1

JERZY CZ. OSSOWSKI

Politechnika Gda ska

Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem

IV Ogólnopolskie Seminarium Naukowe nt. „Dynamiczne Modele Ekonometryczne”,

Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu,

Toru 9-11 wrzesie 1997

SEZONOWO W MODELACH DYNAMICZNYCH

- PROBLEMY INTERPRETACYJNE

1. Sformułowanie problemu

Załó my, e dysponujemy obserwacjami półrocznymi, kwartalnymi lub miesi cznymi

dotycz cymi zmiennej

y

t

. Umówmy si , i symbolem „

m” oznacza b dziemy liczb sezonów,

natomiast za pomoc

j=1,2,...,m okre lamy numer sezonu. Uznajmy jednocze nie, e numery

obserwacji (

t) przyporz dkowuj numery sezonów (j) według nast puj cej reguły:

t=1,...,m,m+1,...,2m,2m+1,...,3m,3m+1,...,4m,4m+1,...

Oznacza to, i w rozpatrywanej przez nas sytuacji pierwszej obserwacji przyporz dkowany został

sezon pierwszy (pierwsze półrocze, pierwszy kwartał lub pierwszy miesi c).

Rozwa my obecnie dynamiczny model sezonowy z jednookresowym opó nieniem zmiennej

endogenicznej. Dla wi kszej jasno ci rozwa a pomi my w modelu składnik losowy. W zarysowanej

sytuacji model zapisa mo emy nast puj co

====

−−−−

++++

++++

====

m

2

j

jt

j

1

t

t

v

c

by

a

y

(1)

gdzie:

t

1

jt

jt

q

q

v

−−−−

====

≠≠≠≠

====

====

)

m

.

(mod

j

t

gdy

0

)

m

.

(mod

j

t

gdy

1

q

jt

.

Zapis

t=j(mod.m) wskazuje, i dwie liczby okre laj ce numer obserwacji (t) i numer sezonu

(

j) przystaj do siebie w ten sposób, i ich ró nica podzielna jest przez liczb „m” b d c modułem

(por.:Zieli ski Z. (1979), s.121). Mo emy tym samym powiedzie , i zmienna zero-jedynkowa

qjt

przyjmuje warto

jeden w j-tym sezonie oraz zero w pozostałych sezonach.

Obecnie wyłania si problemem zwi zany z interpretacj efektów sezonowych. Zauwa my

bowiem, i bezpo rednia interpretacja tych efektów na podstawie jedynie parametrów

c

j

mo e by

2

myl ca. Efekty te w dowolnym sezonie

j opisane musz by przez efekty z poprzedzaj cych go

sezonów z uwagi na fakt, i w zbiorze zmiennych obja niaj cych wyst puje zmienna endogeniczna

opó niona w czasie. Zmienna ta jest jednocze nie zmienn nieoczyszczon z efektów sezonowych.

2. Rozwi zanie problemu

Model (1) przedstawi mo emy w nast puj cej, równowa nej w sensie numerycznym postaci:

,

v

e

)

y~

y~

(

b

y~

y

1

m

1

j

jt

j

e

o

t

e

t

−−−−

====

++++

−−−−

++++

====

(2)

gdzie:

1

b

1

,

b

1

a

y~

e

−−−−

−−−−

====

(3)

W zarysowanych warunkach

e

jest granic do której zmierza trend (

t

) zmiennej

y

t

, którego

funkcj definiujemy w nast puj cy sposób:

),

y~

y~

(

b

y~

y~

e

o

t

e

t

−−−−

++++

====

(4)

Wyra enie

0

zwane jest warto ci inicjuj c trendu zmiennej

y

t

. Wyznacza ona hipotetyczn

warto ci przyj t przez trend w okresie

t = 0 (por.: Stewart M.B., Wallis K.F (1981), s.53-54). Z

uwagi na sezonowe zmiany zmiennej

y

t

załó my, e parametry

e

j

wskazuj na ró nic pomi dzy

zmienn

yt a jej trendem

t

. Ró nice te nazwa mo emy czystymi efektami sezonowymi. W ka dym

kolejnym roku efekty te przyjm nast puj ce warto ci:

m

m

m

3

3

3

2

2

2

1

1

1

y~

y

e

..........

..........

y~

y

e

y~

y

e

y~

y

e

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

(5)

Wykorzystuj c (5) model (1) zapisa mo emy nast puj co:

====

−−−−

−−−−

++++

++++

++++

====

++++

m

2

j

jt

j

1

j

1

t

j

t

v

c

)

e

y~

(

b

a

)

e

y~

(

(6)

Zauwa my, e gdy

t →

→

→

→ ∞

∞

∞

∞ obserwowa b dziemy jedynie wahania wokół poziomu

e

. Dla

ka dego kolejnego roku granicznego sytuacj t dla poszczególnych kwartałów zapisa mo emy

nast puj co:

m

1

m

e

m

e

3

2

e

3

e

2

1

e

2

e

c

)

e

y~

(

b

a

e

y~

......

..........

..........

..........

..........

c

)

e

y~

(

b

a

e

y~

c

)

e

y~

(

b

a

e

y~

++++

++++

++++

====

++++

++++

++++

++++

====

++++

++++

++++

++++

====

++++

−−−−

(7)

Powy szy układ równa upraszcza si do postaci:

3

1

m

1

m

1

m

m

3

2

3

2

1

2

c

e

b

e

c

e

b

e

...

..........

..........

c

e

b

e

c

e

b

e

++++

⋅⋅⋅⋅

====

++++

⋅⋅⋅⋅

====

++++

⋅⋅⋅⋅

====

++++

⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

(8)

Dysponuj c oszacowaniami parametrów

b i c

j

wyznaczy mo emy - rozwi zuj c powy szy

układ równa - efekty sezonowe

e

j

. Układ równa (8) ma charakter rekurencyjny, w którym warto

e

m

okre lona jest nast puj co:

m

m

1

j

j

j

m

m

b

1

c

b

e

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

====

−−−−

(9)

Jest to zapis ogólny dla sezonowo ci półrocznej, kwartalnej oraz miesi cznej. Zauwa my, e

wprowadzaj c do ostatniego równania warto

e

m

wyznaczamy warto

e

1

charakteryzuj c efekt w

sezonie pierwszym. To z kolei pozwala obliczy

e

2

. Kolejno podstawiaj c warto ci w sposób

rekurencyjny wyznaczymy wszystkie poszukiwane efekty sezonowe. Na podstawie wzoru (9) okre li

mo emy przypadki szczegółowe.

W przypadku sezonowo ci półrocznej (m=2) posta (8) sprowadza si do układu dwu

równa dla którego wyra enie (9) przyjmie nast puj c posta :

2

2

1

2

b

1

c

c

b

e

−−−−

++++

⋅⋅⋅⋅

====

.

(10)

W przypadku sezonowo ci kwartalnej (m=4) posta (8) sprowadza si do układu czterech

równa dla którego wyra enie (9) przyjmie nast puj c posta :

4

4

3

2

2

1

3

4

b

1

c

bc

c

b

c

b

e

−−−−

++++

++++

++++

====

.

(11)

Z kolei

w przypadku sezonowo ci miesi cznej (m=12) posta (8) zawiera b dzie 12 równa

z dwunastu niewiadomymi wielko ciami

e

j

. W układzie tym wyra enie (9) przyjmie nast puj c

posta :

12

12

11

3

9

2

10

1

11

12

b

1

c

bc

...

c

b

c

b

c

b

e

−−−−

++++

++++

++++

++++

++++

====

.

(12)

3. Dynamiczny kwartalny model produkcji sprzedanej przemysłu - przykład

Celem upraktycznienia ostatecznych wniosków rozwa my przykład dotycz cy produkcji

sprzedanej polskiego przemysłu w okresie od III kwartału 1993 roku do I kwartału 1997 roku. Dane

statystyczne zaczerpni to z Poland Quarterly Statistics z lat 1995-1997. Aby utrzyma si w przyj tej

konwencji oznacze uznano, i okresy obserwacji przyjmuj warto ci

t=3,4,...,13,15. Dla porz dku

nale y doda , i w praktyce nie jest to konieczno ci . Wielko ci produkcji sprzedanej przemysłu

mierzono indeksem procentowym przyjmuj c, i przeci tna kwartalna

1994 =100. Wielko ci te

oznaczono symbolem

PSPt. Wyniki oszacowa metod MNK wersji kwartalnej modelu (1)

przedstawiaj si nast puj co:

t

4

)

99

,

6

(

t

3

)

46

,

4

(

t

2

)

95

,

2

(

1

t

)

91

,

33

(

)

48

,

3

(

t

v

51

,

3

v

46

,

2

v

63

,

1

PSP

93

,

0

28

,

10

P

Sˆ

P

++++

++++

−−−−

++++

====

−−−−

(13)

R2 = 0,993, Se = ±±±±1,12%, DW = 2,525, d-h = -0,99,

4

Przedstawione statystyczne charakterystyki modelu potwierdzaj jego ogóln poprawno .

Pozwala nam to z wi kszym zaufaniem odnie si do wniosków dotycz cych ogólnej tendencji i

efektów sezonowych. Zauwa my, e:

%

86

,

146

93

,

0

1

28

,

10

P

Sˆ

P

e

====

−−−−

====

.

Mo emy tym samym powiedzie , e je eli zespół czynników charakterystycznych dla

analizowanych lat nie ulegnie zmianie to produkcja sprzedana przemysłu zmierza b dzie do

146,86%

przeci tnego poziomu z roku 1994. Wykorzystuj c wła ciwo ci zmiennych

v

jt

okre li mo emy oceny

parametrów

c

jt

:

51

,

3

cˆ

46

,

2

cˆ

63

,

1

cˆ

34

,

4

cˆ

4

3

2

1

====

====

−−−−

====

−−−−

====

Wykorzystuj c powy sze oceny na podstawie (8) tworzymy nast puj cy układ równa :

51

,

3

eˆ

93

,

0

eˆ

46

,

2

eˆ

93

,

0

eˆ

63

,

1

eˆ

93

,

0

eˆ

34

,

4

eˆ

93

,

0

eˆ

3

4

2

3

1

2

4

1

++++

====

++++

====

−−−−

====

−−−−

====

Celem rozwi zania powy szego układu równa w pierwszej kolejno ci dokonujemy oceny

parametru

e

4

na podstawie formuły (11), która została zdefiniowana dla sezonowo ci kwartalnej:

56

,

3

93

,

0

1

51

,

3

2

93

,

0

)

63

,

1

(

93

,

0

)

34

,

4

(

93

,

0

eˆ

4

2

3

4

====

−−−−

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

++++

−−−−

====

.

Wykorzystuj c wła ciwo ci rekurencyjne rozpatrywanego układu równa otrzymujemy

pozostałe warto ci efektów sezonowych:

05

,

0

eˆ

59

,

2

eˆ

03

,

1

eˆ

3

2

1

====

−−−−

====

−−−−

====

Oznacza to, e odchylenia od trendu produkcji sprzedanej przemysłu - mierzonego w

procentach przeci tnego poziomu z roku 1994, a wyznaczonego przez model (13) - wynosz

odpowiednio:

w ka dym I kwartale

(-)1,03%,

w ka dym II kwartale

(-)2,59%,

w ka dym III kwartale

(+)0,05%,

w ka dym IV kwartale

(+)3,56%.

Oczywi cie w skali rocznej suma wszystkich ocenionych efektów sezonowych jest w

przybli eniu równa zero.

Nale y s dzi , e zaproponowane tutaj rozwi zania dotycz ce wyznaczania sezonowo ci na

podstawie modeli dynamicznych pozwol wzbogaci stron interpretacyjn tego rodzaju modeli.

5

Literatura

Poland Quarterly Statistics z lat 1995-1997, GUS, Warszawa.

Stewart M.B., Wallis K.F, (1981), Introductory Econometrics, Basil Blackwel, Oxford.

Strzała K., (1994), Ekonometria inaczej, Wydawnictwo UG, Gda sk.

Tu P.N.V., (1992), Dynamical systems, Springer-Verlag , Berlin -Heidelberg.

Zieli ski Z., (1979), Metody analizy dynamiki i rytmiczno ci zjawisk gospodarczych, PWN,

Warszawa.