background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

 

MPiS30 W12: WERYFIKACJA HIPOTEZ 

NIEPARAMETRYCZNYCH  

1.  Testy nieparametryczne  
2.  Dystrybuanta empiryczna i jej własności 
3.  Testy zgodności  
4.  Test zgodności chi-kwadrat Pearsona 

Przykład 1 
Przykład 2 

5.  Test zgodności Kołmogorowa 
6.  Test niezależności chi-kwadrat  

Przykład 3  

7.  Test losowości próby 
8.  Test na zrozumienie wykładu 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

1. Testy nieparametryczne  

Testy  nieparametryczne  dotyczą  różnorodnych  właściwości 

prób losowych.  Zakładając,  że hipoteza  zerowa jest prawdziwa 
rozkład statystyki nie zależy od postaci rozkładu badanych cech. 
W  konsekwencji  testy  te  nie  wymagają  tak  silnych  założeń  jak 
testy parametryczne, np. o normalności rozkładu badanej cechy.  
Ze względu na zakres zastosowań testy te dzielimy na grupy:  

1)  testy zgodności rozkładu empirycznego z teoretycznym,  

2)  testy zgodności dwóch lub więcej rozkładów emp.,  
3)  testy niezależności,  
4)  testy jednorodności rozkładów cech,  
5)  testy losowości próby, 
6)  testy stosowane w analizie regresji.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

2. Dystrybuanta empiryczna i jej własności  

Niech X 

 (X

1

,…, X

n

) będzie n-elementową prostą próbą losową. 

Dystrybuantą empiryczną nazywamy funkcję  

F

n

R



[0, 1],  

która dla x

R oraz X



 (

 oznacza przestrzeń prób) jest okre-

ślona wzorem: 

}

:

}

,...,

2

,

1

{

1

)

;

(

x

X

n

k

n

x

F

k

n

X

 

gdzie funkcja zbioru 

A

 zlicza elementy zbioru A. 

Dla  każdej  ustalonej  wartości  próby  x 

  (x

1

,…,  x

n

)  funkcja 

F

n

(

;  x)  jest  dystrybuantą  schodkową,  mającą  skoki  wielkości 

1/n w punktach x

1

,…, x

n

.  

Dla każdego ustalonego x

R funkcja F

n

(xX) jest zm. l. 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

Twierdzenie (o lokalnych własnościach dystrybuanty F

n

).  

Jeżeli F

n

 jest dystrybuantą empiryczną z n-elementowej pró-

by X pobranej z rozkładu o dystrybuancie F, to dla x

R:  

a)  nF

n

(xX) jest zm. l. o rozkładzie bin(nF(x)); 

b)  P(lim

n



F

n

(xX

 F(x)) 

 1;  

c)  Ciąg zm. l. {F

n

(xX)} jest asymptotycznie normalny  

N(F(x), (F(x)(1

F(x))/n)

1/2

).  

Dowód. Teza a) jest oczywista, teza b) jest bezpośrednim wnio-
skiem z prawa wielkich liczb, teza c) jest wnioskiem z CTG.  

 
 

 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

3. Testy zgodności  

Testy  zgodności  (goodness-of-fit  tests)  służą  do  weryfikacji 

hipotez orzekających o postaci rozkładu badanej cechy (lub kil-
ku cech) w populacji.   

Rozkład hipotetyczny zwykle jest określony za pomocą dys-

trybuanty F

0

(x) lub symbolicznego oznaczenia rozkładu.  

Weryfikowana jest hipoteza zerowa  

H

0

F

X

(x



 F

0

(x



); 

przeciw hipotezie alternatywnej  

H

1

F

X

(x



 F

0

(x



);  

 jest parametrem, którego wartość też może być weryfikowana.  

Stosując  symboliczne  oznaczenia  rozkładów  „SYMBOL(

)” 

hipotezę zerową zapisujemy H

0

XSYMBOL(

).  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

Hipoteza alternatywna jest zaprzeczeniem hipotezy zerowej.  

Przykłady hipotez zerowych:  

~ N(m

), gdzie 

 są pewnymi, nie interesującymi nas 

parametrami,   

~ N(m

0

), gdzie m

0

 jest ustaloną wartością oczekiwaną, a 

 nie interesującym nas parametrem,   

Do podstawowych testów zgodności należą:  
a)  test zgodności chi-kwadrat Pearsona, 

b)  test zgodności 

 Kołmogorowa,  

c)  test zgodności Kołmogorowa-Smirnowa, 

d)  test znaków, 

e)  test Smirnowa zgodności trzech rozkładów empirycznych.  

 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

4. Test zgodności chi-kwadrat Pearsona 

Test  zgodności  chi-kwadrat  oparty  jest  na  szeregu  rozdziel-

czym i przeprowadza się go tylko dla dużej próby prostej. 

Próba prosta X pochodzi z populacji X o nieznanym rozkła-

dzie ciągłym lub skokowym. Zasady podziału próby na klas są 
typowe.  

A. W przypadku cechy ciągłej oś liczbową dzielimy punkta-

mi g

i

 1, 2,…, 

1 na rozłączne przedziały 

i

 

Otrzymujemy w ten sposób k przedziałów,  

 (



g

1

], 

 (g

1

g

2

],…, 

k 

 (g

k

1

).  

Przez  N

i

  oznaczamy  liczbę  obserwacji  w  przedziale 

i

  (li-

czebność empiryczna). Liczebność próby spełnia warunek  

 N

 N

 N

k

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

Utworzonym  przedziałom  klasowym  odpowiadają  liczebno-

ści teoretyczne np

i

,  gdzie  p

i

 

  P(X



i

  F(g

i

  F(g

i

1

),  i  =  1, 

2,..., k oraz F(g

0

 0, F(g

k

 1.  

Statystykę  

k

i

i

i

i

np

np

N

1

2

2

  

nazywamy statystyką 

Pearsona

1

. Dla efektywnego obliczenia 

prawd.  p

i

  należy  znać  wszystkie  parametry  dystrybuanty  teore-

                                                           

1

 

 

Karl Pearson (1857 – 1936) 

 matematyk, filozof i biolog angielski. Jeden z twórców współ-

czesnej statystyki.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

tycznej. Jeżeli parametry nie są znane, to estymujemy je metodą 
największej wiarygodności.  
Twierdzenie  o  rozkładzie  statystyki 

Pearsona.  Jeżeli  nie-

znane  parametry  dystrybuanty  F  są  oszacowane  metodą  naj-
większej wiarygodności, to dystrybuanta statystyki 

Pearsona 

jest  zbieżna,  dla  n



,  do  dystrybuanty  rozkładu  chis(k

r

1), 

gdzie  r  jest  liczbą  estymowanych  parametrów  rozkładu  teore-
tycznego.  

Gdy liczebności teoretyczne dla pewnych klas są mniejsze od 

liczby  5,  to  należy  je  połączyć  z  sąsiednimi  klasami,  tak  aby 
sumaryczne  liczebności  nowych  klas  wynosiły  co  najmniej  5. 
Dla  klas  ze  środka  szeregu  rozdzielczego  łączenie  następuje 
z klasą, która jest bliższa skrajnej.  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

10 

W  wyniku  łączenia  klas  nastąpi  zmniejszenie  ich  liczby,  co 

spowoduje zmniejszenie liczby stopni swobody 

 

 k

r

1, więc 

może się zdarzyć, że 

 

  1  i  braknie  stopni  swobody.  W  takiej 

sytuacji  zwiększamy  liczebność  próby  lub  zwiększamy  liczbę 
klas przed ich łączeniem.  

Obszar krytyczny: R

 

 (

2

1



k

r

1

), gdzie 

2

1



k

r

1

 jest 

kwantylem rzędu 1



 rozkładu chis(k

r

1).  

Przykład  1. W celu zbadania  rozkładu długości  X  produkowa-
nego  parkietu,  została  pobrana  próba  losowa  o  liczebności  n  
150  klepek.  Dokonano  pomiaru  ich  długości. Wyniki w mm  są 
zebrane w postaci szeregu rozdzielczego:   

Przedział i 

Liczebność N

(



, 249,20] 

11  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

11 

(249,200; 249,600] 

22 

(249,600; 250,000) 

44 

(250,000; 250,400] 

38 

(250,400; 250,800] 

26 

(250,800; 

 

 

 150 

Zweryfikować hipotezy dotyczące zgodności rozkładu długości 
parkietu z rozkładami: a) N(249,9; 0,5) [mm],  b) N(m

).  

Rozwiązanie.  a)  Sprawdzana  jest  hipoteza  o  normalności  roz-
kładu długości klepek ze znanymi parametrami, tj.  

H

0

N(249,9; 0,5). 

Przyjmujemy, że hipoteza  H

0

  jest  prawdziwa  i  wyznaczamy 

liczebności teoretyczne:  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

12 

p

1  

 P(

 249,2) 

 

(

1,4) 

 0,08076, 

p

2  

 P(249,2 < 

 249,6) 

 

(

0,6) 

 

(

1,4)  

 0,2743 

0,08076 

 0,19354, itd. 

 

 

i  Przedział w [mm] 

N

np

i

 

Chi-kwadrat 

(



, 249,20] 

11  

12,1135 

0,10 

2  (249,200; 249,600]  22 

29,0245 

1,70 

3  (249,600; 250,000)  44 

45,7510 

0,07 

4  (250,000; 250,400]  38 

39,3128 

0,04 

5  (250,400; 250,800]  26 

18,4087 

3,13 

(250,800; 

5,3895 

2,42 

 

 

150  150,0000 

7,46 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

13 

Rozważany szereg rozdzielczy ma sześć klas (= 6) spełnia wa-
runki poprawnego stosowania testu chi-kwadrat. Parametry roz-
kładu są znane, więc statystyka testowa ma rozkład chi-kwadrat 
z 5. stopniami swobody.  

Wartość  statystyki  testowej  wynosi 

0

2

 

  7,46.  Obszar  kry-

tyczny R

0,95 

= (11,1; 

). 

Decyzja: Ponieważ statystyka testowa nie należy do obszaru 

krytycznego,  więc  nie  mamy  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy, 
że rozkład długości klepek parkietowych jest normalny z poda-
nymi parametrami, tj. ~ N(249,9; 0,5)[mm].  

 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

14 

b)  Weryfikowana  jest  hipoteza  H

0

:  X  ~  N(m

)  z  nieznanymi 

parametrami  m  i 

.  Obydwa  parametry  estymujemy  z  próby. 

Oceny tych parametrów wynoszą:  

984

249

ˆ

,

m

n

x

55287

,

0

ˆ

n

s

.  

 

Statystyka  testowa 

~  chis(

  3),  gdzie  k  jest  liczbą  klas, 

po połączeniu tych, których liczebności teoretyczne są mniejsze 
od liczby 5. Statystykę tą należy obliczyć jak w podpunkcie a) z 
uwzględnieniem oszacowanych parametrów.  

Podejmując decyzję o normalności rozkładu długości klepek 

parkietowych,  sprawdzamy  czy  statystyka  ta  należy  do  obszary 
R

0,95 

= (7,81; 

).  

 
 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

15 

B. Test zgodności dla cechy skategoryzowanej  

Szczególnym przypadkiem testu zgodności jest test dla roz-

kładu wielomianowego. Rozkład wielomianowy jest uogólnie-
niem rozkładu dwumianowego.  

W przypadku wielomianowym mamy > 2 możliwych kate-

gorii danych E

1

,…, E

k

. Punkt danych należy tylko do jednej z 

kategorii i prawdop., że punkt ten należy do i-tej kategorii (gdzie 

 1,…, k) jest stałe i równe p

i

. Oczywiście, p

 p

 1.  

Bezpośrednie  stosowanie  rozkładu  wielomianowego  jest 

trudne i rozkład chi-kwadrat jest bardzo dobrą alternatywą, gdy 
liczebność próby jest dostatecznie duża.  

Hipoteza zerowa ma postać: H

0

: P(E

i

 p

i

, dla 

 1,…, k.  

Hipoteza alternatywna jest zaprzeczeniem hipotezy zerowej.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

16 

Do  sprawdzenia  hipotezy  zerowej  korzystamy  ze  statystyki 

chi-kwadrat z k

1 stopniami swobody.  

Rozkład  chi-kwadrat  stosujemy  wówczas,  gdy  liczebność 

teoretyczna w każdej klasie jest równa co najmniej 5.  

Przykład  2.  180  studentów  jest  podzielonych  na  6  równych 
grup ćwiczeniowych. Na wykładzie ze statystyki matematycznej 
w  dniu  6.11.2011  obecnych  było  10-ciu  studentów  z  grupy  1, 
11-tu  studentów  z  grupy  2,  17-tu  studentów  z  grupy  3,  20-tu 
studentów  z  grupy  4,  1  student  z  grupy  5  i 16-tu  studentów  z 
grupy 6.  

Czy rozkład liczby studentów obecnych na wykładzie można 

uznać za równomierny w grupach ?  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

17 

Rozwiązanie. Niech p

i

 dla 

 1,…,6 oznacza prawdop. zdarze-

nia, że losowo wybrany student obecny na wykładzie jest przy-
pisany do i

tej grupy ćwiczeniowej. Hipoteza zerowa ma postać  

H

0

p

 p

6

 

 1/6. 

Hipoteza alt. orzeka zróżnicowane zainteresowanie wykładem w 
poszczególnych grupach.  

Aby obliczyć statystykę chi-kwadrat, musimy znaleźć liczeb-

ności teoretyczne dla wszystkich sześciu grup.  

Obliczenia są zestawione w tablicy  

 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

18 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
Wyznaczamy obszar krytyczny R

 

 (

2

1



k

1

).  

Z tablic odczytujemy 

2

0,95, 5 

 11,1.  

Ponieważ 

2

 18,36 

 (11,1; 

), więc odrzucamy hipotezę ze-

rową o jednakowym zainteresowaniu wykładem w grupach.  

 

numer  

grupy 

liczebność 

empiryczna 

liczebność 

teoretyczna 

chi-kwadrat 

10 

12,5 

0,5 

11 

12,5 

0,18 

17 

12,5 

1,62 

20 

12,5 

4,5 

12,5 

10,58 

16 

12,5 

0,98 

 

75 

75 

18,36 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

19 

5. Test zgodności Kołmogorowa  

 

Test zgodności 

 Kołmogorowa można stosować dla dużych 

prób  X,  ale  tylko  dla  populacji  X  o  rozkładzie  absolutnie  cią-
głym. Istotę testu nie stanowi porównanie liczebności empirycz-
nych  z  teoretycznymi,  jak  to  było  w  teście  Pearsona,  lecz 
wprost  porównanie  wartości  dystrybuanty  empirycznej  i  teore-
tycznej.  Statystyka  testowa 

  Kołmogorowa  mierzy  odległość 

dystrybuanty emp. F

n

(x;X) od dystrybuanty teoretycznej F(x), tj.  

)

(

)

;

(

sup

x

F

x

F

n

n

x

X

R

.  

 

Aby wyznaczyć statystykę 

 Kołmogorowa trzeba znać dane 

szczegółowe. Rozkład graniczny statystyki 

 nazywamy rozkła-

dem Kołmogorowa. Jest on stablicowany.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

20 

6. Test niezależności chi-kwadrat 

Populacja generalna jest badana ze względu na dwie cechy Y
niekoniecznie mierzalne. Sprawdzamy hipotezę zerową  

H

0

Y są niezależne,  

tj., że dla każdego x i y 

 RF

XY

(xy

 F

X

(xF

Y

(y), przeciw hi-

potezie H

1

F

XY

(xy

 F

X

(xF

Y

(y

Dużą  próbę  o  liczebności  n  (zwykle  n

100)  dzielimy  ze 

względu na cechę na r klas, a ze względu na cechę Y na klas. 
W  ten  sposób  wszystkie  elementy  z  próby  dzielimy  na  rs  klas 
otrzymując tak zwaną tablicę wielodzielczą. Hipotezę H

0

 łatwiej 

jest  sprawdzać  w  postaci:  p

ij

 

  p

i

  p

j

,  gdzie  i

{1,…,  r}, 

j

{1,…, s}.   

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

21 

Niech n

ij

 oznacza liczbę elementów, które ze względu na ce-

chę X znajdą się w i-tej klasie, a ze względu na cechę Y są w j-
tej klasie. Określamy liczebności brzegowe  

n

i

 

 N

i

 N

i

 N

is

,        n

j 

 N

1j 

 N

2j 

 N

rj 

 

Z liczebności brzegowych szacujemy prawdop. brzegowe  

p

i

 n

i

/n,   p

j

 n

j

/n.  

Przy założeniu niezależności cech Y, obliczamy prawdop. hi-
potetyczne p

ij 

 p

i

 p

j

.  

Następnie konstruujemy statystykę  

(*) 



r

i

s

j

ij

ij

ij

np

np

n

1

1

2

2

)

(

.  

Statystyka (*) ma rozkład podany w tw. Pearsona (1916).  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

22 

Twierdzenie o rozkładzie statystyki 

2

. Dystrybuanta statysty-

ki 

2

 określonej wzorem (*), jest zbieżna dla n



 do dystrybu-

anty rozkładu chi-kwadrat o (r

1)(s

1) stopniach swobody.  

Obszar krytyczny: R

 

 (

2

1



;(r

1)(s

1)

).   

Założenia testu: 

 100, wszystkie np

ij 

 8.  

Jeżeli liczebności n

ij 

< 8, to łączymy dwie klasy w jedną.  

Jeżeli 

 

 2, to tablicę [n

ij

] nazywamy tablicą czteropolo-

wą  i  statystyka 

2

  ma  jeden  stopień  swobody.  W  takich  przy-

padkach  zalecane  jest  „skorygowanie”  wartości  statystyki  tak, 
aby  jej  rozkład  dyskretny  był  lepiej  przybliżony  przez  ciągły 
rozkład chi-kwadrat.  

Korekta ta, zwana poprawką Yatesa, polega na odjęciu liczby 

½  od  modułu  różnicy  liczebności  zaobserwowanych  i  hipote-
tycznych przed podniesieniem tej różnicy do kwadratu.   

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

23 

Przykład 3. Wybrano losowo próbę 100 firm i dla każdej z nich 
zanotowano czy miała zysk, czy straty oraz czy należy do sekto-
ra usług, czy nie. Dane podsumowane w postaci tablicy 2

2 są 

przedstawione w tablicy 1.   

Tablica 1.  

Zysk/strata 

Rodzaj działalności 

Suma 

usługi 

inne 

Zysk 

Strata 

42 
  6 

18 
34 

  60 
  40 

Suma 

48 

52 

100 

Zbadać, czy obydwa zdarzenia „firma przyniosła zysk” i „firma 
działa w sektorze usług” są niezależne.  
 

 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

24 

Rozwiązanie. Wyznaczamy liczebności hipotetyczne  
np

11 

 np

1

 

p

(N

1

/n)( N

1

/n

 N

1

 N

1

/

 60

48/100 

 28,8;  

np

12

 

 N

1

 N

2

/n 

 60

52/100 

 31,2;  

np

21 

 N

2

 N

1

/n 

 40

48 /100 

 19,2;  

np

22 

 N

2

 N

2

/n 

 40 

52/100 

 20,8 

i zestawiamy je w tablicę  

 

Usługi    Inne    

Zysk 

28,8 

(42) 

31,2 

(18) 

Strata 

19,2 

(6) 

20,8 

(34) 

Obliczamy statystykę chi-kwadrat z poprawką Yatesa.   

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

25 



r

i

s

j

ij

ij

ij

np

np

N

1

1

2

2

5

,

0

 

 skorygowana na ciągłość 

statystyka chi-kwadrat,  

92

,

26

8

,

20

)

5

,

0

2

,

13

(

2

,

19

)

5

,

0

2

,

13

(

2

,

31

)

5

,

0

2

,

13

(

8

,

28

)

5

,

0

2

,

13

(

2

2

2

2

2
0

 

Obszar krytyczny dla 

 

 0,01,  R

0,01

 

 (

2

0,99; 1

).  

Kwantyl rozkładu chi-kwadrat 

2

0,99;1

 

 6,63.  

Wniosek: Obliczona wartość statystyki 26,92 jest o wiele więk-
sza  od  wartości  krytycznej  6,63,  więc  odrzucamy  hipotezę  ze-
rową i wnioskujemy, że dwie badane cechy, zysk/strata oraz typ 
działalności firmy, nie są niezależne.  
 

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

26 

7. Test losowości próby  

Losowość próby odgrywa kluczową rolę we wnioskowaniu sta-
tystycznym.  Najczęściej  stosowanymi  testami  losowości  próby 
są testy oparte na liczbie serii.  Serią nazywamy każdy podciąg 
ciągu elementów a i b o takiej własności, że wszystkie kolejne 
elementy podciągu są tego samego typu.  
Założenia:  1) badana cecha ma dowolny rozkład, 
 

 

 

 

2) pobrano n-elementową próbę x

1

,…, x

n

Hipotezy:   H

0

: próba ma charakter losowy, 

 

 

 

 

H

1

: kolejne wartości próby są zależne. 

Statystyka: k 

 liczba serii w ciągu elementów ab

gdzie a – zdarzenie x

me– zdarzenie x

me,  

me = mediana empiryczna.  

Obszar krytyczny: Ustalony z tablicy wartości krytycznych.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

27 

8. Test na zrozumienie wykładu 

1.  Zaplanować  doświadczenie  do  zbadania  symetryczności  mo-
nety. Powiedzmy, że w 100 rzutach monetą otrzymano  

a) 55 orłów,   b) 65 orłów. 

Co możemy powiedzieć o symetryczności monety na poziomie 
istotności 0,05 ?    Odp.: a) 

2

1; b) 

2

 9; 

2

0,95; 1 

 3,8415.  

2. Do każdej z 20 tarcz oddano po 5 niezależnych strzałów i za-
notowano liczbę trafień. Wyniki strzelania podane są w tabeli:  

Liczba trafień 

0  1  2  3  4  5 

Liczba tarcz 

1  2  3  10  3  1 

Na  poziomie  istotności  0,1  zweryfikować  hipotezę  orzekającą, 
że liczba trafień do tarczy ma rozkład dwumianowy.  

background image

 

Karol J. Andrzejczak, MPiS30 W12: Weryfikacja hipotez nieparametrycznych 

 

28 

Odp.:  Łączymy  klasy  i  szacujemy  parametr  p

55

,

0

n

p

.  Od-

rzucamy hipotezę zerową.  

3. Dane z próby zostały pogrupowane w tabeli:  

Przedział  Liczba wyników 

(−

, −1) 

[−1, 1] 

(1, 

11 
76 
13 

Na poziomie istotności 



0,05 zweryfikować hipotezy: 

a)  dane pochodzą z rozkładu N(1, 

); 

b)  dane pochodzą z rozkładu N(m

), 

c)  dane pochodzą z rozkładu N(0, 1). 

4. Zaprojektować badanie niezależności preferencji kolorów aut 
od płci kierowcy.