kf3-g2 49.Kd2-e3
Kg2-g3 50.Ke3-e2 Kg3-g2 51.Tc4-c3 Kg2-h1 52.Tc3-g3 Kh1-h2 53.Ke2-f2
Kh2-h1 54.Tg3-h3#

Zjištění, že tato koncovka je vyhrávající (a to dokonce bez
ohledu na barvy polí obou Vao) bylo pro mě mírným
překvapením.

The discovery that this ending was a win (and without regard to
the colours of the squares on which the vaos ran) was for me
mildly surprising.

K + Queen - K + Lion +

Lion

Ka1 Db1 - Ke5 Lion e6 Lion f5

1.Ka1-b2 Ke5-f4 2.Db1-c1+ Kf4-e5 3.Kb2-c3 Ke5-e4 4.Dc1-g5 Ke4-e5
5.Dg5-g7+ Ke5-d6 6.Dg7-g3+ Kd6-e7 7.Dg3-g5+ Ke7-d6 8.Dg5:f5 LIe6-g4
9.Df5-f6+ Kd6-c5 10.Df6-e5+ Kc5-b6 11.De5-d6+ Kb6-a7 12.Dd6-c7+ Ka7-
a8 13.Kc3-b4 LIg4-a4 14.Kb4-a5 LIa4-a6 15.Ka5-b6 LIa6-c6 16.Dc7-d8#

Výsledek, že dáma vyhrává proti dvěma lionům je silnější, než
že vyhrává proti dvěma cvrčkům. Z malého počtu tahů nutných k
matu lze usuzovat, že výhra je snadná.

The result that a queen wins against two lions is stronger than
that it wins against two grasshoppers. From the small number of
moves needed to mate, we can judge that the win is easy.

+ Queen - K + Leo + Leo

Ka1 Db1 - Ke5 Leo d6 Leo e6

1.Ka1-b2 LEe6-f6+ 2.Kb2-b3 Ke5-d4 3.Db1-g1+ Kd4-e4 4.Dg1-g2+ Ke4-d4
5.Dg2-f2+ Kd4-e5 6.Kb3-c4 LEd6-e6 7.Df2-c5+ Ke5-e4 8.Dc5-d4+ Ke4-f5
9.Dd4-d7 Kf5-e5 10.Dd7-b5+ Ke5-e4 11.Kc4-c5 Ke4-e5 12.Db5-b8+ Ke5-f5
13.Kc5-d5 LEf6-g5+ 14.Kd5-d4 LEe6-e7 15.Db8-c8+ LEe7-e6 16.Dc8-c2+
Kf5-f6 17.Dc2-f2+ LEe6-f5 18.Df2-h4 Kf6-g6 19.Dh4-h8 LEg5-h5 20.Dh8-
g8+ Kg6-f6 21.Dg8-d8+ Kf6-g6 22.Kd4-e4 LEf5-f7 23.Ke4-f4 LEh5-h6
24.Kf4-e5 LEf7-g7 25.Dd8-d3+ Kg6-f7 26.Ke5-f5 LEh6-e6 27.Kf5-g5 LEe6-
g6+ 28.Kg5-h5 LEg6-f6 29.Dd3-g6+ Kf7-e6 30.Dg6:g7 Ke6-f5 31.Dg7-g5+
Kf5-e6 32.Kh5-g4 LEf6-e7 33.Kg4-f4 LEe7-f8 34.Dg5-h6+ Ke6-e7 35.Dh6-
g7+ Ke7-d6 36.Dg7:f8+ Kd6-d5 37.Df8-f5+ Kd5-c6 38.Df5-a5 Kc6-b7
39.Da5-b5+ Kb7-a8 40.Kf4-e5 Ka8-a7 41.Ke5-d6 Ka7-a8 42.Kd6-c7 Ka8-a7
43.Db5-b7#

Matový postup proti dvěma Leo je trochu náročnější. Z toho, že
je tato koncovka vyhraná vyplývá, že dáma vyhrává i proti
jakékoliv slabší kombinaci čínských kamenů, tedy i Pao + Pao,
Vao + Vao nebo Pao + Vao nebo Leo + Pao atd.

The mating procedure against two leos is a little more difficult.
From the fact that this ending is a win, it follows that a queen
wins against any weaker combination, pao + pao, vao + vao, pao
+ vao, leo + pao, and so on.

 Electronic edition of chess booklets by Václav Kotěšovec, volume 2 

Translated by John Beasley

Published 14.5.2008 on site:

http://web.telecom.cz/vaclav.kotesovec/

(version 1.1, little correction 25.5.2008)