Zabawna matematyka
Autor poczytnej rubryki  Gry matematyczne ,
która ukazywa"a si´ w Scientific American w latach 1956 1981,
podsumowuje to çwierçwiecze odkryç zabawnych i ca"kiem powaÅ»nych
Martin Gardner
 Zabawa jest jednÄ… z dziedzin i  od czasu do czasu  zaskakujÄ…-
matematyki stosowanej cymi rozwiÄ…zaniami. Obejmuje ona
William F. White, paradoksy logiczne, pomys"owe gry,
A Scrapbook wprowadzajÄ…ce w konsternacj´ ma-
of Elementary Mathematics giczne sztuczki, a takŻe dziwaczne
obiekty topologiczne, jak wst´gi
Möbiusa i butelki Kleina. Tak na-
oje  Gry matematyczne prawd´ niemal kaÅ»da dziedzina ma-
zainaugurowa"em w gru- tematyki prostsza od rachunku róŻ-
Mdniowym numerze Scien- niczkowego zawiera tematyk´, którÄ…
tific American z 1956 roku artyku"em moÅ»na uznaç za rekreacyjnÄ…. (Kilka
o heksafleksagonach. Te zadziwiają- zabawnych przyk"adów przedsta-
ce struktury, utworzone ze zwyk"ej wiam na stronie obok.)
papierowej taĘmy poprzez odpo-
wiednie jej z"oŻenie w szeĘciokąt, Kó"ko i krzyŻyk w klasie
a nast´pnie sklejenie koÅ‚
ców, moŻ-
na wielokrotnie wywracaç na dru- Mathematics Teacher, miesi´cznik
gÄ… stron´, ods"aniajÄ…c jednÄ… lub wi´- wydawany przez National Council
cej ukrytych powierzchni. Heksa- of Teachers of Mathematics (Krajo-
MARTIN GARDNER w swoim domu w Henderson-
fleksagony zosta"y wymyĘlone w wÄ… Rad´ Nauczycieli Matematyki),
ville (Karolina Pó"nocna) ciÄ…gle zajmuje si´ matema-
1939 roku przez grup´ doktorantów tycznymi zagadkami. 83-letni pisarz pozuje do zdj´cia cz´sto publikuje artyku"y o charak-
z butelkÄ… Kleina, przedmiotem o jednej powierzchni: ze-
z Princeton University; wĘród nich terze rozrywkowym. Niemniej jed-
wn´trzna powierzchnia butelki p"ynnie przechodzi
by" Richard Feynman  jeden z naj- nak wi´kszoĘç nauczycieli regular-
w wewn´trznÄ….
s"ynniejszych fizyków teoretyków nie ignoruje te materia"y. Moim
XX wieku. Manipulowanie heksa- najwi´kszym osiÄ…gni´ciem w ciÄ…gu
fleksgonami daje duŻo radoĘci, ale  co matematyków. Jest wĘród nich Ian Ste- 40 lat dzia"alnoĘci by"o przekonanie dy-
waÅ»niejsze  ukazuje zwiÄ…zek pomi´- wart, obecny autor REKREACJI MATE- daktyków, Å»e matematyka rekreacyjna
dzy zabawnymi "amig"ówkami a  po- MATYCZNYCH w Scientific American; powinna zostaç w"Ä…czona do standardo-
waŻną matematyką. John H. Conway z Princeton University; wego programu nauczania. NaleŻy ją
Gdy w 1956 roku rozpoczyna"em Richard K. Guy z University of Calgary systematycznie wprowadzaç jako spo-
wspó"prac´ z Scientific American, niewie- oraz Elwyn R. Berlekamp z University sób na zainteresowanie m"odych ludzi
le by"o ksiÄ…Å»ek poĘwi´conych matema- of California w Berkeley. Artyku"y na cudami matematyki. Jak dotÄ…d jednak
tyce rekreacyjnej. Klasyczne dzie"o w tej temat matematyki rozrywkowej coraz dzia"ania w tym kierunku przypomina-
dziedzinie  Mathematical Recreations and cz´Ä˜ciej pojawiajÄ… si´ równieÅ» w czaso- jÄ… ruch lodowca.
Essays napisane w 1892 roku przez wy- pismach matematycznych. Od 1968 ro- Cz´sto opowiada"em historyjk´, któ-
bitnego matematyka angielskiego W. ku zaczÄ…" si´ nawet ukazywaç kwartal- ra znakomicie ilustruje ten problem.
W. Rouse a Balla  dost´pne by"o w wer- nik Journal of Recreational Mathematics. Pewnego razu na zaj´ciach z matema-
sji uwspó"czeĘnionej przez innÄ… legen- Granica pomi´dzy matematykÄ… roz- tyki w szkole Ęredniej, po rozwiÄ…zaniu
darnÄ… postaç  kanadyjskiego geometr´ rywkowÄ… a powaÅ»nÄ… jest bardzo nie- przydzielonych zadaÅ‚
, wyjÄ…"em czystÄ…
H. S. M. Coxetera. W Dover Publications ostra. Wielu profesjonalnych matema- kartk´ papieru i próbowa"em rozwiÄ…-
dokonano przek"adu z francuskiego La tyków traktuje swojÄ… prac´ jako form´ zaç intrygujÄ…cy mnie problem: czy ist-
Mathématique des Jeux (Rozrywki mate- zabawy, podobnie post´pujÄ… zawodo- nieje prosta strategia pozwalajÄ…ca za-
matyczne) pióra belgijskiego specjalisty wi gracze w golfa i gwiazdy koszyków- wsze wygrywaç temu, kto rozpoczyna
w dziedzinie teorii liczb Maurice a Krait- ki. Ogólnie rzecz biorÄ…c, matematyka gr´ w kó"ko i krzyÅ»yk. Gdy nauczyciel-
chika. Oprócz tego by"o jeszcze kilka moÅ»e byç uznana za rozrywk´, gdy ma ka zobaczy"a, Å»e coĘ skrobi´, wyrwa"a
zbiorów "amig"ówek i tyle. w sobie pierwiastek zabawy, zrozumia- mi kartk´ i rzek"a:  Panie Gardner, sko-
Od tamtego czasu pojawi"a si´ lawi- "y i doceniany przez niematematyków. ro jest Pan na mojej lekcji, spodziewam
na ksiÄ…Å»ek z tej dziedziny, a wiele z nich Matematyka rekreacyjna dotyczy ele- si´, Å»e zajmuje si´ Pan matematykÄ… i ni-
zosta"o napisanych przez wybitnych mentarnych problemów z eleganckimi czym innym.
56 ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998
DONNA BISE
Gamma Liaison
Cztery zagadki Martina Gardnera
(RozwiÄ…zanie na stronie 63)
1 2
1
1 1
3 3 3
? ?
an Jones, znany szuler, k"adzie na stole trzy zakryte karty. to osobliwy przyk"ad kwadratu magicznego. Weę w kó"ecz-
PSÄ… to as i dwie figury. Wskazujesz jednÄ… z kart, idÄ…c o za- Oko jednÄ… z liczb, a nast´pnie wykreĘl wszystkie w wierszu i
k"ad, Że to w"aĘnie as. Prawdopodobieł
stwo, Å»e wskaÅ»esz w"a- kolumnie, w których si´ ona znajduje. SpoĘród nieskreĘlonych
Ęciwie, wynosi oczywiĘcie 1/3. Jones ukradkiem podglÄ…da wszyst- wybierz kolejnÄ… liczb´, obwiedÄ™ jÄ… kó"eczkiem i znów wykreĘl od-
kie trzy karty. PoniewaÅ» wĘród nich jest tylko jeden as, powiedni rzÄ…d i kolumn´. Post´puj tak dopóty, dopóki w kó"ecz-
przynajmniej jedna z kart niewskazanych jest damÄ… lub królem. kach nie znajdzie si´ szeĘç liczb. OczywiĘcie kaÅ»da z liczb zosta-
Jones ją odwraca. Jakie jest teraz prawdopodobieł
stwo, Że "a wybrana losowo. NiezaleŻnie jednak, które wybra"eĘ, zawsze
twój palec wskazuje asa? dadzą ten sam wynik. Co to za suma? I na czym ten trik polega?
3 4
1 2 34 5 6

7 8 9 10
TASOWANIE
DOK¸ADNE
11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31 32
TASOWANIE
33 34 35 36 37 38 39
NIEJEDNORODNE
40 41 42 43 44 45 46
47 48 49 50
owyÅ»ej wydrukowane sÄ… trzy wersety z Ksi´gi Rodzaju ewien magik przygotowuje tali´ kart w taki sposób, Å»e czar-
Pz Biblii Króla Jakuba. Wybierz dowolne 10 s"ów pierwszego Pne i czerwone wyst´pujÄ… na przemian. Nast´pnie dzieli tali´
wersetu:  In the beginning God created the haven and the earth . na dwie mniej wi´cej równe cz´Ä˜ci, tak aby na spodzie obydwu
Policz litery w wybranym s"owie i oznacz ich liczb´ jako x. Nast´p- pakietów by"y karty róŻnego koloru. Teraz pozwala ci przetaso-
nie przejdÄ™ do s"owa, które jest o x s"ów dalej od wybranego (Je- waç karty z obu kupek w sposób pokazany na rysunku  tak do-
Ęli na przyk"ad wybra"eĘ  in , to idę do s"owa  beginning ). Teraz k"adnie lub tak niedbale, jak sobie Życzysz. Gdy to zrobisz, zdej-
policz litery w nowym s"owie  liczb´ nazwij n  i przeskocz n s"ów. muje dwie pierwsze karty z wierzchu talii. B´dÄ… to karta czerwona
Kontynuuj to post´powanie aÅ» do momentu, gdy "aÅ‚
cuch s"ów i czarna (porzÄ…dek niewaÅ»ny). Nast´pne dwie sÄ… znów róŻnych
wejdzie w trzeci werset Ksi´gi Rodzaju. kolorów. W rzeczywistoĘci kaÅ»da kolejna para b´dzie zawiera"a
Na jakim s"owie koł
czy si´ twoja wyliczanka? Czy odpowiedÄ™ karty róŻnych kolorów. Jak magik to robi? Dlaczego nie moÅ»na
jest przypadkowa, czy teÅ» jest cz´Ä˜ciÄ… Boskiego planu? tak potasowaç talii, aby u"oÅ»enie kart by"o przypadkowe?
ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998 57
IAN WOORPOLE
a b e
2
1
" 3
c d
REP-TILES NISKIEGO RZóDU po"Ä…czone razem tworzÄ… wi´k-
sze kopie samych siebie. Równoramienny trójkąt prostokątny
(a) jest figurÄ… samopowtarzalnÄ… rz´du 2: dwa takie trójkÄ…ty two-
rzÄ… wi´kszy trójkÄ…t tego samego kszta"tu. TrójkÄ…t rz´du 3 (b) ma
kąty 30, 60 i 90 stopni. WĘród figur samopowtarzalnych znajdu-
jÄ… si´ trapez (c) i szeĘciokÄ…t (d)  oba rz´du 4. Jedynym znanym
samopowtarzalnym pi´ciokÄ…tem jest sfinks rz´du 4 (e).
Problem strategii gry w kó"ko i krzy- otrzymanego wyniku przez 11. I znów caby, nie pomijając Żadnego z pól. Bada-
Å»yk by"by dla uczniów znakomitym çwi- nie b´dzie reszty. Wreszcie kaÅ»cie im po- nia nad poliminem wkrótce doprowa-
czeniem. To doskona"y sposób wprowa- dzieliç rezultat przez 7. Czary-mary  dzi"y do rozkwitu ca"ej dziedziny mate-
dzenia m"odych ludzi w kombinatoryk´, i na kalkulatorze znów pojawi si´ wyj- matyki rozrywkowej. Arthur C. Clarke,
teori´ gier, rachunek prawdopodobieÅ‚
- Ęciowa liczba ABC. Tajemnica tej sztucz- autor powieĘci science fiction, wyzna",
stwa i zagadnienia dotyczÄ…ce symetrii. ki jest bardzo prosta: ABCABC = ABC Å»e sta" si´  na"ogowcem pentomino ,
Ponadto stanowi element uczniowskie- 1001= ABC 7 11 13. (KaÅ»da gdy tylko zaczÄ…" si´ bawiç tymi zwod-
go doĘwiadczenia; któŻ, b´dÄ…c dziec- z liczb ca"kowitych, a wi´c i 1001, roz- niczo prostymi figurami.
kiem, nie gra" w kó"ko i krzyÅ»yk? Mimo k"ada si´ jednoznacznie na iloczyn liczb Golomb zwróci" mojÄ… uwag´ na ro-
to znam niewielu nauczycieli matema- pierwszych.) Nie znam lepszego wpro- dzin´ figur, które sam nazwa"  rep-
tyki, którzy tego typu zabawy w"ączyli wadzenia do teorii liczb i w"asnoĘci liczb -tiles (gra s"ów; pisane oddzielnie zna-
do programu swoich zaj´ç. pierwszych niÅ» zadanie uczniom wyja- czy  powtarzalne kawa"ki , a razem
Wed"ug poradnika dla nauczycieli Ęnienia tej sztuczki.  gady  przyp. red.). Są to identyczne
matematyki z 1997 roku ostatnie tren- wielokÄ…ty wype"niajÄ…ce formy b´dÄ…ce
dy w nauczaniu matematyki nazywa si´ Polimina i mozaiki Penrose a wi´kszymi kopiami tychÅ»e wielokÄ…tów.
 nowÄ… nowÄ… matematykÄ… (new new Jednym z nich jest sfinks, nieregularny
math) w odróŻnieniu od  nowej mate- JednÄ… z wielkich radoĘci redagowa- pi´ciokÄ…t, którego kszta"t przypomina
matyki (new math), która zrobi"a kom- nia przez ponad 25 lat rubryki w Scien- nieco ten staroŻytny egipski monument.
pletnÄ… klap´ kilkadziesiÄ…t lat wczeĘniej. tific American by"a dla mnie moÅ»liwoĘç Gdy w odpowiedni sposób po"Ä…czymy
W najnowszym systemie nauczania poznania wielu prawdziwych matema- cztery identyczne sfinksy, otrzymamy
dzieli si´ klas´ na niewielkie grupy tyków. Sam jestem tylko ciut wi´cej niÅ» wi´kszy o takim samym kszta"cie jak je-
i uczy wspólnego rozwiązywania pro- dziennikarzem, który kocha matematy- go elementy sk"adowe. Wzory uk"ada-
blemów. Nauczanie interaktywne  bo k´, i potrafi´ pisaç o niej bez potkni´ç. ne z  powtarzalnych kawa"ków mogÄ…
tak si´ ta metoda nazywa  ma zastÄ…piç Matematyki nie studiowa"em. Mój dzia" rozrastaç si´ w nieskoÅ‚
czonoĘç, pokry-
wyk"ady. Aczkolwiek nowa nowa ma- zyska" niezmiernie na finezji, gdy si´ wajÄ…c p"aszczyzn´ coraz wi´kszymi i
tematyka ma pewne zalety, zbulwerso- nieco podszkoli"em, ale tajemnicÄ… jego wi´kszymi kopiami.
wa" mnie fakt, Że rzeczony poradnik popularnoĘci by" fantastyczny materia", Ze zmar"ym niedawno Pietem Hei-
s"owem nie wspomina o znaczeniu ma- który udawa"o mi si´ wyciÄ…gaç od naj- nem, znakomitym duÅ‚
skim wynalaz-
tematyki rekreacyjnej, która sama jest lepszych matematyków Ęwiata. cą i poetą, który publikowa" duŻo w
doskona"ym wprowadzeniem do kolek- Solomon W. Golomb z University of  Grach matematycznych , szczerze si´
tywnego poszukiwania rozwiązał
. Southern California by" jednym z pierw- zaprzyjaęni"em. W lipcowym numerze
Pozwol´ sobie zaproponowaç nauczy- szych, z którymi wspó"pracowa"em. z 1957 roku pisa"em o pewnej wymy-
cielom nast´pujÄ…cy eksperyment. Niech W majowym numerze z 1957 roku Ęlonej przez niego grze topologicz-
kaŻda z grup uczniów wybierze sobie przedstawi"em jego badania nad poli- nej, którą nazwa"  Hex . Rozgry-
trzycyfrowÄ… liczb´  nazwijmy jÄ… ABC. minami, kszta"tami powsta"ymi z jedna- wa si´ jÄ… na planszy w kszta"cie dia-
Nast´pnie poproĘmy ich, by na swoich kowych kwadratów po"Ä…czonych boka- mentu zbudowanej z szeĘciokÄ…tów.
kalkulatorach dopisali do niej jeszcze mi. Domino  utworzone z dwóch takich Gracze umieszczają swoje piony na sze-
raz t´ samÄ… liczb´. DostanÄ… ABCABC. kwadratów  ma tylko jeden kszta"t, ale ĘciokÄ…tach i próbujÄ… jak najszybciej
JeĘli uczniowie wybiorÄ… na przyk"ad juÅ» tromino, tetromino i pentomino do- po"Ä…czyç nieprzerwanym "aÅ‚
cuchem
liczb´ 237, to po tej operacji otrzymajÄ… puszczajÄ… róŻnorodnoĘç: mamy litery jeden z brzegów planszy z drugim.
liczb´ 237237. Teraz, udajÄ…c jasnowi- L i T, kwadrat itp. Jeden z pierwszych Gr´ t´ cz´sto nazywa si´ John (eufe-
dza, powiedzcie uczniom, Że ich liczba problemów Golomba polega" na wyja- miczne i dziĘ juŻ staroĘwieckie okre-
ABCABC po podzieleniu przez 13 nie Ęnieniu, czy wyróŻniony zbiór kamieni Ęlenie toalety  przyp. red.), gdyŻ moŻ-
pozostawi reszty. OkaÅ»e si´ to prawdÄ…. polimina dok"adnie dopasowywanych na jÄ… toczyç na szeĘciokÄ…tnej posadzce
Nast´pnie poproĘcie ich o podzielenie do siebie pokryje plansz´ do gry w war- w "azience.
58 ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998
IAN WORPOLE
PIES
3
1
2
4
PIRAMIDA
SCHODY
6
KRZES¸O
5 7
PAROWIEC
CZóÂCI SOMASZEÂCIANU sÄ… nieregularnymi kszta"tami powsta"ymi przez po"Ä…czenie
Ęcianami szeĘcianów jednostkowych (powyÅ»ej). Siedem cz´Ä˜ci moÅ»na u"oÅ»yç na 240 sposo-
bów, tworzÄ…c somaszeĘcian o wymiarach 3 x 3 x 3. MoÅ»na je równieÅ» tak u"oÅ»yç, aby utwo-
rzy"y jednÄ… z bry" prezentowanych obok. Czy potrafisz okreĘliç, której z nich nie da si´
zbudowaç? OdpowiedÄ™ na stronie 63.
Hein wymyĘli" tzw. somaszeĘcian, Conway wspó"pracowa" póęniej tak-
ZAMEK
który sta" si´ tematem kilku odcinków Å»e z matematykami Richardem Guyem
mojej rubryki [wrzesieł
1958, lipiec 1969, i Elwynem Berlekampem nad zagadnie-
wrzesieł
1972]. SomaszeĘcian sk"ada si´ niem, które w moim przekonaniu moÅ»-
z siedmiu róŻnych poliszeĘcianów  jest na uznaç za najwi´kszy wk"ad do ma-
DRAPACZ
to trójwymiarowy odpowiednik polimi- tematyki rozrywkowej w tym stuleciu.
CHMUR
na. Cz´Ä˜ci sk"adowe powstajÄ… przez Chodzi o dwutomowÄ… prac´ z 1982 ro-
sklejenie identycznych szeĘcianów Ęcia- ku  Winning Ways (Drogi zwyci´stwa).
WANNA
nami. Te poliszeĘciany mogÄ… byç u"oÅ»o- Jednym z setek klejnotów tej pracy jest
ne w somaszeĘcian na, ni mniej, ni wi´- gra dla dwóch osób nazywana Phutball
cej, tylko 240 sposobów  podobnie jak (Philosopher s Football), którą moŻna
w ca"Ä… panopli´ somakszta"tów: pirami- rozgrywaç takÅ»e na planszy do Go.
d´, wann´, psa itd. Pionek nazywany Phuthballem ustawia
W 1970 roku matematyk John Conway si´ na Ęrodku planszy. Gracze przesu-
 jeden z niekwestionowanych Ęwiato- wajÄ… Å»etony mi´dzy przeci´ciami siat-
wych geniuszy  spyta" mnie, czy nie ki. MogÄ… przemieszczaç Puthball, prze-
TUNEL
mam planszy do staroÅ»ytnej orientalnej skakujÄ…c nim Å»etony, które sÄ… nast´pnie
gry w Go. Mia"em. Conway zademon- usuwane z planszy. Celem gry jest prze-
strowa" wtedy swojÄ… s"ynnÄ… dziĘ gr´ sy- kroczenie Phutballem przeciwleg"ej li-
mulacyjnÄ… Life (Úycie). UmieĘci" kilka Å»e- nii bramkowej przez u"oÅ»enie "aÅ‚
cucha
tonów na planszy, a nast´pnie usuwa" Å»etonów w poprzek planszy. CechÄ… od-
lub dodawa" nowe zgodnie z trzema pro- róŻniajÄ…cÄ… opisanÄ… gr´ od szachów, war-
KANAPA
stymi regu"ami: kaŻdy Żeton z dwoma cabów, Hexa czy Go jest to, Że w Phut-
lub trzema sÄ…siednimi moÅ»e pozostaç na ballu nie przypisuje si´ kaÅ»demu z
planszy; kaŻdy Żeton bez sąsiadów albo graczy innych Żetonów  do budowa-
z jednym, czterema lub wi´cej sÄ…siada- nia swoich "aÅ‚
cuchów korzystają z tych
STUDNIA
mi jest usuwany; nowy zaĘ Żeton dok"a- samych. W rezultacie kaŻdy ruch jed-
da si´ na kaÅ»de puste miejsce przyleg"e nego z graczy moÅ»e byç zrobiony rów-
do trzech Żetonów. Stosując te zasady nieŻ przez przeciwnika.
wielokrotnie, moÅ»emy uzyskaç zadzi- WĘród matematyków, którzy wnieĘli
wiajÄ…cÄ… róŻnorodnoĘç form, w tym nie- nowe pomys"y do mojego dzia"u, jest
które poruszajÄ…ce si´ po planszy niczym Frank Harary, obecnie pracujÄ…cy w New
owady. Opisa"em Life w paÄ™dzierniku Mexico State University. Uogólni" on gr´
1970 roku i natychmiast sta"a si´ ona hi- w kó"ko i krzyÅ»yk. W wersji zaprezento-
MUR
tem wĘród mi"oĘników komputerów. wanej w kwietniowym numerze z 1979
Póęniej przez wiele tygodni sporo firm roku celem nie jest utworzenie prostej
i laboratoriów naukowych niemal zawie- linii sk"adajÄ…cej si´ z kó"ek lub krzyÅ»y-
si"o dzia"alnoĘç, bo entuzjaĘci tej gry eks- ków. KaÅ»dy z graczy próbuje wyprze-
perymentowali z róŻnymi tworami po- dziç przeciwnika, uk"adajÄ…c ze swoich
wstającymi na ekranach ich komputerów. znaków specjalny kszta"t, na przyk"ad
ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998 59
IAN WORPOLE
L lub kwadrat. Ronald L. Rivest z Mas- "Ä…cznie dla zabawy niespodziewanie Penrose a wzi´"a si´ z potrzeby rozryw-
sachusetts Institute of Technology po- znajduje praktyczne zastosowanie. Pen- ki, to zapoczÄ…tkowa"a ca"kowicie nowÄ…
zwoli" mi pierwszemu ujawniç w nu- rose wymyĘli" dwa typy kszta"tów:  la- dziedzin´ fizyki cia"a sta"ego.
merze sierpniowym z 1977 roku system tawce i  strza"ki , które wype"niają
szyfrowania z kluczem publicznym, któ- p"aszczyzn´ tylko w nieperiodyczny Sp"uczka Leonarda
rego by" wspó"wynalazcÄ…. To pierwszy sposób: Å»adna z podstawowych cz´Ä˜ci
z szyfrów, które zrewolucjonizowa"y ca- wzoru si´ nie powtarza. WyjaĘni"em do- Dwa odcinki mojej rubryki wywo-
"Ä… kryptografi´. Mia"em teÅ» przyjemnoĘç nios"oĘç tego odkrycia w styczniowym "a"y szczególnie wielkÄ… lawin´ listów:
zaprezentowania matematycznej sztu- wydaniu pisma z 1997 roku. Na ok"ad- primaaprilisowy i poĘwi´cony para-
ki Mauritsa C. Eschera, którego dzie"o ce tego numeru znajdowa" si´ wzór u"o- doksowi Newcomba. Pierwszy uka-
znalaz"o si´ na ok"adce kwietniowego Å»ony z p"ytek Penrose a. Kilka lat póę- za" si´ w 1975 roku, oczywiĘcie w kwiet-
wydania Scientific American z 1961 ro- niej trójwymiarowa forma mozaiki niu, i obwieĘci" dokonanie wielkiego
ku, jak równieÅ» nieperiodyczne mozai- Penrose a sta"a si´ podstawÄ… konstruk- prze"omu w nauce, a w matematyce
ki odkryte przez Rogera Penrose a, bry- cji wczeĘniej nieznanych struktur mo- w szczególnoĘci. Owe elektryzujące od-
tyjskiego fizyka, znanego ze swych prac lekularnych nazywanych kwasikrysz- krycia to obalenie teorii wzgl´dnoĘci
na temat teorii wzgl´dnoĘci i czarnych ta"ami. Od tego czasu fizycy napisali i ujawnienie, Å»e Leonardo da Vinci od-
dziur. setki prac naukowych o kwasikryszta- kry" sp"uczk´ klozetowÄ…. Sygnalizowa-
Mozaiki Penrose a są wspania"ym "ach i ich unikatowych w"asnoĘciach ter- "em równieŻ, Że w szachach otwierają-
przyk"adem, jak odkrycie dokonane wy- micznych i wibracyjnych. ChociaÅ» idea cy ruch pionka o dwa pola w kierunku
wieŻy królewskiej dawa" pewną wy-
granÄ… oraz Å»e e podniesione do pot´gi
163 jest równe liczbie ca"kowitej
W GRZE LIFE formy ewoluujÄ… wed"ug regu" ustalonych
a

262 537 412 640 768 744. Ku mojemu
przez matematyka Johna H. Conwaya. JeĘli cztery  organi-
zdziwieniu tysiące czytelników nie zo-
zmy są pierwotnie u"oŻone w kwadratowy blok (a), to taka
forma nie ulega zmianie. Trzy inne konfiguracje poczÄ…tkowe rientowa"o si´, Å»e to Å»art. Tekst ilustro-
(b, c oraz d) ewoluujÄ… do stabilnej formy zwanej ulem. PiÄ…ta
wa"a skomplikowana mapa, o której na-
(e) rozwinie si´ w koÅ‚
cu w oscylujÄ…cÄ… figur´  Ęwiat"o ulicz-
BLOK
pisa"em, Å»e wymaga pi´ciu kolorów do
ne , której komórki b´dÄ… na przemian uk"adaç si´ w piono-
pomalowania w taki sposób, by dwa ob-
wych i poziomych rz´dach.
szary o tym samym kolorze si´ nie sty-
ka"y. Setki czytelników przys"a"o mi ko-
pie tej mapy pomalowanej tylko czte-
b
rema kolorami, potwierdzajÄ…c s"usznoĘç
twierdzenia o czterech barwach. Wielu
z nich przyzna"o, Å»e poĘwi´ci"o na roz-
wiązanie zadał
sporo dni.
UL Paradoks Newcomba wymyĘli" fizyk
William A. Newcomb, ale sam problem
po raz pierwszy zosta" opublikowany
w pracy naukowej filozofa Roberta No-
zicka z Harvard University. Mamy dwa
c
zamkni´te pude"ka A i B. W pude"ku
A znajduje si´ 1000 dolarów, natomiast
w pude"ku B jest albo milion dolarów,
albo nic. Są dwie moŻliwoĘci: wybierasz
albo pude"ko B, albo oba. Wzi´cie dwóch
UL
wydaje si´ oczywiĘcie lepszym rozwiÄ…-
zaniem. Jest jednak pewien haczyk. Nad-
istota  Pan Bóg, jeĘli sobie Życzycie 
która potrafi przewidzieç, jak b´dziesz
d
wybiera". JeĘli Nadistota uzna, Że powo-
dowany chciwoĘcią wybierzesz oba pu-
de"ka, to pozostawi B puste, i b´dziesz
musia" si´ zadowoliç tylko tysiÄ…cem do-
larów. JeĘli natomiast zgadnie, Że wy-
UL
bierzesz tylko pude"ko B, to umieĘci
w nim milion. MoŻesz wielokrotnie ob-
e
60 ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998
IAN WORPOLE
Ć
36° 36°
72°
36°
1
1
Ć
1
Ć
36°
36°
36° 72°
Ć
1 + 5
"
=
2
MOZAIKI PENROSE A mogÄ… byç konstruowane przez
dzielenie rombu na  latawiec i  strza"´ w taki spo-
sób, Że stosunek d"ugoĘci ich przekątnych wynosi 
jest to tzw. z"oty podzia" (powyÅ»ej). Pi´ç strza"ek u"oÅ»o-
nych wokó" wierzcho"ka tworzy gwiazd´. Rozmiesz-
czając 10 latawców wokó" gwiazdy i symetrycznie roz-
szerzajÄ…c mozaik´, otrzymujemy nieskoÅ‚
czony wzór
gwiaędzisty (z prawej). Inne mozaiki zbudowane wo-
kó" jednego wierzcho"ka to na przyk"ad dwójka, walet
i królowa. Te figury równieÅ» mogÄ… stanowiç zaczÄ…tek
nieskoł
czonej mozaiki z"oŻonej latawców i strza"ek.
serwowaç gr´ innych i przekonaç si´, Å»e
zawsze, gdy gracz wybiera oba pude"-
ka, B jest puste. Gdy wybiera tylko B,
staje si´ milionerem.
Na co powinieneĘ si´ zdecydowaç?
Pragmatyzm, uwzgl´dniajÄ…cy doĘwiad-
czenia z rozgrywek, których by"eĘ
Ęwiadkiem, podpowiada, Że moŻesz za-
DWÓJKA
"oÅ»yç, iÅ» Nadistota naprawd´ ma moc
precyzyjnego przewidywania. Powinie-
nieĘ wi´c zawsze wybieraç B, co gwa-
rantuje wygranie miliona dolarów. Ale
uwaga! Nadistota przewiduje przed roz-
pocz´ciem gry i nie ma moÅ»liwoĘci do-
konywania zmian w jej trakcie. W chwi-
WALET
li, w której wybierasz, pude"ko B jest
albo puste, albo zawiera milion dolarów.
JeĘli jest puste, nie otrzymasz nic, wy-
KRÓLOWA
bierajÄ…c tylko B. Gdy wybierzesz oba,
w najgorszym razie dostaniesz 1000 do-
larów z A. JeĘli natomiast B zawiera mi-
lion, to zyskasz milion plus jeszcze ty- zwanej teorią decyzji, pozostaje nieroz- biĘcie zanios"em do Nozicka. A on do-
siÄ…c. Czy wi´c moÅ»esz przegraç, wybie- strzygni´ty. Moim zdaniem paradoks kona" analizy tych listów na "amach mar-
rajÄ…c dwa pude"ka? dowodzi przez sprowadzenie do sprze- cowego numeru z 1974 roku.
KaÅ»da argumentacja wydaje si´ prze- cznoĘci, Å»e niemoÅ»liwe jest istnienie nad- Magiczne kwadraty od dawna sÄ… bar-
konująca i nienaganna. AliĘci nie mogą przyrodzonego daru przewidywania de- dzo popularnym dzia"em matematyki
istnieç dwie najlepsze strategie jedno- cyzji. Napisa"em na ten temat w lipcu rekreacyjnej. Magicznymi czyni je odpo-
czeĘnie. Nozick konkluduje, Że paradoks, 1973 roku. Otrzyma"em potem tak wie- wiednie u"oŻenie liczb: liczby w kaŻdej
który naleÅ»y do ga"´zi matematyki na- le listów, Å»e zrobi"em z nich paczk´ i oso- kolumnie, wierszu i na przekÄ…tnych da-
jÄ… takÄ… samÄ… sum´. Zazwyczaj wymaga
si´, by liczby w kwadratach by"y róŻne
i kolejne, poczynajÄ…c od jedynki. Istnie-
je tylko jeden kwadrat magiczny rz´du
3 utworzony z liczb od 1 do 9 rozmiesz-
czonych w tablicy trzy na trzy. (Odmia-
ny powsta"e przez obrót lub lustrzane
odbicie kwadratu si´ nie liczÄ….) Dla kon-
trastu istnieje aÅ» 880 magicznych kwa-
ÂWIAT¸O ULICZNE
dratów rz´du 4, a ich liczba gwa"townie
ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998 61
IAN WORPOLE
ZadziwiajÄ…cy dr Matrix
Paradoks znikajÄ…cej powierzchni
Podczas mojej wspó"pracy z Scienti-
ozwaÅ»my figury przedstawione poniÅ»ej. KaÅ»dy wzór u"oÅ»ony jest z takich sa- fic American mia"em zwyczaj poĘwi´caç
Rmych 16 kawa"ków: czterech duŻych trójkątów prostokątnych, czterech ma"ych jeden odcinek w roku na wyimagino-
trójkątów prostokątnych, czterech oĘmiokątów i czterech ma"ych kwadratów. W uk"a- wany wywiad z numerologiem, którego
dance po lewej stronie kawa"ki pasujÄ… do siebie jak ula", w uk"adance po prawej na- nazwa"em dr Irving Joshua Matrix
tomiast poĘrodku jest dziura! SkÄ…d wziÄ…" si´ ten dodatkowy kawa"ek powierzchni? Dla-
(zwracam uwag´ na liczb´ 666 otrzy-
czego nie ma go po lewej stronie?
manÄ… z liczby liter pierwszego i drugie-
go imienia oraz nazwiska). Ten znako-
mity specjalista wyjaĘnia" nietypowe
w"asnoĘci liczb lub zadziwiające gry
s"ów. Wielu czytelników uznawa"o dok-
tora Matrixa i jego pi´knÄ… córk´ Iv´ To-
shiyori, pó"-Japonk´, za autentyczne
postacie. Przypominam sobie list od ja-
poł
skiego czytelnika, który zwróci" mi
uwag´, Å»e nazwisko Toshiyori jest nad-
zwyczaj niezwyk"e. Mój informator wy-
jaĘni" mi, Å»e w j´zyku japoÅ‚
skim s"owo
to znaczy  ulica starych ludzi . WziÄ…-
"em je z planu Tokio.
Ubolewam nad tym, Że nigdy nie za-
pyta"em doktora Matrixa o opini´ na
temat nonsensownego bestsellera 1997
Tajemnic´ tego paradoksu  który wyjaĘni"em w  Grach matematycznych w ma- roku Kod Biblii, który roĘci sobie prawo
jowym wydaniu Scientific American z 1961 roku  ujawni´ w REKREACJACH
do przewidywania przysz"oĘci na pod-
MATEMATYCZNYCH za miesiÄ…c. Niecierpliwi znajdÄ… odpowiedÄ™ w Internecie na stro-
stawie uk"adu liter hebrajskich w Sta-
nie www.sciam.com
rym Testamencie. W ksiąŻce wykorzy-
stywany jest system liczbowy, z którego
doktor Matrix by"by dumny. Selektyw-
roĘnie dla wyÅ»szych rz´dów. Zaskaku- przyk"ad istnieje nieskoÅ‚
czenie wiele ta- ne stosowanie tego systemu do wybra-
jÄ…ce, Å»e sprawa ma si´ zupe"nie inaczej kich kwadratów zbudowanych z róŻ- nych fragmentów tekstu pozwala do-
w przypadku magicznych szeĘciokÄ…- nych liczb pierwszych. Czy istniejÄ… kwa- ciekliwym czytelnikom znaleÄ™ç ukryte
tów. W 1963 roku przys"ano mi magicz- draty rz´du 3 sk"adajÄ…ce si´ z dziewi´- przepowiednie nie tylko w Starym, ale
ny szeĘciokÄ…t rz´du 3 odkryty przez ciu róŻnych liczb b´dÄ…cych kwadrata- równieÅ» w Nowym Testamencie, Kora-
Clifforda W. Adamsa, emerytowanego mi liczb ca"kowitych? Dwa lata temu nie, w Wall Street Journal, a nawet na
urz´dnika z Reading Railroad. Przeka- w artykule w Quantum wyznaczy"em stronach samego Kodu Biblii.
za"em ten magiczny szeĘciokąt Charle- 100 dolarów nagrody za skonstruowa- Gdy ostatni raz mia"em wiadomo-
sowi W. Triggowi, matematykowi z Los nie takiego wzoru. Jak dotąd nikt nie Ęci od doktora Matrixa, by" on w Hong-
Angeles City College, który udowodni", przedstawi"  kwadratu z kwadratów , kongu, badajÄ…c przypadkowe wyst´-
Że ów elegancki wzór jest jedynym moŻ- ale nikt teŻ nie udowodni", Że nie jest to powanie liczby Ą w znanych dzie"ach
liwym magicznym szeĘciokÄ…tem rz´du moÅ»liwe. JeĘli kwadrat taki istnieje, to literackich. Dla przyk"adu zacytowa"
3 i Å»e nie istniejÄ… Å»adne szeĘciokÄ…ty ma- wyst´pujÄ…ce w nim liczby muszÄ… byç nast´pujÄ…cy fragment z dziewiÄ…tego
giczne tego ani jakichkolwiek innych ogromne, prawdopodobnie poza zasi´- rozdzia"u Wojny Âwiatów H. G. Wellsa
rz´dów. giem najszybszych wspó"czesnych kom-  For a time I stood regarding... Lite-
A co si´ stanie, gdy przestaniemy wy- puterów. Taki kwadrat magiczny nie ry wyst´pujÄ…ce w tych s"owach dajÄ…
magaç, by liczby w kwadracie magicz- mia"by zapewne Å»adnego praktycznego liczb´ z dok"adnoĘciÄ… do szeĘciu cyfr
nym by"y kolejne? JeĘli zaŻądamy tylko, zastosowania. Dlaczego wi´c matema- po przecinku!
by by"y róŻne, da si´ skonstruowaç tycy próbujÄ… go znaleÄ™ç? PoniewaÅ» byç
T"umaczy"
ogromnie duÅ»o kwadratów rz´du 3. Na moÅ»e istnieje. Zdzis"aw Pogoda
Informacje o autorze Literatura uzupe"niajÄ…ca
Martin Gardner od 1956 do 1981 roku prowadzi" RECREATIONS IN THE THEORY OF NUMBERS. Albert H. Beiler; Dover Publications, 1964.
w Scientific American  Gry matematyczne . Póęniej MATHEMATICS: PROBLEM SOLVING THROUGH RECREATIONAL MATHEMATICS. Bonnie Averbach
przez kilka lat okazjonalnie pisywa" artyku"y. Zo- i Orin Chein; W. H. Freeman and Company, 1986.
sta"y one zebrane 15 ksiąŻkach, z których ostatnią MATHEMATICAL RECREATIONS AND ESSAYS. W. W. Rouse Ball i H. S. M. Coxeter. Wyd. 13;
sÄ… The Last Recreations (Ostatnie rekreacje) wydane Dover Publications, 1987.
przez Springer Verlag w 1997 roku. Jest takŻe auto- PENGUIN EDITION OF CURIOUS AND INTERESTING GEOMETRY. David Wells; Penguin, 1991.
rem The Annotated Alice, The Whys of a Philosophical MAZES OF THE MIND. Clifford Pickover; St. Martin s Press, 1992.
Scrivener, Zwierciadlanego WszechĘwiata (PWN, 1969), ZWIERCIADLANY WSZECHÂWIAT. Martin Gardner; PWN, 1969.
Relativity Simply Explained oraz The Flight of Peter PRZEZ ROZRYWKó DO WIEDZY. Stanis"aw Kowal; WNT, 1991.
Fromm (powieĘç). W swoich ponad 70 ksiÄ…Å»kach pi- OPOWIEÂCI MATEMATYCZNE. Micha" Szurek; WSiP, 1987.
sze o nauce w ogóle, o matematyce, filozofii, litera- MOJE NAJLEPSZE ZAGADKI MATEMATYCZNE I LOGICZNE. Martin Gardner; Oficyna
turze i o swej g"ównej pasji  bia"ej magii (magicz- Wydawnicza Quadrivium, 1998.
nych sztuczkach). S¸YNNE ESEJE. Red. Martin Gardner; PrószyÅ‚
ski i S-ka, 1998.
62 ÂWIAT NAUKI PaÄ™dziernik 1998
IAN WORPOLE